იცოდეთ სამკუთხედის მე-2 გვერდის კოორდინატები, იპოვეთ სიმაღლე. იპოვეთ სამკუთხედის უდიდესი სიმაღლე

უპირველეს ყოვლისა, სამკუთხედია გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და დაკავშირებულია სამი სეგმენტით. სამკუთხედის სიმაღლის დასადგენად, ჯერ უნდა დაადგინოთ მისი ტიპი. სამკუთხედები განსხვავდებიან მათი კუთხეების ზომით და თანაბარი კუთხით. კუთხეების ზომის მიხედვით სამკუთხედი შეიძლება იყოს მახვილი, ბლაგვი და მართკუთხა. თანაბარი გვერდების რაოდენობის მიხედვით, სამკუთხედები განასხვავებენ ტოლგვერდებს, ტოლგვერდებს და სკალიანებს. სიმაღლე არის პერპენდიკულარი, რომელიც დაშვებულია სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს მისი წვეროდან. როგორ გავიგოთ სამკუთხედის სიმაღლე?

როგორ მოვძებნოთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

ტოლფერდა სამკუთხედს ახასიათებს მის ფუძეზე გვერდებისა და კუთხეების თანასწორობა, ამიტომ გვერდით გვერდებზე დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია. ასევე, ამ სამკუთხედის სიმაღლე არის როგორც შუამავალი, ასევე ბისექტრი. შესაბამისად სიმაღლე ძირს შუაზე ყოფს. ჩვენ განვიხილავთ მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედს და ვიპოვით გვერდს, ანუ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით. შემდეგი ფორმულის გამოყენებით ვიანგარიშებთ სიმაღლეს: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, სადაც: a არის ამ ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდი, b არის ამ ტოლკუთხედის სამკუთხედის ფუძე.

როგორ ვიპოვოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე

თანაბარი გვერდების მქონე სამკუთხედს ტოლგვერდა ეწოდება. ასეთი სამკუთხედის სიმაღლე მიღებულია ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლის ფორმულიდან. გამოდის: H = √3/2*a, სადაც a არის ამ ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი.

როგორ მოვძებნოთ სკალენის სამკუთხედის სიმაღლე

სკალენი არის სამკუთხედი, რომელშიც ნებისმიერი ორი გვერდი არ არის ერთმანეთის ტოლი. ასეთ სამკუთხედში სამივე სიმაღლე განსხვავებული იქნება. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სიმაღლეების სიგრძე ფორმულის გამოყენებით: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი ან ჯერ გამოთვალეთ კონკრეტული სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულით, რომელიც ასე გამოიყურება: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, სადაც a, b, c არის სკალენური სამკუთხედის გვერდები, ხოლო p არის მისი ნახევარპერიმეტრი. თითოეული სიმაღლე = 2 * ფართობი / მხარე

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე

მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ერთი მართი კუთხე. სიმაღლე, რომელიც მიდის ერთ ფეხზე, ამავე დროს მეორე ფეხია. მაშასადამე, ფეხებზე დაწოლილი სიმაღლეების საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პითაგორას შეცვლილი ფორმულა: a = √(c 2 − b 2), სადაც a, b არის ფეხები (a არის ფეხი, რომელიც უნდა მოიძებნოს). c არის ჰიპოტენუზის სიგრძე. მეორე სიმაღლის საპოვნელად, b-ის ადგილას უნდა დააყენოთ მიღებული მნიშვნელობა a. სამკუთხედის შიგნით მდებარე მესამე სიმაღლის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: h = 2s/a, სადაც h არის სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედი, s არის მისი ფართობი, a არის იმ მხარის სიგრძე, რომლის სიმაღლეც პერპენდიკულარული იქნება.

სამკუთხედს მახვილი ეწოდება, თუ მისი ყველა კუთხე მახვილია. ამ შემთხვევაში, სამივე სიმაღლე განლაგებულია მწვავე სამკუთხედის შიგნით. სამკუთხედს ბლაგვი ეწოდება, თუ მას აქვს ერთი ბლაგვი კუთხე. ბლაგვი სამკუთხედის ორი სიმაღლე არის სამკუთხედის გარეთ და ეცემა გვერდების გაგრძელებაზე. მესამე მხარე სამკუთხედის შიგნითაა. სიმაღლე განისაზღვრება იმავე პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

ზოგადი ფორმულები სამკუთხედის სიმაღლის გამოსათვლელად

• გვერდებზე სამკუთხედის სიმაღლის პოვნის ფორმულა: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), სადაც h არის სიმაღლე, რომელიც უნდა მოიძებნოს, a, b და c არის გვერდები მოცემული სამკუთხედი, p არის მისი ნახევარპერიმეტრი, .
• სამკუთხედის სიმაღლის პოვნის ფორმულა კუთხისა და გვერდის გამოყენებით: H=b sin y = c sin ß
• ფართობისა და გვერდის მეშვეობით სამკუთხედის სიმაღლის პოვნის ფორმულა: h = 2S/a, სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი და h არის სიმაღლე a გვერდის მიმართ.
• რადიუსის და გვერდების გამოყენებით სამკუთხედის სიმაღლის პოვნის ფორმულა: H= bc/2R.

როცა გადაწყვეტს სხვადასხვა სახისპრობლემები, როგორც წმინდა მათემატიკური, ასევე გამოყენებითი ხასიათისა (განსაკუთრებით მშენებლობაში), ხშირად მოითხოვს გარკვეული გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლის მნიშვნელობის განსაზღვრას. როგორ გამოვთვალოთ ეს მნიშვნელობა (სიმაღლე) სამკუთხედში?

თუ 3 წერტილს გავაერთიანებთ წყვილებში, რომლებიც არ არის განლაგებული ერთ ხაზზე, მაშინ მიღებული ფიგურა იქნება სამკუთხედი. სიმაღლე არის სწორი ხაზის ნაწილი ფიგურის ნებისმიერი წვეროდან, რომელიც მოპირდაპირე მხარეს გადაკვეთისას ქმნის 90° კუთხეს.

იპოვეთ სკალენური სამკუთხედის სიმაღლე

მოდით განვსაზღვროთ სამკუთხედის სიმაღლის მნიშვნელობა იმ შემთხვევაში, როდესაც ფიგურას აქვს თვითნებური კუთხეები და გვერდები.

ჰერონის ფორმულა

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, სადაც

p – ფიგურის პერიმეტრის ნახევარი, h(a) – სეგმენტი a მხარისკენ, დახატული მასზე სწორი კუთხით,

p=(a+b+c)/2 – ნახევრადპერიმეტრის გამოთვლა.

თუ არსებობს ფიგურის ფართობი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიმართება h(a)=2S/a მისი სიმაღლის დასადგენად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

სეგმენტის სიგრძის დასადგენად, რომელიც ქმნის მართ კუთხეს a გვერდთან გადაკვეთისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიმართებები: თუ ცნობილია გვერდი b და კუთხე γ ან გვერდი c და კუთხე β, მაშინ h(a)=b*sinγ ან h(a)=c *sinβ.
სად:
γ – კუთხე b და a მხარეს შორის,
β არის კუთხე c და a მხარეს შორის.

რადიუსთან ურთიერთობა

თუ თავდაპირველი სამკუთხედი წრეშია ჩაწერილი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ასეთი წრის რადიუსი სიმაღლის დასადგენად. მისი ცენტრი მდებარეობს იმ წერტილში, სადაც იკვეთება სამივე სიმაღლე (თითოეული წვეროდან) - ორთოცენტრი, ხოლო მანძილი მისგან წვერომდე (ნებისმიერი) არის რადიუსი.

შემდეგ h(a)=bc/2R, სადაც:
b, c – სამკუთხედის 2 სხვა გვერდი,
R არის სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი.

იპოვეთ სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში

ამ ტიპის გეომეტრიულ ფიგურაში 2 გვერდი გადაკვეთისას ქმნის მართ კუთხეს - 90°. ამიტომ, თუ გსურთ მასში სიმაღლის მნიშვნელობის დადგენა, მაშინ უნდა გამოთვალოთ ან რომელიმე ფეხის ზომა, ან ჰიპოტენუზასთან 90°-იანი სეგმენტის ზომა. დანიშვნისას:
a, b - ფეხები,
გ – ჰიპოტენუზა,
h(c) – ჰიპოტენუზაზე პერპენდიკულარული.
თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ საჭირო გამოთვლები შემდეგი ურთიერთობების გამოყენებით:

• Პითაგორას თეორემა:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, რადგან S=ab/2, შემდეგ h(c)=ab/c.

• ტრიგონომეტრიული ფუნქციები:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

ეს გეომეტრიული ფიგურა გამოირჩევა თანაბარი ზომის ორი მხარის და მესამე - ფუძის არსებობით. მესამე, მკაფიო მხარეს დახატული სიმაღლის დასადგენად, პითაგორას თეორემა შველის. ნოტაციით
ა - მხარე,
გ – ბაზა,
h(c) არის სეგმენტი c-მდე 90° კუთხით, შემდეგ h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

თითქმის არასოდეს არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა პარამეტრის დადგენა დამატებითი კონსტრუქციების გარეშე. ეს კონსტრუქციები წარმოადგენს სამკუთხედის უნიკალურ გრაფიკულ მახასიათებლებს, რომლებიც გვეხმარება გვერდებისა და კუთხეების ზომის განსაზღვრაში.

განმარტება

ერთ-ერთი ასეთი მახასიათებელია სამკუთხედის სიმაღლე. სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია სამკუთხედის წვეროდან მის მოპირდაპირე მხარეს. წვერო არის სამი წერტილიდან ერთ-ერთი, რომელიც სამ გვერდთან ერთად ქმნის სამკუთხედს.

სამკუთხედის სიმაღლის განმარტება შეიძლება ასე ჟღერდეს: სიმაღლე არის სამკუთხედის წვეროდან მოპირდაპირე მხარის შემცველი სწორი ხაზის პერპენდიკულური.

ეს განმარტება უფრო რთულად ჟღერს, მაგრამ ის უფრო ზუსტად ასახავს სიტუაციას. ფაქტია, რომ ბლაგვ სამკუთხედში შეუძლებელია სამკუთხედის შიგნით სიმაღლის დახატვა. როგორც ნახაზი 1-ში ჩანს, სიმაღლე ამ შემთხვევაში გარეა. გარდა ამისა, არ არის სტანდარტული სიტუაცია მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლის აგება. ამ შემთხვევაში, სამკუთხედის სამი სიმაღლედან ორი გაივლის ფეხებს, ხოლო მესამე წვეროდან ჰიპოტენუზაში.

ბრინჯი. 1. ბლაგვი სამკუთხედის სიმაღლე.

როგორც წესი, სამკუთხედის სიმაღლე აღინიშნება ასო h. სიმაღლე ასევე მითითებულია სხვა ფიგურებში.

როგორ გავიგოთ სამკუთხედის სიმაღლე?

სამკუთხედის სიმაღლის დასადგენად სამი სტანდარტული გზა არსებობს:

პითაგორას თეორემის მეშვეობით

ეს მეთოდი გამოიყენება ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედებისთვის. გავაანალიზოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ამონახსნი და შემდეგ ვთქვათ, რატომ არის იგივე ამონახსნი ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის.

მოცემული: ტოლფერდა სამკუთხედი ABC ფუძით AC. AB=5, AC=8. იპოვეთ სამკუთხედის სიმაღლე.

ბრინჯი. 2. ნახატი პრობლემისთვის.

ტოლფერდა სამკუთხედისთვის მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რომელი მხარეა ფუძე. ეს განსაზღვრავს მხარეებს, რომლებიც უნდა იყოს თანაბარი, ისევე როგორც სიმაღლე, რომელზეც მოქმედებს გარკვეული თვისებები.

ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები:

• სიმაღლე ემთხვევა მედიანას და ბისექტორს
• ფუძეს ყოფს ორ თანაბარ ნაწილად.

სიმაღლეს აღვნიშნავთ როგორც ВD. ჩვენ ვპოულობთ DC-ს, როგორც ფუძის ნახევარს, რადგან D წერტილის სიმაღლე ფუძეს შუაზე ყოფს. DC=4

სიმაღლე არის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ BDC არის მართკუთხა სამკუთხედი, ხოლო სიმაღლე BH არის ამ სამკუთხედის ფეხი.

ვიპოვოთ სიმაღლე პითაგორას თეორემის გამოყენებით: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

ნებისმიერი ტოლგვერდა სამკუთხედი არის ტოლგვერდა, მხოლოდ მისი ფუძე უდრის მის გვერდებს. ანუ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე პროცედურა.

სამკუთხედის ფართობის გავლით

ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი სამკუთხედისთვის. მის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ სამკუთხედის ფართობი და გვერდი, რომელზეც სიმაღლეა დახატული.

სამკუთხედში სიმაღლეები არ არის ტოლი, ამიტომ შესაბამისი მხარისთვის შესაძლებელი იქნება შესაბამისი სიმაღლის გამოთვლა.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა: $$S=(1\over2)*bh$$, სადაც b არის სამკუთხედის გვერდი, ა h არის ამ მხარეს დახატული სიმაღლე. გამოვხატოთ სიმაღლე ფორმულიდან:

$$h=2*(S\ მეტი b)$$

თუ ფართობი არის 15, მხარე არის 5, მაშინ სიმაღლე არის $$h=2*(15\over5)=6$$

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მეშვეობით

მესამე მეთოდი შესაფერისია, თუ ცნობილია გვერდი და კუთხე ბაზაზე. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ბრინჯი. 3. ნახატი პრობლემისთვის.

კუთხე ВСН=300 და გვერდი BC=8. ჩვენ კვლავ გვაქვს იგივე მართკუთხა სამკუთხედი BCH. გამოვიყენოთ სინუსი. სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, რაც ნიშნავს: BH/BC=cos BCH.

კუთხე ცნობილია, ისევე როგორც მხარე. გამოვსახოთ სამკუთხედის სიმაღლე:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

კოსინუსის მნიშვნელობა ზოგადად აღებულია ბრედისის ცხრილებიდან, მაგრამ მნიშვნელობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები 30,45 და 60 გრადუსისთვის - ცხრილის რიცხვები.

რა ვისწავლეთ?

გავიგეთ, რა არის სამკუთხედის სიმაღლე, რა სიმაღლეებია და როგორ არის დანიშნულება. გაარკვია ტიპიური ამოცანებიდა დაწერა სამი ფორმულა სამკუთხედის სიმაღლისთვის.

ტესტი თემაზე

სტატიის რეიტინგი

Საშუალო რეიტინგი: 4.6. სულ მიღებული შეფასებები: 152.

სამკუთხედის სიმაღლის გამოთვლა დამოკიდებულია თავად ფიგურაზე (ტოლფერდა, ტოლგვერდა, მასშტაბური, მართკუთხა). პრაქტიკულ გეომეტრიაში რთული ფორმულები, როგორც წესი, არ გვხვდება. საკმარისია ვიცოდეთ გამოთვლების ზოგადი პრინციპი, რათა ის უნივერსალურად იყოს გამოყენებული ყველა სამკუთხედისთვის. დღეს გაგაცნობთ ფიგურის სიმაღლის გამოთვლის ძირითად პრინციპებს, გამოთვლის ფორმულებს სამკუთხედების სიმაღლის თვისებებზე დაყრდნობით.

რა არის სიმაღლე?

სიმაღლეს აქვს რამდენიმე გამორჩეული თვისება

1. წერტილს, სადაც ყველა სიმაღლე აკავშირებს, ორთოცენტრი ეწოდება. თუ სამკუთხედი არის მიმართული, მაშინ ორთოცენტრი მდებარეობს ფიგურის შიგნით, თუ რომელიმე კუთხე ბლაგვია, მაშინ ორთოცენტრი, როგორც წესი, მდებარეობს გარეთ.
2. სამკუთხედში, სადაც ერთი კუთხე 90°-ია, ორთოცენტრი და წვერო ემთხვევა ერთმანეთს.
3. სამკუთხედის ტიპებიდან გამომდინარე, არსებობს სამკუთხედის სიმაღლის პოვნის რამდენიმე ფორმულა.

ტრადიციული გამოთვლები

1. თუ p არის პერიმეტრის ნახევარი, მაშინ a, b, c არის საჭირო ფიგურის გვერდების აღნიშვნა, h არის სიმაღლე, მაშინ პირველი და უმარტივესი ფორმულა ასე გამოიყურება: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. სასკოლო სახელმძღვანელოებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ პრობლემები, რომლებშიც ცნობილია სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის მნიშვნელობა და კუთხის ზომა ამ მხარესა და ფუძეს შორის. მაშინ სიმაღლის გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ფართობი - S, ისევე როგორც ფუძის სიგრძე - a, მაშინ გამოთვლები იქნება რაც შეიძლება მარტივი. სიმაღლე გვხვდება ფორმულის გამოყენებით: h = 2S/a.
4. როდესაც მოცემულია ფიგურის ირგვლივ აღწერილი წრის რადიუსი, ჯერ ვიანგარიშებთ მისი ორი გვერდის სიგრძეებს და შემდეგ ვაგრძელებთ სამკუთხედის მოცემული სიმაღლის გამოთვლას. ამისათვის ვიყენებთ ფორმულას: h = b ∙ c/2R, სადაც b და c არის სამკუთხედის ორი გვერდი, რომელიც არ არის ფუძე, ხოლო R არის რადიუსი.

როგორ გავიგოთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე?

ამ ფიგურის ყველა გვერდი ტოლია, მათი სიგრძე ტოლია, ამიტომ ფუძის კუთხეებიც ტოლი იქნება. აქედან გამომდინარეობს, რომ სიმაღლეები, რომლებსაც ფუძეებზე ვხატავთ, ასევე თანაბარი იქნება, ისინი ასევე არიან მედიანები და ბისექტრები. ლაპარაკი მარტივი ენითტოლფეროვან სამკუთხედში სიმაღლე ფუძეს ორად ყოფს. მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც მიიღება სიმაღლის დახაზვის შემდეგ, განხილული იქნება პითაგორას თეორემის გამოყენებით. გვერდი ავღნიშნოთ a-ით და ფუძე b-ით, შემდეგ სიმაღლე h = ½ √4 a2 − b2.

როგორ გავიგოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე?

ტოლგვერდა სამკუთხედის ფორმულა (ფიგურა, სადაც ყველა გვერდი ზომით თანაბარია) შეიძლება მოიძებნოს წინა გამოთვლების საფუძველზე. საჭიროა მხოლოდ სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის გაზომვა და მისი დანიშვნა a. შემდეგ სიმაღლე გამოითვლება ფორმულით: h = √3/2 a.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე?

მოგეხსენებათ, მართკუთხა სამკუთხედში კუთხე არის 90°. ერთი მხარით დაშვებული სიმაღლე ასევე მეორე მხარეა. მართი კუთხის მქონე სამკუთხედის სიმაღლეები მათზე იქნება. სიმაღლის შესახებ მონაცემების მისაღებად საჭიროა ოდნავ გარდაქმნათ არსებული პითაგორას ფორმულა, მიუთითოთ ფეხები - a და b, ასევე გაზომოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე - c.

ვიპოვოთ ფეხის სიგრძე (გვერდი, რომლის სიმაღლეც პერპენდიკულარული იქნება): a = √ (c2 − b2). მეორე ფეხის სიგრძე იპოვება ზუსტად იგივე ფორმულით: b =√ (c2 − b2). რის შემდეგაც შეგიძლიათ დაიწყოთ სამკუთხედის სიმაღლის გამოთვლა მართი კუთხით, ჯერ გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი - s. სიმაღლის მნიშვნელობა არის h = 2s/a.

გამოთვლები სკალენური სამკუთხედით

როდესაც სკალენის სამკუთხედს აქვს მკვეთრი კუთხეები, ჩანს ძირამდე დაშვებული სიმაღლე. თუ სამკუთხედს აქვს ბლაგვი კუთხე, მაშინ სიმაღლე შეიძლება იყოს ფიგურის მიღმა და თქვენ უნდა გააგრძელოთ იგი გონებრივად, რათა მიიღოთ სიმაღლისა და სამკუთხედის ფუძის შემაერთებელი წერტილი. Ყველაზე მარტივი გზითსიმაღლის გაზომვა არის მისი გამოთვლა ერთ-ერთი მხარის და კუთხის ზომის მიხედვით. ფორმულა ასეთია: h = b sin y + c sin ß.

სამკუთხედები.

Ძირითადი ცნებები.

სამკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი სეგმენტისა და სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე.

სეგმენტები ე.წ პარტიებიდა ქულები არის მწვერვალები.

კუთხეების ჯამისამკუთხედი არის 180º.

სამკუთხედის სიმაღლე.

სამკუთხედის სიმაღლე- ეს არის პერპენდიკულარი, რომელიც დახატულია წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს.

მწვავე სამკუთხედში, სიმაღლე შეიცავს სამკუთხედს (ნახ. 1).

მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხები არის სამკუთხედის სიმაღლეები (ნახ. 2).

ბლაგვ სამკუთხედში სიმაღლე ვრცელდება სამკუთხედის გარეთ (ნახ. 3).

სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები:

სამკუთხედის ბისექტორი.

სამკუთხედის ბისექტორი- ეს არის სეგმენტი, რომელიც ყოფს წვეროს კუთხეს შუაზე და აკავშირებს წვეროს მოპირდაპირე მხარეს არსებულ წერტილს (სურ. 5).

ბისექტრის თვისებები:

სამკუთხედის მედიანა.

სამკუთხედის მედიანა- ეს არის წვეროს დამაკავშირებელი სეგმენტი მოპირდაპირე მხარის შუათან (ნახ. 9ა).

მედიანის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: 2ბ 2 + 2გ 2 - ა 2 მ ა 2 = —————— 4 სად მ ა- გვერდით დახატული მედიანა ა. მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან დახატული მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს: გ მ ს = — 2 სად მ ს- მედიანური მიზიდული ჰიპოტენუზისკენ გ(ნახ.9c) სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში (სამკუთხედის მასის ცენტრში) და იყოფა ამ წერტილზე 2:1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა. ანუ, სეგმენტი წვეროდან ცენტრამდე ორჯერ დიდია, ვიდრე სეგმენტი ცენტრიდან სამკუთხედის გვერდისკენ (ნახ. 9c). სამკუთხედის სამი შუალედი ყოფს მას ექვს თანაბარ სამკუთხედად.

სამკუთხედის შუა ხაზი.

სამკუთხედის შუა ხაზი- ეს არის მისი ორი მხარის შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი (ნახ. 10).

სამკუთხედის შუა ხაზი მესამე გვერდის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია

სამკუთხედის გარე კუთხე.

გარე კუთხესამკუთხედის ტოლია ორი არამიმდებარე შიდა კუთხის ჯამი (ნახ. 11).

სამკუთხედის გარე კუთხე აღემატება ნებისმიერ არამიმდებარე კუთხეს.

მართკუთხა სამკუთხედი.

მართკუთხა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს მართი კუთხე (სურ. 12).

მართი კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი ეწოდება ჰიპოტენუზა.

დანარჩენ ორ მხარეს ე.წ ფეხები.

პროპორციული სეგმენტები მართკუთხა სამკუთხედში.

1) მართკუთხა სამკუთხედში, სიმაღლიდან გამოყვანილი სწორი კუთხე, ქმნის სამ მსგავს სამკუთხედს: ABC, ACH და HCB (ნახ. 14a). შესაბამისად, სიმაღლით წარმოქმნილი კუთხეები უდრის A და B კუთხეებს.

სურ.14ა

Ტოლფერდა სამკუთხედი.

Ტოლფერდა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლია (სურ. 13).

ესენი თანაბარი მხარეებიუწოდებენ მხარეებიდა მესამე - საფუძველისამკუთხედი.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია. (ჩვენს სამკუთხედში A კუთხე უდრის C კუთხეს).

ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული მედიანა არის სამკუთხედის ბისექტორიც და სიმაღლეც.

Ტოლგვერდა სამკუთხედი.

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია (სურ. 14).

ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები:

სამკუთხედების შესანიშნავი თვისებები.

სამკუთხედებს აქვთ უნიკალური თვისებები, რომლებიც დაგეხმარებათ ამ ფორმებთან დაკავშირებული პრობლემების წარმატებით გადაჭრაში. ამ თვისებებიდან ზოგიერთი ზემოთ აღწერილია. მაგრამ ჩვენ კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ მათ, დავამატებთ მათ რამდენიმე სხვა შესანიშნავ თვისებას:

1) მართკუთხა სამკუთხედში 90º, 30º და 60º კუთხით ბ, რომელიც მდებარეობს 30º კუთხის საპირისპიროდ, უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარი. Ფეხია მეტი ფეხიბ√3-ჯერ (სურ. 15 ა). მაგალითად, თუ ფეხი b არის 5, მაშინ ჰიპოტენუზა გაუცილებლად უდრის 10-ს და ფეხი აუდრის 5√3. 2) მართკუთხა ტოლფერდა სამკუთხედში 90º, 45º და 45º კუთხით, ჰიპოტენუზა არის √2-ჯერ დიდი ვიდრე ფეხი (ნახ. 15). ბ). მაგალითად, თუ ფეხები არის 5, მაშინ ჰიპოტენუზა არის 5√2. 3) სამკუთხედის შუა ხაზი უდრის ნახევარს პარალელური მხარე(ნახ. 15 თან). მაგალითად, თუ სამკუთხედის გვერდი არის 10, მაშინ მის პარალელურად შუა ხაზი არის 5. 4) მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან დახატული მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს (ნახ. 9c): მ ს= s/2. 5) სამკუთხედის შუალედები, რომლებიც იკვეთება ერთ წერტილში, იყოფა ამ წერტილზე 2:1 თანაფარდობით. ანუ, სეგმენტი წვეროდან მედიანების გადაკვეთის წერტილამდე ორჯერ დიდია, ვიდრე სეგმენტი მედიანების გადაკვეთის წერტილიდან სამკუთხედის გვერდისკენ (ნახ. 9c). 6) მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის შუა არის შემოხაზული წრის ცენტრი (სურ. 15). დ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

თანასწორობის პირველი ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე უდრის ორ გვერდს და კუთხე მათ შორის მეორე სამკუთხედის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თანასწორობის მეორე ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის გვერდი და მისი მიმდებარე კუთხეები ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მისი მიმდებარე კუთხეების, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

თანასწორობის მესამე ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

სამკუთხედის უტოლობა.

ნებისმიერ სამკუთხედში თითოეული გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე.

Პითაგორას თეორემა.

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს:

გ 2 = ა 2 + ბ 2 .

სამკუთხედის ფართობი.

1) სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და ამ გვერდის სიმაღლეზე:

აჰ
ს = ——
2

2) სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ნებისმიერი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს:

1
ს = — AB · A.C. · ცოდვა ა
2

წრეზე შემოხაზული სამკუთხედი.

წრეს უწოდებენ სამკუთხედში ჩაწერილს, თუ ის ეხება მის ყველა მხარეს (სურ. 16 ა).

წრეში ჩაწერილი სამკუთხედი.

ამბობენ, რომ სამკუთხედი იწერება წრეში, თუ ის ეხება მას ყველა წვეროსთან (ნახ. 17). ა).

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის კოტანგენსი, კოსინუსი, ტანგენსი (სურ. 18).

სინუსიმწვავე კუთხე x საწინააღმდეგოფეხი ჰიპოტენუზამდე.
იგი შემდეგნაირად აღინიშნება: ცოდვაx.

კოსინუსიმწვავე კუთხე xმართკუთხა სამკუთხედის თანაფარდობაა მიმდებარეფეხი ჰიპოტენუზამდე.
აღინიშნება შემდეგნაირად: cos x.

ტანგენტიმწვავე კუთხე x- ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.
იგი ინიშნება შემდეგნაირად: ტგx.

კოტანგენსიმწვავე კუთხე x- ეს არის დამოკიდებულება მიმდებარე ფეხისაპირისპიროზე.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctgx.

წესები:

ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს x, უდრის ჰიპოტენუზისა და ცოდვის ნამრავლს x:

b = cცოდვა x

ფეხი კუთხის მიმდებარედ x, უდრის ჰიპოტენუზისა და cos-ის ნამრავლს x:

a = c cos x

ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს x, უდრის მეორე ფეხის ნამრავლს tg-ით x:

b = aტგ x

ფეხი კუთხის მიმდებარედ x, უდრის მეორე ფეხის ნამრავლს ctg-ით x:

a = b· ctg x.

ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის x:

ცოდვა (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = ცოდვა x