ექსპონენციალური უტოლობა განტოლებებისა და უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა. ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა: ძირითადი მეთოდები

სადაც $b$-ის როლი შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი, ან შესაძლოა რაღაც უფრო მკაცრი. მაგალითები? Დიახ, თუ შეიძლება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ ოთხკუთხედი ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1) ^(1-x)) \lt 0.01;\ quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვფიქრობ, მნიშვნელობა გასაგებია: არის $((a)^(x))$ ექსპონენციალური ფუნქცია, მას ადარებენ რაღაცას და შემდეგ ითხოვენ $x$-ის პოვნას. განსაკუთრებით კლინიკურ შემთხვევებში, $x$ ცვლადის ნაცვლად, მათ შეუძლიათ დააყენონ რაიმე ფუნქცია $f\left(x \right)$ და ამით ოდნავ გაართულონ უტოლობა. :)

რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში, უთანასწორობა შეიძლება უფრო მძიმედ გამოიყურებოდეს. Მაგალითად:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

ან თუნდაც ეს:

ზოგადად, ასეთი უტოლობების სირთულე შეიძლება ძალიან განსხვავებული იყოს, მაგრამ საბოლოოდ ისინი მაინც მიდიან მარტივ კონსტრუქციამდე $((a)^(x)) \gt b$. და ჩვენ როგორმე გავუმკლავდებით ასეთ დიზაინს (განსაკუთრებით კლინიკურ შემთხვევებში, როცა არაფერი მოგვდის თავში, ლოგარითმები დაგვეხმარება). ამიტომ, ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვაგვაროთ ასეთი მარტივი კონსტრუქციები.

უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა

მოდით შევხედოთ რაღაც ძალიან მარტივს. მაგალითად, აქ არის:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

ცხადია, მარჯვენა რიცხვი შეიძლება გადაიწეროს ორის ხარისხად: $4=((2)^(2))$. ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა გადაწერილია ძალიან მოსახერხებელი ფორმით:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

ახლა კი ხელები ქავილით „გადაკვეთას“ გრადუსების ფუძეებში დგანან, რათა მიიღოთ პასუხი $x \gt 2$. მაგრამ სანამ რაიმეს გადავკვეთთ, გავიხსენოთ ორის ძალა:

\[((2)^(1))=2;\ quad ((2)^(2))=4;\ quad ((2)^(3))=8;\ quad ((2)^( 4))=16;...\]

როგორც ხედავთ, რაც უფრო დიდია რიცხვი მაჩვენებელში, მით უფრო დიდია გამომავალი რიცხვი. "მადლობა, კაპ!" ერთ-ერთი სტუდენტი წამოიძახებს. სხვანაირად ხდება? სამწუხაროდ, ეს ხდება. Მაგალითად:

\[((\left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ მარჯვნივ)) ^(2)) =\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

აქაც ყველაფერი ლოგიკურია: რაც უფრო დიდია ხარისხი, მით მეტჯერ მრავლდება რიცხვი 0,5 თავის თავზე (ანუ იყოფა ნახევრად). ამრიგად, რიცხვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა მცირდება, ხოლო პირველ და მეორე მიმდევრებს შორის განსხვავება მხოლოდ ბაზაშია:

• თუ $a \gt 1$ გრადუსის ფუძე, მაშინ $n$ მაჩვენებლის ზრდასთან ერთად გაიზრდება რიცხვი $((a)^(n))$;
• პირიქით, თუ $0 \lt a \lt 1$, მაშინ $n$ მაჩვენებლის ზრდასთან ერთად $((a)^(n))$ რიცხვი შემცირდება.

ამ ფაქტების შეჯამებით, ჩვენ ვიღებთ ყველაზე მნიშვნელოვან განცხადებას, რომელსაც ეფუძნება მთელი გადაწყვეტილება. ექსპონენციური უტოლობები:

თუ $a \gt 1$, მაშინ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ უტოლდება $x \gt n$-ის უტოლობას. თუ $0 \lt a \lt 1$, მაშინ უტოლობა $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ უდრის $x \lt n$ უტოლობას.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ბაზა ერთზე მეტია, შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ იგი - უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება. და თუ საფუძველი ერთზე ნაკლებია, მაშინ ის ასევე შეიძლება მოიხსნას, მაგრამ უთანასწორობის ნიშანიც უნდა შეიცვალოს.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ არ განვიხილავთ $a=1$ და $a\le 0$ ვარიანტებს. რადგან ამ შემთხვევებში არის გაურკვევლობა. დავუშვათ, როგორ უნდა ამოხსნათ $((1)^(x)) \gt 3$ ფორმის უტოლობა? ერთი ნებისმიერ ძალას კვლავ მისცემს ერთს - ჩვენ არასდროს მივიღებთ სამს ან მეტს. იმათ. არ არის გადაწყვეტილებები.

ნეგატიური ბაზებით, ეს კიდევ უფრო საინტერესოა. განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი უტოლობა:

\[((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(x)) \gt 4\]

ერთი შეხედვით ყველაფერი მარტივია:

სწორად? Მაგრამ არა! საკმარისია $x$-ის ნაცვლად რამდენიმე ლუწი და რამდენიმე უცნაური რიცხვის ჩანაცვლება, რათა დარწმუნდეთ, რომ ამოხსნა არასწორია. Შეხედე:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \მარჯვნივ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(7))=-128 \lt 4. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება. მაგრამ ჯერ კიდევ არსებობს წილადი გრადუსი და სხვა კალის. მაგალითად, როგორ შეუკვეთებდით დათვლას $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (მინუს ორი გაზრდილი შვიდის ძირამდე)? Არანაირად!

ამიტომ, განსაზღვრულობისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ექსპონენციალურ უტოლობაში (და განტოლებაში, სხვათა შორის, ასევე) $1\ne a \gt 0$. შემდეგ კი ყველაფერი ძალიან მარტივად წყდება:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt n\ოთხი \მარცხნივ(a \gt 1 \მარჯვნივ), \\ & x \lt n\ოთხი \მარცხნივ(0 \lt a \lt 1 \მარჯვნივ). \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ზოგადად, კიდევ ერთხელ დაიმახსოვრეთ მთავარი წესი: თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში ფუძე ერთზე მეტია, შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ იგი; და თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მისი ამოღებაც შესაძლებელია, მაგრამ ეს შეცვლის უთანასწორობის ნიშანს.

გადაწყვეტის მაგალითები

ასე რომ, განიხილეთ რამდენიმე მარტივი ექსპონენციალური უტოლობა:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ძირითადი ამოცანა ყველა შემთხვევაში ერთი და იგივეა: უტოლობების შემცირება უმარტივეს ფორმამდე $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. ეს არის ის, რასაც ახლა ჩვენ გავაკეთებთ თითოეულ უტოლობასთან დაკავშირებით და ამავე დროს გავიმეორებთ ძალაუფლების თვისებებს და ექსპონენციალურ ფუნქციას. ასე რომ წავიდეთ!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

რა შეიძლება გაკეთდეს აქ? ისე, მარცხნივ უკვე გვაქვს დემონსტრაციული გამოთქმა - არაფერი უნდა შეიცვალოს. მაგრამ მარჯვნივ არის რაღაც სისულელე: წილადი და თუნდაც ფესვი მნიშვნელში!

ამასთან, გახსოვდეთ წილადებთან და ხარისხებთან მუშაობის წესები:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

Რას ნიშნავს? პირველ რიგში, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად მოვიშოროთ წილადი მის უარყოფით მაჩვენებლად გადაქცევით. და მეორეც, რადგან მნიშვნელი არის ფესვი, კარგი იქნებოდა მისი გადაქცევა ხარისხად - ამჯერად წილადის მაჩვენებლით.

მოდით გამოვიყენოთ ეს მოქმედებები თანმიმდევრულად უტოლობის მარჯვენა მხარეს და ვნახოთ რა მოხდება:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \მარჯვნივ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

არ დაგავიწყდეთ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ემატება ამ გრადუსების მაჩვენებლები. და ზოგადად, ექსპონენციალურ განტოლებებთან და უტოლობასთან მუშაობისას, აბსოლუტურად აუცილებელია ვიცოდეთ ძალებთან მუშაობის უმარტივესი წესები მაინც:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\ left(((a)^(x)) \მარჯვნივ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

სინამდვილეში, ჩვენ მხოლოდ ბოლო წესი გამოვიყენეთ. ამიტომ, ჩვენი თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\მარჯვენა ისარი ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ ფრაკი (1) (3)))\]

ახლა ჩვენ ვაშორებთ ძირს ძირს. ვინაიდან 2 > 1, უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \მარჯვნივ]. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! მთავარი სირთულე საერთოდ არ არის ექსპონენციალურ ფუნქციაში, არამედ ორიგინალური გამოხატვის კომპეტენტურ ტრანსფორმაციაში: საჭიროა ფრთხილად და რაც შეიძლება სწრაფად მიიყვანოთ იგი უმარტივეს ფორმამდე.

განვიხილოთ მეორე უტოლობა:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

კარგად კარგად. აქ ველოდებით ათობითი წილადებს. როგორც არაერთხელ მითქვამს, ნებისმიერ გამონათქვამში, რომელსაც აქვს ძალა, უნდა მოიცილოთ ათობითი წილადები - ხშირად ეს არის ერთადერთი გზა სწრაფი და მარტივი გამოსავლის სანახავად. აი, რას მოვიშორებთ:

\[\begin(გასწორება) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ მარჯვენა))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(10) \მარჯვნივ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენს წინაშე ისევ უმარტივესი უტოლობაა და თუნდაც 1/10 ფუძით, ე.ი. ერთზე ნაკლები. კარგად, ჩვენ ვხსნით ფუძეებს, პარალელურად ვცვლით ნიშანს "ნაკლებად" "უფრო დიდზე" და ვიღებთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხი არის ზუსტად კომპლექტი და არავითარ შემთხვევაში არ არის $x \lt -1$ ფორმის კონსტრუქცია. რადგან ფორმალურად ასეთი კონსტრუქცია საერთოდ არ არის სიმრავლე, არამედ უტოლობა $x$ ცვლადთან მიმართებაში. დიახ, ეს ძალიან მარტივია, მაგრამ ეს არ არის პასუხი!

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. ეს უთანასწორობა შეიძლება სხვა გზით გადაიჭრას - ორივე ნაწილის ერთზე მეტი ფუძის სიმძლავრემდე შემცირებით. Შეხედე:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(((10)^(-1)) \მარჯვნივ))^(1-x)) \ lt ((\ მარცხნივ(((10)^(-1)) \მარჯვნივ))^(2))\მარჯვენა ისარი ((10)^(-1\cdot \left(1-x \მარჯვნივ)) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ ჩვენ კვლავ ვიღებთ ექსპონენციალურ უტოლობას, მაგრამ ფუძით 10 > 1. და ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გადაკვეთოთ ათეული - უტოლობის ნიშანი არ შეიცვლება. ჩვენ ვიღებთ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, პასუხი ზუსტად იგივეა. ამავდროულად, ჩვენ დავიცვათ თავი ნიშნის შეცვლის აუცილებლობისგან და, ზოგადად, გვახსოვს იქ რამდენიმე წესი. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

თუმცა, ამან არ შეგაშინოთ. რაც არ უნდა იყოს ინდიკატორებში, თავად უთანასწორობის გადაჭრის ტექნოლოგია იგივე რჩება. ამიტომ, პირველ რიგში აღვნიშნავთ, რომ 16 = 2 4 . მოდით გადავიწეროთ საწყისი უტოლობა ამ ფაქტის გათვალისწინებით:

\[\begin(გასწორება) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ჰოო! მივიღეთ ჩვეულებრივი კვადრატული უტოლობა! ნიშანი არსად შეცვლილა, რადგან ფუძე არის დუი - რიცხვი ერთზე მეტი.

ნულების ფუნქცია რიცხვთა წრფეზე

ჩვენ ვაწყობთ $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ ფუნქციის ნიშნებს - ცხადია, მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, ასე რომ იქნება "პლუსები" ”გვერდებზე. ჩვენ გვაინტერესებს რეგიონი, სადაც ფუნქცია ნულზე ნაკლებია, ე.ი. $x\in \left(2;5 \მარჯვნივ)$ არის პასუხი თავდაპირველ პრობლემაზე.

და ბოლოს, განიხილეთ კიდევ ერთი უთანასწორობა:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

ისევ ვხედავთ ექსპონენციალურ ფუნქციას ფუძეში ათწილადი წილადით. გადავიყვანოთ ეს წილადი საერთო წილადად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\მარჯვენა ისარი \\ & \მარჯვენა ისარი ((0 ,2)^(1+((x)^(2)))=((\მარცხნივ(((5)^(-1)) \მარჯვნივ))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \მარჯვნივ)))\ბოლო(გასწორება)\]

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვისარგებლეთ ადრე გაკეთებული შენიშვნით - დავამცირეთ ბაზა 5\u003e 1 რიცხვამდე, რათა გავამარტივოთ ჩვენი შემდგომი გადაწყვეტილება. იგივე გავაკეთოთ მარჯვენა მხარეს:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

მოდით გადავიწეროთ საწყისი უტოლობა ორივე გარდაქმნის გათვალისწინებით:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\მარჯვენა arrow ((5)^(-1\cdot \მარცხნივ(1+ ((x)^(2)) \მარჯვნივ)))\ge ((5)^(-2))\]

ორივე მხრიდან ფუძეები ერთნაირი და ერთზე დიდია. სხვა ტერმინები არ არის მარჯვნივ და მარცხნივ, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ „გადაკვეთეთ“ ხუთეულები და მივიღებთ ძალიან მარტივ გამოთქმას:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\ოთხი \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

სწორედ აქ უნდა იყოთ ფრთხილად. ბევრ სტუდენტს მოსწონს უბრალოდ აიღოს უტოლობის ორივე მხარის კვადრატული ფესვი და დაწეროს რაღაც $x\le 1\მარჯვენა arrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. არასოდეს არ უნდა გააკეთოთ ეს, რადგან ზუსტი კვადრატის ფესვი არის მოდული და არავითარ შემთხვევაში ორიგინალური ცვლადი:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\]

თუმცა, მოდულებთან მუშაობა არ არის ყველაზე სასიამოვნო გამოცდილება, არა? ასე რომ, ჩვენ არ ვიმუშავებთ. ამის ნაცვლად, ჩვენ უბრალოდ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხნივ და ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (x+1 \მარჯვნივ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\ quad ((x)_(2)) =-1; \\\ბოლო (გასწორება)$

კვლავ აღვნიშნავთ მიღებულ წერტილებს რიცხვით წრფეზე და ვუყურებთ ნიშნებს:

ვინაიდან ჩვენ ვხსნიდით არამკაცრ უტოლობას, გრაფიკის ყველა წერტილი დაჩრდილულია. ამიტომ, პასუხი იქნება: $x\in \left[ -1;1 \right]$ არ არის ინტერვალი, არამედ სეგმენტი.

ზოგადად, მინდა აღვნიშნო, რომ ექსპონენციურ უტოლობაში არაფერია რთული. ყველა ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა, რომელიც ჩვენ დღეს განვახორციელეთ, იშლება მარტივ ალგორითმზე:

• იპოვნეთ საფუძველი, რომელზედაც დავამცირებთ ყველა გრადუსს;
• ფრთხილად შეასრულეთ გარდაქმნები $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ფორმის უტოლობის მისაღებად. რა თქმა უნდა, $x$ და $n$ ცვლადების ნაცვლად შეიძლება იყოს ბევრად უფრო რთული ფუნქციები, მაგრამ ეს არ ცვლის მნიშვნელობას;
• გადაკვეთეთ გრადუსების საფუძვლები. ამ შემთხვევაში, უტოლობის ნიშანი შეიძლება შეიცვალოს, თუ ბაზა $a \lt 1$.

სინამდვილეში, ეს არის უნივერსალური ალგორითმი ყველა ასეთი უტოლობის გადასაჭრელად. და ყველაფერი დანარჩენი, რასაც გეტყვით ამ თემაზე, არის მხოლოდ კონკრეტული ხრიკები და ხრიკები ტრანსფორმაციის გამარტივებისა და დაჩქარების მიზნით. აქ არის ერთ-ერთი ხრიკი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ. :)

რაციონალიზაციის მეთოდი

განვიხილოთ უტოლობების კიდევ ერთი ჯგუფი:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\ტექსტი( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\ left(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ left(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \მარჯვნივ))^(16-x)); \\ & ((\ მარცხნივ(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, რა არის მათში ასეთი განსაკუთრებული? ისინი ასევე მსუბუქი წონაა. თუმცა, გაჩერდი! პი ამაღლებულია ძალამდე? რა სისულელეა?

და როგორ გავზარდოთ რიცხვი $2\sqrt(3)-3$ სიმძლავრემდე? ან $3-2\sqrt(2)$? პრობლემების შემდგენელებმა აშკარად ზედმეტად დალიეს „კუნელი“ სამუშაოზე დაჯდომამდე. :)

სინამდვილეში, ამ ამოცანებში ცუდი არაფერია. შეგახსენებთ: ექსპონენციალური ფუნქცია არის $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება, სადაც საფუძველი $a$ არის ნებისმიერი. დადებითი რიცხვი, ერთეულის გარდა. რიცხვი π დადებითია - ეს უკვე ვიცით. რიცხვები $2\sqrt(3)-3$ და $3-2\sqrt(2)$ ასევე დადებითია - ამის დანახვა ადვილია თუ შევადარებთ მათ ნულს.

გამოდის, რომ ყველა ეს "საშინელი" უთანასწორობა არაფრით განსხვავდება ზემოთ განხილული უბრალოებისგან? და ისინიც ასე აკეთებენ? დიახ, აბსოლუტურად მართალია. თუმცა, მათი მაგალითით მინდა განვიხილო ერთი ხრიკი, რომელიც დიდ დროს ზოგავს დამოუკიდებელ მუშაობასა და გამოცდებზე. ჩვენ ვისაუბრებთ რაციონალიზაციის მეთოდზე. ასე რომ ყურადღება:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური უტოლობა უდრის $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \" მარჯვნივ) \gt 0 $.

ეს არის მთელი მეთოდი. :) გეგონა, რომ რაიმე სახის შემდეგი თამაში იქნებოდა? მსგავსი არაფერი! მაგრამ ეს მარტივი ფაქტი, რომელიც სიტყვასიტყვით ერთ სტრიქონშია დაწერილი, მნიშვნელოვნად გაამარტივებს ჩვენს მუშაობას. Შეხედე:

\[\begin(მატრიცა) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \ქვემოთ \\ \მარცხნივ(x+7-\მარცხნივ(((x)^(2)) -3x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end (მატრიცა)\]

აქ აღარ არის ექსპონენციალური ფუნქციები! და თქვენ არ უნდა გახსოვდეთ, ნიშანი იცვლება თუ არა. მაგრამ ჩნდება ახალი პრობლემა: რა ვუყოთ გაფუჭებულ მულტიპლიკატორს \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? ჩვენ არ ვიცით რა არის pi-ს ზუსტი მნიშვნელობა. თუმცა, კაპიტანი აშკარად მიანიშნებს:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\დაახლოებით 3,14... \gt 3\მარჯვენა arrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

ზოგადად, π-ის ზუსტი მნიშვნელობა დიდად არ გვაწუხებს - ჩვენთვის მხოლოდ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ შემთხვევაში $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, ტ .ე. დადებითი მუდმივია და შეგვიძლია უტოლობის ორივე მხარე გავყოთ მასზე:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\ოთხი \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გარკვეულ მომენტში უნდა გავყოთ მინუს ერთზე და უტოლობის ნიშანი შეიცვალა. ბოლოს გავაფართოვე კვადრატული ტრინომიალი ვიეტას თეორემის მიხედვით - აშკარაა ფესვები $((x)_(1))=5$ და $((x)_(2))=- 1$. შემდეგ ყველაფერი წყდება ინტერვალების კლასიკური მეთოდით:

ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრია. ჩვენ გვაინტერესებს არეალი უარყოფითი მნიშვნელობებით, ამიტომ პასუხი არის $x\in \left(-1;5 \right)$. ეგაა გამოსავალი. :)

გადავიდეთ შემდეგ დავალებაზე:

\[((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

აქ ყველაფერი მარტივია, რადგან მარჯვნივ არის ერთეული. და ჩვენ გვახსოვს, რომ ერთეული არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ნულის ხარისხზე. მაშინაც კი, თუ ეს რიცხვი არის ირაციონალური გამოხატულება, რომელიც დგას მარცხნივ ბაზაზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\ მარცხნივ(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(0)); \\\ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, მოდით რაციონალიზაცია:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\ ]

რჩება მხოლოდ ნიშნებთან გამკლავება. მულტიპლიკატორი $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ არ შეიცავს ცვლადს $x$ - ის უბრალოდ მუდმივია და ჩვენ უნდა გავარკვიოთ მისი ნიშანი. ამისათვის გაითვალისწინეთ შემდეგი:

\[\begin(მატრიცა) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \ქვემოთ \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \მარჯვნივ)=0 \\\ბოლო(მატრიცა)\]

გამოდის, რომ მეორე ფაქტორი არის არა მხოლოდ მუდმივი, არამედ უარყოფითი მუდმივი! და მასზე გაყოფისას, საწყისი უთანასწორობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ მარცხნივ (x-2 \მარჯვნივ) \gt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ყველაფერი საკმაოდ აშკარა ხდება. Ფესვები კვადრატული ტრინომიალიმარჯვნივ: $((x)_(1))=0$ და $((x)_(2))=2$. ჩვენ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით ხაზზე და ვუყურებთ $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ფუნქციის ნიშნებს:

ჩვენ გვაინტერესებს პლუსის ნიშნით მონიშნული ინტერვალები. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა:

გადავიდეთ შემდეგ მაგალითზე:

\[((\left(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ მარჯვნივ))^(16-x))\]

ისე, აქ ყველაფერი საკმაოდ აშკარაა: ფუძეები ერთი და იგივე რაოდენობის ძალაა. ამიტომ ყველაფერს მოკლედ დავწერ:

\[\begin(მატრიცა) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ქვემოთ \\ ((\ მარცხნივ(((3)^(-1)) \მარჯვნივ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ მარცხნივ(((3)^(-2)) \მარჯვნივ))^(16-x)) \\\ბოლო(მატრიცა)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \მარჯვნივ)) \gt ((3)^(-2\cdot \ მარცხენა (16-x\მარჯვნივ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\ოთხი \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \მარცხნივ(x+8 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (x-4 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გარდაქმნების პროცესში უნდა გაგვემრავლებინა უარყოფით რიცხვზე, ამიტომ შეიცვალა უტოლობის ნიშანი. ბოლოს მე კვლავ გამოვიყენე ვიეტას თეორემა კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის. შედეგად, პასუხი იქნება შემდეგი: $x\in \left(-8;4 \right)$ - მსურველებს შეუძლიათ ამის გადამოწმება რიცხვითი წრფის დახატვით, წერტილების მონიშვნისა და ნიშნების დათვლით. ამასობაში ჩვენ გადავალთ ბოლო უტოლობაზე ჩვენი „ნაკრებიდან“:

\[((\ მარცხნივ(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

როგორც ხედავთ, ბაზა ისევ ირაციონალური რიცხვია, ერთეული კი ისევ მარჯვნივ. ამიტომ, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ექსპონენციალურ უტოლობას შემდეგნაირად:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ მარჯვენა))^(0))\]

მოდით რაციონალიზაცია:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end (გასწორება)\ ]

თუმცა, აშკარაა, რომ $1-\sqrt(2) \lt 0$, ვინაიდან $\sqrt(2)\დაახლოებით 1.4... \gt 1$. მაშასადამე, მეორე ფაქტორი კვლავ უარყოფითი მუდმივია, რომლითაც შეიძლება დაიყოს უტოლობის ორივე ნაწილი:

\[\begin(მატრიცა) \left(3x-((x)^(2))-0 \მარჯვნივ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ქვემოთ. \\ბოლო(მატრიცა)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\ quad \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ მარცხნივ (x-3 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

სხვა ბაზაზე გადასვლა

ექსპონენციური უტოლობების ამოხსნის ცალკე პრობლემაა „სწორი“ საფუძვლის ძიება. სამწუხაროდ, ამოცანის ერთი შეხედვით, ყოველთვის შორს არის აშკარად რა უნდა იქნას მიღებული, როგორც საფუძველი და რა უნდა გააკეთოს, როგორც ამ საფუძვლის ხარისხი.

მაგრამ არ ინერვიულოთ: აქ არ არის ჯადოსნური და "საიდუმლო" ტექნოლოგიები. მათემატიკაში ნებისმიერი უნარი, რომლის ალგორითმიზაცია შეუძლებელია, ადვილად შეიძლება განვითარდეს პრაქტიკით. მაგრამ ამისთვის მოგიწევთ სხვადასხვა დონის სირთულის პრობლემების გადაჭრა. მაგალითად, ესენია:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ მარცხნივ(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\ მარცხნივ(0,16 \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\ left(6,25 \მარჯვნივ))^(x))\ge 1; \\ & ((\ left(\frac(27)(\sqrt(3)) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ დასასრული (გასწორება)\]

რთული? საშინელი? დიახ, ეს უფრო ადვილია, ვიდრე ქათამი ასფალტზე! Მოდი ვცადოთ. პირველი უტოლობა:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ხო, მგონი აქ ყველაფერი გასაგებია:

ჩვენ ხელახლა ვწერთ თავდაპირველ უტოლობას, ვამცირებთ ყველაფერს ფუძემდე "ორი":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ) \lt 0\]

დიახ, დიახ, თქვენ სწორად გაიგეთ: მე უბრალოდ გამოვიყენე ზემოთ აღწერილი რაციონალიზაციის მეთოდი. ახლა ჩვენ უნდა ვიმუშაოთ ფრთხილად: მივიღეთ წილადი-რაციონალური უტოლობა (ეს არის ის, რომელსაც აქვს ცვლადი მნიშვნელში), ასე რომ, სანამ რაიმეს ნულთან გაიგივებთ, თქვენ უნდა შეამციროთ ყველაფერი საერთო მნიშვნელამდე და თავი დააღწიოთ მუდმივ ფაქტორს. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ახლა ჩვენ ვიყენებთ სტანდარტული ინტერვალის მეთოდს. მრიცხველის ნულები: $x=\pm 4$. მნიშვნელი ნულამდე მიდის მხოლოდ მაშინ, როდესაც $x=0$. საერთო ჯამში, არის სამი წერტილი, რომელიც უნდა იყოს მონიშნული ციფრულ ხაზზე (ყველა წერტილი ამოღებულია, რადგან უთანასწორობის ნიშანი მკაცრია). ჩვენ ვიღებთ:

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, გამოჩეკვა აღნიშნავს ინტერვალებს, რომლებშიც მარცხნივ გამოხატულება უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს. ამიტომ, ორი ინტერვალი ერთდროულად გადავა საბოლოო პასუხში:

ინტერვალების ბოლოები არ შედის პასუხში, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრი იყო. ამ პასუხის შემდგომი დადასტურება არ არის საჭირო. ამ მხრივ, ექსპონენციური უტოლობები გაცილებით მარტივია, ვიდრე ლოგარითმული: არ არის DPV, არანაირი შეზღუდვა და ა.შ.

გადავიდეთ შემდეგ დავალებაზე:

\[((\ მარცხენა (\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

აქაც პრობლემები არ არის, რადგან ჩვენ უკვე ვიცით, რომ $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, ამიტომ მთელი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(((3)^(-1)) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\მარჯვენა ისარი ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\მარცხენა(-2\მარჯვნივ)\მარჯვნივ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მესამე სტრიქონში გადავწყვიტე დრო არ დავკარგო წვრილმანებზე და მაშინვე გავყო ყველაფერი (−2-ზე). მინული შევიდა პირველ ფრჩხილში (ახლა ყველგან არის პლიუსები) და დუუსი შემცირდა მუდმივი მამრავლით. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა გააკეთოთ დამოუკიდებელი და საკონტროლო სამუშაოსთვის რეალური გამოთვლების გაკეთებისას - არ გჭირდებათ ყოველი მოქმედებისა და ტრანსფორმაციის პირდაპირ დახატვა.

შემდეგი, ინტერვალების ნაცნობი მეთოდი მოქმედებს. მრიცხველის ნულები: მაგრამ არ არსებობს. რადგან დისკრიმინანტი უარყოფითი იქნება. თავის მხრივ, მნიშვნელი დაყენებულია ნულზე მხოლოდ მაშინ, როდესაც $x=0$ - ისევე როგორც წინა დროს. კარგად, გასაგებია, რომ წილადი მიიღებს დადებით მნიშვნელობებს $x=0$-დან მარჯვნივ და უარყოფითს მარცხნივ. ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობები, საბოლოო პასუხია $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\ მარცხნივ(0,16 \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\ left(6,25 \მარჯვნივ))^(x))\ge 1\]

და რა უნდა გავაკეთოთ ათობითი წილადებით ექსპონენციალურ უტოლობებში? ეს ასეა: მოიშორეთ ისინი ჩვეულებრივად გადაქცევით. აქ ჩვენ ვთარგმნით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(0,16 \მარჯვნივ))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(6,25 \მარჯვნივ))^(x))=((\მარცხნივ(\ frac(25)(4) \მარჯვნივ))^(x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, რა მივიღეთ ექსპონენციალური ფუნქციების საფუძვლებში? და მივიღეთ ორი ურთიერთსაპასუხო ნომერი:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ მარჯვნივ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-1)) \მარჯვნივ))^(x))=((\ მარცხენა (\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-x))\]

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\begin(გასწორება) & ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x+\მარცხნივ(-x \მარჯვნივ)))\ge ((\ left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0)); \\ & ((\ left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0) ). \\\ბოლო (გასწორება)\]

რა თქმა უნდა, ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება, რაც მოხდა მეორე ხაზში. გარდა ამისა, ჩვენ წარმოვადგინეთ ერთეული მარჯვნივ, ასევე, როგორც სიმძლავრე 4/25 ბაზაში. რჩება მხოლოდ რაციონალიზაცია:

\[((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0)) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+1-0 \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \მარჯვნივ)\ge 0\]

გაითვალისწინეთ, რომ $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ე.ი. მეორე ფაქტორი უარყოფითი მუდმივია და მასზე გაყოფისას უთანასწორობის ნიშანი შეიცვლება:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+1-0\le 0\მარჯვენა ისარი x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \მარჯვნივ]. \\\ბოლო (გასწორება)\]

დაბოლოს, ბოლო უტოლობა მიმდინარე "ნაკრებიდან":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

პრინციპში, ამოხსნის იდეა აქაც ნათელია: ყველა ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლებიც ქმნიან უტოლობას, უნდა შემცირდეს ფუძემდე "3". მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა შეაერთოთ ფესვები და ხარისხი:

\[\begin(გასწორება) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\ოთხი 81=((3)^(4)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამ ფაქტების გათვალისწინებით, თავდაპირველი უთანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ((3)^(\frac(8)(3))) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((\ მარცხნივ((3) ^(2)) \მარჯვნივ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყურადღება მიაქციეთ გამოთვლების მე-2 და მე-3 სტრიქონებს: სანამ რაიმეს გააკეთებთ უტოლობით, აუცილებლად მიიტანეთ ის იმ ფორმამდე, რაზეც გაკვეთილის თავიდანვე ვისაუბრეთ: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. სანამ თქვენ გაქვთ მარცხენა ან მარჯვენა მარცხენა მულტიპლიკატორები, დამატებითი მუდმივები და ა.შ. არ შეიძლება მოხდეს საფუძვლების რაციონალიზაცია და „გადაკვეთა“.! უამრავი დავალება შესრულდა არასწორად ამ მარტივი ფაქტის გაუგებრობის გამო. მე თვითონ გამუდმებით ვაკვირდები ამ პრობლემას ჩემს სტუდენტებთან, როდესაც ახლა ვიწყებთ ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების ანალიზს.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. მოდით ვცადოთ ამჯერად რაციონალიზაციის გარეშე. შეგახსენებთ: ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, ამიტომ სამეულების უბრალოდ გადაკვეთა შესაძლებელია - უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება. ჩვენ ვიღებთ:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის. საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;3 \მარჯვნივ)$.

სტაბილური გამოხატვის მონიშვნა და ცვლადის ჩანაცვლება

დასასრულს, მე ვთავაზობ კიდევ ოთხი ექსპონენციალური უტოლობის ამოხსნას, რომლებიც უკვე საკმაოდ რთულია მოუმზადებელი სტუდენტებისთვის. მათთან გამკლავებისთვის, თქვენ უნდა გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები. კერძოდ, საერთო ფაქტორების ფრჩხილებიდან ამოღება.

მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ვისწავლოთ იმის გაგება: კონკრეტულად რა შეიძლება იყოს ფრჩხილებში. ასეთ გამონათქვამს ეწოდება სტაბილური - ის შეიძლება აღინიშნოს ახალი ცვლადით და ამით თავი დაეღწია ექსპონენციალურ ფუნქციას. ასე რომ, მოდით შევხედოთ ამოცანებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ მარცხნივ(0,5 \მარჯვნივ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\ბოლო(გასწორება)\]

დავიწყოთ პირველივე ხაზით. ეს უტოლობა ცალკე დავწეროთ:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

გაითვალისწინეთ, რომ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, ამიტომ მარჯვენა მხარეს შეუძლია გადაწერე:

გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობაში $((5)^(x+1))$-ის გარდა სხვა ექსპონენციალური ფუნქციები არ არის. და ზოგადად, ცვლადი $x$ სხვაგან არ გვხვდება, ამიტომ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი: $((5)^(x+1))=t$. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვუბრუნდებით საწყის ცვლადს ($t=((5)^(x+1))$), და ამავე დროს გვახსოვს, რომ 1=5 0 . Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! პასუხი: $x\in \left[ -1;+\infty \მარჯვნივ)$. გადავიდეთ მეორე უტოლობაზე:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

აქ ყველაფერი იგივეა. გაითვალისწინეთ, რომ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . შემდეგ მარცხენა მხარე შეიძლება გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \მარცხნივ| ((3)^(x))=t \მარჯვნივ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\მარჯვენა ისარი x\in \მარცხნივ[ 2;+\infty \მარჯვნივ). \\\ბოლო (გასწორება)\]

დაახლოებით ასე უნდა მიიღოთ გადაწყვეტილება რეალურ კონტროლზე და დამოუკიდებელ მუშაობაზე.

აბა, ვცადოთ რაღაც უფრო რთული. მაგალითად, აქ არის უტოლობა:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

რა პრობლემაა აქ? უპირველეს ყოვლისა, მარცხნივ ექსპონენციალური ფუნქციების საფუძვლები განსხვავებულია: 5 და 25. თუმცა, 25 \u003d 5 2, ასე რომ, პირველი წევრი შეიძლება გარდაიქმნას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((25)^(x+1,5))=((\მარცხნივ(((5)^(2)) \მარჯვნივ))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end (გასწორება )\]

როგორც ხედავთ, თავიდან ყველაფერი მივიღეთ იგივე საფუძველი, და შემდეგ შენიშნა, რომ პირველი წევრი ადვილად მცირდება მეორეზე - საკმარისია მაჩვენებლის გაფართოება. ახლა ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი: $((5)^(2x+2))=t$ და მთელი უტოლობა გადაიწერება ასე:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კიდევ ერთხელ, პრობლემა არ არის! საბოლოო პასუხი: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. დღევანდელ გაკვეთილზე გადავდივართ საბოლოო უთანასწორობაზე:

\[((\მარცხნივ(0,5 \მარჯვნივ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ, რა თქმა უნდა, არის ათობითი წილადი პირველი ხარისხის ბაზაში. აუცილებელია მისგან თავის დაღწევა და ამავდროულად ყველა ექსპონენციალური ფუნქციის ერთსა და იმავე ბაზაზე მიტანა - რიცხვი "2":

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(0,5 \მარჯვნივ))^(-4x- 8))=((\მარცხნივ(((2)^(-1)) \მარჯვნივ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\მარჯვენა ისარი ((16)^(x+1,5))=((\ მარცხნივ(((2)^(4)) \მარჯვნივ))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\ბოლო(გასწორება)\]

მშვენიერია, ჩვენ გადავდგით პირველი ნაბიჯი - ყველაფერმა იგივე საფუძველი მიგვიყვანა. ახლა ჩვენ უნდა გამოვყოთ სტაბილური გამოხატულება. გაითვალისწინეთ, რომ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. თუ შემოვიყვანთ ახალ ცვლადს $((2)^(4x+6))=t$, მაშინ თავდაპირველი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ბუნებრივია, შეიძლება გაჩნდეს კითხვა: როგორ გავარკვიეთ, რომ 256 = 2 8? სამწუხაროდ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ ორის (და ამავდროულად სამისა და ხუთის) ძალა. ან 256 გაყავით 2-ზე (შეგიძლიათ გაყოთ, რადგან 256 ლუწი რიცხვია) სანამ შედეგს არ მივიღებთ. ეს დაახლოებით ასე გამოიყურება:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(გასწორება )\]

იგივე ეხება სამს (ნომრები 9, 27, 81 და 243 არის მისი ძლევამოსილება), და შვიდთან (49 და 343 ნომრები ასევე კარგი იქნება დასამახსოვრებელი). ხუთეულს ასევე აქვს "ლამაზი" ხარისხი, რომელიც უნდა იცოდე:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რა თქმა უნდა, ყველა ეს რიცხვი, სურვილის შემთხვევაში, შეიძლება აღდგეს გონებაში, უბრალოდ მათი ერთმანეთზე ზედიზედ გამრავლებით. თუმცა, როდესაც თქვენ უნდა ამოხსნათ რამდენიმე ექსპონენციალური უტოლობა, და ყოველი შემდეგი უფრო რთულია, ვიდრე წინა, მაშინ ბოლო, რაზეც გსურთ იფიქროთ, არის რამდენიმე რიცხვის სიძლიერე. და ამ თვალსაზრისით, ეს პრობლემები უფრო რთულია, ვიდრე "კლასიკური" უტოლობები, რომლებიც წყდება ინტერვალის მეთოდით.

ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ ამ თემის ათვისებაში. თუ რამე გაუგებარია, ჰკითხეთ კომენტარებში. და შევხვდებით შემდეგ გაკვეთილებში. :)

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გზები

დასაწყისისთვის, მოკლედ გავიხსენოთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რა მეთოდები ზოგადად არსებობს.

არსებობს ოთხი ძირითადი გზაგანტოლებათა სისტემების ამონახსნები:

ჩანაცვლების მეთოდი: აიღეთ რომელიმე ამ განტოლებიდან და გამოხატეთ $y$ $x$-ით, შემდეგ $y$ შეიცვლება სისტემის განტოლებაში, საიდანაც გვხვდება ცვლადი $x.$. ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოთვალეთ $y.$ ცვლადი

დამატების მეთოდი: in ამ მეთოდითაუცილებელია ერთი ან ორივე განტოლების გამრავლება ისეთ რიცხვებზე, რომ ორივეს ერთად შეკრებისას ერთ-ერთი ცვლადი „გაქრეს“.

გრაფიკული მეთოდი: სისტემის ორივე განტოლებაზეა გამოსახული საკოორდინაციო თვითმფრინავიდა იპოვნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ამ მეთოდით ვაკეთებთ ზოგიერთი გამონათქვამის ჩანაცვლებას სისტემის გასამარტივებლად და შემდეგ ვიყენებთ ზემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ მეთოდს.

ექსპონენციალური განტოლებების სისტემები

განმარტება 1

განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შედგება ექსპონენციალური განტოლებებისაგან, ეწოდება ექსპონენციალური განტოლებათა სისტემა.

ჩვენ განვიხილავთ ექსპონენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 1

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სურათი 1.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ მეთოდს ამ სისტემის გადასაჭრელად. პირველი, მოდით გამოვხატოთ $y$ პირველ განტოლებაში $x$-ით.

სურათი 2.

ჩაანაცვლეთ $y$ მეორე განტოლებაში:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

პასუხი: $(-4,6)$.

მაგალითი 2

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სურათი 3

გამოსავალი.

ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 4

განტოლებების ამოხსნის მეოთხე მეთოდს ვიყენებთ. მოდით $2^x=u\ (u >0)$ და $3^y=v\ (v >0)$, მივიღებთ:

სურათი 5

მიღებულ სისტემას ვხსნით დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

შემდეგ მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებაზე დაბრუნებისას, მე მივიღე ექსპონენციალური განტოლებების ახალი სისტემა:

სურათი 6

ჩვენ ვიღებთ:

სურათი 7

პასუხი: $(0,1)$.

ექსპონენციალური უტოლობების სისტემები

განმარტება 2

ექსპონენციალური განტოლებისგან შემდგარ უტოლობათა სისტემას ეწოდება ექსპონენციალური უტოლობების სისტემა.

განვიხილავთ ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 3

ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

Ფიგურა 8

გამოსავალი:

უტოლობების ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 9

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, გაიხსენეთ შემდეგი ეკვივალენტობის თეორემა ექსპონენციალური უტოლობებისთვის:

თეორემა 1.უტოლობა $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, სადაც $a >0,a\ne 1$ უდრის ორი სისტემის სიმრავლეს

\}