ალბათობის თეორიის მიხედვით. მოვლენების სახეები, მოვლენის დადგომის ალბათობის პირდაპირი გამოთვლა

დოქტრინა კანონების შესახებ, რომლებსაც ე.წ. შემთხვევითი მოვლენები. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. ჩუდინოვი A.N., 1910 ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

ალბათობის თეორია- - [L.G. Sumenko. საინფორმაციო ტექნოლოგიების ინგლისური რუსული ლექსიკონი. M.: GP TsNIIS, 2003.] თემები საინფორმაციო ტექნოლოგიები ზოგადად EN ალბათობის თეორია შანსების ალბათობის გამოთვლის ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

ალბათობის თეორია- არის მათემატიკის ნაწილი, რომელიც სწავლობს კავშირებს სხვადასხვა მოვლენის ალბათობებს შორის (იხ. ალბათობა და სტატისტიკა). ჩამოვთვლით ამ მეცნიერებასთან დაკავშირებულ ყველაზე მნიშვნელოვან თეორემებს. რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთის დადგომის ალბათობა უდრის ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

ალბათობის თეორია- მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც საშუალებას იძლევა, ზოგიერთი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის მიხედვით (იხ.), მოიძიოს კ.ლ-თან დაკავშირებული შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა. გზა პირველთან. თანამედროვე ტელევიზორი ა.ნ.კოლმოგოროვის აქსიომატიკაზე (იხ. აქსიომატიური მეთოდი). Ზე… … რუსული სოციოლოგიური ენციკლოპედია

ალბათობის თეორია- მათემატიკის დარგი, რომელშიც, ზოგიერთი შემთხვევითი მოვლენის მოცემული ალბათობის მიხედვით, გვხვდება სხვა მოვლენების ალბათობები, რომლებიც გარკვეულწილად დაკავშირებულია პირველთან. ალბათობის თეორია ასევე სწავლობს შემთხვევით ცვლადებს და შემთხვევით პროცესებს. ერთ-ერთი მთავარი…… თანამედროვე საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ცნებები. ძირითადი ტერმინების ლექსიკონი

ალბათობის თეორია- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. ალბათობის თეორია vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. ალბათობის თეორია, f pranc. ალბათობის თეორია, ვ … ფიზიკურ ტერმინალში

ალბათობის თეორია- ... ვიკიპედია

ალბათობის თეორია- მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს ... თანამედროვე საბუნებისმეტყველო მეცნიერების დასაწყისი

ალბათობის თეორია- (ალბათობის თეორია) იხილეთ ალბათობა ... დიდი განმარტებითი სოციოლოგიური ლექსიკონი

ალბათობის თეორია და მისი გამოყენება- (“ალბათობის თეორია და მისი გამოყენება”), სსრკ მეცნიერებათა აკადემიის მათემატიკის განყოფილების სამეცნიერო ჟურნალი. აქვეყნებს ორიგინალურ სტატიებს და მოკლე კომუნიკაციებს ალბათობის თეორიის, მათემატიკური სტატისტიკის ზოგად ამოცანებს და მათ გამოყენებას საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში და ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

წიგნები

• ალბათობის თეორია. , Venttsel E.S. წიგნი არის სახელმძღვანელო, რომელიც განკუთვნილია მათთვის, ვინც კარგად იცნობს მათემატიკას საშუალო სკოლის საშუალო კურსის ფარგლებში და დაინტერესებულია ალბათობის თეორიის ტექნიკური აპლიკაციებით, ... ყიდვა 2056 UAH (მხოლოდ უკრაინაში)
• ალბათობის თეორია. , Wentzel E.S. წიგნი არის სახელმძღვანელო, რომელიც განკუთვნილია მათთვის, ვინც იცნობს მათემატიკას ჩვეულებრივი საშუალო სკოლის კურსის ფარგლებში და დაინტერესებულია ალბათობის თეორიის ტექნიკური აპლიკაციებით, ...

ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს: შემთხვევით მოვლენებს, შემთხვევით ცვლადებს, მათ თვისებებს და მათზე მოქმედებებს.

დიდი ხნის განმავლობაში, ალბათობის თეორიას არ ჰქონდა მკაფიო განმარტება. იგი ჩამოყალიბდა მხოლოდ 1929 წელს. ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების გაჩენას მიეკუთვნება შუა საუკუნეები და აზარტული თამაშების მათემატიკური ანალიზის პირველი მცდელობები (toss, dice, roulette). მე-17 საუკუნის ფრანგმა მათემატიკოსებმა ბლეზ პასკალმა და პიერ დე ფერმამ აღმოაჩინეს პირველი ალბათური ნიმუშები, რომლებიც წარმოიქმნება კამათლის სროლისას აზარტულ თამაშებში მოგების პროგნოზის შესწავლისას.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა როგორც მეცნიერება იმ რწმენიდან, რომ გარკვეული შაბლონები უდევს საფუძვლად მასობრივ შემთხვევით მოვლენებს. ალბათობის თეორია სწავლობს ამ შაბლონებს.

ალბათობის თეორია ეხება მოვლენების შესწავლას, რომელთა წარმოშობა ზუსტად არ არის ცნობილი. ის საშუალებას გაძლევთ განსაჯოთ ზოგიერთი მოვლენის მოვლენის ალბათობის ხარისხი სხვებთან შედარებით.

მაგალითად: შეუძლებელია მონეტის თავების ან კუდების სროლის შედეგის ცალსახად დადგენა, მაგრამ განმეორებითი სროლისას დაახლოებით იგივე რაოდენობის თავები და კუდები ამოვარდება, რაც ნიშნავს, რომ თავების ან კუდების დაცემის ალბათობა ტოლია. 50%-მდე.

ტესტიამ შემთხვევაში გარკვეული პირობების განხორციელებას, ანუ ამ შემთხვევაში მონეტის სროლა ეწოდება. გამოწვევის თამაში შეიძლება შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ამ შემთხვევაში პირობების კომპლექსი მოიცავს შემთხვევით ფაქტორებს.

ტესტის შედეგი არის ღონისძიება. მოვლენა ხდება:

1. სანდო (ყოველთვის ხდება ტესტირების შედეგად).
2. შეუძლებელია (არასდროს ხდება).
3. შემთხვევითი (შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის შედეგად).

მაგალითად, მონეტის სროლისას შეუძლებელი მოვლენა – მონეტა კიდეზე აღმოჩნდება, შემთხვევითი მოვლენა – „თავების“ ან „კუდების“ დაკარგვა. კონკრეტული ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული მოვლენა. ტესტის შედეგად ხდება მხოლოდ ელემენტარული მოვლენები. ყველა შესაძლო, განსხვავებული, კონკრეტული ტესტის შედეგის მთლიანობა ეწოდება ღონისძიების ელემენტარული სივრცე.

თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობა- მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი. როდესაც რაიმე შესაძლო მოვლენის რეალურად წარმოქმნის მიზეზები აღემატება საპირისპირო მიზეზებს, მაშინ ამ მოვლენას ეწოდება სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნაკლებად სავარაუდო ან წარმოუდგენელი.

შემთხვევითი მნიშვნელობა- ეს არის მნიშვნელობა, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის მნიშვნელობა და წინასწარ არ არის ცნობილი რომელი. მაგალითად: სახანძრო სადგურების რაოდენობა დღეში, დარტყმების რაოდენობა 10 გასროლით და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება დაიყოს ორ კატეგორიად.

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ისეთ რაოდენობას, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები გარკვეული ალბათობით, ჩამოაყალიბოს თვლადი სიმრავლე (სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია). ეს ნაკრები შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, დარტყმების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რადგან ამ მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობების უსასრულო, თუმცა თვლადი რაოდენობა.
2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან. ცხადია, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა.

ალბათობის სივრცე- კონცეფცია შემოიღო ა.ნ. კოლმოგოროვი 1930-იან წლებში ალბათობის ცნების ფორმალიზებაზე, რამაც დასაბამი მისცა ალბათობის თეორიის, როგორც მკაცრი მათემატიკური დისციპლინის სწრაფ განვითარებას.

ალბათობის სივრცე არის სამმაგი (ზოგჯერ ჩასმულია კუთხის ფრჩხილებში: , სადაც

ეს არის თვითნებური ნაკრები, რომლის ელემენტებს ეწოდება ელემენტარული მოვლენები, შედეგები ან წერტილები;
- ქვესიმრავლეების სიგმა-ალგებრა, რომელსაც ეწოდება (შემთხვევითი) მოვლენები;
- ალბათობის საზომი ან ალბათობა, ე.ი. სიგმა-დანამატის სასრული ზომა ისეთი, რომ .

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა- ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი შემზღუდველი თეორემა, რომელიც დაარსდა ლაპლასის მიერ 1812 წელს. იგი აცხადებს, რომ წარმატებების რაოდენობა ერთი და იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის გამეორებისას ორი შესაძლო შედეგით არის დაახლოებით ნორმალურად განაწილებული. ეს საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

თუ ყოველი დამოუკიდებელი ცდისთვის რაიმე შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის () და არის ცდების რაოდენობა, რომლებშიც ის რეალურად ხდება, მაშინ უთანასწორობის მართებულობის ალბათობა ახლოა (დიდისთვის) ლაპლასის ინტეგრალის მნიშვნელობამდე.

განაწილების ფუნქცია ალბათობის თეორიაში- შემთხვევითი ცვლადის ან შემთხვევითი ვექტორის განაწილების დამახასიათებელი ფუნქცია; ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს x-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას, სადაც x არის თვითნებური ნამდვილი რიცხვი. გარკვეულ პირობებში, ის მთლიანად განსაზღვრავს შემთხვევით ცვლადს.

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა (ეს არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, განხილული ალბათობის თეორიაში). ინგლისურ ლიტერატურაში იგი აღინიშნება, რუსულად -. სტატისტიკაში, აღნიშვნა ხშირად გამოიყენება.

მიეცით ალბათობის სივრცე და მასზე განსაზღვრული შემთხვევითი ცვლადი. ეს არის, განსაზღვრებით, გაზომვადი ფუნქცია. მაშინ, თუ არსებობს ზესივრცის Lebesgue ინტეგრალი, მაშინ მას ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი, ან საშუალო მნიშვნელობა და აღინიშნება .

შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია- მოცემული შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების საზომი, ანუ მისი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან. მითითებულია რუსულ და უცხოურ ლიტერატურაში. სტატისტიკაში აღნიშვნა ან ხშირად გამოიყენება. დისპერსიის კვადრატულ ფესვს ეწოდება სტანდარტული გადახრა, სტანდარტული გადახრა ან სტანდარტული გავრცელება.

მოდით იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ალბათობის სივრცეში. მერე

სადაც სიმბოლო აღნიშნავს მათემატიკურ მოლოდინს.

ალბათობის თეორიაში ორ შემთხვევით მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. ანალოგიურად, ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოკიდებულითუ ერთი მათგანის ღირებულება გავლენას ახდენს მეორის მნიშვნელობების ალბათობაზე.

დიდი რიცხვების კანონის უმარტივესი ფორმაა ბერნულის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ თუ მოვლენის ალბათობა ყველა ცდაში ერთი და იგივეა, მაშინ როცა ცდათა რაოდენობა იზრდება, მოვლენის სიხშირე მიდრეკილია მოვლენის ალბათობაზე და წყვეტს შემთხვევითობას.

დიდი რიცხვების კანონი ალბათობის თეორიაში ამბობს, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან სასრული ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული მიახლოებაა ამ განაწილების თეორიულ საშუალოსთან. კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ დიდი რიცხვების სუსტ კანონს, როდესაც ხდება ალბათობის კონვერგენცია და დიდი რიცხვების ძლიერ კანონს, როდესაც დაახლოება თითქმის აუცილებლად ხდება.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა იმაში მდგომარეობს, რომ დიდი რაოდენობით იდენტური და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს შედეგს, რომელიც ლიმიტში არ არის დამოკიდებული შემთხვევითობაზე.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითია არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის საფუძველზე.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემები- თეორემების კლასი ალბათობის თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამს, რომლებსაც აქვთ დაახლოებით იგივე მასშტაბი (არცერთი ტერმინი არ დომინირებს, გადამწყვეტი წვლილი არ აქვს ჯამში) აქვს განაწილება ახლოს. ნორმალური.

ვინაიდან აპლიკაციებში მრავალი შემთხვევითი ცვლადი ყალიბდება რამდენიმე სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ფაქტორის გავლენის ქვეშ, მათი განაწილება ნორმალურად ითვლება. ამ შემთხვევაში უნდა იყოს დაცული პირობა, რომ არცერთი ფაქტორი არ არის დომინანტი. ცენტრალური ლიმიტის თეორემები ამ შემთხვევებში ამართლებს ნორმალური განაწილების გამოყენებას.

როდესაც მონეტა გადააგდებს, შეიძლება ითქვას, რომ ის მაღლა დაჯდება, ან ალბათობა აქედან არის 1/2. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მონეტა 10-ჯერ იქნა გადაყრილი, ის აუცილებლად 5-ჯერ დაჯდება თავზე. თუ მონეტა არის "სამართლიანი" და თუ ის ბევრჯერ იქნა გადაყრილი, მაშინ თავები ძალიან ახლოს იქნება ნახევარ დროს. ამრიგად, არსებობს ორი სახის ალბათობა: ექსპერიმენტული და თეორიული .

ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობა

თუ ჩვენ გადავაგდებთ მონეტას ბევრჯერ - ვთქვათ 1000-ს - და დავთვლით რამდენჯერ ამოვა თავებზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ალბათობა, რომ ის ამოვა თავებში. თუ თავები 503-ჯერ ამოვა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი დადგომის ალბათობა:
503/1000, ანუ 0.503.

ის ექსპერიმენტული ალბათობის განსაზღვრა. ალბათობის ეს განმარტება გამომდინარეობს მონაცემების დაკვირვებისა და შესწავლიდან და საკმაოდ გავრცელებული და ძალიან სასარგებლოა. მაგალითად, აქ არის რამდენიმე ალბათობა, რომელიც განისაზღვრა ექსპერიმენტულად:

1. ქალს მკერდის კიბოს განვითარების შანსი 1/11-ია.

2. თუ გაციებულს აკოცებ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ შენც გაცივდე არის 0,07.

3. ციხიდან ახლად გათავისუფლებულს ციხეში დაბრუნების 80%-იანი შანსი აქვს.

თუ გავითვალისწინებთ მონეტის ჩაგდებას და გავითვალისწინებთ, რომ ის თანაბარი ალბათობით აწევს თავებს ან კუდებს, შეგვიძლია გამოვთვალოთ თავების აწევის ალბათობა: 1/2. ეს არის ალბათობის თეორიული განმარტება. აქ არის რამდენიმე სხვა ალბათობა, რომლებიც თეორიულად განისაზღვრა მათემატიკის გამოყენებით:

1. თუ ოთახში 30 ადამიანია, ალბათობა იმისა, რომ მათგან ორს ერთნაირი დაბადების დღე აქვს (წლის გამოკლებით) არის 0,706.

2. მოგზაურობის დროს ვინმეს ხვდები და საუბრის დროს აღმოაჩენ, რომ საერთო ნაცნობი გყავს. ტიპიური რეაქცია: "ეს არ შეიძლება!" სინამდვილეში, ეს ფრაზა არ ჯდება, რადგან ასეთი მოვლენის ალბათობა საკმაოდ მაღალია - სულ რაღაც 22%-ზე მეტი.

აქედან გამომდინარე, ექსპერიმენტული ალბათობა განისაზღვრება დაკვირვებით და მონაცემთა შეგროვებით. თეორიული ალბათობები განისაზღვრება მათემატიკური მსჯელობით. ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობების მაგალითები, როგორიცაა ზემოთ განხილული და განსაკუთრებით ის, რასაც ჩვენ არ ველით, მიგვიყვანს ალბათობის შესწავლის მნიშვნელობამდე. თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "რა არის ჭეშმარიტი ალბათობა?" სინამდვილეში, არცერთი არ არსებობს. ექსპერიმენტულად შესაძლებელია გარკვეული საზღვრებში ალბათობების დადგენა. ისინი შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ ემთხვეოდეს იმ ალბათობას, რომელსაც ჩვენ თეორიულად ვიღებთ. არის სიტუაციები, როდესაც ბევრად უფრო ადვილია ერთი ტიპის ალბათობის განსაზღვრა, ვიდრე სხვა. მაგალითად, საკმარისი იქნებოდა თეორიული ალბათობის გამოყენებით გაციების ალბათობის პოვნა.

ექსპერიმენტული ალბათობების გამოთვლა

ჯერ განვიხილოთ ალბათობის ექსპერიმენტული განმარტება. ძირითადი პრინციპი, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ ასეთი ალბათობების გამოსათვლელად, შემდეგია.

პრინციპი P (ექსპერიმენტული)

თუ ექსპერიმენტში, რომელშიც n დაკვირვება კეთდება, სიტუაცია ან მოვლენა E ხდება m-ჯერ n დაკვირვებაში, მაშინ მოვლენის ექსპერიმენტული ალბათობა არის P (E) = m/n.

მაგალითი 1 სოციოლოგიური გამოკითხვა. ჩატარდა ექსპერიმენტული კვლევა მემარცხენეების, მემარჯვენეების და იმ ადამიანების რაოდენობის დასადგენად, რომლებშიც ორივე ხელი თანაბრად არის განვითარებული, შედეგები ნაჩვენებია გრაფიკზე.

ა) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარჯვენეა.

ბ) დაადგინეთ იმის ალბათობა, რომ ადამიანი მემარცხენეა.

გ) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში.

დ) PBA ტურნირების უმეტესობას 120 მოთამაშე ჰყავს. ამ ექსპერიმენტიდან გამომდინარე, რამდენი მოთამაშე შეიძლება იყოს მემარცხენე?

გამოსავალი

ა) მემარჯვენეების რიცხვი არის 82, მემარცხენეების რაოდენობა 17, ხოლო მათ, ვინც თანაბრად ფლობს ორივე ხელში 1. დაკვირვების საერთო რაოდენობა არის 100. ამრიგად, ალბათობა. რომ ადამიანი მემარჯვენეა არის პ
P = 82/100, ან 0.82, ან 82%.

ბ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარცხენეა არის P, სადაც
P = 17/100 ან 0.17 ან 17%.

გ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანმა ორივე ხელი თანაბრად კარგად ფლობს არის P, სადაც
P = 1/100 ან 0.01 ან 1%.

დ) 120 ბოულერი და (ბ)-დან შეიძლება ველოდოთ 17% მემარცხენეებს. აქედან
17% 120 = 0.17.120 = 20.4,
ანუ შეიძლება ველოდოთ 20-მდე მემარცხენე მოთამაშეს.

მაგალითი 2 Ხარისხის კონტროლი . მწარმოებლისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ მათი პროდუქციის ხარისხი მაღალ დონეზე იყოს. ფაქტობრივად, კომპანიები ქირაობენ ხარისხის კონტროლის ინსპექტორებს ამ პროცესის უზრუნველსაყოფად. მიზანია დეფექტური პროდუქტების მინიმალური შესაძლო რაოდენობის გამოშვება. მაგრამ ვინაიდან კომპანია ყოველდღიურად აწარმოებს ათასობით ნივთს, მას არ შეუძლია თითოეული ნივთის შემოწმება, რათა დადგინდეს, არის თუ არა ის დეფექტური. იმის გასარკვევად, თუ რა პროცენტული პროდუქტია დეფექტური, კომპანია ამოწმებს გაცილებით ნაკლებ პროდუქტს.
USDA მოითხოვს, რომ თესლის 80%, რომელსაც მწარმოებლები ყიდიან, გაღივდეს. სასოფლო-სამეურნეო კომპანიის მიერ წარმოებული თესლის ხარისხის დასადგენად, წარმოებულიდან ირგვება 500 თესლი. ამის შემდეგ დაითვალეს, რომ 417 თესლმა ამოიღო.

ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ თესლი აღმოცენდეს?

ბ) შეესაბამება თუ არა თესლი სამთავრობო სტანდარტებს?

გამოსავალია) ვიცით, რომ დარგული 500 თესლიდან 417 ამოიზარდა. თესლის გაღივების ალბათობა P, და
P = 417/500 = 0.834, ანუ 83.4%.

ბ) ვინაიდან გაღივებული თესლის პროცენტულმა რაოდენობამ მოთხოვნაზე 80%-ს გადააჭარბა, თესლი აკმაყოფილებს სახელმწიფო სტანდარტებს.

მაგალითი 3 სატელევიზიო რეიტინგები. სტატისტიკის მიხედვით, აშშ-ში 105 500 000 ტელეკომპანიაა. ყოველ კვირას ხდება ინფორმაციის შეგროვება და დამუშავება პროგრამების ნახვის შესახებ. ერთი კვირის განმავლობაში 7,815,000 ოჯახი ჩაერთო CBS-ის ჰიტ კომედიურ სერიალში Everybody Loves Raymond და 8,302,000 ოჯახი ჩაერთო NBC-ის ჰიტ Law & Order-ზე (წყარო: Nielsen Media Research). რა არის იმის ალბათობა, რომ ერთი სახლის ტელევიზორი იყოს დაყენებული „ყველას უყვარს რაიმონდი“ მოცემულ კვირაში? „კანონი და წესრიგი“?

გამოსავალიალბათობა იმისა, რომ ტელევიზორი ერთ ოჯახში დაყენებულია „ყველას უყვარს რაიმონდი“ არის P და
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
შესაძლებლობა, რომ საყოფაცხოვრებო ტელევიზორი დაყენებული იყო „Law & Order“ არის P და
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
ამ პროცენტებს რეიტინგი ეწოდება.

თეორიული ალბათობა

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვაკეთებთ ექსპერიმენტს, როგორიცაა მონეტის ან ისრის სროლა, კარტის დახატვა გემბანიდან ან პროდუქტების ხარისხის შესამოწმებლად შეკრების ხაზზე. ასეთი ექსპერიმენტის ყოველ შესაძლო შედეგს ე.წ გამოსვლა . ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები ეწოდება შედეგის სივრცე . ღონისძიება ეს არის შედეგების ერთობლიობა, ანუ შედეგების სივრცის ქვეჯგუფი.

მაგალითი 4 ისრების სროლა. დავუშვათ, რომ „ისრების სროლის“ ექსპერიმენტში ისარი ხვდება მიზანს. იპოვეთ თითოეული შემდეგი:

ბ) შედეგების სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგებია: დარტყმა შავზე (H), წითელზე (K) და თეთრზე (B) დარტყმა.

ბ) არის შედეგის სივრცე (დაარტყა შავი, დაარტყა წითელი, დაარტყა თეთრი), რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს უბრალოდ, როგორც (B, R, B).

მაგალითი 5 კამათლის სროლა. კვერი არის კუბი ექვსი გვერდით, რომელთაგან თითოეულს აქვს ერთიდან ექვს წერტილამდე.


დავუშვათ, რომ ჩვენ ვაგდებთ კვერს. იპოვე
ა) შედეგები
ბ) შედეგების სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგები: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ბ) შედეგების სივრცე (1, 2, 3, 4, 5, 6).

ჩვენ აღვნიშნავთ ალბათობას, რომ E მოვლენა მოხდეს, როგორც P(E). მაგალითად, "მონეტა დაეშვება კუდებზე" შეიძლება აღვნიშნოთ H-ით. მაშინ P(H) არის ალბათობა იმისა, რომ მონეტა დაეშვა კუდებზე. როდესაც ექსპერიმენტის ყველა შედეგს აქვს ერთი და იგივე ალბათობა, რომ ისინი თანაბრად სავარაუდოა. თანაბრად სავარაუდო მოვლენებსა და არათანაბრად სავარაუდო მოვლენებს შორის განსხვავების სანახავად, განიხილეთ ქვემოთ ნაჩვენები სამიზნე.

A სამიზნისთვის შავი, წითელი და თეთრი დარტყმის მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა, რადგან შავი, წითელი და თეთრი სექტორები ერთნაირია. თუმცა, სამიზნე B-სთვის, ამ ფერების მქონე ზონები არ არის იგივე, ანუ მათზე დარტყმა თანაბრად სავარაუდო არ არის.

პრინციპი P (თეორიული)

თუ მოვლენა E შეიძლება მოხდეს m გზებიდან n შესაძლო თანაბარი შედეგიდან S გამოსავლის სივრციდან, მაშინ თეორიული ალბათობა მოვლენა, P(E) არის
P(E) = m/n.

მაგალითი 6რა არის ალბათობა 3-ის გორგალით გორგალით?

გამოსავალიარსებობს 6 თანაბრად სავარაუდო შედეგი სასიძოზე და არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა, რომ გადააგდოთ რიცხვი 3. მაშინ ალბათობა P იქნება P(3) = 1/6.

მაგალითი 7რა არის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი შემობრუნდეს სასწორზე?

გამოსავალიმოვლენა არის ლუწი რიცხვის სროლა. ეს შეიძლება მოხდეს 3 გზით (თუ გააფართოვებთ 2, 4 ან 6). თანაბარი შედეგების რიცხვი არის 6. მაშინ ალბათობა P(ლუწ) = 3/6, ან 1/2.

ჩვენ გამოვიყენებთ უამრავ მაგალითს, რომელიც დაკავშირებულია სტანდარტულ 52-კარტიან გემბანთან. ასეთი გემბანი შედგება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ბარათებისგან.

მაგალითი 8რა არის ტუზის გამოყვანის ალბათობა კარგად შერეული ბანქოდან?

გამოსავალიარის 52 შედეგი (ბარათების რაოდენობა გემბანზე), ისინი თანაბრად სავარაუდოა (თუ გემბანი კარგად არის შერეული) და არსებობს ტუზის დახატვის 4 გზა, ასე რომ, P პრინციპის მიხედვით, ალბათობა
P (ტუზის დახატვა) = 4/52, ან 1/13.

მაგალითი 9დავუშვათ, რომ ჩვენ ვირჩევთ ერთი მარმარილოს გარეშე, 3 წითელი მარმარილოსა და 4 მწვანე მარმარილოს ჩანთიდან. რამდენია წითელი ბურთის არჩევის ალბათობა?

გამოსავალიარსებობს 7 თანაბრად სავარაუდო შედეგი ნებისმიერი ბურთის მისაღებად და რადგან წითელი ბურთის დახატვის გზების რაოდენობა არის 3, მივიღებთ
P (წითელი ბურთის არჩევა) = 3/7.

შემდეგი განცხადებები არის P პრინციპის შედეგი.

ალბათობის თვისებები

ა) თუ მოვლენა E არ შეიძლება მოხდეს, მაშინ P(E) = 0.
ბ) თუ მოვლენა E აუცილებლად უნდა მოხდეს, მაშინ P(E) = 1.
გ) E მოვლენის დადგომის ალბათობა არის რიცხვი 0-დან 1-მდე: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

მაგალითად, მონეტის გადაყრისას, იმ მოვლენას, რომ მონეტა მის კიდეზე მოხვდეს, ალბათობა ნულოვანია. ალბათობა იმისა, რომ მონეტა არის თავები ან კუდები, აქვს ალბათობა 1.

მაგალითი 10დავუშვათ, რომ 52 კარტიანი გემბანიდან 2 კარტი დგება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ყვავი იყოს?

გამოსავალი n ხერხების რაოდენობა 2 კარტის გათამაშების კარგად აურიეთ 52-კარტიანი დაფიდან არის 52 C 2 . ვინაიდან 52 კარტიდან 13 არის ყვავი, 2 ყველის დახატვის გზების რაოდენობა m არის 13 C 2 . შემდეგ,
P (გაჭიმვა 2 მწვერვალზე) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

მაგალითი 11დავუშვათ, 3 ადამიანი შემთხვევით შერჩეულია 6 კაცისა და 4 ქალის ჯგუფიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი აირჩევა?

გამოსავალი 10 კაციანი ჯგუფიდან სამი ადამიანის არჩევის გზების რაოდენობა 10 C 3 . ერთი მამაკაცის არჩევა შესაძლებელია 6 C 1 გზით და 2 ქალის არჩევა 4 C 2 გზით. დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის მიხედვით, პირველი მამაკაცისა და 2 ქალის არჩევის გზების რაოდენობაა 6 C 1 . 4C2. მაშინ, ალბათობა იმისა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი აირჩევა არის
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

მაგალითი 12 კამათლის სროლა. რამდენია სულ 8-ის ორ კამათელზე სროლის ალბათობა?

გამოსავალითითოეულ კამათელზე არის 6 შესაძლო შედეგი. შედეგები გაორმაგებულია, ანუ არის 6.6 ან 36 შესაძლო გზა, რომლითაც შეიძლება ორ კამათელზე რიცხვები დაეცეს. (უმჯობესია, თუ კუბურები განსხვავებულია, ვთქვათ ერთი წითელი და მეორე ლურჯი - ეს დაგეხმარებათ შედეგის ვიზუალიზაციაში.)

რიცხვების წყვილი, რომლებიც ჯამდება 8-მდე, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. არსებობს 5 შესაძლო გზა, რომ მიიღოთ ჯამი 8-ის ტოლი, შესაბამისად, ალბათობა არის 5/36.

შესავალი

ბევრი რამ ჩვენთვის გაუგებარია და არა იმიტომ, რომ ჩვენი ცნებები სუსტია;
არამედ იმიტომ, რომ ეს საგნები არ შედის ჩვენი ცნებების წრეში.
კოზმა პრუტკოვი

საშუალო სპეციალიზებულ საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მათემატიკის შესწავლის მთავარი მიზანია მიეცეს სტუდენტებს მათემატიკური ცოდნისა და უნარების კომპლექტი, რომელიც აუცილებელია სხვა პროგრამული დისციპლინების შესასწავლად, რომლებიც იყენებენ მათემატიკას ამა თუ იმ ხარისხით, პრაქტიკული გამოთვლების შესრულების, ფორმირებისა და განვითარებისთვის. ლოგიკური აზროვნების.

ამ ნაშრომში თანმიმდევრულად არის წარმოდგენილი მათემატიკის განყოფილების ყველა ძირითადი ცნება "ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის საფუძვლები", რომელიც გათვალისწინებულია პროგრამით და საშუალო პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტებით (რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო. M. ., 2002), ჩამოყალიბებულია ძირითადი თეორემები, რომელთა უმეტესობა არ არის დადასტურებული. განხილულია მათი გადაჭრის ძირითადი ამოცანები და მეთოდები და ამ მეთოდების გამოყენების ტექნოლოგიები პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად. პრეზენტაციას ახლავს დეტალური კომენტარები და უამრავი მაგალითი.

მეთოდური ინსტრუქციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას შესწავლილი მასალის თავდაპირველი გაცნობისთვის, ლექციების ჩანაწერების აღებისას, პრაქტიკული სავარჯიშოებისთვის მოსამზადებლად, შეძენილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების კონსოლიდაციისთვის. გარდა ამისა, სახელმძღვანელო სასარგებლო იქნება ბაკალავრიატის სტუდენტებისთვის, როგორც საცნობარო ინსტრუმენტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად აღადგინოთ მეხსიერებაში, რაც ადრე იყო შესწავლილი.

სამუშაოს დასასრულს მოცემულია მაგალითები და დავალებები, რომელთა შესრულებაც მოსწავლეებს შეუძლიათ თვითკონტროლის რეჟიმში.

მეთოდური ინსტრუქციები განკუთვნილია კორესპონდენციისა და სრულ განაკვეთზე განათლების ფორმების სტუდენტებისთვის.

ᲫᲘᲠᲘᲗᲐᲓᲘ ᲪᲜᲔᲑᲔᲑᲘ

ალბათობის თეორია სწავლობს მასობრივი შემთხვევითი მოვლენების ობიექტურ კანონზომიერებებს. ეს არის თეორიული საფუძველი მათემატიკური სტატისტიკისთვის, რომელიც ეხება დაკვირვების შედეგების შეგროვების, აღწერისა და დამუშავების მეთოდების შემუშავებას. დაკვირვებით (ტესტი, ექსპერიმენტი), ე.ი. გამოცდილება სიტყვის ფართო გაგებით, არსებობს რეალური სამყაროს ფენომენების ცოდნა.

ჩვენს პრაქტიკულ საქმიანობაში ხშირად ვაწყდებით ფენომენებს, რომელთა შედეგის წინასწარმეტყველება შეუძლებელია, რომლის შედეგიც შემთხვევითობაზეა დამოკიდებული.

შემთხვევითი ფენომენი შეიძლება ხასიათდებოდეს მისი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობით ცდების რაოდენობასთან, რომელთაგან თითოეულში, ყველა ცდის ერთსა და იმავე პირობებში, შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს.

ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელშიც შემთხვევითი ფენომენები (მოვლენები) შეისწავლება და კანონზომიერებები ვლინდება, როდესაც ისინი მასიურად განმეორდება.

მათემატიკური სტატისტიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც აქვს საგანი სტატისტიკური მონაცემების შეგროვების, სისტემატიზაციის, დამუშავებისა და გამოყენების მეთოდების შესწავლა მეცნიერულად დასაბუთებული დასკვნების მისაღებად და გადაწყვეტილებების მისაღებად.

ამავდროულად, სტატისტიკური მონაცემები გაგებულია, როგორც რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც წარმოადგენს ჩვენთვის საინტერესო შესწავლილი ობიექტების მახასიათებლების რაოდენობრივ მახასიათებლებს. სტატისტიკური მონაცემები მიიღება სპეციალურად შემუშავებული ექსპერიმენტებისა და დაკვირვებების შედეგად.

სტატისტიკური მონაცემები თავისი არსით მრავალ შემთხვევით ფაქტორზეა დამოკიდებული, ამიტომ მათემატიკური სტატისტიკა მჭიდრო კავშირშია ალბათობის თეორიასთან, რაც მის თეორიულ საფუძველს წარმოადგენს.

I. ალბათობა. შეკრების და ალბათობის გამრავლების თეორემები

1.1. კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები

მათემატიკის განყოფილებაში, რომელსაც კომბინატორიკა ჰქვია, მოგვარებულია გარკვეული პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია სიმრავლეთა განხილვასთან და ამ სიმრავლეთა ელემენტების სხვადასხვა კომბინაციების შედგენასთან. მაგალითად, თუ ავიღებთ 10 სხვადასხვა რიცხვს 0, 1, 2, 3,:, 9 და გავაკეთებთ მათ კომბინაციას, მივიღებთ სხვადასხვა რიცხვებს, მაგალითად 143, 431, 5671, 1207, 43 და ა.შ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კომბინაციებიდან ზოგიერთი განსხვავდება მხოლოდ ციფრების თანმიმდევრობით (მაგალითად, 143 და 431), სხვები მათში შეტანილი რიცხვებით (მაგალითად, 5671 და 1207), ზოგი კი ასევე განსხვავდება ციფრების რაოდენობით ( მაგალითად, 143 და 43).

ამრიგად, მიღებული კომბინაციები აკმაყოფილებს სხვადასხვა პირობებს.

შედგენის წესებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოიყოს სამი ტიპის კომბინაცია: პერმუტაციები, განლაგება, კომბინაციები.

ჯერ გავეცნოთ კონცეფციას ფაქტორული.

1-დან n-მდე ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლი ეწოდება n-ფაქტორული და დაწერე.

გამოთვალეთ: ა) ; ბ) ; in).

გამოსავალი. ა) .

ბ) ასევე , მაშინ შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი ფრჩხილებიდან

შემდეგ მივიღებთ

in) .

პერმუტაციები.

n ელემენტის კომბინაციას, რომელიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაცია.

პერმუტაციები აღინიშნება სიმბოლოთი P n , სადაც n არის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ პერმუტაციაში. ( რ- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო პერმუტაცია- პერმუტაცია).

პერმუტაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

ან ფაქტორებით:

გავიხსენოთ ეს 0!=1 და 1!=1.

მაგალითი 2. რამდენი გზით შეიძლება ექვსი სხვადასხვა წიგნის განლაგება ერთ თაროზე?

გამოსავალი. გზების სასურველი რაოდენობა უდრის 6 ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობას, ე.ი.

საცხოვრებლები.

განლაგება საწყისი მელემენტები ნთითოეულში ისეთ ნაერთებს უწოდებენ, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ან თავად ელემენტებით (მინიმუმ ერთი), ან მდებარეობის მიხედვით.

მდებარეობები აღინიშნება სიმბოლოთი, სადაც მარის ყველა ხელმისაწვდომი ელემენტის რაოდენობა, ნარის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ კომბინაციაში. ( მაგრამ -ფრანგული სიტყვის პირველი ასო მოწყობა, რაც ნიშნავს „განთავსებას, მოწესრიგებას“).

ამავე დროს, ვარაუდობენ, რომ ნმ.

განლაგების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

,

იმათ. დან ყველა შესაძლო განთავსების რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის პროდუქტს ნთანმიმდევრული მთელი რიცხვები, რომელთაგან უფრო დიდია მ.

ჩვენ ვწერთ ამ ფორმულას ფაქტორული ფორმით:

მაგალითი 3. სამი ვაუჩერის სხვადასხვა პროფილის სანატორიუმში დარიგების რამდენი ვარიანტი შეიძლება გაკეთდეს ხუთი განმცხადებლისთვის?

გამოსავალი. ვარიანტების სასურველი რაოდენობა უდრის 5 ელემენტის განლაგების რაოდენობას 3 ელემენტით, ე.ი.

.

კომბინაციები.

კომბინაციები არის ყველა შესაძლო კომბინაცია მელემენტების მიერ ნ, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან სულ მცირე ერთი ელემენტით (აქ მდა n-ნატურალური რიცხვები და ნ მ).

კომბინაციების რაოდენობა დან მელემენტების მიერ ნაღინიშნება ( FROM- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო კომბინაცია- კომბინაცია).

ზოგადად, რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის განლაგების რაოდენობას მელემენტების მიერ ნიყოფა პერმუტაციების რაოდენობაზე ნელემენტები:

განლაგებისა და პერმუტაციის რიცხვების ფაქტორული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ:

მაგალითი 4. 25 კაციან გუნდში, თქვენ უნდა გამოყოთ ოთხი სამუშაო კონკრეტულ ტერიტორიაზე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გამოსავალი. ვინაიდან არჩეული ოთხი ადამიანის ბრძანებას მნიშვნელობა არ აქვს, ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით.

ჩვენ ვპოულობთ პირველი ფორმულით

.

გარდა ამისა, პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება შემდეგი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს კომბინაციების ძირითად თვისებებს:

(განმარტებით და ვარაუდობენ);

.

1.2. კომბინაციური ამოცანების ამოხსნა

ამოცანა 1. ფაკულტეტზე ისწავლება 16 საგანი. ორშაბათს განრიგში უნდა ჩაწეროთ 3 საგანი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გამოსავალი. 16-დან სამი ელემენტის დაგეგმვის იმდენი გზა არსებობს, რამდენიც 3 ელემენტის 16 განთავსებაა.

დავალება 2. 15 ობიექტიდან უნდა შეირჩეს 10 ობიექტი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

დავალება 3. შეჯიბრში ოთხი გუნდი მონაწილეობდა. რამდენი ვარიანტია მათ შორის ადგილების განაწილებისთვის?

.

ამოცანა 4. რამდენი გზით შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამი ჯარისკაცი და ერთი ოფიცერი პატრული, თუ არის 80 ჯარისკაცი და 3 ოფიცერი?

გამოსავალი. პატრულში მყოფი ჯარისკაცის არჩევა შესაძლებელია

გზები და ოფიცრების გზები. ვინაიდან ნებისმიერ ოფიცერს შეუძლია ჯარისკაცების თითოეულ გუნდთან ერთად წასვლა, არსებობს მხოლოდ გზები.

ამოცანა 5. იპოვეთ თუ ცნობილია, რომ .

მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიღებთ

,

,

კომბინაციის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ , . რომ. .

1.3. შემთხვევითი მოვლენის კონცეფცია. ღონისძიების ტიპები. მოვლენის ალბათობა

ნებისმიერ მოქმედებას, ფენომენს, დაკვირვებას რამდენიმე განსხვავებული შედეგით, რომელიც განხორციელდება მოცემულ პირობებში, ე.წ. ტესტი.

ამ მოქმედების ან დაკვირვების შედეგს ე.წ ღონისძიება .

თუ მოვლენა მოცემულ პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაშინ მას უწოდებენ შემთხვევითი . იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა აუცილებლად უნდა მოხდეს, მას უწოდებენ საიმედო და იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ნამდვილად არ შეიძლება მოხდეს, - შეუძლებელია.

მოვლენებს ე.წ შეუთავსებელი თუ მხოლოდ ერთი მათგანი შეიძლება გამოჩნდეს ყოველ ჯერზე.

მოვლენებს ე.წ ერთობლივი თუ მოცემულ პირობებში, ამ მოვლენებიდან ერთის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის დადგომას იმავე ტესტში.

მოვლენებს ე.წ საწინააღმდეგო თუ ტესტის პირობებში ისინი, როგორც მისი ერთადერთი შედეგი, შეუთავსებელია.

მოვლენები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: Ა Ბ Გ Დ, : .

მოვლენათა სრული სისტემა A 1 , A 2 , A 3 , : , A n არის შეუთავსებელი მოვლენების ერთობლიობა, რომელთაგან მინიმუმ ერთის დადგომა სავალდებულოა მოცემული ტესტისთვის.

თუ სრული სისტემა შედგება ორი შეუთავსებელი მოვლენისგან, მაშინ ასეთ მოვლენებს საპირისპირო ეწოდება და აღინიშნება A და .

მაგალითი. ყუთში არის 30 დანომრილი ბურთი. დაადგინეთ შემდეგი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, გარკვეული, საპირისპირო:

მიიღო დანომრილი ბურთი (მაგრამ);

დახაზეთ ლუწი დანომრილი ბურთი (AT);

დახატეს ბურთი კენტი რიცხვით (FROM);

მიიღო ბურთი ნომრის გარეშე (დ).

რომელი მათგანი ქმნის სრულ ჯგუფს?

გამოსავალი . მაგრამ- გარკვეული მოვლენა; დ- შეუძლებელი მოვლენა;

In და FROM- საპირისპირო მოვლენები.

მოვლენების სრული ჯგუფი არის მაგრამდა დ, ვდა FROM.

მოვლენის ალბათობა განიხილება, როგორც შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ობიექტური შესაძლებლობის საზომი.

1.4. ალბათობის კლასიკური განმარტება

რიცხვი, რომელიც არის მოვლენის მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის საზომის გამოხატულება, ე.წ ალბათობა ეს მოვლენა და აღინიშნება სიმბოლოთი P(A).

განმარტება. მოვლენის ალბათობა მაგრამარის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს მოცემული მოვლენის დადგომას მაგრამ, ნომერზე ნყველა შედეგი (შეუთავსებელი, უნიკალური და თანაბრად შესაძლებელი), ე.ი. .

მაშასადამე, მოვლენის ალბათობის დასადგენად, აუცილებელია, ტესტის სხვადასხვა შედეგების გათვალისწინების შემდეგ, გამოვთვალოთ ყველა შესაძლო შეუთავსებელი შედეგი. n,შეარჩიეთ შედეგების რაოდენობა, რომელიც გვაინტერესებს m და გამოთვალეთ თანაფარდობა მრომ ნ.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

ნებისმიერი ცდის ალბათობა არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება ერთს.

მართლაც, სასურველი მოვლენების m რიცხვი დევს . ორივე ნაწილად დაყოფა ნ, ვიღებთ

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია, რადგან .

3. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, რადგან .

პრობლემა 1. ლატარიაში 1000 ბილეთიდან 200 გამარჯვებულია. ერთი ბილეთი გათამაშებულია შემთხვევით. რა არის ამ ბილეთის მოგების ალბათობა?

გამოსავალი. სხვადასხვა შედეგების საერთო რაოდენობა არის ნ=1000. გამარჯვების სასარგებლო შედეგების რაოდენობაა m=200. ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

.

დავალება 2. პარტიაში 18 ნაწილისგან შედგება 4 დეფექტური. 5 ცალი არჩეულია შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ 5 ნაწილიდან ორი დეფექტურია.

გამოსავალი. ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის რაოდენობა ნუდრის კომბინაციების რაოდენობას 18-დან 5-მდე ე.ი.

გამოვთვალოთ m რიცხვი, რომელიც ხელს უწყობს A მოვლენას. შემთხვევით შერჩეულ 5 ნაწილს შორის უნდა იყოს 3 მაღალი ხარისხის და 2 დეფექტური. ორი დეფექტური ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა 4 ხელმისაწვდომი დეფექტური ნაწილიდან უდრის კომბინაციების რაოდენობას 4-დან 2-მდე:

14 ხელმისაწვდომი ხარისხის ნაწილიდან სამი ხარისხის ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა უდრის

.

ხარისხის ნაწილების ნებისმიერი ჯგუფი შეიძლება გაერთიანდეს დეფექტური ნაწილების ნებისმიერ ჯგუფთან, ამიტომ კომბინაციების საერთო რაოდენობა მარის

A მოვლენის სასურველი ალბათობა უდრის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელიც ხელს უწყობს ამ მოვლენას ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის n რიცხვთან:

.

სასრული რაოდენობის მოვლენათა ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომაში.

ორი მოვლენის ჯამი აღინიშნება A + B სიმბოლოთი და ჯამით ნმოვლენების სიმბოლო A 1 +A 2 + : +A n.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.

ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

დასკვნა 1. თუ მოვლენა А 1 , А 2 , : , А n ქმნიან სრულ სისტემას, მაშინ ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს.

დასკვნა 2. საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა ჯამი და უდრის ერთი.

.

პრობლემა 1. არის 100 ლატარიის ბილეთი. ცნობილია, რომ 5 ბილეთი მოგებას იღებს 20,000 რუბლი, 10 - 15,000 რუბლი, 15 - 10,000 რუბლი, 25 - 2,000 რუბლი. და დანარჩენისთვის არაფერი. იპოვეთ ალბათობა, რომ შეძენილი ბილეთი მიიღებს პრიზს მინიმუმ 10,000 რუბლის ოდენობით.

გამოსავალი. მოდით A, B და C იყოს მოვლენები, რომლებიც შედგება იმაში, რომ 20,000, 15,000 და 10,000 რუბლის ტოლი პრიზი მოდის შეძენილ ბილეთზე. ვინაიდან მოვლენები A, B და C შეუთავსებელია, მაშინ

დავალება 2. ტექნიკუმის კორესპონდენციის განყოფილება ქალაქებიდან იღებს ტესტებს მათემატიკაში A, Bდა FROM. ქალაქიდან საკონტროლო სამუშაოების მიღების ალბათობა მაგრამ 0,6-ის ტოლი, ქალაქიდან AT- 0.1. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი საკონტროლო სამუშაო ქალაქიდან მოვა FROM.

რა არის ალბათობა?

ამ ტერმინის წინაშე პირველად ვერ გავიგე რა არის. ამიტომ ვეცდები გასაგებად ავხსნა.

ალბათობა არის იმის შანსი, რომ მოხდეს სასურველი მოვლენა.

მაგალითად, თქვენ გადაწყვიტეთ ეწვიოთ მეგობარს, გაიხსენოთ შესასვლელი და თუნდაც იატაკი, რომელზეც ის ცხოვრობს. მაგრამ დამავიწყდა ბინის ნომერი და მდებარეობა. ახლა კი კიბეზე დგახართ და თქვენს წინ არის კარები, რომელთაგან უნდა აირჩიოთ.

რა არის შანსი (ალბათობა), რომ კარზე პირველ ზარს რომ დარეკავთ, მეგობარი გაგიღებს? მთელი ბინა და მეგობარი ცხოვრობს მხოლოდ ერთი მათგანის უკან. თანაბარი შანსებით შეგვიძლია ნებისმიერი კარი ავირჩიოთ.

მაგრამ რა არის ეს შანსი?

კარები, მარჯვენა კარი. პირველი კარის დარეკვით გამოცნობის ალბათობა: . ანუ სამიდან ერთჯერ გამოიცნობ აუცილებლად.

ერთხელ დარეკვით გვინდა ვიცოდეთ, რამდენად ხშირად გამოვიცნობთ კარს? მოდით შევხედოთ ყველა ვარიანტს:

1. შენ დაურეკე 1-ლიკარი
2. შენ დაურეკე მე-2კარი
3. შენ დაურეკე მე-3კარი

ახლა კი განიხილეთ ყველა ვარიანტი, სადაც მეგობარი შეიძლება იყოს:

ა. პერ 1-ლიკარი
ბ. პერ მე-2კარი
in. პერ მე-3კარი

შევადაროთ ყველა ვარიანტი ცხრილის სახით. ტიკი მიუთითებს ვარიანტებზე, როდესაც თქვენი არჩევანი ემთხვევა მეგობრის მდებარეობას, ჯვარი - როდესაც ის არ ემთხვევა.

როგორ ხედავ ყველაფერს Შესაძლოა პარამეტრებიმეგობრის მდებარეობა და თქვენი არჩევანი, რომელ კარზე დარეკოთ.

მაგრამ ყველა ხელსაყრელი შედეგი . ანუ დროებს გამოიცნობთ კარზე ერთხელ დარეკვით, ე.ი. .

ეს არის ალბათობა - ხელსაყრელი შედეგის თანაფარდობა (როდესაც თქვენი არჩევანი დაემთხვა მეგობრის მდებარეობას) შესაძლო მოვლენების რაოდენობასთან.

განმარტება არის ფორმულა. ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება p, ასე რომ:

ასეთი ფორმულის დაწერა არც ისე მოსახერხებელია, ამიტომ ავიღოთ - ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, ხოლო - შედეგების საერთო რაოდენობა.

ალბათობა შეიძლება დაიწეროს პროცენტულად, ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული შედეგი:

ალბათ, სიტყვა „შედეგებმა“ მიიპყრო შენი თვალი. ვინაიდან მათემატიკოსები სხვადასხვა ქმედებებს (ჩვენთვის ასეთი ქმედება კარზე ზარია) ექსპერიმენტებს უწოდებენ, ჩვეულებისამებრ, ასეთი ექსპერიმენტების შედეგს შედეგს ვუწოდებთ.

ისე, შედეგები არის ხელსაყრელი და არასახარბიელო.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. დავუშვათ, ერთ-ერთ კარზე დავრეკეთ, მაგრამ უცნობმა გაგვიღო. ჩვენ არ ვხვდებოდით. რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ ერთ-ერთ დარჩენილ კარს დავურეკავთ, მას ჩვენი მეგობარი გაგვაღებს?

თუ ასე ფიქრობდი, მაშინ ეს შეცდომაა. მოდი გავარკვიოთ.

ორი კარი გვაქვს დარჩენილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს შესაძლო ნაბიჯები:

1) დარეკეთ 1-ლიკარი
2) დარეკეთ მე-2კარი

მეგობარი, ამ ყველაფერთან ერთად, ნამდვილად დგას ერთ-ერთი მათგანის უკან (ბოლოს და ბოლოს, ის არ ჩამორჩა იმას, ვინც ჩვენ დავურეკეთ):

ა) მეგობარი 1-ლიკარი
ბ) მეგობარი ამისთვის მე-2კარი

ისევ დავხატოთ ცხრილი:

როგორც ხედავთ, ყველაფრისთვის არის ვარიანტები, რომელთაგან ისინი ხელსაყრელია. ანუ ალბათობა ტოლია.

Რატომაც არა?

ჩვენ განვიხილეთ სიტუაცია დამოკიდებული მოვლენების მაგალითი.პირველი ღონისძიება არის კარზე პირველი ზარი, მეორე ღონისძიება არის მეორე კარზე.

და მათ უწოდებენ დამოკიდებულებს, რადგან ისინი გავლენას ახდენენ შემდეგ მოქმედებებზე. ბოლოს და ბოლოს, თუ მეგობარმა კარი პირველი ზარის შემდეგ გააღო, რა იქნება იმის ალბათობა, რომ ის ამ ორიდან ერთ-ერთის უკან იმყოფებოდა? სწორად,.

მაგრამ თუ არის დამოკიდებული მოვლენები, მაშინ უნდა იყოს დამოუკიდებელი? მართალია, არსებობენ.

სახელმძღვანელოს მაგალითია მონეტის სროლა.

1. ჩვენ ვყრით მონეტას. რა არის იმის ალბათობა, რომ მაგალითად თავები ამოვიდეს? ეს ასეა - რადგან ყველაფრის ვარიანტები (თავი თუ კუდი, ჩვენ უგულებელყოფთ მონეტის ზღვარზე დგომის ალბათობას), მაგრამ მხოლოდ ჩვენ ჯდება.
2. მაგრამ კუდები ამოვარდა. კარგი, მოდი ისევ გავაკეთოთ. რა არის ახლა თავების აწევის ალბათობა? არაფერი შეცვლილა, ყველაფერი იგივეა. რამდენი ვარიანტია? ორი. რამდენად ვართ კმაყოფილი? ერთი.

და კუდები ზედიზედ ათასჯერ მაინც ამოვარდეს. თავების ერთდროულად დაცემის ალბათობა იგივე იქნება. ყოველთვის არის ვარიანტები, მაგრამ ხელსაყრელი.

დამოკიდებული მოვლენების დამოუკიდებელი მოვლენებისგან გარჩევა მარტივია:

1. თუ ექსპერიმენტი ჩატარდება ერთხელ (მონეტის გადაყრის შემდეგ, კარზე ზარი ერთხელ და ა.შ.), მაშინ მოვლენები ყოველთვის დამოუკიდებელია.
2. თუ ექსპერიმენტი რამდენჯერმე ჩატარდება (მონეტა ერთხელ ისროლება, კარზე ზარი რამდენჯერმე რეკავს), მაშინ პირველი მოვლენა ყოველთვის დამოუკიდებელია. და შემდეგ, თუ იცვლება ხელსაყრელების რაოდენობა ან ყველა შედეგის რაოდენობა, მაშინ მოვლენები დამოკიდებულია და თუ არა, ისინი დამოუკიდებელია.

ცოტა ვივარჯიშოთ ალბათობის დასადგენად.

მაგალითი 1

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის ზედიზედ ორჯერ თავების აწევის ალბათობა?

გამოსავალი:

განიხილეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი:

1. არწივი არწივი
2. კუდები არწივი
3. კუდები-არწივი
4. კუდები-კუდები

როგორც ხედავთ, ყველა ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ჩვენ ვართ კმაყოფილი. ეს არის ალბათობა:

თუ პირობა ითხოვს უბრალოდ ალბათობის პოვნას, მაშინ პასუხი უნდა იყოს მოცემული ათწილადის სახით. თუ მიეთითებოდა, რომ პასუხი პროცენტულად უნდა მიცემულიყო, მაშინ გავამრავლებდით.

პასუხი:

მაგალითი 2

შოკოლადის კოლოფში ყველა კანფეტი შეფუთულია ერთსადაიმავე შეფუთვაში. თუმცა, ტკბილეულიდან - თხილით, კონიაკით, ალუბლით, კარამელით და ნუგათი.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ აიღოთ ერთი კანფეტი და მიიღოთ კანფეტი თხილით. მიეცით თქვენი პასუხი პროცენტულად.

გამოსავალი:

რამდენი შესაძლო შედეგი არსებობს? .

ანუ ერთი კანფეტის აღება, ყუთში ერთ-ერთი იქნება.

და რამდენი ხელსაყრელი შედეგი?

რადგან ყუთში მხოლოდ შოკოლადებია თხილით.

პასუხი:

მაგალითი 3

ბურთების ყუთში. რომელთაგან თეთრი და შავია.

1. რა არის თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?
2. ჩვენ დავამატეთ მეტი შავი ბურთულები ყუთში. რა არის ახლა თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი:

ა) ყუთში მხოლოდ ბურთებია. რომელთაგან თეთრია.

ალბათობა არის:

ბ) ახლა ყუთში არის ბურთები. და ამდენივე თეთრი დარჩა.

პასუხი:

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

მაგალითად, წითელი და მწვანე ბურთების ყუთში. რამდენია წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა? მწვანე ბურთი? წითელი თუ მწვანე ბურთი?

წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა

მწვანე ბურთი:

წითელი ან მწვანე ბურთი:

როგორც ხედავთ, ყველა შესაძლო მოვლენის ჯამი უდრის (). ამ პუნქტის გაგება დაგეხმარებათ მრავალი პრობლემის გადაჭრაში.

მაგალითი 4

ყუთში არის ფლომასტერები: მწვანე, წითელი, ლურჯი, ყვითელი, შავი.

რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატოს არა წითელი მარკერი?

გამოსავალი:

დავთვალოთ რიცხვი ხელსაყრელი შედეგები.

არ არის წითელი მარკერი, ეს ნიშნავს მწვანე, ლურჯი, ყვითელი ან შავი.

ყველა მოვლენის ალბათობა. და მოვლენების ალბათობა, რომლებიც ჩვენ არახელსაყრელად მივიჩნევთ (როდესაც წითელ ფლომასტერს ამოვიღებთ) არის .

ამრიგად, წითელი ფლომასტერის დახატვის ალბათობა არის -.

პასუხი:

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

თქვენ უკვე იცით, რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები.

და თუ გჭირდებათ იმის პოვნა, რომ ორი (ან მეტი) დამოუკიდებელი მოვლენა ზედიზედ მოხდება?

ვთქვათ, გვინდა ვიცოდეთ, რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ერთხელ გადაგდებით ორჯერ დავინახოთ არწივი?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ - .

რა მოხდება, თუ მონეტას გადავაგდებთ? რამდენია არწივის ზედიზედ ორჯერ ნახვის ალბათობა?

სულ შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები

მე არ ვიცი თქვენი, მაგრამ ერთხელ ეს სია არასწორად შევადგინე. Ვაუ! და ერთადერთი ვარიანტი (პირველი) გვიწყობს.

5 რულონისთვის შეგიძლიათ თავად გააკეთოთ შესაძლო შედეგების სია. მაგრამ მათემატიკოსები შენსავით შრომისმოყვარეები არ არიან.

ამიტომ, მათ ჯერ შენიშნეს, შემდეგ კი დაადასტურეს, რომ დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა ყოველ ჯერზე მცირდება ერთი მოვლენის ალბათობით.

Სხვა სიტყვებით,

განვიხილოთ იგივე, უბედური მონეტის მაგალითი.

ტრიალში თავების გამოჩენის ალბათობა? . ახლა ჩვენ ვყრით მონეტას.

რა არის ზედიზედ კუდების მიღების ალბათობა?

ეს წესი არ მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გვთხოვენ ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ერთი და იგივე მოვლენა ზედიზედ რამდენჯერმე მოხდეს.

თუ გვინდოდა კუდები-EAGLE-TAILS თანმიმდევრობის პოვნა ზედიზედ გადაბრუნებებზე, ჩვენც ასე მოვიქცევით.

კუდების მიღების ალბათობა - , თავები - .

თანმიმდევრობის მიღების ალბათობა Tails-EAGLE-TAILS-TAILS:

შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ცხრილის გაკეთებით.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების წესი.

ასე რომ გაჩერდი! ახალი განმარტება.

მოდი გავარკვიოთ. ავიღოთ ჩვენი გაცვეთილი მონეტა და ერთხელ გადავატრიალოთ.
შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები

ასე რომ, აქ არის შეუთავსებელი მოვლენები, ეს არის მოვლენების გარკვეული, მოცემული თანმიმდევრობა. შეუთავსებელი მოვლენებია.

თუ ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ორი (ან მეტი) შეუთავსებელი მოვლენის ალბათობა, მაშინ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას.

თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ არწივის ან კუდების დაკარგვა ორი დამოუკიდებელი მოვლენაა.

თუ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ალბათობა იმისა, რომ თანმიმდევრობა) (ან სხვა) ამოვარდეს, მაშინ ვიყენებთ ალბათობების გამრავლების წესს.
რა არის ალბათობა, რომ თავები მოხვდეს პირველ დარტყმაზე და კუდები მეორეზე და მესამეზე?

მაგრამ თუ გვინდა ვიცოდეთ, რა არის ალბათობა იმისა, რომ მივიღოთ რამდენიმე მიმდევრობიდან ერთ-ერთი, მაგალითად, როდესაც თავები ამოდის ზუსტად ერთხელ, ე.ი. ოფციები და შემდეგ ჩვენ უნდა დავამატოთ ამ თანმიმდევრობის ალბათობა.

სულ ვარიანტები გვერგება.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე მივიღოთ თითოეული მიმდევრობის გაჩენის ალბათობების შეკრებით:

ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ ალბათობას, როდესაც გვინდა განვსაზღვროთ მოვლენათა ზოგიერთი, შეუთავსებელი, თანმიმდევრობის ალბათობა.

არსებობს შესანიშნავი წესი, რომელიც დაგეხმარებათ არ დაიბნეთ როდის გაამრავლოთ და როდის დაამატოთ:

მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს, როდესაც მონეტა ჯერ გადავაგდეთ და გვინდა გავიგოთ თავების ერთხელ ნახვის ალბათობა.
Რა მოხდება?

უნდა ჩამოაგდეს:
(heads AND tails AND tails) OR (კუდები AND heads AND tails) OR (კუდები AND კუდები და თავები).
და ასე გამოდის:

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 5

ყუთში არის ფანქრები. წითელი, მწვანე, ნარინჯისფერი და ყვითელი და შავი. რამდენია წითელი ან მწვანე ფანქრების დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი:

Რა მოხდება? ჩვენ უნდა გავიყვანოთ (წითელი ან მწვანე).

ახლა გასაგებია, ჩვენ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას:

პასუხი:

მაგალითი 6

კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის, რა არის ალბათობა რომ სულ 8 გამოვიდეს?

გამოსავალი.

როგორ მივიღოთ ქულები?

(და) ან (და) ან (და) ან (და) ან (და).

ერთი (ნებისმიერი) სახიდან ამოვარდნის ალბათობა არის .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას:

პასუხი:

Ვარჯიში.

ვფიქრობ, ახლა თქვენთვის გასაგები გახდა, როდის გჭირდებათ ალბათობების დათვლა, როდის შეკრება და როდის გამრავლება. Ეს არ არის? მოდით ვივარჯიშოთ.

Დავალებები:

ავიღოთ კარტების დასტა, რომელშიც კარტები არის ყვავი, გული, 13 ჯოხი და 13 ტამბური. თითოეული კოსტუმის ტუზიდან.

1. რა არის ზედიზედ კლუბების დახატვის ალბათობა (პირველი ამოღებული კარტი ისევ გემბანში ჩავსვით და ავურიოთ)?
2. რა არის შავი ბარათის (ყვავი ან ჯოხების) დახატვის ალბათობა?
3. რა არის სურათის დახატვის ალბათობა (ჯეკი, დედოფალი, მეფე ან ტუზი)?
4. რა არის ზედიზედ ორი სურათის დახატვის ალბათობა (გემბანიდან ამოღებულ პირველ ბარათს ვაშორებთ)?
5. რა არის იმის ალბათობა, რომ აიღოთ ორი კარტი, შეაგროვოთ კომბინაცია - (ჯეკი, დედოფალი ან მეფე) და ტუზი. თანმიმდევრობას, რომლითაც კარტები გათამაშდება, მნიშვნელობა არ აქვს.

პასუხები:

1. თითოეული ღირებულების ბარათების დასტაში ეს ნიშნავს:
2. მოვლენები დამოკიდებულნი არიან, რადგან პირველი გათამაშების შემდეგ კარტების რაოდენობა დაფაზე შემცირდა (ისევე როგორც "სურათების" რაოდენობა). ჯეკების, დედოფლების, მეფეების და ტუზების სულ თავდაპირველად გემბანზე, რაც ნიშნავს "სურათის" დახატვის ალბათობას პირველი კარტით:

   მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვაშორებთ პირველ ბარათს გემბანიდან, ეს ნიშნავს, რომ დასტაზე უკვე დარჩა კარტი, რომლის სურათებიც არის. მეორე ბარათით სურათის დახატვის ალბათობა:

   ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს სიტუაცია, როდესაც გემბანიდან ვიღებთ: "სურათს" და "სურათს", მაშინ ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ალბათობები:

   პასუხი:

3. პირველი კარტის გათამაშების შემდეგ კარტების რაოდენობა გემბანზე მცირდება, ამდენად, გვაქვს ორი ვარიანტი:
   1) პირველი კარტით ამოგვაქვს ტუზი, მეორე - ჯეკი, დედოფალი ან მეფე
   2) პირველი კარტით ვიღებთ ჯეკს, დედოფალს ან მეფეს, მეორე - ტუზს. (ტუზი და (ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე)) ან ((ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე) და ტუზი). არ დაგავიწყდეთ გემბანზე ბარათების რაოდენობის შემცირება!

თუ თქვენ შეძლეთ ყველა პრობლემის გადაჭრა თავად, მაშინ შესანიშნავი მეგობარი ხართ! ახლა გამოცდაზე ალბათობის თეორიის დავალებებს თხილის მსგავსად დააწკაპუნებთ!

ალბათობის თეორია. საშუალო დონე

განვიხილოთ მაგალითი. ვთქვათ, ჩვენ ვისროლეთ სასიკვდილო. ეს როგორი ძვალია, იცი? ეს არის კუბის სახელი, რომელზეც ნომრებია სახეებზე. რამდენი სახე, ამდენი რიცხვი: რამდენამდე? ადრე.

ასე რომ, ჩვენ ვაგორებთ კვერს და გვინდა, რომ გამოვიდეს ან. და გამოვვარდებით.

ალბათობის თეორიაში ამბობენ რაც მოხდა ხელსაყრელი მოვლენა(კარგში არ უნდა აგვერიოს).

თუ ის დაეცა, ღონისძიებაც სასიხარულო იქნებოდა. საერთო ჯამში, მხოლოდ ორი ხელსაყრელი მოვლენა შეიძლება მოხდეს.

რამდენი ცუდია? ვინაიდან ყველა შესაძლო მოვლენა, მათგან არახელსაყრელი მოვლენაა (ეს თუ ამოვარდება ან).

განმარტება:

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.. ანუ, ალბათობა გვიჩვენებს, თუ რა პროპორციაა ყველა შესაძლო მოვლენის ხელსაყრელი.

ალბათობა აღინიშნება ლათინური ასოთი (როგორც ჩანს, დან ინგლისური სიტყვაალბათობა - ალბათობა).

მიღებულია ალბათობის გაზომვა პროცენტულად (იხ. თემები და). ამისათვის ალბათობის მნიშვნელობა უნდა გამრავლდეს. კამათლის მაგალითში, ალბათობა.

და პროცენტულად: .

მაგალითები (გადაწყვიტეთ თავად):

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის გადაგდება თავებზე დაჯდეს? და რა არის კუდების ალბათობა?
2. რა არის იმის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი გამოვა კამათლის სროლისას? და რა - უცნაური?
3. უბრალო, ლურჯი და წითელი ფანქრების უჯრაში. შემთხვევით ვხატავთ ერთ ფანქარს. რა არის უბრალოების ამოღების ალბათობა?

გადაწყვეტილებები:

1. რამდენი ვარიანტია? თავები და კუდები - მხოლოდ ორი. და რამდენი მათგანია ხელსაყრელი? მხოლოდ ერთია არწივი. ასე რომ, ალბათობა

   იგივე კუდები: .

2. სულ ვარიანტები: (რამდენი გვერდი აქვს კუბს, ამდენი განსხვავებული ვარიანტი). ხელსაყრელი: (ეს ყველაფერი ლუწი რიცხვებია :).
   ალბათობა. უცნაურად, რა თქმა უნდა, იგივე.
3. სულ: . ხელსაყრელი:. ალბათობა: .

სრული ალბათობა

უჯრაში ყველა ფანქარი მწვანეა. რამდენია წითელი ფანქრის დახატვის ალბათობა? შანსები არ არის: ალბათობა (ბოლოს და ბოლოს, ხელსაყრელი მოვლენები -).

ასეთ მოვლენას შეუძლებელს უწოდებენ.

რა არის მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა? არის ზუსტად იმდენი ხელსაყრელი მოვლენა, რამდენიც არის მთლიანი მოვლენა (ყველა მოვლენა ხელსაყრელია). ასე რომ, ალბათობა არის ან.

ასეთ მოვლენას გარკვეული ეწოდება.

თუ ყუთში არის მწვანე და წითელი ფანქრები, რა არის ალბათობა, რომ დავხატოთ მწვანე ან წითელი? Კიდევ ერთხელ. ყურადღება მიაქციეთ შემდეგს: მწვანე ფერის დახატვის ალბათობა ტოლია, წითელი კი არის .

საერთო ჯამში, ეს ალბათობები ზუსტად ტოლია. ანუ ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობის ჯამი უდრის ან.

მაგალითი:

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის იმის ალბათობა, რომ მწვანე არ დახატო?

გამოსავალი:

გახსოვდეთ, რომ ყველა ალბათობა გროვდება. და მწვანე დახატვის ალბათობა ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მწვანე არ დახატვის ალბათობა ტოლია.

დაიმახსოვრეთ ეს ხრიკი:ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენები და გამრავლების წესი

თქვენ ატრიალებთ მონეტას ორჯერ და გინდათ, რომ ის ორივეჯერ ამოვიდეს თავში. რა არის ამის ალბათობა?

მოდით გავიაროთ ყველა შესაძლო ვარიანტი და განვსაზღვროთ რამდენია:

არწივი-არწივი, კუდები-არწივი, არწივი-კუდები, კუდები-კუდები. Სხვა რა?

მთელი ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ერთი გვიწყობს: არწივი-არწივი. ასე რომ, ალბათობა ტოლია.

კარგი. ახლა მოდით გადავაბრუნოთ მონეტა. დათვალეთ თავი. მოხდა? (პასუხი).

თქვენ შეიძლება შეამჩნიეთ, რომ ყოველი შემდეგი სროლის დამატებით, ალბათობა მცირდება ფაქტორით. ზოგადი წესი ე.წ გამრავლების წესი:

იცვლება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა.

რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები? ყველაფერი ლოგიკურია: ეს ისეთებია, რომლებიც ერთმანეთზე არ არიან დამოკიდებული. მაგალითად, როცა მონეტას რამდენჯერმე ვაგდებთ, ყოველ ჯერზე ხდება ახალი სროლა, რომლის შედეგი არ არის დამოკიდებული ყველა წინა სროლაზე. ერთი და იგივე წარმატებით, ჩვენ შეგვიძლია ერთდროულად გადავაგდოთ ორი განსხვავებული მონეტა.

მეტი მაგალითები:

1. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივეჯერ გამოვა?
2. მონეტა იყრება ჯერ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ჯერ თავები და მერე კუდები ორჯერ მოხვდეთ?
3. მოთამაშე აგორებს ორ კამათელს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათზე მოცემული რიცხვების ჯამი ტოლი იქნება?

პასუხები:

1. მოვლენები დამოუკიდებელია, რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესი მუშაობს: .
2. არწივის ალბათობა ტოლია. კუდების ალბათობაც. ვამრავლებთ:
3. 12-ის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი -კი ამოვარდება: .

შეუთავსებელი მოვლენები და დამატების წესი

შეუთავსებელი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს სრული ალბათობით. როგორც სახელი გულისხმობს, ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. მაგალითად, თუ ჩვენ ვესროლეთ მონეტას, შეიძლება ამოვარდეს ან თავები ან კუდები.

მაგალითი.

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი .

მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა ტოლია. წითელი -.

ყველასთვის ხელსაყრელი მოვლენები: მწვანე + წითელი. ასე რომ, მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა ტოლია.

იგივე ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით: .

ეს არის დამატების წესი:შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

შერეული დავალებები

მაგალითი.

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის იმის ალბათობა, რომ რულონების შედეგი განსხვავებული იყოს?

გამოსავალი .

ეს ნიშნავს, რომ თუ თავები პირველი ამოდის, კუდები მეორე უნდა იყოს და პირიქით. გამოდის, რომ აქ არის ორი წყვილი დამოუკიდებელი მოვლენა და ეს წყვილი ერთმანეთთან შეუთავსებელია. როგორ არ დავბნედეთ სად გავამრავლოთ და სად დავამატოთ.

ასეთი სიტუაციებისთვის მარტივი წესი არსებობს. შეეცადეთ აღწეროთ რა უნდა მოხდეს მოვლენების გაერთიანებებთან „AND“ ან „OR“-თან დაკავშირებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში:

უნდა გააფართოვოს (თავები და კუდები) ან (კუდები და თავები).

სადაც არის კავშირი "და", იქნება გამრავლება და სადაც "ან" არის შეკრება:

თავად სცადე:

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ორი გადაგდება ორივე ჯერ ერთი და იგივე მხარეა?
2. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ჯამმა ქულები ჩამოაგდოს?

გადაწყვეტილებები:

1. (თავები მაღლა და თავი მაღლა) ან (კუდები მაღლა და კუდები მაღლა): .
2. რა ვარიანტებია? და. შემდეგ:
   შემოვიდა (და) ან (და) ან (და): .

Სხვა მაგალითი:

ჩვენ ერთხელ ვყრით მონეტას. რა არის ალბათობა იმისა, რომ თავები ერთხელ მაინც ამოვიდეს?

გამოსავალი:

ოჰ, როგორ არ მინდა პარამეტრების დალაგება ... თავები-კუდები-კუდები, არწივის თავები-კუდები, ... მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ! მოდით ვისაუბროთ სრულ ალბათობაზე. Გაიხსენა? რა არის იმის ალბათობა, რომ არწივი არასოდეს ჩამოვარდება? ეს მარტივია: კუდები მუდმივად დაფრინავენ, ეს ნიშნავს.

ალბათობის თეორია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.

დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი მოვლენა დამოუკიდებელია, თუ ერთის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას.

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა უდრის თითოეული მოვლენის ალბათობის ნამრავლს

შეუთავსებელი მოვლენები

შეუთავსებელი მოვლენები არის ის მოვლენები, რომლებიც არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად ექსპერიმენტის შედეგად. რიგი შეუთავსებელი მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ ჯგუფს.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

მას შემდეგ რაც აღვწერეთ რა უნდა მოხდეს, გაერთიანებების "AND" ან "OR" გამოყენებით, "AND"-ის ნაცვლად ჩვენ ვაყენებთ გამრავლების ნიშანს, ხოლო "OR"-ის ნაცვლად - დამატება.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ OGE-სთვის ან მათემატიკაში გამოყენებისთვის "თვეში ერთი ფინჯანი ყავის" ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" მოსამზადებელ პროგრამაზე (rechebnik), ულიმიტო. საცდელი გამოცდადა OGE, 6000 დავალება გადაწყვეტილებების ანალიზით და სხვა YouClever და 100gia სერვისებისთვის.