დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება 2 წერტილში. Სწორი ხაზი

ეს სტატია ავლენს სწორი ხაზის განტოლების წარმოებულს, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეზე. გამოვიტანოთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორ მოცემულ წერტილს. გარკვევით ვაჩვენებთ და ამოხსნით გაშუქებულ მასალასთან დაკავშირებულ რამდენიმე მაგალითს.

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლების მიღებამდე აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ რამდენიმე ფაქტს. არის აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ სიბრტყეზე ორი განსხვავებული წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია სწორი ხაზის დახატვა და მხოლოდ ერთი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიბრტყეზე ორი მოცემული წერტილი განისაზღვრება ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზით.

თუ სიბრტყე განისაზღვრება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით Oxy, მაშინ მასში გამოსახული ნებისმიერი სწორი ხაზი შეესაბამება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებას. ასევე არსებობს კავშირი სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორთან.

მოდით შევხედოთ მსგავსი პრობლემის გადაჭრის მაგალითს. აუცილებელია განტოლების შექმნა სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის ორ განსხვავებულ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2), რომლებიც მდებარეობს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში.

სიბრტყეზე წრფის კანონიკურ განტოლებაში, რომელსაც აქვს ფორმა x - x 1 a x = y - y 1 a y, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y მითითებულია წრფით, რომელიც იკვეთება მასთან M 1 კოორდინატებთან (x) 1, y 1) სახელმძღვანელო ვექტორით a → = (a x , a y) .

აუცილებელია შეიქმნას a სწორი წრფის კანონიკური განტოლება, რომელიც გაივლის ორ წერტილს M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით.

სწორ a-ს აქვს მიმართულების ვექტორი M 1 M 2 → კოორდინატებით (x 2 - x 1, y 2 - y 1), რადგან ის კვეთს M 1 და M 2 წერტილებს. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები კანონიკური განტოლების გადასატანად მიმართულების ვექტორის M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) კოორდინატებით და მათზე მდებარე M 1 წერტილების კოორდინატებით. (x 1, y 1) და M 2 (x 2 , y 2) . ვიღებთ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ფორმის განტოლებას.

განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

გამოთვლების შემდეგ ვწერთ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს სიბრტყეზე, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით. ვიღებთ x = x 1 + (x 2 - x 1) ფორმის განტოლებას · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი 1

ჩაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის 2 მოცემულ წერტილს კოორდინატებით M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

გამოსავალი

კანონიკური განტოლება x 1, y 1 და x 2 კოორდინატებით ორ წერტილზე გადაკვეთილი წრფესთვის y 2 იღებს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ფორმას. ამოცანის პირობების მიხედვით გვაქვს, რომ x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. აუცილებელია რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. აქედან მივიღებთ, რომ კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

პასუხი: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა სხვა ტიპის განტოლებით, მაშინ ჯერ შეგიძლიათ გადახვიდეთ კანონიკურზე, რადგან მისგან სხვაზე გადასვლა უფრო ადვილია.

მაგალითი 2

შედგენა ზოგადი განტოლებასწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილებს M 1 (1, 1) და M 2 (4, 2) კოორდინატებით O x y კოორდინატთა სისტემაში.

გამოსავალი

პირველ რიგში, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მოცემული ხაზის კანონიკური განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში. ვიღებთ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ფორმის განტოლებას.

მოდით მივიყვანოთ კანონიკური განტოლება სასურველ ფორმამდე, შემდეგ მივიღებთ:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

პასუხი: x - 3 y + 2 = 0.

ასეთი ამოცანების მაგალითები განიხილებოდა სკოლის სახელმძღვანელოებში ალგებრის გაკვეთილებზე. სკოლის ამოცანები განსხვავდებოდა იმით, რომ ცნობილი იყო სწორი ხაზის განტოლება კუთხის კოეფიციენტთან, რომელსაც აქვს ფორმა y = k x + b. თუ გჭირდებათ k დახრილობის მნიშვნელობა და b რიცხვი, რომლისთვისაც განტოლება y = k x + b განსაზღვრავს ხაზს O x y სისტემაში, რომელიც გადის M 1 (x 1, y 1) და M 2 ( x 2, y 2), სადაც x 1 ≠ x 2. როდესაც x 1 = x 2 , მაშინ კუთხოვანი კოეფიციენტი იღებს უსასრულობის მნიშვნელობას და სწორი ხაზი M 1 M 2 განისაზღვრება x - x 1 = 0 ფორმის ზოგადი არასრული განტოლებით. .

რადგან ქულები M 1და M 2არიან სწორ ხაზზე, მაშინ მათი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას y 1 = k x 1 + b და y 2 = k x 2 + b. აუცილებელია y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b განტოლებათა სისტემის ამოხსნა k და b.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k და b-ის ამ მნიშვნელობებით, მოცემულ ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება ხდება y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

შეუძლებელია ამხელა რაოდენობის ფორმულების ერთდროულად გახსენება. ამისათვის საჭიროა გამეორებების რაოდენობის გაზრდა პრობლემების გადაჭრაში.

მაგალითი 3

ჩაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება კუთხური კოეფიციენტით, რომელიც გადის წერტილებს M 2 (2, 1) და y = k x + b კოორდინატებით.

გამოსავალი

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულას y = k x + b ფორმის კუთხური კოეფიციენტით. k და b კოეფიციენტებმა უნდა მიიღონ ისეთი მნიშვნელობა, რომ ეს განტოლება შეესაბამებოდეს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (- 7, - 5) და M 2 (2, 1) კოორდინატებით.

ქულები M 1და M 2განლაგებულია სწორ ხაზზე, მაშინ მათმა კოორდინატებმა უნდა აქციონ განტოლება y = k x + b ჭეშმარიტ ტოლად. აქედან მივიღებთ, რომ - 5 = k · (- 7) + b და 1 = k · 2 + b. გავაერთიანოთ განტოლება სისტემაში - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b და ამოვხსნათ.

ჩანაცვლებისას მივიღებთ ამას

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ახლა მნიშვნელობები k = 2 3 და b = - 1 3 ჩანაცვლებულია განტოლებაში y = k x + b. ვხვდებით, რომ მოცემულ წერტილებში გამავალი აუცილებელი განტოლება იქნება y = 2 3 x - 1 3 ფორმის განტოლება.

ხსნარის ეს მეთოდი წინასწარ განსაზღვრავს დიდი დროის დაკარგვას. არსებობს გზა, რომლითაც ამოცანა წყდება სიტყვასიტყვით ორ ეტაპად.

დავწეროთ M 2 (2, 1) და M 1 (- 7, - 5) წრფის კანონიკური განტოლება, რომელსაც აქვს x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ახლა გადავიდეთ დახრილობის განტოლებაზე. მივიღებთ, რომ: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

პასუხი: y = 2 3 x - 1 3 .

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z ორი მოცემული არადამთხვევა წერტილით კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), სწორი ხაზი M, რომელიც გადის მათ 1 M 2, აუცილებელია ამ ხაზის განტოლების მიღება.

გვაქვს x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ფორმის კანონიკური განტოლებები და x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z. 1 + a z · λ შეუძლია განსაზღვროს წრფე კოორდინატთა სისტემაში O x y z, რომელიც გადის წერტილებს, რომლებსაც აქვთ კოორდინატები (x 1, y 1, z 1) მიმართულების ვექტორით a → = (a x, a y, a z).

სწორი M 1 M 2 აქვს მიმართულების ვექტორი M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), სადაც სწორი ხაზი გადის M 1 წერტილში (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2 , y 2 , z 2), მაშასადამე, კანონიკური განტოლება შეიძლება იყოს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, თავის მხრივ პარამეტრული x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

განვიხილოთ ნახაზი, რომელიც აჩვენებს 2 მოცემულ წერტილს სივრცეში და სწორი ხაზის განტოლებას.

მაგალითი 4

დაწერეთ სამგანზომილებიანი სივრცის O x y z მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განსაზღვრული წრფის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილს M 1 (2, - 3, 0) და M 2 (1, - 3, - 5) კოორდინატებით.

გამოსავალი

აუცილებელია კანონიკური განტოლების პოვნა. იმიტომ რომ ჩვენ ვსაუბრობთსამგანზომილებიანი სივრცის შესახებ, რაც ნიშნავს, რომ როდესაც სწორი ხაზი გადის მოცემულ წერტილებში, სასურველი კანონიკური განტოლება მიიღებს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

პირობით გვაქვს, რომ x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. აქედან გამომდინარეობს, რომ საჭირო განტოლებები დაიწერება შემდეგნაირად:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

პასუხი: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მოდით მივცეთ ორი ქულა M 1 (x 1, y 1)და M 2 (x 2, y 2). დავწეროთ წრფის განტოლება (5) სახით, სადაც კჯერ უცნობი კოეფიციენტი:

მას შემდეგ რაც წერტილი M 2მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (5): . აქედან გამოვხატავთ და შევცვლით განტოლებას (5), მივიღებთ საჭირო განტოლებას:

თუ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს იმ ფორმით, რომელიც უფრო მოსახერხებელია დასამახსოვრებლად:

(6)

მაგალითი.ჩაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 1 (1,2) და M 2 (-2,3) წერტილებზე.

გამოსავალი. . პროპორციის თვისების გამოყენებით და საჭირო გარდაქმნების შესრულებით ვიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას:

კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი ლ 1და ლ 2:

ლ 1: , , და

ლ 2: , ,

φ არის კუთხე მათ შორის (). მე-4 ნახდან ირკვევა: .

აქედან , ან

ფორმულის გამოყენებით (7) შეგიძლიათ განსაზღვროთ ერთ-ერთი კუთხე სწორ ხაზებს შორის. მეორე კუთხე უდრის.

მაგალითი. ორი წრფე მოცემულია y=2x+3 და y=-3x+2 განტოლებებით. იპოვნეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.

გამოსავალი. განტოლებიდან ირკვევა, რომ k 1 =2, და k 2 =-3. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფორმულაში (7), ჩვენ ვპოულობთ

. ამრიგად, ამ ხაზებს შორის კუთხე უდრის.

ორი სწორი წრფის პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები

თუ სწორი ლ 1და ლ 2პარალელურები არიან მაშინ φ=0 და tgφ=0. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რომ , საიდანაც k 2 = k 1. ამრიგად, ორი წრფის პარალელურობის პირობაა მათი კუთხური კოეფიციენტების ტოლობა.

თუ სწორი ლ 1და ლ 2არიან პერპენდიკულარული, მაშინ φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . ამრიგად, ორი სწორი წრფის პერპენდიკულარობის პირობა არის ის, რომ მათი კუთხური კოეფიციენტები შებრუნებული იყოს სიდიდით და საპირისპირო ნიშნით.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი Ax + Bу + C = 0 წრფემდე განისაზღვრება როგორც

მტკიცებულება. წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ სწორ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:

კოორდინატები x 1 და y 1 შეგიძლიათ იპოვოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება ეს წერტილი M 0 არის მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული.

თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი.დაადგინეთ კუთხე წრფეებს შორის: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

მაგალითი.აჩვენეთ, რომ წრფეები 3x – 5y + 7 = 0 და 10x + 6y – 3 = 0 პერპენდიკულურია.

ჩვენ ვპოულობთ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, შესაბამისად, ხაზები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი.მოცემულია სამკუთხედის A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) წვეროები. იპოვეთ C წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.

ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

საჭირო სიმაღლის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + By + C = 0 ან y = kx + b.

k= . მაშინ y =. იმიტომ რომ სიმაღლე გადის C წერტილში, შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას: საიდანაც b = 17. სულ: .

პასუხი: 3x + 2y – 34 = 0.

მანძილი წერტილიდან წრფემდე განისაზღვრება წერტილიდან ხაზამდე შედგენილი პერპენდიკულარულის სიგრძით.

თუ ხაზი პროექციის სიბრტყის პარალელურია (სთ | | P 1), შემდეგ წერტილიდან მანძილის დასადგენად ასწორ ხაზზე თაუცილებელია წერტილიდან პერპენდიკულარის დაწევა აჰორიზონტალურამდე თ.

განვიხილოთ მეტი რთული მაგალითი, როდესაც ხაზი იკავებს ზოგად პოზიციას. მოდით, საჭირო გახდეს მანძილის განსაზღვრა წერტილიდან მსწორ ხაზზე აზოგადი პოზიცია.

განსაზღვრის ამოცანა მანძილი პარალელურ ხაზებს შორისწყდება ისევე, როგორც წინა. წერტილი აღებულია ერთ წრფეზე და მისგან პერპენდიკულარი იშლება მეორე წრფეზე. პერპენდიკულარის სიგრძე უდრის პარალელურ ხაზებს შორის მანძილს.

მეორე რიგის მრუდიეწოდება ხაზს, რომელიც განსაზღვრულია დენის მიმართ მეორე ხარისხის განტოლებით დეკარტის კოორდინატები. ზოგად შემთხვევაში, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

სადაც A, B, C, D, E, F - რეალური რიცხვებიდა მინიმუმ ერთი რიცხვიდან A 2 +B 2 +C 2 ≠0.

წრე

წრის ცენტრი- ეს არის წერტილების გეომეტრიული ადგილი სიბრტყეში, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული C(a,b) სიბრტყის წერტილიდან.

წრე მოცემულია შემდეგი განტოლებით:

სადაც x,y არის წრის თვითნებური წერტილის კოორდინატები, R არის წრის რადიუსი.

წრის განტოლების ნიშანი

1. ტერმინი x, y-ით აკლია

2. x 2 და y 2-ის კოეფიციენტები ტოლია

ელიფსი

ელიფსისიბრტყეში წერტილების გეომეტრიულ ადგილს უწოდებენ, რომელთაგან თითოეულის მანძილების ჯამს ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან ეწოდება ფოკუსი (მუდმივი მნიშვნელობა).

ელიფსის კანონიკური განტოლება:

X და y ეკუთვნის ელიფსს.

ა – ელიფსის ნახევარმთავარი ღერძი

ბ – ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი

ელიფსს აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი OX და OU. ელიფსის სიმეტრიის ღერძი არის მისი ღერძი, მათი გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის ცენტრი. ღერძი, რომელზედაც კერები მდებარეობს, ე.წ ფოკუსური ღერძი. ელიფსის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის წვერო.

შეკუმშვის (დაძაბულობის) თანაფარდობა: ε = ს/ა– ექსცენტრიულობა (ახასიათებს ელიფსის ფორმას), რაც უფრო მცირეა ის, მით ნაკლებია ელიფსი გაშლილი ფოკუსური ღერძის გასწვრივ.

თუ ელიფსის ცენტრები არ არის ცენტრში C(α, β)

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლაეწოდება სიბრტყეში წერტილების გეომეტრიული ლოკუსი, დისტანციების სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის ნულისაგან განსხვავებული მუდმივი მნიშვნელობა.

კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი:

ა – სიმეტრიის რეალური ნახევრადღერძი

ბ – სიმეტრიის წარმოსახვითი ნახევრადღერძი

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები:

პარაბოლა

პარაბოლაარის წერტილების ლოკუსი სიბრტყეში, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან F, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული ხაზი, რომელსაც ეწოდება მიმართულება.

პარაბოლის კანონიკური განტოლება:

У 2 =2рх, სადაც р არის მანძილი ფოკუსიდან მიმართულებამდე (პარაბოლის პარამეტრი)

თუ პარაბოლის წვერო არის C (α, β), მაშინ პარაბოლის განტოლება (y-β) 2 = 2р(x-α)

თუ ფოკუსური ღერძი მიიღება ორდინატთა ღერძად, მაშინ პარაბოლის განტოლება მიიღებს ფორმას: x 2 =2qу

მოდი ვნახოთ, როგორ შევქმნათ განტოლება ორ წერტილში გამავალი წრფის მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 1.

დაწერეთ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის A(-3; 9) და B(2;-1) წერტილებზე.

მეთოდი 1 - შექმენით სწორი ხაზის განტოლება კუთხის კოეფიციენტით.

სწორი ხაზის განტოლებას კუთხოვანი კოეფიციენტით აქვს ფორმა . A და B წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით სწორი ხაზის განტოლებაში (x= -3 და y=9 - პირველ შემთხვევაში, x=2 და y= -1 - მეორეში), მივიღებთ განტოლებათა სისტემას. საიდანაც ვპოულობთ k და b მნიშვნელობებს:

1-ლი და მე-2 განტოლების ტერმინებით ვამატებით მივიღებთ: -10=5k, საიდანაც k= -2. მეორე განტოლებაში k= -2 ჩანაცვლებით ვპოულობთ b: -1=2·(-2)+b, b=3.

ამრიგად, y= -2x+3 არის საჭირო განტოლება.

მეთოდი 2 - შევქმნათ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.

სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა . A და B წერტილების კოორდინატების განტოლებაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ სისტემას:

ვინაიდან უცნობთა რიცხვი მეტია განტოლებათა რაოდენობაზე, სისტემა არ არის ამოსახსნელი. მაგრამ ყველა ცვლადი შეიძლება გამოიხატოს ერთი. მაგალითად, ბ.

სისტემის პირველი განტოლების -1-ზე გამრავლებით და ტერმინით მეორეს მიმატებით:

ვიღებთ: 5a-10b=0. აქედან გამომდინარე a=2b.

მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლოთ მეორე განტოლებით: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
ჩაანაცვლეთ a=2b, c= -3b განტოლებაში ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. რჩება ორივე მხარის გაყოფა b-ზე:

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს სწორი ხაზის განტოლებამდე კუთხოვანი კოეფიციენტით:

მეთოდი 3 - შექმენით სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის 2 წერტილს.

ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება არის:

ამ განტოლებაში ჩავანაცვლოთ A(-3; 9) და B(2;-1) წერტილების კოორდინატები.

(ანუ x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

და გაამარტივეთ:

საიდანაც 2x+y-3=0.

IN სკოლის კურსიყველაზე ხშირად გამოიყენება სწორი ხაზის განტოლება ფერდობთან. მაგრამ უმარტივესი გზაა ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლების ფორმულის გამოყვანა და გამოყენება.

კომენტარი.

თუ მოცემული წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებისას განტოლების ერთ-ერთი მნიშვნელი

გამოდის ნულის ტოლი, მაშინ საჭირო განტოლება მიიღება შესაბამისი მრიცხველის ნულთან გატოლებით.

მაგალითი 2.

დაწერეთ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის ორ წერტილზე C(5; -2) და D(7;-2).

C და D წერტილების კოორდინატებს ვცვლით 2 წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებაში.

მოდით მივცეთ ორი ქულა მ(X 1 ,უ 1) და ნ(X 2,წ 2). ვიპოვოთ ამ წერტილებში გამავალი წრფის განტოლება.

ვინაიდან ეს ხაზი გადის წერტილში მ, მაშინ ფორმულის მიხედვით (1.13) მის განტოლებას აქვს ფორმა

უ – ი 1 = კ(X–x 1),

სად კ– უცნობი კუთხური კოეფიციენტი.

ამ კოეფიციენტის მნიშვნელობას განვსაზღვრავთ იმ პირობით, რომ სასურველი სწორი ხაზი გაივლის წერტილს ნ, რაც ნიშნავს, რომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (1.13)

ი 2 – ი 1 = კ(X 2 – X 1),

აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ხაზის დახრილობა:

,

ან კონვერტაციის შემდეგ

(1.14)

ფორმულა (1.14) განსაზღვრავს ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მ(X 1, ი 1) და ნ(X 2, ი 2).

განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როცა ქულები მ(ა, 0), ნ(0, ბ), ა ¹ 0, ბ¹ 0, დაწექი კოორდინატთა ღერძებზე, განტოლება (1.14) უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს

განტოლება (1.15)დაურეკა სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, Აქ ადა ბაღნიშნეთ ღერძებზე სწორი ხაზით მოწყვეტილი სეგმენტები (სურათი 1.6).

სურათი 1.6

მაგალითი 1.10. დაწერეთ განტოლება წრფეზე, რომელიც გადის წერტილებს მ(1, 2) და ბ(3, –1).

. (1.14) მიხედვით, სასურველი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

2(ი – 2) = -3(X – 1).

ყველა ტერმინი მარცხენა მხარეს გადავიტანოთ, საბოლოოდ მივიღებთ სასურველ განტოლებას

3X + 2ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.11. დაწერეთ განტოლება წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს მ(2, 1) და ხაზების გადაკვეთის წერტილი X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. ამ განტოლებების ერთად ამოხსნით ვიპოვით წრფეთა გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს

თუ ამ განტოლებებს ვამატებთ ტერმინით, მივიღებთ 2-ს X+ 1 = 0, საიდანაც . ნაპოვნი მნიშვნელობის ნებისმიერ განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიპოვით ორდინატის მნიშვნელობას უ:

ახლა დავწეროთ (2, 1) წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება და:

ან .

ამიტომ ან -5( ი – 1) = X – 2.

საბოლოოდ ვიღებთ სასურველი ხაზის განტოლებას ფორმაში X + 5ი – 7 = 0.

მაგალითი 1.12. იპოვეთ წერტილებში გამავალი წრფის განტოლება მ(2.1) და ნ(2,3).

ფორმულის გამოყენებით (1.14) ვიღებთ განტოლებას

აზრი არ აქვს, რადგან მეორე მნიშვნელი არის ნული. პრობლემის პირობებიდან ირკვევა, რომ ორივე წერტილის აბსცისებს ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვთ. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი სწორი ხაზი ღერძის პარალელურია OYდა მისი განტოლებაა: x = 2.

კომენტარი . თუ (1.14) ფორმულის გამოყენებით წრფის განტოლების დაწერისას ერთ-ერთი მნიშვნელი ნულის ტოლი აღმოჩნდება, მაშინ სასურველი განტოლების მიღება შესაძლებელია შესაბამისი მრიცხველის ნულთან გატოლებით.

განვიხილოთ სიბრტყეზე წრფის განსაზღვრის სხვა გზები.

1. ნულოვანი ვექტორი იყოს მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარული ლდა მიუთითეთ მ 0(X 0, ი 0) დევს ამ ხაზზე (სურათი 1.7).

სურათი 1.7

აღვნიშნოთ მ(X, ი) ხაზის ნებისმიერი წერტილი ლ. ვექტორები და ორთოგონალური. ამ ვექტორების ორთოგონალურობის პირობების გამოყენებით ვიღებთ ან ა(X – X 0) + ბ(ი – ი 0) = 0.

ჩვენ მივიღეთ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მ 0 არის ვექტორის პერპენდიკულარული. ამ ვექტორს ე.წ ნორმალური ვექტორი სწორ ხაზზე ლ. შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

ოჰ + ვუ + თან= 0, სადაც თან = –(აX 0 + ავტორი 0), (1.16),

სად ადა IN- ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

ვიღებთ წრფის ზოგად განტოლებას პარამეტრული ფორმით.

2. სიბრტყეზე სწორი ხაზი შეიძლება განვსაზღვროთ შემდეგნაირად: ნულოვანი ვექტორი პარალელურად იყოს მოცემული სწორი წრფისა. ლდა პერიოდი მ 0(X 0, ი 0) დევს ამ ხაზზე. კიდევ ერთხელ ავიღოთ თვითნებური წერტილი მ(X, y) სწორ ხაზზე (სურათი 1.8).

სურათი 1.8

ვექტორები და კოლინარული.

დავწეროთ ამ ვექტორების კოლინარობის პირობა: , სად თ- თვითნებური რიცხვი, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. მოდით დავწეროთ ეს ტოლობა კოორდინატებში:

ეს განტოლებები ე.წ პარამეტრული განტოლებები პირდაპირ. გამოვრიცხოთ პარამეტრი ამ განტოლებიდან თ:

ეს განტოლებები სხვაგვარად შეიძლება დაიწეროს როგორც

. (1.18)

შედეგად მიღებული განტოლება ე.წ წრფის კანონიკური განტოლება. ვექტორი ე.წ მიმართულების ვექტორი სწორია .

კომენტარი . ადვილი მისახვედრია, რომ თუ არის წრფის ნორმალური ვექტორი ლ, მაშინ მისი მიმართულების ვექტორი შეიძლება იყოს ვექტორი ვინაიდან , ე.ი.

მაგალითი 1.13. დაწერეთ წერტილის გავლის წრფის განტოლება მ 0(1, 1) მე-3 წრფის პარალელურად X + 2უ– 8 = 0.

გამოსავალი . ვექტორი არის ნორმალური ვექტორი მოცემული და სასურველი ხაზებისთვის. გამოვიყენოთ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მ 0 მოცემული ნორმალური ვექტორით 3( X –1) + 2(უ- 1) = 0 ან 3 X + 2უ– 5 = 0. მივიღეთ სასურველი ხაზის განტოლება.