კოსინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელ მხარეს ეწოდება
სინუსი მწვავე კუთხემართკუთხა სამკუთხედის α არის თანაფარდობა საწინააღმდეგოფეხი ჰიპოტენუზამდე.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: sin α.
კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედის α მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: cos α.
ტანგენტიმწვავე კუთხე α არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: tg α.
კოტანგენსიმწვავე კუთხე α არის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctg α.
კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის ზომაზე.
წესები:
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები მართკუთხა სამკუთხედში:
(α - მწვავე კუთხე ფეხის საპირისპიროდ ბ და ფეხის მიმდებარედ ა . მხარე თან - ჰიპოტენუზა. β - მეორე მწვავე კუთხე).
ბ | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ა | 1 | |
ბ | 1 | |
ა | 1 1 | |
sin α |
როგორც მწვავე კუთხე იზრდებაsin α დაtan α მატება დაcos α მცირდება.
ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
მაგალითი-ახსნა:
ჩავდოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC
AB = 6,
BC = 3,
კუთხე A = 30º.
გავარკვიოთ A კუთხის სინუსი და B კუთხის კოსინუსი.
გამოსავალი .
1) ჯერ ვიპოვით B კუთხის მნიშვნელობას. აქ ყველაფერი მარტივია: რადგან მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º, მაშინ კუთხე B = 60º:
B = 90º - 30º = 60º.
2) გამოვთვალოთ sin A. ვიცით, რომ სინუსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. A კუთხისთვის მოპირდაპირე მხარე არის BC გვერდი. Ისე:
ძვ.წ 31
ცოდვა A = -- = - = -
AB 6 2
3) ახლა გამოვთვალოთ cos B. ვიცით, რომ კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. B კუთხისთვის, მიმდებარე ფეხი არის იგივე მხარე BC. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ კვლავ უნდა გავყოთ BC AB-ზე - ანუ შევასრულოთ იგივე მოქმედებები, როგორც A კუთხის სინუსის გამოთვლისას:
ძვ.წ 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2
შედეგი არის:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში, ერთი მახვილი კუთხის სინუსი უდრის სხვა მახვილი კუთხის კოსინუსს - და პირიქით. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ჩვენი ორი ფორმულა ნიშნავს:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
მოდით, კიდევ ერთხელ დავრწმუნდეთ ამაში:
1) მოდით α = 60º. α-ს მნიშვნელობის სინუს ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
ცოდვა (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) მოდით α = 30º. α-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით კოსინუსების ფორმულაში მივიღებთ:
cos (90° - 30º) = ცოდვა 30º.
cos 60° = ცოდვა 30º.
(ტრიგონომეტრიის შესახებ დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ განყოფილება ალგებრა)
ინსტრუქციები
მეთოდი 1. პითაგორას თეორემის გამოყენება. თეორემა ამბობს: ჰიპოტენუზის კვადრატი ჯამის ტოლიფეხების კვადრატები. აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი შეიძლება გამოითვალოს მისი ორი სხვა გვერდის ცოდნით (ნახ. 2).
მეთოდი 2. იქიდან გამომდინარეობს, რომ ჰიპოტენუზამდე გამოყვანილი მედიანა ქმნის 3 მსგავს სამკუთხედს ერთმანეთთან (ნახ. 3). ამ ფიგურაში სამკუთხედები ABC, BCD და ACD მსგავსია.
მაგალითი 6: ერთეული წრეების გამოყენება კოორდინატების მოსაძებნად
პირველ რიგში ვპოულობთ მოცემული კუთხის შესაბამის მიმართვის კუთხეს. შემდეგ ვიღებთ საცნობარო კუთხის სინუს და კოსინუს მნიშვნელობებს და ვაძლევთ მათ კვადრატის y- და x- მნიშვნელობებს. შემდეგ ვიპოვით მოცემული კუთხის კოსინუსს და სინუსს.
საცრის კუთხე, კუთხის სამკუთხედი და კუბის ფესვი
პოლიგონები, რომლებიც შეიძლება აშენდეს კომპასისა და მმართველის გამოყენებით, მოიცავს.შენიშვნა: საცრის კუთხე არ შეიძლება აშენდეს კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით. კუბის გვერდის სიგრძის გამრავლება კუბის ფესვზე 2-ზე იძლევა კუბის გვერდის სიგრძეს ორჯერ მეტი მოცულობით. ფრანგი მათემატიკოსის ევარისტ გალუას პიონერული თეორიის გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ სამივე კლასიკური პრობლემებიწრითა და სახაზავით მშენებლობა შეუძლებელია.
ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის ზომა.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: სამნაწილიანი კუთხისა და კუბური ფესვის აგება კომპასით და სახაზავით შეუძლებელია. 
მეორე მხრივ, კარდანოს ფორმულის გამოყენებით მესამე ხარისხის განტოლების ამონახსნი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კუთხისა და კუბის ფესვის გაყოფით. მომავალში, ჩვენ ვაშენებთ გარკვეულ კუთხეს წრით და სახაზავებით. თუმცა, მას შემდეგ, რაც კუთხე სამკუთხედია და კუბის ფესვი განისაზღვრება, საცრის კვადრატის დიზაინის დასრულება შეიძლება გაკეთდეს კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით.
გისოსის გემბანის აგება ამ გაანგარიშების მიხედვით
კონსტრუქციული ამოცანის ალგებრული ფორმულირება მივყავართ განტოლებამდე, სტრუქტურული ანალიზირომელიც მოგაწვდით დამატებით ინფორმაციას სამიანი კონსტრუქციის აგების შესახებ. აქ გამოიყენება კუთხისა და მის კოსინუსს შორის ერთი-ერთზე კავშირი: თუ კუთხის სიდიდე ცნობილია, კუთხის კოსინუსის სიგრძე შეიძლება ცალსახად იყოს აგებული. ერთეული წრედა პირიქით.
ინსტრუქციები
მართკუთხა სამკუთხედის ცნობილი ფეხისა და მახვილი კუთხის გათვალისწინებით, ჰიპოტენუზის ზომა შეიძლება ტოლი იყოს ფეხის თანაფარდობა ამ კუთხის კოსინუსთან/სინუსთან, თუ ეს კუთხე არის მის საპირისპირო/მიმდებარე:
h = C1(ან C2)/sinα;
h = C1 (ან C2)/cosα.
მაგალითი: აბს მართკუთხა სამკუთხედი AB და მართი კუთხე C იყოს 60 გრადუსი და კუთხე A 30 გრადუსი . ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული ნებისმიერი მეთოდი:
ეს ერთი-ერთზე დავალება საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ კუთხის განსაზღვრიდან კუთხის კოსინუსის განსაზღვრაზე. შემდეგში 3φ აღნიშნავს გასაყოფ კუთხეს. ამრიგად, φ არის კუთხე, რომლის მნიშვნელობა უნდა განისაზღვროს მოცემულ 3 φ-ზე. დაწყებული ტრიგონომეტრიიდან ცნობილი კავშირებით.
ის მიჰყვება მოცემულ კუთხით 3 φ. სამგანზომილებიანი განტოლების ამოხსნადობის ალგებრული განხილვა პირდაპირ იწვევს ამონახსნების აგების შესაძლებლობის საკითხს და, შესაბამისად, მოცემული კუთხის კონსტრუქციული სამმაგი კუთხის შესაძლებლობის ან შეუძლებლობის საკითხს.
AB = BC/cos60 = 8 სმ.
AB = BC/sin30 = 8 სმ.
ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია პითაგორას თეორემის ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების გამოყენებით.
გასასვლელი კუთხის სიდიდე დიდ გავლენას ახდენს მესამე კუთხის დაკავშირების შესაძლებლობაზე, რადგან ეს, როგორც აბსოლუტური ტერმინი, გადამწყვეტად განსაზღვრავს ამონახსნების ტიპს სამგანზომილებიან განტოლებაში. თუ სამკუთხედის განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ამონახსნი, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნეს რაციონალური მოქმედებებით ან მოცემული საწყისი კუთხისთვის კვადრატული ფესვების დახატვით, ეს ამონახსნი კონსტრუქციულია.
ბრაიდენბახმა ჩამოაყალიბა როგორც კრიტერიუმი, რომ სამწამიანი კუთხის ინტერპრეტაცია შესაძლებელია მხოლოდ რაციონალური გადაწყვეტილებასამნაწილიანი განტოლებები. თუ ასეთი გამოსავალი არ არის ხელმისაწვდომი, სამნაწილიანი დიზაინის პრობლემა შეუთავსებელია კომპასთან და სახაზავთან. კლასტერული ანალიზი არის ზოგადი ტექნიკა მონაცემთა დიდი ნაკრებიდან მცირე ჯგუფების შეკრებისთვის. დისკრიმინაციული ანალიზის მსგავსად, კლასტერული ანალიზი ასევე გამოიყენება დაკვირვებების ჯგუფებად კლასიფიკაციისთვის. მეორე მხრივ, დისკრიმინაციული ანალიზი მოითხოვს ჯგუფის წევრობების ცოდნას კლასიფიკაციის წესის გამოსათვლელად გამოყენებულ შემთხვევებში.
ინსტრუქციები
ფეხები არის მართკუთხა სამკუთხედის მიმდებარე გვერდები სწორი კუთხე. ფიგურაში, ფეხები მითითებულია AB და BC. მიეცით ორივე ფეხის სიგრძე. ავღნიშნოთ ისინი როგორც |AB| და |ძვ.წ.|. ჰიპოტენუზის |AC|-ის სიგრძის საპოვნელად ვიყენებთ პითაგორას თეორემას. ამ თეორემის მიხედვით, ფეხის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს, ე.ი. ჩვენი ფიგურის აღნიშვნაში |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. ფორმულიდან ვხვდებით, რომ ჰიპოტენუზის AC სიგრძე გვხვდება |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
კლასტერული ანალიზი უფრო პრიმიტიული მეთოდია, რადგან ის არ აკეთებს ვარაუდებს ჯგუფების რაოდენობის ან ჯგუფის წევრობის შესახებ. კლასიფიკაცია კლასტერული ანალიზი საშუალებას გვაძლევს აღმოვაჩინოთ პოტენციური ურთიერთობები და შევქმნათ სისტემატური სტრუქტურა ცვლადებისა და დაკვირვებების დიდ რაოდენობაში. იერარქიული კლასტერული ანალიზი არის ძირითადი სტატისტიკური მეთოდი შემთხვევათა შედარებით ჰომოგენური კლასტერების მოსაძებნად გაზომილი მახასიათებლების საფუძველზე. იგი იწყება თითოეული შემთხვევით, როგორც ცალკეული კლასტერი.
შემდეგ კლასტერები გაერთიანებულია თანმიმდევრობით, კლასტერების რაოდენობა მცირდება ყოველ ნაბიჯზე, სანამ მხოლოდ ერთი კლასტერი დარჩება. კლასტერიზაციის მეთოდი იყენებს ობიექტებს შორის განსხვავებებს კლასტერების შესაქმნელად. იერარქიული კლასტერული ანალიზი საუკეთესოდ შეეფერება მცირე ნიმუშებს.
მოდით შევხედოთ მაგალითს. მოდით ფეხების სიგრძე |AB| = 13, |ძვ.წ.| = 21. პითაგორას თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. ჰიპოტენუზის სიგრძის მისაღებად აუცილებელია კვადრატული ფესვის ამოღება. ფეხების კვადრატების ჯამი, ე.ი. 610 ნომრიდან: |AC| = √610. მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ რიცხვი 610 არ არის რომელიმე მთელი რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. ჰიპოტენუზის სიგრძის საბოლოო მნიშვნელობა რომ მივიღოთ, შევეცადოთ ამოიღოთ სრული კვადრატი ფესვის ნიშნის ქვეშ. ამისათვის 610 რიცხვის ფაქტორიზაციას მოვახდინოთ. 610 = 2 * 5 * 61. მარტივი რიცხვების ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ 61 არის მარტივი რიცხვი. ამიტომ √610 რიცხვის შემდგომი შემცირება შეუძლებელია. ვიღებთ საბოლოო პასუხს |AC| = √610.
თუ ჰიპოტენუზის კვადრატი იყო, მაგალითად, 675, მაშინ √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. თუ ასეთი შემცირება შესაძლებელია, შეასრულეთ საპირისპირო შემოწმება - შედეგის კვადრატი და შეადარე თავდაპირველ მნიშვნელობას.
იერარქიული კლასტერული ანალიზი მხოლოდ ერთ-ერთი გზაა ერთგვაროვანი ცვლადი ჯგუფების ფორმირების დასაკვირვებლად. არ არსებობს კონკრეტული გზა თქვენი ანალიზისთვის კლასტერების რაოდენობის დასაყენებლად. შეიძლება დაგჭირდეთ დენდროგრამის და ასევე კლასტერების მახასიათებლების დათვალიერება და შემდეგ რიცხვის ეტაპობრივად კორექტირება, რომ მიიღოთ კარგი კასეტური ამოხსნა.
როდესაც ცვლადები იზომება სხვადასხვა მასშტაბით, თქვენ გაქვთ სამი გზა ცვლადების სტანდარტიზაციისთვის. შედეგად, ყველა ცვლადი მონაწილეობს დაახლოებით თანაბარი პროპორციით მანძილის გაზომვაში, მიუხედავად იმისა, რომ თქვენ შეიძლება დაკარგოთ ინფორმაცია ცვლადების დისპერსიის შესახებ.
გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. კონკრეტულად რომ ვთქვათ, ეს იყოს მხარე |AB| და კუთხე α. შემდეგ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოსინუსის ფორმულა - კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. იმათ. ჩვენს აღნიშვნაში cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის |AC|-ის სიგრძეს = |AB| / cos α.
თუ ვიცით მხარე |ძვ.წ.| და კუთხე α, მაშინ გამოვიყენებთ ფორმულას კუთხის სინუსის გამოსათვლელად - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. ჩვენ ვხვდებით, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძეა |AC| = |ძვ.წ.| / cos α.
ევკლიდური მანძილი: ევკლიდური მანძილი გაზომვის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია. კვადრატული ევკლიდური მანძილი: კვადრატული ევკლიდური მანძილი ყურადღებას ამახვილებს ობიექტებზე, რომლებიც ერთმანეთისგან შორს არიან. ქალაქის ბლოკის მანძილი: ორივე ქალაქის ბლოკი და ევკლიდური მანძილი მინკოვსკის მეტრიკის განსაკუთრებული შემთხვევებია. მიუხედავად იმისა, რომ ევკლიდეს მანძილი შეესაბამება უმოკლესი ბილიკის სიგრძეს ორ წერტილს შორის, ქალაქის ბლოკის მანძილი არის თითოეული განზომილების გასწვრივ მანძილების ჯამი. პირსონის კორელაციური მანძილი განსხვავება 1-სა და ორი დაკვირვების კოსინუსების კოეფიციენტს შორის არის ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსი. ჯაკარდის მანძილი განსხვავება 1-სა და ჯაკარდის კოეფიციენტს შორის ორობითი მონაცემებისთვის, ჯაკარდის კოეფიციენტი არის გადახურვის ოდენობის თანაფარდობა და ორი დაკვირვების ჯამი. უახლოესი მეზობელი ეს მეთოდი ვარაუდობს, რომ ორ კლასტერს შორის მანძილი შეესაბამება მათ უახლოეს მეზობელ ობიექტებს შორის მანძილს. საუკეთესო მეზობელი ამ მეთოდით, მანძილი ორ კლასტერს შორის შეესაბამება მაქსიმალურ მანძილს ორ ობიექტს შორის სხვადასხვა კლასტერში. ჯგუფის საშუალო: ამ მეთოდით, მანძილი ორ კლასტერს შორის შეესაბამება საშუალო მანძილს ყველა წყვილ ობიექტს შორის სხვადასხვა კლასტერში. ეს მეთოდი ზოგადად რეკომენდირებულია, რადგან ის შეიცავს უფრო მეტ ინფორმაციას. მედიანა ეს მეთოდი ცენტრალური მეთოდის იდენტურია, გარდა იმისა, რომ ის არაწონიანია. შემდეგ გამოითვლება თითოეული შემთხვევისთვის კვადრატული ევკლიდური მანძილი კასეტურ საშუალებებამდე. კლასტერი, რომელიც უნდა გაერთიანდეს, არის ის, რომელიც ზრდის მინიმუმს. ანუ, ეს მეთოდი მინიმუმამდე ამცირებს კვადრატული მანძილების ჯამის ზრდას კლასტერებში. ეს მეთოდი მიდრეკილია შექმნას უფრო მცირე კლასტერები.
- ეს არის გეომეტრიული მანძილი მრავალგანზომილებიან სივრცეში.
- ის შესაფერისია მხოლოდ უწყვეტი ცვლადებისთვის.
- კოსინუსის მანძილი ორ მნიშვნელობის ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსი.
- ეს მეთოდი რეკომენდირებულია ხელით დახატული მტევნის დახატვისას.
- თუ შედგენილი მტევანი ქმნიან უნიკალურ "გროვებს", მეთოდი შესაფერისია.
- მტევნის ცენტრი არის შუა წერტილი მრავალგანზომილებიან სივრცეში.
- ის არ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ მტევნის ზომები მნიშვნელოვნად განსხვავდება.
- Ward საშუალო ყველა ცვლადი გამოითვლება თითოეული კლასტერისთვის.
- ეს მანძილი ჯამდება ყველა შემთხვევისთვის.
სიცხადისთვის, მოდით შევხედოთ მაგალითს. მიეცით ფეხის სიგრძე |AB|. = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
მოდით შევხედოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tan α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.
სინუსური ფუნქცია განისაზღვრება სინუსის კონცეფციიდან, იმის გათვალისწინებით, რომ კუთხე ყოველთვის უნდა იყოს გამოხატული რადიანებში. ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ სინუსური ფუნქციის რამდენიმე მახასიათებელს.
- თქვენი დომენი შეიცავს ყველა რეალურს.
- ამ შემთხვევაში, ფუნქცია არის პერიოდული, 2π პერიოდით.
ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ კოსინუსური ფუნქციის რამდენიმე მახასიათებელს. ასე რომ, ეს არის პერიოდული პერიოდი 2π. . შეზღუდვა არ გამორიცხავს ფორმულის ზოგადობას, რადგან ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია შევამციროთ მეორე, მესამე და მეოთხე კვადრანტების კუთხეები პირველზე. ვარჯიში. - გამოთვალეთ 15º სინუსი კალკულატორის გამოყენების გარეშე.
ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.
წყაროები:
- მაგიდა მარტივი რიცხვები 1-დან 10000-მდე
ფეხებიარის მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოკლე გვერდი, რომლებიც ქმნიან წვეროს, რომლის ზომაა 90°. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც შესაძლებელს ხდის ფეხის სიგრძის გამოთვლას, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.
ორი კუთხის ჯამის კოსინუსი
ორი კუთხის სხვაობის კოსინუსი
ფორმულის მისაღებად ჩვენ შეგვიძლია ვიმოქმედოთ ისევე, როგორც წინა განყოფილებაში, მაგრამ დავინახავთ კიდევ ერთ ძალიან მარტივ დემონსტრირებას, რომელიც დაფუძნებულია პითაგორას თეორემაზე. ნიშნის გამარტივება და შეცვლა გვაქვს. ორი კუთხის ტანგენტების ჯამი და სხვაობა.ვარჯიში. დღევანდელ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ძალიან კონკრეტულ ქვეჯგუფს: ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. იმისთვის, რომ ისიამოვნოთ ყველაფერი, რასაც მათემატიკა გვთავაზობს, ის უნდა შემოვიტანოთ. შემდეგ სტატიაში ვიხილავთ იმპორტის სხვა სტილებს, თითოეულს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. მაგრამ ამ მარტივი ინსტრუქციით, თქვენ უკვე გაქვთ წვდომა მათემატიკის მოდულის სახელთა მთელ სივრცეზე, რომელიც სავსეა ათობით ფუნქციით, მათ შორის ისეთებთან, რომელთანაც დღეს შევეხებით.
ინსტრუქციები
გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხის (A) სიგრძის გამოსათვლელად, თუ ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ეს თეორემა ამბობს, რომ ფეხების კვადრატული სიგრძის ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე ტოლია კვადრატული ფესვიჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატებს შორის სხვაობიდან: A=√(C²-B²).
ძირითადად, დაგვჭირდება გამოვთვალოთ კუთხის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ისევე როგორც მისი შებრუნებული ფუნქციები. გარდა ამისა, ჩვენ გვსურს შეგვეძლოს მუშაობა როგორც რადიანებში, ასევე გრადუსებში, რათა გამოვიყენოთ შესაბამისი კონვერტაციის ფუნქციებიც.
უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ეს ფუნქციები მოველით, რომ არგუმენტი მოწოდებული იქნება რადიანებში და არა გრადუსებში. ამ მიზნით, გაინტერესებთ, რომ თქვენ გაქვთ შემდეგი მუდმივი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს გამოხატულება რიცხვითი მნიშვნელობის ნაცვლად.
არ არსებობს პირდაპირი ფუნქცია კოსეკანტის, სეკანტისა და კოტანგენსისთვის, რადგან ეს არ არის აუცილებელი, რადგან ისინი უბრალოდ სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის ინვერსიებია შესაბამისად. როგორც ადრე, დაბრუნებული კუთხე ასევე არის რადიანებში. მათემატიკის კიდევ ერთი სასარგებლო ფუნქცია საშუალებას გვაძლევს გავარკვიოთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის მნიშვნელობა მისი ფეხების გათვალისწინებით, რაც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ მათი კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი.
გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის „სინუსი“ განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ ცნობილია კუთხის (α) სიდიდე, რომელიც მდებარეობს გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის (C) სიგრძე. ამ განმარტებაში ნათქვამია, რომ ამ ცნობილი კუთხის სინუსი უდრის სასურველი ფეხის სიგრძის თანაფარდობას ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი სიდიდეებისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტური ფუნქციის განმარტება და გამოთვალოთ საჭირო სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/cosec(α) კოსეკანტზე.
გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ასევე ცნობილია სასურველ ფეხის მიმდებარე მახვილი კუთხის (β) სიდიდე. ამ კუთხის კოსინუსი განისაზღვრება, როგორც სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კოსინუსის ნამრავლს. კუთხე: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განმარტება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/sec(β) სეკანტზე.
გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განსაზღვრებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა ცნობილია მეორე ფეხის (B) სიგრძე. . სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). იგივე ცნობილი სიდიდეებიდან შეიძლება გამოვიყენოთ სხვა ფორმულა, თუ გამოვიყენებთ კოტანგენტის ფუნქციის განმარტებას. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).
ვიდეო თემაზე
სიტყვა "კათეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხები არის გვერდები, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "კათეტი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.
დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი DIA. მონიშნეთ მისი ფეხები, როგორც a და b, ხოლო მისი ჰიპოტენუზა, როგორც c. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან დაკავშირებულია გარკვეული მიმართებებით. ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან ეწოდება ამ კუთხის სინუსი. IN მოცემული სამკუთხედი sinCAB=a/c. კოსინუსი არის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხის ჰიპოტენუზასთან, ანუ cosCAB=b/c. შებრუნებულ მიმართებებს უწოდებენ სეკანტს და კოსეკანტს.
ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB = c/b. შედეგი არის კოსინუსის ორმხრივი, ანუ ის შეიძლება გამოიხატოს ფორმულის გამოყენებით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის მოპირდაპირე მხარეს გაყოფილ კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. ის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB
ორივე ფეხი უკავშირდება ტანგენტსა და კოტანგენტს. ამ შემთხვევაში, ტანგენსი იქნება a გვერდის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე მხარეს მეზობელ მხარესთან. ეს ურთიერთობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.
ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის ურთიერთობა დაადგინა ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა პითაგორამ. ხალხი დღემდე იყენებს მის სახელობის თეორემას. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 = a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).
ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოიხატოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. ის ასევე შეიძლება გამოიხატოს ტანგენტის ან კოტანგენტის საშუალებით. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულის გამოყენებით a = b*tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან კოტანგენსიდან გამომდინარე, განისაზღვრება მეორე ფეხი.
ტერმინი „კათეტი“ ასევე გამოიყენება არქიტექტურაში. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და აღნიშნავს ქლიავის ხაზს ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ეს ტერმინი აღნიშნავს მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარს.
შედუღების ტექნოლოგიაში არსებობს "ფილე შედუღების ფეხის" კონცეფცია. როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. Აქ ჩვენ ვსაუბრობთერთ-ერთ ნაწილს შორის არსებული უფსკრულის შესახებ, რომელიც შედუღებულია მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვრამდე.
ვიდეო თემაზე
წყაროები:
- რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა
ვიდეო თემაზე
შენიშვნა
მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნამ შეიძლება როლი შეასრულოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.
სადაც განიხილებოდა მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის პრობლემები, მე დავპირდი, რომ წარმოვადგენდი სინუსისა და კოსინუსის განმარტებების დამახსოვრების ტექნიკას. მისი გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის სწრაფად გახსოვთ, რომელი მხარე ეკუთვნის ჰიპოტენუზას (მიმდებარე თუ მოპირდაპირე). გადავწყვიტე დიდი ხნით არ გადავდო, საჭირო მასალა ქვემოთ, გთხოვთ წაიკითხოთ 😉
ფაქტია, რომ არაერთხელ მინახავს, როგორ უჭირთ 10-11 კლასების მოსწავლეებს ამ განმარტებების დამახსოვრება. მშვენივრად ახსოვთ, რომ ფეხი ჰიპოტენუზას ეხება, მაგრამ ავიწყდებათ რომელი და დაბნეული. შეცდომის ფასი, როგორც მოგეხსენებათ გამოცდაზე, დაკარგული ქულაა.
ინფორმაცია, რომელსაც პირდაპირ წარმოგიდგენთ, მათემატიკასთან არაფერ შუაშია. იგი ასოცირდება ფიგურალურ აზროვნებასთან და ვერბალურ-ლოგიკური კომუნიკაციის მეთოდებთან. ზუსტად ასე მახსოვს ერთხელ და სამუდამოდ განმარტების მონაცემები. თუ თქვენ დაივიწყებთ მათ, ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად დაიმახსოვროთ ისინი წარმოდგენილი ტექნიკის გამოყენებით.
ნება მომეცით შეგახსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები მართკუთხა სამკუთხედში:
კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
მაშ, რა ასოციაციები გაქვთ სიტყვა კოსინუსთან?
ალბათ ყველას აქვს თავისი 😉 დაიმახსოვრეთ ბმული:
ამრიგად, გამოთქმა მაშინვე გამოჩნდება თქვენს მეხსიერებაში -
«… მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან».
კოსინუსის განსაზღვრის პრობლემა მოგვარებულია.
თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ სინუსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში, შემდეგ გაიხსენეთ კოსინუსის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად დაადგინოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ყოველივე ამის შემდეგ, არსებობს მხოლოდ ორი ფეხი, თუ მიმდებარე ფეხი "ოკუპირებულია" კოსინუსით, მაშინ მხოლოდ საპირისპირო ფეხი რჩება სინუსთან.
რაც შეეხება ტანგენტს და კოტანგენტს? დაბნეულობა იგივეა. სტუდენტებმა იციან, რომ ეს არის ფეხების ურთიერთობა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დაიმახსოვროთ რომელი რომელს ეხება - ან მიმდებარეს, ან პირიქით.
განმარტებები:
ტანგენტიმართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხე არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან:
კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს:
როგორ გავიხსენოთ? არსებობს ორი გზა. ერთი ასევე იყენებს ვერბალურ-ლოგიკურ კავშირს, მეორე კი მათემატიკურს.
მათემატიკური მეთოდი
არსებობს ასეთი განმარტება - მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:
*ფორმულის დამახსოვრების შემდეგ, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.
ანალოგიურად. მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან:
Ისე! ამ ფორმულების დამახსოვრების საშუალებით, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ:
მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელ მხარესთან
მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს.
სიტყვა-ლოგიკური მეთოდი
ტანგენტის შესახებ. დაიმახსოვრეთ ბმული:
ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ ტანგენტის განმარტება, ამ ლოგიკური კავშირის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად გახსოვდეთ რა არის
"... მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან"
თუ ვსაუბრობთ კოტანგენსზე, მაშინ ტანგენტის განმარტების გახსენებისას შეგიძლიათ მარტივად გამოხატოთ კოტანგენტის განმარტება -
"... მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს"
საიტზე არის საინტერესო ხრიკი ტანგენტისა და კოტანგენტის დასამახსოვრებლად " მათემატიკური ტანდემი " , შეხედე.
უნივერსალური მეთოდი
შეგიძლიათ უბრალოდ დაიმახსოვროთ. მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ვერბალურ-ლოგიკური კავშირების წყალობით, ადამიანს დიდი ხნის განმავლობაში ახსოვს ინფორმაცია და არა მხოლოდ მათემატიკური.
ვიმედოვნებ, რომ მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო.
პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი
P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.
რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, დაგეხმარებათ მართკუთხა სამკუთხედის გაგებაში.
რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის მხარე \(AC\)); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე \(AB\) და \(BC\) (სწორი კუთხის მიმდებარე), და თუ გავითვალისწინებთ ფეხებს \(BC\) კუთხესთან შედარებით, მაშინ ფეხი \(AB\) არის მიმდებარე ფეხი, და ფეხი \(BC\) საპირისპიროა. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?
კუთხის სინუსი- ეს არის საპირისპირო (შორეული) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
კუთხის ტანგენტი- ეს არის მოპირდაპირე (შორეული) მხარის თანაფარდობა მეზობელთან (ახლოსთან).
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).
ჩვენს სამკუთხედში:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისთვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ, რომელ ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. შემდეგ კი შეგიძლიათ ასოციაციების ჯაჭვის შექმნა. მაგალითად, ეს:
კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;
კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.
უპირველეს ყოვლისა, უნდა გახსოვდეთ, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (იგივე კუთხით). Არ დაიჯერო? შემდეგ დარწმუნდებით სურათზე დათვალიერებით:
განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი \(\beta \) . განმარტებით, სამკუთხედიდან \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ \(\beta \) კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.
თუ გესმით განმარტებები, მაშინ განაგრძეთ და გააძლიერეთ ისინი!
ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები სამკუთხედისთვის \(ABC \) ვპოულობთ \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(მასივი)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(მასივი) \)
აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხე \(\beta \) .
პასუხები: \(\sin \\beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე
გრადუსებისა და რადიანების ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია \(1\) . ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან გამოგადგებათ ტრიგონომეტრიის შესწავლისას. ამიტომ, მოდით შევხედოთ მას ცოტა უფრო დეტალურად.
როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის სისტემაკოორდინატები წრის რადიუსი ერთის ტოლი, სანამ წრის ცენტრი დევს საწყისთან, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი \(AB\)).
წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი \(x\) ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი \(y\) ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი \(ACG\) . ის მართკუთხაა, რადგან \(CG\) პერპენდიკულარულია \(x\) ღერძზე.
რა არის \(\cos \\alpha \) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Სწორია \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ \(AC\) არის ერთეული წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს \(AC=1\) . მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს ფორმულაში კოსინუსისთვის. აი რა ხდება:
\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
რას უდრის \(\sin \\alpha \) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Რა თქმა უნდა, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! ჩაანაცვლეთ \(AC\) რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
მაშ, შეგიძლიათ თქვათ, რა კოორდინატები აქვს წრეზე მიკუთვნებულ \(C\) წერტილს? ისე, არანაირად? რა მოხდება, თუ მიხვდებით, რომ \(\cos \\alpha \) და \(\sin \alpha \) მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\cos \alpha\)? რა თქმა უნდა, კოორდინატი \(x\)! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\sin \alpha \)? მართალია, კოორდინაცია \(y\)! ასე რომ, წერტილი \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
მაშინ რის ტოლია \(tg \alpha \) და \(ctg \alpha \)? ასეა, მოდით გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ ეს \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ა \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:
რა შეიცვალა მასში ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის მოდით კვლავ მივუბრუნდეთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : კუთხე (კუთხის მიმდებარედ \(\beta \)). რა მნიშვნელობა აქვს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს კუთხისთვის \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)\sin \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\კუთხე ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\ბოლო(მასივი) \)
ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება \(y\) კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი \(x\) ; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები ვრცელდება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.
უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენ ასევე მიიღებთ გარკვეული მნიშვნელობის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეები და საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.
ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის \(360()^\circ \) ან \(2\pi \) . შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია \(390()^\circ \) ან \(-1140()^\circ \)-ით? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! პირველ შემთხვევაში, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)ამგვარად, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და შეჩერდება \(30()^\circ \) ან \(\dfrac(\pi )(6) \) პოზიციაზე.
მეორე შემთხვევაში, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე \(-60()^\circ \) ან \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდება \(360()^\circ \cdot m\) ან \(2\pi \cdot m\)-ით (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი), შეესაბამება რადიუსის ვექტორის იგივე პოზიციას.
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს კუთხეს \(\beta =-60()^\circ \) . იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ან \(\beta +2\pi \cdot m\) (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)
\(\begin(მასივი)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(მაივი) \)
ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ რა არის მნიშვნელობები:
\(\begin(მასივი)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\ტექსტი(ctg)\ 450()^\circ =?\ბოლო(მასივი) \)
აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:
გაქვთ სირთულეები? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:
\(\begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\ბოლო(მასივი)\)
აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. კარგი, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხეში \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით \(\left(0;1 \right) \) , შესაბამისად:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\მარჯვენა arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- არ არსებობს;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შედიან \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით \(\left(-1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(0;-1 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\left(1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\left(0 ;1 \მარჯვნივ) \), შესაბამისად. ამის ცოდნა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.
პასუხები:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\მარჯვენა arrow \text(ctg)\ \pi \)- არ არსებობს
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- არ არსებობს
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- არ არსებობს
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- არ არსებობს
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:
არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:
\(\ მარცხნივ. \begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(მასივი) \right\)\ \text(უნდა დაიმახსოვროთ ან შეძლოთ მისი გამოტანა!! \) !}
მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ:
არ შეგეშინდეთ, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრების ერთ მაგალითს:
ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსური მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ასევე კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა \(30()^\circ \)-ში. ამ \(4\) მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსური მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:
\(\begin(მასივი)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\ბოლო(მასივი)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)ამის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). მრიცხველი "\(1 \)" შეესაბამება \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) და მნიშვნელი "\(\sqrt(\text(3)) \)" შეესაბამება \(\ტექსტი (tg)\ 60()^\circ \\) . კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ფიგურაში მითითებული ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მხოლოდ \(4\) მნიშვნელობების დამახსოვრება.
წერტილის კოორდინატები წრეზე
შესაძლებელია თუ არა წრეზე წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! მოდი ამოვიღოთ ზოგადი ფორმულაწერტილის კოორდინატების პოვნა. მაგალითად, აქ არის წრე ჩვენს წინ:
ჩვენ გვაქვს ეს წერტილი \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- წრის ცენტრი. წრის რადიუსი არის \(1.5\) . აუცილებელია ვიპოვოთ \(P\) წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მიღებულია \(O\) წერტილის \(\დელტა \) გრადუსით შებრუნებით.
როგორც ნახატიდან ჩანს, \(P\) წერტილის კოორდინატი \(x\) შეესაბამება \(TP=UQ=UK+KQ\) სეგმენტის სიგრძეს. \(UK\) სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს \(x\), ანუ უდრის \(3\) . სეგმენტის სიგრძე \(KQ\) შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
შემდეგ გვაქვს, რომ \(P\) წერტილისთვის კოორდინატია \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).
იგივე ლოგიკით ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას \(P\) წერტილისთვის. ამრიგად,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(მასივი) \), სად
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - წრის ცენტრის კოორდინატები,
\(r\) - წრის რადიუსი,
\(\დელტა \) - ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე.
როგორც ხედავთ, ჩვენს მიერ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, ვინაიდან ცენტრის კოორდინატები ნულის ტოლია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:
\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(მასივი) \)
Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა ჩართოთ ActiveX კონტროლი!
ჩვენ დავიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.
შეგახსენებთ რომ სწორი კუთხეარის კუთხე ტოლი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნახევარი შემობრუნებული კუთხე.
მკვეთრი კუთხე- უფრო პატარა.
ბუნდოვანი კუთხე- უფრო დიდი. ასეთ კუთხთან მიმართებაში „ბუნდოვანი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)
დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე მითითებულია იგივე ასოებით, მხოლოდ მცირე. ასე რომ, მითითებულია კუთხის მოპირდაპირე მხარე.
კუთხე მითითებულია შესაბამისი ბერძნული ასო.
ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედის არის მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარე.
ფეხები- მწვავე კუთხით მოპირდაპირე მხარეები.
კუთხის მოპირდაპირე ფეხს ეძახიან საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც დევს კუთხის ერთ-ერთ მხარეს, ე.წ მიმდებარე.
სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელთან:
კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:
კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს (ან, რაც იგივეა, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):
გაითვალისწინეთ ქვემოთ მოცემული სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითადი მიმართებები. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრისას.
მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.
1. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის. ნიშნავს, მართკუთხა სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის ჯამი უდრის .
2. ერთის მხრივ, როგორც მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. მეორეს მხრივ, რადგან კუთხისთვის ფეხი მიმდებარე იქნება.
ჩვენ ამას ვიღებთ. Სხვა სიტყვებით, .
3. ავიღოთ პითაგორას თეორემა: . მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი:
Მივიღეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა:
ამრიგად, კუთხის სინუსის ცოდნით, შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი კოსინუსი და პირიქით.
4. ძირითადის ორივე ნაწილის გაყოფა ტრიგონომეტრიული იდენტურობაზე, ვიღებთ:
ეს ნიშნავს, რომ თუ ჩვენ მოგვცეს მახვილი კუთხის ტანგენსი, მაშინვე შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი კოსინუსი.
ანალოგიურად,
კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და ჩამოვწერეთ ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება ისევ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?
ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ტოლია.
ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .
გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. მართკუთხა სამკუთხედის ორი გვერდის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ეს ნიშნავს, რომ კუთხეებს აქვთ საკუთარი თანაფარდობა, ხოლო გვერდებს აქვთ საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ, თუ მართკუთხა სამკუთხედში იცით ერთი კუთხე (გარდა მართი კუთხისა) და ერთი გვერდი, მაგრამ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?
ეს არის ის, რასაც წარსულში ადამიანები ხვდებოდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქების შედგენისას. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა მხარის პირდაპირ გაზომვა.
სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ ტრიგონომეტრიული კუთხის ფუნქციები- მისცეს ურთიერთობები შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და იცოდეთ სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.
ჩვენ ასევე დავხატავთ ცხრილს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობების "კარგი" კუთხეებისთვის.
გთხოვთ, გაითვალისწინოთ ცხრილში ორი წითელი ტირე. შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობებზე ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიის პრობლემას FIPI Task Bank-იდან.
1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .
პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.
მას შემდეგ, ჩვენ გვაქვს: .
2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე . , ტოლია ჰიპოტენუზის ნახევარი.
სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.
