მანოვის ნაშრომი „ლოგარითმული უტოლობები ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში“. მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის

სტატია ეძღვნება მე-15 ამოცანების ანალიზს პროფილი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკაში 2017 წ. ამ ამოცანაში სკოლის მოსწავლეებს სთხოვენ ამოხსნან უტოლობები, ყველაზე ხშირად ლოგარითმული. მიუხედავად იმისა, რომ შეიძლება იყოს საჩვენებელი. ამ სტატიაში მოცემულია მაგალითების ანალიზი ლოგარითმული უტოლობები, მათ შორის ცვლადის შემცველი ლოგარითმის ბაზაზე. ყველა მაგალითი აღებულია ღია ბანკიერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები მათემატიკაში (პროფილი), ასე რომ, ასეთი უტოლობები დიდი ალბათობით გვხვდება გამოცდაზე, როგორც დავალება 15. იდეალურია მათთვის, ვისაც სურს ისწავლოს როგორ ამოხსნას დავალება 15 პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მეორე ნაწილიდან. მათემატიკაში მოკლე დროში, რათა მეტი ქულა აიღოთ გამოცდაზე.

მე-15 დავალებების ანალიზი პროფილიდან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მათემატიკაში

მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობა:

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 ამოცანებში (პროფილი) ხშირად გვხვდება ლოგარითმული უტოლობები. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა იწყება მისაღები სიდიდეების დიაპაზონის განსაზღვრით. ამ შემთხვევაში, ორივე ლოგარითმის ბაზაში არ არის ცვლადი, არის მხოლოდ რიცხვი 11, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს პრობლემას. ამრიგად, ერთადერთი შეზღუდვა, რაც აქ გვაქვს, არის ის, რომ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ორივე გამონათქვამი დადებითია:

Title="გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

სისტემაში პირველი უტოლობა არის კვადრატული უტოლობა. მის გადასაჭრელად, ჩვენ ნამდვილად გვსურს მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ვფიქრობ, თქვენ იცით, რომ ვინმეს კვადრატული ტრინომიალიკეთილი ფაქტორიზაცია ხდება შემდეგნაირად:

სად და არის განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტი არის 1 (ეს არის რიცხვითი კოეფიციენტი წინ). კოეფიციენტი ასევე უდრის 1-ს და კოეფიციენტი არის მატყუარა წევრი, ის უდრის -20-ს. ტრინომის ფესვები ყველაზე მარტივად განისაზღვრება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ჩვენ მიერ მოყვანილი განტოლება ნიშნავს, რომ ფესვების ჯამი ტოლი იქნება კოეფიციენტის საპირისპირო ნიშნით, ანუ -1 და ამ ფესვების ნამრავლი იქნება კოეფიციენტის ტოლი, ანუ -20. ადვილი მისახვედრია, რომ ფესვები იქნება -5 და 4.

ახლა უტოლობის მარცხენა მხარე შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 და 4 წერტილებზე. ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის საჭირო ამოხსნა არის ინტერვალი . ვისაც არ ესმის აქ რა წერია, შეგიძლიათ ნახოთ დეტალები ვიდეოში, ამ მომენტიდან დაწყებული. იქ ასევე ნახავთ დეტალურ ახსნას, თუ როგორ იხსნება სისტემის მეორე უტოლობა. წყდება. უფრო მეტიც, პასუხი ზუსტად იგივეა, რაც სისტემის პირველ უთანასწორობაზე. ანუ, ზემოთ დაწერილი ნაკრები არის უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონი.

ასე რომ, ფაქტორიზაციის გათვალისწინებით, თავდაპირველი უტოლობა იღებს ფორმას:

ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვამატებთ 11-ს გამოხატვის ძალას პირველი ლოგარითმის ნიშნით, ხოლო მეორე ლოგარითმს გადავიტანთ უტოლობის მარცხენა მხარეს, ვცვლით მის ნიშანს საპირისპიროდ:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ:

ბოლო უტოლობა, ფუნქციის გაზრდის გამო, უტოლდება უტოლობას , რომლის ამოხსნა არის ინტერვალი . რჩება მხოლოდ მისი გადაკვეთა უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების რეგიონთან და ეს იქნება პასუხი მთელ ამოცანაზე.

ასე რომ, დავალების საჭირო პასუხი ასე გამოიყურება:

ჩვენ შევეხეთ ამ ამოცანას, ახლა გადავდივართ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 დავალების შემდეგ მაგალითზე (პროფილი).

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას ამ უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. ყველა ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს დადებითი. წილადის მნიშვნელი არ უნდა შეიცავდეს ნულს. ბოლო პირობა უდრის იმ ფაქტს, რომ, რადგან მხოლოდ სხვაგვარად ქრება ორივე ლოგარითმი მნიშვნელში. ყველა ეს პირობა განსაზღვრავს ამ უთანასწორობის დასაშვებ მნიშვნელობების დიაპაზონს, რომელიც მოცემულია შემდეგი უტოლობების სისტემით:

Title="გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლოგარითმის კონვერტაციის ფორმულები უტოლობის მარცხენა მხარის გასამარტივებლად. ფორმულის გამოყენებით ჩვენ ვაშორებთ მნიშვნელს:

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ლოგარითმები ფუძით. ეს უკვე უფრო მოსახერხებელია. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და ასევე ფორმულას, რათა გამოთქმა დიდების ღირსი მივიღოთ შემდეგ ფორმამდე:

გამოთვლებში გამოვიყენეთ ის, რაც იყო მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში. ჩანაცვლების გამოყენებით მივდივართ გამოთქმამდე:

გამოვიყენოთ კიდევ ერთი ჩანაცვლება: . შედეგად მივდივართ შემდეგ შედეგამდე:

ასე რომ, თანდათან ვუბრუნდებით საწყის ცვლადებს. პირველი ცვლადისკენ:

სექციები: მათემატიკა

ხშირად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, ჩნდება პრობლემები ცვლადი ლოგარითმის ბაზისთან. ამრიგად, ფორმის უთანასწორობა

არის სტანდარტული სასკოლო უთანასწორობა. როგორც წესი, მის გადასაჭრელად გამოიყენება სისტემების ეკვივალენტურ კომპლექტზე გადასვლა:

მინუსი ამ მეთოდითარის შვიდი უტოლობის ამოხსნის საჭიროება, არ ჩავთვლით ორ სისტემას და ერთ აგრეგატს. უკვე ამ კვადრატული ფუნქციებით, მოსახლეობის ამოხსნას შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს.

შესაძლებელია შემოგთავაზოთ ალტერნატიული, ნაკლებად შრომატევადი გზა ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადასაჭრელად. ამისათვის ჩვენ გავითვალისწინებთ შემდეგ თეორემას.

თეორემა 1. X სიმრავლეზე იყოს უწყვეტი მზარდი ფუნქცია. მაშინ ამ სიმრავლეზე ფუნქციის ზრდის ნიშანი დაემთხვევა არგუმენტის ზრდის ნიშანს, ე.ი. , სად .

შენიშვნა: თუ უწყვეტი კლებადი ფუნქცია X სიმრავლეზე, მაშინ .

დავუბრუნდეთ უთანასწორობას. მოდით გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმზე (შეგიძლიათ გადავიდეთ ნებისმიერზე, რომლის მუდმივი ფუძეა ერთზე მეტი).

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა, შეამჩნიოთ ფუნქციების ზრდა მრიცხველში და მნიშვნელში. ასე რომ, ეს მართალია

შედეგად, პასუხისკენ მიმავალი გამოთვლების რაოდენობა მცირდება დაახლოებით ნახევარით, რაც დაზოგავს არა მხოლოდ დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ დაუშვათ ნაკლები არითმეტიკული და უყურადღებო შეცდომები.

მაგალითი 1.

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

გადავიდეთ (2)-ზე, გვექნება:

მაგალითი 2.

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

გადავიდეთ (2)-ზე, გვექნება:

მაგალითი 3.

ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია, როგორც და , მაშინ პასუხი ბევრი იქნება.

მრავალი მაგალითი, რომლებშიც შესაძლებელია თემის 1 გამოყენება, ადვილად შეიძლება გაფართოვდეს თემის 2-ის გათვალისწინებით.

ნება გადასაღებ მოედანზე Xგანსაზღვრულია ფუნქციები , , და ამ სიმრავლეზე ნიშნები და ემთხვევა, ე.ი. , მაშინ სამართლიანი იქნება.

მაგალითი 4.

მაგალითი 5.

სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი იხსნება შემდეგი სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როცა ფაქტორები სხვადასხვა ნიშნითაა. იმათ. განიხილება უტოლობების ორი სისტემის ნაკრები, რომელშიც, როგორც დასაწყისში იყო აღნიშნული, თითოეული უტოლობა იშლება კიდევ შვიდად.

თუ გავითვალისწინებთ თეორემა 2-ს, მაშინ თითოეული ფაქტორი, (2) გათვალისწინებით, შეიძლება შეიცვალოს სხვა ფუნქციით, რომელსაც აქვს იგივე ნიშანი ამ მაგალითში O.D.Z.

ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდით ჩანაცვლების მეთოდი, თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, ძალიან მოსახერხებელი აღმოჩნდება ამოხსნისას ტიპიური ამოცანები C3 ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

მაგალითი 6.

მაგალითი 7.

. აღვნიშნოთ. ვიღებთ

. გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაცვლება გულისხმობს: . განტოლებას რომ დავუბრუნდეთ, მივიღებთ .

მაგალითი 8.

ჩვენ ვიყენებთ თეორემებში არ არსებობს შეზღუდვები ფუნქციების კლასებზე. ამ სტატიაში, მაგალითად, თეორემები გამოიყენეს ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად. შემდეგი რამდენიმე მაგალითი გვიჩვენებს მეთოდის დაპირებას სხვა ტიპის უტოლობების ამოხსნისათვის.

ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში

სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი

ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის მეცნიერებათა მცირე აკადემია „ისკატელი“

MBOU "სოვეცკაიას საშუალო სკოლა No1", მე-11 კლასი, ქ. სოვეცკი სოვეცკის რაიონი

გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულების „სოვეცკაიას No1 საშუალო სკოლა“ მასწავლებელი.

სოვეცკის რაიონი

სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, იდენტიფიცირება საინტერესო ფაქტებილოგარითმი

კვლევის საგანი:

3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა C3 არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

შინაარსი

შესავალი……………………………………………………………………………………….4

თავი 1. საკითხის ისტორია……………………………………………………………….5

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი…………… 7

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი……………………………………………………………… 15

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება………………………………………………….. ............. 22

2.4. ამოცანები ხაფანგებით……………………………………………………………………………………………

დასკვნა……………………………………………………………………………… 30

ლიტერატურა……………………………………………………………………………. 31

შესავალი

მე მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც ძირითადი საგანი მათემატიკაა. ამიტომაც ბევრს ვმუშაობ ამოცანებთან C ნაწილში. C3 ამოცანაში მე უნდა გადავწყვიტო არასტანდარტული უტოლობა ან უტოლობათა სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ დაკავშირებულია ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის დეფიციტის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც შესწავლილია სკოლის სასწავლო გეგმაამ თემაზე არ იძლევა საფუძველს C3 ამოცანების გადაჭრისთვის. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: ვხვდებით თუ არა ლოგარითმებს ჩვენს ცხოვრებაში?

ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:

„ლოგარითმული უტოლობები ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში“

სამუშაოს მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.

2) მოიძიეთ დამატებითი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.

3) ისწავლეთ C3 კონკრეტული ამოცანების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს C3 ამოცანების გადაჭრის აპარატის გაფართოებაში. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, კლუბებში და მათემატიკის არჩევით გაკვეთილებზე.

პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული „C3 ლოგარითმული უტოლობები ამონახსნებით“.

თავი 1. ფონი

მთელი მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად იზრდებოდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას შეუსრულებელ გამოთვლებში დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებში, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, საჭირო იყო საპროცენტო ცხრილები სხვადასხვა საპროცენტო განაკვეთებისთვის. მთავარი სირთულე იყო გამრავლება, გაყოფა მრავალნიშნა რიცხვებიგანსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.

ლოგარითმების აღმოჩენა ეფუძნებოდა პროგრესირების თვისებებს, რომლებიც კარგად იყო ცნობილი მე -16 საუკუნის ბოლოს. წევრებს შორის კავშირის შესახებ გეომეტრიული პროგრესია q, q2, q3, ... და მათი მაჩვენებლების არითმეტიკული პროგრესია 1, 2, 3,... არქიმედეს ლაპარაკობდა ფსალმუნში. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება უარყოფით და წილადის მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება გეომეტრიულ პროგრესიაში შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.

ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.

ეტაპი 1

ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს დამოუკიდებლად გამოიგონა შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი, მოსახერხებელი საშუალების მიწოდება, თუმცა ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგა. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ახალი ტერიტორიაფუნქციის თეორია. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციიდან: logos - "ურთიერთობა" და ariqmo - "რიცხვი", რაც ნიშნავს "ურთიერთობების რაოდენობას". თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".

1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში, ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმად, ხოლო 100-ის ათის ლოგარითმად, ანუ რაც იგივეა. რამ, უბრალოდ 1. ასე გამოჩნდნენ ათობითი ლოგარითმებიდა დაიბეჭდა პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკის მოყვარულმა ადრიან ფლაკუსმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ყველა სხვაზე ადრე მივიდნენ ლოგარითმებზე, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, რასაც მოჰყვა ნ. მერკატორი 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპაიდელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.

პირველი ლოგარითმული ცხრილები რუსულად გამოიცა 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილში იყო გაანგარიშების შეცდომები. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში, დამუშავებული გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) მიერ.

ეტაპი 2

ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულოდ მცირე გამოთვლების უფრო ფართო გამოყენებასთან. იმ დროისთვის, კავშირი ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატს შორის და ბუნებრივი ლოგარითმი. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.

გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი ესეში

"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x+1) გაფართოებას

x-ის ძალა:

ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მის აზროვნების მატარებელს, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლიზმი. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი განსაზღვრა უსასრულო სერიების გამოყენებით. თავის ლექციებში „დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი წერტილიხედვა“, წაკითხული 1907-1908 წლებში, ფ. კლაინმა შესთავაზა ფორმულის გამოყენება, როგორც ამოსავალი წერტილი ლოგარითმების თეორიის ასაგებად.

ეტაპი 3

ლოგარითმული ფუნქციის, როგორც შებრუნებული ფუნქციის განმარტება

ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის მაჩვენებლის

დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის ნარკვევი (1707-1783)

"Introduction to Analysis of Infinitesimals" (1748) ემსახურებოდა შემდგომ

ლოგარითმული ფუნქციების თეორიის შემუშავება. ამრიგად,

134 წელი გავიდა მას შემდეგ, რაც ლოგარითმები პირველად შემოიღეს

(ითვლის 1614 წლიდან), სანამ მათემატიკოსები მივიდნენ განსაზღვრებამდე

ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.

ექვივალენტური გადასვლები

თუ a > 1

, თუ 0 < а < 1

განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი

ეს მეთოდიყველაზე უნივერსალური თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების ამოხსნისას. ამოხსნის დიაგრამა ასე გამოიყურება:

1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც მარცხენა მხარეს არის ფუნქცია
და მარჯვნივ 0.

2. იპოვეთ ფუნქციის დომენი
.

3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები
, ანუ ამოხსენი განტოლება
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).

4. რიცხვით წრფეზე დახაზეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და ნულები.

5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა
მიღებულ ინტერვალებზე.

6. აირჩიეთ ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი

სადაც

ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმული ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.

პასუხი:

მაგალითი 2.

გამოსავალი:

1-ლი გზა . ADL განისაზღვრება უთანასწორობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10-მდე მივიღებთ

ბოლო უტოლობა შეიძლება გადაიჭრას გაფართოების წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების ნულთან შედარება. თუმცა, ამ შემთხვევაში ადვილია ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების დადგენა

ამიტომ, ინტერვალის მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია.

ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ არის უწყვეტი at x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს ვ(x):

პასუხი:

მე-2 მეთოდი . მოდით პირდაპირ გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდის იდეები თავდაპირველ უტოლობაზე.

ამისათვის გავიხსენოთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ზე x> 3 უდრის უტოლობას

ან

ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით

პასუხი:

მაგალითი 3.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი

პასუხი:

მაგალითი 4.

გამოსავალი:

2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, ეს

მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს

პირველ უთანასწორობაში ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< წ < 1.

საიდან იმიტომ

ვიღებთ უთანასწორობას

რომელიც ხორციელდება როცა x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ

პასუხი:

მაგალითი 5.

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემების ერთობლიობის ტოლფასია

ან

გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდი ან

უპასუხე:

მაგალითი 6.

გამოსავალი:

უთანასწორობა უდრის სისტემას

დაე

მერე წ > 0,

და პირველი უთანასწორობა

სისტემა იღებს ფორმას

ან, გაშლა

კვადრატული ტრინომალური ფაქტორირებული,

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:

ასე რომ, უთანასწორობის გადაწყვეტილებები არის ყველა

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.

მანამდე უთანასწორობა არ იყო ამოხსნილი რაციონალიზაციის მეთოდით. ეს არის "ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად" (ციტატა S.I. Kolesnikova-ს წიგნიდან)
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - იცნობს თუ არა მას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ექსპერტი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა უთხრა სტუდენტს: "საიდან იშოვე - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის არსებობს სახელმძღვანელო მითითებები, რომლებიც დაკავშირებულია ამ მეთოდთან და "სტანდარტული ვარიანტების ყველაზე სრული გამოცემებში..." გამოსავალში C3 ეს მეთოდი გამოიყენება.
მშვენიერი მეთოდი!

"ჯადოსნური მაგიდა"

სხვა წყაროებში

თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;

თუ a > 1 და 0

თუ 0<ა<1 и b >1, შემდეგ შედით a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0.

განხორციელებული მსჯელობა მარტივია, მაგრამ მნიშვნელოვნად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას.

მაგალითი 4.

ჟურნალი x (x 2 -3)<0

გამოსავალი:

მაგალითი 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

გამოსავალი:

უპასუხე. (0; 0.5) U.

მაგალითი 6.

ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1)(x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ვწერთ ნამრავლს (x-1)(x-3-9 + x).

უპასუხე : (3;6)

მაგალითი 7.

მაგალითი 8.

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

მაგალითი 3.

მაგალითი 4.

მაგალითი 5.

მაგალითი 6.

მაგალითი 7.

log 4 (3 x -1)log 0.25

გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უთანასწორობა მიიღებს ფორმას

ჟურნალი 4 ჟურნალი 0.25
.

იმიტომ რომ ჟურნალი 0.25 = -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - .

ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად გვაქვს ორი მარტივი უტოლობის ნაკრები
ამ ნაკრების გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.

მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს,
ანუ აგრეგატები

ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა დაკმაყოფილებულია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 0 ინტერვალებიდან<х≤1 и 2≤х<+.

მაგალითი 8.

გამოსავალი:

უთანასწორობა უდრის სისტემას

ODZ-ის განმსაზღვრელი მეორე უტოლობის გამოსავალი იქნება ამ სიმრავლე x,

რისთვისაც x > 0.

პირველი უტოლობის ამოსახსნელად ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

ან

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით

ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ

ან

ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას

ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი,

და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა.

პასუხი:

2.4. ამოცანები ხაფანგებით.

მაგალითი 1.

.

გამოსავალი.უტოლობის ODZ არის ყველა x რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას . აქედან გამომდინარე, ყველა x არის 0-ის ინტერვალიდან

მაგალითი 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? საქმე იმაშია, რომ მეორე რიცხვი აშკარად მეტია

დასკვნა

იოლი არ იყო C3 ამოცანების გადაჭრის კონკრეტული მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ შედის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.

სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით მოვაგვარე ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ, C3. ამ უტოლობებმა ამონახსნებით მეთოდებით საფუძველი ჩაუყარა კრებულს „C3 ლოგარითმული უტოლობა ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც მე წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემები შეიძლება ეფექტურად გადაწყდეს, თუ იცით ეს მეთოდები.

გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.

დასკვნები:

ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია და პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე პროექტის აქტივობების ყველაზე სრულყოფილი და მრავალფეროვანი გამოცდილება მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განვითარების გავლენა იყო გონებრივი კომპეტენცია, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებული აქტივობები, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარება, პიროვნული ინიციატივა, პასუხისმგებლობა, შეუპოვრობა და აქტიურობა.

წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მივიღე: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, სხვადასხვა წყაროდან ინფორმაციის მოპოვების, სანდოობის და მნიშვნელობის მიხედვით დახარისხების უნარი.

მათემატიკაში უშუალო საგნის ცოდნის გარდა, გავაფართოვე პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შევიძინე ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დავამყარე კონტაქტები თანაკლასელებთან, ვისწავლე უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების განმავლობაში განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები.

ლიტერატურა

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობათა სისტემები ერთი ცვლადით (სტანდარტული ამოცანები C3).

2. Malkova A. G. მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მათემატიკაში.

3. Samarov S. S. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.

4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტორი ა.ლ. სემენოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-