Шаштараз қырынады. Бертран Расселдің парадоксы

Өткен ғасырдың өзінде ашылған парадокстардың ең әйгілісі Бертран Рассел ашқан және оның Г.Ферге жазған хатында айтқан антиномия болып табылады. Рассел 1902 жылы логика мен математика саласына қатысты өзінің парадоксын ашты. Дәл осындай антиномияны Гёттингенде неміс математиктері З.Зермело (1871-1953) және Д.Гильберт бір мезгілде талқылады. Идея ауада болды және оның жариялануы жарылғыш бомба Мирошниченко П.Н. Фреге жүйесіндегі Рассел парадоксын не жойды? // Қазіргі логика: теория, тарих және ғылымдағы қолдану мәселелері. - СПб., 2000. - С. 512-514. . Бұл парадокс математикада, Гильберттің пікірінше, толық апаттың әсерін тудырды. Ең қарапайым және маңызды логикалық әдістер, ең көп таралған және пайдалы ұғымдар қауіп төндіреді. Математиктердің көпшілігі ынтамен қабылдаған Кантордың жиындар теориясында құтылу мүмкін емес, ең болмағанда өте қиын біртүрлі қарама-қайшылықтар бар екені белгілі болды. Расселдің парадоксы бұл қайшылықтарды ерекше айқындықпен жарыққа шығарды. Сол жылдардағы ең көрнекті математиктер оны шешумен, сонымен қатар Кантор жиындары теориясының басқа да табылған парадокстарын шешумен айналысты. Логикада да, математикада да, олардың өмір сүруінің бүкіл ұзақ тарихында антиномияны жоюға негіз бола алатын ештеңе шешілмегені бірден белгілі болды. Әдеттегі ойлау тәсілдерінен бас тарту керек екені анық. Бірақ қайдан және қай бағытта? Курант Р., Роббинс Г. Математика дегеніміз не? - Ч. II, § 4.5.

Теориялаудың қалыптасқан әдістерінен бас тарту қаншалықты түбегейлі болуы керек еді? Антиномияны одан әрі зерттей отырып, түбегейлі жаңа көзқарастың қажеттілігіне деген сенім тұрақты өсті. Оның ашылғанына жарты ғасыр өткенде, логика және математика негіздерінің мамандары Л.Френкель мен И.Бар-Хиллель ешбір ескертусіз былай деп мәлімдеді: әзірге әрқашан сәтсіздікке ұшырады, бұл мақсат үшін жеткіліксіз. Қазіргі американдық логика Х.Карри бұл парадокс туралы сәл кейінірек былай деп жазды: «ХІХ ғасырда белгілі логика тұрғысынан жағдай жай ғана түсініктеме берді, дегенмен, әрине, біздің білімді дәуірімізде көретін адамдар болуы мүмкін (немесе олар көреді деп ойлаймын ), қате неде» Мирошниченко П.Н. Фреге жүйесіндегі Рассел парадоксын не жойды? // Қазіргі логика: теория, тарих және ғылымдағы қолдану мәселелері. - СПб., 2000. - С. 512-514 ..

Рассел парадоксы өзінің бастапқы түрінде жиын, немесе класс ұғымымен байланысты. Біз әртүрлі объектілердің жиындары туралы айта аламыз, мысалы, барлық адамдар жиыны туралы немесе натурал сандар жиыны туралы. Бірінші жиынның элементі кез келген жеке тұлға, екіншісінің элементі - әрбір натурал сан болады. Жиындардың өзін кейбір объектілер ретінде қарастыруға және жиындар жиыны туралы айтуға болады. Тіпті барлық жиындардың жиынтығы немесе барлық ұғымдардың жиынтығы сияқты ұғымдарды енгізуге болады. Ерікті түрде алынған кез келген жиынға қатысты оның өзіндік элементі ме, жоқ па деген сұрақтың мәні бар сияқты. Элемент ретінде өздерін қамтымайтын жиындар қарапайым деп аталады. Мысалы, атомдар жиыны атом емес сияқты, барлық адамдардың жиынтығы адам емес. Тиісті элементтер болып табылатын жиындар әдеттен тыс болады. Мысалы, барлық жиындарды біріктіретін жиын жиын болып табылады, сондықтан өзін элемент ретінде қамтиды.

Бұл жиынтық болғандықтан, ол жай немесе әдеттен тыс па деп сұрауға болады. Жауап, алайда, көңіл көншітпейді. Егер ол кәдімгі болса, анықтама бойынша ол элемент ретінде өзін қамтуы керек, өйткені ол барлық қарапайым жиындарды қамтиды. Бірақ бұл әдеттен тыс жиынтық екенін білдіреді. Біздің жиынымыз кәдімгі жиын деген болжам осылайша қайшылыққа әкеледі. Сондықтан бұл қалыпты болуы мүмкін емес. Екінші жағынан, ол әдеттен тыс болуы мүмкін емес: әдеттен тыс жиын өзін элемент ретінде қамтиды, ал біздің жиынымыздың элементтері қарапайым жиындар ғана. Нәтижесінде біз барлық жай жиындардың жиыны жай немесе ерекше бола алмайды деген қорытындыға келеміз.

Осылайша, тиісті элементтер болып табылмайтын барлық жиындар жиыны, егер ол мұндай элемент болмаса ғана, меншікті элемент болып табылады. Бұл анық қайшылық. Және ол ең дәлелді болжамдар негізінде және даусыз болып көрінетін қадамдардың көмегімен алынды. Қарама-қайшылық мұндай жиынның жоқ екенін айтады. Бірақ неге ол өмір сүре алмайды? Өйткені, ол нақты анықталған шартты қанағаттандыратын объектілерден тұрады және шарттың өзі қандай да бір ерекше немесе түсініксіз болып көрінбейді. Егер қарапайым және анық анықталған жиын өмір сүре алмаса, онда мүмкін және мүмкін емес жиындардың айырмашылығы неде? Қарастырылып отырған жиынтықтың жоқтығы туралы қорытынды күтпеген және алаңдатарлық болып көрінеді. Ол біздің жиын туралы жалпы ұғымымызды аморфты және хаотикалық етеді және оның кейбір жаңа парадокстарды тудырмайтынына кепілдік жоқ.

Рассел парадоксы өзінің шектен тыс жалпылығымен ерекшеленеді Курант Р., Роббинс Г. Математика дегеніміз не? - Ч. II, § 4.5. . Оны құру үшін күрделі техникалық түсініктер қажет емес, кейбір басқа парадокстардағыдай «жиын» және «жиын элементі» ұғымдары жеткілікті. Бірақ бұл қарапайымдылық оның іргелі табиғаты туралы ғана айтады: ол жиындар туралы пайымдауларымыздың ең терең негіздерін қозғайды, өйткені ол кейбір ерекше жағдайлар туралы емес, жалпы жиындар туралы айтады.

Парадокстың басқа нұсқалары Рассел парадоксы арнайы математикалық емес. Ол жиын түсінігін пайдаланады, бірақ арнайы математикаға қатысты ешқандай ерекше қасиеттерді қозғамайды.

Бұл парадокс таза логикалық терминдермен қайта тұжырымдалған кезде айқын болады. Кез келген қасиеттен оның өзіне қатысты ма, жоқ па деп сұрауға болады. Ыстық болу қасиеті, мысалы, өзіне қатысты емес, өйткені оның өзі ыстық емес; нақты болу қасиеті де өзіне қатысты емес, өйткені ол абстрактілі қасиет. Бірақ абстрактілі болу, дерексіз болу қасиеті өзіне қатысты.

Бұл қасиеттерді өздеріне жарамсыз деп атайық. Өзіне жарамсыз болу қасиеті қолданылады ма? Қолданбаған жағдайда ғана жарамсыз болады екен. Бұл, әрине, парадоксальды. Рассел антиномиясының логикалық, қасиетке байланысты нұсқасы математикалық, жиынға қатысты нұсқасы сияқты парадоксалды.

Рассел сонымен бірге ол ашқан парадокстың келесі танымал нұсқасын ұсынды. Катречко С.Л. Расселдің шаштараз парадоксы және Платон-Аристотельдің диалектикасы // Қазіргі логика: ғылымдағы теория, тарих және қолдану мәселелері. - СПб., 2002. - С. 239-242 .. Бір ауылдың кеңесі шаштараздың міндетін былайша белгіледі делік: ауылдың барлық қырынбайтын ер-азаматтарын, тек осы еркектерді ғана қырғызу. Ол өзі қырыну керек пе? Олай болса, бұл өзін қыратындарға қатысты болады, ал өзін қыратындар, ол қырмауы керек. Олай болмаса, ол қырынбайтындарға жатады, сондықтан ол өзі қырынуға мәжбүр болады. Осылайша, бұл шаштараз өзін қырынбаған жағдайда ғана қырынады деген қорытындыға келеміз. Бұл, әрине, мүмкін емес.

Шаштараз туралы дау мұндай шаштараз бар деген болжамға негізделген. Осыдан туындайтын қайшылық бұл болжамның жалған екенін білдіреді, тек өзі қырынбайтын ауыл адамдарының барлығын қыратын ауыл адамы жоқ. Шаштараздың міндеттері бір қарағанда қарама-қайшы болып көрінбейді, сондықтан біреудің болуы мүмкін емес деген қорытынды күтпеген сияқты. Дегенмен, бұл тұжырым парадоксальды емес. Ауыл шаштаразының қанағаттандыруға тиісті шарты, шын мәнінде, өз-өзіне қайшы, сондықтан мүмкін емес. Ауылда мұндай шаштараздың болуы мүмкін емес, өйткені оның ішінде өзінен үлкен немесе оның туылғанға дейін дүниеге келген Мирошниченко П.Н. Фреге жүйесіндегі Рассел парадоксын не жойды? // Қазіргі логика: теория, тарих және ғылымдағы қолдану мәселелері. - СПб., 2000. - С. 512-514 ..

Шаштараз туралы дауды псевдопарадокс деп атауға болады. Оның барысында ол Расселдің парадоксына қатаң ұқсас және оны қызықты ететін де осы. Бірақ бұл әлі де шынайы парадокс емес.

Сол псевдопарадокстың тағы бір мысалы - белгілі каталог дәлелі. Белгілі бір кітапхана библиографиялық каталогты құрастыруды ұйғарды, оған барлық және тек өзіне сілтемелері жоқ библиографиялық каталогтар кіреді. Мұндай каталог өзіне сілтемені қамтуы керек пе? Мұндай каталогты құру идеясы мүмкін емес екенін көрсету оңай; ол жай ғана өмір сүре алмайды, өйткені ол бір уақытта өзіне сілтемені қамтуы керек және қамтымауы керек.

Бір қызығы, өзіне сілтеме жасамайтын барлық каталогтарды каталогтау шексіз, ешқашан аяқталмайтын процесс ретінде қарастырылуы мүмкін. Бір кезде каталог, айталық K1 құрастырылды делік, оның ішінде өзіне сілтемелері жоқ барлық басқа каталогтар. K1 құрылуымен өзіне сілтемесі жоқ басқа каталог пайда болды. Мақсаты өздері туралы айтылмаған барлық каталогтардың толық каталогын жасау болғандықтан, K1 шешім емес екені анық. Ол сол анықтамалықтардың бірін - өзі айтпайды. К1-де өзі туралы осы сөзді қосқанда, біз K2 каталогын аламыз. Ол K1 туралы айтады, бірақ K2 өзі емес. К2-ге осындай ескертпені қоссақ, біз KZ аламыз, ол өзін айтпағандықтан қайтадан толық емес. Және шексіз.

Тағы бір логикалық парадоксты атап өтуге болады – шаштараздың парадоксына ұқсас голланд мэрлерінің парадоксы. Голландиядағы әрбір муниципалитеттің мэрі болуы керек, ал екі түрлі муниципалитеттің бір мэрі болуы мүмкін емес. Кейде әкім өз муниципалитетінде тұрмайды екен. Кейбір S аумақтары тек өз муниципалитетінде тұрмайтын осындай әкімдерге ғана бөлінген және осы әкімдердің барлығын осы аумаққа қоныстануға бағыттайтын заң қабылданды делік. Әрі қарай бұл әкімдердің саны сонша, S аумағының өзі жеке муниципалитет құрайды делік. Осы Арнайы муниципалитеттің әкімі қай жерде тұруы керек? Қарапайым пайымдаулар, егер Арнайы муниципалитеттің мэрі S аумағында тұрса, онда ол онда тұрмауы керек, ал егер ол аумақта тұрмаса, онда ол осы аумақта тұруы керек екенін көрсетеді. Бұл парадокстың шаштараз парадоксына ұқсас екені анық.

Рассел «өз» парадоксын шешуді ұсынған алғашқылардың бірі болды. Ол ұсынған шешім «типтер теориясы» деп аталды: жиын (сынып) және оның элементтері әртүрлі логикалық типтерге жатады, жиынның түрі оның элементтерінің түрінен жоғары, бұл Рассел парадоксын жояды (тип теориясын да пайдаланған. Рассел атақты «Өтірікші» парадоксын шешу үшін) . Алайда көптеген математиктер Расселдің шешімін қабылдамады, ол Катречко С.Л. Расселдің шаштараз парадоксы және Платон-Аристотельдің диалектикасы // Қазіргі логика: ғылымдағы теория, тарих және қолдану мәселелері. – Петербург, 2002. – С.239-242 ..

Басқа логикалық парадокстармен де жағдай ұқсас. «Логиканың антиномиялары, - деп жазады фон Райт, - олар ашылғаннан бері бізді таң қалдырды және бізді әрқашан да таң қалдырады. Менің ойымша, біз оларды шешімін күткен мәселелер ретінде емес, ой үшін сарқылмас шикізат ретінде қарастыруымыз керек. Олар маңызды, өйткені олар туралы ойлау барлық логиканың, демек, барлық ойлаудың ең негізгі сұрақтарын қозғайды» Вригт Г.Х. фон. ХХ ғасырдағы логика мен философия // Вопр. философия. 1992. № 8..

Өздерін элемент ретінде қамтымайтын барлық жиындар. Ол элемент ретінде өзін қамтиды ма? Егер солай болса, онда анықтама бойынша ол элемент - қайшылық болмауы керек. Егер жоқ болса - онда, анықтамасы бойынша, ол элемент болуы керек - қайтадан қарама-қайшылық.

Рассел парадоксындағы қайшылық ішкі қарама-қайшылықты тұжырымдаманы пайымдауда қолданудан туындайды. барлық жиынтықтардың жиынтығыжәне жиындармен жұмыс істегенде классикалық логика заңдарын шексіз қолдану мүмкіндігі туралы идеялар. Бұл парадоксты жеңудің бірнеше жолы ұсынылды. Ең танымалы жиындар теориясының дәйекті формализациясын ұсыну болып табылады, оған қатысты жиындармен жұмыс істеудің барлық «шын мәнінде қажетті» (белгілі бір мағынада) тәсілдері қолайлы болар еді. Осындай формализация шеңберінде бар екендігі туралы мәлімдеме барлық жиынтықтардың жиынтығыазайтуға болмайтын еді.

Шынында да, барлық жиындардың жиынтығы бар делік. Сонда, таңдау аксиомасына сәйкес, элементтері элементтер ретінде өздерін қамтымайтын және тек сол жиындар болатын жиын да болуы керек. Дегенмен, жиынның бар екендігі туралы болжам Расселдің парадоксына әкеледі. Демек, теорияның бірізділігін ескере отырып, жиынның бар екендігі туралы мәлімдеме дәлелдеуді талап еткен бұл теорияда туынды емес.

Сипатталған жиындар теориясын «сақтау» бағдарламасын жүзеге асыру барысында оның бірнеше ықтимал аксиоматизациясы ұсынылды (Зермело-Франкель теориясы ЗФ, Нейман-Бернайс-Годель NBG теориясы және т.б.), алайда, ешқандай дәлел жоқ. осы кезге дейін осы теориялардың кез келгеніне сәйкестік табылды. Оның үстіне, Годель бірқатар толық емес теоремаларын әзірлеу арқылы көрсеткендей, мұндай дәлел болуы мүмкін емес (бір мағынада).

Ашуға тағы бір реакция Рассел парадоксыЛ.Е.Я.Броуэрдің интуитивизмі пайда болды.

Сөздік нұсқалары

Бұл парадокстың көптеген танымал тұжырымдары бар. Олардың бірі дәстүрлі түрде шаштараз парадоксы деп аталады және келесідей болады:

Бір ауыл шаштаразына тапсырыс берілді «Өзі қырынбағанның қырынба, ал қырынғанның қырынба». Ол өзімен қалай әрекет етуі керек?

Басқа нұсқа:

Бір ел жарлық шығарды: «Барлық қалалардың әкімдері өз қаласында емес, арнайы әкімдер қаласында тұруы керек». Әкімдер қаласының әкімі қайда тұруы керек?

Және тағы бір:

Белгілі бір кітапхана библиографиялық каталогты құрастыруды ұйғарды, оған барлық және тек өзіне сілтемелері жоқ библиографиялық каталогтар кіреді. Мұндай каталог өзіне сілтемені қамтуы керек пе?

да қараңыз

Әдебиет

• Курант Р, Роббинс Г.Математика дегеніміз не? - Ч. II, § 4.5
• Мирошниченко П.Н.Фреге жүйесіндегі Рассел парадоксын не жойды? // Қазіргі логика: теория, тарих және ғылымдағы қолдану мәселелері. - СПб., 2000. - С. 512-514.
• Катречко С.Л.Расселдің шаштараз парадоксы және Платон диалектикасы - Аристотель // Қазіргі логика: теория, тарих және ғылымдағы қолдану мәселелері. – Петербург, 2002. – С.239-242.
• Мартин ГарднерОйланыңызшы! = Ах! алды. Пазл және ләззат алатын парадокстар. - М .: Мир, 1984. - С. 22-23. - 213 б.

Ескертпелер

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Басқа сөздіктерде «Рассел парадоксы» не екенін қараңыз:

- (грекше paradoxos күтпеген, оғаш) кең мағынада: жалпы қабылданған, қалыптасқан пікірге күрт қайшы келетін мәлімдеме, «сөзсіз дұрыс» болып көрінетін нәрсені теріске шығару; тар мағынада, екі қарама-қарсы мәлімдеме, ... ... үшін Философиялық энциклопедия

Рассел парадоксы, 1903 жылы Бертран Рассел ашқан жиынтық-теориялық антиномия кейінірек Э.Зермело тәуелсіз түрде қайта ашқан, Г.Кантордың аңғал жиындар теориясының тілінің сәйкессіздігін емес, оның жетілмегендігін көрсетеді. Антиномия ... ... Википедия

парадокс- ПАРАДОКС (грек тілінен para сырттан және докса пікірінен). 1) Кең (логикалық емес) мағынада дәстүрмен, заңмен, ережемен, нормамен немесе жалпы мағынада расталған жалпы қабылданған пікірге қандай да бір түрде қайшы келетін (алшақтататын) барлық нәрсе. ... ... Гносеология және ғылым философиясы энциклопедиясы

Бастапқыда әзірге айқын емес ұстаным, күткенге қайшы, шындықты білдіреді. Ежелгі логикада парадокс түсініксіздігі ең алдымен оның дұрыстығына немесе дұрыс еместігіне қатысты мәлімдеме болды. AT…… Философиялық энциклопедия

- (барлық негізделген таптар класының парадоксы) Бурали Фортидің парадоксын жалпылау болып табылатын жиындар теориясындағы парадокс. Орыс математигі Д.Миримановтың атымен аталған. Мазмұны 1 Сөздік ... Wikipedia

Барлық реттік сандар жиынының бар екендігі туралы болжамның қарама-қайшылықтарға әкелетінін, демек, мұндай жиынды құру мүмкін болатын жиындар теориясының қарама-қайшы екендігін көрсетеді. Мазмұны 1 Сөздер 2 Тарих ... Wikipedia

- (грек тілінің күтпеген, оғаш парадокстарынан) күтпеген, әдеттен тыс (кем дегенде нысаны бойынша) бұл мәселе бойынша жалпы қабылданған, дәстүрлі пікірге күрт қайшы келетін пайымдау (мәлімдеме, үкім). Бұл мағынада «парадоксальды» эпитет ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Кантор парадоксы жиындар теориясының парадоксы болып табылады, ол барлық жиындар жиынтығының бар екендігі туралы болжам қарама-қайшылықтарға әкелетінін және, демек, теорияның мұндай жиынды құрастыру ... ... ... Википедияға сәйкес келмейтінін көрсетеді.

Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Парадокс (мағыналарын) қараңыз. Роберт Бойл. Мәңгілік қозғалыс машинасының жоқтығын дәлелдеу схемасы Парадокс ... Уикипедия

Кітаптар

• Логикада пәндік аймақтың әмбебаптығы туралы метафизикалық концепцияның күйреуі. Фреге-Шредер айтысы, Б.В.Бирюков. Бұл кітап логикадағы пәндік сала – «ойлау ғаламы» ұғымымен байланысты математикалық логиканың драмалық тарихы талқыланады. Екі көзқарастың қайшылығы...

Рассел парадоксы (Расселдің антиномиясы, сонымен қатар Рассел-Зермело парадоксы) — 1901 жылы Бертран Рассел ашқан жиынтық-теориялық парадокс (антиномия), ол Джордж Кантордың аңғал жиындар теориясын ресімдеудің ерте әрекеті болған Фреге логикалық жүйесінің сәйкессіздігін көрсетеді. Бұрын ашылған, бірақ оны Эрнст Зермело жарияламаған.

Бейресми тілде парадоксты былай сипаттауға болады. Жиынның өзіндік элементі болмаса, оны «қарапайым» деп атауға келістік. Мысалы, барлық адамдардың жиыны «қарапайым», өйткені жиынның өзі адам емес. «Ерекше» жиынның мысалы ретінде барлық жиындардың жиыны табылады, өйткені оның өзі жиын, демек, өзі тиісті элемент.

Тек барлық «жай» жиындардан тұратын жиынды қарастыруға болады, мұндай жиын деп аталады Рассел жинады . Бұл жиынның «қарапайым» немесе жоқ екенін, яғни оның өзін элемент ретінде қамтитынын анықтауға тырысқанда парадокс туындайды. Екі мүмкіндік бар.

• Бір жағынан, егер ол «қарапайым» болса, онда ол өзін элемент ретінде қамтуы керек, өйткені анықтамасы бойынша ол барлық «қарапайым» жиындардан тұрады. Бірақ ол «қарапайым» болуы мүмкін емес, өйткені «қарапайым» жиындар өздерін қамтымайтындар болып табылады.
• Бұл жинақты «ерекше» деп болжау керек. Дегенмен, ол өзін элемент ретінде қоса алмайды, өйткені анықтамасы бойынша ол тек «қарапайым» жиындардан тұруы керек. Бірақ егер ол өзін элемент ретінде қамтымаса, онда ол «қарапайым» жиын болып табылады.

Кез келген жағдайда қарама-қайшылық туындайды.

Энциклопедиялық YouTube

1 / 5

✪ Дәріс 1. Жиынның анықтамасы. Де Морган заңдары. Рассел парадоксы. Вейерштрас теоремасы

✪ 3 Рассел парадоксы

✪ Бертран Рассел Болашақ ұрпаққа кеңес

✪ 21-дәріс: аңғал жиындар теориясы және анық емес логика

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

Субтитрлер

Парадоксты тұжырымдау

Расселдің парадоксын аңғал жиындар теориясында тұжырымдауға болады. Сондықтан аңғал жиындар теориясы сәйкес келмейді. Екілік мүшелік қатынасы бар бірінші ретті теория ретінде анықталуы мүмкін аңғал жиындар теориясының қайшылықты фрагменті ∈ (\displaystyle \in )және таңдау схемасы: аңғал жиындар теориясында бір бос айнымалысы бар әрбір логикалық формула үшін аксиома бар

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Бұл аксиома схемасы кез келген шарт үшін деп айтады P (x) (\displaystyle P(x))мұнда көптеген бар y , (\displaystyle y,)солардан тұрады x , (\displaystyle x,)шартты қанағаттандыратын P (x) (\displaystyle P(x)) .

Бұл Расселдің парадоксын келесідей тұжырымдау үшін жеткілікті. Болсын P (x) (\displaystyle P(x))формуласы бар x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(Яғни P (x) (\displaystyle P(x))көп дегенді білдіреді x (\displaystyle x)элемент ретінде өзін қамтымайды немесе біздің терминологиямызда «жай» жиын болып табылады.) Сонда іріктеу аксиомасы бойынша жиын болады. y (\displaystyle y)(Рассел сет) солай

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Өйткені бұл кез келген адамға қатысты x , (\displaystyle x,)үшін де солай x = y. (\displaystyle x=y.)Яғни

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Осыдан аңғал жиындар теориясында қайшылық шығарылатыны шығады.

Рассел жиыны жоқ деп есептесек, парадокс туындамас еді. Дегенмен, бұл болжамның өзі парадоксалды: Кантордың жиындар теориясында кез келген қасиет осы қасиетті қанағаттандыратын элементтер жиынын анықтайды деп есептеледі. Жиынның «қарапайым» болу қасиеті жақсы анықталған болып көрінетіндіктен, барлық «қарапайым» жиындардың жиыны болуы керек. Бұл теория қазір деп аталады аңғал жиындар теориясы .

Парадокстың танымал нұсқалары

Рассел парадоксының бірнеше нұсқасы бар. Парадокстың өзінен айырмашылығы, олар, әдетте, ресми тілде айтылмайды.

Өтірік парадокс

Рассел парадоксы көне заманнан белгілі өтірікші парадоксымен байланысты, ол келесі сұрақ. Мәлімдеме берілген:

Бұл мәлімдеме жалған.

Бұл мәлімдеме рас па, жоқ па? Бұл тұжырымның ақиқат та, жалған да бола алмайтынын көрсету оңай.

Рассел бұл парадокс туралы былай деп жазды:

Расселдің өзі өтірікші парадоксты осылай түсіндірді. Айтылым туралы бірдеңе айту үшін, әлі анықталмаған ұғымдарды қолданбай, алдымен «айту» ұғымының өзін анықтау керек. Осылайша, мәлімдемелер туралы ештеңе айтпайтын бірінші типтегі мәлімдемелерді анықтауға болады. Содан кейін бірінші типті мәлімдемелер туралы айтатын екінші типті мәлімдемелерді анықтауға болады және т.б. «Бұл мәлімдеме жалған» деген мәлімдеме осы анықтамалардың ешқайсысына жатпайды, сондықтан мағынасы жоқ.

Шаштараз парадоксы

Рассел оған біреу ұсынған жұмбақ ретінде тұжырымдалған парадокстың келесі нұсқасын атап өтеді.

Бір ауылда шаштараз тұрсын, ол ауылдың барлық қырынбайтын тұрғындарын, тек соларды ғана қырады. Шаштараз өзі қырынады ма?

Кез келген жауап қайшылыққа әкеледі. Рассел бұл парадокс оның парадоксына тең емес және оңай шешілетінін атап өтеді. Шынында да, Расселдің парадоксы Рассел жиынтығының жоқтығын көрсететіні сияқты, шаштараздың парадоксы мұндай шаштараздың жоқтығын көрсетеді. Айырмашылығы, мұндай шаштараздың жоқтығында таңғаларлық ештеңе жоқ: кез келген мүлік үшін емес, осы қасиетпен адамдарды қыратын шаштараз бар. Дегенмен, кейбір нақты анықталған қасиет арқылы берілген элементтер жиынтығының жоқтығы жиындардың аңғал идеясына қайшы келеді және түсіндіруді қажет етеді.

Каталогтар туралы опция

Расселдің парадоксына ең жақын тұжырым оның презентациясының келесі нұсқасы болып табылады:

Библиографиялық каталогтар басқа кітаптарды сипаттайтын кітаптар. Кейбір каталогтар басқа каталогтарды сипаттауы мүмкін. Кейбір каталогтар тіпті өздерін сипаттай алады. Өзін сипаттамайтын барлық каталогтарды каталогтауға бола ма?

Бұл каталог өзін сипаттау керек пе, жоқ па, соны шешуге тырысқанда парадокс туындайды. Тұжырымдамалардың айқын жақындығына қарамастан (бұл расселдің парадоксы, онда каталогтар жиынтықтардың орнына пайдаланылады), бұл парадокс, шаштараздың парадоксы сияқты, қарапайым түрде шешіледі: мұндай каталогты құрастыру мүмкін емес.

Греллинг-Нельсон парадоксы

Бұл парадоксты неміс математиктері тұжырымдаған Курт Греллингжәне Леонард Нельсон 1908 ж. Бұл шын мәнінде ол предикаттық логика тұрғысынан (Фрегге хатты қараңыз) айтқан Расселлдің парадокстың түпнұсқа нұсқасының математикалық емес тілге аудармасы.

Сын есімді шақырайық рефлексиялықегер бұл сын есімде осы сын есім арқылы анықталған қасиет болса. Мысалы, «орыс», «көп буынды» сын есімдері өздері анықтайтын қасиеттерге ие («орыс» сын есімі орыс тілі, ал «көп буынды» сын есім көп буынды), сондықтан олар рефлексивті, ал сын есімдер «неміс», «бір буынды» - болып табылады рефлексивті емес. Рефлексивті емес сын есім рефлексивті бола ма, жоқ па?

Кез келген жауап қайшылыққа әкеледі. Шаштараздың парадоксынан айырмашылығы, бұл парадокстың шешімі оңай емес. Мұндай сын есім («рефлексивті емес») жоқ деп жай айтуға болмайды, өйткені біз оны жаңа ғана анықтадық. Парадокс «рефлексивті емес» терминінің анықтамасының өздігінен дұрыс еместігінен туындайды. Бұл терминнің анықтамасы байланысты құндылықтарол қолданылатын сын есім. Ал «рефлексивті емес» сөзінің өзі анықтамада сын есім болғандықтан, тұйық шеңбер туады.

Оқиға

Рассел өзінің парадоксын 1901 жылдың мамырында немесе маусымында ашса керек. Расселдің өзі айтқандай, ол Кантордың парадоксалды фактіні (Кантор парадоксы ретінде белгілі) дәлелдеуінде максималды негізгі сан (немесе барлық жиынтықтардың жиынтығы) жоқ деген қатені табуға тырысқан. Нәтижесінде Рассел қарапайым парадокс алды. Рассел өзінің парадоксын басқа логиктерге, атап айтқанда Уайтхед пен Пианоға жеткізді. 1902 жылы 16 маусымда Фреге жазған хатында ол қайшылықты тапқанын жазды. Концепциялық есептеу” - Фрегенің 1879 жылы шыққан кітабы. Ол өзінің парадоксын логика тұрғысынан, содан кейін Фрегенің функция анықтамасын қолдана отырып, жиындар теориясы тұрғысынан тұжырымдады:

Мен тек бір жерде қиындық көрдім. Сіз (17-бет) функцияның өзі белгісіз ретінде әрекет ете алатынын айтасыз. Мен де солай ойлайтынмын. Бірақ қазір бұл көзқарас мынадай қайшылыққа байланысты маған күмәнді болып көрінеді. Болсын wпредикат: «өзіне қолдануға болмайтын предикат болу». мүмкін wөзіне қатысты болуы мүмкін бе? Кез келген жауап керісінше білдіреді. Сондықтан біз мұны қорытындылауымыз керек wпредикат емес. Сол сияқты, тұтас алғанда өздеріне тиесілі емес таптардың бірде-бір класы (тұтас ретінде) жоқ. Бұдан мен кейде белгілі бір жиынтық тұтас формацияны құрамайды деген қорытындыға келемін.

Түпнұсқа мәтін (неміс)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht werdenci prädici. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.

Фреге бұл хатты дәл «Арифметиканың негізгі заңдарының» (неміс. Grundgesetze der Arithmetik) екінші томындағы жұмысын аяқтаған кезде алды. Фреге өзінің жиынтық теориясын түзетіп үлгермеді. Ол тек екінші томға экспозициясы мен парадоксты талдауы бар қосымшаны қосты, ол әйгілі ескертумен басталған.

Ғалымның жұмысын аяқтаған сәтте аяғының астынан жер жұлып кеткеннен асқан сорақылық болуы екіталай. Жұмысым біткен кезде, Бертран Расселден хат алған кезде мен дәл осы күйде болдым.

Түпнұсқа мәтін (неміс)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, Als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\қос нүкте P(x)\)\iff P(z)),

сипатты қанағаттандыратын элементтер жиынтығын құруға болатынын айтты P (x) , (\displaystyle P(x),)ол келесі аксиоманы қолдануды ұсынды:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\қос нүкте P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\қос нүкте P(x)\)),

осылайша жиынның өзіне мүше болу мүмкіндігін жояды. Дегенмен, шағын [ қайсысы?] Рассел парадоксының модификациясы бұл аксиоманың да қарама-қайшылыққа әкелетінін дәлелдейді.

Рассел өзінің парадоксын өзінің кітабында жариялады. Математиканың принциптері« 1903 жылы.

Төменде Рассел парадокстарынан бос аксиомалар жүйесін құрудың кейбір ықтимал тәсілдері келтірілген.

Расселдің типтік теориясы

Расселдің өзі бірінші болып Рассел парадоксынан таза теорияны ұсынды. Ол типтер теориясын жасады, оның бірінші нұсқасы Рассел мен Уайтхедтің кітабында пайда болды Математиканың принциптері« 1903 жылы. Бұл теория мынадай идеяға негізделген: бұл теориядағы қарапайым объектілер 0 типті, қарапайым объектілер жиындары 1 типті, қарапайым объектілер жиындары 2 типті және т.б. Осылайша, ешбір жиын өзін элемент ретінде ала алмайды. Бұл теорияда барлық жиындардың жиыны да, Рассел жиыны да анықталмайды. Ұқсас иерархия мәлімдемелер мен сипаттар үшін енгізілген. Қарапайым объектілер туралы пікірлер 1-түрге, 1-түрдегі ұсыныстардың қасиеттері туралы пікірлер 2-түрге және т.б. Жалпы, функция, анықтамасы бойынша, өзі тәуелді болатын айнымалыларға қарағанда жоғарырақ түрге жатады. Бұл тәсіл тек Рассел парадоксынан ғана емес, өтірікші парадокс (), Греллинг-Нельсон парадоксы, Бурали-Форти парадоксын қоса алғанда басқа да көптеген парадокстардан арылуға мүмкіндік береді. Рассел мен Уайтхед 1910-1913 жылдары жарық көрген үш томдық Principia Mathematica еңбегінде барлық математиканы типтер теориясы аксиомаларына қалай келтіру керектігін көрсетті.

Алайда бұл әдіс қиындықтарға тап болды. Атап айтқанда, нақты сандар жиындары үшін ең жақсы жоғарғы шек сияқты ұғымдарды анықтауда мәселелер туындайды. Анықтау бойынша ең кіші жоғарғы шекара барлық жоғарғы шекаралардың ең кішісі болып табылады. Сондықтан ең кіші жоғарғы шекараны анықтау кезінде нақты сандар жиыны қолданылады. Демек, ең кіші жоғарғы шекара нақты сандарға қарағанда жоғары типті объект болып табылады. Бұл оның өзі нақты сан емес екенін білдіреді. Бұған жол бермеу үшін аталғандарды енгізу қажет болды қысқарту аксиомасы. Өз еркімен болғандықтан, көптеген математиктер қысқартылатын аксиоманы қабылдаудан бас тартты, ал Расселдің өзі оны теориясындағы кемшілік деп атады. Сонымен қатар, теория өте күрделі болып шықты. Осының салдарынан ол кең қолдануды ала алмады.

Цермело-Франкель жиынтық теориясы

Математиканы аксиоматизациялаудың ең танымал тәсілі - бұл Zermelo-Fraenkel (ZF) жиынтық теориясы, ол Зермело теориялары(1908). Расселден айырмашылығы, Зермело логикалық принциптерді сақтап қалды және жиындар теориясының аксиомаларын ғана өзгертті. Бұл тәсілдің идеясы белгілі аксиомалар жиынтығын пайдаланып бұрыннан құрастырылған жиынтықтардан құрастырылған жиындарды ғана пайдалануға рұқсат етіледі. Мысалы, Зермело аксиомаларының бірі берілген жиынның барлық ішкі жиындарының жиынын құруға болатынын айтады (Буль аксиомасы). Басқа аксиома ( таңдау схемасы) әрбір жиыннан берілген қасиеті бар элементтердің ішкі жиынын таңдауға болатынын айтады. Бұл Зермело жиындары теориясы мен аңғал жиындар теориясы арасындағы негізгі айырмашылық: аңғал жиындар теориясында берілген қасиеті бар барлық элементтер жиынын қарастыруға болады, ал Zermelo жиындар теориясында бұрыннан құрастырылған жиыннан тек ішкі жиынды таңдауға болады. . Зермело жиыны теориясында барлық жиындардың жинағын құру мүмкін емес. Осылайша, Рассел жиынтығын ол жерде де құрастыру мүмкін емес.

Сабақтар

Кейде математикада барлық жиындарды біртұтас ретінде қарастыру пайдалы болады, мысалы, барлық топтардың жиынтығын қарастыру. Ол үшін жиындар теориясын класс түсінігі арқылы кеңейтуге болады, мысалы, Нейман- Бернейс- Годель (NBG) жүйесіндегі сияқты. Бұл теорияда барлық жиынтықтардың жиынтығы болып табылады сынып. Дегенмен, бұл класс жиынтық емес және кез келген сыныптың мүшесі емес, осылайша Расселдің парадоксын болдырмайды.

Кванторларды жиындардан ғана емес, сыныптар бойынша алуға мүмкіндік беретін күштірек жүйе, мысалы, Морзе жиынтық теориясы - Келли(МК) . Бұл теорияда негізгі ұғым – концепция сынып, бірақ жоқ жинақтар. Бұл теориядағы жиындар өздері кейбір класстардың элементтері болып табылатын осындай кластар болып саналады. Бұл теорияда формула z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\\(x\қос нүкте P(x)\))формулаға эквивалентті болып саналады

P (z) және ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \y.z\-де бар).

ретінде ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \бар y.z\y)бұл теорияда сынып дегенді білдіреді z (\displaystyle z)болып табылады көп, бұл формуланы деп түсіну керек ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\қос нүкте P(x)\))барлығының класы болып табылады жинақтар(сыныптар емес) z (\displaystyle z), солай P (z) (\displaystyle P(z)). Расселдің бұл теориядағы парадоксы әрбір сыныптың жиынтық еместігімен шешіледі.

Әрі қарай жүріп, сыныптар жинақтарын қарастыруға болады - конгломераттар, конгломераттардың жинақтары және т.б.

Математикаға әсері

Математиканы аксиоматизациялау

Расселдің парадоксы 20 ғасырдың басында ашылған басқа да математикалық антиномиялармен бірге математика негіздерін қайта қарауды ынталандырды, соның нәтижесінде математиканы негіздеу үшін аксиоматикалық теориялар құрылды, олардың кейбіреулері жоғарыда аталған.

Құрылған барлық жаңа аксиоматикалық теорияларда 20 ғасырдың ортасында белгілі болған парадокстар (оның ішінде Рассел парадоксы) жойылды. Дегенмен, болашақта жаңа ұқсас парадокстарды ашу мүмкін емес екенін дәлелдеу (бұл құрылған аксиоматикалық теориялардың бірізділігі мәселесі), бұл мәселені қазіргі заманғы түсінуде мүмкін емес болып шықты (Годельдің толық емес теоремаларын қараңыз). .

интуитивизм

Сонымен қатар математикада интуиционизм деп аталатын жаңа бағыт пайда болды, оның негізін салушы Л.Э.Я.Брувер. Интуиционизм Расселдің парадоксына және басқа антиномияларға тәуелсіз пайда болды. Алайда жиынтық теориясындағы антиномиялардың ашылуы интуиционистердің логикалық принциптерге деген сенімсіздігін арттырып, интуиционизмнің қалыптасуын тездетті. Интуитивизмнің негізгі тезисі қандай да бір объектінің бар екенін дәлелдеу үшін оны құру әдісін ұсыну қажет дейді. Интуиционистер барлық жиындардың жиынтығы сияқты абстрактілі ұғымдарды жоққа шығарады. Интуиционизм алынып тасталған орта заңын жоққа шығарады, дегенмен, Расселдің антиномиясынан немесе кез келген басқа (кез келген антиномияда ол дәлелденген) қайшылықты шығару үшін алынып тасталған орта заңы қажет емес екенін атап өткен жөн. A (\дисплей стилі A)теріске шығаруды тудырады A (\дисплей стилі A)және бас тарту A (\дисплей стилі A)көздейді A , (\displaystyle A,)дегенмен, бастап (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\дисплей стилі (A\Оң жақ көрсеткі \нег A)\&(\neg A\Оң жақ көрсеткі A))тіпті интуитивтік логикада қарама-қайшылық туындайды). Сондай-ақ, интуитивтік математиканың кейінгі аксиоматизацияларында Расселдікіне ұқсас парадокстардың табылғанын атап өткен жөн, мысалы, Жирард парадоксыбастапқы редакцияда Мартин Лёф.

Диагональды аргумент (өздігінен қолдану мүмкіндігі)

Расселдің пайымдауы парадоксқа әкелетініне қарамастан, бұл пайымдаудың негізгі идеясы математикалық теоремаларды дәлелдеуде жиі қолданылады. Жоғарыда айтылғандай, Рассел өзінің парадоксын Кантордың ең үлкен кардиналдық санның жоқтығы туралы дәлелін талдау арқылы алды. Бұл факт барлық жиынтықтар жиынтығының болуына қайшы келеді, өйткені оның негізгілігі максималды болуы керек. Дегенмен, Кантор теоремасына сәйкес, берілген жиынның барлық ішкі жиындарының жиыны жиынның өзінен үлкен кардиналдыққа ие. Бұл фактінің дәлелі мыналарға негізделген диагональ аргумент?!:

Әрбір элементке сәйкес келетін жеке-жеке сәйкестік болсын x (\displaystyle x)жинақтар X (\displaystyle X)ішкі жиынға сәйкес келеді s x (\displaystyle s_(x))жинақтар x. (\displaystyle X.)Болсын d (\displaystyle d)элементтердің жиынтығы болады x (\displaystyle x)солай x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (диагональ жиыны). Содан кейін осы жиынның толықтауышы s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d)))бірі бола алмайды s x . (\displaystyle s_(x).)Сондықтан хат алмасу бір-бірден болған жоқ.

Кантор санақсыздықты дәлелдеу үшін диагональ аргументін пайдаланды нақты сандар 1891 жылы. (Бұл оның нақты сандардың саналмайтындығы туралы алғашқы дәлелі емес, ең қарапайымы).

Қатысты парадокстар

Өзін-өзі қолдану мүмкіндігі жоғарыда талқыланғандардан басқа көптеген парадокстарда қолданылады:

• Құдіреттілік парадоксы ортағасырлық сұрақ: «Құдіретті құдай өзі көтере алмайтын тасты жарата ала ма?».
• Парадокс Бурали-Форти (1897) реттік сандар үшін парадокс Кантордың аналогы болып табылады.
• Мириманов парадоксы (1917 ж.) барлық негізделген таптар класы үшін Бурали-Форти парадоксын жалпылау болып табылады.
• Ричард парадоксы (1905) – математика мен метаматематика тілін ажыратудың маңыздылығын көрсететін семантикалық парадокс.
• Берри парадоксы (1906) — Рассел басып шығарған Ричард парадоксының жеңілдетілген нұсқасы.
• Клин-Россер парадоксы(1935) – Ричард парадоксын λ-есеп бойынша тұжырымдау.
• Карри (1941) парадоксы Клин-Россер парадоксын жеңілдету болып табылады.
• Жирард парадоксы(1972) - тұрғысынан Бурали-Форти парадоксын тұжырымдау интуитивтік тип теориясы .
• Берридің парадоксын еске түсіретін жартылай әзіл парадокс.

Ескертпелер

1. Godhard Link (2004) Расселлдің жүз жылдық парадоксы, бірге. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Расселдің антиномиясы // Логика сөздігі. Ивин А.А., Никифоров А.Л.- М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. - 384 б. - ISBN 5-691-00099-3.
3. Эндрю Дэвид Ирвин, Гарри Дойч.Рассел "s Парадокс // Стэнфорд философия энциклопедиясы / Эдвард Н. Залта. - 2014-01-01.
4. Антиномия- Математикалық энциклопедиядан алынған мақала. Драгалин А.Г
5. Герасимов А.С.Курс-математикалық-логика-және теориялық есептеу мүмкіндігі. - өңделген және кеңейтілген үшінші басылым. - Петербург: ЛЕМА, 2011. - С.124-126. - 284 б.

Біздің ғасырда ашылған парадокстардың ең әйгілісі Б.Рассел ашқан антиномия болып табылады. Идея ауада болды және оны жариялау жарылған бомба сияқты әсер қалдырды. Бұл парадокс математикада, Д.Гильберттің айтуы бойынша, «толық апаттың әсері». Ең қарапайым және маңызды логикалық әдістер, ең көп таралған және пайдалы ұғымдар қауіп төндіреді. Логикада да, математикада да, олардың өмір сүруінің бүкіл ұзақ тарихында антиномияны жоюға негіз бола алатын ештеңе шешілмегені бірден белгілі болды. Әдеттегі ойлау тәсілдерінен бас тарту керек екені анық.

Рассел парадоксы өзінің бастапқы түрінде жиын, немесе класс ұғымымен байланысты. Біз әртүрлі объектілердің жиындары туралы айта аламыз, мысалы, барлық адамдар жиыны туралы немесе натурал сандар жиыны туралы. Бірінші жиынның элементі кез келген жеке тұлға, екіншісінің элементі - әрбір натурал сан болады. Жиындардың өзін кейбір объектілер ретінде қарастыруға және жиындар жиыны туралы айтуға болады. Тіпті барлық жиындардың жиынтығы немесе барлық ұғымдардың жиынтығы сияқты ұғымдарды енгізуге болады. Ерікті түрде алынған кез келген жиынға қатысты оның өзіндік элементі ме, жоқ па деген сұрақтың мәні бар сияқты. Элемент ретінде өздерін қамтымайтын жиындар қарапайым деп аталады. Мысалы, атомдар жиыны атом емес сияқты, барлық адамдардың жиынтығы адам емес. Тиісті элементтер болып табылатын жиындар әдеттен тыс болады. Мысалы, барлық жиындарды біріктіретін жиын жиын болып табылады, сондықтан өзін элемент ретінде қамтиды. Әлбетте, әрбір жиынтық не кәдімгі, не әдеттен тыс.

Енді барлық қарапайым жиынтықтардың жиынтығын қарастырайық. Бұл жиынтық болғандықтан, ол жай немесе әдеттен тыс па деп сұрауға болады. Жауап, алайда, көңіл көншітпейді. Егер ол кәдімгі болса, анықтама бойынша ол элемент ретінде өзін қамтуы керек, өйткені ол барлық қарапайым жиындарды қамтиды. Бірақ бұл әдеттен тыс жиынтық екенін білдіреді. Біздің жиынымыз кәдімгі жиын деген болжам осылайша қайшылыққа әкеледі. Сондықтан бұл қалыпты болуы мүмкін емес. Екінші жағынан, ол әдеттен тыс болуы мүмкін емес: әдеттен тыс жиын өзін элемент ретінде қамтиды, ал біздің жиынымыздың элементтері қарапайым жиындар ғана. Нәтижесінде біз барлық жай жиындардың жиыны жай немесе ерекше бола алмайды деген қорытындыға келеміз.

Осылайша, тиісті элементтер болып табылмайтын барлық жиындар жиыны, егер ол мұндай элемент болмаса ғана, меншікті элемент болып табылады. Бұл анық қайшылық.

Қарама-қайшылық мұндай жиынның жоқ екенін айтады. Бірақ неге ол өмір сүре алмайды? Өйткені, ол нақты анықталған шартты қанағаттандыратын объектілерден тұрады және шарттың өзі қандай да бір ерекше немесе түсініксіз болып көрінбейді. Егер қарапайым және анық анықталған жиын өмір сүре алмаса, онда мүмкін және мүмкін емес жиындардың айырмашылығы неде? Қарастырылған жиынның жоқтығы туралы қорытынды күтпеген естіледі және алаңдаушылық тудырады. Ол біздің жиын туралы жалпы ұғымымызды аморфты және хаотикалық етеді және оның кейбір жаңа парадокстарды тудырмайтынына кепілдік жоқ.

Расселдің парадоксы өте жалпылығымен ерекшеленеді. Оны құру үшін күрделі техникалық түсініктер қажет емес, кейбір басқа парадокстардағыдай «жиын» және «жиын элементі» ұғымдары жеткілікті. Бірақ бұл қарапайымдылық оның іргелі табиғаты туралы ғана айтады: ол жиындар туралы пайымдауларымыздың ең терең негіздерін қозғайды, өйткені ол кейбір ерекше жағдайлар туралы емес, жалпы жиындар туралы айтады.

Рассел парадоксы арнайы математикалық емес. Ол жиын түсінігін пайдаланады, бірақ арнайы математикаға қатысты ешқандай ерекше қасиеттерді қозғамайды. Бұл парадокс таза логикалық терминдермен қайта тұжырымдалған кезде айқын болады.

Кез келген қасиеттен оның өзіне қатысты ма, жоқ па деп сұрауға болады. Ыстық болу қасиеті, мысалы, өзіне қатысты емес, өйткені оның өзі ыстық емес; нақты болу қасиеті де өзіне қатысты емес, өйткені ол абстрактілі қасиет. Бірақ абстрактілі болу, дерексіз болу қасиеті өзіне қатысты. Бұл қасиеттерді өздеріне жарамсыз деп атайық. Өзіне жарамсыз болу қасиеті қолданылады ма? Қолданбаған жағдайда ғана жарамсыз болып шығады. Бұл, әрине, парадоксалды.Рассел антиномиясының логикалық, қасиетке байланысты әртүрлілігі математикалық, жиынмен байланысты әртүрлілік сияқты парадоксалды.

Б.Рассел де өзі ашқан парадокстың келесі танымал нұсқасын ұсынды. «Шаштараз қаланың өз-өзіне қырынбайтын тұрғындарын ғана қырады. Шаштаразды кім қырады?» Шаштараздың парадоксы мынада: бұл сұраққа жауап беру мүмкін емес.

Жағдайды түсіну үшін қала тұрғындарын үш топқа бөлеміз. Бұл бұзылу сол жақтағы суретте көрсетілген: өздерін қыратындар жоғарыда; қырынғандар - төменнен; мүлде қырынбайтындар (монахтар, балалар, әйелдер...) эллипстің сыртында.

Алдымен (1) шарттың әрекетін қарастырайық. Шаштараз қырынбайтындардың барлығын, яғни эллипстің бүкіл төменгі жартысын қырып алсын (штрих шаштараздың клиенттерін белгілейді). Бірақ (1) шарт оған қырынуға және өзі қыратын адамға, яғни өзіне мүмкіндік береді. Шарт (1) оған тұрғындардың өздері қырынатын эллипстің жоғарғы жартысында орналасуына және сол жерде қырылуына мүмкіндік береді. Бұл ортаңғы суретте көрсетілген.

Егер (2) шарт орындалса және шаштараз өзі қырынбайтындарды ғана қырса, бұл ол эллипстің төменгі жартысының бір бөлігін қырады және өзі қырмайды, яғни эллипстің жоғарғы жартысында емес дегенді білдіреді. . Бірақ төменгі жартысының тұрғындары шаштараз емес, басқа біреудің қырынуы мүмкін. Ал шаштараз осы адамдардың арасында болуы мүмкін (оң сурет). Сондықтан шаштараз өзінің досын қырып алады, ал шаштараз эллипстің төменгі жартысының көлеңкеленген бөлігін қырады.

Бірақ (1) және (2) шарттардың екеуі де орындалса, онда шаштараздың эллипсте орны жоқ. Ол мүлде қырынбайды. Және бұл жерде ешқандай парадокс жоқ. Демек, ол не монах, не робот, не бала, не әйел, не қаланың тұрғыны емес... Ал егер қалада қыратындардан басқа ешкім болмаса, демек, эллипстің сыртқы түрі бос болса, онда (1) және (2) шарттарын қанағаттандыратын шаштараз жоқ. Бұл жағдайда оны кім қырады деп сұрау абсурд. Мұндай шаштараздардың көбі бос.

Міне, «шаштаразды кім қырады?» деген сұрақтың да «әкеңді неге ұрып-соғасың?» деген классикалық сұрақ сияқты әу бастан дұрыс емес екенін байқаймыз. Шаштаразды кім қырады деп сұрамас бұрын, оны біреудің қыратыны туралы келісім керек.

Шаштараз туралы дауды псевдопарадокс деп атауға болады. Оның барысында ол Расселдің парадоксына қатаң ұқсас және оны қызықты ететін де осы. Бірақ бұл әлі де шынайы парадокс емес.

Сол псевдопарадокстың тағы бір мысалы - белгілі каталог дәлелі.

Белгілі бір кітапхана библиографиялық каталогты құрастыруды ұйғарды, оған барлық және тек өзіне сілтемелері жоқ библиографиялық каталогтар кіреді. Мұндай каталог өзіне сілтемені қамтуы керек пе? Мұндай каталогты құру идеясы мүмкін емес екенін көрсету оңай; ол жай ғана өмір сүре алмайды, өйткені ол бір уақытта өзіне сілтемені қамтуы керек және қамтымауы керек. Бір қызығы, өзіне сілтеме жасамайтын барлық каталогтарды каталогтау шексіз, ешқашан аяқталмайтын процесс ретінде қарастырылуы мүмкін.

Бір кезде каталог құрастырылды делік, айталық K1, ол өзіне сілтемелері жоқ барлық басқа каталогтарды қамтиды. K1 құрылуымен өзіне сілтемесі жоқ басқа каталог пайда болды. Мақсаты өздері туралы айтылмаған барлық каталогтардың толық каталогын жасау болғандықтан, K1 шешім емес екені анық. Ол сол анықтамалықтардың бірін - өзі айтпайды. К1-де өзі туралы осы сөзді қосқанда, біз K2 каталогын аламыз. Ол K1 туралы айтады, бірақ K2 өзі емес. К2-ге осындай ескертуді қосқанда, біз K3 аламыз, ол өзін айтпағандықтан қайтадан толық емес. Және т.б. шексіз.

Бір ауылдағы шаштараздың қожайыны: «Мен ауылдың өз қырынбайтын тұрғындарына ғана қырынамын» деген хабарлама ілінді. Мәселе мынада, шаштаразды кім қырады?

Даму математикалық логикаәсіресе 20 ғасырда компьютерлік техника мен программалаудың дамуына байланысты күшейді.

Ø Анықтама Математикалық логикатолығымен формальды математикалық әдістерге сүйенетін логиканың заманауи түрі болып табылады. Ол тек қатаң анықталған объектілері бар қорытындыларды және олардың ақиқат немесе жалған екендігін біржақты шешуге болатын пайымдауларды зерттейді.

Математикалық логиканың негізгі (анықталмаған) тұжырымдамасы « қарапайым мәлімдеме«. Жалғыз мәлімдеме болып табылатын мәлімдеме әдетте қарапайым немесе элементар деп аталады.

Ø Анықтау мәлімдемесіақиқат немесе жалған деп айтуға болатын хабарлы сөйлем.

Мәліметтер ақиқат I немесе жалған L болуы мүмкін.

Мысал: Жер планетасы күн жүйесі. (Шын); Әрбір параллелограмм шаршы (жалған)

Олардың шын немесе жалған екенін нақты айту мүмкін емес мәлімдемелер бар. «Бүгін ауа-райы жақсы» (кімге ұнайды)

Мысалмәлімдеме «Жаңбыр жауып тұр»- қарапайым, ал шын немесе жалған терезенің сыртындағы ауа райына байланысты. Егер шынымен жаңбыр жауып тұрса, онда мәлімдеме дұрыс, ал егер күн ашық болса және жаңбырды күту пайдасыз болса, онда мәлімдеме «Жаңбыр жауып тұр»жалған болады.

Мысал« » мәлімдеме емес (ол қандай мәндерді алатыны белгісіз).

«Екінші курс студенті» деген сөз емес

Ø АнықтамаБастауышайтылымдарды басқа айтылымдармен білдіруге болмайды.

Ø АнықтамаҚұрамаұсыныстар - қарапайым ұсыныстарды қолдану арқылы білдіруге болатын ұсыныстар.

Мысал«22 саны жұп» - қарапайым тұжырым.

Мәлімдемелердің ақиқаттығын анықтаудың екі негізгі тәсілі бар: эмпирикалық (эксперименталды) және логикалық.

Сағат эмпирикалық көзқарастұжырымның ақиқаттығы бақылаулар, өлшеулер, тәжірибелер көмегімен белгіленеді.

логикалық тәсілтұжырымның ақиқаттығы басқа тұжырымдардың ақиқаттығы негізінде, яғни фактілерге, олардың мазмұнына сілтеме жасамай, яғни формалды түрде белгіленетіндігінде жатыр. Бұл тәсіл аргументке енгізілген мәлімдемелер арасындағы логикалық байланыстарды анықтауға және пайдалануға негізделген.

2.2 Ұсыныс логикасы

Ең алдымен, сіз ұғымдарды анықтауыңыз керек, өйткені бір бөлім жиі басқаша аталады: математикалық логика, ұсыныс (сөйлем) логикасы, символдық логика, екі мәнді логика, ұсыныс логикасы, логикалық алгебра ...

Ø Анықтамаұсыныс логикасы- е-ден мәлімдемелер құрастыру әдісін зерттеу негізінде тұжырымдардың ақиқат немесе жалғандығы туралы мәселе қарастырылатын және шешілетін логика бөлімі бастауыш(бұдан әрі бөлшектелмейді және талданбайды) конъюнкция («және»), дизъюнкция («немесе»), терістеу («емес»), импликация («егер... сонда...») логикалық операцияларының көмегімен сөйлемдер. және т.б.

Ø Анықтама ұсыныстарды есептеуаксиоматикалық логикалық жүйе болып табылады, оның интерпретациясы ұсыныстар алгебрасы болып табылады.

Барлық ықтимал тұжырымдар арасында логикалық заңдар (дұрыс құрастырылған пайымдаулар, логикалық қорытындылар, тавтологиялар, жалпы жарамды мәлімдемелер) болып табылатындарды ерекшелейтін формальды жүйені құру үлкен қызығушылық тудырады.

Табиғи (ауызша) тілді қолданбайтын формальды теориялар ондағы кездесетін өрнектер жазылатын өзінің ресми тілін қажет етеді.

Ø АнықтамаТавтология болып табылатын мәлімдемелерді тудыратын және тек соларды құрайтын ресми жүйе деп аталады ұсыныстық есептеу(IV).

Ресми IoT жүйесі мыналармен анықталады:

Логикалық жалғауларды белгілеу үшін қандай белгілерді қолданған дұрыс?

Мына белгілерге тоқталайық: терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және эквиваленттілік. Әдетте, жалғауларды қолдану нәтижелерінің логикалық мәндері кестелер түрінде жазылады (ақиқат кестелері деп аталады).

2.3 Логикалық жалғаулар................................................. ................ ...

Табиғи тілде жай сөйлемдерден күрделі сөйлемдер құрастыру кезінде келесі грамматикалық құралдар жалғаулық қызмет атқарады:

кәсіподақтар «және», «немесе», «жоқ»;

сөздер «егер ..., онда», «не ... немесе»,

«егер және тек егер» және т.б.

Пропозициялық логикада күрделі ұсыныстарды құру үшін қолданылатын логикалық жалғаулықтар дәл анықталуы керек.

Құрама сөйлемдердің ақиқат мәндері олардың мағынасымен емес, құрамдас сөйлемдердің ақиқат мәндерімен ғана анықталатын сөйлемдердегі логикалық жалғауларды (амалдарды) қарастырайық.

Кеңінен қолданылатын бес логикалық жалғаулық бар.

терістеу (белгімен бейнеленген),

жалғаулық (белгі),

дизъюнкция (v белгісі),

импликация (белгі)

эквиваленттілік (белгі).

Ø АнықтамаТерістеу P мәлімдемелері P мәлімдемесі жалған болған жағдайда ғана ақиқат болатын мәлімдеме.

Ø АнықтамаЖалғауекі ұсыныс P және Q – екі ұсыныс ақиқат болған жағдайда ғана ақиқат болатын ұсыныс.

Ø АнықтамаДизъюнкцияекі ұсыныс P және Q - егер екі ұсыныс жалған болса ғана жалған болып табылатын ұсыныс.

Ø Анықтамасалдарыекі P және Q мәлімдемесі - егер P ақиқат болса және Q жалған болса ғана жалған болатын мәлімдеме. P операторы деп аталады сәлемдемесалдары және Q мәлімдемесі - қорытындысалдары.

Ø АнықтамаЭквиваленттілікекі ұсыныс P және Q - егер P және Q ақиқат мәндері бірдей болса ғана ақиқат болатын ұсыныс.

Логика алгебрасында «егер...» «онда...» сөздерінің қолданылуы олардың күнделікті сөйлеуде қолданылуынан ерекшеленеді, мұнда, әдетте, егер мәлімдеме Xжалған болса, онда «Егер X, содан кейін сағ' мүлде мағынасы жоқ. Сонымен қатар, «егер X, содан кейін сағ» күнделікті сөйлеуде біз әрқашан сөйлемді білдіреміз сағұсынысынан туындайды X. Математикалық логикада «егер, онда» сөздерін қолдану мұны талап етпейді, өйткені онда ұсыныстардың мағынасы қарастырылмайды.

2.4 Логикалық амалдар

Цифрлық технологияның негізі компьютердің барлық шығыстарының негізінде жатқан үш логикалық операция болып табылады. Бұл үш логикалық операция: ЖӘНЕ, НЕМЕСЕ, ЕМЕС, олар «машина логикасының үш тірегі» деп аталады.

Дискретті математика курсынан белгілі логикалық қосылғыштарды немесе логикалық операцияларды операторларға қолдануға болады. Бұл нәтиже береді формулалар. Формулалар әріптердің барлық мағыналарын ауыстыру арқылы ұсыныстарға айналады.

Негізгі логикалық амалдардың ақиқат кестелері.

Логикалық амалдар арқылы өзара байланысқан бірнеше айнымалылар логикалық функция деп аталады.

Кез келген есептеудің сипаттамасы осы есептеудің (алфавиттің) таңбаларының сипаттамасын, символдардың соңғы конфигурациялары болып табылатын формулаларды және туынды формулалардың анықтамасын қамтиды.

2.5 Пропозициялық есептеу алфавиті

Айтылым есептеу алфавиті үш категорияның таңбаларынан тұрады:

Олардың біріншісі – дизъюнкцияның немесе логикалық қосудың белгісі, екіншісі – конъюнкцияның немесе логикалық көбейтудің, үшіншісі – импликацияның немесе логикалық нәтиженің белгісі, төртіншісі – терістеудің белгісі.

Болжамдық есептеудің басқа таңбалары жоқ.

2.6 Формулалар.Тавтология

Болжамдық есептеу формулалары - болжамдық есептеу алфавитіндегі таңбалар тізбегі.

Латын әліпбиінің бас әріптері формулаларды белгілеу үшін қолданылады. Бұл әріптер есептеу таңбалары емес. Олар тек формулалардың символдары.

Ø Анықтама формуласы –жақсы құрылған құрама мәлімдеме:

1) Әрбір әріп формула.

2) Егер , формулалар болса, , , , , формулалары да болады.

Сөздер формула емес екені анық: ) (бұл сөздердің үшіншісінде тұйық жақша, төртіншісінде жақша жоқ).

Мұнда логикалық жалғаулық ұғымының нақтыланбағанын ескеріңіз. Әдетте, формулаларға кейбір жеңілдетулер енгізіледі. Мысалы, формулаларды белгілеуде пропозициялық алгебрадағы сияқты ережелерге сәйкес жақшалар алынып тасталады.

Ø Анықтама.Формула деп аталады тавтология, егер ол әріптердің кез келген мәндері үшін тек шынайы мәндерді қабылдаса.

Ø АнықтамаӘріптердің кез келген мәні үшін жалған формула шақырылады қайшылық

Ø АнықтамаФормула деп аталады орындалатын, егер айнымалылардың ақиқат мәндерін бөлудің кейбір жиынында ол ЖӘНЕ мәнін қабылдайды.

Ø АнықтамаФормула деп аталады теріске шығаруға болатын, егер айнымалылардың ақиқат мәндерінің кейбір таралуы үшін ол L мәнін қабылдайды.

Мысаланықтаманың 2-тармағына сәйкес формулалар болып табылады.

Сол себепті сөздер формулалар болады:

Формула ұғымымен бір мезгілде ұғым ішкі формулаларнемесе формуланың бөлігі.

1. ішкі формулаэлементар формуланың өзі.

2. Егер формуланың пішімі болса, онда оның ішкі формулалары: өзі, А формуласы және А формуласының барлық ішкі формулалары болады.

3. Формула (А*В) пішініне ие болса (бұдан әрі * белгісімен біз үш таңбаның кез келгенін түсінеміз), онда оның ішкі формулалары: өзі, А және В формулалары және формулалардың барлық ішкі формулалары. А және В.

МысалФормула үшін оның ішкі формулалары болады:

- нөлдік тереңдіктің ішкі формуласы,

Бірінші тереңдіктің ішкі формулалары,

Екінші тереңдіктің ішкі формулалары,

Үшінші тереңдіктің ішкі формулалары,

Төртінші тереңдіктің ішкі формуласы.

Осылайша, біз «формуланың құрылымына терең енген кезде» тереңдетілген ішкі формулаларды бөліп аламыз

Дискретті математика курсынан таутологиялардың мысалдары болып табылатын негізгі логикалық эквиваленттер (эквиваленттер) белгілі. Барлық логикалық заңдар тавтология болуы керек.

Кейде заңдар деп аталады алу ережелері,үй-жайлардан дұрыс қорытындыны анықтайтын.

2.7Пропозициялық логика заңдары

Логика алгебрасында конъюнкция мен дизъюнкция амалдарына қатысты коммутативті және ассоциативті заңдары және дизъюнкцияға қатысты конъюнкцияның дистрибьюторлық заңы бар, дәл сол заңдар сандар алгебрасында орын алады.

Сондықтан логика алгебрасы формулаларының үстінен сандар алгебрасында орындалатын түрлендірулерді (жақшаларды ашу, жақшаға алу, ортақ көбейткішті жақшаға алу) орындауға болады.

Ұсыныс логикасының негізгі заңдылықтарын қарастырыңыз.

1. Коммутативтілік:

, .

2. Ассоциативтілік:

3. Тарату қабілеті:

4. Импотенттілік: , .

5. Қос теріске шығару заңы: .

6. Үшіншіні алып тастау заңы:.

7. Қайшылық заңы: .

8. Де Морган заңдары:

9. Идемпотенттік заңдар(логикалық тұрақтылармен амалдардың қасиеттері)

Логика алгебрасында дәрежелер мен коэффициенттер жоқ. Бірдей «факторлардың» конъюнкциясы олардың біріне тең

Мұнда және кез келген әріптер бар.

Мысалдар.тавтология формуласы.