Математика в природе: примеры. Математика в природе, нумерология в жизни Понятие о гармонии

Понятие о гармонии. Математические закономерности композиции

Основы композиции в прикладной графике

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них наиболее глубокий след в мировой культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и человека как единое целое, где все взаимосвязано и находится в гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка - упорядочивания хаоса. Гармония присуща природе и искусству: "Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет ". Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую "Канон".

Все классическое искусство Греции носит печать пифагорейского учения о про порциях. Его влияние испытали на себе ученые средневаковья, наука и искусство эпохи Возрождения, Нового времени вплоть до наших дней. Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый ".

Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности:

• математическая,
• гармоническая,
• геометрическая и др.

В математической равенство двух отношений выражается формулой a:b=с:d , и каждый член ее может быть определен через остальные три. В гармонической пропорции - 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например:

а:с=(а - в): (в - с)

В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий, а:в=в:с . Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так называемого "золотого сечения ", имеющая всего два члена - "а " и "в " - излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли "божественной пропорцией".

Золотое сечение (з. с.)

Особенностью пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между двумя предыдущими членами, т. е.

а:в=в: (а -в)

• Отношение з. с. выражается числом 0,618 .
• Пропорция з. с. 1:0,618=0,618:0,382 .

Если отрезок прямой выразить через единицу, а затем разделить его на два отрезка по з. с., то больший отрезок будет равен 0,618, а меньший 0,382.

рис 2. Деление отрезка по золотому сечению

На основании пропорции з. с. был построен ряд чисел, замечательный тем, что каждое последующее число оказывалось равным сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1З, 21 и т. д. Этот ряд был открыт итальянским математиком Фибоначчи и называется поэтому рядом Фибоначчи. Он обладает тем свойством что, отношения между соседними членами по мере возрастания чисел ряда, все более приближаются к О,б18, то есть, к отношению з. с.

Пропорции з. с. ученые связывают с развитием органической материи. з. с. было обнаружено в объектах живой природы - в строении раковин, дерева, в расположении семян подсолнуха, в строении тела человека, а также его наблюдали в устройстве вселен ной в расположении планет.

В отношении з. с. находятся так же элементы геометрических фигур - пятиугольника, звезды.

В прямоугольнике з. с. стороны находятся в отношении з.с. Этот прямоугольник содержит в себе квадрат и малый прямоугольник з. с. (его большая сторона является малой стороной первоначального прямоугольника.) Поэтому можно построить пр-к з.с. на основании квадрата: сторона квадрата делится пополам, из той точки к вершине проводится диагональ, с помощью которой на стороне квадрата строится пр-к з.с.

Точки пересечения линий, составляющихзвезду, делят их на отрезки в отношении золотого сечения. Этот малый прямоугольник подобен большому прямоугольник, составленному из квадрата и малого прямоугольника з. с., то есть оба эти прямоугольника являются прямоугольниками з. с.

Иначе говоря, если отсечь от прямоугольника з. с.. квадрат, то остается меньший прямоугольник, стороны которого опять же будут находиться в отношении з. с. Разбивая этот меньший прямоугольник на квадрат и еще меньший прямоугольник, мы опять получим прямоугольник з. с., и так до бесконечности. Если соединить вершины квадратов кривой, то мы получим логарифмическую кривую, бесконечно растущую спираль, которую называют "кривая развития", "спираль жизни", ибо в ней как бы заложена идея бесконечного развития.

Рис. 4. Прямоугольник приблизительно золотого сечения, построенный на основании пятиугольника

Рис.5.Построение прямоугольника золотого сечения на основе квадрата.

Бесконечное повторение з. с. и квадрата при рассечении прямоугольника з. с. обнаруживает повторение целого в его частях, что является одним из условий гармонии целого. Это свойство прямоугольника з.с. было обнаружено художниками и они стали употреблять з. с. как способ гармонизации, способ пропорционирования. Фидий использовал з. с. при постройке Акрополя (5 век до н. э.)

Рис. 6.Логарифмияеская кривая "Спираль Жизни"

Рис. 7. Построение буквы из книги Луки Пачоли "О божественной пропорции"

Греческие ремесленники, создавая гончарные изделия также применяли з. с. В эпоху Возрождения з. с. использовали не только в зодчестве, скульптуре, живописи, но и в поэзии и музыке. Дюрер, Леонардо да Винчи и его ученик Лука Пачоли применяли з. с. в поисках гармоничных пропорций букв. Прямоугольник з. с. мы встречаем и в пропорциях средневековых рукописных книг, и в современной книге, так как стройные пропорции з. с. позволяют красиво организовать пространство книжной страницы и разворота.

Рис. 8. Схема идеальных пропорций средневековой рукописи.

Пропорции страницы 2:3, а плоскость, занятая письмом в пропорции золотого сечения.

Рис. 9. Один из способов определения рзмера полосы набора при заданном формате.

Пропорционирование - приведение частей целого к единому пропорциональному строю.

В ХХ веке вновь возродился интерес к золотому сечению как к способу пропорционирования.

Оно привлекло внимание архитекторов. Советский архитектор Жолтовский и француз Корбюзье занимались проблемами з. с. и использовали его в своей архитектурной практике, Корбюзье создал целую систему пропорционирования на основе чисел ряда золотого сечения и пропорций человеческого тела и назвал ее "Модулор", что по-латыни означает "ритмически размерять".

Рис. 9. Модулор (упрощенная схема)

Рис. 10. Варианты деления прямаугольника на основе Модулора.

Модулор Корбюзье представляет собой гармонические ряды чисел, которые связаны в единую систему и предназначены для использования в архитектуре и дизайне - для гармонизации всей среды, в которой обитает человек. Корбюзье мечтал о перестройке с помощью Модулора всей архитектурной и предметной среды. Сам он создал несколько прекрасных образцов архитектуры, но о более широком применении Модулора в существующих условиях не могло быть и речи.

Модулор использовался в ряде слуйаев в дизайне и в графическом дизайне - при конструировании печатных изданий. На рис. 16 приводятся варианты деления прямоугольника 3:4, приведенные Корбюзье для демонстрации возможностей конструирования с помощью Модулора.

В разработку вопроса пропорционирования и использования золотого сечения нес свой вклад Д.Хэмбидж. В 20-м году в Нью-Йорке вышла его книга "Элементы динамической симметрии". Хэмбидж исследовал динамическую симметрию, которую он обнаружил в ряде прямоугольников, с целью ее практического применения художниками в композиционном построении. Он делает попытку раскрыть секреты, которыми пользовались древние греки, добиваясь гармонического решения формы. Его внимание привлекли свойства прямоугольников, составляющих ряд, где каждый последующий прямоугольник строится на диагонали предыдущего, начиная с диагонали квадрата Ц2. Это прямоугольники Ц4, Ц5 (с меньшей стороной равной стороне квадрата, принятой за единицу). (Рис. 17). Кульминацией ряда является прямоугольник Ц5, обладающий особыми гармоническими свойствами и "родственный" прямоугольнику золотого сечения, (о нем будет сказано ниже).

Рис. 11. Ряд динамических прямоугольников Хэмбиджа.

Хэмбидж рассматривает также площади квадратов, построенных на сторонах этих прямоугольников и обнаруживает следующую динамику: в пр-ке Ц2 квадрат, построенный на большей стороне, имеет площадь в 2 раза большую, чем квадрат, построенный на меньшей стороне. В пр-ке Ц3 квадрат на большей стороне в 3 раза больше квадрата на меньшей стороне и так далее. Таким образом образуются динамические ряды площадей, состоящие из целых чисел.

Хэмбидж утверждает, что древние греки использовали этот принцип в своих композиционных решениях. Прямоугольники динамического ряда, о котором мы говорили, являются первичными площадями в композиционной системе Хэмбиджа. Каждый из этих прямоугольников может быть разбит на отдельные части и порождать новые композиционные решения, новые темы. Например, прямоугольник Ц5 можно разбить на квадрат и два прямоугольника золотого сечения. Прямоугольник золотого сечения может быть разбит на квадрат и прямоугольник золотого сечения, а также может быть разбит на равные части, при этом обнаруживается следующая закономерность: при делении пополам он даст два прямоугольника, в каждом из которых будет по два прямоугольника золотого сечения. При делении на три части - по три прямоугольника золотого сечения в каждой трети. При делении на 4 части - по четыре прямоугольника з. с. в каждой четверти основного прямоугольника.

Среди систем пропорционирования, используемых в архитектуре, дизайне, в прикладной графике следует упомянуть системы "предпочтительных чисел" и различные модульные системы.

"Предпочтительные числа " - ряд чисел геометрической прогрессии, где каждое последующее число образуется умножением предыдущего числа на какую-нибудь постоянную величину. Числа из предпочтительных рядов используются при конструировании упаковок, в композиции рекламных плакатов. Они обеспечивают ритмическое развитие формы, их можно встретить и в построении формы античной вазы и в современной станке.

Известна система пропорционирования - так называемые "итальянские ряды ", в основе которых лежат первые числа ряда Фибоначчи - 2, 3, 5. Каждое из этих чисел, удваиваясь, составляет ряд чисел, гармонически связанных между собой:

• 2 - 4, 8, 16, 32, 64, и т. д.
• 3 - 6, 12, 24 48, 96
• 5 - 10, 20, 40, 80, 160

Пропорционирование связано с понятиями соразмерности и меры . Одним из способов соизмерения целого и его частей является модуль. Модуль - размер или элемент, повторяющийся неоднократно в целом и его частях. Модуль (лат.) означает - мера. Любая мера длины может являться модулем. При строительстве греческих храмов, чтобы добиться соразмерности использовали также и модуль. Модулем мог служить радиус или диаметр колонны, расстояние между колоннами.

Витрувий, римский зодчий 1 в. до н. э., в своем трактате об архитектуре писал, что пропорция есть соответствие между членами всего произведения и его целым - по отношению к части, принятой за исходную, на чем и основана вся соразмерность, и соразмерность есть строгая гармония отдельных частей самого сооружения и соответсхвие отдельных частей и всего целого одной определенной части, принятой за исходную.

В прикладной графике модуль широко ислользуется при конструировании книг, журналов, газет, каталогов, проспектов, всяческих печатных изданий. Применение модульных сеток помогает упорядочить расположение текстов и иллюстраций, споеобствует созданию композиционного единства. В основе модульного конструирования печатных изданий лежит комбинация вертикальных и горизонтальных линий, образующих сетку, делящих лист (страницу) на прямоугольники, предназначенные для распределения текста, иллюстраций и пробелов между ними. Этот прямоугольный модуль (их может быть несколько) определяет ритмически организованное распределение материала в печатном издании.

Существуют сетки различного рисунка и степени сложности. А. Херлберт приводит в своей книге "Сетка" образцы модульных сеток для журналов, книг, газет.

Не следует путать модульную сетку с типографской сеткой, определяющей размеры полей и формат полосы набора. Конечно, модульная сетка, постольку, поскольку имеет дело с печатными изданиями, должна учитывать размеры строк, высоту литер, пробельные элементы в типографских мерах (квадраты, цицеро, пункты), чтобы правильно располагать печатный материал на странице.

Система сеток благодаря четкой модульной основе позволяет ввести в процесс проектирования издания электронные программы. В прикладной, промышленной графике модульную сетку применяют при конструировании всевозможных рекламных издании и, в особенности при проектировании графического фирменного стиля. Модульную сетку применяют при конструировании различных знаков, знаков визуальных коммуникаций, товарных знаков и др.

Рис. 14. Товарный знак, построенный на основе модульной сетки.

Рис. 15. Коммуникационный знак для Олимпийских игр в Мюнхене. построенный на модульной сетке

В основу модульных сеток часто бывает положен квадрат. Квадрат очень удобный модуль. Он широко используется как модуль в современной мебельной промышленноети, в собенности, при конструировании сборной мебели, "стенок".

Двойной квадрат издавна известен как модуль традиционного японского дома, где размеры комнат находились в соответствии с тем, сколько раз уложится на полу циновка-татами имеющая пропорции двойного квадрата.

В прикладной графике квадрат используется для форматов проспектов альбомов, детских книг, но он также определяет и внутреннее пространство этих изданий. Квадратный модуль может использоваться и не в квадратном формате.

Приведем пример использования квадратного модуля в квадратном формате: при трехколоночном наборе текста вся площадь, отведенная под текст и иллюстрации делится на 9 квадратов. Если ширину колонки обозначить 1, то квадрат будет 1х1. Иллюстрации при этом могут занимать площади: 1х1, 1х2, 1хЗ, 2х2, 2хЗ, ЗхЗ, 2х1, и т. д., то есть мы будем иметь достаточно широкие возможности для комбинирования иллюстраций и текста в верстке. В композиционной структуре произведений искусства и дизайна имеют значение пропорции прямоугольников и других геометрических фигур, в которые вписывается данное произведение или его основные части. Поэтому следует рассмотреть прямоугольники, которые нашли наиболее широкое применение благодаря своим гармоническим свойствам (о прямоугольнике золотого сечения говорилось выше). Обратимся снова к квадрату. Квадрат как конструктивная форма известен издавна. Он привлекал внимание художников Древнего мира и эпохи Возрождения.

На рисунке Леонардо да Винчи изображена связь квадрата и круга с человеческой фигурой известная еще древним, (Витрувий). Художники Возрождения - немец Дюрер, итальянец Пачоли, француз Тори, занимаясь разработкой начертания букв, исходили из формы квадрата, буква со всеми своими элементами вписывалась в квадрат (рис. 12), хотя и не все буквы приравнивались к квадрату, однако общий композиционный строй определялся квадратом. Квадрат является устойчивой, статичной фигурой. Она ассоциируется с чем_то неподвижным, завершенным. В Древнем мире у некоторых народов изображение квадрата было связано с символикой смерти. (В этой связи интересно заметить, что пропорции квадрата в природе встречаются в формах неживой материи, у кристаллов). Благодаря своей статической завершенности квадрат используется в прикладной графике, в области визуальных коммуникаций наряду с формой круга как элемент, фиксирующий внимание, а также для ограничения пространства, на котором сосредоточена информация.

Помимо прямоугольника золотого сечения и квадрата, наибольший интерес для нас представляют прямоугольники Ц2 и Ц5. Древние греки эпохи классики предпочитали именно эти прямоугольники, Хэмбидж утверждает, что 85% произведений греческого классического искусства построено на пр-ке Ц5. Чем интересен этот прямоугольник? Будучи разделенным по вертикали н по горизонтали на две части, он восстанавливает свои пропорции. Прямоугольник этот можно расчленить на квадрат и два малых прямоугольника золотого сечения. Кроме того, в нем просматриваются два прямоугальника золотого сечения, перекрывающие друг друга на величину квадрата. Оставшаяся часть тоже представляет собой прямоугольник золотого сечения. Таким образом, прямоугольник Ц5 обнаруживает ритмические свойства. В нем возникает красивая симметрия (малый прямоугольник з. с.+ квадрат + малый прямоугольник з. с.).

Рис. 16. Ритмические свойства прямоугольника

Хэмбидж приводит композиционную схему греческой чаши для питья из бостонского музея: чаша вписывается (без ручек) в горизонтально вытянутый прямоугольник Ц5 Диагонали двух прямоугольников золотого сечения, перекрывающих друг друга на квадрат, пересекаются в точке, через которую проходит граница между чашей и ее ножкой. Ширина основания ножки равна высоте чаши и равна стороне квадрата, находящегося в центре прямоугольника Ц5 Ножка вписывается в два малых прямоугольника з. с., отсеченных от квадрата линией, горизонтальной к основанию пр-ка Ц5 и проходящей через точку пересечения двух диагоналей больших прямоугольников з. с. В современном художественном конструировании прямоугольник Ц5 также находит широкое применение. Мы его встречаем в пропорциях автомашин, станков и других изделий. В прикладной графике - в форматах проспектов, буклетов, упаковок; в изобразительном искусстве, в монументальном искусстве, в пропорциях картинной плоскости, в композиционном строе картины.

Прямоугольник Ц2 также находит широкое применение, в осообенности в области прикладной графики. Он используется как формат бумаги для деловой документации, поскольку обладает удивительным свойством, - при делении пополам он не меняет своих пропорций. При делении образуется ряд подобных прямоугольников, гармонически связанных между собой единством формы. На рис. 18 приводится изо6ражение прямоугольников, используемых при композиционном построении благодаря гармоническим отношениям их сторон.

Рис. 17. Пропорции сторон в пр-ке Ц2, использованные в стандарте Поратмана.

Рис. 18. Гармонические отношения сторон в прямоугольниках.

Ниже приводятся числовые отношения пр-ков Ц2, Ц3, Ц4, Ц5 к их обратным числам, с которыми они находятся в гармоническом отношении. (Обратным числом называется число, полученное при делении единицы на данное число). Если принять меньшую сторону прямоугольника за единицу, то для прямоугольника число (соответствующее большей стороне прямоугольника) =1,4142, а обратное число=0,7071; для пр-ка Ц3 число=1,732, обратное число=0,5773; для пр-ка Ц4 число=2, обратноечисло =0,5; для пр-ка Ц5 число=2,236; обратное число=0,4472; для пр-ка" з. с. число= 1,618, обратное число=0,618.

На основе пр-ка Ц2 была проведена стандартизация и унификация форматов книг, бумаг, деловой документации, открыток, плакатов, папок и других объектов, связанных с прикладной графикой. Этот стандарт, известный как стандарт доктора Порстмана был принят в 17 европейских странах. В основу стандарта был положен формат 841Х1189мм и площадью в 1м 2 . От него выведены остальные форматы, составляющие его доли:

• 1м 2 - 841 Х 1189мм
• 1/2м 2 - 594 Х841мм
• 1/4м 2 - 420 Х 594мм
• 1/8м 2 - 297Х420мм (двойной лист)
• 1/16м 2 - 210Х 297мм (лист для деловой переписки, бланков)
• 1/32м 2 - 148Х210мм (пол_листа для деловой переписки, бланков)
• 1/64м 2 - 105Х148мм (почтовая открытка)
• 1/128м 2 - 74Х105мм (визитная карточка)

Стандартом предусмотрены и дополнительные форматы 1000Х1414 и 917Х1297 и их доли. Для конвертов предлагаются, размеры: 162Х229 и 114Х162. (Стандарт приведен не полностью).

Рис. 19. Деление прямоугольника на доли: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,1/64.

Поскольку обращение с деловыми бумагами, документацией подразумевает необходимость иметь не только соответствуюшие им по размеру и формату конверты и папки, но и емкости, в которых хранится документация, отсюда возникает необходимость в соответствующей мебели: столах, шкафах, полках. Размеры и пропорции мебели, в свою очередь, подсказывают и характер интерьеров помещений. Таким образом возникает целостная система гармонизованных элементов интерьера, подчиненная единому модульному принципу.

Пропорциональные отношения должны существовать не только между отдельными частями целого, но и между предметами, составляющимигруппы объектов, связанных единым стилем, функциональной задачей. Например, между объектами, входящими в систему фирменного стиля.

Предметы, окружающие человека, должны быть гармонизованы не только по отношению друг к другу, но и связаны с человеком единой мерой, с физическим его строением. Зодчие древности считали, что отношение частей архитектуры друг к другу и к целому должно соответствовать частям человеческого тела, их отношениям. Таким же образом Модулор Корбюзье исходит из размеров человеческого тела и из отношений золотого сечения в нем, (расстояние от земли до солнечного сплетения и расстояние от солнечного сплетения до макушки составляют крайнее и среднее отношения золотого сечения...

Масштабные отношения между вещами, предметным окружением и человеком выступают как средство гармонизации, ибо масштаб является одним из проявлений соразмерности, устанавливающим относительные раамеры между человеком и предметом - в архитектуре, в дизайне, в прикладном искусстве, в частности, в прикладной графике, в искусстве книги. Так, размеры и форматы плакатов и любых объектов, служащих целям визуальной коммуникации - вывесок, дорожных знаков и т. д., а также их композиционное решение всегда избираются в зависимости от назначения и от условий эксплуатацин, а значит и в соответствующих масштабных отношениях. То же самое касается и области книжного оформления и всевозможной печатной рекламы и упаковки.

Симметрия.

В пропорции и соразмерности проявляются количественные отношения между частями целого и целым. Греки к ним присоединяли и симметрию, рассматривая ее как вид соразмерности, - как ее частный случай - тождество. Она, как и пропорция, почиталась необходимым условием гармонии и красоты.

Симметрия основана на подобии. Она означает такое соотношение между элементами, фигурами, когда они повторяют и уравновешивают друг друга. В математике под симметрией подразумевается совмещение частей фигуры при перемещении ее относительно оси или центра симметрии.

Существуют различные виды симметрии. Простейший вид симметрии зеркальная (осевая), возникающая при вращении фигуры вокруг оси симметрии. Симметрия, возникающая при вращении фигуры вокруг центра вращения называется центральной. Наивысшей степенью симметрии обладает шар, так как в центре его пересекается бесконечное множество осей и плоскостей симметрии. Абсолютная, жесткая симметрия характерна для неживой природы - кристаллов (минералов, снежинок).

Для органической природы, для живых организмов характерна неполная симметрия (квазисимметрия), (например, в строении человека). Нарушение симметрии, асимметрия (отсутствие симметрии) используется в искусстве как художественное средство. Небольшое отклонение от правильной симметрии, то есть некоторая асимметричность, нарушая равновесие, привлекает к себе внимание, вносит элемент движения и создает впечатление живой формы. Различные виды симметрии обладают различным воздействием на эстетическое чувство:

• зеркальная симметрия - равновесие, покой;
• винтовая симметрия вызывает ощущение движения...

Хзмбидж причисляет все простые геометрические фигуры к статичной симметрии, (разделяя все виды симметрии на статичные и динамичные), а к динамичной симметрии относит спираль. В основе статичной симметрии часто лежит пятиугольник (срез цветка или плода) или квадрат (в минералах). В искусстве строгая математическая симметрия используется редко.

Рис. 20. Виды симметрии: Зеркальная, винтовая, центральная, по сдвигу.

Рис. 21. "Линия грации и красоты" Хогарта

Симметрия связана с понятием середины и целого. В древнегреческой философии и искусстве понятие "середины, центра связано с представлением о цельности бытия". Середина - "избегание крайностей" (Аристотель) - означает принцип уравновешенности. "Везде грек видел нечто цельное. А это и значит, что он прежде всего фиксировал центр набпюдаемого или постороннего предмета... Без понятия "середины" немыслимо античное учение о пропорциях, мере, симметрии или гармонии".

Гармония

Гармония - понятие диалектическое. По древнегреческой мифологии Гармония - дочь бога войны Арея и богини любви и красоты Афродиты, то есть, в ней слиты противоположные, враждующие начала. Поэтому понятие гармонии включает в себя контраст как необходимое условие. Контраст способствует многообразию и разнообразию, без которых немыслима гармония.

"Гармония есть единение многого и согласие несогласного " (Филолай). Это знали древние. Художник XVIII в. Хогарт находил, что сущностьгармонии в единстве и разнообразии. Он преклонялся перед волнообразной линией, которую считал "линией красоты и грации ", потому что она является конкретным воплощением единства и разнообразия. Без разнообразия невозможна красота. Однообразие утомляет. В смене противоположного проявляется диалектическая закономерность - отрицание отрицания. В зримых образах искусства она выражается через ритм и контраст. Смысл гармонии в обуздании хаоса.

Но она осуществляет это через борьбу противоположных начал. Объединяя противоположные начала, гармония уравновешивает их, вносит меру и согласие, упорядочивает и в награду получает красоту.

Симметрия, пропорции, ритм, контраст, цельность - образующие гармонию объективно связаны с природой, с движением и развитием материи. Наши эстетические представления тесно связаны с этими понятиями. Однако, социальное бытие человека в разные эпохи под разным углом зрения рассматривало категории гармонии и это определяло их роль в общественной жизни и в искусстре. Представление о прекрасном развивалось, менялось. Гармония стала рассматриваться не как количественный, а как качественный принцип, объединяя физическое и духовное начала.

Если древние греки считали прекрасным только упорядоченное и всякое нарушение симметрии и пропорций находили безобразным, то в последующие эпохи проявления прекрасного стали обнаруживать и в нарушении порядка, в диссонансах, в кажущейся дисгармонии, ибо они свойственны жизни и, следовательно, являются частью какой_то иной гармонической системы, в которой обретают логику и смысл. "Прекрасное - есть жизнь", писал Чернышевский. И она не стоит на месте. Появления гармонии в природе и жизни шире, чем это может охватить любой канон, любая гармоническая система. И человечество никогда не перестанет искать новых гармонических отношений, сочетаний, искать проявления иных гермонических закономерностей. Однако, это не значит, что классическая гармония потеряла свое значение. То, что уже открыто, те найденные закономерности, их математическое обоснование, остаются вечным достоянием человечества, из которого будут черпать все последующие поколения.

• перейти к следующей части - " "

Если внимательно посмотреть по сторонам, роль математики в жизни человека становится очевидной. Компьютеры, современные телефоны и прочая техника сопровождают нас каждый день, а их создание невозможно без использования законов и расчетов великой науки. Однако роль математики в и общества не исчерпывается подобным ее применением. Иначе, например, многие деятели искусства могли бы с чистой совестью сказать, что время, посвященное в школе решению задач и доказательству теорем, было потрачено впустую. Тем не менее это не так. Попробуем разобраться, для чего нужна математика.

Основание

Для начала стоит понять, что вообще представляет собой математика. В переводе с древнегреческого само ее название означает «наука», «изучение». В основе математики лежат операции подсчета, измерения и описания форм объектов. на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Свойства реальных объектов в ней идеализируются и записываются на формальном языке. Так происходит их преобразование в математические объекты. Часть идеализированных свойств становятся аксиомами (утверждениями, не требующими доказательств). Из них затем выводятся другие истинные свойства. Так формируется реально существующего объекта.

Два раздела

Математику можно разделить на две взаимодополняющие части. Теоретическая наука занимается глубоким анализом внутриматематических структур. Прикладная же предоставляет свои модели другим дисциплинам. Физика, химия и астрономия, инженерные системы, прогнозирование и логика используют математический аппарат постоянно. С его помощью делаются открытия, обнаруживаются закономерности, предугадываются события. В этом смысле значение математики в жизни человека невозможно переоценить.

Основа профессиональной деятельности

Без знания основных математических законов и умения ими пользоваться в современном мире становится очень трудно обучаться практически любым профессиям. С цифрами и операциями с ними имеют дело не только финансисты и бухгалтера. Астроном не сможет определить без таких знаний расстояние до звезды и наилучшее время наблюдения за ней, а молекулярный биолог — понять, как бороться с генной мутацией. Инженер не сконструирует рабочую систему сигнализации или видеонаблюдения, а программист не найдет подход к операционной системе. Многие из этих и других профессий без математики просто не существуют.

Гуманитарные знания

Однако не столь очевидна роль математики в жизни человека, например, посвятившего себя живописи или литературе. И все же следы царицы наук присутствуют и в гуманитарных знаниях.

Казалось бы, поэзия — сплошная романтика и вдохновение, в ней нет места анализу и расчету. Однако достаточно вспомнить стихотворные размеры амфибрахий), как приходит понимание, что математика и тут приложила свою руку. Ритм, словесный или музыкальный, также описывается и просчитывается с применением знаний этой науки.

Для писателя или психолога часто важны такие понятия, как достоверность информации, единичный случай, обобщение и так далее. Все они либо напрямую являются математическими, либо строятся на основе закономерностей, разработанных царицей наук, существуют благодаря ей и по ее правилам.

Психология родилась на стыке гуманитарных и естественных наук. Все ее направления, даже те, что работают исключительно с образами, опираются на наблюдение, анализ данных, их обобщение и верификацию. Здесь используется и моделирование, и прогнозирование, и статистические методы.

Со школы

Математика в нашей жизни присутствует не только в процессе освоения профессии и реализации полученных знаний. Так или иначе мы используем царицу наук практически в каждый момент времени. Именно поэтому математике начинают обучать достаточно рано. Решая простые и сложные задачи, ребенок не просто учится складывать, вычитать и умножать. Он медленно, с азов постигает устройство современного мира. И речь тут идет не о техническом прогрессе или умении проверять сдачу в магазине. Математика формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.

Самое простое, самое сложное, самое главное

Наверное, все вспомнят хотя бы один вечер за домашним заданием, когда хотелось отчаянно взвыть: «Я не понимаю, для чего нужна математика!», отбросить в сторону ненавистные сложные и нудные задачки и сбежать во двор к друзьям. В школе и даже позже, в институте, заверения родителей и преподавателей «потом пригодится» кажутся надоедливым бредом. Однако они, оказывается, правы.

Именно математика, а затем и физика, учит находить причинно-следственные связи, закладывает привычку искать пресловутое «откуда ноги растут». Внимание, сосредоточенность, сила воли — они также тренируются в процессе решения тех самых ненавистных задачек. Если пойти дальше, то умение выводить следствия из фактов, прогнозировать будущие события, а также делать тоже закладываются во время изучения математических теорий. Моделирование, абстрагирование, дедукция и индукция — все это наук и одновременно способы работы мозга с информацией.

И снова психология

Часто именно математика дарит ребенку откровение, что взрослые не всемогущи и знают далеко не все. Так бывает, когда мама или папа на просьбу помочь решить задачку лишь разводят руками и объявляют о своей неспособности это сделать. И ребенок вынужден сам искать ответ, ошибаться и снова искать. Бывает и так, что родители просто отказываются помочь. «Ты должен сам», — говорят они. И правильно делают. После многочасовых попыток ребенок получит не просто сделанное домашнее задание, но способность самостоятельно находить решения, обнаруживать и исправлять ошибки. И в этом также кроется роль математики в жизни человека.

Конечно, самостоятельность, умение принимать решения, отвечать за них, отсутствие страха перед ошибками вырабатываются не только на уроках алгебры и геометрии. Но эти дисциплины играют в процессе немалую роль. Математика воспитывает такие качества, как целеустремленность и активность. Правда, многое зависит и от учителя. Неправильная подача материала, излишняя строгость и давление могут, наоборот, привить страх перед трудностями и ошибками (сначала на уроках, а потом и в жизни), нежелание высказывать свое мнение, пассивность.

Математика в повседневной жизни

Взрослые люди после окончания университета или колледжа не перестают каждый день решать математические задачи. Как успеть на поезд? Получится ли из килограмма мяса приготовить ужин для десяти гостей? Сколько калорий в блюде? На какое время хватит одной лампочки? Эти и многие другие вопросы имеют прямое отношение к царице наук и без нее не решаются. Получается, математика в нашей жизни незримо присутствует практически постоянно. Причем чаще всего мы этого даже не замечаем.

Математика в жизни общества и отдельного человека затрагивает огромное количество областей. Некоторые профессии без нее немыслимы, многие появились только благодаря развитию отдельных ее направлений. Современный технический прогресс тесно связан с усложнением и развитием математического аппарата. Компьютеры и телефоны, самолеты и космические аппараты никогда бы не появились, не будь людям известна царица наук. Однако роль математики в жизни человека этим не исчерпывается. Наука помогает ребенку осваивать мир, обучает более эффективному взаимодействию с ним, формирует мышление и отдельные качества характера. Впрочем, сама по себе математика не справилась бы с такими задачами. Как было сказано выше, огромную роль играет подача материала и особенности личности того, кто знакомит ребенка с миром.

Эффективный современный веб-дизайн не должен быть просто симпатичной и яркой картинкой. Он должен быть простым и интуитивно понятным. Какими же средствами этого добиться? Как сделать так, чтобы у посетителя возникло чувство гармонии и комфорта? И тут в помощь нам придет математика. А пока давайте посмотрим, как действуют некоторые основные правила математики в веб-дизайне. Мы рассмотрим это на примере правила Золотого сечения, чисел Фибоначчи, правила Пяти элементов, колебания Синусоиды и правила Третей.

Математика — это прекрасно. Для человека, далекого от цифр и уравнений, это может звучать абсурдно. Однако, множество самых красивых вещей в природе, да и сама Вселенная основаны на строгих математических пропорциях. Еще Аристотель, один из самых авторитетных философов древности, говорил: «Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это — важнейшие виды прекрасного».

На протяжении веков математика использовалась и в искусстве, и в архитектуре. Но математика редко применяется в дизайне веб-сайтов. Наверное, потому, что есть расхожее мнение, что математика и креатив — вещи несовместимые. Хотя это мнение можно опровергнуть, математика является хорошим инструментом при создании сайтов. Однако, в этом деле на одну лишь математику полагаться не стоит. Здесь нужно еще что-то.

1. Золотое сечение или Золотой прямоугольник
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Отношение частей в этой пропорции выражается иррациональной математической константой, равной приблизительно 1.618033987.

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Вот интересный факт из Википедии . Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей.

В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

Теперь перейдем к Золотому прямоугольнику. Тут все просто. У такого прямоугольника длины прилегающих сторон соотносятся по правилу золотого сечения, т.е. 1:1.618.

Для того, чтобы построить золотой прямоугольник сначала рисуем квадрат (красный цвет на картинке), потом проводим линию от середины одной из сторон квадрата к противоположному углу (линия со стрелкой на рисунке). Используем эту линию в качестве радиуса дуги, которая определит высоту прямоугольника. Теперь дорисовываем прямоугольник (синий цвет на рисунке).

Рассмотрим в качестве наглядного примера этот минималистический дизайн, представленный ниже. Он состоит из 6 золотых прямоугольников, размером 299х185 пикселей, по 3 прямоугольника в ряд. Стороны этим прямоугольников соотносятся по правилу золотого сечения 299/185=1,616.

Обратите внимание на большое количества пространства вокруг золотого прямоугольника. Оно создает спокойную и приятную атмосферу, в которой элементы навигации могут спокойно дышать. Несмотря на использование всего нескольких цветов и однотипных блоков, все элементы навигации интуитивно понятны и служат своей цели.

Для того, чтобы добавить новый блок не нарушая при этом логику конструкции, целесообразнее всего добавлять блоки третьей строкой и двигаться подобным образом вниз.

Области применения. Использование Золотых прямоугольников в дизайне хорошо подходит для различных фото галерей, сайтов портфолио и сайтов, ориентированных на представление продуктов.

2. Числа Фибоначчи в дизайне
Числа Фибоначчи — это математическая последовательность из ряда чисел. По определению, два первых числа Фибоначчи равны 0 и 1. Каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Ряд чисел выглядит следующим образом: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Числа Фибоначчи используют в музыке для настройки инструментов, в архитектуре для вычисления гармоничных пропорций, например соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами. Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.

Основная область применения чисел Фибоначчи в дизайне — определение размеров блоков с основным контентом (контейнеров) и боковой панели. Суть метода в следующем. Берется базовая ширина контейнера, например, 90 пикселей, и последовательно умножается на числа из ряда Фибоначчи. На основании этих вычислений строится сетка сайта. Посмотрим на примере.

Страница разделена на три колонки. Базовая ширина контейнера 90 пикселей. Тогда первая колонка имеет ширну 180 пикселей (90 х 2), вторая колонка имеет ширину 270 пикселей (90 х 3) и третья колонка имеет ширину 720 пикселей (90 х 8). Размер шрифта также соответствут ряду Фибоначчи. Размер шрифта в заголовке 55 пикселей, шрифт в разделе — 34 пикчеля и шрифт для текста 21 пиксель.

Если сайт имеет фиксированную ширину, например 1000 пикселей, то числа Фибоначчи не очень удобно использовать. Постольку ближайшее к 1000 число из ряда Фибоначчи это 987 (…, 610, 987, 1597 …), то именно с этого числа придется проводить вычисления для ширины блоков сайта. В таких ситуациях лучше всего воспользоваться правилом Золотого сечения (1000 х 0,618 = 618px) и исходя из него определить ширину блоков.

Области применения. Числа Фибоначчи лучше всего подходят для дизайна блогов и журнальных макетов.

3. Пять элементов или Kundli дизайн
Еще один интересный пример математики в дизайне — это техника, основанная на правилах составления индийского гороскопа Kundli. Здесь основой является следующая фигура. Рисуется квадрат, внутри него проводятся две диагонали, соединяющие противоположные углы, потом линиями соединяются центры соседних сторон квадрата.

Внутри квадрата мы видим четыре ромба. Это и есть основа для расположения пяти элементов дизайна на странице.

Приведенный ниже пример дизайна сайта базируется на геометрии Kundli. Этот макет может подойти для одностраничного сайта-визитки с элементами интерактивного дизайна на основе jQuery технологии.

Также этот макет может легко превратиться в сайт с трехколоночной версткой хедером и футером.

Области применения. Эта конструкция более всего подходит для сайтов портфолио и сайтов, ориентированных на демонстрацию продукции.

4. Колебания синусоиды
Если хочется разнообразия, то совсем не обязательно придерживаться базовых правил золотого сечения и чисел Фибоначчи. Можно поэкспериментировать и с другими общеизвестными формулами.

Давайте посмотрим каким получится макет сайта, основанный на колебаниях синусоиды, математической функции, описывающей повторяющиеся колебания. На картинке ниже представлен пример простого и оригинального одностраничного сайта.

Или еще один вариант. Макет, состоящий из хедера, пяти колонок и футера. Такой сайт также можно усилить JQuery подсказками, чтобы сделать его более интерактивным.

Области применения. Эта конструкция оптимальна для сайтов, где требуется отражать хронологию событий. Более всего подходит для горизонтальной навигации.

5. Правило Третей
Это правило гласит, что изображение должно быть разделено на девять равных частей двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями. А все важные композиционные элементы должны быть расположены вдоль этих линий или на их пересечениях.

В данном примере на двух из четырех пересечений собрана самая важная информация. Отмечено розовыми квадратами. А навигационный блок расположен как раз вдоль второй горизонтальной линии.

Порой кажется, что наш мир прост и понятен. На самом деле это великая загадка Вселенной, сотворившей такую совершенную планету. А может, её создал тот, кто наверняка знает, что делает? Над этим вопросом трудятся величайшие умы современности.

Они каждый раз приходят к выводу, что невозможно сотворить все то, что мы имеем, без Высшего разума. Какая необыкновенная, сложная и в то же время простая и непосредственная наша планета Земля! Окружающий мир удивителен своими правилами, формами, красками.

Законы природы

Первое, на что можно обратить внимание на нашей огромной и удивительной планете, - это Она обнаруживается во всех формах окружающего мира, а также является основным принципом красоты, идеальности и пропорциональности. Это не что иное, как математика в природе.

Понятие "симметрия" означает гармонию, правильность. Это свойство окружающей действительности, систематизирующее фрагменты и превращающее их в единое целое. Ещё в древней Греции начали впервые замечать признаки этого закона. Например, Платон считал, что красота появляется исключительно вследствие симметрии и соразмерности. В действительности, если посмотреть на предметы пропорциональные, правильные и завершённые, то наше внутреннее состояние будет прекрасным.

Законы математики в живой и неживой природе

Давайте взглянем на любое существо, например самое совершенное - человека. Мы увидим строение тела, которое с обеих сторон выглядит одинаково. Ещё можно перечислять множество образцов, таких как насекомые, животные, морские обитатели, птицы. Каждый вид имеет свой окрас.

Если присутствует какой-нибудь узор или рисунок, он, как известно, отражается зеркально относительно центровой линии. Все организмы созданы благодаря правилам мироздания. Такие математические закономерности прослеживаются и в неживой природе.

Если обращать внимание на все явления, такие как смерч, радуга, растения, снежинки, то можно обнаружить в них много общего. Относительно листок дерева делится пополам, и каждая часть будет отражением предыдущей.

Еще если взять в качестве примера смерч, который возвышается вертикально и имеет вид воронки, то его тоже можно условно разделить на две абсолютно одинаковые половинки. Можно встретить явление симметрии в смене дня и ночи, времён года. Законы окружающего мира - это математика в природе, которая имеет свою совершенную систему. На неё опирается вся концепция создания Вселенной.

Радуга

Мы нечасто задумываемся над явлениями природы. Пошёл снег или дождь, выглянуло солнышко или грянул гром - привычное состояние меняющейся погоды. Рассмотрим разноцветную дугу, которую обычно можно обнаружить после выпадения осадков. Радуга в небе - удивительное явление природы, сопровождающееся видимым только человеческому глазу спектром всех цветов. Это случается за счёт прохождения лучей солнца через уходящую тучу. Каждая дождинка служит призмой, которая обладает оптическими свойствами. Можно сказать, что любая капля является маленькой радугой.

Проходя через водную преграду, лучи меняют свой изначальный цвет. Всякий поток света имеет определённую длину и оттенок. Поэтому наш глаз воспринимает радугу именно такой разноцветной. Заметим интересный факт, что это явление может лицезреть исключительно только человек. Потому что это всего лишь иллюзия.

Виды радуги

1. Радуга, образовавшаяся от солнца, встречается наиболее часто. Она является самой яркой из всех разновидностей. Состоит из семи основных цветов: красного оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового. Но если разобрать в подробностях, оттенков намного больше, чем наш глаз может увидеть.
2. Радуга, созданная луной, встречается в тёмное время суток. Считается, что её можно лицезреть всегда. Но, как показывает практика, в основном такое явление наблюдается только в дождливых местностях или около больших водопадов. Цвета лунной радуги очень тусклые. Их суждено рассмотреть лишь с помощью специальной техники. Но даже с ней наш глаз способен разобрать только полоску белого цвета.
3. Радуга, появившаяся вследствие тумана, подобна широкой сияющей светлой арке. Иногда этот вид путают с предыдущим. Сверху цвет может быть оранжевым, снизу - иметь оттенок фиолетового. Солнечные лучи, проходя сквозь туман, образуют прекрасное явление природы.
4. в небе возникает крайне редко. Она не схожа с предыдущими видами своей горизонтальной формой. явление можно только над перистыми облаками. Они, как правило, простираются на высоте 8-10 километров. Угол, под которым радуга покажет себя во всей красе, должен быть более 58 градусов. Цвета обычно остаются такими же, как в солнечной радуге.

Золотая пропорция (1,618)

Идеальную соразмерность чаще всего можно встретить в мире животных. Они награждены такой пропорцией, которая равна корню от соответствия числа PHI к единице. Это соотношение является связующим фактом всех животных на планете. Великие умы древности называли это число божественной пропорцией. Её ещё можно назвать золотым сечением.

Этому правилу полностью соответствует гармоничность строения человека. Например, если определить расстояние между глазами и бровями, то оно будет равно божественной постоянной.

Золотое сечение - это пример того, сколь важна математика в природе, закону которой начали следовать дизайнеры, художники, архитекторы, создатели красивых и совершенных вещей. Они создают с помощью божественной постоянной свои творения, которые имеют сбалансированность, гармонию и на них приятно смотреть. Наш ум способен считать красивым те вещи, предметы, явления, где есть неравное соотношение частей. Пропорциональностью наш мозг называет именно золотое сечение.

Спираль ДНК

Как справедливо отметил немецкий учёный Гуго Вейль, корни симметрии пришли через математику. Многие отмечали совершенность геометрических фигур и обращали на них внимание. Например, пчелиные соты - это не что иное, как шестиугольник, сотворённый самой природой. Ещё можно обратить внимание на шишки ели, которые имеют цилиндрическую форму. Также в окружающем мире часто встречается спираль: рога крупного и мелкого скота, раковины моллюсков, молекулы ДНК.

Сотворена по принципу золотого сечения. Она является связующим звеном между схемой материального тела и её реальным образом. А если рассмотреть мозг, то он представляет собой не что иное, как проводник между телом и разумом. Интеллект связывает жизнь и форму её проявления и позволяет жизни, заключённой в форме, познавать саму себя. С помощью этого человечеству достижимо понять окружающую планету, искать в ней закономерности, которые затем применять к изучению внутреннего мира.

Деление в природе

Митоз клетки состоит из четырёх фаз:

• Профаза . В ней увеличивается ядро. Проявляются хромосомы, которые начинают закручиваться в спираль и превращаться в свой обыкновенный вид. Формируется место для деления клетки. В конце фазы растворяется ядро и его оболочка, и хромосомы вытекают в цитоплазму. Это самый продолжительный этап деления.
• Метафаза . Здесь заканчивается закручивание в спираль хромосом, они образуют метафазную пластинку. Хроматиды располагаются противоположно друг другу, готовясь к делению. Между ними появляется место для рассоединения - веретено. На этом второй этап заканчивается.

• Анафаза . Хроматиды расходятся в противоположные стороны. Теперь в клетке имеется два набора хромосом за счёт их деления. Этот этап очень короткий.
• Телофаза . В каждой половинке клетки образуется ядро, внутри которого формируется ядрышко. Активно рассоединяется цитоплазма. Веретено постепенно исчезает.

Значение митоза

За счёт уникального способа деления, каждая последующая после размножения клетка имеет такой же состав генов, как её материнская. Состав хромосом обе клетки получают одинаковый. Здесь не обошлось без такой науки, как геометрия. Прогрессия в митозе имеет важное значение, так как по этому принципу размножаются все клетки.

Откуда берутся мутации

Этот процесс служит гарантией постоянного набора хромосом и генетических материалов в каждой клетке. За счёт митоза происходит развитие организма, размножение, регенерация. В случае нарушения из-за действия каких-то ядов хромосомы могут не разойтись по своим половинкам, или в них, возможно, будут наблюдаться нарушения в строении. Это станет явным показателем начинающихся мутаций.

Подводя итоги

Что общего в математике и природе? На этот вопрос вы найдёте ответ в нашей статье. А если копнуть глубже, то нужно сказать, что с помощью изучения окружающего мира человек познаёт самого себя. Без породившего все живое, не могло бы ничего быть. Природа находится исключительно в гармонии, в строгой последовательности своих законов. А возможно ли все это без разума?

Приведём высказывание учёного, философа, математика и физика Анри Пуанкаре, который, как никто другой, сможет дать ответ на вопрос о том, действительно ли математика в природе является основополагающей. Некоторым материалистам могут не понравиться такие рассуждения, но навряд ли они смогли бы их опровергнуть. Пуанкаре говорит, что гармония, которую человеческий разум хочет открыть в природе, не может существовать вне его. которая присутствует в умах хотя бы нескольких индивидов, может быть доступна всему человечеству. Связь, которая собирает воедино мыслительную деятельность, и называется гармонией мира. В последнее время на пути к такому процессу есть колоссальные продвижения, но они очень малы. Эти звенья, связывающие Вселенную и индивида, должны быть ценны любым человеческим умом, который чувствителен к этим процессам.

В заключение мы попытаемся в кратких чертах охарактеризовать общие закономерности развития математики.

1. Математика не есть создание какой-либо одной исторической эпохи, какого-либо одного народа; она есть продукт ряда эпох, продукт работы многих поколений. Ее первые понятия и положения возникли,

как мы видели, в глубокой древности и уже более двух тысяч лет назад были приведены в стройную систему. Несмотря на все преобразования математики, ее понятия и выводы сохраняются, переходя из одной эпохи к другой, как, например, правила арифметики или теорема Пифагора.

Новые теории включают в себя предшествующие достижения, уточняя, дополняя и обобщая их.

В то же время, как ясно из данного выше краткого очерка истории математики, ее развитие не только не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, качественные изменения. Соответственно, развитие математики разделяется на ряд периодов, переходы между которыми как раз и обозначены такими коренными изменениями в самом предмете или структуре этой науки.

Математика включает в свою сферу все новые области количественных отношений действительности. В то же время важнейшим предметом математики были и остаются пространственные формы и количественные отношения в простом, наиболее непосредственном смысле этих слов, и математическое осмысление новых связей и отношений неминуемо происходит на основе и в связи с уже сложившейся системой количественных и пространственных научных представлений.

Наконец, накопление результатов внутри самой математики необходимо влечет как восхождение к новым ступеням абстракции, к новым обобщающим понятиям, так и углубление в анализ основ и первоначальных понятий.

Как дуб в своем могучем росте утолщает Старые ветви новыми слоями, выбрасывает новые ветви, тянется вверх и углубляется корнями вниз, так и математика в своем развитии накапливает новый материал в уже сложившихся своих областях, образует новые направления, восходит к новым вершинам абстракции и углубляется в своих основах.

2. Математика имеет своим предметом реальные формы и отношения действительности, но, как говорил Энгельс, чтобы изучить эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное. Однако форм и отношений вне содержания не существует, математические формы и отношения не могут быть абсолютно безразличными к содержанию. Стало быть, математика, по самой своей сущности стремящаяся осуществить такое отделение, стремится осуществить невозможное. Это и есть коренное противоречие в самой сущности математики. Оно является специфическим для математики проявлением общего противоречия познания. Отображение мыслью всякого явления, всякой стороны, всякого момента действительности огрубляет, упрощает его, выхватывая его из общей связи природы. Когда люди, изучая свойства пространства, установили, что оно имеет эвклидову геометрию, был совершен исключительно

важный акт познания, но в нем же заключалось заблуждение: реальные свойства пространства были [взяты упрощенно, схематично, в отвлечении от материи. Но без этого просто не было бы геометрии, и именно на почве этого отвлечения (как из внутреннего его исследования, так и из сопоставления математических результатов с новыми данными других наук) зарождались и укреплялись новые геометрические теории.

Постоянное разрешение и восстановление указанного противоречия на все более приближающихся к действительности ступенях познания и составляет сущность развития познания. При этом определяющим является, конечно, положительное содержание познания, элемент абсолютной истины в нем. Познание идет по восходящей линии, а не топчется на месте в простом смешении с заблуждением. Движение познания есть постоянное преодоление его неточности и ограниченности.

Указанное основное противоречие влечет за собой другие. Мы видели это на примере противоположностей дискретного и непрерывного. (В природе между ними нет абсолютного разрыва, и их разделение в математике неизбежно влекло необходимость создания все новых понятий, глубже отражающих действительность и одновременно преодолевающих внутренние несовершенства существующей математической теории). Совершенно так же противоречия конечного и бесконечного, абстрактного и конкретного, формы и содержания и др. выступают в математике как проявления ее коренного противоречия. Но решающее его проявление состоит в том, что, отвлекаясь от конкретного, вращаясь в кругу своих абстрактных понятий, математика тем самым отделяется от эксперимента и практики, а вместе с тем она лишь постольку является наукой (т. е. имеет познавательную ценность), поскольку опирается на практику, поскольку оказывается не чистой, а прикладной математикой. Говоря несколько гегелевским языком, чистая математика постоянно «отрицает» себя как чистую математику, без этого она не может иметь научного значения, не может развиваться, не может преодолевать неминуемо возникающие внутри нее трудности.

В своем формальном виде математические теории противостоят реальному содержанию как некоторые схемы для конкретных выводов. Математика выступает при этом как метод формулировки количественных законов естествознания, как аппарат для разработки его теорий, как средство решения задач естествознания и техники. Значение чистой математики на современном этапе заключено прежде всего в математическом методе. И как всякий метод существует и развивается не сам по себе, а только на основе своих применений, в связи с содержанием, к которому он применяется, так и математика не может существовать и развиваться без применений. Здесь опять обнаруживается единство противоположностей: общий метод противостоит конкретной задаче, как средство ее решения, но он сам возникает из обобщения конкретного материала и существует

развивается и находит свое оправдание только в решении конкретных задач.

3. Общественная практика играет определяющую роль в развитии математики в трех отношениях. Она ставит перед математикой новые проблемы, стимулирует ее развитие в том или ином направлении и дает критерий истинности ее выводов.

Это чрезвычайно ясно видно на примере возникновения анализа. Во-первых, именно развитие механики и техники выдвинуло проблему изучения зависимостей переменных величин в их общем виде. Архимед, подойдя вплотную к дифференциальному и интегральному исчислению, оставался, однако, в рамках задач статики, тогда как в новое время имен но исследование движения породило понятия переменной и функции и понудило к оформлению анализа. Ньютон не мог развить механику, не развивая соответствующего математического метода.

Во-вторых, именно потребности общественного производства побуждали к постановке и решению всех этих проблем. Ни в античном, ни в средневековом обществе этих стимулов еще не было. Наконец, весьма характерно, что математический анализ в своем возникновении находил обоснование своих выводов именно в приложениях. Только поэтому он и мог развиваться без тех строгих определений его основных понятий (переменная, функция, предел), которые были даны позже. Истинность анализа устанавливалась применениями в механике, физике и технике.

Сказанное относится ко всем периодам развития математики. Начиная с XVII в. наиболее непосредственное влияние на ее развитие оказывают вместе с механикой теоретическая физика и проблемы новой техники. Механика сплошной среды, а потом теория поля (теплопроводность, электричество, магнетизм, поле тяготения) направляют развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разработка молекулярной теории и вообще статистической физики, начиная с конца прошлого века, служила важным стимулом развития теории вероятностей, особенно теории случайных процессов. Теория относительности сыграла решающую роль в развитии римановой геометрии с ее аналитическими методами и обобщениями.

В настоящее время развитие новых математических теорий, как функциональный анализ и др., стимулируется проблемами квантовой механики и электродинамики, задачами вычислительной техники, статистическими вопросами физики и техники и т. д. и т. п. Физика и техника не только ставят перед математикой новые задачи, наталкивают ее на новые предметы исследования, но также пробуждают развитие нужных для них разделов математики, которые складывались первоначально в большей мере внутри нее самой, как это было с римановой геометрией. Короче, для интенсивного развития науки нужно, чтобы она не только подошла к решению новых задач, но чтобы необходимость их решения навязывалась

потребностями развития общества. В математике в последнее время возникает много теорий, но только те из них получают развитие и прочно входят в науку, которые нашли свои применения в естествознании и технике либо сыграли роль важных обобщений тех теорий, которые имеют такие приложения. Вместе с тем другие теории остаются без движения, как, например, некоторые рафинированные геометрические теории (недезарговы, неархимедовы геометрии), не нашедшие существенных применений.

Истинность математических выводов находит свое последнее основание не в общих определениях и аксиомах, не в формальной строгости доказательств, а в реальных приложениях, т. е. в конечном счете в практике.

В целом, развитие математики нужно понимать прежде всего как результат взаимодействия логики ее предмета, отраженной во внутренней логике самой математики, влияния производства и связей с естествознанием. Это различие идет сложными путями борьбы противоположностей, включая существенные изменения в основном содержании и формах математики. По содержанию развитие математики определяется ее предметом, но побуждается оно в основном и в конечном счете потребностями производства. Такова основная закономерность развития математики.

Конечно, мы не должны забывать при этом, что речь идет лишь об основной закономерности и что связь математики с производством, вообще говоря, является сложной. Из того, что говорилось выше, ясно, что было бы наивным пытаться обосновать появление каждой данной математической теории непосредственным «производственным заказом». Более того, математика, как и всякая наука, обладает относительной самостоятельностью, своей внутренней логикой, отражающей, как мы это подчеркивали, объективную логику, т. е. закономерность ее предмета.

4. Математика всегда испытывала самое существенное влияние не только общественного производства, но и всех общественных условий в целом. Ее блестящий прогресс в эпоху возвышения древней Греции, успехи алгебры в Италии в эпоху Возрождения, развитие анализа в эпоху, последовавшую за английской революцией, успехи математики во Франции в период, примыкающий к Французской революции, - все это убедительно демонстрирует неразрывную связь прогресса математики с общим техническим, культурным, политическим прогрессом общества.

Это также ярко видно на примере развития математики в России. Становление самостоятельной русской математической школы, идущей от Лобачевского, Остроградского и Чебышева, нельзя отделить от прогресса русского общества в целом. Время Лобачевского - это время Пушкина,

Глинки, время декабристов, и расцвет математики был одним из элементов общего подъема.

Тем более убедительно влияние общественного развития в период после Великой Октябрьской социалистической революции, когда исследования фундаментального значения появлялись друг за другом с поразительной быстротой во многих направлениях: в теории множеств, топологии, теории чисел, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, алгебре, геометрии.

Наконец, математика всегда испытывала и испытывает на себе заметное влияние идеологии. Как и во всякой науке, объективное содержание математики воспринимается и толкуется математиками и философами в рамках той или иной идеологии.

Короче, объективное содержание науки всегда укладывается в те или иные идеологические формы; единство и борьба этих диалектических противоположностей - объективного содержания и идеологических форм - в математике, как и во всякой науке, играют далеко не последнюю роль в ее развитии.

Борьба материализма, отвечающего объективному содержанию науки, с идеализмом, противоречащим этому содержанию и извращающим его понимание, идет через всю историю математики. Эта борьба ясно обозначена уже в древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, создававших греческую математику, выступал идеализм Пифагора, Сократа и Платона. С развитием рабовладельческого строя верхушка общества отрывалась от участия в производстве, считая его уделом низшего класса, и это порождало отрыв «чистой» науки от практики. Достойной внимания истинного философа признавалась лишь чисто теоретическая геометрия. Характерно, что появившиеся исследования некоторых механических кривых и даже конических сечений Платон считал остающимися за пределами геометрии, так как они «не приводят нас в общение с вечными и бестелесными идеями» и «нуждаются в применении орудий пошлого ремесла».

Яркий пример борьбы материализма против идеализма в математике представляет деятельность Лобачевского, который выдвинул и отстаивал материалистическое понимание математики против идеалистических взглядов кантианства.

Для русской математической школы вообще характерна материалистическая традиция. Так, Чебышев явно подчеркивал решающее значение практики, а Ляпунов выразил стиль отечественной математической школы в следующих замечательных словах: «Детальная разработка вопросов, особенно важных сточки зрения приложения и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории». Обобщения и абстракции не сами по себе, а в связи с конкретным материалом

теоремы и теории не сами по себе, а в общей связи науки, ведущей в конечном счете к практике, - вот что оказывается на самом деле важным и перспективным.

Таковы же были устремления таких великих ученых, как Гаусс и Риман.

Однако с развитием капитализма в Европе материалистические взгляды, отражавшие передовую идеологию возвышающейся буржуазии эпохи XVI - начала XIX вв., стали сменяться идеалистическими воззрениями. Так, например, Кантор (1846-1918), создавая теорию бесконечных множеств, прямо ссылался на бога, высказываясь в том духе, что бесконечные множества имеют абсолютное существование в божественном разуме. Крупнейший французский математик конца XIX- начала XX в. Пуанкаре выдвинул идеалистическую концепцию «конвенционализма», согласно которой математика есть схема условных соглашений, принимаемых для удобства описания многообразия опыта. Так, по мнению Пуанкаре, аксиомы эвклидовой геометрии суть не более как условные соглашения и значение их определяется удобством и простотой, но не соответствием реальной действительности. Поэтому Пуанкаре говорил, что, например, в физике скорее откажутся от закона прямолинейного распространения света, чем от эвклидовой геометрии. Эта точка зрения была опровергнута развитием теории относительности, которая, вопреки всей «простоте» и «удобству» эвклидовой геометрии, в полном согласии с материалистическими идеями Лобачевского и Римана, привела к выводу, что реальная геометрия пространства отлична от эвклидовой.

На почве трудностей, возникших в теории множеств, и в связи с необходимостью анализа основных понятий математики, среди математиков в начале XX в. появились разные течения. Единство в понимании содержания математики было утрачено; разные математики стали по-разному рассматривать не только общие основы науки, что было и раньше, но даже по-разному стали оценивать смысл и значение отдельных конкретных результатов и доказательств. Выводы, казавшиеся осмысленными и содержательными для одних, другие объявляли лишенными смысла и значения. Возникли идеалистические течения «логицизма», «интуиционизма» «формализма» и др.

Логисты утверждают, что вся математика выводима из понятий логики. Интуиционисты видят источник математики в интуиции и придают смысл лишь интуитивно воспринимаемому. Поэтому они, в частности, вовсе отрицают значение канторовской теории бесконечных множеств. Более того, интуиционисты отрицают простой смысл даже таких утверждений

как теорема о том, что всякое алгебраическое уравнение степени имеет корней. Для них это утверждение пусто, пока не указан способ вычисления корней. Так, полное отрицание объективного смысла математики привело интуиционистов к опорочиванию, как «лишенной смысла», значительной части достижений математики. Наиболее крайние из них дошли до утверждения, что существует столько математик, сколько есть математиков.

Попытку по-своему спасти математику от такого рода нападок предпринял крупнейший математик начала нашего века - Д. Гильберт. Сущность его идеи сводилась к тому, чтобы свести математические теории к чисто формальным операциям над символами согласно предписанным правилам. Расчет состоял в том, что при таком совершенно формальном подходе все трудности будут сняты, ибо предметом математики окажутся символы и правила действия с ними без всякого отношения к их смыслу. Это и есть установка формализма в математике. По словам интуициониста Брауэра, для формалиста истина математики на бумаге, тогда как для интуициониста она в голове математика.

Нетрудно, впрочем, видеть, что оба они неправы, ибо математика, а вместе с тем и то, что написано на бумаге, и то, что думает математик, отражает действительность, и истина математики заключается в ее соответствии объективной действительности. Отрывая математику от материальной действительности, все эти течения оказываются идеалистическими.

Идея Гильберта потерпела поражение в результате ее собственного развития. Австрийский математик Гедель доказал, что даже арифметику нельзя формализовать полностью, как на то рассчитывал Гильберт. Вывод Геделя явно вскрыл внутреннюю диалектику математики, которая не позволяет исчерпать ни одну ее область формальным исчислением. Даже простейшая бесконечность натурального ряда чисел оказалась неисчерпываемой конечной схемой символов и правил действия с ними. Так, было математически доказано то, что высказал в общем виде еще Энгельс, когда писал:

«Бесконечность есть противоречие... Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности». Гильберт рассчитывал заключить математическую бесконечность в рамки конечных схем и тем самым ликвидировать все противоречия и трудности. Это оказалось невозможным.

Но в условиях капитализма конвенционализм, интуиционизм, формализм и другие подобные течения не только сохраняются, ной дополняются новыми вариантами идеалистических взглядов на математику. Теории, связанные с логическим анализом основ математики, существенно используются в некоторых новых вариантах субъективного идеализма. Субъективный

идеализм использует теперь математику, в частности математическую логику, не меньше, чем физику, и потому вопросы понимания основ математики приобретают особую остроту.

Так, трудности развития математики породили в условиях капитализма идеологический кризис этой науки, сходный в своих основах с кризисом физики, сущность которого была выяснена Лениным в его гениальном произведении «Материализм и эмпириокритицизм». Этот кризис вовсе не означает, что математика в капиталистических странах совершенно задержана в своем развитии. Ряд ученых, стоящих на явно идеалистических позициях, делает важные, порой выдающиеся успехи в решении конкретных математических вопросов и развитии новых теорий. Достаточно сослаться на блестящую разработку математической логики.

Коренной порок распространенного в капиталистических странах взгляда на математику состоит в его идеализме и метафизике: в отрыве математики от действительности и пренебрежении ее реальным развитием. Логистика, интуиционизм, формализм и другие подобные направления выделяют в математике какую-нибудь одну ее сторону - связь с логикой, интуитивную ясность, формальную строгость и т. п. - неосновательно преувеличивают, абсолютизируют ее значение, отрывают ее от действительности и за глубоким анализом этой одной черты математики самой по себе теряют из виду математику в целом. Именно вследствие этой односторонности ни одно из этих течений при всей тонкости и глубине отдельных выводов не может привести к верному пониманию математики. В противоположность различным течениям и оттенкам идеализма и метафизики диалектический материализм рассматривает математику, как и всю науку в целом, такой, как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей и развития. И именно потому, что диалектический материализм стремится понять все богатство и всю сложность связей науки с действительностью, всю сложность ее развития, идущего от простого обобщения опыта к высшим абстракциям и от них к практике, именно потому, что самый свой подход к науке он постоянно приводит в соответствие с ее объективным содержанием, с ее новыми открытиями, именно поэтому и, в конечном счете только поэтому, он и оказывается единственной подлинно научной философией, ведущей к верному пониманию науки вообще и, в частности, - математики.