Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas. Trigonometrisko funkciju īpašības un grafiki
Video nodarbība “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas” sniedz vizuālu materiālu, lai sniegtu skaidrību, skaidrojot tēmu stundā. Demonstrācijas laikā tiek apskatīts trigonometrisko funkciju vērtības veidošanas princips no skaitļa, aprakstīti vairāki piemēri, kas māca, kā no skaitļa aprēķināt trigonometrisko funkciju vērtības. Ar šīs rokasgrāmatas palīdzību ir vieglāk attīstīt prasmes attiecīgo problēmu risināšanā un panākt materiāla iegaumēšanu. Rokasgrāmatas izmantošana palielina nodarbības efektivitāti un palīdz ātri sasniegt mācību mērķus.
Nodarbības sākumā tiek parādīts tēmas nosaukums. Tad uzdevums ir atrast atbilstošo kosinusu kādam skaitliskajam argumentam. Tiek atzīmēts, ka šo problēmu var atrisināt vienkārši un to var skaidri parādīt. Ekrānā tiek parādīts vienības aplis, kura centrs atrodas sākumā. Tiek atzīmēts, ka apļa krustošanās punkts ar abscisu ass pozitīvo pusasi atrodas punktā A(1;0). Ir dots punkta M piemērs, kas attēlo argumentu t=π/3. Šis punkts atzīmēja vienības aplis, un no tā perpendikuls nolaižas uz abscisu asi. Punkta atrastā abscise ir cos t kosinuss. Šajā gadījumā punkta abscisa būs x=1/2. Tāpēc cos t=1/2.
Apkopojot aplūkotos faktus, jāatzīmē, ka ir jēga runāt par funkciju s=cos t. Tiek atzīmēts, ka studentiem jau ir zināmas zināšanas par šo funkciju. Tiek aprēķinātas dažas kosinusa vērtības: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Ar šo funkciju ir saistītas arī funkcijas s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Tiek atzīmēts, ka tām visiem ir kopīgs nosaukums - trigonometriskās funkcijas.
Svarīgas attiecības, kuras izmanto problēmu risināšanā ar trigonometriskās funkcijas: pamata identitātes grēks 2 t+ cos 2 t=1, pieskares un kotangences izteiksme caur sinusu un kosinusu tg t=sin t/cos t, kur t≠π/2+πk kϵZ, ctg t= cos t/sin t, kur t≠πk kϵZ, kā arī pieskares attiecību pret kotangensu tg t·ctg t=1 kur t≠πk/2 kϵZ.
Tālāk mēs piedāvājam izskatīt sakarības 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t pierādījumu ar t≠π/2+πk uz kϵZ. Lai pierādītu identitāti, ir jāattēlo tg 2 t sinusa un kosinusa attiecības veidā un pēc tam kreisās puses termini jāsavieno līdz kopsaucējam 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos. 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Izmantojot pamata trigonometrisko identitāti, skaitītājā iegūstam 1, tas ir, beigu izteiksmi 1/ cos 2 t. Q.E.D.
Līdzīgi tiek pierādīta identitāte 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t, ja t≠πk par kϵZ. Tāpat kā iepriekšējā pierādījumā, kotangenss tiek aizstāts ar atbilstošo kosinusa un sinusa attiecību, un abi kreisajā pusē esošie termini tiek reducēti līdz kopsaucējam 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Pēc galvenās uzklāšanas trigonometriskā identitāte uz skaitītāju iegūstam 1/ sin 2 t. Šī ir vēlamā izteiksme.
Tiek aplūkots piemēru risinājums, kuros tiek pielietotas iegūtās zināšanas. Pirmajā uzdevumā jāatrod izmaksu vērtības tgt, ctgt, ja ir zināms skaitļa sint=4/5 sinuss un t pieder intervālam π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.
Tālāk mēs aplūkojam līdzīgas problēmas risinājumu, kurā ir zināma tangensa tgt = -8/15, un arguments ir ierobežots ar vērtībām 3π/2 Lai atrastu sinusa vērtību, mēs izmantojam pieskares definīciju tgt= sint/cost. No tā mēs atrodam sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Zinot, ka kotangenss ir pieskares apgrieztā funkcija, mēs atrodam ctgt=1/(-8/15)=-15/8. Video stunda “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas” tiek izmantota matemātikas stundas efektivitātes paaugstināšanai skolā. Tālmācības laikā šo materiālu var izmantot kā uzskates līdzekli, lai attīstītu prasmes risināt uzdevumus, kas ietver skaitļa trigonometriskās funkcijas. Lai apgūtu šīs prasmes, studentam var ieteikt patstāvīgi pārbaudīt vizuālo materiālu. TEKSTA DEKODĒŠANA: Nodarbības tēma ir “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas”. Jebkuru reālu skaitli t var saistīt ar unikāli definētu skaitli cos t. Lai to izdarītu, jums jāveic šādas darbības: 1) novieto skaitļa apli uz koordinātu plaknes tā, lai riņķa centrs sakristu ar koordinātu sākumpunktu, un riņķa sākuma punkts A iekristu punktā (1;0); 2) atrast uz riņķa punktu, kas atbilst skaitlim t; 3) atrodiet šī punkta abscisu. Tas ir cos t. Tāpēc mēs runāsim par funkciju s = cos t (es ir vienāds ar kosinusu te), kur t ir jebkurš reāls skaitlis. Mums jau ir zināms priekšstats par šo funkciju: Visas šīs funkcijas sauc par skaitliskā argumenta t trigonometriskajām funkcijām. No sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām izriet dažas attiecības: 1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuss kvadrāts te plus kosinuss kvadrāts te ir vienāds ar vienu) 2)tgt = ja t ≠ + πk, kϵZ (tangenss te ir vienāds ar sinusa te attiecību pret kosinusu te, kur te nav vienāds ar pi ar divi plus pi ka, ka pieder pie zet) 3) ctgt = ja t ≠ πk, kϵZ (kotangenss te ir vienāds ar kosinusa te attiecību pret sinusu te, ja te nav vienāds ar pi ka, ka pieder pie zet). 4) tgt ∙ ctgt = 1, ja t ≠ , kϵZ (pieskares te reizinājums ar kotangentu te ir vienāds ar vienu, ja te nav vienāds ar maksimumu ka, dalīts ar divi, ka pieder pie zet) Pierādīsim vēl divas svarīgas formulas: Viens plus tangenss kvadrātā te ir vienāds ar attiecību viens pret kosinusu kvadrātā te, ja te nav vienāds ar pi ar divi plus pi ka. Pierādījums. Samazināsim izteiksmi viens plus tangenss kvadrātā te līdz kopsaucēja kosinuss kvadrātā te. Skaitītājā iegūstam kosinusa te un sinusa te kvadrātu summu, kas ir vienāda ar vienu. Un saucējs paliek kosinusa te kvadrāts. Vienības un kotangences te kvadrāta summa ir vienāda ar vienības attiecību pret sinusa te kvadrātu, ja te nav vienāda ar pi ka. Pierādījums. Izteiksme viens plus kotangenss kvadrātā te, līdzīgi mēs nonākam pie kopsaucēja un piemērojam pirmo relāciju. Apskatīsim piemērus. 1. PIEMĒRS. Atrodiet izmaksas, tgt, ctgt, ja sint = un< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи) Risinājums. No pirmās attiecības mēs atrodam kosinusu kvadrātā te ir vienāds ar vienu mīnus sinusu kvadrātā te: cos 2 t = 1 - sin 2 t. Tas nozīmē, ka cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinuss te ir vienāds ar deviņām divdesmit piektdaļām), tas ir, izmaksas = (kosinuss te ir trīs piektdaļas) vai izmaksas = - (kosinuss te ir vienāds ar mīnus trīs piektdaļas). Pēc nosacījuma arguments t pieder otrajam ceturksnim, un tajā ir t< 0 (косинус тэ отрицательный). Tas nozīmē, ka kosinuss te ir vienāds ar mīnus trīs piektdaļām, izmaksas = - . Aprēķināsim tangensu te: tgt = = ׃ (-)= - ;(tangenss te ir vienāds ar sinusa te attiecību pret kosinusu te, un tāpēc četras piektdaļas mīnus trīs piektdaļas un vienāds ar mīnus četras trešdaļas) Attiecīgi aprēķinām (skaitļa te kotangenss. jo kotangenss te ir vienāds ar te kosinusa attiecību pret te sinusu,) ctgt = = - . (kotangenss te ir vienāds ar mīnus trīs ceturtdaļām). Atbilde: izmaksas = - , tgt= - ; ctgt = - . (mēs aizpildām atbildi, kad to risinām) PIEMĒRS 2. Ir zināms, ka tgt = - un< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt. Risinājums. Izmantosim šīs attiecības un aizstāsim vērtību ar šo formulu, lai iegūtu: 1 + (-) 2 = (viens uz kosinusa kvadrātu te ir vienāds ar viena un kvadrāta summu mīnus astoņas piecpadsmitdaļas). No šejienes mēs atrodam cos 2 t = (kosinuss kvadrāts te ir vienāds ar divi simti divdesmit pieci divi simti astoņdesmit devītās). Tas nozīmē izmaksas = (kosinuss te ir piecpadsmit septiņpadsmitdaļas) vai izmaksas =. Pēc nosacījuma arguments t pieder ceturtajam ceturksnim, kur izmaksas>0. Tāpēc izmaksas = .(cosenus te ir vienāds ar piecpadsmit septiņpadsmitajām daļām) Atradīsim argumenta sine te vērtību. Tā kā no relācijas (parādīt sakarību tgt = ja t ≠ + πk, kϵZ) sinuss te ir vienāds ar tangences te reizinājumu ar kosinusu te, tad argumenta te..tangence te vērtību aizstāj ar mīnus astoņām piecpadsmitdaļām. .. pēc nosacījuma, un kosinuss te ir vienāds ar atrisināto agrāk, mēs iegūstam sint = tgt ∙ izmaksas = (-) ∙ = - , (sinus te ir vienāds ar mīnus astoņas septiņpadsmitdaļas) ctgt = = - . (jo kotangenss te ir pieskares reciproks, kas nozīmē, ka kotangenss te ir vienāds ar mīnus piecpadsmit astoņpadsmitdaļas) Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas.
Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijast ir formas funkcijas y= izmaksas, Izmantojot šīs formulas, izmantojot vienas trigonometriskās funkcijas zināmo vērtību, jūs varat atrast citu trigonometrisko funkciju nezināmās vērtības. Paskaidrojumi. 1) Ņemiet formulu cos 2 t + sin 2 t = 1 un izmantojiet to, lai iegūtu jaunu formulu. Lai to izdarītu, abas formulas puses sadaliet ar cos 2 t (ja t ≠ 0, tas ir, t ≠ π/2 + π k). Tātad: cos 2 t sin 2 t 1 Pirmais loceklis ir vienāds ar 1. Mēs zinām, ka sinusa attiecība pret konisu ir pieskares, kas nozīmē, ka otrais loceklis ir vienāds ar tg 2 t. Rezultātā mēs iegūstam jaunu (un jums jau zināmu) formulu: 2) Tagad sadaliet cos 2 t + sin 2 t = 1 ar sin 2 t (ja t ≠ π k): cos 2 t sin 2 t 1 Kosinusa un sinusa attiecība ir kotangenss. Līdzekļi: grēks 2 t 1 grēks 2 t cos 2 t + grēks 2 t 1 Tādā pašā veidā jūs varat viegli atrast viena un kotangensa kvadrāta summu, kā arī daudzas citas identitātes. Leņķa argumenta trigonometriskās funkcijas.
Funkcijāsplkst =
cost,
plkst =
grēkst,
plkst =
tgt,
plkst =
ctgt mainīgst var būt vairāk nekā tikai skaitlisks arguments. To var uzskatīt arī par leņķa mēru - tas ir, leņķa argumentu. Izmantojot skaitļu apli un koordinātu sistēmu, jūs varat viegli atrast jebkura leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Lai to izdarītu, ir jāievēro divi svarīgi nosacījumi: 2) vienai no leņķa malām jābūt pozitīvas ass staram x. Šajā gadījumā tā punkta ordināta, kurā krustojas aplis un leņķa otrā mala, ir šī leņķa sinuss, un šī punkta abscise ir šī leņķa kosinuss. Paskaidrojums. Nozīmēsim leņķi, kura viena mala ir ass pozitīvais stars x, un otrā puse iziet no koordinātu ass sākuma (un no apļa centra) 30º leņķī (sk. attēlu). Tad otrās malas krustpunkts ar apli atbilst π/6. Mēs zinām šī punkta ordinātu un abscisu. Tie ir arī mūsu leņķa kosinuss un sinuss: √3 1 Un, zinot leņķa sinusu un kosinusu, jūs varat viegli atrast tā tangensu un kotangensu. Tādējādi skaitļu aplis, kas atrodas koordinātu sistēmā, ir ērts veids, kā atrast leņķa sinusu, kosinusu, tangensu vai kotangensu. Bet ir vieglāks veids. Jums nav jāzīmē aplis un koordinātu sistēma. Varat izmantot vienkāršas un ērtas formulas: Piemērs: atrodiet sinusu un kosinusu leņķim, kas vienāds ar 60º. Risinājums: π 60 π √3 π 1 Paskaidrojums: mēs noskaidrojām, ka 60º leņķa sinuss un kosinuss atbilst punkta vērtībām uz apļa π/3. Tālāk mēs vienkārši atrodam šī punkta vērtības tabulā - un tādējādi atrisinām mūsu piemēru. Ciparu apļa galveno punktu sinusu un kosinusu tabula ir iepriekšējā sadaļā un lapā “Tabulas”. Nodarbības mērķi: Izglītības: Izglītības: Izglītības: Nodarbības veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība. Mācību metodes: daļēji meklēt, (heiristiskā). Zināšanu līmeņa pārbaude, kognitīvās vispārināšanas problēmu risināšana, pašpārbaude, sistēmas vispārinājumi. Nodarbības plāns. Nodarbību laikā 1. Organizatoriskais moments. Mājasdarbs: 1. punkta 1.4 Franču rakstnieks Anatols Frenss reiz atzīmēja: “Mācīties var tikai jautri. Lai sagremotu zināšanas, tās jāuzņem ar apetīti. Ņemsim vērā šo rakstnieces padomu šodien stundā, būsim aktīvi, vērīgi un ar lielu vēlmi uzņemsim zināšanas. Galu galā tie jums noderēs nākotnē. Šodien mums ir pēdējā nodarbība par tēmu: “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas”. Mēs atkārtojam un vispārinām pētīto materiālu, metodes un paņēmienus trigonometrisko izteiksmju risināšanai. 2. Pašpārbaude. Darbs tiek veikts divās versijās. Jautājumi uz ekrāna. Skolēni atzīmē nepareizus soļus. Pareizo atbilžu skaits tiek ierakstīts zināšanu lapā. 3. Ziņa. Referāts par trigonometrijas attīstības vēsturi (runā apmācīts students). 4. Teorētiskā materiāla sistematizācija. Mutiski uzdevumi. 1) Par ko mēs runājam? Kas ir īpašs? Nosakiet izteiksmes zīmi: a) cos (700°) tg 380°, 2) Ko saka šis formulu bloks? Kur ir kļūda? 3) Apsveriet tabulu: Trigonometriskās transformācijas 4) Katra trigonometrisko transformāciju veida uzdevumu risināšana. Trigonometrisko izteiksmju nozīmju atrašana. Trigonometriskās funkcijas vērtības atrašana no noteiktas trigonometriskās funkcijas zināmas vērtības. Dots: grēks = ;< < Atrodiet cos2, ctg2. Atbilde: .< < 2 Atrast: cos2 , tg2 Trešais grūtības līmenis: Dots: grēks = ;< < Atrast: sin2 ; grēks(60° - ); tg (45°+) Papildu uzdevums. Pierādiet identitāti: 4 grēks 4 - 4 grēks 2 = cos 2 2 - 1 6. Patstāvīgā darba rezultāts. Studenti pārbauda savu darbu un ieraksta rezultātus savā zināšanu lapā. 7. Nodarbība ir apkopota. Papildu materiāli Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 10. klasei
Ko mēs pētīsim: Atcerēsimies pamata formulas: $tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, ar $t≠\frac(π)(2)+πk$. Atvasināsim jaunas formulas. Tagad sadalīsim abas identitātes puses ar $sin^2(t)$. Mums izdevās iegūt divas jaunas formulas. Atcerieties tos. $cos(t) =\frac(5)(7)$, atrodiet $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ par visiem t. Risinājums: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$. 2. piemērs. $tg(t) = \frac(5)(12)$, atrodiet $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, visiem $0 Risinājums: Neatkarīgi no tā, kāds reālais skaitlis t tiek ņemts, to var saistīt ar unikāli definētu skaitli sin t. Tiesa, saskaņošanas noteikums ir diezgan sarežģīts, kā mēs redzējām iepriekš, tas ir šāds. Lai atrastu sin t vērtību, izmantojot skaitli t, jums ir nepieciešams: 1) pozicionē skaitļa apli koordinātu plaknē tā, lai apļa centrs sakristu ar koordinātu sākumpunktu, bet riņķa sākuma punkts A iekristu punktā (1; 0); 2) atrast uz apļa punktu, kas atbilst skaitlim t; 3) atrodiet šī punkta ordinātas. Šī ordināta ir sin t. Faktiski mēs runājam par funkciju u = sin t, kur t ir jebkurš reāls skaitlis. Visas šīs funkcijas tiek izsauktas skaitliskā argumenta t trigonometriskās funkcijas. Ir vairākas attiecības, kas savieno dažādu trigonometrisko funkciju vērtības, mēs jau esam ieguvuši dažas no šīm attiecībām: sin 2 t+cos 2 t = 1 No pēdējām divām formulām ir viegli iegūt sakarību, kas savieno tg t un ctg t: Visas šīs formulas tiek izmantotas gadījumos, kad, zinot trigonometriskās funkcijas vērtību, ir jāaprēķina citu trigonometrisko funkciju vērtības. Termini “sinuss”, “kosinuss”, “tangenss” un “kotangenss” patiesībā bija pazīstami, tomēr tie joprojām tika lietoti nedaudz atšķirīgā interpretācijā: ģeometrijā un fizikā tie tika uzskatīti par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. pie galvas(bet ne cipariem, kā tas bija iepriekšējos punktos). No ģeometrijas ir zināms, ka asā leņķa sinuss (kosinuss) ir taisnleņķa trijstūra kāju attiecība pret tā hipotenūzu, bet leņķa tangenss (kotangenss) ir taisnleņķa trijstūra kāju attiecība. Iepriekšējos punktos tika izstrādāta cita pieeja sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa jēdzieniem. Patiesībā šīs pieejas ir savstarpēji saistītas. Paņemsim leņķi ar pakāpes mēru b o un sakārtosim to modelī “ciparu aplis taisnstūra koordinātu sistēmā”, kā parādīts attēlā. 14 leņķa virsotne ir savietojama ar centru apļi (ar koordinātu sistēmas sākumu), un viena stūra puse ir saderīga ar x ass pozitīvais stars. Punkts leņķa otrās puses krustojums ar apzīmē ar apli burtu M. Ordina- 14. att. b o, un šī punkta abscisa ir leņķa b o kosinuss. Lai atrastu leņķa b o sinusu vai kosinusu, šīs ļoti sarežģītās konstrukcijas nav jādara katru reizi. Pietiek atzīmēt, ka loka AM veido tādu pašu skaitļa apļa garuma daļu, kādu leņķis b o veido no 360° leņķa. Ja loka AM garumu apzīmē ar burtu t, mēs iegūstam: Tādējādi Piemēram, Tiek uzskatīts, ka 30° ir leņķa mērs, un tā paša leņķa radiāna mērs: 30° = rad. Pavisam: Jo īpaši es priecājos, no kurienes mēs to iegūstam. Tātad, kas ir 1 radiāns? Ir dažādi segmentu garuma mēri: centimetri, metri, jardi utt. Ir arī dažādi pasākumi, lai norādītu leņķu lielumu. Mēs ņemam vērā vienības apļa centrālos leņķus. 1° leņķis ir centrālais leņķis, ko ierobežo loka, kas ir daļa no apļa. 1 radiāna leņķis ir centrālais leņķis, ko noliek loka garums 1, t.i. uz loka, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. No formulas mēs atklājam, ka 1 rad = 57,3°. Apsverot funkciju u = sin t (vai jebkuru citu trigonometrisku funkciju), neatkarīgo mainīgo t varam uzskatīt par skaitlisku argumentu, kā tas bija iepriekšējos punktos, taču mēs varam uzskatīt arī šo mainīgo par lielumu leņķis, t.i. stūra arguments. Tāpēc, runājot par trigonometrisko funkciju, noteiktā nozīmē nav nozīmes uzskatīt to par skaitliska vai leņķa argumenta funkciju.
y= sin t, y= tg t, y= ctg t.
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
--- + --- = ---, kur t ≠ π k + π k, k- vesels skaitlis
grēks 2 t grēks 2 t grēks 2 t
Zinot matemātikas pamatprincipus un apgūstot trigonometrijas pamatformulas, jūs varat viegli iegūt lielāko daļu citu trigonometrisko identitāti pats. Un tas ir pat labāk, nekā vienkārši tos iegaumēt: no galvas iemācītais ātri aizmirstas, bet saprastais paliek atmiņā uz ilgu laiku, ja ne uz visiem laikiem. Piemēram, nav jāiegaumē, ar ko vienāda ir viena un pieskares kvadrāta summa. Ja esat aizmirsis, varat viegli atcerēties, ja zināt visvienkāršāko lietu: tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība. Turklāt izmantojiet vienkāršo noteikumu par daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem un iegūstiet rezultātu:
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
1) leņķa virsotnei jābūt apļa centram, kas ir arī koordinātu ass centrs;
--; --
2 2
grēks 60º = grēks --- = grēks -- = --
180 3 2
cos 60º = cos -- = -
3 2
- Pārbaudes darbs (uzdevumi tika izlikti stendā).№
1 variants
2. iespēja
1
Definējiet akūtā leņķa sinusu un kosinusu
Definējiet akūta leņķa tangensu un kotangensu
2
Kādas skaitliskās funkcijas sauc par tangensu un kotangensu? Sniedziet definīciju.
Kādas skaitliskās funkcijas sauc par sinusu un kosinusu? Sniedziet definīciju.
3
Vienības apļa punktam ir koordinātes. Atrodiet grēka vērtības, cos.
Vienības apļa punktam ir koordinātes (- 0,8; - 0,6). Atrodiet tg, ctg vērtību.
4
Kuras no trigonometriskajām pamatfunkcijām ir nepāra? Pierakstiet atbilstošās vienādības.
Kuras no trigonometriskajām pamatfunkcijām ir pāra? Pierakstiet atbilstošās vienādības.
5
Kā mainās sinusa un kosinusa vērtības, kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu? Pierakstiet atbilstošās vienādības.
Kā mainās tangenses un kotangences vērtības, kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu? Kas ir īpašs? Pierakstiet atbilstošās vienādības.
6
Atrodiet sin cos, sin(-630°), cos (-630°) vērtības.
Atrodiet tg, ctg, tg 540°, ctg(-450°) vērtības.
7
Kurā attēlā parādīts funkcijas y = sin x grafiks?
Kurā attēlā ir attēlots funkcijas y = tg x grafiks?
8
Pierakstiet leņķu ( - ), ( - ) samazināšanas formulas.
Pierakstiet leņķu (+), (+) samazināšanas formulas.
9
Uzrakstiet saskaitīšanas formulas.
Uzrakstiet galvenās trigonometriskās identitātes.
10
Uzrakstiet formulas pakāpes samazināšanai.
Uzrakstiet dubultargumentu formulas.
b) cos (- 1) sin (- 2)
Trigonometrisko izteiksmju nozīmes atrašana
Trigonometriskās funkcijas vērtības atrašana no noteiktas trigonometriskās funkcijas zināmas vērtības
Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana
Identitātes
Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Ciparu argumenta trigonometriskā funkcija, definīcija, identitātes"
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
Programmatūras vide "1C: Mathematical Constructor 6.1"
1. Skaitliskā argumenta definīcija.
2. Pamatformulas.
3. Trigonometriskās identitātes.
4. Piemēri un uzdevumi patstāvīgam risinājumam.Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas definīcija
Puiši, mēs zinām, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.
Apskatīsim, vai ir iespējams atrast citu trigonometrisko funkciju vērtības, izmantojot dažu trigonometrisko funkciju vērtības?
Definēsim skaitliskā elementa trigonometrisko funkciju šādi: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Starp citu, kāds ir šīs formulas nosaukums?
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, par $t≠πk$.Trigonometriskās identitātes
Mēs zinām pamata trigonometrisko identitāti: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Puiši, sadalīsim abas identitātes puses ar $cos^2(t)$.
Mēs iegūstam: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t)) $.
Pārveidosim: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Mēs iegūstam identitāti: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, ar $t≠\frac(π)(2)+πk$.
Mēs iegūstam: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t)) $.
Pārveidosim: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Mēs iegūstam jaunu identitāti, kuru ir vērts atcerēties:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, par $t≠πk$.
Šīs formulas izmanto, ja no kādas zināmas trigonometriskās funkcijas vērtības ir nepieciešams aprēķināt citas funkcijas vērtību.Skaitliskā argumenta trigonometrisko funkciju piemēru risināšana
1. piemērs.
Tad $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) USD.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Tad $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Mēs iegūstam, ka $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Tad $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, bet $0
Iegūstam: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Problēmas, kas jārisina patstāvīgi
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, atrodiet $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, visiem $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, atrodiet $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ visiem $t$. 
