Akūta leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss. Trigonometriskās funkcijas
Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss
Tiek saukta tuvākās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare
Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju asā leņķa tangenss taisnleņķa trīsstūris.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss
Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Patvaļīga leņķa sinuss
Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .
\sin \alpha=y
Patvaļīga leņķa kosinuss
Abscises punkts ieslēgts vienības aplis, kas atbilst leņķim \alpha sauc patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .
\cos \alpha=x
Patvaļīga leņķa tangenss
Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .
tg \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Patvaļīga leņķa kotangenss
Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs
Ja \alpha ir kāds leņķis AOM , kur M ir punkts uz vienības apļa, tad
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula
Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360 ^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Dzīvē bieži nākas saskarties ar matemātiskām problēmām: skolā, universitātē un pēc tam palīdzot bērnam mājasdarbs. Atsevišķu profesiju pārstāvji ar matemātiku saskarsies ikdienā. Tāpēc ir lietderīgi iegaumēt vai atsaukt atmiņā matemātikas noteikumus. Šajā rakstā mēs analizēsim vienu no tiem: taisnleņķa trīsstūra kājas atrašanu.
Kas ir taisnleņķa trīsstūris
Vispirms atcerēsimies, kas ir taisnleņķa trīsstūris. Taisnais trīsstūris ir ģeometriskā figūra no trim segmentiem, kas savieno punktus, kas neatrodas vienā taisnē, un viens no šī attēla leņķiem ir 90 grādi. Malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām, un malu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu.
Taisnleņķa trijstūra kājas atrašana
Ir vairāki veidi, kā uzzināt kājas garumu. Es vēlētos tos apsvērt sīkāk.
Pitagora teorēma, lai atrastu taisnleņķa trijstūra kāju
Ja zinām hipotenūzu un kāju, tad nezināmās kājas garumu varam atrast, izmantojot Pitagora teorēmu. Tas izklausās šādi: “Hipotenūzas kvadrāts ir vienāda ar summu kāju kvadrāti". Formula: c²=a²+b², kur c ir hipotenūza, a un b ir kājas. Mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a²=c²-b².
Piemērs. Hipotenūza ir 5 cm, un kāja ir 3 cm Pārveidojam formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Tālāk mēs izlemjam: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).
Trigonometriskās attiecības taisnleņķa trijstūra kājas atrašanai
Ir iespējams arī atrast nezināmu kāju, ja ir zināma taisnleņķa trijstūra jebkura cita mala un jebkurš akūts leņķis. Kāju atrašanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas, ir četras iespējas: pēc sinusa, kosinusa, pieskares, kotangensa. Lai atrisinātu problēmas, mums palīdzēs tālāk esošā tabula. Apsvērsim šīs iespējas.
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot sinusu
Leņķa sinuss (sin) ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: sin \u003d a / c, kur a ir kāja, kas atrodas pretī dotajam leņķim, un c ir hipotenūza. Tālāk mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a=sin*c.
Piemērs. Hipotenūza ir 10 cm, un leņķis A ir 30 grādi. Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A sinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Pēc tam, izmantojot pārveidoto formulu, atrisinām: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kosinusu
Leņķa kosinuss (cos) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: cos \u003d b / c, kur b ir kāja, kas atrodas blakus dotajam leņķim, un c ir hipotenūza. Pārveidosim formulu un iegūstam: b=cos*c.
Piemērs. Leņķis A ir 60 grādi, hipotenūza ir 10 cm. Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A kosinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Tālāk mēs atrisinām: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot tangensu
Leņķa tangenss (tg) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo. Formula: tg \u003d a / b, kur a ir kāja, kas atrodas pretī stūrim, un b ir blakus. Pārveidosim formulu un iegūstam: a=tg*b.
Piemērs. Leņķis A ir 45 grādi, hipotenūza 10 cm Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A tangensu, tas ir vienāds ar Atrisināt: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kotangensu
Leņķa kotangenss (ctg) ir blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecība. Formula: ctg \u003d b / a, kur b ir kāja, kas atrodas blakus stūrim un atrodas pretī. Citiem vārdiem sakot, kotangenss ir "apgrieztais tangenss". Mēs iegūstam: b=ctg*a.
Piemērs. Leņķis A ir 30 grādi, pretējā kājiņa ir 5 cm. Saskaņā ar tabulu leņķa A tangensa ir √3. Aprēķināt: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Tātad, tagad jūs zināt, kā atrast kāju taisnleņķa trīsstūrī. Kā redzat, tas nav tik grūti, galvenais ir atcerēties formulas.
I nodaļa. Taisnstūra trīsstūru risinājums
§3 (37). Pamatattiecības un uzdevumi
Trigonometrijā tiek aplūkotas problēmas, kurās ir jāaprēķina atsevišķi trīsstūra elementi ar pietiekamu skaitu tā doto elementu skaitlisko vērtību. Šos uzdevumus parasti sauc par risinājums trīsstūris.
Lai ABC ir taisnleņķa trijstūris, C ir taisnleņķis, a un b- kājas pretī asajiem leņķiem A un B, Ar- hipotenūza (3. att.);
tad mums ir:
Akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
cos A = b/ c, jo B = a / c (1)
Akūtā leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
grēks A = a / c, grēks B = b/ c (2)
Akūtā leņķa tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
iedegums A = a / b, tg B = b/ a (3)
Akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:
ctgA= b/ a, ctg B = a / b (4)
Akūto leņķu summa ir 90°.
Pamatproblēmas taisnleņķa trijstūriem.
I uzdevums. Ņemot vērā hipotenūzu un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.
Risinājums.Ļaujiet dot Ar un A. Leņķis B = 90° – zināms arī A; kājas ir atrodamas no (1) un (2) formulām.
a = c sinA, b = c jo A.
II uzdevums . Ņemot vērā kāju un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.
Risinājums.Ļaujiet dot a un A. Leņķis B = 90° – A ir zināms; no formulas (3) un (2) mēs atrodam:
b = a tg B (= a ctg A), Ar = a/ grēks A
III uzdevums. Ņemot vērā kāju un hipotenūzu, aprēķiniet atlikušos elementus.
Risinājums.Ļaujiet dot a un Ar(un a< с ). No vienādībām (2) atrodam leņķi A:
grēks A = a / c un A = loka sin a / c ,
un visbeidzot kāju b:
b = Ar cos A (= Ar grēks B).
IV uzdevums. Kājas a un b ir dotas, lai atrastu citus elementus.
Risinājums. No vienādībām (3) mēs atrodam akūtu leņķi, piemēram, A:
tg A = a / b, A = arktāns a / b ,
leņķis B \u003d 90 ° - A,
hipotenūza: c = a/sin A (= b/sinB; = a/cos B)
Zemāk ir piemērs taisnleņķa trijstūra atrisināšanai, izmantojot logaritmiskās tabulas*.
* Taisnstūra trīsstūru elementu aprēķins pēc naturālajām tabulām ir zināms no VIII klases ģeometrijas kursa.
Aprēķinot saskaņā ar logaritmiskās tabulas jāizraksta atbilstošās formulas, jāprologaritmē, jāaizstāj skaitliskie dati, no tabulām jāatrod nepieciešamie zināmo elementu (vai to trigonometrisko funkciju) logaritmi, jāaprēķina vēlamo elementu (vai to trigonometrisko funkciju) logaritmi un jāatrod nepieciešamie elementi. no galdiem.
Piemērs. Dana kāja a= 166,1 un hipotenūza Ar= 187,3; aprēķināt akūtos leņķus, otru kāju un laukumu.
Risinājums. Mums ir:
grēks A = a / c; lg sin A = lg a-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Mēs aprēķinām kāju b:
b = a tg B ; lg b= baļķis b+ lg tg B ; 
Trijstūra laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu
S=1/2 ab = 0,5 a 2 tg B; 
Kontrolei mēs aprēķinām leņķi A uz slaida kārtula:
A \u003d loka grēks a / c= loka sin 166 / 187 ≈ 62°.
Piezīme. kāju b var aprēķināt pēc Pitagora teorēmas, izmantojot kvadrātu un kvadrātsakņu tabulas (III un IV tabula):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Neatbilstība iepriekš iegūtajai vērtībai b= 86.48 ir izskaidrojams ar tabulu kļūdām, kas dod funkciju aptuvenās vērtības. Rezultāts 86,54 ir precīzāks.
Sinus taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir attiecība pretī katetru hipotenūzai.
To apzīmē šādi: sin α.
Kosinuss taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
To apzīmē šādi: cos α.
Pieskares akūts leņķis α ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
To apzīmē šādi: tg α.
Kotangenss akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
To apzīmē šādi: ctg α.
Leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir atkarīgi tikai no leņķa lieluma.
Noteikumi:
Galvenās trigonometriskās identitātes taisnleņķa trijstūrī:
(α - akūts leņķis pretī kājai b un blakus kājai a . Sānu Ar - hipotenūza. β - otrais akūts leņķis).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Palielinoties asajam leņķimsinα untg α pieaugums, uncos α samazinās.
Jebkuram akūtam leņķim α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Skaidrojošs piemērs:
Ielaidiet taisnleņķa trīsstūri ABC
AB = 6,
BC = 3,
leņķis A = 30º.
Atrodiet leņķa A sinusu un leņķa B kosinusu.
Risinājums.
1) Pirmkārt, mēs atrodam leņķa B vērtību. Šeit viss ir vienkārši: tā kā taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa ir 90º, tad leņķis B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Aprēķināt grēku A. Mēs zinām, ka sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim A pretējā kājiņa ir mala BC. Tātad:
BC 3 1
grēks A = -- = - = -
AB 6 2
3) Tagad mēs aprēķinām cos B. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim B blakus esošā kājiņa ir tā pati mala BC. Tas nozīmē, ka mums atkal ir jāsadala BC uz AB - tas ir, jāveic tās pašas darbības, kas tiek veiktas, aprēķinot leņķa A sinusu:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultāts ir:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
No tā izriet, ka taisnleņķa trijstūrī viena akūta leņķa sinuss ir vienāds ar cita akūta leņķa kosinusu - un otrādi. Tas ir tieši tas, ko nozīmē mūsu divas formulas:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Pārbaudīsim vēlreiz:
1) Pieņemsim, ka α = 60º. Aizvietojot α vērtību sinusa formulā, mēs iegūstam:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Pieņemsim, ka α = 30º. Aizvietojot α vērtību kosinusa formulā, mēs iegūstam:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Papildinformāciju par trigonometriju skatiet sadaļā Algebra)
Viena no matemātikas nozarēm, ar kuru skolēni tiek galā ar vislielākajām grūtībām, ir trigonometrija. Nav brīnums: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangentus, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast aprēķinos izmantot skaitli pi. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot pielietot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja izsecināt sarežģītas loģiskās ķēdes.
Trigonometrijas izcelsme
Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāizdomā, ko trigonometrija dara kopumā.
Vēsturiski taisnleņķa trīsstūri ir bijuši šīs matemātikas zinātnes sadaļas galvenais izpētes objekts. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu aplūkojamās figūras parametru vērtības, izmantojot divas puses un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.
Pirmais posms
Sākotnēji cilvēki runāja par leņķu un malu attiecībām tikai taisnleņķa trīsstūru piemērā. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt šīs matemātikas sadaļas izmantošanas robežas ikdienas dzīvē.
Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem iegūtās zināšanas skolēni izmanto fizikā un abstraktu trigonometrisko vienādojumu risināšanā, ar kuriem darbs sākas vidusskolā.
Sfēriskā trigonometrija
Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur ir spēkā citi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Skolā šī sadaļa netiek pētīta, taču par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc, ka zemes virsma un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs "loka formas" trīsdimensiju telpa.
Paņemiet globusu un diegu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Pievērsiet uzmanību - tas ir ieguvis loka formu. Tieši ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.
Taisns trīsstūris
Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.
Pirmais solis ir saprast jēdzienus, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Viņa ir garākā. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.
Piemēram, ja divas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.
Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt jāatceras, ka trijstūra leņķu summa taisnstūra koordinātu sistēmā ir 180 grādi.
Definīcija
Visbeidzot, labi izprotot ģeometrisko pamatu, mēs varam pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.
Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir garākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja uzdevuma atbildē iegūstat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.
Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Tas pats rezultāts dos sinusa dalījumu ar kosinusu. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam mēs dalām ar otrās malas garumu un reizinām ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādu pašu attiecību kā pieskares definīcijā.
Kotangenss attiecīgi ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, dalot vienību ar tangensu.
Tātad, mēs esam apsvēruši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam tikt galā ar formulām.
Vienkāršākās formulas
Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Un tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.
Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja vēlaties uzzināt leņķa, nevis sānu vērtību.
Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: galu galā tas ir tāds pats apgalvojums kā pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka to dara vienkārša matemātiska darbība trigonometriskā formula pilnīgi neatpazīstams. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, konvertēšanas noteikumus un dažas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat patstāvīgi iegūt vajadzīgās sarežģītākas formulas uz papīra lapas.
Dubultā leņķa formulas un argumentu pievienošana
Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar sinusa un kosinusa vērtībām leņķu summai un starpībai. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinuss un kosinuss tiek reizināti abas reizes, bet otrajā gadījumā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.
Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi, kas vienāds ar beta leņķi.
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārvērst, lai pazeminātu sinusa, kosinusa, pieskares alfa pakāpi.
Teorēmas
Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.
Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trijstūra malas garumu ar pretējā leņķa vērtību, mēs iegūstam vienādu skaitli. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.
Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar tām blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.
Kļūdas neuzmanības dēļ
Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, iepazīsimies ar populārākajām no tām.
Pirmkārt, jums nevajadzētu pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās, kamēr nav iegūts gala rezultāts - atbildi varat atstāt formā kopējā frakcija ja vien nosacījumā nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā uzdevuma posmā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit laiku nevajadzīgām matemātiskām darbībām. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs vai divu sakne, jo tās rodas uzdevumos ik uz soļa. Tas pats attiecas uz "neglīto" skaitļu noapaļošanu.
Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta neizpratni. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.
Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.
Pieteikums
Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās lietišķo nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, pateicoties kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu, nosūtīt pētniecības zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.
Beidzot
Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.
Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar to, ka nezināmie parametri jāaprēķina no zināmajiem trijstūra parametriem. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garumi un trīs leņķu lielumi. Visa uzdevumu atšķirība ir tajā, ka tiek doti dažādi ievades dati.
Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju garumiem vai hipotenūzu. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, trigonometriskās problēmas galvenais mērķis ir atrast parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.
