Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas. Trigonometrisko funkciju īpašības un grafiki

Video nodarbība "Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas" ir vizuāls materiāls, lai nodrošinātu skaidrību, skaidrojot nodarbībā esošo tēmu. Demonstrācijas laikā tiek apskatīts trigonometrisko funkciju vērtības veidošanas princips no skaitļa, aprakstīti vairāki piemēri, kas māca, kā no skaitļa aprēķināt trigonometrisko funkciju vērtības. Ar šīs rokasgrāmatas palīdzību ir vieglāk veidot prasmes attiecīgo problēmu risināšanā, panākt materiāla iegaumēšanu. Rokasgrāmatas izmantošana palielina nodarbības efektivitāti, veicina ātru mācību mērķu sasniegšanu.

Tēmas nosaukums ir parādīts nodarbības sākumā. Tad uzdevums ir atrast atbilstošo kosinusu kādam skaitliskajam argumentam. Tiek atzīmēts, ka šī problēma ir atrisināta vienkārši un to var skaidri parādīt. Ekrānā tiek parādīts vienības aplis, kura centrā ir sākuma punkts. Tajā pašā laikā tika novērots, ka apļa krustošanās punkts ar abscisu ass pozitīvo pusasi atrodas punktā A (1; 0). Ir dots punkta M piemērs, kas attēlo argumentu t=π/3. Šis punkts svinēja vienības aplis, un no tā nolaižas perpendikulārs abscisu asij. Punkta atrastā abscise ir kosinuss cos t. Šajā gadījumā punkta abscisa būs x=1/2. Tāpēc cos t=1/2.

Apkopojot aplūkotos faktus, jāatzīmē, ka ir jēga runāt par funkciju s=cos t. Tiek atzīmēts, ka studentiem jau ir zināmas zināšanas par šo funkciju. Tiek aprēķinātas dažas kosinusa vērtības cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Ar šo funkciju ir saistītas arī funkcijas s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Tiek atzīmēts, ka tām visiem ir kopīgs nosaukums - trigonometriskās funkcijas.

Tiek demonstrētas svarīgas attiecības, kuras tiek izmantotas problēmu risināšanā ar trigonometriskās funkcijas: pamatidentitāte sin 2 t+ cos 2 t=1, pieskares un kotangences izteiksme sinusa un kosinusa izteiksmē tg t=sin t/cos t, kur t≠π/2+πk kϵZ, ctg t= cos t/sin t, kur t≠πk kϵZ, kā arī pieskares attiecība pret kotangensu tg t·ctg t=1 kur t≠πk/2 kϵZ.

Tālāk tiek piedāvāts izskatīt sakarības 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t pierādījumu, ar t≠π/2+πk kϵZ. Lai pierādītu identitāti, ir jāattēlo tg 2 t kā sinusa un kosinusa attiecību un pēc tam kreisajā pusē esošie termini jāsavieno līdz kopsaucējam 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Izmantojot pamata trigonometrisko identitāti, skaitītājā iegūstam 1, tas ir, beigu izteiksmi 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitāte 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t tiek pierādīta līdzīgi, ar t≠πk kϵZ. Tāpat kā iepriekšējā pierādījumā, kotangenss tiek aizstāts ar atbilstošo kosinusa un sinusa attiecību, un abi kreisajā pusē esošie termini tiek reducēti līdz kopsaucējam 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. Pēc galvenās uzklāšanas trigonometriskā identitāte uz skaitītāju iegūstam 1/ sin 2 t. Šī ir vēlamā izteiksme.

Tiek aplūkots piemēru risinājums, kurā tiek pielietotas iegūtās zināšanas. Pirmajā uzdevumā jāatrod izmaksu vērtības tgt, ctgt, ja ir zināms skaitļa sint=4/5 sinuss un t pieder intervālam π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Tālāk mēs aplūkojam līdzīgas problēmas risinājumu, kurā ir zināma pieskares tgt=-8/15, un arguments ir ierobežots ar vērtībām 3π/2

Lai atrastu sinusa vērtību, mēs izmantojam pieskares definīciju tgt = sint / izmaksas. No tā mēs atrodam sint= tgt izmaksas=(-8/15)(15/17)=-8/17. Zinot, ka kotangenss ir pieskares apgrieztā funkcija, mēs atrodam ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Video stunda "Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas" tiek izmantota matemātikas stundas efektivitātes paaugstināšanai skolā. Tālmācības gaitā šo materiālu var izmantot kā uzskates līdzekli problēmu risināšanas prasmju veidošanai, kur ir skaitļa trigonometriskās funkcijas. Lai apgūtu šīs prasmes, studentam var ieteikt patstāvīgi izskatīt vizuālo materiālu.

TEKSTA INTERPRETĀCIJA:

Nodarbības tēma ir "Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas".

Jebkuru reālu skaitli t var saistīt ar unikāli definētu skaitli cos t. Lai to izdarītu, jums jāveic šādas darbības:

1) koordinātu plaknē sakārto skaitļu apli tā, lai apļa centrs sakristu ar sākumpunktu, un riņķa sākuma punkts A skar punktu (1; 0);

2) atrast uz riņķa punktu, kas atbilst skaitlim t;

3) atrodiet šī punkta abscisu. Tas ir cos t.

Tāpēc mēs runāsim par funkciju s \u003d cos t (es ir vienāds ar te kosinusu), kur t ir jebkurš reāls skaitlis. Mēs jau esam ieguvuši priekšstatu par šo funkciju:

• iemācījās aprēķināt dažas vērtības, piemēram, cos 0=1, cos = 0, cos = utt. (nulles kosinuss ir vienāds ar vienu, pi kosinuss ar divi ir vienāds ar nulli, pi kosinuss ar trīs ir vienāda ar vienu sekundi un tā tālāk).
• un tā kā sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtības ir savstarpēji saistītas, mēs guvām priekšstatu par vēl trim funkcijām: s = sint; s=tgt; s=ctgt. (es ir vienāds ar te sinusu, es ir vienāds ar te tangensu, es ir vienāds ar te kotangensu)

Visas šīs funkcijas sauc par skaitliskā argumenta t trigonometriskajām funkcijām.

No sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām izriet dažas attiecības:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuss kvadrāts te plus kosinuss kvadrāts te ir vienāds ar vienu)

2) tgt = pie t ≠ + πk, kϵZ

3) ctgt = pie t ≠ πk, kϵZ (te kotangenss ir vienāds ar te kosinusa attiecību pret te sinusu, ja te nav vienāds ar ka maksimumu, kas pieder pie z).

4) tgt ∙ ctgt = 1, ja t ≠ , kϵZ

Mēs pierādām vēl divas svarīgas formulas:

Viens plus te pieskares kvadrāts ir vienāds ar attiecību viens pret kosinusa kvadrātu te, ja te nav vienāds ar pi ar divi plus pi.

Pierādījums. Izteiksmes vienība plus pieskares kvadrāts te, mēs reducēsim līdz kopsaucēja kosinuss kvadrāts te. Skaitītājā iegūstam te kosinusa un te sinusa kvadrātu summu, kas ir vienāda ar vienu. Un saucējs paliek kosinusa te kvadrāts.

Vienības un kotangences te kvadrāta summa ir vienāda ar vienības attiecību pret te sinusa kvadrātu, ja te nav vienāda ar maksimumu.

Pierādījums. Izteiksme vienotība plus kotangenss kvadrātā te, līdzīgi reducējam līdz kopsaucējam un piemērojam pirmo relāciju.

Apsveriet piemērus.

1. PIEMĒRS. Atrodiet izmaksas, tgt, ctgt, ja sint = un< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Risinājums. No pirmās attiecības mēs atrodam kosinusu kvadrātu te, kas vienāds ar vienu mīnus sinusa kvadrāts te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Tātad, cos 2 t = 1 -() 2 = (te kvadrāta kosinuss ir vienāds ar deviņām divdesmit piektdaļām), tas ir, izmaksas = (te kosinuss ir vienāds ar trim piektdaļām) vai izmaksas = - ( te kosinuss ir vienāds ar mīnus trīs piektdaļas). Pēc nosacījuma arguments t pieder otrajam ceturksnim, un tajā ir t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Tātad kosinuss te ir vienāds ar mīnus trīs piektdaļām, izmaksas = - .

Aprēķiniet tangensu te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(te tangenss ir vienāds ar te sinusa attiecību pret te kosinusu, kas nozīmē četras piektdaļas mīnus trīs piektdaļas un ir vienāds ar mīnus četrām trešdaļām)

Attiecīgi mēs aprēķinām (skaitļa te kotangenss, jo te kotangenss ir vienāds ar te kosinusa attiecību pret te sinusu,) ctgt = = - .

(te kotangenss ir mīnus trīs ceturtdaļas).

Atbilde: izmaksas = - , tgt= - ; ctgt = - . (Atbilde tiks aizpildīta pēc jūsu lēmuma)

PIEMĒRS 2. Ir zināms, ka tgt = - un< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Risinājums. Mēs izmantojam šo attiecību, aizstājot vērtību šajā formulā, mēs iegūstam:

1 + (-) 2 \u003d (viens uz kosinusa kvadrātu te ir vienāds ar viena un kvadrāta summu mīnus astoņas piecpadsmitdaļas). No šejienes mēs atrodam cos 2 t =

(te kosinuss kvadrāts ir divi simti divdesmit pieci divi simti astoņdesmit devītās). Tātad izmaksas = (kosinuss te vienāds ar piecpadsmit septiņpadsmitdaļām) vai

izmaksas =. Pēc nosacījuma arguments t pieder ceturtajam ceturksnim, kur izmaksas>0. Tāpēc izmaksas = .(cosenus te ir piecpadsmit septiņpadsmitdaļas)

Atrodiet argumenta sinus te vērtību. Tā kā no attiecības (parādīt attiecību tgt = pie t ≠ + πk, kϵZ) te sinuss ir vienāds ar te pieskares reizinājumu ar kosinusu, tad argumenta te vērtību aizstājot..tangence no te ir vienāds ar mīnus astoņām piecpadsmitdaļām .. pēc nosacījuma, un te kosinuss ir vienāds ar atrisinātu agrāk, mēs iegūstam

sint = tgt ∙ izmaksas = (-) ∙ = - , (te sinuss ir vienāds ar mīnus astoņām septiņpadsmitdaļām)

ctgt == - . (tā kā te kotangenss ir pieskares reciproks, tas nozīmē, ka te kotangenss ir mīnus piecpadsmit astoņpadsmitdaļas)

Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas.

Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijast ir formas funkcijas y= izmaksas,
y= sint, y= tg t, y=ctgt.

Izmantojot šīs formulas, izmantojot vienas trigonometriskās funkcijas zināmo vērtību, jūs varat atrast citu trigonometrisko funkciju nezināmās vērtības.

Paskaidrojumi.

1) Ņemiet formulu cos 2 t + sin 2 t = 1 un izmantojiet to, lai iegūtu jaunu formulu.

Lai to izdarītu, mēs sadalām abas formulas daļas ar cos 2 t (ja t ≠ 0, tas ir, t ≠ π/2 + π k). Tātad:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Pirmais loceklis ir vienāds ar 1. Mēs zinām, ka sinusa attiecība pret konusu ir tangenss, kas nozīmē, ka otrais loceklis ir vienāds ar tg 2 t. Rezultātā mēs iegūstam jaunu (un jums jau zināmu) formulu:

2) Tagad mēs dalām cos 2 t + sin 2 t = 1 ar sin 2 t (ja t ≠ π k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, kur t ≠ π k + π k, k- vesels skaitlis
grēks 2 t grēks 2 t grēks 2 t

Kosinusa un sinusa attiecība ir kotangenss. Līdzekļi:

Zinot matemātikas elementārus pamatus un apguvis trigonometrijas pamatformulas, jūs varat viegli patstāvīgi iegūt lielāko daļu citu trigonometrisko identitāti. Un tas ir pat labāk nekā tikai to iegaumēšana: no galvas iemācītais ātri aizmirstas, bet saprastais paliek atmiņā uz ilgu laiku, ja ne uz visiem laikiem. Piemēram, nav nepieciešams iegaumēt, kāda ir viena un pieskares kvadrāta summa. Aizmirsts - jūs varat viegli atcerēties, ja zināt visvienkāršāko lietu: tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība. Turklāt izmantojiet vienkāršu noteikumu, lai pievienotu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem - un iegūstiet rezultātu:

grēks 2 t 1 grēks 2 t cos 2 t + grēks 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Tikpat viegli ir atrast vienotības un kotangensa kvadrāta summu, kā arī daudzas citas identitātes.

Leņķa argumenta trigonometriskās funkcijas.

Funkcijāsplkst = cost, plkst = grēkst, plkst = tgt, plkst = ctgt mainīgst var būt vairāk nekā tikai skaitlisks arguments. To var uzskatīt arī par leņķa mēru - tas ir, leņķa argumentu.

Ar skaitliskā apļa un koordinātu sistēmas palīdzību var viegli atrast jebkura leņķa sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu. Lai to izdarītu, ir jāievēro divi svarīgi nosacījumi:
1) stūra virsotnei jābūt apļa centram, kas ir arī koordinātu ass centrs;

2) vienai no leņķa malām jābūt pozitīvas ass staram x.

Šajā gadījumā tā punkta ordināta, kurā krustojas aplis un leņķa otrā mala, ir šī leņķa sinusa, un šī punkta abscise ir dotā leņķa kosinuss.

Paskaidrojums. Nozīmēsim leņķi, kura viena puse ir ass pozitīvs stars x, un otrā puse iziet no koordinātu ass sākuma (un no apļa centra) 30º leņķī (sk. attēlu). Tad otrās malas krustpunkts ar apli atbilst π/6. Mēs zinām šī punkta ordinātu un abscisu. Tie ir mūsu leņķa kosinuss un sinuss:

√3 1
--; --
2 2

Un, zinot leņķa sinusu un kosinusu, jūs varat viegli atrast tā tangensu un kotangensu.

Tādējādi skaitļu aplis, kas atrodas koordinātu sistēmā, ir ērts veids, kā atrast leņķa sinusu, kosinusu, tangensu vai kotangensu.

Bet ir vieglāks veids. Var nezīmēt apli un koordinātu sistēmu. Varat izmantot vienkāršas un ērtas formulas:

Piemērs: atrodiet sinusu un kosinusu leņķim, kas vienāds ar 60º.

Risinājums:

π 60 π √3
grēks 60º = grēks --- = grēks -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Paskaidrojums: mēs noskaidrojām, ka 60º leņķa sinuss un kosinuss atbilst apļa punkta π / 3 vērtībām. Turklāt mēs vienkārši atrodam šī punkta vērtības tabulā - un tādējādi atrisinām mūsu piemēru. Skaitliskā apļa galveno punktu sinusu un kosinusu tabula ir iepriekšējā sadaļā un lapā "Tabulas".

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

• Nodrošināt tēmas “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas” materiāla atkārtošanu, vispārināšanu un sistematizēšanu;
• Radīt apstākļus zināšanu un prasmju asimilācijas kontrolei (paškontrolei).

Attīstās:

• Veicināt paņēmienu pielietošanas prasmes veidošanos - salīdzinājumus, vispārinājumus, izceļot galveno, pārnesot zināšanas uz jaunu situāciju;
• Matemātiskā skatījuma, domāšanas, runas, uzmanības un atmiņas attīstība.

Izglītības:

• Veicināt interešu izglītību par matemātiku, aktivitāti, komunikācijas prasmēm un kopīgu kultūru.

Nodarbības veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība.

Mācību metodes: daļēja meklēšana, (heiristiskā).

Testa zināšanu līmeņa pārbaude, kognitīvo vispārināšanas problēmu risināšana, pašpārbaude, sistēmas vispārinājumi.

Nodarbības plāns.

1. Org. moments - 2 min.
2. Pašpārbaudes tests - 10 min.
3. Referāts par tēmu - 3 min.
4. Teorētiskā materiāla sistematizācija - 15 min.
5. Diferencēts patstāvīgais darbs ar pašpārbaudi - 10 min.
6. Patstāvīgā darba rezultāts - 2 min.
7. Nodarbības rezumēšana - 3 min.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments.

Mājasdarbs:

1. punkts, 1.4
- Pārbaudes darbs (uzdevumi tika izlikti stendā).

Franču rakstnieks Anatols Frenss reiz atzīmēja: “Mācīšanās var būt tikai jautra. Lai zināšanas sagremotu, tās ar baudu jāuzņem. Ņemsim vērā šo rakstnieces padomu šodien nodarbībā, būsim aktīvi, vērīgi, ar lielu vēlmi uzņemsim zināšanas. Galu galā tie jums noderēs nākotnē.

Šodien mums ir pēdējā nodarbība par tēmu: “Ciparu argumenta trigonometriskās funkcijas”. Atkārtojam, vispārinām pētīto materiālu, metodes un paņēmienus trigonometrisko izteiksmju risināšanai.

2. Pašpārbaudes tests.

Darbs tiek veikts divās versijās. jautājumi uz ekrāna.

№	1 variants	2. iespēja
1	Definējiet akūtā leņķa sinusu un kosinusu	Definējiet akūta leņķa tangensu un kotangensu
2	Kādas skaitliskās funkcijas sauc par tangensu un kotangensu? Sniedziet definīciju.	Kuras skaitliskās funkcijas sauc par sinusu un kosinusu? Sniedziet definīciju.
3	Vienības apļa punktam ir koordinātes. Atrodiet grēka vērtības, cos.	Vienības apļa punktam ir koordinātes (-0,8; -0,6). Atrodiet vērtību tg , ctg .
4	Kuras no trigonometriskajām pamatfunkcijām ir nepāra? Uzrakstiet atbilstošās vienādības.	Kuras no trigonometriskajām pamatfunkcijām ir pāra? Uzrakstiet atbilstošās vienādības.
5	Kā mainās sinusa un kosinusa vērtības, kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu? Uzrakstiet atbilstošās vienādības.	Kā mainās pieskares un kotangences vērtības, kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu? Kāda ir funkcija? Uzrakstiet atbilstošās vienādības.
6	Atrodiet vērtības sin cos, sin(-630°), cos (-630°).	Atrodiet vērtības tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°).
7	Kurā attēlā parādīts funkcijas y \u003d sin x grafiks?	Kurā attēlā parādīts funkcijas y \u003d tg x grafiks?
8	Pierakstiet leņķu ( - ), (- ) samazināšanas formulas.	Pierakstiet leņķu (+ ), (+ ) samazināšanas formulas.
9	Uzrakstiet saskaitīšanas formulas.	Uzrakstiet pamata trigonometriskās identitātes.
10	Uzrakstiet formulas grāda pazemināšanai.	Uzrakstiet dubultargumentu formulas.

Studenti atzīmē nepareizus soļus. Pareizo atbilžu skaits tiek ierakstīts zināšanu lapā.

3. Ziņa.

Referāts par trigonometrijas attīstības vēsturi (runā apmācīts students).

4. Teorētiskā materiāla sistematizācija.

mutiski uzdevumi.

1) Par ko mēs runājam? Kas ir īpašs?

Nosakiet izteiksmes zīmi:

a) cos (700°) tg 380°,
b) cos (- 1) sin (- 2)

2) Ko saka šis formulu bloks? Kur ir kļūda?

3) Apsveriet tabulu:

Trigonometriskās transformācijas
Trigonometrisko izteiksmju vērtību atrašana	Trigonometriskās funkcijas vērtības atrašana no noteiktas trigonometriskās funkcijas zināmas vērtības	Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana	Identitātes

4) Katra veida trigonometrisko transformāciju uzdevumu risināšana.

Trigonometrisko izteiksmju vērtību atrašana.

Trigonometriskās funkcijas vērtības atrašana no dotās trigonometriskās funkcijas zināmās vērtības.

Dots: grēks = ;< <

Atrodiet cos2, ctg2.

Atbilde: .< < 2

Atrast: cos2 , tg2

Trešā grūtības pakāpe:

Dots: grēks = ;< <

Atrast: sin2 ; grēks(60° - ); tg (45°+)

Papildu uzdevums.

Pierādiet identitāti:

4 grēks 4 - 4 grēks 2 = cos 2 2 - 1

6. Patstāvīgā darba rezultāts.

Studenti pārbauda savu darbu un ieraksta rezultātus darba lapā.

7. Nodarbība tiek summēta.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Ciparu argumenta trigonometriskā funkcija, definīcija, identitātes"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Skaitliskā argumenta definīcija.
2. Pamatformulas.
3. Trigonometriskās identitātes.
4. Piemēri un uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

Skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas definīcija

Puiši, mēs zinām, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.
Apskatīsim, vai ir iespējams atrast citu trigonometrisko funkciju vērtības, izmantojot dažu trigonometrisko funkciju vērtības?
Definēsim skaitliskā elementa trigonometrisko funkciju šādi: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

Atcerēsimies pamata formulas:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Starp citu, kāds ir šīs formulas nosaukums?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, par $t≠πk$.

Atvasināsim jaunas formulas.

Trigonometriskās identitātes

Mēs zinām pamata trigonometrisko identitāti: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Puiši, sadalīsim abas identitātes puses ar $cos^2(t)$.
Mēs iegūstam: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t)) $.
Pārveidosim: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Mēs iegūstam identitāti: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, ar $t≠\frac(π)(2)+πk$.

Tagad mēs sadalām abas identitātes puses ar $sin^2(t)$.
Mēs iegūstam: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t)) $.
Pārveidosim: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Mēs iegūstam jaunu identitāti, kuru ir vērts atcerēties:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, par $t≠πk$.

Mums izdevās iegūt divas jaunas formulas. Atcerieties tos.
Šīs formulas izmanto, ja pēc kādas zināmas trigonometriskās funkcijas vērtības ir jāaprēķina citas funkcijas vērtība.

Skaitliskā argumenta trigonometrisko funkciju piemēru risināšana

1. piemērs

$cos(t) =\frac(5)(7)$, atrodiet $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ par visiem t.

Risinājums:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Tad $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) $.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

2. piemērs

$tg(t) = \frac(5)(12)$, atrodiet $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, visiem $0

Risinājums:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Tad $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Mēs iegūstam, ka $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Tad $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, bet $0 Kosinuss pirmajā kvadrantā ir pozitīvs. Tad $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Iegūstam: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, atrodiet $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, visiem $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, atrodiet $sin(t)$; $cos(t)$; $tg(t)$, visiem $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, atrodiet $cos(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ visiem $t$.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, atrodiet $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ visiem $t$.

Lai kāds būtu reālais skaitlis t, tam var piešķirt unikāli definētu skaitli sin t. Tiesa, korespondences noteikums ir diezgan sarežģīts; kā redzējām iepriekš, tas sastāv no sekojošā.

Lai atrastu sin t vērtību pēc skaitļa t, jums ir nepieciešams:

1) novietojiet skaitļa apli koordinātu plaknē tā, lai apļa centrs sakristu ar koordinātu sākumpunktu un riņķa sākuma punkts A nonāktu punktā (1; 0);

2) atrast uz apļa punktu, kas atbilst skaitlim t;

3) atrod šī punkta ordinātas.

Šī ordināta ir sin t.

Faktiski mēs runājam par funkciju u = sin t, kur t ir jebkurš reāls skaitlis.

Visas šīs funkcijas tiek izsauktas skaitliskā argumenta t trigonometriskās funkcijas.

Pastāv vairākas attiecības, kas savieno dažādu trigonometrisko funkciju vērtības, mēs jau esam saņēmuši dažas no šīm attiecībām:

sin 2 t + cos 2 t = 1

No pēdējām divām formulām ir viegli iegūt sakarību, kas savieno tg t un ctg t:

Visas šīs formulas tiek izmantotas gadījumos, kad, zinot jebkuras trigonometriskās funkcijas vērtību, ir jāaprēķina atlikušo trigonometrisko funkciju vērtības.

Termini "sinuss", "kosinuss", "tangenss" un "kotangenss" patiesībā bija pazīstami, tomēr tie joprojām tika lietoti nedaudz atšķirīgā interpretācijā: ģeometrijā un fizikā tie tika uzskatīti par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. g l a(bet ne

cipariem, kā tas bija iepriekšējos punktos).

No ģeometrijas ir zināms, ka asā leņķa sinuss (kosinuss) ir taisnleņķa trijstūra kājas attiecība pret tā hipotenūzu, bet leņķa tangenss (kotangenss) ir taisnleņķa trijstūra kāju attiecība. Iepriekšējos punktos tika izstrādāta cita pieeja sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa jēdzieniem. Patiesībā šīs pieejas ir savstarpēji saistītas.

Ņemsim leņķi ar pakāpes mēru b o un sakārtosim to modelī "skaitliskais aplis taisnstūra koordinātu sistēmā", kā parādīts att. četrpadsmit

stūra augšdaļa saderīga ar centru

apļi (ar koordinātu sistēmas sākumu),

un viena stūra puse ir saderīga ar

x ass pozitīvais stars. Punkts

leņķa otras puses krustpunkts ar

aplis tiks apzīmēts ar burtu M. Ordina-

14. attēls b o , un šī punkta abscise ir leņķa b o kosinuss.

Lai atrastu leņķa b o sinusu vai kosinusu, nemaz nav nepieciešams katru reizi veikt šīs ļoti sarežģītās konstrukcijas.

Pietiek atzīmēt, ka loka AM ir tāda pati skaitliskā apļa garuma daļa, kāda ir leņķim b o no 360° leņķa. Ja loka AM garumu apzīmē ar burtu t, tad iegūstam:

Pa šo ceļu,

Piemēram,

Tiek uzskatīts, ka 30 ° ir leņķa grāds un tā paša leņķa radiāna mērs: 30 ° = rad. Vispārīgi:

Jo īpaši es priecājos, no kurienes, savukārt, mēs iegūstam.

Tātad, kas ir 1 radiāns? Ir dažādi segmentu garuma mēri: centimetri, metri, jardi utt. Ir arī dažādi pasākumi, lai norādītu leņķu lielumu. Mēs ņemam vērā vienības apļa centrālos leņķus. 1° leņķis ir centrālais leņķis, kura pamatā ir loka, kas ir daļa no apļa. 1 radiāna leņķis ir centrālais leņķis, kura pamatā ir loka garums 1, t.i. uz loka, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. No formulas mēs iegūstam, ka 1 rad \u003d 57,3 °.

Ņemot vērā funkciju u = sin t (vai jebkuru citu trigonometrisku funkciju), neatkarīgo mainīgo t varam uzskatīt par skaitlisku argumentu, kā tas bija iepriekšējos punktos, taču šo mainīgo varam uzskatīt arī par leņķa mēru, t.i. leņķiskais arguments. Tāpēc, runājot par trigonometrisko funkciju, zināmā mērā ir vienaldzīgi to uzskatīt par skaitliska vai leņķa argumenta funkciju.