Savstarpēji apgrieztās funkcijas, to grafiki. Savstarpēji apgrieztās funkcijas, pamatdefinīcijas, īpašības, grafiki Ziņojums par inverso funkciju tēmu

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

• veidot zināšanas par jaunu tēmu atbilstoši programmas materiālam;
• izpētīt funkcijas invertējamības īpašību un iemācīt atrast funkciju, kas ir apgriezta dotai;

Attīstās:

• attīstīt paškontroles prasmes, priekšmeta runu;
• apgūt apgrieztās funkcijas jēdzienu un apgūt apgrieztās funkcijas atrašanas metodes;

Izglītojoši: veidot komunikatīvo kompetenci.

Aprīkojums: dators, projektors, ekrāns, SMART Board interaktīvā tāfele, izdales materiāls (patstāvīgais darbs) grupu darbam.

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments.

Mērķis – skolēnu sagatavošana darbam klasē:

Prombūtnes definīcija,

Studentu attieksme pret darbu, uzmanības organizācija;

Ziņa par nodarbības tēmu un mērķi.

2. Skolēnu pamatzināšanu aktualizēšana. priekšējā aptauja.

Mērķis - konstatēt pētāmā teorētiskā materiāla pareizību un apzinātību, aptvertā materiāla atkārtošanos.<Приложение 1 >

Funkcijas grafiks ir parādīts uz interaktīvās tāfeles skolēniem. Skolotājs formulē uzdevumu - izskatīt funkcijas grafiku un uzskaitīt funkcijas pētītās īpašības. Studenti uzskaita funkcijas īpašības atbilstoši pētījuma projektam. Skolotājs pa labi no funkcijas grafika ar marķieri uz interaktīvās tāfeles pieraksta nosauktos rekvizītus.

Funkciju īpašības:

Studiju noslēgumā skolotāja ziņo, ka šodien nodarbībā iepazīsies ar vēl vienu funkcijas īpašību - atgriezeniskumu. Jaunā materiāla saturīgai apguvei skolotājs aicina bērnus iepazīties ar galvenajiem jautājumiem, uz kuriem skolēniem jāatbild stundas beigās. Jautājumi tiek rakstīti uz parastas tāfeles un katram skolēnam ir izdales materiāls (izdalīts pirms nodarbības)

1. Kas ir atgriezeniskā funkcija?
2. Vai katra funkcija ir atgriezeniska?
3. Kas ir apgrieztā dotā funkcija?
4. Kā ir saistīta definīcijas joma un funkcijas vērtību kopa un tās apgrieztā funkcija?
5. Ja funkcija ir dota analītiski, kā jūs definējat apgriezto funkciju ar formulu?
6. Ja funkcija ir dota grafiski, kā attēlot tās apgriezto funkciju?

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

Mērķis - veidot zināšanas par jaunu tēmu atbilstoši programmas materiālam; izpētīt funkcijas invertējamības īpašību un iemācīt atrast funkciju, kas ir apgriezta dotai; izstrādāt priekšmetu.

Skolotājs vada materiāla prezentāciju atbilstoši rindkopas materiālam. Uz interaktīvās tāfeles skolotājs salīdzina divu funkciju grafikus, kuru definīcijas jomas un vērtību kopas ir vienādas, bet viena no funkcijām ir monotona, bet otra nav, tādējādi iepazīstinot skolēnus ar invertējamās funkcijas jēdzienu. .

Pēc tam skolotājs formulē invertējamās funkcijas definīciju un pierāda invertējamās funkcijas teorēmu, izmantojot monotonu funkciju grafiku uz interaktīvās tāfeles.

1. definīcija: tiek izsaukta funkcija y=f(x), x X atgriezenisks, ja tas aizņem kādu no tā vērtībām tikai vienā kopas X punktā.

Teorēma: Ja funkcija y=f(x) ir monotona uz kopas X , tad tā ir invertējama.

Pierādījums:

1. Ļaujiet funkcijai y=f(x) palielinās par Xļaujiet tai iet x 1 ≠ x 2- divi seta punkti X.
2. Precizitātes labad ļaujiet x 1< x 2.
   Tad no kā x 1< x 2 tam seko f(x 1) < f(x2).
3. Tādējādi dažādas argumenta vērtības atbilst dažādām funkcijas vērtībām, t.i. funkcija ir atgriezeniska.

(Teorēmas pierādīšanas laikā skolotājs uz zīmējuma ar marķieri izdara visus nepieciešamos paskaidrojumus)

Pirms apgrieztās funkcijas definīcijas formulēšanas skolotājs lūdz studentus noteikt, kura no piedāvātajām funkcijām ir atgriezeniska? Interaktīvā tāfele parāda funkciju grafikus un ir uzrakstītas vairākas analītiski definētas funkcijas:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Skolotājs iepazīstina ar apgrieztās funkcijas definīciju.

2. definīcija. Ļaujiet veikt apgriežamu funkciju y=f(x) definēts komplektā X un E(f)=Y. Saskaņosim katru y no Y tad vienīgā nozīme X, pie kura f(x)=y. Tad mēs iegūstam funkciju, kas ir definēta Y, a X ir funkcijas diapazons

Šī funkcija ir apzīmēta x=f -1 (y) un to sauc par funkcijas apgriezto vērtību y=f(x).

Studenti tiek aicināti izdarīt secinājumus par saistību starp definīcijas domēnu un apgriezto funkciju vērtību kopu.

Lai apsvērtu jautājumu par to, kā atrast dotā apgriezto funkciju, skolotājs iesaistīja divus skolēnus. Iepriekšējā dienā bērni no skolotāja saņēma uzdevumu patstāvīgi analizēt analītiskās un grafiskās metodes apgrieztās dotās funkcijas atrašanai. Skolotāja darbojās kā konsultante skolēnu sagatavošanā stundai.

Ziņa no pirmā studenta.

Piezīme: funkcijas monotonitāte ir pietiekams nosacījums apgrieztās funkcijas pastāvēšanai. Bet tā nav nepieciešamais nosacījums.

Studente sniedza piemērus dažādām situācijām, kad funkcija nav monotona, bet atgriezeniska, kad funkcija nav monotona un nav atgriezeniska, kad tā ir monotona un atgriezeniska

Pēc tam students iepazīstina studentus ar metodi, kā atrast analītiski doto apgriezto funkciju.

Algoritma atrašana

1. Pārliecinieties, vai funkcija ir monotoniska.
2. Izsakiet x ar y.
3. Pārdēvējiet mainīgos. x \u003d f -1 (y) vietā viņi raksta y \u003d f -1 (x)

Pēc tam atrisina divus piemērus, lai atrastu dotā apgrieztās funkcijas funkciju.

1. piemērs: Parādiet, ka funkcijai y=5x-3 pastāv apgrieztā funkcija, un atrodiet tās analītisko izteiksmi.

Risinājums. Lineārā funkcija y=5x-3 ir definēta uz R, palielinās uz R, un tās diapazons ir R. Tādējādi apgrieztā funkcija pastāv uz R. Lai atrastu tās analītisko izteiksmi, mēs atrisinām vienādojumu y=5x-3 attiecībā uz x; mēs iegūstam Šī ir vēlamā apgrieztā funkcija. To nosaka un palielina R.

2. piemērs: Parādiet, ka funkcijai y=x 2 , x≤0 pastāv apgrieztā funkcija, un atrodiet tās analītisko izteiksmi.

Funkcija ir nepārtraukta, monotona savā definīcijas jomā, tāpēc tā ir invertējama. Izanalizējot definīcijas jomas un funkcijas vērtību kopu, tiek izdarīts atbilstošs secinājums par apgrieztās funkcijas analītisko izteiksmi.

Otrais students uzstājas ar prezentāciju par grafisks kā atrast apgriezto funkciju. Sava skaidrojuma gaitā skolēns izmanto interaktīvās tāfeles iespējas.

Lai iegūtu funkcijas y=f -1 (x) grafiku, apgriezti funkcijai y=f(x), nepieciešams simetriski pārveidot funkcijas y=f(x) grafiku attiecībā pret taisni. y=x.

Skaidrojuma laikā uz interaktīvās tāfeles tiek veikts šāds uzdevums:

Izveidojiet funkcijas grafiku un tās apgrieztās funkcijas grafiku vienā koordinātu sistēmā. Pierakstiet apgrieztās funkcijas analītisko izteiksmi.

4. Jaunā materiāla primārā fiksācija.

Mērķis - konstatēt pētāmā materiāla izpratnes pareizību un apzināšanos, identificēt nepilnības materiāla primārajā izpratnē, tās labot.

Studenti tiek sadalīti pa pāriem. Viņiem tiek dotas lapas ar uzdevumiem, kuros viņi strādā pa pāriem. Darba izpildes laiks ir ierobežots (5-7 minūtes). Viens skolēnu pāris strādā pie datora, projektors uz šo laiku ir izslēgts un pārējie bērni nevar redzēt, kā skolēni strādā pie datora.

Laika beigās (tiek pieņemts, ka lielākā daļa skolēnu pabeidza darbu) interaktīvā tāfele (projektors atkal ieslēdzas) parāda skolēnu darbu, kur pārbaudes laikā tiek noskaidrots, ka uzdevums izpildīts g. pāriem. Ja nepieciešams, skolotājs veic koriģējošu, skaidrojošu darbu.

Patstāvīgs darbs pāros<2.pielikums >

5. Nodarbības rezultāts. Par jautājumiem, kas tika uzdoti pirms lekcijas. Nodarbības atzīmju paziņošana.

Mājas darbs §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra un analīzes sākums. 10. klase 2 daļās izglītības iestādēm (profila līmenis) / A.G.Mordkovičs, L.O.Deniščeva, T.A.Koreškova u.c.; ed. A.G. Mordkovičs, M: Mnemosyne, 2007

Kas ir apgrieztā funkcija? Kā atrast dotās funkcijas apgriezto vērtību?

Definīcija .

Lai funkcija y=f(x) ir definēta uz kopas D un E ir tās vērtību kopa. Apgrieztā funkcija attiecībā pret funkcija y=f(x) ir funkcija x=g(y), kas ir definēta kopā E un piešķir katram y∈E vērtību x∈D, lai f(x)=y.

Tādējādi funkcijas y=f(x) apgabals ir apgrieztās funkcijas domēns, un y=f(x) ir apgrieztās funkcijas domēns.

Lai atrastu dotās funkcijas apgriezto vērtību y=f(x), ir nepieciešams :

1) Funkcijas formulā y vietā aizstājiet x, nevis x - y:

2) No iegūtās vienādības izsakiet y ar x:

Atrodiet funkcijas apgriezto vērtību funkcijai y=2x-6.

Funkcijas y=2x-6 un y=0,5x+3 ir savstarpēji apgrieztas.

Tiešo un apgriezto funkciju grafiki ir simetriski attiecībā pret tiešo līniju y=x(I un III koordinātu ceturkšņu bisektrise).

y=2x-6 un y=0,5x+3 - . Lineāras funkcijas grafiks ir . Lai novilktu taisnu līniju, mēs ņemam divus punktus.

Ir iespējams unikāli izteikt y kā x, ja ir vienādojums x=f(y). vienīgais lēmums. To var izdarīt, ja funkcija y=f(x) ņem katru no tās vērtībām vienā definīcijas domēna punktā (šādu funkciju sauc atgriezenisks).

Teorēma (nepieciešams un pietiekams nosacījums, lai funkcija būtu apgriežama)

Ja funkcija y=f(x) ir definēta un nepārtraukta uz skaitliskā intervāla, tad, lai funkcija būtu invertējama, ir nepieciešams un pietiekami, lai f(x) būtu stingri monotons.

Turklāt, ja intervālā y=f(x) palielinās, tad šajā intervālā palielinās arī tam apgrieztā funkcija; ja y=f(x) samazinās, tad arī apgrieztā funkcija samazinās.

Ja atgriezeniskuma nosacījums nav izpildīts visā definīcijas jomā, var izdalīt intervālu, kurā funkcija tikai palielinās vai tikai samazinās, un šajā intervālā atrast funkciju, kas ir apgriezta dotajai.

Klasiskais piemērs ir. starp)