Tetraedra tiesību apjoms. Regulārs tetraedrs (piramīda)

No tetraedra tilpuma pamatformulas

kur S ir jebkuras sejas laukums un H- nolaižot uz tā augstumu, varat iegūt vairākas formulas, kas izsaka tilpumu dažādi elementi tetraedrs. Mēs sniedzam šīs formulas tetraedram ABCD.

(2) ,

kur ∠ ( AD,ABC) ir leņķis starp malu AD un sejas plakne ABC;

(3) ,

kur ∠ ( ABC,ABD) ir leņķis starp skaldnēm ABC un ABD;

kur | AB,CD| - attālums starp pretējām ribām AB un CD, ∠ (AB,CD) ir leņķis starp šīm malām.

Formulas (2)–(4) var izmantot, lai atrastu leņķus starp taisnēm un plaknēm; Īpaši noderīga ir formula (4), ar kuras palīdzību var atrast attālumu starp šķībajām līnijām AB un CD.

Formulas (2) un (3) ir līdzīgas formulai S = (1/2)ab grēks C par trīsstūra laukumu. Formula S = rp līdzīga formula

kur r ir tetraedra ierakstītās sfēras rādiuss, Σ ir tā kopējā virsma (visu skaldņu laukumu summa). Ir arī skaista formula, kas savieno tetraedra tilpumu ar rādiusu R tā aprakstītā darbības joma ( Crelle formula):

kur Δ ir trijstūra laukums, kura malas ir skaitliski vienādas ar pretējo malu reizinājumiem ( AB× CD, AC× BD,AD× BC). No formulas (2) un kosinusa teorēmas trīsstūrveida leņķiem (sk. Sfērisko trigonometriju) var iegūt formulu, kas ir līdzīga Herona formulai trijstūriem.

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekcijas cietā ģeometrija, piramīdas problēmas). Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā. Uzdevumos simbola "kvadrātsakne" vietā tiek izmantota funkcija sqrt (), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbols, bet radikālā izteiksme ir norādīta iekavās..Vienkāršām radikālām izteiksmēm var izmantot zīmi "√".. regulārs tetraedrs ir regulāra trīsstūrveida piramīda, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri.

Parastajam tetraedram visi divskaldņu leņķi malās un visi trīsstūrveida leņķi virsotnēs ir vienādi

Tetraedram ir 4 skaldnes, 4 virsotnes un 6 malas.

Parasta tetraedra pamatformulas ir dotas tabulā.

Kur:
S - regulāra tetraedra virsmas laukums
V - apjoms
h - augstums nolaists līdz pamatnei
r - tetraedrā ierakstītā riņķa rādiuss
R - ierobežotā apļa rādiuss
a - ribas garums

Praktiski piemēri

Uzdevums.
Atrodiet trīsstūrveida piramīdas virsmas laukumu, kuras katra mala ir vienāda ar √3

Risinājums.
Tā kā visas trīsstūrveida piramīdas malas ir vienādas, tas ir pareizi. Regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukums ir S = a 2 √3.
Tad
S = 3√3

Atbilde: 3√3

Uzdevums.
Regulāras trīsstūrveida piramīdas visas malas ir 4 cm.Atrodiet piramīdas tilpumu

Risinājums.
Tā kā regulārā trīsstūrveida piramīdā piramīdas augstums tiek projicēts uz pamatnes centru, kas vienlaikus ir arī ierobežotā apļa centrs, tad

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Tātad piramīdas OM augstumu var atrast no taisnleņķa trīsstūris AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 — AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2/√3

Piramīdas tilpumu nosaka pēc formulas V = 1/3 Sh
Šajā gadījumā mēs atrodam bāzes laukumu pēc formulas S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3/4*16) (4√2/√3)
V=16√2/3

Atbilde: 16√2/3cm

Tetraedra definīcija

Tetraedrs- vienkāršākais daudzskaldņu ķermenis, kura skaldnes un pamatne ir trīsstūri.

Tiešsaistes kalkulators

Tetraedram ir četras skaldnes, no kurām katru veido trīs malas. Tetraedram ir četras virsotnes, katrai no tām ir trīs malas.

Šis ķermenis ir sadalīts vairākos veidos. Zemāk ir to klasifikācija.

1. Izoedrisks tetraedrs- visas tās skaldnes ir vienādi trīsstūri;
2. Ortocentrisks tetraedrs- visi augstumi, kas novilkti no katras virsotnes uz pretējo virsmu, ir vienādi garumā;
3. Taisnstūra tetraedrs- malas, kas iziet no vienas virsotnes, veido viena ar otru 90 grādu leņķi;
4. rāmis;
5. Proporcionāls;
6. incentrisks.

Tetraedru tilpuma formulas

Dotā ķermeņa tilpumu var atrast vairākos veidos. Analizēsim tos sīkāk.

Caur vektoru jaukto reizinājumu

Ja tetraedrs ir veidots uz trim vektoriem ar koordinātām:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tad šī tetraedra tilpums ir šo vektoru jauktais reizinājums, tas ir, šāds determinants:

Tetraedra tilpums caur determinantu

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\_c_x & cvmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

1. uzdevums

Ir zināmas oktaedra četru virsotņu koordinātas. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Atrodiet tā apjomu.

Risinājums

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Vispirms ir jānosaka vektoru koordinātas, uz kurām ir uzbūvēts dotais ķermenis.
Lai to izdarītu, jums jāatrod katra vektora koordināte, atņemot atbilstošās divu punktu koordinātas. Piemēram, vektoru koordinātas A B → \overright arrow(AB) A B, tas ir, vektors, kas vērsts no punkta A A A līdz punktam B B B, tās ir punktu atbilstošo koordinātu atšķirības B B B un A A A:

A B → = (8 - 1 , 7 - 4 , 3 - 9) = (7 , 3 , - 6) \overright bultiņa(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1 , 2 - 4 , 3 - 9) = (0 , - 2 , - 6) \overright bultiņa(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -8) \overright bultiņa(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, - astoņi)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Tagad mēs atrodam šo vektoru jaukto reizinājumu, šim nolūkam mēs veidojam trešās kārtas determinantu, vienlaikus pieņemot, ka A B → = a ⃗ \overright arrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) = 1 ⋅ (− 6) − 1 ⋅8 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Tas ir, tetraedra tilpums ir:

$V=61\cdot |$

Atbilde

$44.8\text{cm3 .}$

Izoedrāla tetraedra tilpuma formula gar tā malu

Šī formula ir derīga tikai izoedrāla tetraedra tilpuma aprēķināšanai, tas ir, tetraedram, kurā visas skalas ir identiski regulāri trīsstūri.

Izoedrāla tetraedra tilpums

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa ir tetraedra malas garums.

2. uzdevums

Atrodiet tetraedra tilpumu, ja tā mala ir vienāda ar $11\text{cm.}$

Risinājums

$a=11$

Aizstājējs a aa tetraedra tilpuma formulā:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Atbilde

$156.8\text{cm3 .}$

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC un punktu D, kas neatrodas šī trijstūra plaknē. Savienojiet šo punktu ar segmentiem ar trijstūra ABC virsotnēm. Rezultātā mēs iegūstam trīsstūrus ADC , CDB , ABD . Virsmu, ko ierobežo četri trīsstūri ABC, ADC, CDB un ABD, sauc par tetraedru un apzīmē ar DABC.
Trīsstūrus, kas veido tetraedru, sauc par tā skaldnēm.
Šo trīsstūru malas sauc par tetraedra malām. Un to virsotnes ir tetraedra virsotnes

Tetraedram ir 4 sejas, 6 ribas un 4 virsotnes.
Divas malas, kurām nav kopīgas virsotnes, sauc par pretējām.
Bieži vien ērtības labad tiek saukta viena no tetraedra skaldnēm pamats, un pārējās trīs sejas ir sānu malas.

Tādējādi tetraedrs ir vienkāršākais daudzskaldnis, kura skaldnes ir četri trīsstūri.

Taču ir arī taisnība, ka jebkura patvaļīga trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs. Tad arī ir taisnība, ka sauc tetraedru piramīda ar trīsstūri tās pamatnē.

Tetraedra augstums sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar punktu, kas atrodas pretējā pusē un ir tai perpendikulārs.
Tetraedra mediāna sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar pretējās skaldnes mediānu krustpunktu.
Bimedian tetraedrs sauc par segmentu, kas savieno tetraedra krustošanās malu viduspunktus.

Tā kā tetraedrs ir piramīda ar trīsstūra pamatni, jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu

• S ir jebkuras sejas laukums,
• H- augums pazemināts uz šīs sejas

Regulārais tetraedrs - īpašs tetraedra veids

Tiek saukts tetraedrs, kura visas skaldnes ir vienādmalu trijstūri pareizi.
Parasta tetraedra īpašības:

• Visas malas ir vienādas.
• Visi regulāra tetraedra plaknes leņķi ir 60°
• Tā kā katra no tās virsotnēm ir trīs regulāru trīsstūru virsotne, plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180°
• Jebkura regulāra tetraedra virsotne tiek projicēta uz pretējās skaldnes ortocentru (līdz trijstūra augstumu krustpunktam).

Piešķirsim regulāru tetraedru ABCD ar malām, kas vienādas ar a . DH ir tā augstums.
Izgatavosim papildus konstrukcijas BM - trijstūra ABC augstums un DM - trijstūra ACD augstums .
Augstums BM ir vienāds ar BM un vienāds
Apsveriet trīsstūri BDM , kur DH , kas ir tetraedra augstums, ir arī šī trijstūra augstums.
Trīsstūra augstumu, kas nokrīt uz malu MB, var atrast, izmantojot formulu

, kur
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Aizstājiet šīs vērtības augstuma formulā. gūt


Izņemsim 1/2a. gūt

Pielietojiet kvadrātu formulu starpību

Pēc dažām nelielām pārvērtībām mēs iegūstam


Jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu
,
kur ,

Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam

Tādējādi regulāra tetraedra tilpuma formula ir

kur a-tetraedra mala

Tetraedra tilpuma aprēķināšana, ja ir zināmas tā virsotņu koordinātas

Dosim mums tetraedra virsotņu koordinātas

Zīmējiet vektorus no virsotnes , , .
Lai atrastu katra no šiem vektoriem koordinātas, no beigu koordinātas atņemiet atbilstošo sākuma koordinātu. gūt