भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक कसे जोडायचे. अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार साधे अपूर्णांक नियम आणि उदाहरणे

मला स्वतःला या वस्तुस्थितीचा सामना करावा लागला की माझ्या मुलांसाठी अपूर्णांक हा एक कठीण विषय बनला.

खूप आहेत चांगला खेळनिकितिनचे अपूर्णांक, ते प्रीस्कूलरच्या मुलांसाठी आहेत, परंतु शाळेत ते मुलाला ते काय आहेत हे समजण्यास देखील मदत करेल - अपूर्णांक, त्यांचे एकमेकांशी असलेले नाते... आणि हे सर्व प्रवेशयोग्य, दृश्य आणि रोमांचक स्वरूपात.

त्यात बारा बहुरंगी वर्तुळे असतात. एक वर्तुळ संपूर्ण आहे, आणि बाकीचे सर्व समान भागांमध्ये विभागलेले आहेत - दोन, तीन.... (बारा पर्यंत).

मुलाला सोपी गेम टास्क पूर्ण करण्यास सांगितले जाते, उदाहरणार्थ:

वर्तुळांच्या भागांना काय म्हणतात? किंवा

कोणता भाग मोठा आहे? (मोठ्याच्या वर लहान ठेवा.)

या तंत्राने मला मदत केली. सर्वसाधारणपणे, मला खरोखर खेद वाटतो की मुले लहान असताना या सर्व निकितिन घडामोडींनी माझ्याकडे लक्ष दिले नाही.

तुम्ही हा गेम स्वतः बनवू शकता किंवा रेडीमेड खरेदी करू शकता आणि येथे प्रत्येक गोष्टीबद्दल अधिक जाणून घेऊ शकता.

लेगो विटांचा वापर करून अपूर्णांक सोडवणे देखील स्पष्ट केले जाऊ शकते. हे केवळ कल्पनाशक्तीच नव्हे तर सर्जनशीलता देखील विकसित करते तार्किक विचार, याचा अर्थ ते शिक्षण सहाय्य म्हणून देखील वापरले जाऊ शकते.

मुलांना गणिताच्या मूलभूत गोष्टी शिकवण्यासाठी प्रसिद्ध डिझायनरचे ब्लॉक्स वापरण्याची कल्पना ॲलिसिया झिमरमन यांना सुचली.

आणि लेगो वापरून अपूर्णांक कसे स्पष्ट करायचे ते येथे आहे.





सराव दर्शवितो की अपूर्णांक जोडताना (वजाबाकी) करताना सर्वात जास्त अडचणी येतात भिन्न भाजकआणि अपूर्णांकांचे विभाजन करताना.

पाठ्यपुस्तकातील चुकीच्या सूचनांमुळे अडचणी येतात, जसे की अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करणे.

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्ही पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करता.

चौथी इयत्तेतील मुलाला हे समजू शकते आणि गोंधळून जाऊ शकत नाही? नाही!

आणि शिक्षकाने आम्हाला ते प्राथमिक पद्धतीने समजावून सांगितले: आम्हाला दुसरा अपूर्णांक उलटून पुन्हा गुणाकार करावा लागेल!

जोडणीसह समान गोष्ट.

दोन अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करावा लागेल आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करावा, परिणामी संख्या जोडा आणि त्या अंशामध्ये लिहा. आणि भाजकामध्ये तुम्हाला अपूर्णांकांच्या भाजकांचा गुणाकार लिहावा लागेल. यानंतर, परिणामी अपूर्णांक कमी केला जाऊ शकतो (किंवा पाहिजे).

आणि हे सोपे आहे: अपूर्णांकांना सामान्य भाजकांपर्यंत कमी करा, जे भाजकांच्या LCM प्रमाणे आहे आणि नंतर अंश जोडा.

त्यांना स्पष्ट उदाहरणासह दाखवा. उदाहरणार्थ, सफरचंदचे 4 भाग करा, 8 भाग करा, संपूर्ण 12 भाग जोडा, अनेक भाग जोडा, वजा करा. त्याच वेळी, नियम वापरून कागदावर स्पष्ट करा. बेरीज आणि वजाबाकीचे नियम. अपूर्णांकांचे विभाजन करणे, तसेच अयोग्य अपूर्णांकापासून संपूर्ण कसे वेगळे करावे - सफरचंदासह हाताळणी करताना हे सर्व शिका. मुलांची घाई करू नका, त्यांना तुमच्या मदतीने काप काळजीपूर्वक क्रमवारी लावू द्या.

मुलांना अपूर्णांक सोडवायला शिकवणे, विशेषतः, अगदी सामान्य आहे आणि त्यामुळे जास्त त्रास होणार नाही. तुम्ही करू शकता सर्वात सोपी गोष्ट म्हणजे काहीतरी पूर्ण घ्या, उदाहरणार्थ एक टेंगेरिन किंवा इतर कोणतेही फळ, त्याचे भागांमध्ये विभाजन करा आणि या फळाच्या तुकड्यांसह वजाबाकी, बेरीज आणि इतर क्रिया दर्शविण्यासाठी एक उदाहरण वापरा, जे अपूर्णांक असतील. संपूर्ण सर्व काही स्पष्ट करणे आणि दर्शविणे आवश्यक आहे, आणि अंतिम घटक असेल गणिताची उदाहरणेमुल स्वतः ही कार्ये करायला शिकत नाही तोपर्यंत एकत्रितपणे समजावून सांगा आणि सोडवा.

वास्तविक वस्तूवर अपूर्णांक कशाशी आणि कसा दिसतो हे आकृती स्पष्टपणे दर्शवते, हे नेमके कसे स्पष्ट केले जाणे आवश्यक आहे.



आपल्याला या समस्येकडे पूर्णपणे संपर्क साधण्याची आवश्यकता आहे, कारण अपूर्णांक सोडवणे जीवनात उपयुक्त ठरेल. या प्रकरणात, ते म्हणतात त्याप्रमाणे, मुलांबरोबर समान पातळीवर राहणे आणि त्यांना समजलेल्या भाषेत सिद्धांत समजावून सांगणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, केक किंवा टेंजेरिनच्या भाषेत. तुम्हाला केक डू मध्ये विभाजित करणे आणि मित्रांना देणे आवश्यक आहे, त्यानंतर मुलाला अपूर्णांक सोडवण्याचे सार समजण्यास सुरवात होईल. जड अपूर्णांकांपासून सुरुवात करू नका, 1/2, 1/3, 1/10 च्या संकल्पनांसह प्रारंभ करा. प्रथम वजा आणि जोडा, आणि नंतर अधिक वर जा जटिल संकल्पनाजसे गुणाकार आणि भागाकार.

अपूर्णांकांच्या समस्या वेगवेगळ्या प्रकारच्या असतात. एका मुलाला हे समजू शकत नाही की एक सेकंद आणि पाच दशमांश समान गोष्ट आहेत, इतर एकाच भाजकात भिन्न अपूर्णांक आणून गोंधळात टाकतात आणि इतर अपूर्णांकांची विभागणी करून गोंधळात पडतात. त्यामुळे सर्व प्रसंगांसाठी एकच नियम नाही.

अपूर्णांकांचा समावेश असलेल्या समस्यांमधली मुख्य गोष्ट म्हणजे समजण्याजोगी गोष्ट संपते तेव्हा क्षण गमावू नका. स्टोव्हवर परत या आणि सर्व काही पुन्हा पुन्हा करा, जरी ते अत्यंत आदिम वाटत असले तरीही. उदाहरणार्थ, वर परत जा एक सेकंद काय आहे.

मुलाला हे समजले पाहिजे की गणिती संकल्पना अमूर्त आहेत, त्याच घटनेचे वर्णन केले जाऊ शकते वेगळ्या शब्दात, वेगवेगळ्या संख्येत व्यक्त.

मला Mefody66 ने दिलेले उत्तर आवडले. मी अनेक वर्षांच्या वैयक्तिक सरावातून जोडेल: अपूर्णांकांसह समस्या कशा सोडवायच्या हे शिकवणे (आणि अपूर्णांक सोडवणे नाही; अपूर्णांक सोडवणे अशक्य आहे, जसे की संख्या सोडवणे अशक्य आहे) अगदी सोपे आहे, आपल्याला फक्त मुलाच्या जवळ असणे आवश्यक आहे. जेव्हा तो प्रथम अशा समस्या सोडवण्यास सुरुवात करतो, आणि वेळेत त्याचे निराकरण करा जेणेकरून चुका, ज्या कोणत्याही शिक्षणात अपरिहार्य असतात, त्या मुलाच्या मनात पकडण्यास वेळ नसतो. काहीतरी नवीन शिकण्यापेक्षा पुन्हा शिकणे अधिक कठीण आहे. आणि अशा समस्या शक्य तितक्या सोडवा. अशा कार्यांचे निराकरण स्वयंचलिततेवर आणणे ही चांगली गोष्ट असेल. सह समस्या सोडविण्याची क्षमता सामान्य अपूर्णांकमध्ये महत्त्वानुसार शालेय अभ्यासक्रमगणित हे गुणाकार सारण्यांचे ज्ञान म्हणून समान स्थान व्यापते. त्यामुळे तुमचे मूल अशा समस्या कशा सोडवते हे पाहण्यासाठी तुम्ही वेळ काढला पाहिजे.

आणि पाठ्यपुस्तकावर जास्त विसंबून राहू नका: Mefody66 ने त्याच्या उत्तरात लिहिल्याप्रमाणे शाळांमधील शिक्षक स्पष्ट करतात. शिक्षकांशी बोलणे चांगले आहे, शिक्षकाने हा विषय कोणत्या शब्दात स्पष्ट केला आहे ते शोधा. आणि शक्य असल्यास समान शब्द आणि वाक्ये वापरा (मुलाला जास्त गोंधळात टाकू नये म्हणून)

तसेच: मी तुम्हाला फक्त स्पष्टीकरणाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर व्हिज्युअल उदाहरणे वापरण्याचा सल्ला देतो, नंतर त्वरीत अमूर्त करा आणि सोल्यूशन अल्गोरिदमकडे जा. अन्यथा, अधिक निराकरण करताना स्पष्टता हानिकारक असू शकते जटिल कार्ये. उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला 29 आणि 121 भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याची आवश्यकता असेल, तर कोणत्या प्रकारची व्हिज्युअल मदत मदत करेल? तो फक्त गोंधळात टाकेल.

अपूर्णांक हा अशा आशीर्वादित गणिती विषयांपैकी एक आहे जेथे लागू होणार नाही असे कोणतेही अमूर्त नाहीत. उत्पादने वापरली पाहिजेत (केकवर, हताश गृहिणींमध्ये जुआनिटा सोलिस - स्पष्टीकरणाची खरोखर छान पद्धत). हे सर्व अंश-भाजक नंतर येतात. मग मुलाला हे समजणे आवश्यक आहे की अपूर्णांकाने भागणे यापुढे कमी होणार नाही आणि गुणाकार वाढ नाही. येथे उलथापालथ करून गुणाकाराच्या स्वरूपात अपूर्णांकाने भागाकार कसा करायचा हे दाखवणे अधिक चांगले आहे. संक्षेप एक खेळकर मार्गाने सादर करा; जर ते एका संख्येने विभाजित केले तर विभाजित करा, जर तुम्हाला स्वारस्य असेल तर ते जवळजवळ सुडोकू होईल. मुख्य गोष्ट म्हणजे वेळेत गैरसमज लक्षात घेणे, कारण पुढे आणखी मनोरंजक विषय असतील जे समजणे सोपे नाही. म्हणून, अपूर्णांक सोडवण्याचा अधिक सराव करा आणि सर्वकाही लवकर चांगले होईल. माझ्यासाठी, शुद्ध मानवतावादी, अगदी थोड्याशा अमूर्ततेपासून दूर, इतर विषयांपेक्षा अपूर्णांक नेहमीच स्पष्ट राहिले आहेत.

• समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे
• भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे
• NOC ची संकल्पना
• अपूर्णांकांना समान भाजक कमी करणे
• पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक कसा जोडायचा

1 समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आवश्यक आहे, परंतु भाजक समान सोडा, उदाहरणार्थ:

समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ:

मिश्रित अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे संपूर्ण भाग स्वतंत्रपणे जोडणे आवश्यक आहे, आणि नंतर त्यांचे अपूर्णांक जोडणे आवश्यक आहे, आणि मिश्रित अपूर्णांक म्हणून परिणाम लिहा,

उदाहरण १:

उदाहरण २:

जर, अपूर्णांक जोडताना, तुम्हाला एक अयोग्य अपूर्णांक मिळाला, तर त्यातून संपूर्ण भाग निवडा आणि संपूर्ण भागामध्ये जोडा, उदाहरणार्थ:

2 भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी किंवा वजा करण्यासाठी, आपण प्रथम त्यांना समान भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे आणि नंतर या लेखाच्या सुरुवातीला दर्शविल्याप्रमाणे पुढे जा. अनेक अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक LCM (किमान सामान्य मल्टिपल) आहे. प्रत्येक अपूर्णांकाच्या अंशासाठी, LCM ला या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागून अतिरिक्त घटक सापडतात. एनओसी म्हणजे काय हे समजल्यानंतर आपण उदाहरण पाहू.

3 किमान सामान्य मल्टिपल (LCM)

दोन संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार (LCM) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी उर्वरित न सोडता दोन्ही संख्यांनी भागता येते. कधीकधी एलसीएम तोंडी आढळू शकते, परंतु अधिक वेळा, विशेषत: मोठ्या संख्येसह कार्य करताना, तुम्हाला खालील अल्गोरिदम वापरून, लिखित स्वरूपात एलसीएम शोधावे लागेल:

अनेक संख्यांचे LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे:

1. या संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये घटक करा
2. सर्वात मोठा विस्तार घ्या आणि या संख्यांना उत्पादन म्हणून लिहा
3. इतर विघटनांमध्ये सर्वात मोठ्या विघटनामध्ये न दिसणाऱ्या संख्या निवडा (किंवा त्यामध्ये कमी वेळा आढळतात) आणि त्या उत्पादनात जोडा.
4. उत्पादनातील सर्व संख्यांचा गुणाकार करा, हा LCM असेल.

उदाहरणार्थ, 28 आणि 21 संख्यांचे LCM शोधूया:

4 समान भाजक अपूर्णांक कमी करणे

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याकडे परत जाऊ.

जेव्हा आपण अपूर्णांकांना समान भाजकांपर्यंत कमी करतो, दोन्ही भाजकांच्या LCM प्रमाणे, तेव्हा आपण या अपूर्णांकांच्या अंशांचा गुणाकार केला पाहिजे अतिरिक्त गुणक. LCM ला संबंधित अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करून तुम्ही त्यांना शोधू शकता, उदाहरणार्थ:

अशा प्रकारे, समान घातांकापर्यंत अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्ही प्रथम या अपूर्णांकांच्या भाजकांची LCM (म्हणजेच दोन्ही भाजकांनी भागता येणारी सर्वात लहान संख्या) शोधणे आवश्यक आहे, त्यानंतर अपूर्णांकांच्या अंशांना अतिरिक्त घटक घालणे आवश्यक आहे. समान भाजक (CLD) ला संबंधित अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करून तुम्ही ते शोधू शकता. नंतर तुम्हाला प्रत्येक अपूर्णांकाचा अंश अतिरिक्त घटकाने गुणाकार करावा लागेल आणि LCM ला भाजक म्हणून ठेवावे लागेल.

5 पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक कसा जोडायचा

पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक जोडण्यासाठी, मिश्र अपूर्णांक तयार करण्यासाठी तुम्ही फक्त ती संख्या अपूर्णांकाच्या आधी जोडता, उदाहरणार्थ:

जर आपण पूर्ण संख्या आणि मिश्रित अपूर्णांक जोडला तर आपण ती संख्या अपूर्णांकाच्या पूर्ण संख्येच्या भागामध्ये जोडू, उदाहरणार्थ:

प्रशिक्षक १

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे.

वेळ मर्यादा: 0

नेव्हिगेशन (केवळ जॉब नंबर)

20 पैकी 0 कार्ये पूर्ण झाली

माहिती

ही चाचणी सारख्या भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याची तुमची क्षमता तपासते. या प्रकरणात, दोन नियमांचे पालन करणे आवश्यक आहे:

• जर परिणाम अयोग्य अपूर्णांक असेल, तर तुम्हाला ते मिश्र संख्येमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.
• जर एखादा अपूर्णांक लहान करता येत असेल, तर तो निश्चित करा, अन्यथा चुकीचे उत्तर मोजले जाईल.

तुम्ही यापूर्वीही परीक्षा दिली आहे. तुम्ही ते पुन्हा सुरू करू शकत नाही.

चाचणी लोड करत आहे...

चाचणी सुरू करण्यासाठी तुम्ही लॉग इन किंवा नोंदणी करणे आवश्यक आहे.

हे सुरू करण्यासाठी तुम्ही खालील चाचण्या पूर्ण केल्या पाहिजेत:

परिणाम

बरोबर उत्तरे: 20 पैकी 0

तुमचा वेळ:

वेळ संपली आहे

तुम्ही 0 पैकी 0 गुण मिळवले (0)

1. उत्तरासह
2. पाहण्याच्या चिन्हासह

अपूर्णांक असलेली उदाहरणे हे गणिताच्या मूलभूत घटकांपैकी एक आहेत. अपूर्णांकांसह समीकरणांचे अनेक प्रकार आहेत. खाली आहे तपशीलवार सूचनाया प्रकारची उदाहरणे सोडवण्यासाठी.

अपूर्णांकांसह उदाहरणे कशी सोडवायची - सामान्य नियम

बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार किंवा भागाकार कोणत्याही प्रकारच्या अपूर्णांकांसह उदाहरणे सोडवण्यासाठी, तुम्हाला मूलभूत नियम माहित असणे आवश्यक आहे:

• समान भाजक (भाजक हा अपूर्णांकाच्या तळाशी असलेली संख्या आहे, शीर्षस्थानी अंश) अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे.
• एका अपूर्णांकातून दुसरी अपूर्णांक अभिव्यक्ती (समान भाजकासह) वजा करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे.
• भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी किंवा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधणे आवश्यक आहे.
• अंशात्मक उत्पादन शोधण्यासाठी, आपल्याला अंश आणि भाजक गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि शक्य असल्यास, कमी करणे आवश्यक आहे.
• अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्ही पहिल्या अपूर्णांकाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाने उलट करून गुणाकार करता.

अपूर्णांकांसह उदाहरणे कशी सोडवायची - सराव

नियम १, उदाहरण १:

3/4 +1/4 ची गणना करा.

नियम 1 नुसार, जर दोन (किंवा अधिक) अपूर्णांकांचा भाजक समान असेल, तर तुम्ही फक्त त्यांचे अंक जोडता. आम्हाला मिळते: 3/4 + 1/4 = 4/4. अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक समान असल्यास, अपूर्णांक 1 असेल.

उत्तर: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

नियम 2, उदाहरण 1:

गणना करा: 3/4 - 1/4

नियम क्रमांक 2 वापरून, हे समीकरण सोडवण्यासाठी तुम्हाला 3 मधून 1 वजा करणे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे. आम्हाला 2/4 मिळतात. दोन 2 आणि 4 कमी करता येत असल्याने, आम्ही कमी करतो आणि 1/2 मिळवतो.

उत्तर: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

नियम ३, उदाहरण १

गणना करा: 3/4 + 1/6

उपाय: 3 रा नियम वापरून, आपण सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधतो. सर्वात कमी सामान्य भाजक ही संख्या आहे जी उदाहरणातील सर्व अपूर्णांक अभिव्यक्तींच्या भाजकांद्वारे विभाज्य आहे. म्हणून आपल्याला असे काहीतरी शोधण्याची आवश्यकता आहे किमान संख्या, ज्याला 4 आणि 6 दोन्हीने भाग जाईल. ही संख्या 12 आहे. आपण 12 ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागतो, आपल्याला 3 मिळतो, 3 ने गुणाकार करतो, 3 * 3 आणि + चिन्ह लिहू शकतो. अंशामध्ये 12 ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागा, आपल्याला 2 मिळेल, 2 ला 1 ने गुणाकार करा, अंशामध्ये 2*1 लिहा. तर, आपल्याला १२ च्या बरोबरीचा भाजक आणि ३*३+२*१=११ च्या बरोबरीचा एक नवीन अपूर्णांक मिळेल. 11/12.

उत्तर: 11/12

नियम ३, उदाहरण २:

3/4 - 1/6 ची गणना करा. हे उदाहरण मागील उदाहरणासारखेच आहे. आपण सर्व समान चरण करतो, परंतु अंशामध्ये + चिन्हाऐवजी, आपण वजा चिन्ह लिहितो. आम्हाला मिळते: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

उत्तर: 7/12

नियम ४, उदाहरण १:

गणना करा: 3/4 * 1/4

चौथा नियम वापरून, आपण पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्याच्या भाजकाने आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्याच्या अंशाने गुणाकार करतो. ३*१/४*४ = ३/१६.

उत्तर: 3/16

नियम ४, उदाहरण २:

2/5 * 10/4 गणना करा.

हा अंश कमी करता येतो. उत्पादनाच्या बाबतीत, पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश आणि दुसऱ्याचा भाजक आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश आणि पहिल्याचा भाजक रद्द केला जातो.

4 वरून 2 रद्द. 5 वरून 10 रद्द. आम्हाला 1 * 2/2 = 1*1 = 1 मिळेल.

उत्तर: 2/5 * 10/4 = 1

नियम 5, उदाहरण 1:

गणना करा: 3/4: 5/6

5 व्या नियमाचा वापर करून, आम्हाला मिळते: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. आम्ही मागील उदाहरणाच्या तत्त्वानुसार अपूर्णांक कमी करतो आणि 9/10 मिळवतो.

उत्तर: 9/10.

अपूर्णांकांसह उदाहरणे कशी सोडवायची - अपूर्णांक समीकरणे

अपूर्णांक समीकरणे ही अशी उदाहरणे आहेत जिथे भाजक अज्ञात असतात. अशा समीकरणाचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला काही नियम वापरण्याची आवश्यकता आहे.

चला एक उदाहरण पाहू:

15/3x+5 = 3 हे समीकरण सोडवा

आपण हे लक्षात ठेवूया की आपण शून्याने भागू शकत नाही, म्हणजे. भाजक मूल्य शून्य नसावे. अशी उदाहरणे सोडवताना, हे सूचित केले पाहिजे. या उद्देशासाठी, एक OA (अनुमत मूल्य श्रेणी) आहे.

तर 3x+5 ≠ 0.
म्हणून: 3x ≠ 5.
x ≠ ५/३

x = 5/3 वर समीकरणाला कोणतेही समाधान नाही.

ODZ सूचित केल्यावर, सर्वोत्तम शक्य मार्गानेठरवा दिलेले समीकरणअपूर्णांकांपासून मुक्ती मिळेल. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रथम सर्व नॉन-फॅक्शनल व्हॅल्यूज अपूर्णांक म्हणून सादर करतो, या प्रकरणात संख्या 3. आम्हाला मिळते: 15/(3x+5) = 3/1. अपूर्णांकांपासून मुक्त होण्यासाठी तुम्हाला त्या प्रत्येकाचा सर्वात कमी सामान्य भाजकाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात ते (3x+5)*1 असेल. अनुक्रम:

1. 15/(3x+5) ला (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ने गुणा.
2. कंस उघडा: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. आपण समीकरणाच्या उजव्या बाजूने असेच करतो: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. डाव्या आणि उजव्या बाजू समान करा: 45x + 75 = 9x +15
5. X ला डावीकडे, संख्या उजवीकडे हलवा: 36x = – 50
6. शोधा x: x = -50/36.
7. आम्ही कमी करतो: -50/36 = -25/18

उत्तर: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

अपूर्णांकांसह उदाहरणे कशी सोडवायची - अंशात्मक असमानता

(3x-5)/(2-x)≥0 प्रकारातील अंशात्मक असमानता संख्या अक्ष वापरून सोडवली जाते. हे उदाहरण पाहू.

अनुक्रम:

• आम्ही अंश आणि भाजक शून्याशी समान करतो: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• आम्ही चित्र काढत आहोत संख्या अक्ष, त्यावर परिणामी मूल्ये लिहा.
• मूल्याखाली वर्तुळ काढा. दोन प्रकारची मंडळे आहेत - भरलेली आणि रिकामी. भरलेले वर्तुळ म्हणजे दिलेले मूल्यसमाधानाच्या श्रेणीमध्ये समाविष्ट आहे. रिक्त वर्तुळ सूचित करते की हे मूल्य समाधान श्रेणीमध्ये समाविष्ट केलेले नाही.
• भाजक शून्याच्या बरोबरीने असू शकत नसल्यामुळे, 2ऱ्याच्या खाली एक रिकामे वर्तुळ असेल.

• चिन्हे निश्चित करण्यासाठी, आम्ही समीकरणामध्ये दोन पेक्षा मोठी कोणतीही संख्या बदलतो, उदाहरणार्थ 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. मूल्य ऋण आहे, याचा अर्थ आपण क्षेत्राच्या वर दोन नंतर वजा लिहू. नंतर X ला 5/3 ते 2 पर्यंतच्या अंतराच्या कोणत्याही मूल्याची जागा घ्या, उदाहरणार्थ 1. मूल्य पुन्हा ऋण आहे. आम्ही एक वजा लिहितो. आम्ही 5/3 पर्यंत स्थित क्षेत्रासह समान पुनरावृत्ती करतो. आम्ही 5/3 पेक्षा कमी असलेली कोणतीही संख्या बदलतो, उदाहरणार्थ 1. पुन्हा, वजा.

• x च्या मूल्यांमध्ये आपल्याला स्वारस्य असल्याने अभिव्यक्ती 0 पेक्षा मोठी किंवा समान असेल आणि अशी कोणतीही मूल्ये नाहीत (सर्वत्र वजा आहेत), या असमानतेला कोणतेही समाधान नाही, म्हणजेच x = Ø (रिक्त संच).

उत्तर: x = Ø

लेखात आम्ही दर्शवू अपूर्णांक कसे सोडवायचेसाधी, समजण्यासारखी उदाहरणे वापरून. चला अपूर्णांक काय आहे ते शोधू आणि विचार करू अपूर्णांक सोडवणे!

संकल्पना अपूर्णांकमाध्यमिक शाळेच्या 6 व्या इयत्तेपासून सुरू होणाऱ्या गणिताच्या अभ्यासक्रमांमध्ये प्रवेश केला जातो.

अपूर्णांकांचे स्वरूप आहे: ±X/Y, जेथे Y हा भाजक आहे, तो संपूर्ण भाग किती भागांमध्ये विभागला गेला हे सांगते आणि X हा अंश आहे, असे किती भाग घेतले गेले ते सांगते. स्पष्टतेसाठी, केकचे उदाहरण घेऊ:

पहिल्या प्रकरणात, केक समान रीतीने कापला गेला आणि एक अर्धा घेतला गेला, म्हणजे. 1/2. दुसऱ्या प्रकरणात, केक 7 भागांमध्ये कापला गेला, ज्यापैकी 4 भाग घेतले गेले, म्हणजे. ४/७.

एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने विभाजित करण्याचा भाग पूर्ण संख्या नसेल तर तो अपूर्णांक म्हणून लिहिला जातो.

उदाहरणार्थ, 4:2 = 2 ही अभिव्यक्ती पूर्णांक देते, परंतु 4:7 संपूर्ण भागाने भागता येत नाही, म्हणून ही अभिव्यक्ती 4/7 अपूर्णांक म्हणून लिहिली जाते.

दुसऱ्या शब्दात अपूर्णांकही एक अभिव्यक्ती आहे जी दोन संख्या किंवा अभिव्यक्तींचे विभाजन दर्शवते आणि जी फ्रॅक्शनल स्लॅश वापरून लिहिली जाते.

जर अंश भाजकापेक्षा कमी असेल तर अपूर्णांक योग्य असेल तर उलट असेल तर तो अयोग्य अपूर्णांक आहे. अपूर्णांकात पूर्ण संख्या असू शकते.

उदाहरणार्थ, 5 संपूर्ण 3/4.

या नोंदीचा अर्थ असा आहे की संपूर्ण 6 मिळविण्यासाठी, चारपैकी एक भाग गहाळ आहे.

आठवायचे असेल तर, सहाव्या वर्गासाठी अपूर्णांक कसे सोडवायचे, तुम्हाला ते समजून घेणे आवश्यक आहे अपूर्णांक सोडवणे, मुळात, काही सोप्या गोष्टी समजून घेण्यासाठी खाली येतो.

• अपूर्णांक ही मूलत: अपूर्णांकाची अभिव्यक्ती असते. म्हणजेच, दिलेले मूल्य एका संपूर्ण भागाचे आहे याची संख्यात्मक अभिव्यक्ती. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक 3/5 व्यक्त करतो की जर आपण एखाद्या संपूर्ण गोष्टीला 5 भागांमध्ये विभागले आणि या संपूर्ण भागांची संख्या किंवा भागांची संख्या तीन असेल.
• अपूर्णांक 1 पेक्षा कमी असू शकतो, उदाहरणार्थ 1/2 (किंवा अनिवार्यपणे अर्धा), तर ते बरोबर आहे. जर अपूर्णांक 1 पेक्षा जास्त असेल, उदाहरणार्थ 3/2 (तीन अर्धे किंवा दीड), तर ते चुकीचे आहे आणि उपाय सोपे करण्यासाठी, संपूर्ण भाग 3/2 = 1 संपूर्ण 1 निवडणे आपल्यासाठी चांगले आहे. /2.
• अपूर्णांक 1, 3, 10 आणि अगदी 100 सारख्याच संख्या आहेत, फक्त संख्या पूर्ण संख्या नसून अपूर्णांक आहेत. तुम्ही त्यांच्यासोबत संख्यांप्रमाणेच सर्व ऑपरेशन्स करू शकता. अपूर्णांक मोजणे अधिक कठीण नाही आणि आम्ही विशिष्ट उदाहरणांसह हे पुढे दाखवू.

अपूर्णांक कसे सोडवायचे. उदाहरणे.

अपूर्णांकांवर विविध प्रकारचे अंकगणितीय क्रिया लागू होतात.

अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे

उदाहरणार्थ, तुम्हाला 3/4 आणि 4/5 अपूर्णांकांची तुलना करणे आवश्यक आहे.

समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधतो, म्हणजे. अपूर्णांकांच्या प्रत्येक भाजकाने भाग न घेता सर्वात लहान संख्या

किमान सामान्य भाजक(4.5) = 20

नंतर दोन्ही अपूर्णांकांचा भाजक सर्वात कमी सामान्य भाजकापर्यंत कमी केला जातो

उत्तर: 15/20

अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे

दोन अपूर्णांकांची बेरीज काढणे आवश्यक असल्यास, ते प्रथम सामान्य भाजकावर आणले जातात, नंतर अंश जोडले जातात, तर भाजक अपरिवर्तित राहतात. अपूर्णांकांमधील फरक त्याच प्रकारे मोजला जातो, फरक एवढाच आहे की अंशांची वजाबाकी केली जाते.

उदाहरणार्थ, तुम्हाला 1/2 आणि 1/3 अपूर्णांकांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे

आता 1/2 आणि 1/4 या अपूर्णांकांमधील फरक शोधू

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार

येथे अपूर्णांक सोडवणे कठीण नाही, येथे सर्वकाही अगदी सोपे आहे:

• गुणाकार - अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक एकत्र गुणाकार केले जातात;
• भागाकार - प्रथम आपल्याला दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अपूर्णांक व्युत्क्रम मिळतो, म्हणजे. आम्ही त्याचे अंश आणि भाजक स्वॅप करतो, त्यानंतर आम्ही परिणामी अपूर्णांकांचा गुणाकार करतो.

उदाहरणार्थ:

त्याबद्दल आहे अपूर्णांक कसे सोडवायचे, सर्व. तुम्हाला अजून काही प्रश्न असतील तर अपूर्णांक सोडवणे, काहीतरी अस्पष्ट असल्यास, टिप्पण्यांमध्ये लिहा आणि आम्ही निश्चितपणे तुम्हाला उत्तर देऊ.

जर तुम्ही शिक्षक असाल तर त्यासाठी सादरीकरण डाउनलोड करणे शक्य आहे प्राथमिक शाळा(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरेल.

अपूर्णांकांसह क्रिया.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

तर, अपूर्णांक काय आहेत, अपूर्णांकांचे प्रकार, परिवर्तन - आम्हाला आठवले. चला मुख्य मुद्द्याकडे जाऊया.

आपण अपूर्णांकांसह काय करू शकता?होय, सर्व काही सामान्य संख्यांप्रमाणेच आहे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार.

या सर्व क्रिया सह दशांशअपूर्णांकांसह कार्य करणे पूर्ण संख्येसह कार्य करण्यापेक्षा वेगळे नाही. वास्तविक, त्यांच्याबद्दल तेच चांगले आहे, दशांश. फक्त एक गोष्ट अशी आहे की आपल्याला स्वल्पविराम योग्यरित्या ठेवणे आवश्यक आहे.

मिश्र संख्या, मी आधीच म्हटल्याप्रमाणे, बहुतेक क्रियांसाठी फारसा उपयोग नाही. त्यांना अजूनही सामान्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

पण सह क्रिया सामान्य अपूर्णांकते अधिक धूर्त असतील. आणि बरेच काही महत्वाचे! मी तुम्हाला आठवण करून देतो: अक्षरे, साइन्स, अनोळखी इत्यादिसह अपूर्णांक अभिव्यक्ती असलेल्या सर्व क्रिया सामान्य अपूर्णांक असलेल्या क्रियांपेक्षा वेगळ्या नसतात.! सामान्य अपूर्णांकांसह ऑपरेशन्स सर्व बीजगणितांसाठी आधार आहेत. या कारणास्तव आपण या सर्व अंकगणिताचे येथे तपशीलवार विश्लेषण करू.

अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे.

प्रत्येकजण समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडू शकतो (वजाबाकी) (मला खरोखर आशा आहे!). बरं, जे पूर्णपणे विसरले आहेत त्यांना मी आठवण करून देतो: बेरीज (वजाबाकी) करताना, भाजक बदलत नाही. निकालाचा अंश देण्यासाठी अंश जोडले जातात (वजाबाकी). प्रकार:

थोडक्यात, सामान्य शब्दात:

भाजक वेगळे असतील तर? मग, अपूर्णांकाचा मूळ गुणधर्म वापरून (येथे ते पुन्हा उपयोगी पडते!), आम्ही भाजक समान बनवतो! उदाहरणार्थ:

येथे आपल्याला अपूर्णांक 2/5 वरून 4/10 बनवायचा होता. भाजकांना समान बनवण्याच्या एकमेव हेतूने. मी लक्षात घेतो, फक्त बाबतीत, ते 2/5 आणि 4/10 आहेत समान अंश! फक्त 2/5 आमच्यासाठी अस्वस्थ आहेत, आणि 4/10 खरोखर ठीक आहेत.

तसे, हे कोणत्याही गणिताच्या समस्यांचे निराकरण करण्याचे सार आहे. जेव्हा आम्ही पासून अस्वस्थआम्ही अभिव्यक्ती करतो समान गोष्ट, परंतु निराकरण करण्यासाठी अधिक सोयीस्कर.

दुसरे उदाहरण:

परिस्थितीही तशीच आहे. येथे आपण 16 वरून 48 करतो. 3 ने साध्या गुणाकाराने. हे सर्व स्पष्ट आहे. परंतु आम्हाला असे काहीतरी आढळले:

कसे असावे?! सात पैकी नऊ करणे कठीण आहे! पण आम्ही हुशार आहोत, आम्हाला नियम माहित आहेत! चला परिवर्तन करूया प्रत्येकअपूर्णांक जेणेकरून भाजक समान असतील. याला "सामान्य भाजक कमी करा" असे म्हणतात:

व्वा! मला 63 बद्दल कसे कळले? अगदी साधे! 63 ही एक संख्या आहे जी एकाच वेळी 7 आणि 9 ने भाग जाते. अशी संख्या नेहमी भाजकांचा गुणाकार करून मिळवता येते. जर आपण एखाद्या संख्येचा 7 ने गुणाकार केला, उदाहरणार्थ, तर परिणाम नक्कीच 7 ने भाग जाईल!

जर तुम्हाला अनेक अपूर्णांक जोडायचे असतील (वजाबाकी करा), तर ते जोड्यांमध्ये, टप्प्याटप्प्याने करण्याची गरज नाही. तुम्हाला फक्त सर्व अपूर्णांकांसाठी समान भाजक शोधण्याची आणि प्रत्येक अपूर्णांकाला समान भाजक कमी करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ:

आणि सामान्य भाजक काय असेल? तुम्ही अर्थातच 2, 4, 8 आणि 16 चा गुणाकार करू शकता. आम्हाला 1024 मिळेल. दुःस्वप्न. 16 ही संख्या 2, 4 आणि 8 ने पूर्णतः निःभाज्य आहे याचा अंदाज लावणे सोपे आहे. म्हणून, या संख्यांवरून 16 मिळवणे सोपे आहे. ही संख्या सामान्य भाजक असेल. चला 1/2 ला 8/16 मध्ये, 3/4 ला 12/16 मध्ये बदलू आणि असेच.

तसे, जर तुम्ही 1024 सामान्य भाजक म्हणून घेतले तर सर्वकाही कार्य करेल, शेवटी सर्वकाही कमी होईल. परंतु गणनांमुळे प्रत्येकजण या टोकापर्यंत पोहोचणार नाही ...

स्वतःचे उदाहरण पूर्ण करा. काही प्रकारचे लॉगरिदम नाही... ते २९/१६ असावे.

तर, अपूर्णांकांची बेरीज (वजाबाकी) स्पष्ट आहे, मला आशा आहे? अर्थात, अतिरिक्त मल्टीप्लायर्ससह, लहान आवृत्तीमध्ये कार्य करणे सोपे आहे. पण ज्यांनी प्रामाणिकपणे काम केले त्यांना हा आनंद मिळतो कनिष्ठ वर्ग... आणि मी काहीही विसरलो नाही.

आणि आता आपण त्याच क्रिया करू, परंतु अपूर्णांकांसह नाही, परंतु सह अपूर्णांक अभिव्यक्ती. येथे नवीन रेक उघड होईल, होय...

तर, आपल्याला दोन अंशात्मक अभिव्यक्ती जोडण्याची आवश्यकता आहे:

आपल्याला भाजक समान बनवण्याची गरज आहे. आणि फक्त मदतीने गुणाकार! अपूर्णांकाची मुख्य मालमत्ता हेच ठरवते. म्हणून, मी भाजकातील पहिल्या अपूर्णांकामध्ये X मध्ये एक जोडू शकत नाही. (ते बर होईल!). परंतु जर तुम्ही भाजकांचा गुणाकार केला तर तुम्ही पहा, सर्वकाही एकत्र वाढते! म्हणून आम्ही अपूर्णांकाची ओळ लिहून ठेवतो, शीर्षस्थानी एक रिकामी जागा सोडतो, नंतर ती जोडतो, आणि विसरु नये म्हणून खाली भाजकांचे उत्पादन लिहितो:

आणि, अर्थातच, आम्ही उजव्या बाजूला काहीही गुणाकार करत नाही, आम्ही कंस उघडत नाही! आणि आता, उजव्या बाजूला असलेल्या सामान्य भाजकाकडे पाहताना, आम्हाला जाणवले: पहिल्या अपूर्णांकात x(x+1) भाजक मिळविण्यासाठी, तुम्हाला या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक (x+1) ने गुणाकार करावा लागेल. . आणि दुसऱ्या अपूर्णांकात - x पर्यंत. हे तुम्हाला मिळते:

लक्षात ठेवा! हे कंस आहेत! हा तो रेक आहे ज्यावर बरेच लोक पाय ठेवतात. कंस नाही, अर्थातच, परंतु त्यांची अनुपस्थिती. कंस दिसतात कारण आपण गुणाकार करतो सर्वअंश आणि सर्वभाजक आणि त्यांचे वैयक्तिक तुकडे नाही ...

उजव्या बाजूच्या अंशामध्ये आपण अंशांची बेरीज लिहितो, सर्व काही संख्यात्मक अपूर्णांकांप्रमाणे आहे, नंतर आपण उजव्या बाजूच्या अंशामध्ये कंस उघडतो, म्हणजे. आम्ही सर्वकाही गुणाकार करतो आणि समान देतो. भाजकांमध्ये कंस उघडण्याची किंवा काहीही गुणाकार करण्याची गरज नाही! सर्वसाधारणपणे, भाजकांमध्ये (कोणत्याही) उत्पादन नेहमीच अधिक आनंददायी असते! आम्हाला मिळते:

तर आम्हाला उत्तर मिळाले. प्रक्रिया लांब आणि कठीण दिसते, परंतु ती सरावावर अवलंबून असते. एकदा तुम्ही उदाहरणे सोडवलीत, सवय लावा, सर्वकाही सोपे होईल. ज्यांनी वेळेत अपूर्णांकांवर प्रभुत्व मिळवले आहे ते ही सर्व ऑपरेशन्स एका डाव्या हाताने आपोआप करतात!

आणि आणखी एक टीप. बरेचजण अपूर्णांकांशी हुशारीने व्यवहार करतात, परंतु उदाहरणांवर अडकतात संपूर्णसंख्या जसे: 2 + 1/2 + 3/4= ? दोन-तुकडा कुठे बांधायचा? तुम्हाला ते कुठेही बांधण्याची गरज नाही, तुम्हाला दोनपैकी एक भाग बनवायचा आहे. हे सोपे नाही, परंतु खूप सोपे आहे! २=२/१. याप्रमाणे. कोणतीही पूर्ण संख्या अपूर्णांक म्हणून लिहिता येते. अंश ही संख्याच आहे, भाजक एक आहे. 7 म्हणजे 7/1, 3 म्हणजे 3/1 वगैरे. अक्षरांचेही तसेच आहे. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, इ. आणि मग आम्ही सर्व नियमांनुसार या अपूर्णांकांसह कार्य करतो.

बरं, अपूर्णांकांच्या बेरीज-वजाबाकीचं ज्ञान ताजेतवाने झालं. अपूर्णांकांचे एका प्रकारातून दुसऱ्या प्रकारात रूपांतर करणे पुनरावृत्ती होते. तुम्ही देखील तपासू शकता. थोडं ठरवू का?)

गणना करा:

उत्तरे (अस्वस्थपणे):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

अपूर्णांकांचा गुणाकार/भागाकार - पुढील पाठात. अपूर्णांकांसह सर्व ऑपरेशन्ससाठी कार्ये देखील आहेत.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.