बहुपदांची विभागणी. गणित मला समाधानासह भागाकार बहुपदी उदाहरणे आवडतात

ते आवश्यक असू द्या

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

येथे उत्पादन (2x 3 - 7x 2 + x + 1) आणि एक घटक (2x - 1) दिलेला आहे, - आपल्याला दुसरा घटक शोधण्याची आवश्यकता आहे. या उदाहरणात, हे लगेच स्पष्ट होते (परंतु हे सर्वसाधारणपणे स्थापित केले जाऊ शकत नाही) की इतर, इच्छित, घटक किंवा भागफल देखील बहुपदी आहे. हे स्पष्ट आहे कारण या उत्पादनात 4 अटी आहेत आणि हा गुणक फक्त 2 आहे. तथापि, इच्छित गुणकाला किती संज्ञा आहेत हे आधीच सांगणे अशक्य आहे: 2 अटी, 3 अटी इत्यादी असू शकतात. लक्षात ठेवा की सर्वोच्च पद एका घटकाच्या सर्वोच्च पदाचा दुसऱ्या गुणाकाराच्या सर्वोच्च पदाने गुणाकार केल्याने गुणाकार नेहमी निघतो (बहुपदीचा बहुपदीने गुणाकार पहा) आणि यासारख्या संज्ञा असू शकत नाहीत, आम्हाला खात्री आहे की 2x 3 (उच्चतम पद हे उत्पादन) 2x गुणाकार (या घटकाची सर्वोच्च संज्ञा) शोधलेल्या गुणाकाराच्या अज्ञात अग्रगण्य पदाने होईल. शेवटचा शोधण्यासाठी, म्हणून, आपल्याला 2x 3 ने 2x ने भागावे लागेल - आपल्याला x 2 मिळेल. हे खासगीचे ज्येष्ठ सदस्य डॉ.

तेव्हा लक्षात ठेवा की बहुपदीला बहुपदीने गुणाकारताना, एका बहुपदीच्या प्रत्येक पदाचा दुसऱ्या पदाच्या प्रत्येक पदाने गुणाकार केला पाहिजे. म्हणून, हा गुणाकार (2x 3 - 7x 2 + x + 1) हा विभाजक (2x - 1) आणि भागाच्या सर्व पदांचा गुणाकार आहे. पण आता आपण भाजकाचा गुणाकार आणि भागफलाचा पहिला (सर्वोच्च) सदस्य शोधू शकतो, म्हणजे (2x - 1) ∙ x 2; आम्हाला 2x 3 - x 2 मिळेल. भागाकाराच्या सर्व संज्ञांनुसार (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) विभाजकाचे गुणाकार जाणून घेणे आणि भागाच्या 1ल्या पदावरून (it = 2x 3 - x 2) विभाजकाचे गुणाकार जाणून घेणे. वजाबाकी आपण खाजगी सदस्यांचा 1ला सदस्य वगळता इतर सर्वांनी भागाकाराचा गुणाकार शोधू शकतो. मिळवा

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

या उर्वरित उत्पादनाची सर्वोच्च पद (–6x 2) ही भाजकाच्या सर्वोच्च पदाची (2x) गुणाकार आणि उरलेली सर्वोच्च पद (1ली पद वगळता) भागफलाची उत्पत्ती असणे आवश्यक आहे. येथून आपल्याला उर्वरित भागाचे वरिष्ठ पद सापडते. आम्हाला -6x 2 ÷ 2x आवश्यक आहे, आम्हाला -3x मिळेल. इच्छित भागफलाची ही दुसरी संज्ञा आहे. आपण पुन्हा विभाजक (2x - 1) आणि दुसरा, नुकताच सापडलेला, भागफल पद, म्हणजे -3x शोधू शकतो.

आम्हाला मिळते (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. या संपूर्ण गुणाकारातून, आम्ही भागफलाच्या 1ल्या पदाने भाजकाचा गुणाकार आधीच वजा केला आहे आणि उर्वरित -6x 2 + x + 1 मिळवला आहे, जो 1ला, अटी वगळता उर्वरित भागाकाराचा गुणाकार आहे. भागाचे. त्यातून नुकतेच सापडलेले उत्पादन -6x 2 + 3x वजा केल्यास, आपल्याला उरलेला भाग मिळतो, जो भागफलाचे सदस्य 1ला आणि 2रा वगळता इतर सर्वांनी भागाकाराचा गुणाकार आहे:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

या उर्वरित उत्पादनाच्या (–2x) वरिष्ठ पदाला विभाजकाच्या वरिष्ठ पदाने (2x) विभाजित केल्यास, आम्हाला उर्वरित भागाचे वरिष्ठ पद किंवा तिसरे पद मिळते, (–2x) ÷ 2x = –1, ही भागफलाची 3री संज्ञा आहे.

भाजकाला त्याचा गुणाकार केल्याने मिळते

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

भाजकाचा हा गुणाकार आत्तापर्यंत उरलेल्या संपूर्ण उत्पादनातून भागफलाच्या 3र्या पदाने वजा करणे, उदा.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

आपण पाहणार आहोत की आपल्या उदाहरणामध्ये गुणांक = 0 चे सदस्य 1 ला, 2रा आणि 3रा वगळता उर्वरित भागांमध्ये उत्पादन विभागले गेले आहे, ज्यावरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की भागाला अधिक सदस्य नाहीत, म्हणजे.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

मागील वरून आपण पाहतो: 1) उतरत्या शक्तींमध्ये लाभांश आणि विभाजकाच्या अटींची मांडणी करणे सोयीचे आहे, 2) गणना करण्यासाठी काही प्रकारचे क्रम स्थापित करणे आवश्यक आहे. अशा सोयीस्कर क्रमाचा विचार केला जाऊ शकतो जो अंकगणितामध्ये बहु-मूल्य असलेल्या संख्यांना विभाजित करताना वापरला जातो. त्याचे अनुसरण करून, आम्ही मागील सर्व गणिते खालीलप्रमाणे मांडतो (अधिक संक्षिप्त स्पष्टीकरण बाजूला दिले आहेत):

येथे आवश्यक असलेली वजाबाकी सबट्राहेंडच्या अटींच्या चिन्हे बदलून केली जातात आणि ही परिवर्तनीय चिन्हे वर लिहिली जातात.

होय, लिहिले आहे

याचा अर्थ: सबट्राहेंड 2x 3 - x 2 होता, आणि चिन्हे बदलल्यानंतर, आम्हाला -2x 3 + x 2 मिळाले.

गणनेच्या स्वीकृत व्यवस्थेमुळे, लाभांश आणि भागाकाराच्या अटी उतरत्या शक्तींमध्ये मांडल्या गेल्यामुळे आणि दोन्ही बहुपदींमध्ये x अक्षराच्या अंश प्रत्येक वेळी 1 ने खाली जातात या वस्तुस्थितीमुळे, ते वळले. अशा संज्ञा एकमेकांच्या खाली लिहिल्या जातात (उदाहरणार्थ: –7x 2 आणि +x 2) त्यांना कास्ट करणे सोपे का आहे. हे लक्षात घेतले जाऊ शकते की गणनाच्या प्रत्येक क्षणी लाभांशाच्या सर्व सदस्यांची आवश्यकता नसते. उदाहरणार्थ, ज्या क्षणी भागफलाची दुसरी संज्ञा आढळली त्या क्षणी +1 शब्दाची आवश्यकता नाही आणि गणनाचा हा भाग सरलीकृत केला जाऊ शकतो.

अधिक उदाहरणे:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

a अक्षरे उतरत्या शक्तींमध्ये आणि लाभांश आणि भाजकात लावा:

(लक्षात घ्या की येथे, लाभांशामध्ये 3 सह पद नसल्यामुळे, पहिल्या वजाबाकीमध्ये असे दिसून आले की समान अटी -a 2 b 2 आणि -2a 3 b एकमेकांखाली स्वाक्षरी केलेले नाहीत. अर्थात, ते एका पदापर्यंत कमी करता येत नाही आणि दोन्ही ज्येष्ठतेमध्ये ओळीच्या खाली लिहिलेले आहेत).

दोन्ही उदाहरणांमध्ये, एखाद्याने समान संज्ञांकडे अधिक लक्ष दिले पाहिजे: 1) समान संज्ञा सहसा एकमेकांच्या खाली लिहिल्या जात नाहीत आणि 2) काहीवेळा (उदाहरणार्थ, शेवटच्या उदाहरणात, अटी -4a n आणि -a n पहिल्या वजाबाकीवर) तत्सम संज्ञा एकाच्या खाली न लिहिल्या जातात.

बहुपदांची विभागणी वेगळ्या क्रमाने करणे शक्य आहे, म्हणजे: प्रत्येक वेळी सर्वात कमी पद किंवा संपूर्ण किंवा उर्वरित भाग पाहण्यासाठी. या प्रकरणात काही अक्षरांच्या चढत्या घातांमध्ये या बहुपदींची मांडणी करणे सोयीचे आहे. उदाहरणार्थ:

मोनोमियलचे सामान्य दृश्य

f(x)=axn, कुठे:

-a- गुणांक जो कोणत्याही संचाशी संबंधित असू शकतो N, Z, Q, R, C

-x- चल

-nसंचाशी संबंधित घातांक एन

दोन मोनोमिअल्स समान असतात जर त्यांच्याकडे समान चल आणि समान घातांक असेल.

उदाहरणे: 3x2आणि -5x2; ½ x 4आणि 2√3x4

एकमेकांशी समान नसलेल्या मोनोमियल्सच्या बेरीजला बहुपदी (किंवा बहुपदी) म्हणतात. या प्रकरणात, एकपदी बहुपदीच्या संज्ञा आहेत. दोन पदांचा समावेश असलेल्या बहुपदीला द्विपदी (किंवा द्विपदी) म्हणतात.
उदाहरण: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
तीन संज्ञा असलेल्या बहुपदीला त्रिपदी म्हणतात.

एका चलसह बहुपदीचे सामान्य रूप

कुठे:

• a n,a n-1,a n-2,...,a 1,a 0बहुपदीचे गुणांक आहेत. त्या नैसर्गिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक किंवा जटिल संख्या असू शकतात.
• एक एन- सर्वोच्च घातांकासह पदावरील गुणांक (अग्रणी गुणांक)
• a 0- सर्वात लहान घातांकासह पदावरील गुणांक (मुक्त पद, किंवा स्थिर)
• n- बहुपद पदवी

उदाहरण १
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• गुणांकांसह तृतीय अंश बहुपद 5, -2, 7 आणि -1
• 5 - अग्रगण्य घटक
• -1 - विनामूल्य सदस्य
• x- चल

उदाहरण २
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• गुणांकांसह चौथा अंश बहुपद -2√3.½आणि -4
• -2√3 - अग्रगण्य घटक
• -4 - विनामूल्य सदस्य
• x- चल

बहुपदी विभागणी

p(x)आणि q(x)- दोन बहुपदी:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...a 1 x 1 +a 0

भागाकाराचा भाग आणि शेष शोधण्यासाठी p(x)वर q(x), तुम्हाला खालील अल्गोरिदम वापरण्याची आवश्यकता आहे:

1. पदवी p(x)पेक्षा जास्त किंवा समान असणे आवश्यक आहे q(x).
2. आपण दोन्ही बहुपदी उतरत्या क्रमाने लिहिल्या पाहिजेत. मध्ये असल्यास p(x)कोणत्याही पदवीसह कोणतेही पद नाही, ते 0 च्या गुणांकाने जोडले जाणे आवश्यक आहे.
3. प्रमुख सदस्य p(x)अग्रगण्य सदस्यांमध्ये विभागले गेले q(x), आणि परिणाम विभाजक रेषेच्या खाली (भाजकात) लिहिलेला आहे.
4. आम्ही परिणाम सर्व अटींनी गुणाकार करतो q(x)आणि अटींखाली विरुद्ध चिन्हांसह निकाल लिहा p(x)संबंधित अंशांसह.
5. आम्ही समान अंशांसह पदांनुसार पद जोडतो.
6. आम्ही उर्वरित अटी निकालासाठी नियुक्त करतो p(x).
7. आम्ही परिणामी बहुपदीच्या आघाडीच्या पदाला बहुपदीच्या पहिल्या पदाने विभाजित करतो q(x)आणि चरण 3-6 पुन्हा करा.
8. नवीन प्राप्त झालेल्या बहुपदी पेक्षा कमी पदवी होईपर्यंत ही प्रक्रिया पुनरावृत्ती केली जाते q(x). हा बहुपद भागाकाराचा उरलेला भाग असेल.
9. भागाकार रेषेखाली लिहिलेला बहुपद हा भागाकार (भागफल) चा परिणाम आहे.

उदाहरण १
पायरी 1 आणि 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

३) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 थांबा

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) खाजगी

उत्तर: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

उदाहरण २
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) थांबवा

x 2 +3x+12 --> C(x) भागफलक

उत्तर: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

प्रथम पदवी बहुपदी भागाकार

ही विभागणी वरील अल्गोरिदम वापरून किंवा हॉर्नरच्या पद्धतीचा वापर करून अधिक जलद करता येते.
जर ए f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...a 1 x+a 0, बहुपदी असे पुन्हा लिहिता येते f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- प्रथम पदवी बहुपदी ⇒ q(x)=mx+n
नंतर भागफलातील बहुपदीला पदवी असेल n-1.

हॉर्नरच्या पद्धतीनुसार, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
कुठे b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 + ...b 1 x+b 0- खाजगी. उर्वरित अंश शून्याची बहुपदी असेल, कारण उर्वरित भागामध्ये बहुपदीची पदवी विभाजकाच्या अंशापेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे.
उरलेल्या भागासह भागाकार ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rजर $x_0=-\frac(n)(m)$
लक्षात ठेवा की p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

उदाहरण ३
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b ३ \u003d ५
b 2 \u003d 3.5-2 \u003d 13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3.43-6 \u003d 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

उदाहरण ४
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; आर = १२५
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

उदाहरण ५
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4) )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
निष्कर्ष
जर आपण एकापेक्षा जास्त पदवीच्या बहुपदीने भागले तर भागफल आणि उर्वरित भाग शोधण्यासाठी आपल्याला अल्गोरिदम वापरण्याची आवश्यकता आहे. 1-9 .
जर आपण पहिल्या पदवीच्या बहुपदीने भागले तर mx+n, नंतर भागफल आणि उर्वरित शोधण्यासाठी, तुम्हाला $x_0=-\frac(n)(m)$ सह हॉर्नरची पद्धत वापरावी लागेल.
जर आम्हाला फक्त उर्वरित विभागामध्ये स्वारस्य असेल तर ते शोधण्यासाठी पुरेसे आहे p(x0).
उदाहरण 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

हा लेख तर्कसंगत अपूर्णांक, त्याच्या पूर्णांक भागांची निवड यावर विचार करेल. अपूर्णांक योग्य आणि अयोग्य आहेत. जेव्हा अंश अपूर्णांकातील भाजकापेक्षा कमी असतो, तेव्हा तो योग्य अपूर्णांक असतो आणि त्याउलट.

योग्य अपूर्णांकांची उदाहरणे विचारात घ्या: 1 2, 9 29, 8 17, अयोग्य: 16 3, 21 20, 301 24.

आपण कमी करता येणारे अपूर्णांक काढू, म्हणजे 12 16 म्हणजे 3 4, 21 14 म्हणजे 3 2.

पूर्णांक भाग निवडताना, अंशाला भाजकाने विभाजित करण्याची प्रक्रिया केली जाते. मग अशा अपूर्णांकाला पूर्णांक आणि अपूर्णांक भागाची बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, जेथे अपूर्णांक भाग भागाचा उर्वरित भाग आणि भाजक यांचे गुणोत्तर मानले जाते.

उदाहरण १

27 ला 4 ने भागल्यावर उर्वरित शोधा.

उपाय

स्तंभाद्वारे विभागणी करणे आवश्यक आहे, नंतर आम्हाला ते मिळेल

तर, 27 4 \u003d पूर्णांक भाग + उर्वरित n आणि m आणि मायनर \u003d 6 + 3 4

उत्तर:उर्वरित 3 .

उदाहरण २

संपूर्ण भाग 331 12 आणि 41 57 निवडा.

उपाय

आम्ही कोपरा वापरून अंशाने भाजक विभाजित करतो:

म्हणून, आपल्याकडे ते 331 12 \u003d 27 + 7 12 आहे.

दुसरा अपूर्णांक बरोबर आहे, याचा अर्थ पूर्णांक भाग शून्याच्या बरोबरीचा आहे.

उत्तर:पूर्णांक भाग 27 आणि 0 .

बहुपदींचे वर्गीकरण विचारात घ्या, दुसऱ्या शब्दांत, एक अपूर्णांक तर्कसंगत कार्य. जेव्हा अंशाची पदवी भाजकाच्या अंशापेक्षा कमी असते तेव्हा ते योग्य मानले जाते, अन्यथा ते चुकीचे मानले जाते.

व्याख्या १

बहुपदीचे बहुपदी भागाकारकोनाद्वारे भागाकाराच्या तत्त्वानुसार आणि पूर्णांक आणि अपूर्णांक भागांची बेरीज म्हणून कार्याचे प्रतिनिधित्व करून उद्भवते.

बहुपदीला रेखीय द्विपदीमध्ये विभाजित करण्यासाठी, हॉर्नरची योजना वापरली जाते.

उदाहरण ३

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 ला 2 x 2 ने भागा.

उपाय

भागाकाराचा गुणधर्म वापरून आपण ते लिहितो

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

इंटिग्रल्स घेताना बहुतेकदा या प्रकारचे परिवर्तन केले जाते.

उदाहरण ४

बहुपदीला बहुपदीने विभाजित करा: 2 x 3 + 3 x 3 + x.

उपाय

भागाकार चिन्ह 2 x 3 + 3 x 3 + x फॉर्मचा अपूर्णांक म्हणून लिहिले जाऊ शकते. आता आपल्याला संपूर्ण भाग निवडण्याची आवश्यकता आहे. आम्ही हे एका स्तंभाने विभाजित करून करतो. आम्हाला ते मिळते

तर, आम्हाला समजले की पूर्णांक भागाचे मूल्य आहे - 2 x + 3, नंतर संपूर्ण अभिव्यक्ती 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x असे लिहिले आहे.

उदाहरण ५

भागाकार करा आणि 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 ने भागल्यानंतर उर्वरित शोधा.

उपाय

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 या फॉर्मचा एक अंश निश्चित करू.

अंशाची पदवी भाजकापेक्षा जास्त आहे, याचा अर्थ असा की आपल्याकडे अयोग्य अपूर्णांक आहे. स्तंभानुसार विभागणी वापरून, संपूर्ण भाग निवडा. आम्हाला ते मिळते

चला पुन्हा विभागणी करू आणि मिळवा:

येथून आपल्याकडे शिल्लक आहे - 65 x 2 + 10 x - 3, म्हणून:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

अशी प्रकरणे आहेत जिथे विभाजित करताना उर्वरित प्रकट करण्यास सक्षम होण्यासाठी अतिरिक्त अपूर्णांक रूपांतरण करणे आवश्यक आहे. हे असे दिसते:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = ३ x २ + २ x + - ३ x २ + ६ x - ४ x ३ - ३

याचा अर्थ असा की 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 ने x 3 - 3 ने भागल्यास उर्वरित मूल्य - 3 x 2 + 6 x - 4 मिळते. परिणाम द्रुतपणे शोधण्यासाठी, संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे वापरली जातात.

उदाहरण 6

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 ने भागा.

उपाय

भागाकार अपूर्णांक म्हणून लिहू. आम्हाला ते 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 मिळते. लक्षात घ्या की अंशामध्ये, बेरीज क्यूब सूत्र वापरून अभिव्यक्ती जोडली जाऊ शकते. आमच्याकडे ते आहे

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

दिलेली बहुपदी उर्वरित न भागता येते.

सोल्यूशनसाठी, अधिक सोयीस्कर सोल्यूशन पद्धत वापरली जाते आणि बहुपदीद्वारे बहुपदीची विभागणी सर्वात सार्वत्रिक मानली जाते, म्हणून, पूर्णांक भाग निवडताना बहुतेकदा वापरली जाते. अंतिम एंट्रीमध्ये विभागणीचे परिणामी बहुपद असणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

विधान

उर्वरित अपूर्ण खाजगी.

टिप्पणी

कोणत्याही बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ ($B(x)$ ची पदवी 0 पेक्षा मोठी आहे) $Q(x)$ आणि $R(x)$ पासून अद्वितीय बहुपदी आहेत प्रतिपादनाची स्थिती.

1. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(2) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(4) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(6) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

विधान

कोणत्याही दोन बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ (जेथे बहुपदी $B(x)$ ची पदवी शून्य नसलेली असते), तेथे $A(x)$ फॉर्ममध्ये बहुपदी प्रतिनिधित्व असते $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, जेथे $Q(x)$ आणि $R(x)$ हे बहुपदी आहेत आणि $R(x)$ ची डिग्री पेक्षा कमी आहे $B(x).$ ची पदवी

पुरावा

आम्ही बहुपद $A(x) च्या अंशावर इंडक्शनद्वारे प्रतिपादन सिद्ध करू.$ ते $n$ ने दर्शवा. $n = 0$ असल्यास, विधान सत्य आहे: $A(x)$ $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.$ आता, विधान सिद्ध करू द्या पदवीचे बहुपद $n \ leqm$. पदवी $k= n+1.$ च्या बहुपदांसाठी प्रतिपादन सिद्ध करू

बहुपदी $B(x)$ ची पदवी $m$ च्या समान असू द्या. तीन प्रकरणांचा विचार करा: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ आणि त्या प्रत्येकासाठी प्रतिपादन सिद्ध करा.

1. $k< m$
   बहुपद $A(x)$ असे दर्शविले जाऊ शकते

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   असे प्रतिपादन करण्यात आले आहे.

2. $k = m$
   बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ ला फॉर्म द्या

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(कुठे) ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(कुठे) ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   चला $A(x)$ असे दर्शवू

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   लक्षात घ्या की बहुपदी $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ ही कमाल $n+1$ आहे, तर हे प्रतिनिधित्व आहे इच्छित एक आणि प्रतिपादन समाधानी आहे.

3. $k > m$
   आम्ही बहुपद $A(x)$ फॉर्ममध्ये दर्शवतो

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (कुठे) \: a_(n+1) \neq 0.$

   बहुपदी $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1) चा विचार करा.$ हे $A म्हणून दर्शविले जाऊ शकते" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, जेथे बहुपदी $R"(x)$ ची पदवी $m$ पेक्षा कमी असेल, तर $A(x) चे प्रतिनिधित्व $ म्हणून पुन्हा लिहिले जाऊ शकते

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   लक्षात घ्या की बहुपदी $xR"(x)$ ची पदवी $m+1$ पेक्षा कमी आहे, म्हणजे $k$ पेक्षा कमी. नंतर $xR"(x)$ हे प्रेरक गृहीतके पूर्ण करते आणि $xR म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, जेथे बहुपदी $R""(x)$ ची पदवी $m$ पेक्षा कमी आहे. $A चे प्रतिनिधित्व पुन्हा लिहा (x)$ कसे

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   बहुपदी $R""(x) + a_(0)$ ची डिग्री $m$ पेक्षा कमी आहे, म्हणून विधान सत्य आहे.

प्रतिपादन सिद्ध झाले आहे.

या प्रकरणात, बहुपदी $R(x)$ म्हणतात उर्वरित$A(x)$ ला $B(x)$ आणि $Q(x)$ ने भागून - अपूर्ण खाजगी.

जर $R(x)$ चा उरलेला भाग शून्य बहुपदी असेल, तर $A(x)$ ला $B(x)$ ने भाग जातो असे म्हटले जाते.

आज आपण बहुपदांना एकमेकांमध्ये कसे विभाजित करायचे ते शिकू आणि सामान्य संख्यांच्या सादृश्याने कोपऱ्याने भागाकार करू. हे एक अतिशय उपयुक्त तंत्र आहे, जे दुर्दैवाने बहुतेक शाळांमध्ये शिकवले जात नाही. म्हणून हे व्हिडिओ ट्यूटोरियल काळजीपूर्वक ऐका. अशा विभागणीमध्ये काहीही क्लिष्ट नाही.

प्रथम, दोन संख्यांना एकमेकांद्वारे विभाजित करू:

हे कसे करता येईल? सर्व प्रथम, आम्ही इतके अंक कापले की परिणामी संख्यात्मक मूल्य आम्ही ज्याने भागतो त्यापेक्षा मोठे आहे. जर आपण एक बिट कापला तर आपल्याला पाच मिळतील. साहजिकच, पाचपैकी सतरा बसत नाहीत, म्हणून हे पुरेसे नाही. आम्ही दोन अंक घेतो - आम्हाला 59 मिळेल - ते आधीच सतरापेक्षा जास्त आहे, म्हणून आम्ही ऑपरेशन करू शकतो. तर, 59 मध्ये सतरा किती वेळा बसतात? तीन घेऊ. आपण गुणाकार करतो आणि परिणाम 59 च्या खाली लिहितो. एकूण, आपल्याला 51 मिळाले. आपण वजा केले आणि आपल्याला "आठ" मिळाले. आता आम्ही पुढील अंक - पाच पाडतो. 85 ला सतरा ने भागा. आम्ही पाच घेतो. सतराला पाचने गुणा आणि 85 मिळवा. वजा करा आणि आपल्याला शून्य मिळेल.

वास्तविक उदाहरणे सोडवणे

कार्य #1

आता त्याच चरणांचे अनुसरण करू, परंतु संख्यांसह नाही तर बहुपदांसह. उदाहरणार्थ, हे घेऊ:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

लक्ष द्या, जर संख्यांना एकमेकांद्वारे विभाजित करताना, आमचा अर्थ असा होतो की लाभांश हा नेहमी विभाजकापेक्षा मोठा असतो, तर बहुपदांना एका कोपऱ्याने विभाजित करण्याच्या बाबतीत, लाभांशाची डिग्री विभाजकापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. आमच्या बाबतीत, सर्वकाही क्रमाने आहे - आम्ही द्वितीय आणि प्रथम पदवीच्या बांधकामांसह कार्य करीत आहोत.

तर, पहिली पायरी: पहिल्या घटकांची तुलना करा. प्रश्न: $((x)^(2))$ मिळविण्यासाठी $x$ ला कशाने गुणले पाहिजे? अर्थात, आणखी एका $x$ साठी. $x+5$ चा आत्ताच सापडलेल्या $x$ ने गुणाकार करा. आमच्याकडे $((x)^(2))+5$ आहे जे लाभांशातून वजा केले जाते. $3x$ शिल्लक आहेत. आता आम्ही पुढील टर्म पाडतो - पंधरा. प्रथम घटक पुन्हा पाहू: $3x$ आणि $x$. $3x$ मिळविण्यासाठी $x$ ला कशाने गुणले पाहिजे? साहजिकच तीन. आपण $x+5$ या पदाचा तीन ने गुणाकार करतो. जेव्हा आपण वजा करतो तेव्हा आपल्याला शून्य मिळते.

तुम्ही बघू शकता, एका कोपऱ्याने विभाजित करण्याचे संपूर्ण ऑपरेशन लाभांश आणि विभाजक यांच्यासाठी सर्वोच्च गुणांकांची तुलना करण्यासाठी कमी केले आहे. तुम्ही संख्या विभाजित करता त्यापेक्षा हे अगदी सोपे आहे. अंकांची विशिष्ट संख्या वाटप करण्याची आवश्यकता नाही - आम्ही प्रत्येक चरणावर फक्त सर्वोच्च घटकांची तुलना करतो. ते संपूर्ण अल्गोरिदम आहे.

कार्य #2

चला पुन्हा प्रयत्न करूया:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

पहिली पायरी: उच्च गुणांक पहा. $((x)^(2))$ लिहिण्यासाठी $x$ ला किती गुणाकार करावा? आम्ही टर्मने टर्म गुणाकार करतो. लक्षात घ्या की वजाबाकी करताना, आपल्याला नक्की $2x$ मिळतात, कारण

आम्ही -2 पाडतो आणि पुन्हा विभाजकाच्या सर्वोच्च घटकासह मिळवलेल्या पहिल्या गुणांकाची तुलना करतो. एकूण, आम्हाला "सुंदर" उत्तर मिळाले.

चला दुसऱ्या उदाहरणाकडे जाऊया:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

यावेळी, तृतीय-पदवी बहुपद लाभांश म्हणून कार्य करते. चला पहिल्या घटकांची तुलना करूया. $((x)^(3))$ मिळवण्यासाठी, तुम्हाला $x$ ला $((x)^(2))$ ने गुणाकार करावा लागेल. वजा केल्यानंतर, आम्ही $9x$ पाडतो. आपण भाजकाला $-x$ ने गुणाकार करतो आणि वजा करतो. परिणामी, आपली अभिव्यक्ती पूर्णपणे विभाजित झाली आहे. आम्ही उत्तर लिहून ठेवतो.

कार्य #3

चला शेवटच्या कार्याकडे जाऊया:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

$(x)^(3))$ आणि $x$ यांची तुलना करा. अर्थात, तुम्हाला $((x)^(2))$ ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. परिणामी, आम्हाला एक अतिशय "सुंदर" उत्तर मिळाले आहे. चला ते लिहून घेऊ.

ते संपूर्ण अल्गोरिदम आहे. येथे दोन प्रमुख मुद्दे आहेत:

1. लाभांश आणि विभाजकाच्या पहिल्या शक्तीची नेहमी तुलना करा - आम्ही प्रत्येक चरणावर याची पुनरावृत्ती करतो;
2. मूळ अभिव्यक्तीमध्ये कोणत्याही अंश गहाळ असल्यास, ते एका कोपऱ्याने विभाजित करताना जोडले जाणे आवश्यक आहे, परंतु शून्य गुणांकांसह, अन्यथा उत्तर चुकीचे असेल.

अशा विभागणीमध्ये आणखी युक्त्या आणि युक्त्या नाहीत.

आजच्या धड्याची सामग्री कुठेही नाही आणि "शुद्ध" स्वरूपात कधीही सापडत नाही. शाळांमध्ये क्वचितच शिकवले जाते. तथापि, बहुपदांना एकमेकांमध्ये विभाजित करण्याची क्षमता आपल्याला उच्च पदवीची समीकरणे तसेच "वाढीव अडचण" च्या सर्व प्रकारच्या समस्या सोडविण्यास मदत करेल. या तंत्राशिवाय, तुम्हाला बहुपदांचे गुणांकन करावे लागेल, गुणांक निवडावे लागतील - आणि परिणामाची कोणतीही हमी नाही. तथापि, बहुपदी देखील एका कोपऱ्याने विभागल्या जाऊ शकतात - अगदी सामान्य संख्यांप्रमाणे! दुर्दैवाने, हे तंत्र शाळांमध्ये शिकवले जात नाही. अनेक शिक्षकांचा असा विश्वास आहे की उच्च गणिताच्या क्षेत्रातून बहुपदांना एका कोपऱ्याने विभाजित करणे ही अत्यंत क्लिष्ट गोष्ट आहे. मी तुम्हाला खात्री देण्यासाठी घाई करतो: तसे नाही. शिवाय, बहुपदी भागणे सामान्य संख्यांपेक्षा सोपे आहे! धडा पहा - आणि स्वत: साठी पहा. :) सर्वसाधारणपणे, हे तंत्र सेवेत घेण्याचे सुनिश्चित करा. उच्च पदांची समीकरणे सोडवताना आणि इतर गैर-मानक समस्यांमध्ये बहुपदांना एकमेकांमध्ये विभाजित करण्याची क्षमता आपल्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल.

मला आशा आहे की हा व्हिडिओ बहुपदांसह काम करणार्‍यांना मदत करेल, विशेषतः उच्च पदवी. हे हायस्कूल विद्यार्थी आणि विद्यापीठातील विद्यार्थ्यांना लागू होते. आणि हे सर्व माझ्यासाठी आहे. पुन्हा भेटू!