अभिव्यक्ती ( a + b) 2 आहे बेरीज वर्गसंख्या aआणि b. व्याख्येनुसार, अभिव्यक्ती ( a + ba + b)(a + b). म्हणून, बेरीजच्या वर्गावरून, आपण ते काढू शकतो

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

म्हणजे, दोन संख्यांच्या बेरजेचा वर्ग हा पहिल्या संख्येच्या वर्गाइतका असतो, तसेच पहिल्या संख्येच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसऱ्या क्रमांकाचा, अधिक दुसऱ्या संख्येचा वर्ग.

बेरीज चौरस सूत्र

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

बहुपद a 2 + 2ab + b 2 ला बेरीजच्या वर्गाचा विस्तार म्हणतात.

कारण aआणि bकोणतीही संख्या किंवा अभिव्यक्ती दर्शवा, नंतर नियम आम्हाला दोन पदांची बेरीज म्हणून गणली जाऊ शकणार्‍या कोणत्याही अभिव्यक्तीचा वर्ग करण्यासाठी लघुलेखन करण्याची क्षमता देतो.

उदाहरण.स्क्वेअरिंग एक्सप्रेशन 3 x 2 + 2xy.

उपाय:अतिरिक्त परिवर्तने न करण्यासाठी, आम्ही बेरीजच्या वर्गाचे सूत्र वापरतो. आपल्याला पहिल्या संख्येच्या वर्गाची बेरीज, पहिल्या संख्येच्या दुप्पट गुणाकार दुसऱ्या क्रमांकाच्या आणि दुसऱ्या संख्येच्या वर्गाच्या दुप्पट मिळायला हवी:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x२ २ xy) + (2xy) 2

आता, मोनोमियल्सच्या गुणाकार आणि घातांकाचे नियम वापरून, आम्ही परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करतो:

(3x 2) 2 + 2(3x२ २ xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

फरकाचा वर्ग

अभिव्यक्ती ( a - b) 2 आहे फरक वर्गसंख्या aआणि b. अभिव्यक्ती ( a - b) 2 हे दोन बहुपदींचे गुणाकार आहे ( a - b)(a - b). म्हणून, फरकाच्या वर्गावरून, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

म्हणजे, दोन संख्यांच्या फरकाचा वर्ग पहिल्या संख्येच्या वर्गाइतका आहे, पहिल्या संख्येच्या गुणाकाराच्या दुप्पट दुप्पट व दुसऱ्या क्रमांकाचा वर्ग.

तो नियम पासून खालील की एकूण फरक चौरस सूत्र, मध्यवर्ती परिवर्तनांशिवाय, असे दिसेल:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

बहुपद a 2 - 2ab + b 2 ला वर्गातील फरकाचा विस्तार म्हणतात.

हा नियम अभिव्यक्तींच्या शॉर्टहँड स्क्वेअरिंगवर लागू होतो ज्याला दोन संख्यांचा फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.

उदाहरण.फरकाचा वर्ग त्रिपदी म्हणून व्यक्त करा:

(2a 2 - 5ab 2) 2

उपाय:फरकाच्या वर्गाचे सूत्र वापरून, आम्हाला आढळते:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a२ ५ ab 2) + (5ab 2) 2

आता अभिव्यक्तीला मानक फॉर्म बहुपदी मध्ये रूपांतरित करूया:

(2a 2) 2 - 2(2a२ ५ ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

चौरसांचा फरक

अभिव्यक्ती a 2 - b 2 आहे चौरसांचा फरकसंख्या aआणि b. अभिव्यक्ती a 2 - b 2 हा दोन संख्यांच्या बेरजेचा त्यांच्या फरकाने गुणाकार करण्याचा लघुलेखन मार्ग आहे:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

म्हणजे, दोन संख्यांच्या बेरजेचे गुणाकार आणि त्यांच्यातील फरक या संख्यांच्या वर्गांच्या फरकाइतके आहे.

तो नियम पासून खालील की एकूण चौरस सूत्राचा फरकअसे दिसते:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

हा नियम अशा अभिव्यक्तींच्या संक्षिप्त गुणाकारांना लागू होतो ज्याचे प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते: एक दोन संख्यांची बेरीज म्हणून आणि दुसरी समान संख्यांमधील फरक म्हणून.

उदाहरण.उत्पादनास द्विपदीमध्ये रूपांतरित करा:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

उपाय:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

उदाहरणामध्ये, आम्ही चौरस सूत्राचा फरक उजवीकडून डावीकडे लागू केला, म्हणजेच आम्हाला सूत्राची उजवी बाजू देण्यात आली आणि आम्ही ते डावीकडे रूपांतरित केले:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

व्यवहारात, परिस्थितीनुसार, तीनही मानलेली सूत्रे डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे लागू केली जातात.

बीजगणितीय बहुपदांची गणना करताना, गणना सुलभ करण्यासाठी, आम्ही वापरतो संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे . अशी एकूण सात सूत्रे आहेत. ते सर्व मनापासून ओळखले पाहिजे.

हे देखील लक्षात ठेवले पाहिजे की सूत्रांमध्ये a आणि b ऐवजी, दोन्ही संख्या आणि इतर कोणतेही बीजगणितीय बहुपद असू शकतात.

चौरसांचा फरक

दोन संख्यांच्या वर्गांमधील फरक या संख्यांच्या फरकाच्या गुणाकाराच्या आणि त्यांच्या बेरजेइतका आहे.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

बेरीज चौरस

दोन संख्यांच्या बेरजेचा वर्ग हा पहिल्या संख्येच्या वर्गाच्या आणि पहिल्या संख्येच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसरा अधिक दुसऱ्या संख्येच्या वर्गाच्या समान असतो.

(अ + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

लक्षात घ्या की या कमी गुणाकार सूत्रासह, ते सोपे आहे मोठ्या संख्येचे वर्ग शोधाकॅल्क्युलेटर किंवा दीर्घ गुणाकार न वापरता. चला उदाहरणासह स्पष्ट करूया:

112 2 शोधा.

ज्यांचे वर्ग आपल्याला चांगले आठवतात अशा संख्यांच्या बेरीजमध्ये 112 चे विघटन करूया.2
112 = 100 + 1

आम्ही संख्यांची बेरीज कंसात लिहितो आणि कंसावर चौरस ठेवतो.
112 2 = (100 + 12) 2

चला बेरीज स्क्वेअर सूत्र वापरू:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

लक्षात ठेवा वर्ग बेरीज सूत्र कोणत्याही बीजगणितीय बहुपदांसाठी देखील वैध आहे.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

चेतावणी !!!

(a + b) 2 a 2 + b 2 च्या समान नाही

फरकाचा वर्ग

दोन संख्यांमधील फरकाचा वर्ग हा पहिल्या संख्येच्या वजा गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसऱ्या अधिक दुसऱ्या क्रमांकाच्या वर्गाच्या समान आहे.

(अ - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

हे एक अतिशय उपयुक्त परिवर्तन लक्षात ठेवण्यासारखे आहे:

(a - b) 2 = (b - a) 2
वरील सूत्र फक्त कंस विस्तृत करून सिद्ध केले आहे:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

बेरीज घन

दोन संख्यांच्या बेरजेचा घन हा पहिल्या संख्येच्या घनाच्या बरोबरीचा असतो आणि पहिल्या संख्येच्या वर्गाच्या तीन पटीने दुसऱ्याच्या तीन पटीच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या दुसऱ्या संख्येच्या वर्गाच्या आणि दुसऱ्याच्या घनाच्या तीन पट असतो.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

हे "भयंकर" दिसणारे सूत्र लक्षात ठेवणे अगदी सोपे आहे.

3 प्रथम येतो हे जाणून घ्या.

मध्यभागी असलेल्या दोन बहुपदींचे गुणांक 3 आहेत.

एटीलक्षात ठेवा की शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या 1 आहे. (a 0 = 1, b 0 = 1). हे पाहणे सोपे आहे की फॉर्म्युलामध्ये डिग्री अ मध्ये घट आणि डिग्री ब मध्ये वाढ आहे. तुम्ही हे सत्यापित करू शकता:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

चेतावणी !!!

(a + b) 3 a 3 + b 3 च्या समान नाही

फरक घन

दोन संख्यांमधील फरकाचा घन पहिल्या संख्येच्या घनाच्या वजा पहिल्या संख्येच्या वर्गाच्या तीन पट आणि दुसरा अधिक पहिल्या संख्येच्या गुणाकाराच्या तीन पट आणि दुसऱ्याचा वर्ग वजा दुसऱ्याच्या घनाइतका असतो. .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

हे सूत्र मागील एक म्हणून लक्षात ठेवले जाते, परंतु केवळ "+" आणि "-" चिन्हांचे बदल लक्षात घेऊन. 3 चा पहिला सदस्य "+" च्या आधी असतो (गणिताच्या नियमांनुसार, आम्ही ते लिहित नाही). याचा अर्थ असा की पुढील सदस्याच्या आधी "-", नंतर पुन्हा "+", इ.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

घनांची बेरीज ( बेरीज क्यूबमध्ये गोंधळून जाऊ नका!)

क्यूब्सची बेरीज दोन संख्यांच्या बेरीज आणि फरकाच्या अपूर्ण वर्गाच्या गुणाकाराच्या समान असते.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

क्यूब्सची बेरीज दोन कंसांचे गुणाकार आहे.

पहिला कंस दोन संख्यांची बेरीज आहे.

दुसरा कंस म्हणजे संख्यांच्या फरकाचा अपूर्ण वर्ग. फरकाच्या अपूर्ण वर्गाला अभिव्यक्ती म्हणतात:

A 2 - ab + b 2
हा वर्ग अपूर्ण आहे, कारण मध्यभागी, दुहेरी गुणाऐवजी, संख्यांचा सामान्य गुणाकार आहे.

क्यूब डिफरन्स (डिफरन्स क्यूबमध्ये गोंधळून जाऊ नये!!!)

क्यूब्सचा फरक बेरीजच्या अपूर्ण वर्गाने दोन संख्यांच्या फरकाच्या गुणाकाराइतका असतो.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

अक्षरे लिहिताना काळजी घ्या.हे लक्षात ठेवले पाहिजे की वरील सर्व सूत्रे देखील उजवीकडून डावीकडे वापरली जातात.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा एक सोपा मार्ग, किंवा... पास्कलचा त्रिकोण.

संक्षिप्त गुणाकाराची सूत्रे लक्षात ठेवणे कठीण आहे का? केस मदत करणे सोपे आहे. पास्कलच्या त्रिकोणासारखी साधी गोष्ट कशी चित्रित केली आहे हे तुम्हाला फक्त लक्षात ठेवण्याची गरज आहे. मग तुम्हाला ही सूत्रे नेहमी आणि सर्वत्र आठवतील, किंवा त्याऐवजी, लक्षात ठेवू नका, परंतु पुनर्संचयित करा.

पास्कलचा त्रिकोण काय आहे? या त्रिकोणामध्ये गुणांक असतात जे फॉर्मच्या द्विपदाच्या कोणत्याही बळाचा बहुपदीमध्ये विस्तार करतात.

चला ते खंडित करू, उदाहरणार्थ:

या रेकॉर्डमध्ये, हे लक्षात ठेवणे सोपे आहे की सुरुवातीला पहिल्या क्रमांकाचा घन असतो आणि शेवटी - दुसऱ्या क्रमांकाचा घन असतो. पण मध्यभागी काय आहे ते लक्षात ठेवणे कठीण आहे. आणि हे देखील की प्रत्येक पुढील टर्ममध्ये एका घटकाची डिग्री नेहमीच कमी होते आणि दुसरी वाढते - हे लक्षात घेणे आणि लक्षात ठेवणे सोपे आहे, गुणांक आणि चिन्हे (अधिक किंवा वजा?) लक्षात ठेवणे अधिक कठीण आहे.

तर, प्रथम शक्यता. तुम्हाला ते लक्षात ठेवण्याची गरज नाही! नोटबुकच्या मार्जिनवर, आम्ही त्वरीत पास्कलचा त्रिकोण काढतो, आणि ते येथे आहेत - गुणांक, आधीच आपल्या समोर. आम्ही तीन, वर एक, खाली दोन, उजवीकडे आणि डावीकडे रेखांकन सुरू करतो - होय, आधीच एक त्रिकोण प्राप्त झाला आहे:

पहिली ओळ, एकासह, शून्य आहे. मग पहिला, दुसरा, तिसरा वगैरे येतो. दुसरी ओळ मिळविण्यासाठी, तुम्हाला पुन्हा काठावर जोडणे आवश्यक आहे आणि मध्यभागी वरील दोन संख्या जोडून प्राप्त केलेली संख्या लिहा:

आम्ही तिसरी ओळ लिहितो: पुन्हा युनिटच्या काठावर, आणि पुन्हा, नवीन ओळीत पुढील संख्या मिळविण्यासाठी, मागील एकामध्ये वरील संख्या जोडा:

तुम्ही अंदाज लावला असेल की, आम्हाला प्रत्येक ओळीत द्विपदाच्या विघटनापासून बहुपदीमध्ये गुणांक मिळतात:

बरं, चिन्हे लक्षात ठेवणे आणखी सोपे आहे: प्रथम विस्तारित द्विपदी प्रमाणेच आहे (आम्ही बेरीज करतो, ज्याचा अर्थ अधिक, फरक, ज्याचा अर्थ वजा होतो) आणि नंतर चिन्हे पर्यायी!

ही एक उपयुक्त गोष्ट आहे - पास्कलचा त्रिकोण. आनंद घ्या!

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे (FSU) संख्या आणि अभिव्यक्ती घातांक आणि गुणाकार करण्यासाठी वापरली जातात. बर्‍याचदा ही सूत्रे आपल्याला अधिक संक्षिप्त आणि द्रुतपणे गणना करण्यास अनुमती देतात.

या लेखात, आम्ही संक्षिप्त गुणाकारासाठी मुख्य सूत्रांची यादी करू, त्यांना सारणीमध्ये गटबद्ध करू, ही सूत्रे वापरण्याची उदाहरणे विचारात घेऊ आणि संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे सिद्ध करण्याच्या तत्त्वांवर देखील विचार करू.

प्रथमच, 7 व्या इयत्तेसाठी "बीजगणित" या अभ्यासक्रमात FSU विषयाचा विचार केला जातो. खाली 7 मूलभूत सूत्रे आहेत.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे

1. बेरीज वर्ग सूत्र: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. फरक वर्ग सूत्र: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. बेरीज घन सूत्र: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. फरक घन सूत्र: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. चौरस सूत्राचा फरक: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. घनांच्या बेरजेसाठी सूत्र: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. घन फरक सूत्र: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

या अभिव्यक्तींमधील a, b, c ही अक्षरे कोणतीही संख्या, चल किंवा अभिव्यक्ती असू शकतात. वापराच्या सोप्यासाठी, सात मूलभूत सूत्रे मनापासून शिकणे चांगले आहे. आम्ही त्यांना एका टेबलमध्ये सारांशित करतो आणि खाली देतो, त्यांना बॉक्ससह प्रदक्षिणा घालतो.

पहिली चार सूत्रे तुम्हाला अनुक्रमे, दोन अभिव्यक्तींची बेरीज किंवा फरक यांचा वर्ग किंवा घन मोजण्याची परवानगी देतात.

पाचवे सूत्र अभिव्यक्तीच्या वर्गांच्या फरकांची बेरीज आणि फरक गुणाकार करून गणना करते.

सहावे आणि सातवे सूत्र अनुक्रमे, बेरीज आणि अभिव्यक्तींच्या फरकाचा गुणाकार फरकाच्या अपूर्ण वर्गाने आणि बेरीजच्या अपूर्ण वर्गाने केला जातो.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्राला कधीकधी संक्षिप्त गुणाकार ओळख देखील म्हणतात. हे आश्चर्यकारक नाही, कारण प्रत्येक समानता ही एक ओळख आहे.

व्यावहारिक उदाहरणे सोडवताना, संक्षेपित गुणाकार सूत्रे बहुधा पुनर्रचना केलेल्या डाव्या आणि उजव्या भागांसह वापरली जातात. बहुपदी गुणांकन करताना हे विशेषतः सोयीचे असते.

अतिरिक्त संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे

आम्ही स्वतःला बीजगणितातील 7 व्या वर्गाच्या अभ्यासक्रमापुरते मर्यादित ठेवणार नाही आणि आमच्या FSU टेबलमध्ये आणखी काही सूत्रे जोडणार नाही.

प्रथम, न्यूटनच्या द्विपदी सूत्राचा विचार करा.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

येथे C n k हे द्विपदी गुणांक आहेत जे पास्कलच्या त्रिकोणातील रेषा क्रमांक n मध्ये आहेत. द्विपद गुणांक सूत्रानुसार मोजले जातात:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

तुम्ही बघू शकता, फरक आणि बेरीजच्या वर्ग आणि घनासाठी FSU हे अनुक्रमे n=2 आणि n=3 साठी न्यूटनच्या द्विपदी सूत्राचे विशेष प्रकरण आहे.

पण बेरीज मध्ये दोन पेक्षा जास्त अटी असतील तर बळ वाढवायचे आहे? तीन, चार किंवा अधिक पदांच्या बेरजेच्या वर्गाचे सूत्र उपयुक्त ठरेल.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

आणखी एक सूत्र जे उपयोगी पडू शकते ते दोन पदांच्या nव्या शक्तींच्या फरकाचे सूत्र आहे.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

हे सूत्र सहसा दोन सूत्रांमध्ये विभागले जाते - अनुक्रमे सम आणि विषम अंशांसाठी.

सम घातांक 2m साठी:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

विषम घातांक 2m+1 साठी:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 मी

चौरसांच्या फरकाची सूत्रे आणि चौकोनी तुकड्यांचा फरक, तुम्ही अंदाज लावलात, या सूत्राची विशेष प्रकरणे अनुक्रमे n = 2 आणि n = 3 आहेत. क्यूब्सच्या फरकासाठी, b ची जागा - b ने देखील घेतली जाते.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्र कसे वाचायचे?

आम्ही प्रत्येक सूत्रासाठी संबंधित सूत्रे देऊ, परंतु प्रथम आम्ही सूत्रे वाचण्याच्या तत्त्वावर चर्चा करू. हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे उदाहरणासह. दोन संख्यांच्या बेरजेच्या वर्गाचे पहिले सूत्र घेऊ.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

ते म्हणतात: a आणि b या दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा वर्ग बेरीज समान आहेपहिल्या अभिव्यक्तीचा वर्ग, अभिव्यक्तींचा दुहेरी गुणाकार आणि दुसऱ्या अभिव्यक्तीचा वर्ग.

इतर सर्व सूत्रे सारखीच वाचली जातात. वर्गातील फरक a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 साठी आपण लिहू:

a आणि b या दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा वर्ग या अभिव्यक्तींच्या वर्गांच्या बेरजेइतका आहे वजा पहिल्या आणि दुसऱ्या अभिव्यक्तींच्या गुणाकाराच्या दुप्पट.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 हे सूत्र वाचू. a आणि b या दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा घन हा या अभिव्यक्तींच्या घनांच्या बेरजेइतका आहे, पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या आणि दुसऱ्याच्या, आणि दुसऱ्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या तीन पट आणि पहिली अभिव्यक्ती.

आपण a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 च्या क्यूब्समधील फरकाचे सूत्र वाचण्यास पुढे जाऊ. a आणि b या दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा घन पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वजा वजा पहिल्या अभिव्यक्तीच्या चौरसाच्या तीन पट आणि दुसऱ्याच्या, अधिक दुसऱ्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या तीन पट आणि पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या, घनाच्या समान आहे. दुसऱ्या अभिव्यक्तीचे.

पाचवे सूत्र a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (चौरसांचा फरक) खालीलप्रमाणे वाचतो: दोन अभिव्यक्तींच्या वर्गांचा फरक फरकाच्या गुणाकार आणि दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेइतका आहे.

सोयीसाठी 2 + a b + b 2 आणि a 2 - a b + b 2 सारख्या अभिव्यक्तींना अनुक्रमे बेरीजचा अपूर्ण वर्ग आणि फरकाचा अपूर्ण वर्ग म्हणतात.

हे लक्षात घेऊन, क्यूब्सची बेरीज आणि फरकाची सूत्रे खालीलप्रमाणे वाचली जातात:

दोन अभिव्यक्तींच्या घनांची बेरीज या अभिव्यक्तींच्या बेरीज आणि त्यांच्या फरकाच्या अपूर्ण वर्गाच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

दोन अभिव्यक्तींच्या घनांचा फरक त्यांच्या बेरजेच्या अपूर्ण वर्गाने या अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या गुणाकाराइतका आहे.

FSU पुरावा

FSU सिद्ध करणे अगदी सोपे आहे. गुणाकाराच्या गुणधर्मांवर आधारित, आम्ही सूत्रांच्या भागांचा कंसात गुणाकार करू.

उदाहरणार्थ, फरकाच्या वर्गासाठी सूत्र विचारात घ्या.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

अभिव्यक्ती दुसर्‍या बळावर वाढवण्यासाठी, अभिव्यक्ती स्वतःच गुणाकार केली पाहिजे.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

चला कंस विस्तृत करूया:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

सूत्र सिद्ध झाले आहे. इतर एफएसओ असेच सिद्ध झाले आहेत.

FSO च्या अर्जाची उदाहरणे

कमी गुणाकार सूत्रे वापरण्याचा उद्देश हा आहे की अभिव्यक्तींचा द्रुतपणे आणि संक्षिप्तपणे गुणाकार करणे आणि घातांक करणे. तथापि, हे FSO चे संपूर्ण कार्यक्षेत्र नाही. ते अभिव्यक्ती कमी करण्यासाठी, अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, बहुपदांचे गुणांकन करण्यासाठी मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात. उदाहरणे देऊ.

उदाहरण 1. FSO

9 y - (1 + 3 y) 2 ही अभिव्यक्ती सोपी करू.

वर्गांची बेरीज सूत्र लागू करा आणि मिळवा:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

उदाहरण 2. FSO

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 अपूर्णांक कमी करा.

आम्ही लक्षात घेतो की अंशातील अभिव्यक्ती ही चौकोनी तुकड्यांचा फरक आहे आणि भाजकामध्ये - वर्गांचा फरक आहे.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

आम्ही कमी करतो आणि मिळवतो:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU देखील अभिव्यक्तींच्या मूल्यांची गणना करण्यास मदत करतात. सूत्र कोठे लागू करायचे हे लक्षात घेण्यास सक्षम असणे ही मुख्य गोष्ट आहे. हे उदाहरणासह दाखवू.

चला संख्या ७९ चा वर्ग करू. अवजड गणनेऐवजी, आम्ही लिहितो:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

असे दिसते की केवळ संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे आणि गुणाकार सारणी वापरून एक जटिल गणना त्वरीत केली गेली.

दुसरा महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे द्विपदीच्या वर्गाची निवड. 4 x 2 + 4 x - 3 ही अभिव्यक्ती 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 मध्ये रूपांतरित केली जाऊ शकते. एकात्मतेमध्ये असे परिवर्तन मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

धडा सामग्री

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा वर्ग

अशी अनेक प्रकरणे आहेत जिथे बहुपदीचा बहुपदी गुणाकार मोठ्या प्रमाणात सरलीकृत केला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, असे आहे (2 x+ 3y) 2 .

अभिव्यक्ती (2 x+ 3y) 2 हा दोन बहुपदींचा गुणाकार आहे, त्यातील प्रत्येक समान (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

आपल्याला बहुपदीचा बहुपदीने गुणाकार मिळाला. चला ते कार्यान्वित करूया:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

म्हणजेच, अभिव्यक्ती (2 x+ 3y) 2 समान आहे 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

चला एक समान उदाहरण सोडवू, जे सोपे आहे:

(a+b) 2

अभिव्यक्ती ( a+b) 2 हा दोन बहुपदींचा गुणाकार आहे, त्यातील प्रत्येक समान आहे ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

चला हे गुणाकार करूया:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

ते अभिव्यक्ती आहे (a+b) 2 समान आहे a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

हे प्रकरण ( a+b) 2 कोणत्याही साठी वाढवले ​​जाऊ शकते aआणि b. आम्ही सोडवलेले पहिले उदाहरण, म्हणजे (2 x+ 3y) 2 ओळख वापरून सोडवता येते (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . हे करण्यासाठी, आपल्याला व्हेरिएबल्सऐवजी बदलण्याची आवश्यकता आहे aआणि bअभिव्यक्तीतून संबंधित संज्ञा (2 x+ 3y) २ . या प्रकरणात, चल aमॅच डिक 2 x, आणि व्हेरिएबल bमॅच डिक 3 y

a = 2x

b = 3y

आणि मग आपण ओळख वापरू शकतो (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , परंतु व्हेरिएबल्सऐवजी aआणि bतुम्हाला अभिव्यक्ती 2 बदलण्याची आवश्यकता आहे xआणि ३ yअनुक्रमे:

(2x+ 3y) 2 = (2x) २ + २ × २ x× ३ y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

मागच्या वेळेप्रमाणेच आम्हाला बहुपद मिळाले 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . सोल्यूशन सामान्यत: लहान लिहिले जाते, सर्व प्राथमिक परिवर्तने मनात आणून:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

ओळख (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गाचे सूत्र असे म्हणतात. हे सूत्र खालीलप्रमाणे वाचले जाऊ शकते:

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा वर्ग हा पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या दुप्पट अधिक पहिल्या अभिव्यक्तीच्या गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसरा अधिक दुसऱ्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या समान असतो.

अभिव्यक्ती विचारात घ्या (2 + 3) 2 . त्याची गणना दोन प्रकारे केली जाऊ शकते: कंसात बेरीज करा आणि परिणामाचे वर्गीकरण करा किंवा दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गासाठी सूत्र वापरा.

पहिला मार्ग:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

दुसरा मार्ग:

(२ + ३) २ = २ २ + २ × २ × ३ + ३ २ = ४ + १२ + ९ = २५

उदाहरण २. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा (5 a+ 3) 2 बहुपदी मध्ये.

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गासाठी सूत्र वापरू:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

म्हणजे, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

बेरीज स्क्वेअर फॉर्म्युला न वापरता हे उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करू. आम्हाला समान परिणाम मिळाला पाहिजे:

(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गासाठी सूत्राचा भौमितिक अर्थ आहे. आम्ही लक्षात ठेवतो की चौरसाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, तुम्हाला त्याची बाजू दुसऱ्या पॉवरपर्यंत वाढवणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, एका बाजूसह चौरसाचे क्षेत्रफळ aच्या समान असेल a 2. जर तुम्ही चौरसाची बाजू द्वारे वाढवली b, तर क्षेत्रफळ समान असेल ( a+b) 2

खालील आकृतीचा विचार करा:

कल्पना करा की या आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या चौरसाची बाजू ने वाढली आहे b. चौरसाच्या सर्व बाजू समान असतात. जर त्याची बाजू वाढली असेल तर b, नंतर इतर बाजू देखील वाढतील b

परिणाम एक नवीन चौरस आहे, जो मागील एकापेक्षा मोठा आहे. ते चांगले पाहण्यासाठी, गहाळ बाजू पूर्ण करूया:

या चौरसाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, तुम्ही त्यात समाविष्ट केलेले चौरस आणि आयतांची स्वतंत्रपणे गणना करू शकता, त्यानंतर परिणाम जोडा.

प्रथम, आपण एका बाजूसह चौरस मोजू शकता a- त्याचे क्षेत्रफळ समान असेल a 2. मग आपण बाजूंसह आयतांची गणना करू शकता aआणि b- ते समान असतील ab. मग आपण एका बाजूसह चौरस मोजू शकता b

परिणाम क्षेत्रांची खालील बेरीज आहे:

a 2 + ab+ab + b 2

समान आयतांच्या क्षेत्रांची बेरीज 2 चा गुणाकार करून बदलली जाऊ शकते ab, ज्याचा शब्दशः अर्थ आहे "आयत ab च्या क्षेत्रफळाच्या दोन वेळा पुनरावृत्ती करा" . बीजगणितानुसार, हे समान संज्ञा कमी करून प्राप्त होते abआणि ab. परिणाम एक अभिव्यक्ती आहे a 2 + 2ab+ b 2 , जी दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गासाठी सूत्राची उजवी बाजू आहे:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा वर्ग

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या वर्गाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा वर्ग पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वजा गुणाकाराच्या दुप्पट आणि दुसऱ्या अधिक दुसऱ्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या वर्गाइतका असतो.

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या वर्गाचे सूत्र दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या वर्गाच्या सूत्राप्रमाणेच काढले जाते. अभिव्यक्ती ( a-b) 2 हे दोन बहुपदींचे गुणाकार आहे, त्यातील प्रत्येक समान आहे ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

तुम्ही हा गुणाकार केल्यास, तुम्हाला बहुपद मिळेल a 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

उदाहरण १. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा (7 x− 5) 2 बहुपदी मध्ये.

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या वर्गाचे सूत्र वापरू.

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) २ − २ × ७ x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

म्हणजे, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

फरक स्क्वेअर फॉर्म्युला न वापरता हे उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया. आम्हाला समान परिणाम मिळाला पाहिजे:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या वर्गाच्या सूत्राचा देखील भौमितिक अर्थ आहे. जर एका बाजूसह चौरसाचे क्षेत्रफळ aच्या समान आहे a 2 , नंतर चौरसाचे क्षेत्रफळ ज्याच्या बाजूने कमी होईल b, समान असेल ( a-b) 2

खालील आकृतीचा विचार करा:

अशी कल्पना करा की या आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या चौरसाची बाजू ने कमी केली आहे b. चौरसाच्या सर्व बाजू समान असतात. जर एक बाजू कमी केली तर b, नंतर इतर बाजू देखील कमी होतील b

परिणाम एक नवीन चौरस आहे, जो मागील एकापेक्षा लहान आहे. आकृतीमध्ये ते पिवळ्या रंगात हायलाइट केले आहे. त्याची बाजू आहे a− bजुन्या बाजूपासून aने कमी झाले b. या स्क्वेअरचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी तुम्ही स्क्वेअरचे मूळ क्षेत्रफळ वापरू शकता a 2 जुन्या चौकोनाच्या बाजू कमी करण्याच्या प्रक्रियेत प्राप्त झालेल्या आयतांचे क्षेत्र वजा करा. चला हे आयत दाखवूया:

मग आपण खालील अभिव्यक्ती लिहू शकतो: जुने क्षेत्र a 2 वजा क्षेत्र abवजा क्षेत्र ( a-b)b

a 2 − ab − (a-b)b

अभिव्यक्तीमधील कंस विस्तृत करा ( a-b)b

a 2 − ab - ab + b 2

येथे समान अटी आहेत:

a 2 − 2ab + b 2

परिणाम एक अभिव्यक्ती आहे a 2 − 2ab + b 2 , जी दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या वर्गासाठी सूत्राची उजवी बाजू आहे:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

बेरजेचा वर्ग आणि फरकाचा वर्ग या सूत्रांना सामान्यतः म्हणतात संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे. ही सूत्रे तुम्हाला बहुपदी गुणाकार करण्याची प्रक्रिया लक्षणीयरीत्या सुलभ आणि वेगवान करण्याची परवानगी देतात.

यापूर्वी आम्ही म्हटले होते की बहुपदीच्या सदस्याचा स्वतंत्रपणे विचार केल्यास, त्याच्या समोर असलेल्या चिन्हासह एकत्रितपणे विचार करणे आवश्यक आहे.

परंतु संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे लावताना मूळ बहुपदीचे चिन्ह या पदाचेच चिन्ह मानले जाऊ नये.

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती दिली (5 x − 2y) 2 , आणि आम्हाला सूत्र वापरायचे आहे (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , नंतर त्याऐवजी b 2 बदलणे आवश्यक आहे y, −2 नाही y. हे सूत्रांसह कार्य करण्याचे वैशिष्ट्य आहे जे विसरले जाऊ नये.

(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) २ − २ × ५ x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

जर आपण −2 ची जागा घेतली y, तर याचा अर्थ असा होईल की मूळ अभिव्यक्तीच्या कंसातील फरक बेरीजने बदलला आहे:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

आणि या प्रकरणात फरकाच्या वर्गाचे सूत्र लागू करणे आवश्यक नाही, परंतु बेरीजच्या वर्गाचे सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे:

(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

अपवाद फॉर्मची अभिव्यक्ती असू शकते (x− (−y)) 2 . या प्रकरणात, सूत्र वापरून (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ऐवजी bबदलले पाहिजे (- y)

(x− (−y)) 2 = x२ − २ × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

परंतु फॉर्मचे वर्गीकरण अभिव्यक्ती x − (−y) , बेरीज सह वजाबाकी पुनर्स्थित करणे अधिक सोयीचे असेल x+y. मग मूळ अभिव्यक्ती फॉर्म घेईल ( x +y) 2 आणि बेरीजच्या वर्गाचे सूत्र वापरणे शक्य होईल, फरक नाही:

(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

बेरीज घन आणि फरक घन

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या घनाची सूत्रे आणि दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या घनाची सूत्रे खालीलप्रमाणे आहेत:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेच्या घनाचे सूत्र असे वाचले जाऊ शकते:

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा घन पहिल्या अभिव्यक्तीच्या घनाच्या बरोबरी अधिक पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या तीन पट गुणा दुसऱ्याच्या तीन पट पहिल्या अभिव्यक्तीच्या गुणाकार गुणिले दुसऱ्याच्या वर्गाच्या गुणा दुसऱ्याच्या घनाच्या अभिव्यक्ती

आणि दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या घनाचे सूत्र खालीलप्रमाणे वाचले जाऊ शकते:

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा घन पहिल्या अभिव्यक्तीच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या तीन पट व दुसरी अधिक पहिल्या अभिव्यक्तीच्या गुणाकाराच्या तीन पट आणि दुसऱ्या वजा घनाच्या वर्गाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचा आहे. दुसऱ्या अभिव्यक्तीचे.

समस्या सोडवताना, ही सूत्रे मनापासून जाणून घेणे इष्ट आहे. जर तुम्हाला आठवत नसेल तर काळजी करू नका! तुम्ही त्यांना स्वतःहून बाहेर काढू शकता. कसे ते आम्हाला आधीच माहित आहे.

चला बेरीज क्यूब फॉर्म्युला स्वतःच काढूया:

(a+b) 3

अभिव्यक्ती ( a+b) 3 हे तीन बहुपदींचे गुणाकार आहे, त्यातील प्रत्येक समान आहे ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

पण अभिव्यक्ती ( a+b) 3 असे देखील लिहिता येते (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

या प्रकरणात, घटक ( a+ b) 2 हा दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा वर्ग आहे. बेरीजचा हा वर्ग अभिव्यक्तीच्या बरोबरीचा आहे a 2 + 2ab + b 2 .

मग ( a+b) 3 असे लिहिता येईल (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

आणि हा बहुपदीचा बहुपदी गुणाकार आहे. चला ते कार्यान्वित करूया:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

त्याचप्रमाणे, तुम्ही दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या घनासाठी सूत्र काढू शकता:

(a-b) 3 = (एक- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

उदाहरण १. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा ( x+ 1) 3 बहुपदी मध्ये.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x३+३× x 2×1 + 3× x× १ २ + १ ३ = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचे घन सूत्र न वापरता हे उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

उदाहरण २. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा (6a 2 + 3b 3) 3 बहुपदी मध्ये.

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेसाठी क्यूब फॉर्म्युला वापरू.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a२) ३ + ३ × (६ a२) २×३ b३+३×६ a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a६+३×३६ a४×३ b३+३×६ a 2×9 b 6 + 27b 9

उदाहरण ३. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा ( n 2 − 3) 3 बहुपदी मध्ये.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n२) ३ − ३ × ( n२) २×३ + ३× n२ × ३ २ − ३ ३ = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

उदाहरण ४. अभिव्यक्ती रूपांतरित करा (2x 2 − x 3) 3 बहुपदी मध्ये.

दोन अभिव्यक्तींमधील फरकाचे घन सूत्र वापरू.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x२) ३ − ३ × (२ x२) २× x३+३×२ x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x६ − ३ × ४ x४× x३+३×२ x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेने गुणाकार करणे

अशा समस्या आहेत ज्यामध्ये दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ:

(a-b)(a+b)

या अभिव्यक्तीमध्ये, दोन अभिव्यक्तींचा फरक aआणि bसमान दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेने गुणाकार. चला हे गुणाकार करूया:

(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

ते अभिव्यक्ती आहे (a-b)(a+b) समान a 2 − b 2

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

आपण पाहतो की दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा त्यांच्या बेरजेने गुणाकार केल्यावर आपल्याला या अभिव्यक्तींच्या वर्गांचा फरक मिळतो.

दोन अभिव्यक्तींच्या फरकाचा गुणाकार आणि त्यांची बेरीज या अभिव्यक्तींच्या वर्गांच्या फरकाइतकी आहे.

होत आहे (a-b)(a+b) कोणत्याही पर्यंत वाढवता येते aआणि b. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, समस्या सोडवताना दोन अभिव्यक्तींचा फरक त्यांच्या बेरजेने गुणाकार करणे आवश्यक असल्यास, हा गुणाकार या अभिव्यक्तींच्या वर्गांच्या फरकाने बदलला जाऊ शकतो.

उदाहरण १. गुणाकार करा (2x − 5)(2x + 5)

या उदाहरणात, अभिव्यक्ती फरक 2 आहे xआणि 5 या समान अभिव्यक्तींच्या बेरजेने गुणाकार. मग सूत्रानुसार (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 आमच्याकडे आहे:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

आम्ही उजव्या बाजूची गणना करतो, आम्हाला 4 मिळते x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

सूत्र न वापरता हे उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . आम्हाला समान परिणाम मिळेल 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

उदाहरण २. गुणाकार करा (4x − 5y)(4x + 5y)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

उदाहरण ३. गुणाकार करा (2a+ 3b)(2a− 3b)

दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेने गुणाकार करण्यासाठी सूत्र वापरू:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(2a + 3b)(2एक- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

या उदाहरणात, संज्ञांची बेरीज 2 आहे aआणि ३ bया अटींच्या फरकापेक्षा आधी स्थित. आणि सूत्रात (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 फरक आधी स्थित आहे.

घटकांची मांडणी कशी केली जाते याने काही फरक पडत नाही ( a-b) मध्ये ( a+b) सूत्रात. ते असे लिहिले जाऊ शकतात (a-b)(a+b) , आणि (a+b)(a-b) . परिणाम अजूनही होईल a 2 − b 2 , कारण घटकांच्या क्रमपरिवर्तनातून उत्पादन बदलत नाही.

तर या उदाहरणात, घटक (2 a + 3b) आणि २ एक- 3b) असे लिहिले जाऊ शकते (2a + 3b)(2एक- 3b) , आणि (2एक- 3b)(2a + 3b) . निकाल अजूनही 4 असेल. a 2 − 9b 2 .

उदाहरण ३. गुणाकार करा (7 + 3x)(3x − 7)

दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेने गुणाकार करण्यासाठी सूत्र वापरू:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

उदाहरण ४. गुणाकार करा (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

उदाहरण ५. गुणाकार करा (−5x− 3y)(5x− 3y)

अभिव्यक्तीमध्ये (−5 x− 3y) आम्ही −1 काढतो, नंतर मूळ अभिव्यक्ती खालील फॉर्म घेईल:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

काम (5x + 3y)(5x − 3y) चौरसांच्या फरकाने बदला:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

चौरसांचा फरक कंसात बंद केला होता. जर हे केले नाही, तर असे दिसून येईल की −1 फक्त (5) ने गुणाकार केला आहे x) २ . आणि यामुळे त्रुटी निर्माण होईल आणि मूळ अभिव्यक्तीचे मूल्य बदलेल.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

आता कंसात −1 ला गुणाकार करा आणि अंतिम परिणाम मिळवा:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करणे

अशा समस्या आहेत ज्यामध्ये दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. हा तुकडा यासारखा दिसतो:

(a-b)(a 2 + ab + b 2)

प्रथम बहुपदी ( a-b) हा दोन अभिव्यक्तींचा फरक आणि दुसरा बहुपदी आहे (a 2 + ab + b 2) या दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा अपूर्ण वर्ग आहे.

बेरीजचा अपूर्ण वर्ग हा फॉर्मचा बहुपदी आहे a 2 + ab + b 2 . हे बेरीजच्या नेहमीच्या वर्गासारखे असते a 2 + 2ab + b 2

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती 4x 2 + 6xy + 9y 2 अभिव्यक्ती 2 च्या बेरीजचा अपूर्ण वर्ग आहे xआणि ३ y .

खरंच, अभिव्यक्तीची पहिली संज्ञा 4x 2 + 6xy + 9y 2 , म्हणजे 4 x 2 हा अभिव्यक्ती 2 चा वर्ग आहे x, पासून (2 x) 2 = 4x 2. अभिव्यक्तीची तिसरी संज्ञा 4x 2 + 6xy + 9y 2 , म्हणजे ९ y 2 हा 3 चा वर्ग आहे y, कारण (3 y) 2 = 9y 2. मिड डिक 6 xy, अभिव्यक्ती 2 चे उत्पादन आहे xआणि ३ y

तर फरक गुणाकार करूया ( a-b) बेरीजच्या अपूर्ण वर्गाने a 2 + ab + b 2

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

ते अभिव्यक्ती आहे (a-b)(a 2 + ab + b 2) समान a 3 − b 3

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

या ओळखीला दोन अभिव्यक्तींमधील फरक त्यांच्या बेरजेच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करण्याचे सूत्र म्हणतात. हे सूत्र खालीलप्रमाणे वाचले जाऊ शकते:

दोन अभिव्यक्तींमधील फरक आणि त्यांच्या बेरीजचा अपूर्ण वर्ग यांचा गुणाकार या अभिव्यक्तींच्या घनांच्या फरकाइतका आहे.

उदाहरण १. गुणाकार करा (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

प्रथम बहुपदी (2 x − 3y) दोन अभिव्यक्ती 2 मध्ये फरक आहे xआणि ३ y. दुसरे बहुपद 4x 2 + 6xy + 9y 2 दोन अभिव्यक्ती 2 च्या बेरीजचा अपूर्ण वर्ग आहे xआणि ३ y. हे आम्हाला दीर्घ गणना न करता सूत्र वापरण्याची परवानगी देते (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . आमच्या बाबतीत, गुणाकार (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) क्यूब्स 2 च्या फरकाने बदलले जाऊ शकते xआणि ३ y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . आम्हाला समान परिणाम मिळतो, परंतु समाधान लांब होते:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

उदाहरण २. गुणाकार करा (3 − x)(9 + 3x + x 2)

प्रथम बहुपदी (3 − x) हा दोन अभिव्यक्तींमधील फरक आहे आणि दुसरा बहुपद हा या दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा अपूर्ण वर्ग आहे. हे आम्हाला सूत्र वापरण्याची परवानगी देते (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा त्यांच्या फरकाच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करणे

अशा समस्या आहेत ज्यामध्ये दोन अभिव्यक्तींची बेरीज त्यांच्या फरकाच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. हा तुकडा यासारखा दिसतो:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

प्रथम बहुपदी ( a+b (a 2 − ab + b 2) या दोन अभिव्यक्तींमधील फरकाचा अपूर्ण वर्ग आहे.

फरकाचा अपूर्ण वर्ग हा फॉर्मचा बहुपदी आहे a 2 − ab + b 2 . हे नेहमीच्या चौरस फरकासारखेच आहे a 2 − 2ab + b 2 त्याशिवाय त्यात प्रथम आणि द्वितीय अभिव्यक्तींचे उत्पादन दुप्पट केले जात नाही.

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती 4x 2 − 6xy + 9y 2 अभिव्यक्ती 2 च्या फरकाचा अपूर्ण वर्ग आहे xआणि ३ y

(2x) 2 − 2x× ३ y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

मूळ उदाहरणाकडे वळू. चला बेरीज करू a+bफरकाच्या अपूर्ण वर्गाने a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

ते अभिव्यक्ती आहे (a+b)(a 2 − ab + b 2) समान a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

या ओळखीला दोन अभिव्यक्तींच्या बेरजेचा त्यांच्या फरकाच्या अपूर्ण वर्गाने गुणाकार करण्याचे सूत्र म्हणतात. हे सूत्र खालीलप्रमाणे वाचले जाऊ शकते:

दोन अभिव्यक्तींची बेरीज आणि त्यांच्यातील फरकाचा अपूर्ण वर्ग यांचा गुणाकार या अभिव्यक्तींच्या घनांच्या बेरजेइतका आहे.

उदाहरण १. गुणाकार करा (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

प्रथम बहुपदी (2 x + 3y) दोन अभिव्यक्ती 2 ची बेरीज आहे xआणि ३ y, आणि दुसरे बहुपद 4x 2 − 6xy + 9y 2 या अभिव्यक्तींच्या फरकाचा अपूर्ण वर्ग आहे. हे आम्हाला दीर्घ गणना न करता सूत्र वापरण्याची परवानगी देते (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . आमच्या बाबतीत, गुणाकार (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) क्यूब्स 2 च्या बेरजेने बदलले जाऊ शकते xआणि ३ y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

सूत्र न वापरता तेच उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . आम्हाला समान परिणाम मिळतो, परंतु समाधान लांब होते:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

उदाहरण २. गुणाकार करा (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

प्रथम बहुपदी (2 x+ y) ही दोन अभिव्यक्तींची बेरीज आणि दुसरी बहुपदी आहे (4x 2 − 2xy + y 2) या अभिव्यक्तींच्या फरकाचा अपूर्ण वर्ग आहे. हे आम्हाला सूत्र वापरण्याची परवानगी देते (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

सूत्र न वापरता तेच उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . आम्हाला समान परिणाम मिळतो, परंतु समाधान लांब होते:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये

तुम्हाला धडा आवडला का?
आमच्या नवीन Vkontakte गटात सामील व्हा आणि नवीन धड्यांच्या सूचना प्राप्त करणे सुरू करा

बीजगणित

अभिव्यक्तींचे रूपांतर करण्यासाठी लहान गुणाकार सूत्रे वापरली जातात. बहुपदी म्हणून संपूर्ण अभिव्यक्तीचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी आणि बहुपदींचे गुणांकन करण्यासाठी ओळख वापरल्या जातात.

• 1 बेरीज चौरस(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 फरकाचा वर्ग(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 चौरसांचा फरक a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 बेरीज घन(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 फरक घन(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 क्यूब्सची बेरीज a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 क्यूब्सचा फरक a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

चौरसांसाठी सूत्रे

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

घन सूत्रे

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

चौथ्या पदवीसाठी सूत्रे

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे

1. बेरीजचे वर्ग करा

2. चौरस फरक

3. वर्गांची बेरीज आणि फरक

4. तिसऱ्या घाताची बेरीज (बेरजेचा घन)

5. थर्ड डिग्री मधील फरक (फरक घन)

6. क्यूब्सची बेरीज आणि फरक

7. चौथ्या अंशासाठी संक्षिप्त गुणाकारासाठी सूत्रे

8. पाचव्या अंशासाठी संक्षिप्त गुणाकारासाठी सूत्रे

9. सहाव्या अंशासाठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे

10. पदवी n साठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे, कुठे n- कोणतीही नैसर्गिक संख्या

11. अंश n साठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे, कुठे n- अगदी सकारात्मक संख्या

12. पदवी n साठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे, कुठे n- विषम सकारात्मक संख्या