Suprafața laterală a cilindrului se numește. Corpuri geometrice

Corpul de rotație numit corp format ca urmare a rotației unei linii în jurul unei drepte.

CILINDRU

Un cilindru (cilindru circular) este un corp care este format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor cercuri. Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor se numesc generatoare ale cilindrului.

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale. Deoarece în timpul unui transfer paralel planul trece într-un plan paralel, bazele cilindrului se află în planuri paralele. Deoarece, în timpul transferului paralel, punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele la aceeași distanță, atunci generatoarele cilindrului sunt paralele și egale. Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor. Vom lua în considerare doar un cilindru circular drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.

Un cilindru poate fi obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Figura prezintă un cilindru obţinut prin rotirea dreptunghiului ABCD în jurul laturii AB. În acest caz, suprafața laterală a cilindrului este formată prin rotirea laterală CD, iar baza - prin rotirea laturilor BC și AD.

Secțiuni de cilindru

1) Dacă planul de tăiere trece prin axa cilindrului, atunci secțiunea este un dreptunghi (vezi figura), ale cărui două laturi sunt generatrice, iar celelalte două sunt diametrele bazelor cilindrului. O astfel de secțiune se numește axială.

Vom începe un nou subiect online, iar când voi ajunge vom efectua un test și un test pe tema „Mișcare și Vectori”.

• Începem cunoștințele noastre cu o nouă clasă de corpuri geometrice - corpurile revoluției. Primul reprezentant al acestei clase, cu care suntem familiarizați, este un cilindru.
• De ce un cilindru este numit corp de revoluție?

C cilindru, se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.

• Cilindrul este format din două cercuri și multe segmente.
• Cilindru- Acesta este un corp geometric format din două cercuri egale situate în planuri paralele și un set de segmente care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri.
• Definiții ale elementelor cilindrice:

Baze cilindrilor- cercuri egale situate în planuri paralele

Înălțimea cilindrului- acest distanța dintre planurile bazelor sale.

Axa cilindrului este o linie dreaptă care trece prin centrele bazei cilindrului (axa cilindrului este axa de rotație a cilindrului).

Secțiunea axială a cilindrului- sectiunea cilindrului printr-un plan care trece prin axa cilindrului (sectiunea axiala a cilindrului este planul de simetrie al cilindrului). Toate secțiunile axiale ale cilindrului sunt dreptunghiuri egale

Generator cilindric- acesta este un segment care leagă punctul cercului bazei superioare cu punctul corespunzător al cercului bazei inferioare. Toate generatoarele sunt paralele cu axa de rotație și au aceeași lungime, egală cu înălțimea cilindrului.

Se formează generatoarea cilindrului în timpul rotației în jurul axeisuprafata laterala (cilindrica) a unui cilindru.

Raza cilindruluieste raza bazei sale.

cilindru drept este un cilindru ale cărui generatoare sunt perpendiculare pe bază.

Cilindru echivalent- un cilindru a cărui înălțime este egală cu diametrul (afișați un cilindru egal: butonul cu pictograma mână pentru a comuta modelul înapoi în modul interactiv și a modifica valoarea înălțimii și razei modelului propus astfel încât ).

• Derivarea formulei suprafeței laterale.

  Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului este un dreptunghi cu laturiHȘi C, Unde Heste înălțimea cilindrului șiCeste circumferința bazei. Obținem formule pentru calcularea ariilor lateraluluiS b și complet S n suprafete: S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R(R + H).

Ancorare

Sarcina numărul 1. Calculați aria suprafeței laterale și a întregii suprafețe a unui cilindru a cărui rază este de 3 cm și înălțimea este de 5 cm (pi și răspunsul sunt rotunjite la numere întregi).

2. Înălțimea cilindrului esteh, raza bazeiR. Găsiți aria secțiunii transversale a unui plan trasat paralel cu axa cilindrului la distanțăA de la ea.

Teme pentru acasă: 522, 524, 526.

• Р.S/ pentru cei interesați, încercați să urmați linkul și să vedeți resursa electronică despre cilindru, mai întâi pe pagină, instalați modulul OMS pe computer și descărcați modulul. Pe tabelul pop-up, dați clic pe redare. Și apoi parcurge toate paginile în ordine.
• MULȚUMIRI TUTUROR.

Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. S-a născut prin eforturile primilor geodeți antici. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, pâraiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. După deversare, persoane speciale au fost angajate în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite. În urma activităților lor, a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia antică. Acolo și-a primit numele și a căpătat un aspect aproape modern. În viitor, termenul a devenit numele internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.

Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figurilor plane. O altă ramură a științei este stereometria, care ia în considerare proprietățile figurilor spațiale (volumice). Cilindrul descris în acest articol aparține și el unor astfel de figuri.

Există o mulțime de exemple de prezență a obiectelor cilindrice în viața de zi cu zi. Aproape toate părțile de rotație - arborii, bucșele, gâturile, osiile etc. au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă în construcții: turnuri, suport, coloane decorative. Și în plus, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult timp un simbol al eleganței masculine. Lista este nesfârșită.

Definirea unui cilindru ca figură geometrică

Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.

Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem în față un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare de pe cercuri sunt paralele și egale.

Totalitatea unui set infinit de generatoare nu este altceva decât suprafața laterală a unui cilindru - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.

Tipuri de cilindri

Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.

Bazele cilindrilor pot forma (cu excepția cercurilor) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă poate servi ca bază a unui cilindru. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.

Dupa unghiul de inclinare al generatricelor fata de baze, cilindrii pot fi drepti sau inclinati. Pentru un cilindru drept, generatoarele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi diferă de 90°, cilindrul este înclinat.

Ce este o suprafață a revoluției

Un cilindru circular drept este, fără îndoială, cea mai comună suprafață de revoluție folosită în inginerie. Uneori, conform indicațiilor tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, osii etc. realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.

Să spunem că există o linie A plasat vertical. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.

În acest caz, ca urmare a rotației figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Rotind un triunghi, puteți obține un con, rotind un semicerc - o minge etc.

Suprafața cilindrului

Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafeței laterale.

Mai întâi, să ne uităm la modul în care se calculează aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P la raza cercului.

Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P la pătratul razei. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu de două ori expresia pentru aria de bază (sunt două) și efectuând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea ariei suprafeței cilindru.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul unui cilindru este determinat de schema standard: suprafața bazei este înmulțită cu înălțimea.

Astfel, formula finală arată astfel: doritul este definit ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal. Pși pătratul razei bazei.

Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul unui cilindru, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.

Singura diferență în formulă este că în loc de raza unui cilindru există diametrul miezului de cablu împărțit în două, iar numărul de miezuri din fir apare în expresie N. De asemenea, lungimea firului este folosită în loc de înălțime. Astfel, volumul „cilindrului” este calculat nu de unul, ci de numărul de fire din împletitură.

Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a rezervoarelor de apă este realizată sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze cu ce este egal volumul cilindrului înclinat.

Diferența este că suprafața bazei este înmulțită nu cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre plane - un segment perpendicular construit între ele.

După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul lungimii generatricei cu sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.

Cum se construiește un cilindru de măturat

În unele cazuri, este necesară tăierea unui alez cilindric. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.

Vă rugăm să rețineți că figura este afișată fără cusături.

Diferențele de cilindru teșit

Să ne imaginăm un cilindru drept mărginit pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care limitează cilindrul pe cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.

Figura prezintă un cilindru teșit. Avion dar la un alt unghi decât 90° față de generatoare, intersectează figura.

Această formă geometrică este mai frecventă în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.

Caracteristicile geometrice ale cilindrului teșit

Panta unuia dintre planurile cilindrului teșit modifică ușor ordinea de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.

Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. S-a născut prin eforturile primilor geodeți antici. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, pâraiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. După deversare, persoane speciale au fost angajate în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite. În urma activităților lor, a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia antică. Acolo și-a primit numele și a căpătat un aspect aproape modern. În viitor, termenul a devenit numele internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.

Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figurilor plane. O altă ramură a științei este stereometria, care ia în considerare proprietățile figurilor spațiale (volumice). Cilindrul descris în acest articol aparține și el unor astfel de figuri.

Există o mulțime de exemple de prezență a obiectelor cilindrice în viața de zi cu zi. Aproape toate părțile de rotație - arborii, bucșele, gâturile, osiile etc. au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă în construcții: turnuri, suport, coloane decorative. Și în plus, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult timp un simbol al eleganței masculine. Lista este nesfârșită.

Definirea unui cilindru ca figură geometrică

Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.

Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem în față un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare de pe cercuri sunt paralele și egale.

Totalitatea unui set infinit de generatoare nu este altceva decât suprafața laterală a unui cilindru - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.

Tipuri de cilindri

Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.

Bazele cilindrilor pot forma (cu excepția cercurilor) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă poate servi ca bază a unui cilindru. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.

Dupa unghiul de inclinare al generatricelor fata de baze, cilindrii pot fi drepti sau inclinati. Pentru un cilindru drept, generatoarele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi diferă de 90°, cilindrul este înclinat.

Ce este o suprafață a revoluției

Un cilindru circular drept este, fără îndoială, cea mai comună suprafață de revoluție folosită în inginerie. Uneori, conform indicațiilor tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, osii etc. realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.

Să spunem că există o linie A plasat vertical. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.

În acest caz, ca urmare a rotației figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Rotind un triunghi, puteți obține un con, rotind un semicerc - o minge etc.

Suprafața cilindrului

Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafeței laterale.

Mai întâi, să ne uităm la modul în care se calculează aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P la raza cercului.

Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P la pătratul razei. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu de două ori expresia pentru aria de bază (sunt două) și efectuând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea ariei suprafeței cilindru.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul unui cilindru este determinat de schema standard: suprafața bazei este înmulțită cu înălțimea.

Astfel, formula finală arată astfel: doritul este definit ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal. Pși pătratul razei bazei.

Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul unui cilindru, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.

Singura diferență în formulă este că în loc de raza unui cilindru există diametrul miezului de cablu împărțit în două, iar numărul de miezuri din fir apare în expresie N. De asemenea, lungimea firului este folosită în loc de înălțime. Astfel, volumul „cilindrului” este calculat nu de unul, ci de numărul de fire din împletitură.

Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a rezervoarelor de apă este realizată sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze cu ce este egal volumul cilindrului înclinat.

Diferența este că suprafața bazei este înmulțită nu cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre plane - un segment perpendicular construit între ele.

După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul lungimii generatricei cu sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.

Cum se construiește un cilindru de măturat

În unele cazuri, este necesară tăierea unui alez cilindric. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.

Vă rugăm să rețineți că figura este afișată fără cusături.

Diferențele de cilindru teșit

Să ne imaginăm un cilindru drept mărginit pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care limitează cilindrul pe cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.

Figura prezintă un cilindru teșit. Avion dar la un alt unghi decât 90° față de generatoare, intersectează figura.

Această formă geometrică este mai frecventă în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.

Caracteristicile geometrice ale cilindrului teșit

Panta unuia dintre planurile cilindrului teșit modifică ușor ordinea de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.

Cilindru (cilindru circular) - un corp care constă din două cercuri combinate prin transfer paralel și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor cercuri. Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor se numesc generatoare ale cilindrului.

Bazele cilindrului sunt egale și se află în planuri paralele, iar generatoarele cilindrului sunt paralele și egale. Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală. Suprafața laterală este formată din generatoare.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazei. Un cilindru poate fi considerat ca un corp obtinut prin rotirea unui dreptunghi in jurul uneia dintre laturile sale ca axa. Există și alte tipuri de cilindri - eliptice, hiperbolice, parabolice. O prismă este, de asemenea, considerată un fel de cilindru.

Figura 2 prezintă un cilindru înclinat. Cercurile cu centrele O și O 1 sunt bazele sale.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea cilindrului este distanța dintre planurile bazelor. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele. Secțiunea unui cilindru printr-un plan care trece prin axa cilindrului se numește secțiune axială. Planul care trece prin generatoarea unui cilindru drept și perpendicular pe secțiunea axială trasată prin această generatrică se numește plan tangent al cilindrului.

Un plan perpendicular pe axa cilindrului intersectează suprafața sa laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei.

O prismă înscrisă într-un cilindru este o prismă ale cărei baze sunt poligoane egale înscrise în bazele cilindrului. Marginile sale laterale sunt generatrice ale cilindrului. Se spune că o prismă este circumscrisă lângă un cilindru dacă bazele sale sunt poligoane egale circumscrise lângă bazele cilindrului. Planurile fețelor sale ating suprafața laterală a cilindrului.

Aria suprafeței laterale a cilindrului poate fi calculată prin înmulțirea lungimii generatricei cu perimetrul secțiunii cilindrului cu un plan perpendicular pe generatrice.

Suprafața laterală a unui cilindru drept poate fi găsită din dezvoltarea acestuia. Dezvoltarea cilindrului este un dreptunghi cu înălțimea h și lungimea P, care este egal cu perimetrul bazei. Prin urmare, aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu aria dezvoltării acestuia și se calculează prin formula:

În special, pentru un cilindru circular drept:

P = 2πR și Sb = 2πRh.

Suprafața totală a unui cilindru este egală cu suma suprafețelor sale laterale și ale bazelor sale.

Pentru un cilindru circular drept:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Există două formule pentru a afla volumul unui cilindru înclinat.

Puteți găsi volumul înmulțind lungimea generatricei cu aria secțiunii transversale a cilindrului cu un plan perpendicular pe generatrice.

Volumul unui cilindru înclinat este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea (distanța dintre planurile în care se află bazele):

V = Sh = S l sin α,

unde l este lungimea generatricei, iar α este unghiul dintre generatrice și planul bazei. Pentru un cilindru drept h = l.

Formula pentru găsirea volumului unui cilindru circular este următoarea:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

unde d este diametrul bazei.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.