Împărțirea logaritmilor cu aceeași bază. Calcul de logaritmi, exemple, soluții

proprietăți de bază.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aceleași temeiuri

log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, vei ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.

3.

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul.

Formule de logaritmi. Logaritmii sunt exemple de soluții.

Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul numărului b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o astfel de putere x () la care egalitatea este adevărată

Proprietățile de bază ale logaritmului

Proprietățile de mai sus trebuie cunoscute, deoarece, pe baza lor, aproape toate problemele și exemplele sunt rezolvate pe baza logaritmilor. Proprietățile exotice rămase pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

La calcularea formulelor pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) sunt întâlnite destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul de bază zece este de obicei numit logaritm de bază zece și se notează simplu lg(x).

Din înregistrare se poate observa că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Logaritmul natural este logaritmul a cărui bază este exponentul (notat ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important de bază doi este

Derivata logaritmului funcției este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de dependență

Materialul de mai sus este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a asimila materialul, voi da doar câteva exemple comune din programa școlară și universități.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.
Prin proprietatea de diferență a logaritmilor, avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

O expresie aparent complexă folosind o serie de reguli este simplificată la formă

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm proprietățile 5 și 13 până la ultimul termen

Înlocuiește în evidență și plânge

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Luați logaritmul variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor

Acesta este doar începutul cunoașterii logaritmilor și proprietăților lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele dobândite pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele pentru un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice ...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Logaritmul lui b (b > 0) la baza a (a > 0, a ≠ 1) este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b.

Logaritmul de bază 10 al lui b poate fi scris ca jurnal(b), iar logaritmul la baza e (logaritmul natural) - ln(b).

Folosit adesea la rezolvarea problemelor cu logaritmi:

Proprietățile logaritmilor

Sunt patru principale proprietățile logaritmilor.

Fie a > 0, a ≠ 1, x > 0 și y > 0.

Proprietatea 1. Logaritmul produsului

Logaritmul produsului este egală cu suma logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietatea 2. Logaritmul coeficientului

Logaritmul coeficientului este egală cu diferența de logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietatea 3. Logaritmul gradului

Logaritmul gradului este egal cu produsul gradului și logaritmului:

Dacă baza logaritmului este în exponent, atunci se aplică o altă formulă:

Proprietatea 4. Logaritmul rădăcinii

Această proprietate poate fi obținută din proprietatea logaritmului gradului, deoarece rădăcina gradului al n-lea este egală cu puterea lui 1/n:

Formula pentru trecerea de la un logaritm într-o bază la un logaritm într-o altă bază

Această formulă este, de asemenea, adesea folosită la rezolvarea diferitelor sarcini pentru logaritmi:

Caz special:

Compararea logaritmilor (inegalităților)

Să presupunem că avem 2 funcții f(x) și g(x) sub logaritmi cu aceleași baze și există un semn de inegalitate între ele:

Pentru a le compara, mai întâi trebuie să vă uitați la baza logaritmilor a:

• Dacă a > 0, atunci f(x) > g(x) > 0
• Daca 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cum se rezolvă probleme cu logaritmi: exemple

Sarcini cu logaritmi incluse în USE la matematică pentru clasa a 11-a în sarcina 5 și sarcina 7, sarcinile cu soluții găsești pe site-ul nostru în secțiunile corespunzătoare. De asemenea, sarcinile cu logaritmi se găsesc în banca de sarcini la matematică. Puteți găsi toate exemplele căutând pe site.

Ce este un logaritm

Logaritmii au fost întotdeauna considerați un subiect dificil în cursul de matematică din școală. Există multe definiții diferite ale logaritmului, dar din anumite motive majoritatea manualelor folosesc cele mai complexe și nefericite dintre ele.

Vom defini logaritmul simplu și clar. Să creăm un tabel pentru asta:

Deci, avem puteri de doi.

Logaritmi - proprietăți, formule, cum se rezolvă

Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

baza a a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x.

Notație: log a x \u003d b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată este numită. Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe interval. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, aruncați o privire la imagine:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este puterea, la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.

Cum se numără logaritmii

Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea gradului de către un exponent rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
2. Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții interval valid(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții cu privire la numărul b (valoarea logaritmului) nu este impus. De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1 .

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când intră în joc ecuațiile logaritmice și inegalitățile, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum luați în considerare schema generală de calcul a logaritmilor. Constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă cu exemple specifice:

O sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. A primit un raspuns: 2.

O sarcină. Calculați logaritmul:

O sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A primit un raspuns: 3.

O sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A primit un raspuns: 0.

O sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - doar descompuneți-l în factori primi. Dacă există cel puțin doi factori diferiți în expansiune, numărul nu este o putere exactă.

O sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: ​​8; 48; 81; 35; paisprezece.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 = 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;

De asemenea, rețineți că numerele prime în sine sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.

al argumentului x este logaritmul de bază 10, i.e. puterea la care trebuie ridicat 10 pentru a obține x. Denumire: lgx.

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.

logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimală. Acesta este logaritmul natural.

al argumentului x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: lnx.

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional, valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...

Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați doar că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Vezi si:

Logaritm. Proprietățile logaritmului (puterea logaritmului).

Cum se reprezintă un număr ca logaritm?

Folosim definiția unui logaritm.

Logaritmul este o măsură a puterii la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul sub semnul logaritmului.

Astfel, pentru a reprezenta un anumit număr c ca logaritm la baza a, este necesar să puneți un grad sub semnul logaritmului cu aceeași bază ca baza logaritmului și să scrieți acest număr c în exponent. :

Sub forma unui logaritm, puteți reprezenta absolut orice număr - pozitiv, negativ, întreg, fracțional, rațional, irațional:

Pentru a nu confunda a și c în condiții stresante ale unui test sau examen, puteți folosi următoarea regulă pentru a vă aminti:

ce este dedesubt coboară, ce este sus urcă.

De exemplu, doriți să reprezentați numărul 2 ca un logaritm la baza 3.

Avem două numere - 2 și 3. Aceste numere sunt baza și exponentul, pe care le vom scrie sub semnul logaritmului. Rămâne să se determine care dintre aceste numere ar trebui să fie notate, în baza gradului, și care - în sus, în exponent.

Baza 3 din înregistrarea logaritmului se află în partea de jos, ceea ce înseamnă că atunci când reprezentăm doiul ca logaritm la baza lui 3, vom nota și 3 la bază.

2 este mai mare decât 3. Și în notația gradului, scriem cele două deasupra celor trei, adică în exponent:

Logaritmi. Primul nivel.

Logaritmi

logaritm număr pozitiv b prin rațiune A, Unde a > 0, a ≠ 1, este exponentul la care trebuie ridicat numărul. A, A obtine b.

Definiţia logarithm poate fi scris pe scurt astfel:

Această egalitate este valabilă pentru b > 0, a > 0, a ≠ 1. El este de obicei chemat identitate logaritmică.
Se numește acțiunea de a găsi logaritmul unui număr logaritm.

Proprietățile logaritmilor:

Logaritmul produsului:

Logaritmul coeficientului din împărțire:

Înlocuirea bazei logaritmului:

Logaritmul gradului:

logaritm rădăcină:

Logaritm cu baza de putere:

Logaritmi zecimali și naturali.

Logaritm zecimal numerele apelează la baza 10 logaritmului acelui număr și scrie   lg b
logaritmul natural numerele apelează la bază logaritmul acestui număr e, Unde e este un număr irațional, aproximativ egal cu 2,7. În același timp, ei scriu ln b.

Alte note despre algebră și geometrie

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: log a x și log a y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

log 6 4 + log 6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Fie dat logaritmul log a x. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată.

În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. log a a = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. log a 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” prin baza sa „a” este considerat puterea lui „c” , la care trebuie ridicată baza „a”, pentru ca în final să capete valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, având în vedere sarcina de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se dovedește că în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, totuși, anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum vedeți, aplicând a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, după definiția logaritmului, obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

derivată din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b prin rațiune A definit ca exponentul la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației ax=b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiectul puterii unui număr.

Cu logaritmi, ca și în cazul oricăror numere, puteți performa operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar având în vedere faptul că logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți de bază.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Luați doi logaritmi cu aceeași bază: log xși log a y. Apoi eliminați este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Din teoreme logaritmului coeficientului mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este bine cunoscut acel jurnal A 1= 0, prin urmare,

Buturuga A 1 /b= jurnal A 1 - jurnal a b= -log a b.

Deci există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproc reciproce pe aceeași bază vor diferi unele de altele numai prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Interval acceptabil (ODZ) al logaritmului

Acum să vorbim despre restricții (ODZ - zona valorilor admisibile ale variabilelor).

Ne amintim că, de exemplu, rădăcina pătrată nu poate fi luată din numere negative; sau dacă avem o fracție, atunci numitorul nu poate fi egal cu zero. Există restricții similare pentru logaritmi:

Adică, atât argumentul, cât și baza trebuie să fie mai mari decât zero, iar baza nu poate fi egală.

De ce este asta?

Să începem simplu: să spunem asta. Atunci, de exemplu, numărul nu există, deoarece indiferent de gradul pe care îl ridicăm, se dovedește întotdeauna. Mai mult, nu există pentru niciuna. Dar, în același timp, poate fi egal cu orice (din același motiv - este egal cu orice grad). Prin urmare, obiectul nu prezintă interes și a fost pur și simplu aruncat din matematică.

Avem o problemă similară în cazul: în orice grad pozitiv - aceasta, dar nu poate fi ridicată deloc la o putere negativă, deoarece va rezulta împărțirea la zero (vă reamintesc că).

Când ne confruntăm cu problema ridicării la o putere fracțională (care este reprezentată ca rădăcină:. De exemplu, (adică), dar nu există.

Prin urmare, motivele negative sunt mai ușor de aruncat decât de a le pune în joc.

Ei bine, deoarece baza a este doar pozitivă pentru noi, atunci indiferent de gradul în care o ridicăm, vom obține întotdeauna un număr strict pozitiv. Deci argumentul trebuie să fie pozitiv. De exemplu, nu există, deoarece nu va fi un număr negativ în nicio măsură (și chiar zero, prin urmare nici nu există).

În problemele cu logaritmii, primul pas este să scrieți ODZ. Voi da un exemplu:

Să rezolvăm ecuația.

Reamintim definiția: logaritmul este puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține un argument. Și după condiție, acest grad este egal cu: .

Obținem ecuația pătratică obișnuită: . O rezolvăm folosind teorema Vieta: suma rădăcinilor este egală, iar produsul. Ușor de ridicat, acestea sunt numere și.

Dar dacă luați și notați imediat ambele numere în răspuns, puteți obține 0 puncte pentru sarcină. De ce? Să ne gândim ce se întâmplă dacă înlocuim aceste rădăcini în ecuația inițială?

Acest lucru este în mod clar fals, deoarece baza nu poate fi negativă, adică rădăcina este „terț”.

Pentru a evita astfel de trucuri neplăcute, trebuie să notați ODZ chiar înainte de a începe să rezolvați ecuația:

Apoi, după ce am primit rădăcinile și, aruncăm imediat rădăcina și scriem răspunsul corect.

Exemplul 1(incearca sa rezolvi singur) :

Găsiți rădăcina ecuației. Dacă există mai multe rădăcini, indicați-o pe cea mai mică în răspuns.

Soluţie:

Mai întâi de toate, să scriem ODZ:

Acum ne amintim ce este un logaritm: la ce putere trebuie să ridici baza pentru a obține un argument? In secunda. Acesta este:

S-ar părea că rădăcina mai mică este egală. Dar nu este așa: conform ODZ, rădăcina este terță parte, adică nu este deloc o rădăcină ecuația dată. Astfel, ecuația are o singură rădăcină: .

Răspuns: .

Identitatea logaritmică de bază

Amintiți-vă definiția unui logaritm în termeni generali:

Înlocuiți în a doua egalitate în loc de logaritm:

Această egalitate se numește identitate logaritmică de bază. Deși, în esență, această egalitate este doar scrisă diferit definirea logaritmului:

Aceasta este puterea la care trebuie să o ridici pentru a ajunge.

De exemplu:

Rezolvați următoarele exemple:

Exemplul 2

Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie:

Amintiți-vă regula din secțiune:, adică atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți. Să-l aplicăm:

Exemplul 3

Demonstrează asta.

Soluţie:

Proprietățile logaritmilor

Din păcate, sarcinile nu sunt întotdeauna atât de simple - adesea trebuie mai întâi să simplificați expresia, să o aduceți la forma obișnuită și numai atunci va fi posibil să calculați valoarea. Este cel mai ușor să faci asta știind proprietățile logaritmilor. Deci, să învățăm proprietățile de bază ale logaritmilor. Voi dovedi fiecare dintre ele, pentru că orice regulă este mai ușor de reținut dacă știi de unde vine.

Toate aceste proprietăți trebuie reținute; fără ele, majoritatea problemelor cu logaritmii nu pot fi rezolvate.

Și acum despre toate proprietățile logaritmilor în detaliu.

Proprietatea 1:

Dovada:

Lasă, atunci.

Avem: , h.t.d.

Proprietatea 2: Suma logaritmilor

Suma logaritmilor cu aceeași bază este egală cu logaritmul produsului: .

Dovada:

Lasă, atunci. Lasă, atunci.

Exemplu: Aflați valoarea expresiei: .

Soluție: .

Formula pe care tocmai ai învățat-o ajută la simplificarea sumei logaritmilor, nu a diferenței, astfel încât acești logaritmi nu pot fi combinați imediat. Dar puteți face opusul - „spărgeți” primul logaritm în două: Și iată simplificarea promisă:
.
De ce este nevoie de asta? Ei bine, de exemplu: ce contează?

Acum este evident că.

Acum ușurează-ți:

Sarcini:

Raspunsuri:

Proprietatea 3: Diferența de logaritmi:

Dovada:

Totul este exact la fel ca în paragraful 2:

Lasă, atunci.

Lasă, atunci. Avem:

Exemplul din ultimul punct este acum și mai simplu:

Exemplu mai complicat: . Ghiciți cum să decideți?

Aici trebuie remarcat faptul că nu avem o singură formulă despre logaritmi la pătrat. Acesta este ceva asemănător cu o expresie - aceasta nu poate fi simplificată imediat.

Prin urmare, să ne îndepărtam de formulele despre logaritmi și să ne gândim la ce formule folosim cel mai des în matematică? Încă din clasa a VII-a!

Aceasta - . Trebuie să te obișnuiești cu faptul că sunt peste tot! Și în exponențial, și în trigonometric și în sarcini iraționale s-au intalnit. Prin urmare, ele trebuie amintite.

Dacă te uiți cu atenție la primii doi termeni, devine clar că așa este diferența de pătrate:

Răspuns pentru a verifica:

Simplificați-vă.

Exemple

Răspunsuri.

Proprietatea 4: Derivarea exponentului din argumentul logaritmului:

Dovada:Și aici folosim și definiția logaritmului: let, then. Avem: , h.t.d.

Puteți înțelege această regulă astfel:

Adică, gradul argumentului este luat înainte de logaritm, ca coeficient.

Exemplu: Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie: .

Decide pentru tine:

Exemple:

Raspunsuri:

Proprietatea 5: Derivarea exponentului de la baza logaritmului:

Dovada: Lasă, atunci.

Avem: , h.t.d.
Amintiți-vă: de la temeiuri gradul este redat ca verso număr, spre deosebire de cazul precedent!

Proprietatea 6: Derivarea exponentului de la bază și argumentul logaritmului:

Sau dacă gradele sunt aceleași: .

Proprietatea 7: Tranziția la noua bază:

Dovada: Lasă, atunci.

Avem: , h.t.d.

Proprietatea 8: Schimbarea bazei și a argumentului logaritmului:

Dovada: Acesta este un caz special al formulei 7: dacă înlocuim, obținem: , p.t.d.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 4

Găsiți valoarea expresiei.

Folosim proprietatea logaritmilor nr. 2 - suma logaritmilor cu aceeași bază este egală cu logaritmul produsului:

Exemplul 5

Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie:

Folosim proprietatea logaritmilor nr. 3 și nr. 4:

Exemplul 6

Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie:

Folosind proprietatea numărul 7 - mergeți la baza 2:

Exemplul 7

Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie:

Cum iti place articolul?

Dacă citiți aceste rânduri, atunci ați citit întreg articolul.

Și e tare!

Acum spune-ne cum ți se pare articolul?

Ai învățat să rezolvi logaritmi? Dacă nu, care este problema?

Scrie-ne în comentariile de mai jos.

Și da, succes la examene.

La Unified State Exam și OGE și în general în viață