Un patrulater convex este o figură formată din patru laturi conectate între ele la vârfuri, formând patru unghiuri împreună cu laturile, în timp ce patrulaterul însuși este întotdeauna în același plan în raport cu linia dreaptă pe care se află una dintre laturile sale. Cu alte cuvinte, întreaga figură se află pe o parte a oricăreia dintre laturile sale.

In contact cu

După cum puteți vedea, definiția este destul de ușor de reținut.

Proprietăți și tipuri de bază

Aproape toate figurile cunoscute nouă, constând din patru colțuri și laturi, pot fi atribuite patrulaterelor convexe. Se pot distinge următoarele:

1. paralelogram;
2. pătrat;
3. dreptunghi;
4. trapez;
5. romb.

Toate aceste figuri sunt unite nu numai prin faptul că sunt patrulatere, ci și prin faptul că sunt și convexe. Uită-te doar la diagramă:

Figura prezintă un trapez convex. Aici puteți vedea că trapezul se află pe același plan sau pe o parte a segmentului. Dacă efectuați acțiuni similare, puteți afla că în cazul tuturor celorlalte laturi, trapezul este convex.

Este un paralelogram un patrulater convex?

Mai sus este o imagine a unui paralelogram. După cum se poate observa din figură, paralelogramul este de asemenea convex. Dacă te uiți la figură în raport cu dreptele pe care se află segmentele AB, BC, CD și AD, devine clar că este întotdeauna pe același plan față de aceste drepte. Principalele caracteristici ale unui paralelogram sunt că laturile sale sunt paralele în perechi și egale în același mod în care unghiurile opuse sunt egale între ele.

Acum, imaginați-vă un pătrat sau un dreptunghi. După proprietățile lor principale, sunt și paralelograme, adică toate laturile lor sunt dispuse în perechi în paralel. Doar în cazul unui dreptunghi lungimea laturilor poate fi diferită, iar unghiurile sunt drepte (egale cu 90 de grade), un pătrat este un dreptunghi în care toate laturile sunt egale și unghiurile sunt de asemenea drepte, în timp ce lungimile ale laturilor și unghiurilor unui paralelogram pot fi diferite.

Ca rezultat, suma tuturor celor patru colțuri ale patrulaterului trebuie să fie egal cu 360 de grade. Cel mai simplu mod de a determina acest lucru este printr-un dreptunghi: toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte, adică egale cu 90 de grade. Suma acestor unghiuri de 90 de grade dă 360 de grade, cu alte cuvinte, dacă adaugi 90 de grade de 4 ori, obții rezultatul dorit.

Proprietatea diagonalelor unui patrulater convex

Diagonalele unui patrulater convex se intersectează. Într-adevăr, acest fenomen poate fi observat vizual, doar uitați-vă la figură:

Figura din stânga arată un patrulater sau patrulater neconvex. Cum doriți. După cum puteți vedea, diagonalele nu se intersectează, cel puțin nu toate. În dreapta este un patrulater convex. Aici proprietatea diagonalelor de a se intersecta este deja observată. Aceeași proprietate poate fi considerată un semn al convexității patrulaterului.

Alte proprietăți și semne de convexitate ale unui patrulater

Mai exact, conform acestui termen, este foarte dificil să denumim proprietăți și caracteristici specifice. Este mai ușor de izolat în funcție de diferite tipuri de patrulatere de acest tip. Puteți începe cu un paralelogram. Știm deja că aceasta este o figură patruunghiulară, ale cărei laturi sunt paralele și egale pe perechi. În același timp, aceasta include și proprietatea diagonalelor unui paralelogram de a se intersecta unele cu altele, precum și semnul convexității figurii în sine: paralelogramul este întotdeauna în același plan și pe o parte față de orice. a laturilor sale.

Asa de, Principalele caracteristici și proprietăți sunt cunoscute:

1. suma unghiurilor unui patrulater este de 360 ​​de grade;
2. diagonalele figurilor se intersectează într-un punct.

Dreptunghi. Această cifră are toate aceleași proprietăți și caracteristici ca un paralelogram, dar toate unghiurile sale sunt egale cu 90 de grade. De aici și numele, dreptunghi.

Pătrat, același paralelogram, dar colțurile sale sunt drepte, ca un dreptunghi. Din această cauză, un pătrat este rar numit dreptunghi. Dar principala trăsătură distinctivă a unui pătrat, pe lângă cele deja enumerate mai sus, este că toate cele patru laturi ale sale sunt egale.

Trapezul este o figură foarte interesantă.. Acesta este, de asemenea, un patrulater și, de asemenea, convex. În acest articol, trapezul a fost deja luat în considerare folosind exemplul unui desen. Este clar că este și convexă. Principala diferență și, în consecință, un semn al unui trapez este că laturile sale nu pot fi absolut egale între ele în lungime, precum și unghiurile sale în valoare. În acest caz, figura rămâne întotdeauna pe același plan în raport cu oricare dintre liniile drepte care leagă oricare două dintre vârfurile sale de-a lungul segmentelor care formează figura.

Rombul este o figură la fel de interesantă. Parțial un romb poate fi considerat un pătrat. Un semn al unui romb este faptul că diagonalele sale nu numai că se intersectează, ci și împart colțurile rombului în jumătate, iar diagonalele înseși se intersectează în unghi drept, adică sunt perpendiculare. Dacă lungimile laturilor rombului sunt egale, atunci și diagonalele sunt împărțite în jumătate la intersecție.

Deltoizi sau romboizi convexe (rombi) poate avea lungimi laterale diferite. Dar, în același timp, atât proprietățile și caracteristicile principale ale rombului în sine, cât și caracteristicile și proprietățile convexității sunt încă păstrate. Adică putem observa că diagonalele bisectează colțurile și se intersectează în unghi drept.

Sarcina de astăzi a fost să luăm în considerare și să înțelegem ce sunt patrulaterele convexe, ce sunt acestea și principalele lor caracteristici și proprietăți. Atenţie! Merită să ne amintim încă o dată că suma unghiurilor unui patrulater convex este de 360 ​​de grade. Perimetrul figurilor, de exemplu, este egal cu suma lungimilor tuturor segmentelor care formează figura. Formulele de calcul pentru perimetrul și aria patrulaterelor vor fi discutate în articolele următoare.

Tipuri de patrulatere convexe

Definiție. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

Proprietate.Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, iar unghiurile opuse sunt egale.

Proprietate. Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul de intersecție.

1 semn al paralelogramului. Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.

2 semn al paralelogramului. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci patrulaterul este un paralelogram.

3 semn al paralelogramului. Dacă într-un patrulater diagonalele se intersectează și punctul de intersecție este bisectat, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Definiție. Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele. Laturile paralele se numesc temeiuri.

Trapezul se numește isoscel (isoscel) dacă laturile sale sunt egale. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la baze sunt egale.

dreptunghiular.

linia mediană a trapezului. Linia de mijloc este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.

Dreptunghi

Definiție.

Proprietate. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale.

Semn dreptunghi. Dacă diagonalele unui paralelogram sunt egale, atunci paralelogramul este un dreptunghi.

Definiție.

Proprietate. Diagonalele unui romb sunt reciproc perpendiculare și bisectează unghiurile acestuia.

Definiție.

Un pătrat este un anumit tip de dreptunghi și, de asemenea, un anumit tip de romb. Prin urmare, are toate proprietățile lor.

Proprietăți:
1. Toate colțurile pătratului sunt drepte

Cadrangula toate regulile

Cuvinte cheie:
patrulater, convex, suma unghiurilor, aria unui patrulater

patrulater se numește o figură, care constă din patru puncte și patru segmente care le unesc în serie. În acest caz, trei dintre aceste puncte nu ar trebui să se afle pe o singură linie dreaptă, iar segmentele care le leagă nu trebuie să se intersecteze.

• Vârfurile patrulaterului se numesc vecine dacă sunt capetele uneia dintre laturile sale.
• Noduri care nu sunt vecine , numit opus .
• Segmentele de linie care leagă vârfuri opuse ale unui patrulater se numesc diagonalele .
• Laturile unui patrulater care provin din același vârf se numesc vecine petreceri.
• Laturile care nu au un scop comun sunt numite opus petreceri.
• Patrulaterul se numește convex , dacă este situat într-un semiplan în raport cu linia dreaptă care conține oricare dintre laturile sale.

Tipuri de patrulatere

1. Paralelogram Un patrulater cu laturile opuse paralele
   • Dreptunghi un paralelogram cu toate unghiurile drepte
   • Romb - un paralelogram cu toate laturile egale
   • Pătrat - un dreptunghi cu toate laturile egale
2. Trapez - un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele
3. Deltoid Un patrulater ale cărui două perechi de laturi adiacente sunt egale

Patraunghiuri

patrulater se numește o figură, care constă din patru puncte și patru segmente care le unesc în serie. În acest caz, niciunul dintre aceste puncte nu se află pe aceeași linie dreaptă, iar segmentele care le leagă nu se intersectează.

opus. opus.

Tipuri de patrulatere

Paralelogram

Paralelogram se numește patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi.

Proprietățile paralelogramului

• laturile opuse sunt egale;
• unghiurile opuse sunt egale;
• suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor:

Caracteristicile paralelogramului

Trapez Se numește patrulater, în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale temeiuri iar laturile neparalele laturi. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia de mijloc.

Trapezul se numește isoscel(sau isoscel) dacă laturile sale sunt egale.

Se numește un trapez cu un unghi drept dreptunghiular.

Proprietăți trapezoid

Semne ale unui trapez

Dreptunghi

Dreptunghi Un paralelogram se numește dacă toate unghiurile sunt unghiuri drepte.

Proprietăți dreptunghiulare

Caracteristici dreptunghi

Un paralelogram este dreptunghi dacă:

1. Unul dintre colțurile sale este drept.
2. Diagonalele sale sunt egale.

Romb Un paralelogram se numește dacă toate laturile sunt egale.

Proprietăți romb

• toate proprietățile unui paralelogram;
• diagonalele sunt perpendiculare;

Semne ale unui romb

Pătrat Se numeste dreptunghi in care toate laturile sunt egale.

Proprietăți pătrate

• toate colțurile pătratului sunt drepte;
• diagonalele pătratului sunt egale, reciproc perpendiculare, punctul de intersecție este împărțit la jumătate și colțurile pătratului sunt împărțite la jumătate.

Semne pătrate

Formule de bază

S=d 1 d 2 păcat

Paralelogram
Ași b- partide adiacente; - unghiul dintre ele; h a -înălțime în lateral A.

S = ab sin

S=d 1 d 2 păcat

Trapez
Ași b- terenuri; h- distanța dintre ele; l- linia de mijloc .

Dreptunghi

S=d 1 d 2 păcat

S = a 2 sin

S=d 1 d 2

Pătrat
d- diagonala.

www.univers.omsk.su

Proprietățile patrulaterelor. Tipuri de patrulatere. Proprietățile patrulaterelor arbitrare. Proprietățile paralelogramului. Proprietățile rombului. Proprietăți dreptunghiulare. Proprietăți pătrate. proprietăți trapezoidale. Aproximativ clasa 7-9 (13-15 ani)

Proprietățile patrulaterelor. Tipuri de patrulatere. Proprietățile patrulaterelor arbitrare.
Proprietățile paralelogramului. Proprietățile rombului. Proprietăți dreptunghiulare. Proprietăți pătrate. proprietăți trapezoidale.

Tipuri de patrulatere:

• Paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele

• Romb este un paralelogram cu toate laturile egale.

• Dreptunghi este un paralelogram cu toate unghiurile drepte.

• Pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale.

Proprietățile patrulaterelor arbitrare:

Proprietățile paralelogramului:

Proprietățile rombului:

Proprietăți dreptunghiulare:

Proprietăți pătrate:

Proprietățile trapezului:

Consultanta si tehnica
suport site: Zavarka Team

Cadrangula toate regulile

Geometrie non-euclidiană, geometrie asemănătoare cu geometria Euclid prin aceea că definește mișcarea figurilor, dar diferă de geometria euclidiană prin aceea că unul dintre cele cinci postulate ale sale (al doilea sau al cincilea) este înlocuit de negația sa. Negarea unuia dintre postulatele euclidiene (1825) a fost un eveniment semnificativ în istoria gândirii, deoarece a servit drept prim pas către teoria relativitatii.

Al doilea postulat al lui Euclid afirmă că orice segment de linie poate fi extins la infinit. Se pare că Euclid credea că acest postulat conținea și afirmația că linia dreaptă are lungime infinită. in orice caz în geometria „eliptică” orice linie dreaptă este finită și, ca un cerc, este închisă.

Al cincilea postulat afirmă că, dacă o dreaptă intersectează două drepte date în așa fel încât cele două unghiuri interioare de pe o parte a acesteia să fie mai puțin de două unghiuri drepte în sumă, atunci aceste două drepte, dacă sunt extinse la infinit, se vor intersecta pe latura în care suma acestor unghiuri este mai mică decât suma a două drepte. Dar în geometria „hiperbolică” poate exista o linie CB (vezi fig.), Perpendiculară în punctul C pe o dreaptă dată r și care intersectează o altă dreaptă s sub unghi ascutitîn punctul B, dar, cu toate acestea, dreptele infinite r și s nu se vor intersecta niciodată.

Din aceste postulate revizuite a rezultat că suma unghiurilor unui triunghi, egală cu 180° în geometria euclidiană, este mai mare de 180° în geometria eliptică și mai mică de 180° în geometria hiperbolică.

Patrulater

Patrulater este un poligon care conține patru vârfuri și patru laturi.

Patrulater, figură geometrică- un poligon cu patru colțuri, precum și orice obiect, un dispozitiv de această formă.

Două laturi neadiacente ale unui patrulater sunt numite opus. Două vârfuri care nu sunt adiacente sunt de asemenea numite opus.

Patraunghiurile sunt convexe (ca ABCD) și
neconvex (A 1 B 1 C 1 D 1).

Tipuri de patrulatere

• Paralelogram- un patrulater în care toate laturile opuse sunt paralele;
• Dreptunghi- un patrulater cu toate unghiurile drepte;
• Romb- un patrulater în care toate laturile sunt egale;
• Pătrat- un patrulater în care toate unghiurile sunt drepte și toate laturile sunt egale;
• Trapez- un patrulater cu două laturi opuse paralele;
• Deltoid Un patrulater ale cărui două perechi de laturi adiacente sunt egale.

Paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

Paralelogram (din grecescul parallelos - paralel și gram - linie), adică se află pe linii paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt un dreptunghi, un pătrat și un romb.

• laturile opuse sunt egale;
• unghiurile opuse sunt egale;
• diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate;
• suma unghiurilor adiacente unei laturi este de 180°;
• suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor.

Un patrulater este un paralelogram dacă:

1. Cele două laturi opuse ale sale sunt egale și paralele.
2. Laturile opuse sunt egale în perechi.
3. Unghiurile opuse sunt egale în perechi.
4. Diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate.

Dreptunghi

Un dreptunghi este un paralelogram cu toate unghiurile drepte.

• laturile opuse sunt egale;
• unghiurile opuse sunt egale;
• diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate;
• suma unghiurilor adiacente unei laturi este de 180°;
• diagonalele sunt egale.

Un paralelogram este dreptunghi dacă:

1. Unul dintre colțurile sale este drept.
2. Diagonalele sale sunt egale.

Un romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.

• laturile opuse sunt egale;
• unghiurile opuse sunt egale;
• diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate;
• suma unghiurilor adiacente unei laturi este de 180°;
• suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor;
• diagonalele sunt perpendiculare;
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor sale.

Un paralelogram este un romb dacă:

1. Cele două laturi adiacente ale sale sunt egale.
2. Diagonalele sale sunt perpendiculare.
3. Una dintre diagonale este bisectoarea unghiului său.

Un pătrat este un dreptunghi în care toate laturile sunt egale.

• toate colțurile pătratului sunt drepte;
• diagonalele pătratului sunt egale, reciproc perpendiculare, punctul de intersecție este împărțit la jumătate și colțurile pătratului sunt împărțite la jumătate.

1. Un dreptunghi este un pătrat dacă are unele caracteristici ale unui romb.

Un trapez este un patrulater în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc bazele sale, iar laturile neparalele se numesc laturile sale. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linie mediană.

Un trapez se numește isoscel (sau isoscel) dacă laturile sale sunt egale.

Un trapez cu un unghi drept se numește trapez în unghi drept.

• linia sa de mijloc este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora;
• dacă trapezul este isoscel, atunci diagonalele sale sunt egale și unghiurile de la bază sunt egale;
• dacă trapezul este isoscel, atunci poate fi descris un cerc în jurul lui;
• dacă suma bazelor este egală cu suma laturilor, atunci se poate înscrie în el un cerc.

1. Un patrulater este un trapez dacă laturile sale paralele nu sunt egale

Deltoid Un patrulater cu două perechi de laturi de aceeași lungime. Spre deosebire de un paralelogram, două perechi de laturi adiacente nu sunt egale, ci două perechi de laturi adiacente. Deltoidul are forma unui zmeu.

• Unghiurile dintre laturile de lungime inegală sunt egale.
• Diagonalele deltoidului (sau prelungirile lor) se intersectează în unghi drept.
• Orice deltoid convex poate fi înscris cu un cerc, pe lângă acesta, dacă deltoidul nu este un romb, atunci există un alt cerc care atinge prelungirile tuturor celor patru laturi. Pentru un deltoid neconvex, se poate construi un cerc tangent la două laturi mai mari și prelungiri a două laturi mai mici și un cerc tangent la două laturi mai mici și prelungiri a două laturi mai mari.

• Dacă unghiul dintre laturile inegale ale deltoidului este o linie dreaptă, atunci poate fi înscris un cerc în el (deltoidul descris).
• Dacă o pereche de laturi opuse ale unui deltoid sunt egale, atunci un astfel de deltoid este un romb.
• Dacă o pereche de laturi opuse și ambele diagonale ale unui deltoid sunt egale, atunci deltoidul este un pătrat. Un deltoid înscris cu diagonale egale este, de asemenea, un pătrat.

Apariția geometriei datează din cele mai vechi timpuri și s-a datorat nevoilor practice ale activității umane (nevoia de a măsura pământul, de a măsura volumele diverselor corpuri etc.).

Cele mai simple informații și concepte geometrice erau cunoscute în Egiptul antic. În această perioadă, enunțurile geometrice au fost formulate sub forma unor reguli date fără dovezi.

Din secolul al VII-lea î.Hr e. până în secolul I d.Hr e. geometria ca știință s-a dezvoltat rapid în Grecia antică. În această perioadă, a avut loc nu numai acumularea diferitelor informații geometrice, ci a fost elaborată și metodologia de demonstrare a afirmațiilor geometrice și au fost făcute primele încercări de a formula prevederile primare de bază (axiomele) ale geometriei, din care multe geometrice diferite. afirmațiile sunt derivate prin raționament pur logic. Nivelul de dezvoltare al geometriei în Grecia antică este reflectat în lucrarea „Începuturilor” a lui Euclid.

În această carte, pentru prima dată, s-a încercat să se ofere o construcție sistematică a planimetriei pe baza unor concepte geometrice de bază nedefinite și axiome (postulate).

Un loc aparte în istoria matematicii îl ocupă postulatul al cincilea al lui Euclid (axioma dreptelor paralele). Multă vreme, matematicienii au încercat fără succes să derive postulat al cincilea din restul postulatelor lui Euclid și abia la mijlocul secolului al XIX-lea, datorită studiilor lui N. I. Lobachevsky, B. Riemann și J. Boyai, a devenit clar că al cincilea postulat nu poate fi derivat din rest, iar sistemul de axiome, propus de Euclid nu este singurul posibil.

„Elementele” lui Euclid au avut un impact uriaș asupra dezvoltării matematicii. Timp de peste două mii de ani, această carte nu a fost doar un manual de geometrie, ci a servit și ca punct de plecare pentru multe studii matematice, în urma cărora au apărut noi ramuri independente ale matematicii.

Construcția sistematică a geometriei se realizează de obicei conform următorului plan:

eu. Sunt enumerate principalele concepte geometrice, care sunt introduse fără definiții.

II. Este dată o formulare a axiomelor geometriei.

III. Pe baza axiomelor și a conceptelor geometrice de bază, se formulează alte concepte și teoreme geometrice.

1. Originea numelui Geometrie non-euclidiană?
2. Ce forme se numesc patrulatere?
3. Proprietățile unui paralelogram?
4. Tipuri de patrulatere?

Lista surselor utilizate

1. A.G. Tsypkin. Manual de matematică
2. „Examen unificat de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea studenților / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor sarcini competitive în matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”

Lucrând la lecție

Puteți ridica o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, ci vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide porțile specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.

Popular:

• Articolul 282. Incitarea la ură sau dușmănie, precum și umilirea demnității umane
• Calculator impozit pe proprietatea corporativă Cum se calculează impozitul pe proprietatea corporativă Formularul de calcul pentru plățile în avans sa schimbat. Începând cu raportarea pentru prima jumătate a anului 2017, calculul impozitului pe proprietate […]
• Legile ecologiei Timp de peste 100 de ani de studiu cuprinzător al populațiilor și comunităților, s-a acumulat o cantitate imensă de fapte. Printre acestea - un număr mare, care reflectă fenomene și procese aleatoare sau neregulate. Dar nu […]
• Opțiuni de asigurare a pensiilor în sistemul de asigurări obligatorii de pensii Până la sfârșitul anului 2015, cetățenii născuți în 1967 și mai tineri puteau alege dacă să continue să construiască pensie […]
• Ordinul Ministerului Agriculturii 549 Înregistrat la Ministerul Justiției al Federației Ruse la 5 martie 2009 N 13476 MINISTERUL AGRICULTURII AL FEDERATIEI RUSĂ din 16 decembrie 2008 N 532 PRIVIND APROBAREA CLASIFICAREA RISCULUI NATURAL DE INCENDIU PĂDURI ȘI […]
• Majorarea pensiilor pentru copiii cu handicap de la 1 ianuarie 2018 Asigurarea pensiei cetăţenilor este o obligaţie care revine statului. Acest lucru este menționat în codul de legi al țării - în Constituție. Printre persoanele cu handicap care au nevoie de […]
• Regula de ordine interioară a SA RZD SA „CĂI FATA RUSE” ORDIN din 26 iulie 2012 N 87 PRIVIND APROBAREA REGULAMENTULUI INTERN DE MUNCĂ REGULAMENTUL SERVICIILOR REGIONALE (DEPARTAMENTUL) DE DEZVOLTARE A COMUNICAȚILOR DE CĂLĂTORI ȘI […]
• Legea celor 3 etape a comte Pozitivismul ca mișcare filosofică pornește de la ideea că cea mai mare parte a cunoștințelor despre lume, om și societate se obține în științe speciale, că știința „pozitivă” ar trebui să abandoneze încercările […]

Una dintre cele mai interesante subiecte de geometrie de la cursul școlii este „Cadangle” (clasa a 8-a). Ce tipuri de astfel de figuri există, ce proprietăți speciale au? Ce este unic la patrulatere cu colțuri de nouăzeci de grade? Să ne uităm la toate acestea.

Ce figură geometrică se numește patrulater

Poligoanele, care constau din patru laturi și, respectiv, din patru vârfuri (colțuri), sunt numite patrulatere în geometria euclidiană.

Istoria numelui acestui tip de figuri este interesantă. În limba rusă, substantivul „cadrangular” este format din sintagma „patru colțuri” (la fel ca „triunghiul” - trei colțuri, „pentagonul” - cinci colțuri etc.).

Cu toate acestea, în latină (prin care mulți termeni geometrici au ajuns în majoritatea limbilor lumii), se numește patrulater. Acest cuvânt este format din numeralul quadri (patru) și substantivul latus (partea). Așadar, putem concluziona că printre antici acest poligon era denumit doar „cu patru fețe”.

Apropo, un astfel de nume (cu accent pe prezența a patru laturi mai degrabă decât colțuri în figurile de acest tip) a fost păstrat în unele limbi moderne. De exemplu, în engleză - patrulater și în franceză - quadrilatère.

În același timp, în majoritatea limbilor slave, tipul considerat de figuri este încă identificat prin numărul de unghiuri, și nu prin laturi. De exemplu, în slovacă (štvoruholník), în bulgară (“chetirigalnik”), în belarusă (“chatyrokhkutnik”), în ucraineană (“chotirikutnik”), în cehă (čtyřúhelník), dar în poloneză patrulaterul este numit după numărul de laturi - czworoboczny.

Ce tipuri de patrulatere sunt studiate în programa școlară

În geometria modernă, există 4 tipuri de poligoane cu patru laturi.

Cu toate acestea, din cauza proprietăților prea complexe ale unora dintre ele, la lecțiile de geometrie, școlarii sunt introduși doar la două tipuri.

• Paralelogram. Laturile opuse ale unui astfel de patrulater sunt paralele între perechi și, în consecință, sunt de asemenea egale în perechi.
• Trapez (trapez sau trapez). Acest patrulater este format din două laturi opuse paralele între ele. Cu toate acestea, cealaltă pereche de laturi nu are această caracteristică.

Tipuri de patrulatere nestudite la cursul de geometrie școlară

Pe lângă cele de mai sus, mai există două tipuri de patrulatere cu care școlarii nu sunt introduși la lecțiile de geometrie, din cauza complexității lor deosebite.

• Deltoid (zmeu)- o figură în care fiecare dintre cele două perechi de laturi adiacente este egală ca lungime una cu cealaltă. Un astfel de patrulater și-a primit numele datorită faptului că, în aparență, seamănă destul de mult cu litera alfabetului grecesc - „delta”.
• Antiparalelogram- această figură este la fel de complexă ca și numele ei. În ea, două laturi opuse sunt egale, dar în același timp nu sunt paralele una cu cealaltă. În plus, laturile lungi opuse ale acestui patrulater se intersectează, la fel ca prelungirile celorlalte două laturi mai scurte.

Tipuri de paralelogram

După ce s-a ocupat de principalele tipuri de patrulatere, merită să acordați atenție subspeciilor sale. Deci, toate paralelogramele, la rândul lor, sunt, de asemenea, împărțite în patru grupuri.

• Paralelogramul clasic.
• romb (romb)- o figură patruunghiulară cu laturile egale. Diagonalele sale se intersectează în unghi drept, împărțind rombul în patru triunghiuri dreptunghiulare egale.
• Dreptunghi. Numele vorbește de la sine. Deoarece este un patrulater cu unghiuri drepte (fiecare dintre ele este egal cu nouăzeci de grade). Laturile sale opuse nu sunt doar paralele între ele, ci și egale.
• Pătrat (pătrat). Ca un dreptunghi, este un patrulater cu unghiuri drepte, dar are toate laturile egale între ele. Această cifră este aproape de un romb. Deci se poate argumenta că un pătrat este o încrucișare între un romb și un dreptunghi.

Proprietăți speciale dreptunghi

Luând în considerare figurile în care fiecare dintre unghiurile dintre laturi este de nouăzeci de grade, merită să stați mai îndeaproape asupra dreptunghiului. Deci, ce caracteristici speciale are care îl deosebesc de alte paralelograme?

Pentru a afirma că paralelogramul luat în considerare este un dreptunghi, diagonalele sale trebuie să fie egale între ele, iar fiecare dintre unghiuri trebuie să fie drept. În plus, pătratul diagonalelor sale trebuie să corespundă cu suma pătratelor a două laturi adiacente ale acestei figuri. Cu alte cuvinte, dreptunghiul clasic este format din două triunghiuri dreptunghiulare, iar în ele, după cum se știe, diagonala patrulaterului considerat acționează ca ipotenuză.

Ultimul dintre semnele enumerate ale acestei figuri este, de asemenea, proprietatea sa specială. Pe langa asta, mai sunt si altele. De exemplu, faptul că toate laturile patrulaterului studiat cu unghiuri drepte sunt în același timp înălțimile sale.

În plus, dacă un cerc este desenat în jurul oricărui dreptunghi, diametrul acestuia va fi egal cu diagonala figurii înscrise.

Printre alte proprietăți ale acestui patrulater, că este plat și nu există în geometria non-euclidiană. Acest lucru se datorează faptului că într-un astfel de sistem nu există figuri patrulatere, a căror suma unghiurilor este egală cu trei sute șaizeci de grade.

Pătrat și caracteristicile sale

După ce s-a ocupat de semnele și proprietățile unui dreptunghi, merită să acordați atenție celui de-al doilea patrulater cunoscut de știință cu unghiuri drepte (acesta este un pătrat).

Fiind de fapt același dreptunghi, dar cu laturile egale, această figură are toate proprietățile ei. Dar spre deosebire de acesta, pătratul este prezent în geometria non-euclidiană.

În plus, această cifră are și alte trăsături distinctive proprii. De exemplu, faptul că diagonalele unui pătrat nu sunt doar egale între ele, ci și se intersectează în unghi drept. Astfel, ca un romb, un pătrat este format din patru triunghiuri dreptunghiulare, în care este împărțit prin diagonale.

În plus, această cifră este cea mai simetrică dintre toate patrulaterele.

Care este suma unghiurilor unui patrulater

Având în vedere caracteristicile patrulaterelor geometriei euclidiene, merită să acordați atenție unghiurilor lor.

Deci, în fiecare dintre figurile de mai sus, indiferent dacă are unghiuri drepte sau nu, suma lor totală este întotdeauna aceeași - trei sute șaizeci de grade. Aceasta este o trăsătură distinctivă unică a acestui tip de figuri.

Perimetrul patrulaterelor

După ce ați dat seama care este suma unghiurilor unui patrulater și alte proprietăți speciale ale figurilor de acest tip, merită să știți ce formule sunt cele mai bune folosite pentru a calcula perimetrul și aria lor.

Pentru a determina perimetrul oricărui patrulater, trebuie doar să adăugați lungimea tuturor laturilor acestuia.

De exemplu, în figura KLMN, perimetrul acestuia poate fi calculat folosind formula: P \u003d KL + LM + MN + KN. Dacă înlocuiți numerele aici, obțineți: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

În cazul în care figura în cauză este un romb sau un pătrat, pentru a găsi perimetrul, puteți simplifica formula prin simpla înmulțire a lungimii uneia dintre laturile sale cu patru: P \u003d KL x 4. De exemplu: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formulele patrulatere ale ariei

După ce ați dat seama cum să găsiți perimetrul oricărei figuri cu patru colțuri și laturi, merită să luați în considerare cele mai populare și simple modalități de a-și găsi zona.

Alte proprietăți ale patrulaterelor: cercuri înscrise și circumscrise

Având în vedere caracteristicile și proprietățile unui patrulater ca o figură a geometriei euclidiene, merită să acordați atenție capacității de a descrie în jurul sau de a înscrie cercuri în interiorul acestuia:

• Dacă sumele unghiurilor opuse ale figurii sunt de o sută optzeci de grade fiecare și sunt egale între perechi, atunci un cerc poate fi descris liber în jurul unui astfel de patrulater.
• Conform teoremei lui Ptolemeu, dacă un cerc este circumscris în afara unui poligon cu patru laturi, atunci produsul diagonalelor sale este egal cu suma produselor laturilor opuse ale figurii date. Astfel, formula va arăta astfel: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Dacă construiți un patrulater în care sumele laturilor opuse sunt egale între ele, atunci poate fi înscris un cerc în el.

După ce ne-am dat seama ce este un patrulater, ce tipuri există, care dintre ele au doar unghiuri drepte între laturi și ce proprietăți au, merită să ne amintim tot acest material. În special, formulele pentru găsirea perimetrului și a ariei poligoanelor considerate. La urma urmei, cifrele acestei forme sunt una dintre cele mai comune, iar aceste cunoștințe pot fi utile pentru calcule în viața reală.

În programa școlară la lecțiile de geometrie, se are de-a face cu diverse tipuri de patrulatere: romburi, paralelograme, dreptunghiuri, trapeze, pătrate. Primele forme de studiat sunt un dreptunghi și un pătrat.

Deci, ce este un dreptunghi? Definiție pentru clasa 2 școală gimnazială va arăta astfel: este un patrulater cu toate cele patru colțuri drepte. Este ușor de imaginat cum arată un dreptunghi: este o figură cu 4 unghiuri drepte și laturi paralele între ele în perechi.

In contact cu

Cum să înțelegem, rezolvând următoarea problemă geometrică, cu ce fel de patrulater avem de-a face? Există trei caracteristici principale, prin care puteți determina cu exactitate că vorbim despre un dreptunghi. Să le numim:

• figura este un patrulater cu trei unghiuri egale cu 90°;
• patrulaterul prezentat este un paralelogram cu diagonale egale;
• un paralelogram care are cel puțin un unghi drept.

Este interesant de știut: ce este convex, caracteristicile și semnele sale.

Deoarece un dreptunghi este un paralelogram (adică un patrulater cu laturi opuse paralele în perechi), atunci toate proprietățile și caracteristicile sale vor fi îndeplinite pentru el.

Formule pentru calcularea lungimii laturilor

într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale si reciproc paralele. Latura mai lungă se numește de obicei lungime (notat cu a), latura mai scurtă se numește lățime (notat cu b). În dreptunghiul din imagine, lungimile sunt laturile AB și CD, iar lățimile sunt AC și B.D. Sunt, de asemenea, perpendiculare pe baze (adică sunt înălțimi).

Pentru a găsi laturile, puteți folosi formulele de mai jos. În ele sunt adoptate convenții: a - lungimea dreptunghiului, b - lățimea acestuia, d - diagonala (segmentul care leagă vârfurile a două unghiuri situate unul față de celălalt), S - aria figurii, P - perimetrul, α - unghiul dintre diagonală și lungime, β este un unghi ascuțit format din ambele diagonale. Modalități de a găsi lungimile laturilor:

• Folosind diagonala și latura cunoscută: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• După aria figurii și una dintre laturile sale: a = S / b, b = S / a.
• Folosind perimetrul și latura cunoscută: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Prin diagonală și unghiul dintre ea și lungime: a = d sinα, b = d cosα.
• Prin diagonală și unghiul β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetrul si zona

Perimetrul unui patrulater se numește suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru a calcula perimetrul, se pot folosi următoarele formule:

• Prin ambele părți: P = 2 (a + b).
• Prin zonă și una dintre laturi: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

O zonă este un spațiu delimitat de un perimetru. Trei moduri principale de a calcula suprafața:

• Prin lungimile ambelor laturi: S = a*b.
• Folosind perimetrul și oricare latură cunoscută: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• În diagonală și unghiul β: S = 0,5 d² sinβ.

În sarcinile unui curs de matematică școlar, este adesea necesar să aveți o bună stăpânire proprietățile diagonalelor unui dreptunghi. Le enumerăm pe cele principale:

1. Diagonalele sunt egale între ele și sunt împărțite în două segmente egale în punctul de intersecție.
2. Diagonala este definită ca rădăcina pătratului sumei ambelor laturi (respectează teorema lui Pitagora).
3. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri cu unghi drept.
4. Punctul de intersecție coincide cu centrul cercului circumscris, iar diagonalele în sine coincid cu diametrul acestuia.

Următoarele formule sunt utilizate pentru a calcula lungimea diagonalei:

• Folosind lungimea și lățimea figurii: d = √ (a ² + b ²).
• Folosind raza unui cerc circumscris unui patrulater: d = 2 R.

Definiția și proprietățile unui pătrat

Un pătrat este un caz special de romb, paralelogram sau dreptunghi. Diferența sa față de aceste cifre este că toate unghiurile sale sunt drepte și toate cele patru laturi sunt egale. Un pătrat este un patrulater regulat.

Un patrulater se numește pătrat în următoarele cazuri:

1. Dacă este un dreptunghi a cărui lungime a și lățime b sunt egale.
2. Dacă este un romb cu diagonale de lungime egală și patru unghiuri drepte.

Proprietățile unui pătrat includ toate proprietățile discutate anterior legate de un dreptunghi, precum și următoarele:

1. Diagonalele sunt perpendiculare între ele (proprietatea unui romb).
2. Punctul de intersecție coincide cu centrul cercului înscris.
3. Ambele diagonale împart patrulaterul în patru triunghiuri dreptunghiulare și isoscele identice.

Iată câteva formule utilizate frecvent pentru calcularea perimetrului, aria și elementele unui pătrat:

• Diagonala d = a √2.
• Perimetrul P = 4 a.
• Aria S = a².
• Raza cercului circumscris este jumătate din diagonală: R = 0,5 a √2.
• Raza unui cerc înscris este definită ca jumătate din lungimea laturii: r = a / 2.

Exemple de întrebări și sarcini

Să analizăm câteva dintre întrebările pe care le poți întâlni când studiezi matematica la școală și să rezolvăm câteva probleme simple.

Sarcina 1. Cum se va schimba aria unui dreptunghi dacă lungimea laturilor sale este triplată?

Soluţie : Să notăm aria figurii originale ca S0, iar aria patrulaterului cu lungimea triplă a laturilor - S1. După formula considerată mai devreme, se obține: S0 = ab. Acum să mărim lungimea și lățimea de 3 ori și să scriem: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Comparând S0 și S1, devine evident că a doua zonă este de 9 ori mai mare decât prima.

Întrebarea 1. Un patrulater cu unghiuri drepte este un pătrat?

Soluţie : Din definiție rezultă că o figură cu unghiuri drepte este un pătrat numai dacă lungimile tuturor laturilor sale sunt egale. În caz contrar, figura este un dreptunghi.

Sarcina 2. Diagonalele unui dreptunghi formează un unghi de 60 de grade. Lățimea dreptunghiului este 8. Calculați care este diagonala.

Soluţie: Amintiți-vă că diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Astfel, avem de-a face cu un triunghi isoscel cu un unghi la vârf egal cu 60°. Deoarece triunghiul este isoscel, unghiurile de la bază vor fi, de asemenea, aceleași. Prin calcule simple, obținem că fiecare dintre ele este egal cu 60 °. Rezultă că triunghiul este echilateral. Lățimea pe care o știm este baza triunghiului, deci jumătate din diagonală este tot 8, iar lungimea întregii diagonale este de două ori egală cu 16.

Întrebarea 2. Un dreptunghi are toate laturile egale sau nu?

Soluţie : Este suficient să ne amintim că toate laturile trebuie să fie egale pentru un pătrat, care este un caz special al unui dreptunghi. În toate celelalte cazuri, o condiție suficientă este prezența a cel puțin 3 unghiuri drepte. Egalitatea părților nu este o trăsătură obligatorie.

Sarcina 3. Aria pătratului este cunoscută și egală cu 289. Aflați razele cercurilor înscrise și circumscrise.

Soluţie : Conform formulelor pentru pătrat, vom efectua următoarele calcule:

• Să determinăm cu ce elementele principale ale pătratului sunt egale: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Să calculăm cât este egală cu raza cercului descris în jurul patrulaterului: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Să aflăm raza cercului înscris: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Subiectul lecției

• Definiția unui patrulater.

Obiectivele lecției

• Educativ - repetarea, generalizarea și testarea cunoștințelor pe tema: „Quadrangle”; dezvoltarea abilităților de bază.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
• Educativ - prin lecție de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de a asculta tovarăși, asistență reciprocă, independență.

Obiectivele lecției

• Pentru a forma abilități în construirea unui patrulater folosind o bară de scară și un triunghi de desen.
• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției

1. Referință istorică. Geometrie non-euclidiană.
2. Patrulater.
3. Tipuri de patrulatere.

Geometrie non-euclidiană

Geometrie non-euclidiană, geometrie asemănătoare cu geometria Euclid prin aceea că definește mișcarea figurilor, dar diferă de geometria euclidiană prin aceea că unul dintre cele cinci postulate ale sale (al doilea sau al cincilea) este înlocuit de negația sa. Negarea unuia dintre postulatele euclidiene (1825) a fost un eveniment semnificativ în istoria gândirii, deoarece a servit drept prim pas către teoria relativitatii.

Al doilea postulat al lui Euclid afirmă că orice segment de linie poate fi extins la infinit. Se pare că Euclid credea că acest postulat conținea și afirmația că linia dreaptă are lungime infinită. in orice caz în geometria „eliptică” orice linie dreaptă este finită și, ca un cerc, este închisă.

Al cincilea postulat afirmă că, dacă o dreaptă intersectează două drepte date în așa fel încât cele două unghiuri interioare de pe o parte a acesteia să fie mai puțin de două unghiuri drepte în sumă, atunci aceste două drepte, dacă sunt extinse la infinit, se vor intersecta pe latura în care suma acestor unghiuri este mai mică decât suma a două drepte. Dar în geometria „hiperbolică”, poate exista o dreaptă CB (vezi Fig.), Perpendiculară în punctul C pe o dreaptă dată r și care intersectează o altă dreaptă s la un unghi ascuțit în punctul B, dar, cu toate acestea, liniile infinite r și s nu se vor intersecta niciodată.

Din aceste postulate revizuite a rezultat că suma unghiurilor unui triunghi, egală cu 180° în geometria euclidiană, este mai mare de 180° în geometria eliptică și mai mică de 180° în geometria hiperbolică.

Patrulater

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a 8-a