Regiunea de convergență O serie funcțională este o serie ai cărei membri sunt funcții / definite pe o anumită mulțime E axa numerelor. De exemplu, termenii unei serii sunt definiți pe un interval, iar termenii unei serii sunt definiți pe un interval Se spune că o serie funcțională (1) converge în punctul Ho € E dacă converge SERIE FUNCȚIONALĂ Regiunea de convergență Uniformă. testul Weierstrass de convergență Proprietăți ale seriei funcționale uniform convergente seria numerică Dacă seria (1) converge în fiecare punct x al mulțimii D C E și diverge în fiecare punct care nu aparține mulțimii D, atunci se spune că seria converge către mulțimea D , iar D se numește regiunea de convergență a seriei. Se spune că o serie (1) este absolut convergentă pe o mulțime D dacă seria converge pe această mulțime. În cazul convergenței unei serii (1) pe o mulțime D, suma sa S va fi o funcție definită pe D. Regiunea de convergență a unor serii funcționale poate fi găsită folosind criterii suficiente cunoscute stabilite pentru seriile cu termeni pozitivi, de exemplu, testul Dapambert, testul Cauchy. Exemplul 1. Aflați regiunea de convergență a seriei M Deoarece seria de numere converge pentru p > 1 și diverge pentru p ^ 1, atunci, presupunând p - Igx, obținem această serie. care va converge la Igx > T i.e. dacă x > 10 și diverge când Igx ^ 1, adică. la 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >Rândul 0 diverge, deoarece A =. Divergența seriei la x = 0 este evidentă. Exemplul 3. Aflați regiunea de convergență a seriei Termenii seriei date sunt definiți și continui pe mulțime. Folosind criteriul Kosh și, găsim pentru orice. În consecință, seria diverge pentru toate valorile lui x. Să notăm cu Sn(x) a n-a sumă parțială a seriei funcționale (1). Dacă această serie converge spre mulțimea D și suma ei este egală cu 5(g), atunci ea poate fi reprezentată sub forma în care este suma seriei convergentă către mulțimea D care se numește n-m rest serie funcţională (1). Pentru toate valorile lui x € D relația și, prin urmare, este valabilă. adică restul Rn(x) al unei serii convergente tinde spre zero ca n oo, oricare ar fi x 6 D. Convergenţă uniformă Dintre toate seriile funcţionale convergente, aşa-numitele serii uniform convergente joacă un rol important. Să fie dată o serie de funcții convergentă pe o mulțime D a cărei sumă este egală cu S(x). Să luăm a n-a sa sumă parțială Definiție. Serii funcționale SERIE FUNCȚIONALE Domeniu de convergență Convergență uniformă Testul Weierstrass Proprietățile serii funcționale uniform convergente se spune că sunt uniform convergente pe mulțimea PS1) dacă pentru orice număr e > O există un număr Γ > O astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate numerele n > N și pentru tot x din mulțimea fI. Comentariu. Aici numărul N este același pentru toate x € Yu, adică. nu depinde de z, ci depinde de alegerea numărului e, deci scriem N = N(e). Convergența uniformă a seriei funcționale £ /n(®) la funcția S(x) pe mulțimea ft se notează adesea astfel: Definiția convergenței uniforme a seriei /n(x) pe mulțimea ft poate fi scrisă mai pe scurt folosind simboluri logice: Să explicăm geometric sensul intervalului funcțional de convergență uniformă. Să luăm segmentul [a, 6] ca mulțime ft și să construim grafice ale funcțiilor. Inegalitatea |, care este valabilă pentru numerele n > N și pentru toate a; G [a, b], poate fi scris în următoarea formă. Inegalitățile obținute arată că graficele tuturor funcțiilor y = 5n(x) cu numere n > N vor fi în întregime cuprinse în banda £ limitată de curbele y. = S(x) - e și y = 5(g) + e (Fig. 1). Exemplul 1 converge uniform asupra intervalului Această serie este alternativă în semn, satisface condițiile criteriului Leibniz pentru orice x € [-1,1] și, prin urmare, converge către intervalul (-1,1).Fie S(x ) fie suma sa, iar Sn (x) este a sa a n-a sumă parțială. a] denotă cel mai mare număr întreg care nu depășește a), atunci inegalitatea |e va fi valabilă pentru toate numerele n > N și pentru toate x € [-1,1). Aceasta înseamnă că această serie converge uniform pe intervalul [-1,1). I. Nu orice serie funcțională convergentă pe mulțimea D este uniform convergentă pe Exemplul 2. Să arătăm că seria converge pe interval, dar nu uniform. 4 Să calculăm a n-a sumă parțială £„(*) a seriei. Avem Unde converge această serie spre segment și suma sa dacă Valoarea absolută a diferenței S(x) - 5„(x) (restul seriei) este egală. Să luăm un număr e astfel încât. Fie Rezolvăm inegalitatea față de n Avem, de unde (din moment ce și la împărțirea la Inx, semnul inegalității se schimbă în opus). Inegalitatea va fi satisfăcută când. Prin urmare, există un astfel de număr N(e) independent de x încât inegalitatea este satisfăcută pentru fiecare) pentru tot x din segment deodată. , nu există. Dacă înlocuim segmentul 0 cu un segment mai mic, unde, atunci pe acesta din urmă această serie va converge uniform către funcția S0. De fapt, pentru, și deci pentru pentru toți x deodată §3. Testul lui Weierstrass Un test suficient pentru convergența uniformă a unei serii funcționale este dat de teorema lui Weierstrass. Teorema 1 (testul Weierstrass). Fie pentru toți x din mulțimea Q termenii seriei funcționale în valoare absolută să nu depășească membrii corespunzători ai seriei numerice convergente P = 1 cu termeni pozitivi, adică pentru toți x € Q. Atunci seria funcțională (1 ) pe mulţimea P converge absolut şi uniform . Cu toate acestea, pentru el nu există o serie de numere majorante convergente (2). De fapt, pentru tot n natural și pentru toți x € [-1,1) inegalitatea este satisfăcută și egalitatea este atinsă la. Prin urmare, membrii seriei majorante dorite (2) trebuie să îndeplinească cu siguranță condiția, dar seria numerică SERIE FUNCȚIONALĂ Aria de convergență Convergență uniformă Testul Weierstrass Proprietățile seriei funcționale uniform convergente diverge. Aceasta înseamnă că și seria £op va diverge. proprietăți importante . Teorema 2. Dacă toți termenii unei serii care converg uniform pe intervalul [a, b] sunt înmulțiți cu aceeași funcție d(x) mărginită la [a, 6], atunci seria funcțională rezultată va converge uniform pe. Atunci egalitatea este valabilă: Datorită continuității funcțiilor f„(x) și a convergenței uniforme a acestei serii pe intervalul [a, 6], suma sa 5(x) este continuă și, deci, integrabilă pe . Să considerăm diferența Din convergența uniformă a seriei pe [o, b] rezultă că pentru orice e > 0 există un număr N(e) > 0 astfel încât pentru toate numerele n > N(e) și pentru toate x € [a, 6] inegalitatea va fi satisfăcută Dacă seria fn(0 nu este uniform convergentă, atunci, în general, nu poate fi integrată termen cu termen, adică Teorema 5 (la diferențierea termen cu termen a unei serii funcționale) Fie ca toți termenii seriei convergente 00 au derivate continue și seria compusă din aceste derivate, converge uniform pe intervalul [a, b] Atunci, în orice punct, egalitatea este adevărată, adică această serie poate fi diferențiată prin termen ca suma unei serii uniform convergente de funcţii continue. Prin urmare, diferenţierea egalităţii se obţine Exerciţii Aflaţi ariile de convergenţă ale acestor serii funcţionale: Cu ajutorul testului Weierstrass, demonstraţi convergenţa uniformă a acestor serii funcţionale pe intervalele indicate.

Luhov Yu.P. Note de curs despre matematica superioară. Prelegerea nr. 42 5

Cursul 42

SUBIECT: Serii funcționale

Plan.

1. Serii funcționale. Regiunea de convergență.
2. Convergență uniformă. semn Weierstrass.
3. Proprietățile seriei uniform convergente: continuitatea sumei seriei, integrarea și diferențierea termen cu termen.
4. Seria de putere. teorema lui Abel. Regiunea de convergență a seriei de puteri. Raza de convergență.
5. Proprietățile de bază ale seriei de putere: convergenta uniforma, continuitatea și diferențiabilitatea infinită a sumei. Integrarea și diferențierea termen cu termen a serii de puteri.

Serii funcționale. Regiunea de convergență

Definiția 40.1. Număr infinit de funcții

u 1 (x) + u 2 (x) +…+ u n (x) +…, (40.1)

unde u n (x) = f (x, n), se numește gamă funcțională.

Dacă specificați o anumită valoare numerică X , seria (40.1) se va transforma într-o serie de numere, iar în funcție de alegerea valorii X o astfel de serie poate converge sau diverge. Numai seriile convergente au valoare practică, deci este important să se determine acele valori X , la care seria funcțională devine o serie numerică convergentă.

Definiția 40.2. Sensuri multiple X , a cărui substituire în seria funcțională (40.1) are ca rezultat o serie numerică convergentă se numeștezona de convergentagamă funcțională.

Definiția 40.3. Funcția s(x), definite în regiunea de convergenţă a seriei, care pentru fiecare valoare X din regiunea de convergență este egală cu suma seriei numerice corespunzătoare obținute din (40.1) pentru o valoare dată x este numit suma seriei funcționale.

Exemplu. Să găsim regiunea de convergență și suma seriei funcționale

1 + x + x² +…+ x n +…

Când | x | ≥ 1, prin urmare, seria de numere corespunzătoare diverge. Dacă

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей progresie geometrică, calculat prin formula:

În consecință, domeniul de convergență al seriei este intervalul (-1, 1), iar suma acestuia are forma indicată.

Comentariu . La fel ca și pentru seria de numere, puteți introduce conceptul de sumă parțială a unei serii funcționale:

s n = 1 + x + x² +…+ x n

iar restul seriei: r n = s s n .

Convergența uniformă a unei serii funcționale

Să definim mai întâi conceptul de convergență uniformă a unei secvențe de numere.

Definiția 40.4. Secvență funcțională fn(x) se numește convergând uniform către o funcţie f pe multimea X daca si

Nota 1. Vom nota convergența obișnuită a unei secvențe funcționale și convergența uniformă cu .

Nota 2 . Să remarcăm încă o dată diferența fundamentală dintre convergența uniformă și convergența obișnuită: în cazul convergenței obișnuite, pentru o valoare aleasă a lui ε, pentru fiecare există numărul tău N, pentru care la n>N inegalitatea este valabilă:

În acest caz, se poate dovedi că pentru un ε dat numărul general N, asigurând îndeplinirea acestei inegalităţi pentru oricare X , imposibil. În cazul convergenței uniforme, un astfel de număr N, comun tuturor x, există.

Să definim acum conceptul de convergență uniformă a unei serii funcționale. Deoarece fiecare serie corespunde unei secvențe a sumelor sale parțiale, convergența uniformă a seriei este determinată prin convergența uniformă a acestei secvențe:

Definiția 40.5. Seria funcțională se numeșteuniform convergente pe setul X, dacă pe X succesiunea sumelor sale parțiale converge uniform.

semn Weierstrass

Teorema 40.1. Dacă o serie de numere converge atât pentru toată lumea, cât și pentru toată lumea n = 1, 2,... inegalitatea este satisfăcută atunci seria converge absolut și uniform pe mulțime X.

Dovada.

Pentru orice ε > 0 s există un astfel de număr N, motiv pentru care

Pentru resturile r n serie estimarea este corectă

Prin urmare, seria converge uniform.

Comentariu. Procedura de selectare a unei serii de numere care îndeplinește condițiile teoremei 40.1 este de obicei numită majorare , și acest rând în sine majorante pentru un interval funcțional dat.

Exemplu. Pentru o serie funcțională majorant pentru orice valoare X este o serie convergentă cu semn pozitiv. Prin urmare, seria originală converge uniform către (-∞, +∞).

Proprietățile serii uniform convergente

Teorema 40.2. Dacă funcțiile u n (x) sunt continue la și seria converge uniform către X, atunci suma sa s (x) este, de asemenea, continuă într-un punct x 0 .

Dovada.

Să alegem ε > 0. Atunci, deci, există un astfel de număr n 0 că

- suma unui număr finit de funcții continue, decicontinuu la un punct x 0 . Prin urmare, există un δ > 0 astfel încât Apoi obținem:

Adică, funcția s (x) este continuă la x = x 0.

Teorema 40.3. Fie funcțiile u n (x) continuu pe intervalul [ a, b ] iar seria converge uniform pe acest segment. Apoi seria converge uniform spre [ a , b ] și (40.2)

(adica in conditiile teoremei seria poate fi integrata termen cu termen).

Dovada.

Prin teorema 40.2 funcţia s(x) = continuu pe [a, b ] și, prin urmare, este integrabil pe ea, adică integrala din partea stângă a egalității (40.2) există. Să arătăm că seria converge uniform către funcție

Să notăm

Atunci pentru orice ε există un astfel de număr N, care pentru n > N

Aceasta înseamnă că seria converge uniform, iar suma sa este egală cu σ ( x) = .

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 40.4. Fie funcțiile u n (x) sunt diferențiabile continuu pe intervalul [ a, b ] și o serie compusă din derivatele lor:

(40.3)

converge uniform spre [ a, b ]. Atunci, dacă o serie converge cel puțin într-un punct, atunci converge uniform în [ a , b ], suma sa s (x )= este o funcţie continuu diferenţiabilă şi

(seria poate fi diferenţiată termen cu termen).

Dovada.

Să definim funcția σ( X ) Cum. Prin teorema 40.3, seria (40.3) poate fi integrată termen cu termen:

Seria din partea dreaptă a acestei egalități converge uniform către [ a, b ] prin teorema 40.3. Dar, conform condițiilor teoremei, seria de numere converge, prin urmare seria converge uniform. Atunci funcția σ( t ) este suma unei serii uniform convergente de funcții continue pe [ a, b ] și, prin urmare, este ea însăși continuă. Atunci funcția este diferențiabilă continuu pe [ a, b ] și asta trebuia demonstrat.

Definiția 41.1. Seria de putere se numește o serie funcțională a formei

(41.1)

Comentariu. Folosind înlocuire x x 0 = t seria (41.1) poate fi redusă la forma, prin urmare este suficient să se demonstreze toate proprietățile seriei de puteri pentru serii de formă

(41.2)

Teorema 41.1 (Teorema I a lui Abel).Dacă seria de puteri (41.2) converge la x = x 0, atunci pentru orice x: | x |< | x 0 | seria (41.2) converge absolut. Dacă seria (41.2) diverge la x = x 0, apoi diverge pentru oricare x: | x | > | x 0 |.

Dovada.

Dacă seria converge, atunci există o constantă c > 0:

În consecință, și seria pentru | x |<| x 0 | converge deoarece este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că seria de la | x |<| x 0 | absolut se potrivesc.

Dacă se știe că seria (41.2) diverge la x = x 0 , atunci nu poate converge la | x | > | x 0 | , întrucât din cele dovedite anterior ar rezulta că converge la punct x 0 .

Astfel, dacă găsiți cel mai mare număr x 0 > 0 astfel încât (41.2) converge pentru x = x 0, atunci regiunea de convergență a acestei serii, după cum reiese din teorema lui Abel, va fi intervalul (- x 0, x 0 ), incluzând eventual una sau ambele granițe.

Definiție 41.2. Se numește numărul R ≥ 0 raza de convergentaserie de puteri (41.2), dacă această serie converge și diverge. Interval (- R, R) se numește interval de convergenta seria (41.2).

Exemple.

1. Pentru a studia convergența absolută a unei serii, aplicăm testul d’Alembert: . Prin urmare, seria converge numai atunci când X = 0, iar raza sa de convergență este 0: R = 0.
2. Folosind același test D'Alembert, putem arăta că seria converge pentru oricare x, adică
3. Pentru o serie care folosește criteriul lui d'Alembert obținem:

Prin urmare, pentru 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 diverge. La X = 1 obținem o serie armonică, care, după cum se știe, diverge și când X = -1 serie converge conditionat dupa criteriul Leibniz. Astfel, raza de convergență a seriei luate în considerare R = 1, iar intervalul de convergență este [-1, 1).

Formule pentru determinarea razei de convergență a unei serii de puteri.

1. formula lui d'Alembert.

Să considerăm o serie de puteri și să-i aplicăm criteriul lui d'Alembert: pentru ca seria să converge, este necesar ca, dacă există, atunci regiunea de convergență să fie determinată de inegalitate

- (41.3)

• formula lui d'Alembertpentru a calcula raza de convergență.

1. Formula Cauchy-Hadamard.

Folosind testul radical Cauchy și raționând în mod similar, constatăm că putem defini regiunea de convergență a unei serii de puteri ca un set de soluții ale inegalității, sub rezerva existenței acestei limite și, în consecință, găsim o altă formulă. pentru raza de convergență:

(41.4)

• Formula Cauchy-Hadamard.

Proprietățile seriei de putere.

Teorema 41.2 (a 2-a teoremă a lui Abel). Daca R raza de convergență a seriei (41.2) și această serie converge la x = R , apoi converge uniform pe intervalul (- R, R).

Dovada.

O serie pozitivă converge prin teorema 41.1. În consecință, seria (41.2) converge uniform în intervalul [-ρ, ρ] prin Teorema 40.1. Din alegerea lui ρ rezultă că intervalul de convergență uniformă (- R, R ), ceea ce trebuia dovedit.

Corolarul 1 . Pe orice segment care se află în întregime în intervalul de convergență, suma seriei (41.2) este o funcție continuă.

Dovada.

Termenii seriei (41.2) sunt funcții continue, iar seria converge uniform asupra intervalului luat în considerare. Apoi continuitatea sumei sale rezultă din teorema 40.2.

Corolarul 2. Dacă limitele integrării α, β se află în intervalul de convergență al seriei de puteri, atunci integrala sumei seriei egal cu suma integrale ale termenilor seriei:

(41.5)

Dovada acestei afirmații rezultă din teorema 40.3.

Teorema 41.3. Dacă seria (41.2) are un interval de convergență (- R, R), apoi seria

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

obţinut prin diferenţierea termen cu termen a seriei (41.2) are acelaşi interval de convergenţă (- R, R). În același timp

φ΄(x) = s΄ (x) pentru | x |< R , (41.7)

adică în intervalul de convergenţă, derivata sumei unei serii de puteri este egală cu suma seriei obţinută prin diferenţierea ei termen cu termen.

Dovada.

Să alegem ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Atunci seria converge, deci, adică Dacă| x | ≤ ρ, atunci

Unde Astfel, termenii seriei (41.6) sunt mai mici în valoare absolută decât termenii seriei cu semn pozitiv, care converge după criteriul lui D’Alembert:

adică este majorant pentru seria (41.6) pentru Prin urmare, seria (41.6) converge uniform pe [-ρ, ρ]. Prin urmare, prin teorema 40.4, egalitatea (41.7) este adevărată. Din alegerea lui ρ rezultă că seria (41.6) converge în orice punct interior al intervalului (- R, R).

Să demonstrăm că în afara acestui interval seria (41.6) diverge. Într-adevăr, dacă ar converge la x 1 > R , apoi, integrându-l termen cu termen pe intervalul (0, x2), R< x 2 < x 1 , am obține că seria (41.2) converge în punctul x 2 , ceea ce contrazice condițiile teoremei. Deci, teorema este complet demonstrată.

Comentariu . Seria (41.6), la rândul ei, poate fi diferențiată termen cu termen și această operație poate fi efectuată de câte ori se dorește.

Concluzie: dacă seria de puteri converge pe intervalul (- R, R ), atunci suma ei este o funcție care are derivate de orice ordin în interiorul intervalului de convergență, fiecare dintre acestea fiind suma unei serii obținute din cea originală folosind diferențierea termen cu termen de numărul corespunzător de ori; Mai mult, intervalul de convergență pentru o serie de derivate de orice ordin este (- R, R).

Departamentul de Informatică și Matematică Superioară KSPU

4.1. Serii funcționale: concepte de bază, zonă de convergență

Definiția 1. O serie ai cărei membri sunt funcții ale unuia sau
se numesc mai multe variabile independente definite pe o anumită mulţime gamă funcțională.

Luați în considerare o serie funcțională, ai cărei membri sunt funcții ale unei variabile independente X. Suma primului n membrii unei serii este o sumă parțială a unei serii funcționale date. Membru general există o funcție de la X, definit într-o anumită regiune. Luați în considerare seria funcțională la punct . Dacă seria de numere corespunzătoare converge, adică există o limită a sumelor parțiale ale acestei serii
(Unde − suma unei serii de numere), atunci se numește punctul punct de convergență gamă funcțională . Dacă seria de numere diverge, atunci punctul se numește punct de divergenta gamă funcțională.

Definiția 2. Zona de convergență gamă funcțională se numește mulțimea tuturor acestor valori X, la care converge seria funcțională. Se notează regiunea de convergență, constând din toate punctele de convergență . Rețineți că R.

Seria funcțională converge în regiune , dacă pentru vreunul converge ca o serie de numere, iar suma sa va fi o funcție . Acesta este așa-numitul funcția limită secvente : .

Cum să găsiți aria de convergență a unei serii de funcții ? Puteți folosi un semn similar cu semnul lui d'Alembert. Pentru un rând compune și luați în considerare limita pentru un fix X:
. Apoi este o soluție la inegalitate și rezolvarea ecuației (luăm numai acele soluții ale ecuației în
ale căror serii numerice corespunzătoare converg).

Exemplul 1. Găsiți aria de convergență a seriei.

Soluţie. Să notăm , . Să compunem și să calculăm limita
, atunci regiunea de convergență a seriei este determinată de inegalitate și ecuația . Să investigăm în continuare convergența seriei originale în punctele care sunt rădăcinile ecuației:

a) dacă , , apoi obținem o serie divergentă ;

b) dacă , , apoi serialul converge condiționat (prin

Criteriul lui Leibniz, exemplul 1, prelegerea 3, secțiunea. 3.1).

Astfel, regiunea de convergenţă seria arata asa: .

4.2. Seria de puteri: concepte de bază, teorema lui Abel

Să luăm în considerare un caz special al unei serii funcționale, așa-numita serie de putere , Unde
.

Definiția 3. Seria de putere se numeste o serie functionala de forma,

Unde − numere constante numite coeficienții seriei.

O serie de puteri este un „polinom infinit” dispus în puteri crescătoare . Orice serie de numere este
un caz special al unei serii de putere pt .

Să luăm în considerare cazul special al unei serii de puteri pt :
. Să aflăm ce tip este
regiunea de convergență a acestei serii .

Teorema 1 (teorema lui Abel). 1) Dacă seria de putere converge într-un punct , apoi converge absolut pentru orice X, pentru care inegalitatea este valabilă .

2) Dacă seria de puteri diverge la , apoi diverge pentru oricare X, pentru care .

Dovada. 1) După condiție, seria de puteri converge în punctul ,

adică seria de numere converge

(1)

iar după criteriul necesar convergenţei sale membru comun tinde spre 0, adică . Prin urmare, există un astfel de număr că toți membrii seriei sunt limitați de acest număr:
.

Să luăm acum în considerare oricare X, pentru care , și faceți o serie de valori absolute: .
Să scriem această serie într-o formă diferită: din moment ce , apoi (2).

Din inegalitate
primim, i.e. rând

constă din termeni care sunt mai mari decât termenii corespunzători din seria (2). Rând reprezintă o serie convergentă a unei progresii geometrice cu numitor , și , pentru că . În consecință, seria (2) converge la . Astfel, seria de putere absolut se potrivesc.

2) Lasă seria diverge la , cu alte cuvinte,

seria de numere diverge . Să demonstrăm asta pentru oricare X () seria diverge. Dovada este prin contradicție. Lasă pentru unii

fix ( ) seria converge, apoi converge pentru toate (vezi prima parte a acestei teoreme), în special, când , care contrazice condiția 2) a teoremei 1. Teorema este demonstrată.

Consecinţă. Teorema lui Abel ne permite să judecăm locația punctului de convergență al unei serii de puteri. Dacă punctul este punctul de convergență al seriei de puteri, apoi intervalul plin cu puncte de convergență; dacă punctul de divergenţă este punctul , Asta
intervale infinite umplut cu puncte de divergenta (Fig. 1).

Orez. 1. Intervale de convergenţă şi divergenţă a seriei

Se poate demonstra că există un astfel de număr că în fața tuturor
serie de putere converge absolut și când − diverge. Vom presupune că dacă seria converge doar într-un punct 0, atunci , iar dacă seria converge pentru toți , Asta .

Definiția 4. Interval de convergență serie de putere se numeste un astfel de interval că în fața tuturor această serie converge și, mai mult, absolut, și pentru toți X, situată în afara acestui interval, seria diverge. Număr R numit raza de convergenta serie de putere.

Comentariu. La sfârşitul intervalului problema convergenței sau divergenței unei serii de puteri se rezolvă separat pentru fiecare serie specifică.

Să arătăm una dintre modalitățile de a determina intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri.

Luați în considerare seria de putere si denota .

Să facem o serie de valori absolute ale membrilor săi:

și aplică-i testul lui d'Alembert.

Lasă-l să existe

.

Conform testului lui d'Alembert, o serie converge dacă , și diverge dacă . Prin urmare, seria converge la , atunci intervalul de convergență este: . Când seria diverge, din moment ce .
Folosind notația , obținem o formulă pentru determinarea razei de convergență a unei serii de puteri:

,

Unde − coeficienții seriei de putere.

Dacă se dovedește că limita , atunci presupunem .

Pentru a determina intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri, puteți utiliza și testul radical Cauchy, raza de convergență a seriei este determinată din relație .

Definiția 5. Serii de puteri generalizate numită o serie a formei

. Se mai numește și serie de putere .
Pentru o astfel de serie, intervalul de convergență are forma: , Unde − raza de convergenţă.

Să arătăm cum să găsim raza de convergență pentru o serie de puteri generalizate.

aceste. , Unde .

Dacă , Asta , și regiunea de convergență R; Dacă , Asta și regiunea de convergență .

Exemplul 2. Găsiți aria de convergență a seriei .

Soluţie. Să notăm . Să facem o limită

Rezolvarea inegalității: , , prin urmare, intervalul

convergența are forma: , și R= 5. În plus, examinăm capetele intervalului de convergență:
O) , , primim seria , care diverge;
b) , , primim seria , care converge
conditionat. Astfel, aria de convergență este: , .

Răspuns: regiune de convergenţă .

Exemplul 3. Rând diferit pentru fiecare , pentru că la , raza de convergență .

Exemplul 4. Seria converge pentru toate R, raza de convergență .

Serii funcționale. Seria de putere.
Domeniul de convergență al seriei

Râsul fără motiv este un semn al lui d'Alembert

A sunat ora gradelor funcționale. Pentru a stăpâni cu succes subiectul și, în special, această lecție, trebuie să înțelegeți bine seria de numere obișnuite. Ar trebui să înțelegeți bine ce este o serie și să puteți aplica criterii de comparație pentru a examina seria pentru convergență. Astfel, dacă tocmai ați început să studiați subiectul sau sunteți începător în matematică superioară, necesar lucrați prin trei lecții în succesiune: Rânduri pentru manechine,semnul lui D'Alembert. semnele lui CauchyŞi Alternând rânduri. testul lui Leibniz. Toate trei sunt obligatorii! Dacă aveți cunoștințe și abilități de bază în rezolvarea problemelor cu seriile de numere, atunci gestionarea serii funcționale va fi destul de simplă, deoarece nu există mult material nou.

În această lecție ne vom uita la conceptul de serie funcțională (ce este oricum), ne vom familiariza cu seriile de putere, care se găsesc în 90% din sarcinile practice și vom învăța cum să rezolvăm o problemă comună. sarcină tipică pentru a afla raza de convergență, intervalul de convergență și regiunea de convergență a unei serii de puteri. În continuare, recomand să luați în considerare materialul despre extinderea funcțiilor în serii de puteri, iar primul ajutor va fi acordat începătorului. După ce ne tragem puțin respirația, trecem la următorul nivel:

De asemenea, în secțiunea serii funcționale sunt numeroase aplicații pentru calcularea aproximativă, iar unele se remarcă din seria Fourier, care literatură educațională, de regulă, iese în evidență capitol separat. Am un singur articol, dar este unul lung și sunt multe, multe exemple suplimentare!

Deci, reperele sunt setate, să mergem:

Conceptul de serie funcțională și serie de putere

Dacă limita se dovedește a fi infinit, atunci algoritmul de soluție își încheie și el treaba și dăm răspunsul final sarcinii: „Seria converge la ” (sau la oricare „). Vezi cazul nr. 3 din paragraful anterior.

Dacă limita se dovedește a fi nici zero, nici infinit, atunci avem cel mai frecvent caz în practica nr. 1 - seria converge pe un anumit interval.

În acest caz, limita este . Cum se află intervalul de convergență al unei serii? Construim inegalitatea:

ÎN ORICE sarcină de acest tip pe partea stângă a inegalității ar trebui să fie rezultat al calculului limitei, iar în partea dreaptă a inegalității – strict unitate. Nu voi explica exact de ce există o astfel de inegalitate și de ce există una în dreapta. Lecțiile sunt orientate practic, și este foarte bine că poveștile mele nu au agățat cadrele didactice și unele teoreme au devenit mai clare.

Tehnica de lucru cu un modul și de rezolvare a inegalităților duble a fost discutată în detaliu în primul an în articol Domeniul funcției, dar pentru comoditate, voi încerca să comentez toate acțiunile cât mai detaliat posibil. Dezvăluim inegalitatea cu modul prin regula școlii . În acest caz:

Jumătate de drum s-a terminat.

În a doua etapă, este necesar să se investigheze convergența seriei la capetele intervalului găsit.

În primul rând, luăm capătul din stânga al intervalului și îl înlocuim în seria noastră de puteri:

La

Am obținut o serie de numere și trebuie să o examinăm pentru convergență (o sarcină deja familiară din lecțiile anterioare).

1) Seria este alternantă.
2) – termenii seriei scad în modul. În plus, fiecare membru următor al seriei este mai mic decât cel anterior în valoare absolută: , ceea ce înseamnă că scăderea este monotonă.
Concluzie: seria converge.

Folosind o serie alcătuită din module, vom afla exact cum:
– converge (serie „standard” din familia serii armonice generalizate).

Astfel, seria numerică rezultată converge absolut.

la – converge.

! iti amintesc că orice serie pozitivă convergentă este de asemenea absolut convergentă.

Astfel, seria de puteri converge, și absolut, la ambele capete ale intervalului găsit.

Răspuns: zona de convergență a seriei de puteri studiate:

O altă formă de răspuns are dreptul la viață: O serie converge dacă

Uneori, enunțul problemei cere să indicați raza de convergență. Este evident că în exemplul considerat .

Exemplul 2

Aflați regiunea de convergență a seriei de puteri

Soluţie: găsim intervalul de convergenţă al seriei prin folosire semnul lui d'Alembert (dar nu atributul BY! – un astfel de atribut nu există pentru seriile funcționale):

Seria converge la

Stânga trebuie să plecăm numai, deci înmulțim ambele părți ale inegalității cu 3:

– Seria este alternantă.
– – termenii seriei scad în modul. Fiecare membru următor al seriei este mai mic decât cel anterior în valoare absolută: , ceea ce înseamnă că scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Să o examinăm pentru natura convergenței:

Să comparăm această serie cu o serie divergentă.
Folosim criteriul de comparare limitativ:

Se obține un număr finit care este diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria diverge de la serie.

Astfel, seria converge condiționat.

2) Când – diverge (după ceea ce s-a dovedit).

Răspuns: Zona de convergență a seriei de puteri studiate: . Când seria converge condiționat.

În exemplul luat în considerare, regiunea de convergență a seriei de puteri este un semiinterval, iar în toate punctele intervalului seria de puteri converge absolut, iar la punctul , după cum s-a dovedit - conditionat.

Exemplul 3

Aflați intervalul de convergență al seriei de puteri și investigați convergența acestuia la capetele intervalului găsit

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă.

Să ne uităm la câteva exemple care sunt rare, dar apar.

Exemplul 4

Găsiți aria de convergență a seriei:

Soluţie: Folosind testul lui d'Alembert găsim intervalul de convergență al acestei serii:

(1) Compunem raportul dintre următorul membru al seriei față de cel anterior.

(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje.

(3) Conform regulii operațiunilor cu puteri, aducem cuburile sub o singură putere. La numărător extindem inteligent gradul, adică. O aranjam in asa fel incat in pasul urmator sa reducem fractia cu . Descriem factorii în detaliu.

(4) Sub cub, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, indicând că . Într-o fracțiune reducem tot ce se poate reduce. Luăm factorul dincolo de semnul limită, acesta poate fi scos, deoarece nu există nimic în el care să depindă de variabila „dinamică” „en”. Vă rugăm să rețineți că semnul modulului nu este desenat - din motivul că ia valori nenegative pentru orice „x”.

În limită, se obține zero, ceea ce înseamnă că putem da răspunsul final:

Răspuns: Seria converge la

Dar la început părea că acest rând cu „umplerea groaznică” ar fi greu de rezolvat. Zero sau infinit în limită este aproape un cadou, pentru că soluția este redusă vizibil!

Exemplul 5

Găsiți aria de convergență a seriei

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Ai grijă;-) Soluția completă este la sfârșitul lecției.

Să mai vedem câteva exemple care conțin un element de noutate în ceea ce privește utilizarea tehnicilor tehnice.

Exemplul 6

Aflați intervalul de convergență al seriei și investigați convergența acestuia la capetele intervalului găsit

Soluţie: Termenul comun al seriei de putere include un factor care asigură rotația semnului. Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la stabilirea limitei, ignorăm (nu scriem) acest factor, deoarece modulul distruge toate „minusurile”.

Găsim intervalul de convergență al seriei folosind testul lui d'Alembert:

Să creăm o inegalitate standard:
Seria converge la
Stânga trebuie să plecăm numai modul, deci înmulțim ambele părți ale inegalității cu 5:

Acum deschidem modulul într-un mod familiar:

În mijlocul inegalității duble, trebuie să lăsați doar „X” în acest scop, scădem 2 din fiecare parte a inegalității:

– intervalul de convergenţă al seriei de puteri studiate.

Investigăm convergența seriei la sfârșitul intervalului găsit:

1) Înlocuiți valoarea în seria noastră de puteri :

Fiți extrem de atenți, multiplicatorul nu oferă alternanță de semne, cu vreun „en” natural. Luăm minusul rezultat în afara seriei și uităm de el, deoarece acesta (ca orice constantă de factor) nu afectează în niciun fel convergența sau divergența seriei de numere.

Vă rugăm să rețineți din nou că în cursul substituirii valorii în termenul general al seriei de puteri, factorul nostru a fost redus. Dacă acest lucru nu s-ar întâmpla, ar însemna că fie am calculat incorect limita, fie am extins incorect modulul.

Deci, trebuie să examinăm seria de numere pentru convergență. Aici, cel mai simplu mod este să utilizați criteriul de comparație limită și să comparați această serie cu o serie armonică divergentă. Dar, să fiu sincer, m-am săturat teribil de semnul limitativ al comparației, așa că voi adăuga o varietate la soluție.

Deci, seria converge la

Înmulțim ambele părți ale inegalității cu 9:

Extragem rădăcina din ambele părți, în timp ce ne amintim de gluma din vechea școală:


Extinderea modulului:

și adăugați unul la toate părțile:

– intervalul de convergenţă al seriei de puteri studiate.

Să investigăm convergența seriei de puteri la sfârșitul intervalului găsit:

1) Dacă , atunci se obține următoarea serie de numere:

Multiplicatorul a dispărut fără urmă, deoarece pentru orice valoare naturală „en” .

Tema 2. Serii funcționale. Seria de putere

2.1. Serii funcționale

Până acum am luat în considerare seriale ai căror membri erau numere. Să trecem acum la studiul seriilor ai căror membri sunt funcții.

Gama funcțională numită rând

ai căror membri sunt funcții ale aceluiași argument definit pe aceeași mulțime E.

De exemplu,

1.
;

2.
;

Dacă dăm argumentul X o anumită valoare numerică
,
, apoi obținem seria de numere

care poate converge (converge absolut) sau diverge.

Dacă la
seria de numere rezultată converge, apoi punctul
numitpunct de convergență gamă funcțională. Se numește mulțimea tuturor punctelor de convergențăzona de convergenta gamă funcțională. Să notăm regiunea de convergență X, evident,
.

Dacă pentru seriile numerice cu semn pozitiv se pune întrebarea: „Converge sau diverge seria?”, pentru serii alternante se pune întrebarea: „Converge, condiționat sau absolut, sau diverge?”, atunci pentru o serie funcțională se pune întrebarea: întrebarea principală este: „Converge (converge absolut) la ce X?».

Gama funcțională
stabileşte o lege conform căreia fiecare valoare a argumentului
,
, i se atribuie un număr egal cu suma seriei de numere
. Astfel, pe platou X este specificată funcția
, care se numește suma seriei funcționale.

Exemplul 16.

Găsiți aria de convergență a seriei funcționale

.

Soluţie.

Lasă X este un număr fix, atunci această serie poate fi considerată ca o serie de numere cu semn pozitiv când
şi alternând la
.

Să facem o serie de valori absolute ale termenilor acestei serii:

adică pentru orice valoare X această limită este mai mică de unu, ceea ce înseamnă că această serie converge și absolut (deoarece am studiat o serie de valori absolute ale termenilor seriei) pe întreaga axă numerică.

Astfel, regiunea de convergență absolută este mulțimea
.

Exemplul 17.

Găsiți aria de convergență a seriei funcționale
.

Soluţie.

Lasă X– număr fix,
, atunci această serie poate fi considerată ca o serie de numere cu semn pozitiv când
şi alternând la
.

Să luăm în considerare o serie de valori absolute ale membrilor acestei serii:

și aplică-i testul lui D'Alembert.

Conform testului lui DAlembert, o serie converge dacă valoarea limită este mai mică de unu, adică. această serie va converge dacă
.

Rezolvând această inegalitate, obținem:


.

Astfel, atunci când , seria compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii converge, ceea ce înseamnă că seria inițială converge absolut, iar când
această serie diverge.

La
seria poate converge sau diverge, deoarece pentru aceste valori X valoarea limită este egală cu unitatea. Prin urmare, examinăm suplimentar convergența unui număr de puncte
Şi
.

Înlocuind în acest rând
, obținem o serie de numere
, despre care se știe că este o serie divergentă armonică, ceea ce înseamnă punctul
– punctul de divergență al unei serii date.

La
obținem o serie de numere alternativă

despre care se știe că converge condiționat (vezi exemplul 15), ceea ce înseamnă punctul
– punctul de convergență condiționată a seriei.

Astfel, regiunea de convergență a acestei serii este , iar seria converge absolut la .

Gama funcțională

numitmajorat într-o regiune de variație a lui x, dacă există o astfel de serie convergentă de semn pozitiv

,

că pentru toți x din această regiune condiția este îndeplinită
la
. Rând
numitmajorante.

Cu alte cuvinte, o serie este dominată dacă fiecare dintre termenii săi nu este mai mare în valoare absolută decât termenul corespunzător al unei serii pozitive convergente.

De exemplu, o serie

este majorizabil pentru orice X, pentru că pentru toată lumea X relatia tine

la
,

și un rând , după cum se știe, este convergent.

TeoremaWeierstrass

O serie care este majorată într-o anumită regiune converge absolut în acea regiune.

Să luăm în considerare, de exemplu, seria funcțională
. Această serie este majorată când
, de când
membrii seriei nu depășesc membrii corespunzători ai seriei pozitive . În consecință, conform teoremei Weierstrass, seria funcțională considerată converge absolut pentru
.

2.2. Seria de putere. teorema lui Abel. Regiunea de convergență a seriei de puteri

Dintre varietatea de serii funcționale, cele mai importante din punct de vedere al aplicării practice sunt seriile de putere și trigonometrice. Să ne uităm la aceste serii mai detaliat.

Seria de putere treptat
se numește o serie funcțională a formei

Unde – un număr fix,
– numere numite coeficienți de serie.

La
obținem o serie de puteri în puteri X, care are forma

.

Pentru simplitate, vom lua în considerare seriile de putere în puteri X, întrucât dintr-o astfel de serie se obține ușor o serie în puteri
, înlocuind în schimb X expresie
.

Simplitatea și importanța clasei de serie de puteri se datorează în primul rând faptului că suma parțială a unei serii de puteri

este un polinom - o funcție ale cărei proprietăți sunt bine studiate și ale cărei valori sunt ușor de calculat folosind numai operații aritmetice.

Deoarece seriile de putere sunt un caz special al unei serii funcționale, este, de asemenea, necesar să se găsească regiunea de convergență pentru ele. Spre deosebire de domeniul de convergență al unei serii funcționale arbitrare, care poate fi o mulțime de orice formă, domeniul de convergență al unei serii de puteri are o formă complet definită. Următoarea teoremă vorbește despre asta.

TeoremaAbel.

Dacă seria de putere
converge la o anumită valoare
, apoi converge, absolut, pentru toate valorile lui x care satisfac condiția
. Dacă o serie de puteri diverge la o anumită valoare
, apoi diverge pentru valori care satisfac condiția
.

Din teorema lui Abel rezultă că Toate punctele de convergenţă ale serii de puteri în puteri X situat de la originea coordonatelor nu mai departe decât oricare dintre punctele de divergență. Evident, punctele de convergență umplu un anumit gol centrat la origine. este valabilă teorema despre regiunea de convergenţă a unei serii de puteri.

Teorema.

Pentru orice serie de putere
există un numărR (R>0)astfel încât pentru toate x situate în interiorul intervalului
, seria converge absolut și pentru toate x situate în afara intervalului
, seria diverge.

NumărRnumitraza de convergenta seria de putere și intervalul
– interval de convergenta serie de puteri în puteri ale lui x.

Rețineți că teorema nu spune nimic despre convergența seriei la capetele intervalului de convergență, i.e. la puncte
. În aceste puncte, diferitele serii de putere se comportă diferit: seria poate converge (absolut sau condiționat) sau poate diverge. Prin urmare, convergența seriei în aceste puncte ar trebui verificată direct prin definiție.

În cazuri speciale, raza de convergență a seriei poate fi egal cu zero sau infinit. Dacă
, apoi seria de puteri în puteri X converge într-un singur punct
; dacă
, apoi seria de puteri converge pe întreaga axă a numerelor.

Să acordăm încă o dată atenție faptului că seria de putere
treptat
poate fi redusă la o serie de puteri
folosind înlocuirea
. Dacă rândul
converge la
, adică Pentru
, apoi după înlocuirea inversă obținem

 sau
.

Astfel, intervalul de convergență al seriei de puteri
arata ca
. Punct numit centru de convergenţă. Pentru claritate, este obișnuit să se descrie intervalul de convergență pe axa numerică (Figura 1)

Astfel, regiunea de convergență constă dintr-un interval de convergență la care se pot adăuga puncte
, dacă seria converge în aceste puncte. Intervalul de convergență poate fi găsit prin aplicarea directă a testului lui DAlembert sau a testului radical al lui Cauchy la o serie compusă din valorile absolute ale membrilor unei serii date.

Exemplul 18.

Găsiți aria de convergență a seriei
.

Soluţie.

Această serie este o serie de puteri în puteri X, adică
. Să considerăm o serie alcătuită din valorile absolute ale membrilor acestei serii și să folosim semnul lui DAlembert.

Seria va converge dacă valoarea limită este mai mică de 1, adică.

, unde
.

Astfel, intervalul de convergență al acestei serii
, raza de convergență
.

Investigam convergenta seriei la capetele intervalului, la puncte
. Înlocuirea valorii în această serie
, primim seria

.

Seria rezultată este o serie divergentă armonică, prin urmare, la punct
seria diverge, ceea ce înseamnă un punct
nu este inclusă în regiunea de convergenţă.

La
obținem o serie alternativă

,

care este convergent condiționat (exemplul 15), de aici punctul
– punct de convergenţă (condiţional).

Astfel, regiunea de convergență a seriei
, iar la punct
Seria converge condiționat, iar în alte puncte converge absolut.

Raționamentului folosit pentru rezolvarea exemplului i se poate da un caracter general.

Luați în considerare seria de putere

Să compunem o serie de valori absolute ale membrilor seriei și să îi aplicăm semnul lui D'Alembert.

Dacă există o limită (finită sau infinită), atunci conform condiției de convergență a criteriului lui D'Alembert, seria va converge dacă

,

,

.

Prin urmare, din definiția intervalului și a razei de convergență, avem

Folosind testul radical Cauchy și raționând în mod similar, putem obține o altă formulă pentru găsirea razei de convergență

Exemplul 19

Soluţie.

Seria este o serie de puteri în puteri X. Pentru a găsi intervalul de convergență, calculăm raza de convergență folosind formula de mai sus. Pentru o serie dată, formula coeficientului numeric are forma

, Atunci

Prin urmare,

Deoarece R = , atunci seria converge (și absolut) pentru toate valorile X, aceste. regiune de convergenţă X (–; +).

Rețineți că ar fi posibil să găsiți regiunea de convergență fără a folosi formule, dar prin aplicarea directă a criteriului lui Alembert:

Deoarece valoarea limitei nu depinde de Xși mai puțin de 1, atunci seria converge pentru toate valorile X, aceste. la X(-;+).

Exemplul 20

Găsiți aria de convergență a seriei

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + n!(X + 5) n +...

Soluţie .

x + 5), aceste. centru de convergenţă X 0 = - 5. Coeficientul numeric al seriei O n = n!.

Să găsim raza de convergență a seriei

.

Astfel, intervalul de convergență este format dintr-un punct - centrul intervalului de convergență x = - 5.

Exemplul 21

Găsiți aria de convergență a seriei
.

Soluţie.

Această serie este o serie de puteri în puteri ( X–2), aceste.

centru de convergenţă X 0 = 2. Rețineți că seria este semn pozitiv pentru orice fix X, din moment ce expresia ( X- 2) ridicat la puterea de 2 p. Să aplicăm testul radical Cauchy la serie.

Seria va converge dacă valoarea limită este mai mică de 1, adică.

,
,
,

Aceasta înseamnă că raza de convergență
, apoi integrala de convergență

,
.

Astfel, seria converge absolut la X
. Rețineți că integrala de convergență este simetrică față de centrul de convergență X O = 2.

Să studiem convergența seriei la capetele intervalului de convergență.

crezând
, obținem o serie numerică cu semn pozitiv

Să folosim criteriul necesar pentru convergență:

prin urmare, seria de numere diverge, iar punctul
este punctul de divergență. Rețineți că atunci când am calculat limita, am folosit a doua limită remarcabilă.

crezând
, obținem aceeași serie de numere (verificați-l singur!), ceea ce înseamnă punct
de asemenea, nu este inclusă în intervalul de convergență.

Deci, regiunea de convergență absolută a acestei serii X
.

2.3. Proprietățile serii de puteri convergente

Știm că o sumă finită de funcții continue este continuă; suma funcțiilor diferențiabile este diferențiabilă, iar derivata sumei este egală cu suma derivatelor; suma finală poate fi integrată termen cu termen.

Rezultă că pentru „sume infinite” de funcții — serii de funcții — proprietățile nu sunt valabile în cazul general.

De exemplu, luați în considerare seria funcțională

Este evident că toți termenii seriei sunt funcții continue. Să găsim regiunea de convergență a acestei serii și suma ei. Pentru a face acest lucru, găsim sumele parțiale ale seriei

apoi suma seriei

Deci suma S(X) dintr-o serie dată, ca limită a unei secvențe de sume parțiale, există și este finită pentru X (-1;1), Aceasta înseamnă că acest interval este regiunea de convergență a seriei. Mai mult, suma sa este o funcție discontinuă, deoarece

Deci, acest exemplu arată că în cazul general proprietățile sumelor finite nu au analog pentru sume infinite - serie. Totuși, pentru un caz special de serie funcțională - seria de puteri - proprietățile sumei sunt similare cu proprietățile sumelor finite.