PRELEGERE №4

LEGILE DE BAZĂ ALE CINETICĂ ŞI DINAMICĂ

MIȘCAREA ROTATIVA. MECANIC

PROPRIETATI ALE BIOTISCURILOR. BIOMECANICĂ

PROCESE ÎN APARATUL LOCOMOTOR

UMAN.

1. Legile de bază ale cinematicii mișcării de rotație.

Mișcarea de rotație a corpului în jurul unei axe fixe este cel mai simplu tip de mișcare. Se caracterizează prin faptul că orice punct al corpului descrie cercuri, ale căror centre sunt situate pe o singură linie dreaptă 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , care se numește axa de rotație (Fig. 1).

În acest caz, poziția corpului în orice moment de timp este determinată de unghiul de rotație φ al vectorului rază R al oricărui punct A față de poziția sa inițială. Dependența sa de timp:

(1)

este ecuația mișcării de rotație. Viteza de rotație a corpului este caracterizată de viteza unghiulară ω. Viteza unghiulară a tuturor punctelor corpului care se rotește este aceeași. Este o mărime vectorială. Acest vector este îndreptat de-a lungul axei de rotație și este legat de direcția de rotație prin regula șurubului drept:

. (2)

Cu mișcarea uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc

, (3)

unde Δφ=2π este unghiul corespunzător unei rotații complete a corpului, Δt=T este timpul unei rotații complete sau perioada de rotație. Unitatea de măsură a vitezei unghiulare [ω]=c -1.

Cu mișcare uniformă, accelerația corpului este caracterizată de accelerația unghiulară ε (vectorul său este situat similar vectorului viteză unghiulară și este direcționat în funcție de acesta în direcție accelerată și opusă - în mișcare lentă):

. (4)

Unitatea de măsură a accelerației unghiulare [ε]=c -2 .

Mișcarea de rotație poate fi caracterizată și prin viteza liniară și accelerația punctelor sale individuale. Lungimea arcului dS, descrisă de orice punct A (Fig. 1) atunci când este rotit printr-un unghi dφ, este determinată de formula: dS=Rdφ. (5)

Apoi viteza liniară a punctului :

. (6)

Accelerație liniară A:

. (7)

2. Legile de bază ale dinamicii mișcării de rotație.

Rotația corpului în jurul axei este cauzată de forța F aplicată oricărui punct al corpului, acționând într-un plan perpendicular pe axa de rotație și direcționată (sau având o componentă în această direcție) perpendicular pe vectorul rază al punctul de aplicare (Fig. 1).

Moment de forță relativ la centrul de rotație se numește mărime vectorială egală numeric cu produsul forței de lungimea perpendicularei d, coborâtă de la centrul de rotație la direcția forței, numită brațul forței. În Fig.1 d=R, deci

. (8)

Moment forța de rotație este o mărime vectorială. Vector atașat la centrul cercului O și îndreptat de-a lungul axei de rotație. direcția vectorială este în concordanță cu direcția forței conform regulii șurubului drept. Lucrul elementar dA i , la întoarcerea printr-un unghi mic dφ, când corpul parcurge un drum mic dS, este egal cu:

O măsură a inerției unui corp în mișcare de translație este masa. Când un corp se rotește, măsura inerției sale este caracterizată de momentul de inerție al corpului în jurul axei de rotație.

Momentul de inerție I i al unui punct material față de axa de rotație este o valoare egală cu produsul dintre masa punctului și pătratul distanței acestuia față de axă (Fig. 2):

. (10)

Momentul de inerție al corpului față de axă este suma momentelor de inerție ale punctelor materiale care alcătuiesc corpul:

. (11)

Sau în limita (n→∞):
, (12)

G de integrare se realizează pe întreg volumul V. În mod similar, se calculează momentele de inerție ale corpurilor omogene de formă geometrică regulată. Momentul de inerție se exprimă în kg m 2 .

Momentul de inerție al unei persoane în raport cu axa verticală de rotație care trece prin centrul de masă (centrul de masă al unei persoane se află în planul sagital puțin înaintea celei de-a doua vertebre transversale), în funcție de poziția persoanei, are următoarele valori: 1,2 kg m 2 la atenţie; 17 kg m 2 - în poziție orizontală.

Când un corp se rotește, energia sa cinetică este suma energiilor cinetice ale punctelor individuale ale corpului:

Diferențiând (14), obținem o modificare elementară a energiei cinetice:

. (15)

Echivalând munca elementară (formula 9) a forțelor externe cu modificarea elementară a energiei cinetice (formula 15), obținem:
, Unde:
sau având în vedere că
primim:
. (16)

Această ecuație se numește ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație. Această dependență este similară cu legea lui Newton II pentru mișcare înainte.

Momentul unghiular L i al unui punct material în raport cu axa este o valoare egală cu produsul dintre impulsul punctului și distanța acestuia față de axa de rotație:

. (17)

Momentul unghiular L al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe:

Momentul unghiular este o mărime vectorială orientată de-a lungul direcției vectorului viteză unghiulară.

Acum să revenim la ecuația principală (16):

,
.

Aducem valoarea constantă I sub semnul diferenţialului şi obţinem:
, (19)

unde Mdt se numeste impulsul momentului fortei. Dacă forțele externe nu acționează asupra corpului (M=0), atunci și modificarea momentului unghiular (dL=0) este egală cu zero. Aceasta înseamnă că momentul unghiular rămâne constant:
. (20)

Această concluzie se numește legea conservării momentului unghiular în jurul axei de rotație. Este folosit, de exemplu, pentru mișcări de rotație în jurul unei axe libere în sport, cum ar fi acrobația etc. Astfel, un patinator artistic pe gheață, prin schimbarea poziției corpului în timpul rotației și, în consecință, a momentului de inerție față de axa de rotație, își poate regla viteza de rotație.

Un corp rigid care se rotește în jurul unor axe care trec prin centrul de masă, dacă este eliberat de influențele externe, menține rotația la nesfârșit. (Această concluzie este similară cu prima lege a lui Newton pentru mișcarea de translație).

Apariția rotației unui corp rigid este întotdeauna cauzată de acțiunea forțelor externe aplicate punctelor individuale ale corpului. În acest caz, este inevitabil apariția deformațiilor și apariția forțelor interne, care în cazul unui corp solid asigură păstrarea practică a formei acestuia. Când acțiunea forțelor exterioare încetează, rotația este păstrată: forțele interne nu pot provoca și nici nu pot distruge rotația unui corp rigid.

Rezultatul acțiunii unei forțe externe asupra unui corp cu o axă de rotație fixă ​​este o mișcare de rotație accelerată a corpului.. (Această concluzie este similară cu cea de-a doua lege a lui Newton pentru mișcarea de translație).

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație: într-un cadru de referință inerțial, accelerația unghiulară dobândită de un corp care se rotește în jurul unei axe fixe este proporțională cu momentul total al tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului în jurul unei axe date. :

Este posibil să se ofere o formulare mai simplă legea de bază a dinamicii mișcării de rotație(numit si A doua lege a lui Newton pentru mișcarea de rotație): cuplul este egal cu produsul dintre momentul de inerție și accelerația unghiulară:

impuls unghiular(impuls unghiular, impuls unghiular) al unui corp se numește produsul momentului său de inerție cu viteza unghiulară:

Momentul unghiular este o mărime vectorială. Direcția sa coincide cu direcția vectorului viteză unghiulară.

Modificarea momentului unghiular este definită după cum urmează:

. (I.112)

O modificare a momentului unghiular (cu un moment de inerție constant al corpului) poate apărea numai ca urmare a unei modificări a vitezei unghiulare și se datorează întotdeauna acțiunii momentului de forță.

Conform formulei, precum și formulelor (I.110) și (I.112), modificarea momentului unghiular poate fi reprezentată ca:

. (I.113)

Produsul din formula (I.113) se numește moment impuls al forței sau moment de conducere. Este egal cu modificarea momentului unghiular.

Formula (I.113) este valabilă cu condiția ca momentul forței să nu se modifice în timp. Daca momentul fortei depinde de timp, i.e. , Acea

. (I.114)

Formula (I.114) arată că: modificarea momentului unghiular este egală cu integrala de timp a momentului de forță. În plus, dacă această formulă este prezentată sub forma: , atunci definiția va decurge din aceasta moment de forta: momentul instantaneu al forței este prima derivată a momentului momentului în raport cu timpul,

LUCRARE DE LABORATOR №107

Verificarea ecuației de bază a dinamicii

mișcare de rotație

Scopul lucrării:Verificarea experimentală a legii de bază a dinamicii mișcării de rotație cu ajutorul pendulului Oberbeck.

Instrumente si accesorii: Pendul Oberbeck cu milisecunde FRM - 15, etrier vernier.

Introducere teoretică

Atunci când se ia în considerare rotația unui corp rigid din punct de vedere dinamic, alături de conceptul de forțe, se introduce și conceptul de momente de forțe, iar alături de conceptul de masă, conceptul de moment de inerție.

Fie un punct material cu masă T sub acţiunea unei forţe exterioare se deplasează curbiliniu faţă de un punct fix O. Un moment de forţă acţionează asupra unui punct material iar punctul are un moment de impuls. Poziția unui punct material în mișcare este determinată de vectorul rază trasat la acesta din punctul O (Fig. 1). Momentul de forță relativ la un punct fix O se numește mărime vectorială egală cu produsul vectorial al vectorului rază al vectorului forță

Vectorul este îndreptat perpendicular pe planul vectorilor și iar direcția lui corespunde regulii șurubului drept. Modulul momentului forțelor este egal cu

Unde A - unghiul dintre vectori și , h=rsin A - umărul forței, egal cu distanța cea mai scurtă de la punctul O până la linia de acțiune (de-a lungul căreia acționează forța) a forței.

Momentul unghiular relativ la punctul O se numește mărime vectorială egală cu produsul vectorial al razei vectorului de vectorul moment, adică

Vectorul este îndreptat perpendicular pe planul vectorilor și (Fig. 2). Modulul momentului unghiular este egal cu

Unde b - unghiul dintre direcţia vectorilor şi .

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație

Fie sistemul mecanic format din N puncte materiale sub acțiunea forțelor exterioare, a căror rezultată face o mișcare curbilinie față de un punct fix O, adică

unde este vectorul rază trasat de la punctul O la i al-lea punct material, este vectorul forței care acționează asupra i-al-lea punct material.

Puteți găsi, de asemenea, momentul unghiular al sistemului

unde este momentul unghiular i-al-lea punct material.

Momentul unghiular depinde de timp t deoarece viteza este o funcție a timpului. Luând derivata impulsului sistemului în raport cu timpul t, primim

Formula (7) este o expresie matematică a legii de bază a dinamicii mișcării de rotație a sistemului, conform căreia rata de modificare a momentului unghiular al sistemului în timp este egală cu momentul rezultat al forțelor externe care acționează asupra sistemul.

Legea (7) este valabilă și pentru un corp rigid, întrucât un corp rigid poate fi considerat ca o colecție de puncte materiale.

Fie ca într-un caz particular, un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul de masă, sub acțiunea unei forțe externe. Corpul rigid este împărțit în puncte materiale. Pentru un punct material cu masă m i se va scrie ecuația mișcării

Moment unghiular pentru i- al-lea punct material este egal cu

Deoarece în timpul rotaţieib = 90 0 , atunci viteza liniară este legată de viteza unghiulară prin formula. Atunci (9) se poate scrie ca

Valoarea este momentul de inerție al punctului material în jurul axei Z. Atunci (10) ia forma

Ținând cont de (11), se scrie legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid față de o axă fixă.

unde este momentul de inerție al corpului rigid în jurul axei Z.

La

unde este accelerația unghiulară. Conform ecuației principale dinamica mișcării de rotație (12), momentul rezultat al forței exterioare care acționează asupra corpului este egal cu produsul dintre momentul de inerție J al corpului și accelerația unghiulară a acestuia.

Din ecuația (12) rezultă că la j = const accelerația unghiulară a corpului

direct proportional cu momentul fortelor exterioare fata de axa de rotatie, i.e.

La M = const accelerația unghiulară este invers proporțională cu momentul de inerție al corpului, adică.

Scopul acestei lucrări este de a verifica relațiile (13) și (14), și, în consecință, ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație (12), din care sunt consecințe.

Descrierea configurației de funcționare și a metodei de măsurare

Pentru a verifica relațiile (13) și (14), se folosește un pendul Oberbeck, care este o roată inerțială sub formă de cruce. Pe patru tije reciproc perpendiculare 1 există patru sarcini cilindrice identice 2, care pot fi deplasate de-a lungul tijelor și fixate la o anumită distanță de axă. Sarcinile sunt fixate simetric, de ex. astfel încât centrul lor de masă să coincidă cu axa de rotație. Pe axa orizontală a crucii se află un disc în două trepte 3, pe care este înfășurat firul. Un capăt al firului este atașat de disc și o sarcină 4 este suspendată de al doilea capăt al firului, sub acțiunea căreia dispozitivul este antrenat în rotație. O vedere generală a pendulului Oberbeck FRM-06 este prezentată în Fig.3. Un electromagnet de frânare este utilizat pentru a ține sistemul de cruce împreună cu greutățile în repaus. Pentru a citi înălțimea căderii mărfurilor, pe coloană se aplică o scară milimetrică 5. Timpul căderii sarcinii 4 este măsurat de ceasul FRM-15 milisecunde, la care senzorii fotoelectrici nr. ) și nr. 2 (7) sunt conectate. Senzorul fotoelectric nr. 2 (7) generează un impuls electric al măsurătorilor de sfârșit de timp și pornește electromagnetul de frână.

Dacă permiteți încărcăturii 4 să se miște, atunci această mișcare va avea loc cu accelerație A.

Unde t- timpul de mișcare a încărcăturii de la înălțime h. În acest caz, scripetele cu tije și sarcinile situate pe acestea se vor roti cu o accelerație unghiularăe .

Unde r- raza scripetelui.

Cuplul forței aplicate crucii și raportând accelerația unghiulară a părții rotative a dispozitivului, găsim prin formula

Unde T- forta de tensionare a cordonului. Conform celei de-a doua legi a lui Newton pentru sarcina 4 avem

Unde

Unde g- accelerarea gravitației.

Din formulele (12), (15), (16), (17) și (19) avem

Procedura de executare a lucrărilor și de prelucrare a rezultatelor măsurătorilor

1. Măsurați raza scripetelor mari și mici cu un șubler r 1 și r 2 .

2. Determinați masa încărcăturii 4 cântărind cu precizie pe cântare tehnice± 0,1 g

3. Verificați relația (13). Pentru aceasta:

- fixați greutăți mobile cilindrice pe tije la cea mai apropiată distanță de axa de rotație, astfel încât traversa să fie într-o poziție de echilibru indiferent;

- înfășurați firul în jurul unui scripete cu rază mare r1 și măsurați timpul de mișcare a încărcăturii t de sus h ceas de milisecunde, de ce

- conectați cablul de alimentare al contorului la sursa de alimentare;

- apăsați tasta „NETWORK” și verificați dacă toți indicatorii contorului arată zero și dacă toți indicatorii ambilor senzori fotoelectrici sunt aprinși;

- mutați greutatea în poziția de sus și verificați dacă circuitul este în repaus;

- apăsați tasta „START” și măsurați timpul de mișcare a încărcăturii cu un ceas de milisecunde;

- apăsați tasta „RESET” și verificați dacă citirile contorului au fost resetate la zero și dacă blocarea a fost eliberată de electromagnet;

- mutați sarcina în poziția superioară, apăsați tasta „START” și verificați dacă circuitul a fost din nou blocat;

- repeta experimentul de 5 ori. Înălţime h nu se recomandă schimbarea pe parcursul întregii operațiuni;

- folosind formulele (15), (16), (20) calculați valorile A 1 , e 1 , M 1 ;

- fără a schimba locația sarcinilor în mișcare și, astfel, lăsând neschimbat momentul de inerție al sistemului, repetați experimentul înfășurând firul cu sarcina pe un scripete mic cu o rază r2;

- folosind formulele (15), (16), (20) calculați valorile A 2 , e 2 , M 2 ;

- verificați validitatea consecinței legii de bază a dinamicii mișcării de rotație:

, la

- introduceți datele rezultatelor măsurătorilor și calculelor în tabelele 1 și 2.

4. Verificați raportul (1 4). Pentru aceasta:

- împingeți greutățile mobile până la oprire la capetele tijelor, dar astfel încât traversa să fie din nou într-o poziție de echilibru indiferent;

- pentru scripete mic r2 determina timpul de mișcare a încărcăturii t/ conform a 5 experimente;

- folosind formulele (15), (20), (21) determinați valorile A / , e / , J1;

- la verificarea raportului când puteți folosi valorile experienței anterioare setând și ;

- folosind formula (21) determinați valoarea J 2 ;

- calculați valorile și .

- Înregistrați rezultatele măsurătorilor și calculelor în tabelul 3.

tabelul 1

r1	m	h	t 1	< t 1 >	A 1	e 1	M 1
	kg				m/s 2	de la -2	H × m

masa 2

r2	t 2	< t 2 >	A 2	e 2	M 2	M 1 /M 2	e 1 / e 2
			m/s 2	de la -2	H × m

Tabelul 3

r 2	t /	< t / >	A /	e /	J 1	A //	J 2	e //	e / / e //	J 2 / J 1
			m/s 2	de la -2	kg × m 2	m/s 2	kg × m 2	de la -2

Întrebări pentru admiterea la muncă

1. Care este scopul lucrării?

2. Formulați legea de bază a dinamicii mișcării de rotație. Explicați semnificația fizică a mărimilor cuprinse în această lege, indicați unitățile de măsură ale acestora în „SI”.

3. Descrieți dispozitivul instalației de lucru.

Întrebări pentru a proteja lucrarea

1. Dați definițiile momentului forțelor, momentului impulsului unui punct material relativ la un punct fix O.

2. Formulați legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid față de un punct fix O și o axă fixă ​​Z.

3. Definiți momentul de inerție al unui punct material și al unui corp rigid.

4. Deduceți formule de lucru.

5. Deduceți raportul pentru și pentru

6. Există critici la adresa acestei lucrări?

Moment de putere

Acțiunea de rotație a unei forțe este determinată de impulsul acesteia. Momentul de forță în jurul unui punct este produsul încrucișat

Vector rază trasat de la un punct la altul de aplicare a forței (Fig. 2.12). Unitatea de măsură a momentului de forță.

Figura 2.12

Mărimea momentului de forță

sau poți scrie

unde este umărul forței (cea mai scurtă distanță de la punct la linia de acțiune a forței).

Direcția vectorului este determinată de regula produsului încrucișat sau de regula „șurubului drept” (combinăm vectorii și translația paralelă în punctul O, direcția vectorului este determinată astfel încât de la capătul său rotirea de la vector la este vizibilă în sens invers acelor de ceasornic - în Fig. 2.12 vectorul este direcționat perpendicular pe planul desenat „de la noi” (în mod similar, conform regulii brațelor - mișcarea de translație corespunde direcției vectorului, rotația corespunde unei viraj de la catre)).

Momentul unei forțe în jurul unui punct este zero dacă linia de acțiune a forței trece prin acel punct.

Proiecția unui vector pe orice axă, de exemplu, axa z, se numește momentul de forță în jurul acestei axe. Pentru a determina momentul forței în jurul axei, mai întâi proiectați forța pe un plan perpendicular pe axă (Fig. 2.13), apoi găsiți momentul acestei proiecții relativ la punctul de intersecție al axei cu planul perpendicular pe acesta. . Dacă linia de acțiune a forței este paralelă cu axa sau o traversează, atunci momentul forței în jurul acestei axe este egal cu zero.

Figura 2.13

impuls unghiular

Moment de impuls punct material o masă care se mișcă cu o viteză în raport cu orice punct de referință se numește produs vectorial

Vectorul rază al unui punct material (Fig. 2.14) este impulsul acestuia.

Figura 2.14

Valoarea momentului unghiular al punctului material

unde este cea mai scurtă distanță de la linia vectorială la punctul .

Direcția momentului unghiular este determinată în mod similar cu direcția momentului de forță.

Dacă expresia pentru L 0 este înmulțită și împărțită la l, obținem:

Unde - momentul de inerție al unui punct material - un analog al masei în mișcare de rotație.

Viteză unghiulară.

Momentul de inerție al unui corp rigid

Se poate observa că formulele rezultate sunt foarte asemănătoare cu expresiile pentru impuls și, respectiv, pentru cea de-a doua lege a lui Newton, doar în locul vitezei și accelerației liniare se folosesc viteza unghiulară și accelerația, iar în loc de masă, cantitatea I=mR 2, numit momentul de inerție al unui punct material .

Dacă corpul nu poate fi considerat un punct material, dar poate fi considerat absolut rigid, atunci momentul său de inerție poate fi considerat suma momentelor de inerție ale părților sale infinit de mici, deoarece vitezele unghiulare de rotație ale acestor părți sunt aceleași. (Fig. 2.16). Suma infinitezimale este integrala:

Pentru orice corp, există axe care trec prin centrul său de inerție, care au următoarea proprietate: atunci când corpul se rotește în jurul unor astfel de axe în absența influențelor externe, axele de rotație nu își schimbă poziția. Se numesc astfel de axe axele libere ale corpului . Se poate dovedi că pentru un corp de orice formă și cu orice distribuție de densitate există trei axe libere reciproc perpendiculare, numite axele principale de inerție corp. Se numesc momentele de inerție ale unui corp față de axele principale principalele (intrinseci) momente de inerție corp.

Principalele momente de inerție ale unor corpuri sunt date în tabel:

Teorema Huygens-Steiner.

Această expresie se numește Teoremele Huygens-Steiner : momentul de inerție al corpului față de o axă arbitrară este egală cu suma momentul de inerție al corpului față de o axă paralelă cu cea dată și care trece prin centrul de masă al corpului și produsul masei corporale cu pătratul distanței dintre axe.

Ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație poate fi obținută din a doua lege a lui Newton pentru mișcarea de translație a unui corp rigid

Unde F este forța aplicată corpului de către masă m; A este accelerația liniară a corpului.

Dacă la un corp rigid de masă mîn punctul A (Fig. 2.15) aplicați forța F, apoi ca urmare a unei legături rigide între toate punctele materiale ale corpului, toate vor primi accelerație unghiulară ε și accelerații liniare corespunzătoare, ca și cum o forță F 1 …F n ar acționa asupra fiecărui punct. Pentru fiecare punct material, puteți scrie:

Unde deci

Unde m i- greutate eu- al-lea punct; ε este accelerația unghiulară; r i este distanța sa față de axa de rotație.

Înmulțirea părților stânga și dreaptă ale ecuației cu r i, primim

Unde - momentul forței - este produsul forței pe umărul ei.

Orez. 2.15. Un corp rigid care se rotește sub acțiunea unei forțe F despre axa „ОО”.

- moment de inerție i al-lea punct material (analog cu masa în mișcare de rotație).

Expresia poate fi scrisă astfel:

Să însumăm părțile din stânga și din dreapta peste toate punctele corpului:

Ecuația este legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid. Valoare - suma geometrică a tuturor momentelor de forță, adică momentul de forță F, dând accelerație ε tuturor punctelor corpului. este suma algebrică a momentelor de inerție ale tuturor punctelor corpului. Legea este formulată astfel: „Momentul de forță care acționează asupra unui corp în rotație este egal cu produsul dintre momentul de inerție al corpului și accelerația unghiulară”.

Pe cealaltă parte

La rândul său - o schimbare a momentului unghiular al corpului.

Atunci legea de bază a dinamicii mișcării de rotație poate fi rescrisă astfel:

Sau - impulsul momentului de forță, care acționează asupra unui corp în rotație, este egal cu modificarea momentului său unghiular.

Legea conservării momentului unghiular

Similar cu ZSI.

Conform ecuaţiei de bază a dinamicii mişcării de rotaţie, momentul forţei în jurul axei Z: . Prin urmare, într-un sistem închis și, prin urmare, momentul unghiular total în jurul axei Z a tuturor corpurilor incluse într-un sistem închis este o valoare constantă. Ea exprimă legea conservării momentului unghiular . Această lege este valabilă numai în cadre de referință inerțiale.

Să facem o analogie între caracteristicile mișcării de translație și mișcării de rotație.

Bazele și fundațiile se calculează în funcție de 2 stări limită

	După capacitatea portantă:	N- sarcina de proiectare specificată pe bază în combinația cea mai nefavorabilă; - capacitatea portantă (sarcină finală) a fundației pentru o direcție dată de sarcină N; - coeficientul condițiilor de lucru ale fundației (<1); - коэффициент надежности (>1).
	În funcție de deformații limită:	- aşezarea absolută estimată a fundaţiei; - diferența relativă calculată a așezărilor fundației; , - valori limită, respectiv, ale diferenței absolute și relative ale așezărilor de fundație (SNiP 2.02.01-83 *)

Dinamica rotațională

cuvânt înainte

Atragem atentia elevilor ca ACEST material nu a fost considerat ABSOLUT la scoala (cu exceptia conceptului de moment al fortei).

1. Legea dinamicii mișcării de rotație

A. Legea dinamicii mișcării de rotație

b. Moment de putere

c. Momentul unei perechi de forțe

d. Moment de inerție

2. Momente de inerție ale unor corpuri:

A. Inel (cilindru cu pereți subțiri)

b. Cilindru cu perete gros

c. cilindru solid

e. tija subțire

3. Teorema lui Steiner

4. Momentul unghiular al corpului. Modificarea momentului unghiular al corpului. impuls de impuls. Legea conservării momentului unghiular

5. Funcționare rotativă

6. Energia cinetică de rotație

7. Compararea mărimilor și legilor mișcării de translație și rotație

1a. Luați în considerare un corp rigid care se poate roti în jurul unei axe fixe OO (Fig. 3.1). Să despărțim acest corp solid în mase elementare separate Δ m eu . Rezultanta tuturor forțelor aplicate lui Δ m i , notat cu . Este suficient să luăm în considerare cazul când forța se află într-un plan perpendicular pe axa de rotație: componentele forței paralele cu axa nu pot afecta rotația corpului, deoarece axa este fixă. Atunci ecuația celei de-a doua legi a lui Newton pentru componentele tangențiale ale forței și accelerației se va scrie astfel:

Componenta normală a forței asigură accelerația centripetă și nu afectează accelerația unghiulară. De la (1.27): , unde este raza de rotație i- acel punct. Apoi

Să înmulțim ambele părți ale (3.2) cu:

observa asta

unde α este unghiul dintre vectorul forță și vectorul rază al punctului (Fig. 3.1), este perpendiculara coborâtă pe linia de acțiune a forței din centrul de rotație (umărul forței). Să introducem conceptul de moment al forței.

1b. Moment de forță raportat la axă se numește vector direcționat de-a lungul axei de rotație și asociat direcției forței prin regula brațului, al cărui modul este egal cu produsul forței și brațul său: . Umărul Forței l față de axa de rotație este distanța cea mai scurtă de la linia de acțiune a forței la axa de rotație. Dimensiunea momentului de forta:

ÎN formă vectorială moment de forță în jurul unui punct:

Vectorul momentului de forță este perpendicular atât pe forța, cât și pe raza vectorului punctului de aplicare:

Dacă vectorul forță este perpendicular pe axă, atunci vectorul momentului forței este îndreptat de-a lungul axei conform regulii șurubului drept și mărimea momentului forței în raport cu această axă (proiecție pe axă) se determină prin formula (3.4):

Momentul forței depinde atât de mărimea forței, cât și de brațul forței. Dacă forța este paralelă cu axa, atunci .

1c. Cuplu de putere - acestea sunt două forțe egale ca mărime și opuse ca direcție, ale căror linii de acțiune nu coincid (Fig. 3.2). Brațul unei perechi de forțe este distanța dintre liniile de acțiune ale forțelor. Să aflăm momentul total al perechii de forțe și () în proiecția pe axa care trece prin punctul O:

Adică, momentul unei perechi de forțe este egal cu produsul dintre mărimea forței și plccho al perechii:

Să revenim la (3.3). Luând în considerare (3.4) și (3.6):

1d. Definiție: o valoare scalară egală cu produsul dintre masa unui punct material și pătratul distanței acestuia față de axă se numește momentul de inerție al unui punct material raportat la axa OO:

Dimensiunea momentului de inerție

Vectorii și coincid în direcția cu axa de rotație, sunt relaționați cu sensul de rotație conform regulii gimletului, astfel încât egalitatea (3.9) poate fi rescrisă în formă vectorială:

Să însumăm (3.10) peste toate masele elementare în care este împărțit corpul:

Aici se ia în considerare faptul că accelerația unghiulară a tuturor punctelor unui corp rigid este aceeași și poate fi scoasă din semnul sumei. În partea stângă a ecuației se află suma momentelor tuturor forțelor (atât externe, cât și interne) aplicate fiecărui punct al corpului. Dar, conform celei de-a treia legi a lui Newton, forțele cu care punctele corpului interacționează între ele (forțe interne) sunt egale ca mărime și opuse ca direcție și se află pe aceeași linie dreaptă, astfel încât momentele lor se anulează reciproc. Astfel, în partea stângă a (3.11) rămâne doar momentul total al forțelor externe: .

Suma produselor maselor elementare și pătratul distanțelor acestora față de axa de rotație se numește momentul de inerție al unui corp rigid despre aceasta axa:

Prin urmare, ; - aceasta este legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid (analog cu a doua lege a lui Newton): Accelerația unghiulară a unui corp este direct proporțională cu momentul total al forțelor externe și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului. :

Moment de inerție eusolid este o măsură a proprietăților inerte ale unui corp solid în timpul mișcării de rotație și este similar cu masa unui corp din a doua lege a lui Newton. Depinde în esență nu numai de masa corpului, ci și de distribuția acestuia în raport cu axa de rotație (în direcția perpendiculară pe axa).

În cazul unei distribuții continue a masei, suma din (3.12) se reduce la o integrală pe întregul volum al corpului:

2a. Momentul de inerție al unui inel subțire în jurul unei axe care trece prin centrul său perpendicular pe planul inelului.

întrucât pentru orice element al inelului distanța sa față de axă este aceeași și egală cu raza inelului: .

2b. Cilindru cu pereți groși (disc) cu raza interioară și raza exterioară.

Să calculăm momentul de inerție al unui disc omogen cu densitate ρ , înălțime h, raza interioară și raza exterioară (Fig.3.3) față de axa care trece prin centrul de masă perpendicular pe planul discului. Să împărțim discul în inele subțiri de grosime și înălțime, astfel încât raza interioară a inelului să fie , iar cea exterioară să fie . Volumul unui astfel de inel este , unde este zona bazei inelului subțire. Masa sa:

Substituim în (3.14) și integrăm peste r():

Masa discului, apoi în cele din urmă:

2c. Cilindru solid (disc).

În cazul special al unui disc solid sau cilindr cu o rază R să substituim în (3.17) R 1 =0, R 2 =R si ia:

Momentul de inerție al unei bile cu rază R iar masa relativă la axa care trece prin centrul acesteia (Fig. 3.4), este (fără dovezi):

2e. Momentul de inerție al unei tije subțiri cu masa și lungimea față de axa care trece prin capătul său perpendicular pe tijă (Fig. 3.5).

Împărțim tija în segmente infinit de mici de lungime. Masa unei astfel de zone. Înlocuiți în (3.14) și integrați de la 0 la:

Dacă axa trece prin centrul tijei perpendicular pe acesta, puteți calcula momentul de inerție a jumătății tijei folosind (3.20) și apoi dublați:

3. Dacă axa de rotaţie nu trece prin centrul de masă al corpului (Fig.3.6), calculele folosind formula (3.14) pot fi destul de complicate. În acest caz, calculul momentului de inerție este facilitat prin utilizarea teoremele lui Steiner : momentul de inerție al corpului în jurul unei axe arbitrare este egal cu suma momentului de inerție eu c corp în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu această axă și produsul masei corporale cu pătratul distanței intre axe:

Să vedem cum funcționează teorema lui Steiner dacă o aplicăm unei tije:

Este ușor de observat că se obține o identitate, deoarece în acest caz distanța dintre axe este egală cu jumătate din lungimea tijei.

4. Momentul unghiular al corpului. Modificarea momentului unghiular al corpului. impuls de impuls. Legea conservării momentului unghiular.

Din legea dinamicii mișcării de rotație și definiția accelerației unghiulare rezultă:

Daca atunci . Să introducem momentul unghiular al corpului rigid ca

Relația (3.24) este legea de bază a dinamicii corpului rigid pentru mișcarea de rotație. Poate fi rescris astfel:

și atunci va fi un analog al celei de-a doua legi a lui Newton pentru mișcarea de translație în formă impulsivă (2.5)

Expresia (3.24) poate fi integrată:

și formulați legea schimbării momentului unghiular: modificarea momentului de impuls al corpului este egală cu impulsul momentului total al forțelor externe . Mărimea se numește impulsul momentului de forță și este similară cu impulsul forței în formularea celei de-a doua legi a lui Newton pentru mișcarea de translație (2.2); momentul unghiular este analog cu momentul.

Dimensiunea momentului unghiular

Momentul unghiular al unui corp rigid în jurul axei sale de rotație este un vector direcționat de-a lungul axei de rotație conform regulii brațelor.

Momentul unghiular al unui punct material în raport cu punctul O (Fig. 3.6) este:

unde este raza vectorului unui punct material, este impulsul acestuia. Vectorul moment unghiular este direcționat conform regulii gimletului perpendicular pe planul în care se află vectorii și: în Fig. 3.7 - la noi din cauza figurii. Mărimea momentului unghiular

Împărțim un corp rigid care se rotește în jurul unei axe în mase elementare și însumăm momentul unghiular al fiecărei mase pe întregul corp (același lucru poate fi scris ca o integrală; aceasta nu este fundamentală):

Deoarece viteza unghiulară a tuturor punctelor este aceeași și este direcționată de-a lungul axei de rotație, poate fi scrisă sub formă vectorială:

Astfel, se dovedește echivalența definițiilor (3.23) și (3.26).

Dacă momentul total al forțelor externe este zero, atunci momentul unghiular al sistemului nu se modifică(vezi 3.25):

. Aceasta este legea conservării impulsului . Acest lucru este posibil atunci când:

a) sistemul este închis (sau);

b) forţele exterioare nu au componente tangenţiale (vectorul forţei trece prin axa/centrul de rotaţie);

c) forțele exterioare sunt paralele cu axa fixă ​​de rotație.

Exemple de utilizare/funcționare a legii conservării momentului unghiular:

1. giroscop;

2. Banca lui Jukovski;

3. patinator.

5. Lucrați cu mișcare rotativă.

Lăsați corpul să se rotească printr-un unghi sub acțiunea unei forțe și unghiul dintre deplasare și forță este ; - vectorul rază a punctului de aplicare a forței (Fig. 3.8), atunci lucrul forței este egal cu: