N.Nikitin Geometrie. Semne de paralelism a două drepte

1. Primul semn de paralelism.

Dacă, la intersecția a două drepte cu o a treia, unghiurile interioare aflate peste ele sunt egale, atunci aceste drepte sunt paralele.

Fie dreptele AB și CD intersectate de dreapta EF și ∠1 = ∠2. Să luăm punctul O - mijlocul segmentului KL al secantei EF (Fig.).

Să aruncăm perpendiculara OM de la punctul O la dreapta AB și să o continuăm până când se intersectează cu dreapta CD, AB ⊥ MN. Să demonstrăm că și CD ⊥ MN.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare două triunghiuri: MOE și NOK. Aceste triunghiuri sunt egale între ele. Într-adevăr: ∠1 = ∠2 prin ipoteza teoremei; OK = OL - prin constructie;

∠MOL = ∠NOK ca unghiuri verticale. Astfel, latura și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu latura și două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi; prin urmare, ΔMOL = ΔNOK și, prin urmare, ∠LMO = ∠KNO,
dar ∠LMO este direct, prin urmare ∠KNO este și direct. Astfel, dreptele AB și CD sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă MN, prin urmare, sunt paralele, ceea ce trebuia demonstrat.

Notă. Intersecția dreptelor MO și CD poate fi stabilită prin rotirea triunghiului MOL în jurul punctului O cu 180°.

2. Al doilea semn de paralelism.

Să vedem dacă dreptele AB și CD sunt paralele dacă, la intersecția celei de-a treia linii EF, unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Fie unele unghiuri corespunzătoare să fie egale, de exemplu ∠ 3 = ∠2 (Fig.);

∠3 = ∠1 ca unghiuri verticale; deci ∠2 va fi egal cu ∠1. Dar unghiurile 2 și 1 sunt unghiuri transversale interne și știm deja că, dacă la intersecția a două drepte cu o treime, unghiurile transversale interne sunt egale, atunci aceste linii sunt paralele. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte ale celei de-a treia unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci aceste două drepte sunt paralele.

Construcția de linii paralele cu ajutorul unei rigle și a unui triunghi de desen se bazează pe această proprietate. Acest lucru se face după cum urmează.

Să atașăm un triunghi la riglă așa cum se arată în Fig. Vom muta triunghiul astfel încât o parte a acestuia să alunece de-a lungul riglei și vom trage mai multe linii drepte de-a lungul oricărei alte părți a triunghiului. Aceste linii vor fi paralele.

3. Al treilea semn de paralelism.

Să știm că la intersecția a două drepte AB și CD cu a treia linie, suma oricăror unghiuri interne unilaterale este egală cu 2 d(sau 180°). Liniile AB și CD vor fi paralele în acest caz (Fig.).

Fie ∠1 și ∠2 unghiuri interioare unilaterale și se adună până la 2 d.

Dar ∠3 + ∠2 = 2 d ca unghiuri adiacente. Prin urmare, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Prin urmare ∠1 = ∠3, iar aceste unghiuri interioare sunt transversale. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte cu o treime, suma unghiurilor interioare unilaterale este egală cu 2 d (sau 180°), atunci cele două drepte sunt paralele.

Semne ale liniilor paralele:

1. Dacă la intersecția a două drepte cu o treime, unghiurile interioare sunt egale, atunci aceste linii sunt paralele.

2. Dacă la intersecția a două drepte ale celei de-a treia, unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci aceste două drepte sunt paralele.

3. Dacă la intersecția a două linii ale celei de-a treia, suma unghiurilor interne unilaterale este de 180 °, atunci aceste două linii sunt paralele.

4. Dacă două drepte sunt paralele cu a treia linie, atunci sunt paralele între ele.

5. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele.

Axioma paralelismului a lui Euclid

O sarcină. Printr-un punct M luat în afara dreptei AB, trageți o dreaptă paralelă cu dreapta AB.

Folosind teoremele dovedite privind semnele paralelismului dreptelor, această problemă poate fi rezolvată în diferite moduri,

Soluţie. 1 s o s o b (Fig. 199).

Desenăm MN⊥AB și prin punctul M desenăm CD⊥MN;

obținem CD⊥MN și AB⊥MN.

Pe baza teoremei („Dacă două drepte sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele”) concluzionăm că CD || AB.

al 2-lea s p o s o b (Fig. 200).

Desenăm un MK care intersectează AB la orice unghi α, iar prin punctul M trasăm o dreaptă EF, formând un unghi EMK cu o dreaptă MK, egal cu unghiul A. Pe baza teoremei () concluzionăm că EF || AB.

Rezolvată această problemă, putem considera că este dovedit că prin orice punct M, luat în afara dreptei AB, se poate trasa o dreaptă paralelă cu acesta. Se pune întrebarea, câte drepte sunt paralele cu o dreaptă dată și trec prin punct dat, poate exista?

Practica construcțiilor ne permite să presupunem că există o singură astfel de linie, deoarece cu un desen executat cu atenție, liniile trasate în diferite moduri prin același punct paralel cu aceeași linie se îmbină.

În teorie, răspunsul la această întrebare este dat de așa-numita axiomă a paralelismului lui Euclid; este formulat astfel:

Printr-un punct luat în afara unei linii date, o singură linie poate fi trasată paralelă cu această dreaptă.

În desenul 201, o dreaptă SK este trasată prin punctul O, paralelă cu dreapta AB.

Orice altă dreaptă care trece prin punctul O nu va mai fi paralelă cu dreapta AB, ci o va intersecta.

Axioma adoptată de Euclid în Elementele sale, care afirmă că pe un plan printr-un punct luat în afara unei drepte date, doar o singură dreaptă poate fi trasată paralelă cu această dreaptă, se numește Axioma paralelismului a lui Euclid.

Timp de mai bine de două mii de ani după Euclid, mulți matematicieni au încercat să demonstreze această propoziție matematică, dar încercările lor au fost întotdeauna fără succes. Abia în 1826, marele om de știință rus, profesorul Universității din Kazan, Nikolai Ivanovici Lobaciovski, a demonstrat că, folosind toate celelalte axiome ale lui Euclid, această propoziție matematică nu poate fi dovedită, că ea ar trebui luată într-adevăr ca o axiomă. N. I. Lobachevsky a creat o nouă geometrie, care, spre deosebire de geometria lui Euclid, a fost numită geometria lui Lobachevsky.

ABși DIND traversat de a treia linie MN, atunci unghiurile formate în acest caz primesc următoarele denumiri în perechi:

unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;

colțuri interioare încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;

colțuri exterioare încrucișate: 1 și 7, 2 și 8;

colțuri interioare unilaterale: 3 și 6, 4 și 5;

colțuri exterioare unilaterale: 1 și 8, 2 și 7.

Deci, ∠ 2 = ∠ 4 și ∠ 8 = ∠ 6, dar prin dovedirea ∠ 4 = ∠ 6.

Prin urmare, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Unghiurile respective 2 și 6 sunt aceleași, deoarece ∠ 2 = ∠ 4 și ∠ 4 = ∠ 6. De asemenea, ne asigurăm că celelalte unghiuri corespunzătoare sunt egale.

4. Sumă colțuri interioare unilaterale 3 și 6 vor fi 2d deoarece suma colțurile adiacente 3 și 4 este egal cu 2d = 180 0 , iar ∠ 4 poate fi înlocuit cu ∠ 6 identic. De asemenea, asigurați-vă că suma unghiurilor 4 și 5 este egal cu 2d.

5. Sumă colțuri exterioare unilaterale va fi 2d deoarece aceste unghiuri sunt, respectiv, egale colțuri interioare unilaterale ca niște colțuri vertical.

Din justificarea dovedită mai sus, obținem teoreme inverse.

Când, la intersecția a două linii ale unei trei linii arbitrare, obținem că:

1. Unghiurile interioare de culcare în cruce sunt aceleași;

sau 2. Unghiurile exterioare de culcare în cruce sunt aceleași;

sau 3. Unghiurile corespunzătoare sunt aceleași;

sau 4. Suma unghiurilor unilaterale interne este egală cu 2d = 180 0 ;

sau 5. Suma unilateralelor exterioare este 2d = 180 0 ,

atunci primele două drepte sunt paralele.

Acest capitol este dedicat studiului dreptelor paralele. Acesta este numele dat două drepte dintr-un plan care nu se intersectează. Vedem segmente de linii paralele în mediu - acestea sunt două margini ale unei mese dreptunghiulare, două margini ale copertei unei cărți, două bare de troleibuz etc. Liniile paralele joacă un rol foarte important în geometrie. În acest capitol, veți afla despre ce sunt axiomele de geometrie și din ce constă axiomele dreptelor paralele - una dintre cele mai cunoscute axiome ale geometriei.

În Secțiunea 1, am observat că două drepte fie au un punct comun, adică se intersectează, fie nu au un singur punct comun, adică nu se intersectează.

Definiție

Paralelismul dreptelor a și b se notează astfel: a || b.

Figura 98 prezintă liniile a și b perpendiculare pe dreapta c. În secțiunea 12 am stabilit că astfel de drepte a și b nu se intersectează, adică sunt paralele.

Orez. 98

Alături de liniile paralele, sunt adesea luate în considerare segmentele paralele. Cele două segmente sunt numite paralel dacă se află pe drepte paralele. În figura 99, iar segmentele AB și CD sunt paralele (AB || CD), iar segmentele MN și CD nu sunt paralele. În mod similar, se determină paralelismul unui segment și o dreaptă (Fig. 99, b), o rază și o dreaptă, un segment și o rază, două raze (Fig. 99, c).

Orez. 99 Semne de paralelism a două drepte

Direct cu este numit secantăîn raport cu dreptele a şi b, dacă le intersectează în două puncte (fig. 100). La intersecția dreptelor a și b, secanta c formează opt unghiuri, care sunt indicate prin numere în figura 100. Unele perechi de aceste unghiuri au denumiri speciale:

colțuri încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;
colțuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6;
unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7.

Orez. 100

Luați în considerare trei semne de paralelism a două drepte asociate acestor perechi de unghiuri.

Teorema

Dovada

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB, unghiurile situate sunt egale: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Să demonstrăm că a || b. Dacă unghiurile 1 și 2 sunt drepte (Fig. 101, b), atunci dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta AB și, prin urmare, paralele.

Orez. 101

Luați în considerare cazul când unghiurile 1 și 2 nu sunt drepte.

Din mijlocul O al segmentului AB, trasați o perpendiculară OH pe dreapta a (Fig. 101, c). Pe linia b din punctul B, punem deoparte segmentul VH 1, egal cu segmentul AH, așa cum se arată în Figura 101, c, și desenăm segmentul OH 1. Triunghiurile ONA și OH 1 V sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), deci ∠3 = ∠4 și ∠5 = ∠6. Din egalitatea ∠3 = ∠4 rezultă că punctul H 1 se află pe continuarea razei OH, adică punctele H, O și H 1 se află pe aceeași dreaptă, iar din egalitatea ∠5 = ∠6 este rezultă că unghiul 6 este o linie dreaptă (deoarece unghiul 5 este un unghi drept). Deci liniile a și b sunt perpendiculare pe dreapta HH 1, deci sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie la intersecția dreptelor a și b secanta cu unghiurile corespunzătoare să fie egală, de exemplu ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Orez. 102

Deoarece unghiurile 2 și 3 sunt verticale, atunci ∠2 = ∠3. Aceste două egalități implică faptul că ∠1 = ∠3. Dar unghiurile 1 și 3 sunt transversale, deci liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie, la intersecția dreptelor a și b, secanta cu suma unghiurilor unilaterale să fie de 180°, de exemplu ∠1 + ∠4 = 180° (vezi Fig. 102).

Deoarece unghiurile 3 și 4 sunt adiacente, atunci ∠3 + ∠4 = 180°. Din aceste două egalități rezultă că unghiurile transversale 1 și 3 sunt egale, deci dreptele a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Modalități practice de a desena linii paralele

Semnele liniilor paralele stau la baza modalităților de construire a liniilor paralele cu ajutorul diverselor instrumente folosite în practică. Luați în considerare, de exemplu, o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat de desen și o riglă. Pentru a construi o linie dreaptă care trece prin punctul M și paralelă cu dreapta dată a, aplicăm un pătrat de desen pe linia dreaptă a și o riglă, așa cum se arată în Figura 103. Apoi, deplasând pătratul de-a lungul riglei, vom se va asigura că punctul M este pe latura pătratului și se va trage o linie b. Dreptele a și b sunt paralele, deoarece unghiurile corespunzătoare, notate în figura 103 cu literele α și β, sunt egale.

Orez. 103 Figura 104 prezintă o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat în T. Această metodă este folosită în practica desenului.

Orez. 104 O metodă similară este utilizată la executarea lucrărilor de tâmplărie, unde se folosește o teșitură pentru a marca liniile paralele (două scânduri de lemn prinse cu o balama, Fig. 105).

Orez. 105

Sarcini

186. În figura 106, liniile a și b sunt intersectate de linia c. Demonstrați că un || b dacă:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, iar unghiul 7 este de trei ori mai mare decât unghiul 3.

Orez. 106

187. Conform figurii 107 demonstrează că AB || D.E.

Orez. 107

188. Segmentele AB și CD se intersectează în mijlocul lor comun. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

189. Folosind datele din figura 108, demonstrați că BC || ANUNȚ.

Orez. 108

190. În figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Demonstrați că DE || LA FEL DE.

Orez. 109

191. Segmentul VK este bisectoarea triunghiului ABC. Se trasează o dreaptă prin punctul K, intersectând latura BC în punctul M, astfel încât BM = MK. Demonstrați că dreptele KM și AB sunt paralele.

192. În triunghiul ABC, unghiul A este de 40°, iar unghiul ALL adiacent unghiului ACB este de 80°. Demonstrați că bisectoarea unghiului ALL este paralelă cu dreapta AB.

193. În triunghiul ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Linia BD este trasată prin vârful B, astfel încât raza BC să fie bisectoarea unghiului ABD. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

194. Desenați un triunghi. Prin fiecare vârf al acestui triunghi, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți o linie dreaptă paralelă cu latura opusă.

195. Desenați triunghiul ABC și marcați punctul D pe latura AC. Prin punctul D, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți linii drepte paralele cu celelalte două laturi ale triunghiului.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt o prelungire a laturilor celuilalt.

Figura arată colțurile 1 și 3 , precum și unghiurile 2 și 4 - verticală. Colţ 2 este adiacent ambelor unghiuri 1 , și cu unghiul 3. După proprietatea unghiurilor adiacente 1 +2 =180 0 și 3 +2 =1800. De aici obținem: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Astfel, gradul măsoară unghiurile 1 și 3 sunt egale. Rezultă că unghiurile în sine sunt egale. Deci unghiurile verticale sunt egale.

2. Semne de egalitate a triunghiurilor.

Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu o latură și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

3. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

1 semn de egalitate a triunghiurilor:

Luați în considerare triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1, în care AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, unghiurile A și A 1 sunt egale. Să demonstrăm că ABC=A 1 B 1 C 1 .
Deoarece (y) A \u003d (y) A 1, atunci triunghiul ABC poate fi suprapus pe triunghiul A 1 B 1 C 1, astfel încât vârful A să fie aliniat cu vârful A1, iar laturile AB și AC sunt suprapuse, respectiv pe razele A 1 B 1 şi A 1 C 1 . Deoarece AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, atunci latura AB va fi combinată cu latura A 1 B 1, iar latura AC - cu latura A 1 C 1; în special, punctele B şi B 1 , C şi C 1 vor coincide. Prin urmare, laturile BC și B 1 C 1 vor fi aliniate. Deci, triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt complet compatibile, ceea ce înseamnă că sunt egale. CTD

3. Teorema bisectoarei unui triunghi isoscel.

Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

Să ne întoarcem la figura, în care ABC este un triunghi isoscel cu baza BC, AD este bisectoarea acestuia.

Din egalitatea triunghiurilor ABD și ACD (după al 2-lea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor: AD este comun; unghiurile 1 și 2 sunt egale pentru că bisectoarea AD; AB=AC, deoarece triunghiul este isoscel) rezultă că BD = DC și 3 = 4. Egalitatea BD = DC înseamnă că punctul D este mijlocul laturii BC și, prin urmare, AD este mediana triunghiului ABC. Deoarece unghiurile 3 și 4 sunt adiacente și egale între ele, ele sunt unghiuri drepte. Prin urmare, segmentul AO este și înălțimea triunghiului ABC. CHTD.

4. Dacă liniile sunt paralele -> unghi…. (optional)

5. Dacă unghiul ... ..-> liniile sunt paralele (opțional)

Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Fie la intersecția dreptelor a și b ale secantei cu unghiurile corespunzătoare să fie egale, de exemplu 1=2.

Deoarece unghiurile 2 și 3 sunt verticale, atunci 2=3. Din aceste două egalităţi rezultă că 1=3. Dar unghiurile 1 și 3 sunt transversale, deci liniile a și b sunt paralele. CHTD.

6. Teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi.

Suma unghiurilor unui triunghi este 180 0.

Se consideră un triunghi arbitrar ABC și se demonstrează că A+B+C=180 0 .

Să trasăm o dreaptă a prin vârful B, paralelă cu latura AC. Unghiurile 1 și 4 sunt unghiuri transversale situate la intersecția dreptelor paralele a și AC cu secanta AB, iar unghiurile 3 și 5 sunt unghiuri transversale situate la intersecția acelorași drepte paralele cu secanta BC. Prin urmare (1)4=1; 5=3.

În mod evident, suma unghiurilor 4, 2 și 5 este egală cu unghiul drept cu vârful B, adică. 4+2+5=1800 . Prin urmare, ținând cont de egalitățile (1), obținem: 1+2+3=180 0 sau A+B+C=180 0 .

7. Semnul egalității triunghiurilor dreptunghiulare.