Cum să găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind ecuații. Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan

Definiție

Se numește o figură geometrică formată din toate punctele planului cuprinse între două raze care emană dintr-un punct unghi plat.

Definiție

Unghiul dintre doi intersectându-se Drept este valoarea celui mai mic unghi plan la intersecția acestor drepte. Dacă două drepte sunt paralele, atunci unghiul dintre ele este considerat zero.

Unghiul dintre două drepte care se intersectează (dacă unghiurile plane sunt măsurate în radiani) poate lua valori de la zero la $\dfrac(\pi)(2)$.

Definiție

Unghiul dintre două drepte care se intersectează se numeste cantitate egal cu unghiulîntre două drepte care se intersectează paralele cu cele care se intersectează. Unghiul dintre liniile $a$ și $b$ este notat cu $\angle (a, b)$.

Corectitudinea definiției introduse rezultă din următoarea teoremă.

Teorema unghiurilor plane cu laturile paralele

Mărimile a două unghiuri plane convexe cu laturile paralele și, respectiv, direcționate identic sunt egale.

Dovada

Dacă unghiurile sunt drepte, atunci ambele sunt egale cu $\pi$. Dacă nu sunt desfășurate, atunci trasăm segmentele egale $ON=O_1ON_1$ și $OM=O_1M_1$ pe laturile corespunzătoare ale unghiurilor $\angle AOB$ și $\angle A_1O_1B_1$.

Patrulaterul $O_1N_1NO$ este un paralelogram deoarece laturile sale opuse $ON$ și $O_1N_1$ sunt egale și paralele. La fel, patrulaterul $O_1M_1MO$ ​​​​este un paralelogram. Prin urmare, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ și $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, prin urmare, $NN_1=MM_1$ și $NN_1 \parallel MM_1$ prin tranzitivitate. Patrulaterul $N_1M_1MN$ este un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că segmentele $NM$ și $N_1M_1$ sunt egale. Triunghiurile $ONM$ și $O_1N_1M_1$ sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare $\angle NOM$ și $\angle N_1O_1M_1$ sunt egale.

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci colt ascutitîntre aceste linii drepte va fi definită ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin acest punct

Perpendicular pe o dreaptă dată

Definiție. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații cu pantă

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei linii este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei drepte sunt date în formă generală

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea coeficienților lor unghiulari:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții pentru coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formă

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile de drepte sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este să satisfacă egalitatea

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă și cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de stat unificat la matematică să repete subiectul „Găsirea unui unghi între linii drepte”. După cum arată statisticile, la trecerea testului de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți unui număr mare de studenți. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în Examenul de stat unificat atât pentru nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de poziții relative ale liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în Examenul de stat unificat sau, de exemplu, în rezolvare, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe moduri de a rezolva problemele din această secțiune de stereometrie. Puteți finaliza sarcina folosind construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să raționeze logic și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vectorului de coordonate folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Perfecționați-vă abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și din alte domenii curs şcolar Proiectul educațional Shkolkovo vă va ajuta.

Fie două drepte l și m pe un plan în Sistemul cartezian sunt date coordonatele ecuații generale: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vectori normali la aceste linii: = (A 1 , B 1) – la linia l,

= (A 2 , B 2) – la linia m.

Fie j unghiul dintre liniile l și m.

Deoarece unghiurile cu laturile reciproc perpendiculare sunt fie egale, fie adună p, atunci , adică cos j = .

Deci, am demonstrat următoarea teoremă.

Teorema. Fie j unghiul dintre două drepte pe plan și aceste drepte să fie specificate în sistemul de coordonate carteziene prin ecuațiile generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci cos j = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea unghiului dintre liniile drepte dacă:

(1) ambele linii sunt specificate parametric; (2) ambele drepte sunt date prin ecuații canonice; (3) o linie este specificată parametric, cealaltă linie este specificată printr-o ecuație generală; (4) ambele drepte sunt date de o ecuație cu un coeficient unghiular.

2) Fie j unghiul dintre două drepte pe un plan, iar aceste drepte să fie definite într-un sistem de coordonate carteziene prin ecuațiile y = k 1 x + b 1 și y =k 2 x + b 2 .

Atunci tan j = .

3) Explorați poziția relativă a două drepte, dată de ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul:

Distanța de la un punct la o linie dreaptă dintr-un plan.

Fie ca dreapta l pe un plan din sistemul de coordonate carteziene să fie dată de ecuația generală Ax + By + C = 0. Să aflăm distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la dreapta l.

Distanța de la punctul M la dreapta l este lungimea perpendicularei HM (H О l, HM ^ l).

Vectorul și vectorul normal la linia l sunt coliniare, deci | | = | | | | și | | = .

Fie coordonatele punctului H (x,y).

Deoarece punctul H aparține dreptei l, atunci Ax + By + C = 0 (*).

Coordonatele vectorilor și: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, vezi (*))

Teorema. Fie specificată dreapta l în sistemul de coordonate carteziene prin ecuația generală Ax + By + C = 0. Atunci distanța de la punctul M(x 0 , y 0) până la această dreaptă se calculează prin formula: r ( M; l) = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dacă: (1) linia este dată parametric; (2) este dată linia dreaptă ecuații canonice; (3) linia dreaptă este dată de o ecuație cu coeficient unghiular.

2) Scrieți ecuația unui cerc tangent la dreapta 3x – y = 0, cu centrul în punctul Q(-2,4).

3) Scrieți ecuațiile dreptelor care împart unghiurile formate prin intersecția dreptelor 2x + y - 1 = 0 și x + y + 1 = 0, în jumătate.

§ 27. Definirea analitică a unui plan în spațiu

Definiție. Vectorul normal al planului vom numi un vector diferit de zero, al cărui reprezentant este perpendicular pe un plan dat.

Cometariu. Este clar că dacă cel puțin un reprezentant al vectorului este perpendicular pe plan, atunci toți ceilalți reprezentanți ai vectorului sunt perpendiculari pe acest plan.

Fie dat un sistem de coordonate carteziene în spațiu.

Fie dat un plan, = (A, B, C) – vectorul normal acestui plan, punctul M (x 0 , y 0 , z 0) aparține planului a.

Pentru orice punct N(x, y, z) al planului a, vectorii și sunt ortogonali, adică produs scalar este egal cu zero: = 0. Să scriem ultima egalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Fie -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, apoi Ax + By + Cz + D = 0.

Să luăm un punct K (x, y) astfel încât Ax + By + Cz + D = 0. Deoarece D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, atunci A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Deoarece coordonatele segmentului direcționat = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), ultima egalitate înseamnă că ^ și, prin urmare, K О a.

Deci, am demonstrat următoarea teoremă:

Teorema. Orice plan din spațiu într-un sistem de coordonate carteziene poate fi specificat printr-o ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal la acest plan.

Este adevărat și contrariul.

Teorema. Orice ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în sistemul de coordonate carteziene specifică un anumit plan și (A, B, C) sunt coordonatele normalei vector pentru acest plan.

Dovada.

Luați un punct M (x 0 , y 0 , z 0) astfel încât Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 și vector = (A, B, C) ( ≠ q).

Un plan (și doar unul) trece prin punctul M perpendicular pe vector. Conform teoremei anterioare, acest plan este dat de ecuația Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. O ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se numește ecuația planului general.

Exemplu.

Să scriem ecuația planului care trece prin punctele M (0,2,4), N (1,-1,0) și K (-1,0,5).

1. Aflați coordonatele vectorului normal în plan (MNK). Deoarece produs vectorial´ este ortogonal cu vectorii necoliniari și , atunci vectorul este coliniar ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Deci, ca vector normal luăm vectorul = (-11, 3, -5).

2. Să folosim acum rezultatele primei teoreme:

ecuația acestui plan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal, (x 0 , y 0 , z 0) – coordonatele unui punct situat în plan (de exemplu, punctul M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Răspuns: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Exerciții.

1) Scrieți ecuația planului dacă

(1) planul trece prin punctul M (-2,3,0) paralel cu planul 3x + y + z = 0;

(2) planul conține axa (Ox) și este perpendicular pe planul x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date.

§ 28. Definiția analitică a unui semi-spațiu*

Cometariu*. Să fie reparat un avion. Sub jumătate de spațiu vom înțelege mulțimea de puncte situate pe o parte a unui plan dat, adică două puncte se află în același semi-spațiu dacă segmentul care le leagă nu intersectează planul dat. Acest avion se numește granița acestui semi-spațiu. Unirea acestui plan și semi-spațiu va fi numită semi-spațiu închis.

Fie fixat în spațiu un sistem de coordonate carteziene.

Teorema. Fie planul a dat de ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0. Atunci unul dintre cele două semi-spații în care planul a împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0 , iar al doilea semi-spațiu este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Dovada.

Să trasăm vectorul normal = (A, B, C) pe planul a din punctul M (x 0 , y 0 , z 0) situat pe acest plan: = , M О a, MN ^ a. Planul împarte spațiul în două semi-spații: b 1 și b 2. Este clar că punctul N aparține unuia dintre aceste semi-spații. Fără pierderea generalității, vom presupune că N О b 1 .

Să demonstrăm că semi-spațiul b 1 este definit de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0.

1) Luați un punct K(x,y,z) în semi-spațiul b 1 . Unghiul Ð NMK este unghiul dintre vectori și - acut, deci produsul scalar al acestor vectori este pozitiv: > 0. Să scriem această inegalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, adică Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Deoarece M О b 1, atunci Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, deci -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Prin urmare, ultima inegalitate poate fi scrisă astfel: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Luați un punct L(x,y) astfel încât Ax + By + Cz + D > 0.

Să rescriem inegalitatea înlocuind D cu (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (deoarece M О b 1, apoi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Un vector cu coordonate (x - x 0,y - y 0, z - z 0) este un vector, deci expresia A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) poate fi înțeles ca produs scalar al vectorilor și . Deoarece produsul scalar al vectorilor și este pozitiv, unghiul dintre ei este ascuțit și punctul L О b 1 .

În mod similar, putem demonstra că semi-spațiul b 2 este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Note.

1) Este clar că demonstrația dată mai sus nu depinde de alegerea punctului M din planul a.

2) Este clar că același semi-spațiu poate fi definit prin inegalități diferite.

Este adevărat și contrariul.

Teorema. Orice inegalitate liniară de forma Ax + By + Cz + D > 0 (sau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dovada.

Ecuația Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în spațiu definește un anumit plan a (vezi § ...). După cum sa demonstrat în teorema anterioară, unul dintre cele două semi-spații în care planul împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Note.

1) Este clar că un semi-spațiu închis poate fi definit printr-o inegalitate liniară nestrictă, iar orice inegalitate liniară nestrict din sistemul de coordonate carteziene definește un semi-spațiu închis.

2) Orice poliedru convex poate fi definit ca intersecția semi-spațiilor închise (ale căror limite sunt plane care conțin fețele poliedrului), adică analitic - printr-un sistem de inegalități liniare nestrictive.

Exerciții.

1) Demonstrați cele două teoreme prezentate pentru un sistem de coordonate afine arbitrar.

2) Este adevărat invers, că orice sistem de non-strict inegalități liniare definește un poligon convex?

Exercițiu.

1) Investigați pozițiile relative a două plane definite prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul.

A. Să fie date două drepte Aceste linii drepte, așa cum este indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și celei de-a doua drepte. Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate de drepte. Prin urmare, problema se rezumă la determinarea unghiului dintre vectori

Pentru simplitate, putem fi de acord că unghiul dintre două drepte este acut unghi pozitiv(ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă există un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să îl renunțăm, adică să salvăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre liniile drepte

Conform formulei (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formula (1). După cum se vede ușor din fig. 53, semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica ce fel de unghi - acut sau obtuz - se formează a doua linie dreaptă cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre liniile drepte, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă liniile sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt paraleli Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două linii.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

sunt perpendiculare datorită faptului că

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă printr-un punct paralel cu dreapta dată

Soluția se realizează așa. Deoarece linia dorită este paralelă cu aceasta, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci ecuația dreptei dorite se va scrie în forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (1; 3) paralel cu dreapta

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să luăm vectorul cu proiecțiile A și ca vector de ghidare, dar este necesar să luăm vectorul perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția de perpendicularitate a ambilor vectori, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită în nenumărate moduri, deoarece aici este o ecuație cu două necunoscute

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

vor fi următoarele (după formula a doua)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

rescriind aceste ecuații în mod diferit, avem