teorema lui Vieta. Exemple de utilizare

Între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date teorema lui Vieta. În acest articol vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pt ecuație pătratică. În continuare considerăm teorema inversă cu teorema lui Vieta. După aceasta, vom analiza cele mai multe soluții exemple tipice. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0 de forma, unde D=b 2 −4·a·c, urmează următoarele relații: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom efectua demonstrarea teoremei lui Vieta după următoarea schemă: compunem suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formule rădăcinilor cunoscute, apoi transformăm expresiile rezultate și ne asigurăm că sunt egale cu −b/ a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor și să o alcătuim. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem . În numărătorul fracției rezultate, după care:. În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: . Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs poate fi scris ca . Acum înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței pătrate, Asa de . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât discriminantul ecuației pătratice corespunde formulei D=b 2 −4·a·c, atunci în loc de D în ultima fracție putem înlocui b 2 −4·a·c, obținem. După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă laconică:
,
.

Rămâne doar de observat că atunci când egal cu zero Ecuația pătratică discriminantă are o rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema lui Vieta. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este egală cu , atunci și , și deoarece D=0, adică b 2 −4·a·c=0, de unde b 2 =4·a·c, atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai adesea în raport cu ecuația pătratică redusă (cu coeficientul de conducere a egal cu 1) de forma x 2 +p·x+q=0. Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Să dăm formularea corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 este egală cu coeficientul lui x luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, adică x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Conversați teorema cu teorema lui Vieta

A doua formulare a teoremei lui Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, inversul teoremei lui Vieta este adevărat. Să o formulăm sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 · x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p · x+q =0.

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q din ecuația x 2 +p·x+q=0 cu expresiile lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Să substituim numărul x 1 în loc de x în ecuația rezultată, avem egalitatea x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p·x+q=0.

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Aceasta este o adevărată egalitate, deoarece x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 2 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, și deci ecuațiile x 2 +p·x+q=0.

Aceasta completează demonstrația teoremei, teorema inversă Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această secțiune vom analiza soluții pentru câteva dintre cele mai tipice exemple.

Să începem prin a aplica teorema inversă la teorema lui Vieta. Este convenabil de utilizat pentru a verifica dacă două numere date sunt rădăcini ale unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele dintre aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei converse cu teorema lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4, b=−16, c=9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice ar trebui să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile pe care tocmai le-am obținut.

În primul caz avem x 1 +x 2 =−5+3=−2. Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu poate fi efectuată nicio verificare suplimentară, dar folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, se poate concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: valoarea rezultată este diferită de 9/4. În consecință, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice.

A mai rămas un ultim caz. Aici și . Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit în practică pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În acest caz, ei folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al unei ecuații pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să înțelegem asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0. Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități: x 1 + x 2 =5 și x 1 · x 2 =6. Tot ce rămâne este să selectați astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2·3=6. Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă teoremei lui Vieta este deosebit de convenabilă de utilizat pentru a găsi a doua rădăcină a unei ecuații pătratice date atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină poate fi găsită din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x −3=0. Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este egală cu zero. Deci x 1 =1. A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 ·x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512, din care x 2 =−3/512. Așa am determinat ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selecția rădăcinilor este recomandată doar în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcini, puteți folosi formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.

O alta uz practic Teorema, invers cu teorema lui Vieta, constă în alcătuirea ecuațiilor pătratice având în vedere rădăcinile x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt −11 și 23.

Soluţie.

Să notăm x 1 =−11 și x 2 =23. Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 +x 2 =12 și x 1 ·x 2 =−253. Prin urmare, numerele indicate sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse cu un al doilea coeficient de −12 și un termen liber de −253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația necesară.

Răspuns:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită la rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p·x+q=0? Iată două afirmații relevante:

• Dacă termenul liber q este număr pozitiv iar dacă o ecuație pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele negative.
• Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 · x 2 =q, precum și din regulile înmulțirii pozitive, numere negativeși numere cu semne diferite. Să ne uităm la exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Folosind formula discriminantă găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, valoarea expresiei r 2 +8 este pozitivă pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. În consecință, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru oricare valori reale parametrul r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ și, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, avem nevoie decide inegalitatea liniară r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și a ecuațiilor cubice, a ecuațiilor de gradul al patrulea și, în general, ecuații algebrice gradul n. Ei sunt numiti, cunoscuti formulele lui Vieta.

Să scriem formula Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei și vom presupune că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi și unele care coincid):

Se pot obține formulele lui Vieta teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta.

În special, pentru n=2 avem formulele Vieta deja familiare pentru o ecuație pătratică.

Pentru o ecuație cubică, formulele lui Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor lui Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru invatamantul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

În matematică, există tehnici speciale prin care multe ecuații pătratice pot fi rezolvate foarte rapid și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.

Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.

O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.

Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.

Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:

Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2. Primim:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz au apărut coeficienții fracționali.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.

Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:

teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
2. x 1 x 2 = c . Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.

Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare doar ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.

Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
   Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
   După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
   După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.

Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini aritmetice sau fracții. Și nici nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).

Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:

1. Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
2. Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.

Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Bineînțeles că vor exista rădăcini.

Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta este următoarea:

1. Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
2. Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
3. În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
4. Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.

Toți coeficienții unei ecuații pătratice sunt întregi - să încercăm să o rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.

Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.

Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.

Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților folosesc o singură metodă atunci când rezolvă ecuații pătratice complete - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții care au abilități bune de aritmetică mentală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice chiar și în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. După părerea mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei lui Vieta (conform programului A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru studierea temei „Teorema lui Vieta. Descompunerea unui pătratic. trinom în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru ecuația pătratică redusă și afirmă că dacă ecuația are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ele. Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume și . Apoi, conform teoremei lui Vieta, egalitățile trebuie să aibă loc simultan:

Vă rugăm să rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt de același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim din nou la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei lui Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Să evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică de mai sus folosind teorema lui Vieta:

notează enunţul teoremei lui Vieta

(*)

• determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite. În plus, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv. suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
• selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
• din perechile de numere găsite, selectați perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;
• indicați în răspunsul dvs. rădăcinile găsite ale ecuației.

Să mai dăm câteva exemple.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este pozitiv, iar suma este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau un produs de 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Aceasta înseamnă că numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: -2; -5.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este negativ. Aceasta înseamnă că rădăcinile au semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Aceasta înseamnă că rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Aceasta înseamnă că numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: 2; -5.

Rețineți că teorema lui Vieta poate fi formulată, în principiu, pentru o ecuație pătratică completă: dacă ecuație pătratică are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ei. Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece într-o ecuație pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Ași scrieți ecuația sub forma . Să introducem o nouă variabilă și să obținem ecuația pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă sunt disponibile) pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Atunci rădăcinile ecuației originale vor fi . Vă rugăm să rețineți că este foarte simplu să creați ecuația redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient este egal cu produsul ac. Cu o anumită abilitate, elevii creează imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema lui Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4: Rezolvați ecuația .

Să creăm o ecuație auxiliară iar folosind teorema lui Vieta îi vom găsi rădăcinile. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Exemplul 5: Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsirea rădăcinilor ecuației inițiale .

Răspuns: .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Nu este greu să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema lui Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul –1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică redusă.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci, rădăcinile ecuației .

Răspuns: .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci, rădăcinile ecuației .

Răspuns: ..

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă trecând la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

Una dintre metodele de rezolvare a unei ecuații pătratice este utilizarea formule VIET, care a fost numit după FRANCOIS VIETTE.

A fost un avocat celebru care l-a servit pe regele francez în secolul al XVI-lea. În timpul liber a studiat astronomia și matematica. El a stabilit o legătură între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice.

Avantajele formulei:

1 . Prin aplicarea formulei, puteți găsi rapid o soluție. Pentru că nu este nevoie să introduceți al doilea coeficient în pătrat, apoi să scădeți 4ac din el, să găsiți discriminantul și să înlocuiți valoarea acestuia în formulă pentru a găsi rădăcinile.

2 . Fără o soluție, puteți determina semnele rădăcinilor și puteți selecta valorile rădăcinilor.

3 . După ce am rezolvat un sistem de două înregistrări, nu este dificil să găsiți rădăcinile în sine. În ecuația pătratică de mai sus, suma rădăcinilor este egală cu valoarea celui de-al doilea coeficient cu semnul minus. Produsul rădăcinilor din ecuația pătratică de mai sus este egal cu valoarea celui de-al treilea coeficient.

4 . Folosind aceste rădăcini, scrieți o ecuație pătratică, adică rezolvați problema inversă. De exemplu, această metodă este utilizată la rezolvarea problemelor de mecanică teoretică.

5 . Este convenabil să folosiți formula atunci când coeficientul de conducere este egal cu unu.

Defecte:

1 . Formula nu este universală.

Teorema lui Vieta clasa a VIII-a

Formulă
Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0, atunci:

Exemple
x 1 = -1; x 2 = 3 - rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema inversă

Formulă
Dacă numerele x 1, x 2, p, q sunt legate prin condițiile:

Atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 + px + q = 0.

Exemplu
Să creăm o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale:

X 1 = 2 - ? 3 și x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Ecuația necesară are forma: x 2 - 4x + 1 = 0.

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă a lui Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.

Conţinut

Vezi si: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Ecuații cuadratice

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Apoi suma rădăcinilor este egală cu coeficientul lui , luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:
;
;
.

Aflați suma rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicați formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschiderea parantezelor.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă a lui Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Să înlocuim (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Să înlocuim în (4):
;
.

Să înlocuim în (4):
;
.
Ecuația este valabilă. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. În plus.

Să împărțim ecuația (5) la:
.
Adică, am obținut ecuația dată
,
Unde ; .

Atunci teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru ecuația cubică

Într-un mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. În plus.
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi conexiuni între rădăcinile , , ... , , pentru o ecuație de gradul al n-lea
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația după cum urmează:
.
Apoi echivalăm coeficienții pentru , , , ... , și comparăm termenul liber.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: manual pentru clasa a VIII-a în instituțiile de învățământ general, Moscova, Educație, 2006.

Vezi si: