Este valabil, dar nu este exemple raționale. Elemente de logică matematică

Sarcini practice pentru secțiunea 3

Conceptul de predicat și operații asupra lor.

3.1. Care dintre următoarele expresii sunt predicate:

A)" X divizibil cu 5" ( X Î N);

b) „râu” X se varsă în Lacul Baikal" ( X trece prin multe nume de tot felul de râuri);

V)" x2 + 2X+ 4" ( XÎ R) ;

G) "( X + la)2 = x2 + 2Xy + y 2" ( x, yÎ R);

d)" X ai un frate la» ( x, y o mulțime de oameni aleargă);

e)" XŞi la» ( x, la parcurge setul tuturor elevilor unui grup dat);

și)" XŞi la culcați pe părțile opuse ale z» ( x, la străbate setul tuturor punctelor și z - toate liniile unui plan);

h) „ctg 45° = 1”;

Și)" X perpendicular la» ( X, la parcurge ansamblul tuturor dreptelor unui plan).

3.2. Pentru fiecare dintre următoarele afirmații, găsiți un predicat (singur sau plural) care se transformă într-o declarație dată atunci când înlocuiți variabilele subiectului cu valori adecvate din domeniile corespunzătoare:

a) „3 + 4 = 7”;

b) „Credința și Speranța sunt surori”;

c) „Astăzi este marți”;

d) „Orașul Saratov este situat pe malul râului Volga;

e) „sin 30° = 1/2”;

f) „-marele poet rus”;

g) „32 + 42= 52;

h) „Râul Indigirka se varsă în Lacul Baikal”;

După ce ați construit un astfel de predicat, încercați fie să indicați cu exactitate domeniul său de adevăr, fie să-l conturați cumva.

Soluţie. i) Pot fi specificate trei predicate, fiecare dintre ele transformându-se într-un enunț dat cu substituție corespunzătoare. Primul predicat este unar:

"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48"> Se transformă în această declarație la înlocuire. Valoarea specificată nu epuizează adevărul de mulțime al predicatului construit Este ușor de stabilit că această mulțime este după cum urmează: . Al doilea predicat este, de asemenea, unar: "" (yÎ R). Se transformă în această afirmație la înlocuire y = 1. Este clar că această valoare epuizează setul de adevăr al acestui predicat..png" width="240" height="48">. Se transformă în această afirmație la înlocuire, la= 1. Domeniul său de adevăr este un set de perechi ordonate, a căror colecție este reprezentată grafic ca o familie infinită de curbe numite tangente.

3.3. Citiți următoarele afirmații și determinați care dintre ele sunt adevărate și care sunt false, presupunând că toate variabilele parcurg mulțimea numere reale:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">

k) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" relativ la variabilă x, care parcurge multimea R. Se spune ca in expresia rezultata variabila la este conectat, iar variabila X gratuit. În loc de o variabilă la nu mai putem înlocui nimic, în timp ce în schimb X numerele reale pot fi substituite, în urma cărora predicatul unar se va transforma în enunţuri. De exemplu, afirmația „ " poate fi citit astfel: "Există un număr real la, astfel încât X)($y)( X+ la= 7)" este adevărat. Poate fi citit după cum urmează: „Pentru orice număr real, există un număr real a cărui sumă cu primul este 7”. În expresia „(” X)($y)( X+ la= 7)” nu mai există variabile libere. Ambele variabile XŞi la stau sub semnele cuantificatorilor și, prin urmare, sunt înrudite. Expresia în sine nu mai este un predicat, este o afirmație, adevărată, așa cum am stabilit. Totuși, dacă dorim, atunci, să dezvoltăm conceptul de predicat, putem presupune că un enunț este un predicat cu loc 0, adică un predicat fără variabile. Dar trebuie să ne dăm seama că trecerea cantitativă de la un predicat cu un loc la un predicat cu un loc duce la un salt calitativ, astfel încât un predicat cu un loc este un obiect diferit calitativ de un predicat cu un loc, deși îl subsumăm condiționat. sub conceptul de „predicat”.

b) Instrucțiunea „($у)(" X)(X+ la= 7)" poate fi citit după cum urmează: "Există un număr real care, atunci când este adăugat la orice număr real, adună până la 7." Nu este greu de înțeles că această afirmație este falsă. Într-adevăr, luați în considerare predicatul unar „(” X)(X+ la= 7)" raportat la variabilă y, prin aplicarea cuantificatorului existenţial la care se obţine enunţul dat. Este clar că, indiferent de ce număr real este înlocuit variabila subiect y, De exemplu „(” X)(X+ 4 = 7)", predicatul se va transforma într-o afirmație falsă. (Declarația „(” X)(X+ 4 = 7)" este fals, deoarece predicatul unar "( X+ 4 = 7)" se transformă într-o declarație falsă, de exemplu, când se înlocuiește o variabilă X numărul 5.) Prin urmare, afirmația „($y)(" X)(X+ la= 7)", rezultat din predicatul unar "(" X)(X+ la= 7)" folosind operația de luare a cuantificatorului de existență prin y, fals.

i) Această afirmație poate fi citită după cum urmează: „Orice număr real este egal cu el însuși dacă și numai dacă este mai mare decât 1 sau mai mic decât 2.” Pentru a afla dacă această afirmație este adevărată sau falsă, vom încerca să căutăm un astfel de număr real x0, care ar transforma predicatul unar

într-o declarație falsă. Dacă reușim să găsim un astfel de număr, atunci afirmația dată obținută din acest predicat prin „atașarea” (adică, aplicarea operației de luare) a cuantificatorului general este falsă. Dacă ajungem la o contradicție, presupunând că este x0 există, atunci afirmația dată este adevărată.

Este clar că predicatul " x = x" se transformă într-o afirmație adevărată atunci când este înlocuită cu X orice număr real, adică este identic adevărat. Întrebarea este: este posibil să se indice un număr real care ar transforma predicatul " » într-o declarație falsă? Nu, pentru că indiferent de ce număr real luăm, acesta este fie mai mare decât 1, fie mai mic decât 2 (sau ambele mai mari decât 1 și mai mici decât 2, ceea ce nu este deloc interzis în cazul nostru). Prin urmare, predicatul " „este identic adevărat. Atunci predicatul va fi identic adevărat

Și asta înseamnă această afirmație

prin definiţia operaţiei de luare a unui cuantificator general este adevărată.

3.4. Fie P (x) și Q (x) predicate unare definite pe mulțimea M, astfel încât afirmația https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23 " height="23">false.

3.5. Determinați dacă unul dintre predicatele definite pe mulțimea numerelor reale este o consecință a altuia:

a) „| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) „x4 = 16”, „x2 = - 2”;

c) „x - 1 > 0”, „(x - 2) (x + 5) = 0”;

d) „sin x = 3”, „x2 + 5 = 0”;

e) „x2 + 5x - 6 > 0”, „x + 1 = 1 + x”;

f) „x2 £ 0”, „x = sin p”;

g) „x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0”, „| x - 2| = 1".

Soluţie. g) Al doilea predicat se transformă într-un enunț adevărat numai cu două substituții: x = 1 și x = 3. Este ușor de verificat că aceste substituții transformă și primul predicat într-un enunț adevărat (sunt rădăcinile acestei ecuații cubice) . Prin urmare, primul predicat este o consecință a celui de-al doilea.

3.6. Definiți o mulțime M de valori ale variabilei subiect, astfel încât pe această mulțime al doilea predicat să fie o consecință a primului:

A)" X multiplu de 3", " X chiar";

b)" x 2 = 1", " x-1 = 0";

V)" x ciudat", " X- pătrat număr natural»;

G)" x- romb", " x- paralelogram”;

d)" x- paralelogram", " x- romb”;

e)" x- om de știință rus", " x- matematician”;

și)" x- pătrat", " x- paralelogram."

Soluţie. g) Deoarece fiecare pătrat este un paralelogram, mulțimea tuturor patrulaterelor poate fi luată ca mulțime pe care al doilea predicat este o consecință a primului.

3.7. Demonstrați că conjuncția unui predicat identic adevărat cu orice alt predicat care depinde de aceleași variabile este echivalentă cu acesta din urmă.

3.8. Demonstrați că implicarea a două predicate care depind de aceleași variabile cu o consecință identic falsă este echivalentă cu negația premisei sale.

NOTE ÎN LIMBA ALGEBREI PREDICATELOR

și Analiza raționamentului folosind algebra predicată

Exemplul 1. Ce înseamnă afirmația „Liniile a și b nu sunt paralele”?

Pentru a dezvălui semnificația formulei Ø(a || b), trebuie să găsim negația formulei $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Avem Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Dar formula Ø$a(a Ì a & b Ì a), adică în rusă „Nu există niciun plan care să conțină ambele linii a și b”, transmite relația dintre liniile de încrucișare, iar formula a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, tradus în limba rusă cu propoziția „Liniile a și b au puncte comune, dar nu coincid”, exprimă relația de intersecție a liniilor.

Astfel, liniile neparalele înseamnă intersecția sau încrucișarea lor. Exemplul 2. Scrieți în limbajul algebrei predicate așa-numitele „judecăți categorice aristotelice” adesea folosite în raționament: „Totul S esenţă R", "Unii S esenţă R", "Nimeni S nu ideea R", "Unii S nu ideea R».

Intrarea este dată în tabel. 1.1. Prima coloană a acestui tabel indică tipul de judecată care apare la clasificarea judecăților categoriale după un criteriu complex care ia în considerare cantitatea (judecăți generale și particulare), exprimată în formularea prin cuvinte cuantificatoare „toți”, „unii” și calitate (judecăți afirmative și negative), care sunt transmise prin conjunctivele „esență”, „nu esența”, „este”.

A doua coloană oferă formularea verbală standard a judecăților în logica traditionala, iar în a cincea - înregistrarea lor în limbajul algebrei predicate, în timp ce S(x) trebuie înțeles ca „x are proprietatea S", A P(x)- ca „x are proprietatea R».

A patra coloană arată relația dintre volumele Vs și VP de concepte SŞi R, dacă judecățile sunt înțelese în cea mai generală formă, atunci când oferă informații cuprinzătoare doar despre subiect. De exemplu, din judecata „Totul S esenţă R„este clar că despre care vorbim despre toată lumea S, sfera predicatului nu este definită: vorbim despre toate obiectele care au proprietatea P, sau doar despre unele; este doar S esenţă P, sau alte obiecte sunt, de asemenea R. Uneori această incertitudine cu privire la sfera predicatului R elimină contextul, uneori această eliminare nu este necesară. Pentru a sublinia raportul dintre volumul VP și volumul Vs, se folosește o formulare mai specifică: „Toate S si mai mult S esenţă R" sau "Totul Sși numai ei sunt esența R" A doua formulare se numește generalizand judecată afirmativă. La prima judecată se răspunde diagrama Venn prezentată în fig. 1, a, al doilea - în fig. 1, b. Acestea fiind spuse, judecata „Unii S esenţă R" este în general înțeles ca "Unii S si nu numai ei sunt R", care corespunde diagramei din fig. 2, a, dar poate însemna și „Unii Sși numai ei sunt esența S„(Fig. 2, b). Judecata „Totul S nu ideea R„, înțeles în formă generală, corespunde diagramei din fig. 3, a. La aceeași judecată în forma emfatică „Totul S si numai ei nu sunt R„răspunde diagrama din fig. 3, b. Această formulare corespunde descrierii relației dintre concepte contradictorii , adică cei ale căror volume nu se intersectează și epuizează volumul unui concept generic mai general. În cele din urmă, judecata „Unii S nu mânca R» în general corespunde diagramei din Fig. 4, a, și într-o formă de evidențiere „Unii S si numai ei nu sunt R" - diagrama din fig. 4, b. Tabelul 3.1

Tipul de judecată	Înregistrarea în logica tradițională a formulărilor verbale	Notarea în limbajul algebrului predicat	Relația dintre volumele Vs și VP
General afirmativ	Toate S esenţă P		Fig.1
Privat afirmativ	Unele S esenţă R		Orez. 2
Negativ general	Nici unul S nu ideea R
Parțial negativ	Unele S nu ideea R		Fig.4

Exemplul 3. Analizați raționamentul „Toți oamenii sunt muritori; Socrate este un om; de aceea Socrate este muritor”. Prima premisă a argumentului este o propoziție în general afirmativă (vezi exemplul 2). Introducem urmatoarea notatie: H(x): x - persoana; C (x): x - muritor; c - Socrate.

Structura argumentului:

„x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)

Fie ca (3.1) să nu se mențină. Atunci într-un domeniu Do trebuie să existe o mulțime (a, li(x), lj(x)) pentru (c, H(x), C(x)), în care vor fi îndeplinite următoarele condiții:

"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.

Dar atunci implicația li(a) Þ lj (a) are valoarea A, ceea ce înseamnă, prin definiția cuantificatorului general, „x(li(x) Þ lj (x)) = A, ceea ce contrazice prima condiție. Prin urmare, Corolarul 2.8 este corect, iar raționamentul original este corect.

Exemplul 4. Analizați raționamentul: „Orice echipă de hochei care poate învinge CSKA este o echipă de ligă majoră. Nicio echipă din liga majoră nu poate învinge CSKA. Asta înseamnă că CSKA este invincibilă.”

Notație O: P(x): echipa x poate învinge CSKA; B (x): echipa x din liga majoră.

Structura argumentului:

„x(P(x) Þ B(x)), „x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).

Stabilim dacă consecința rezultată este corectă folosind metoda transformărilor echivalente. Folosind corolarul b) al generalizării Propoziției 1.10, transformăm formula „x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x).

Avem: „x(P(x) Þ B(x)) și „x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = „x((P(x) Þ B(x) ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =

= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) și ØB(x)))) și $xP(x) = ØL = I.

În aceste formațiuni echivalente, proprietatea conjuncției A & ØA = А a fost folosită de două ori și proprietatea disjuncției A Ú A = A a fost folosită o dată.

Astfel, formula originală este în general valabilă, ceea ce înseamnă că raționamentul este corect.

Exemplul 5. Analizați raționamentul: „Dacă vreo echipă ar putea învinge CSKA, atunci ar putea și o echipă din ligă majoră. Dynamo (Minsk) este o echipă de ligă majoră, dar nu poate învinge CSKA. Asta înseamnă că CSKA este invincibilă.”

Notație: P(x): echipa x poate învinge CSKA; B(x): echipa x din liga majoră; d - „Dinamo” (Minsk).

Structura argumentului:

"X P( X) Þ $ X(ÎN( X)&P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)

Comentariu. La formalizarea raționamentului, trebuie avut în vedere că în limbajul natural, pentru a evita repetarea frecventă a acelorași cuvinte sau fraze, sunt utilizate pe scară largă sintagmele sinonime. Este clar că în timpul traducerii ele trebuie transmise prin aceeași formulă. În exemplul nostru, astfel de sinonime sunt predicatele „comandă X poate învinge CSKA" și "echipă X poate învinge CSKA", și ambele sunt exprimate prin formula P( X).

Implicația (3.2) este incorectă. Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să indicați cel puțin o interpretare a formulelor care exprimă premise și concluzie, în care premisele vor lua valoarea I, iar concluzia - valoarea L. O astfel de interpretare, de exemplu, este următoarea: D = (1, 2, 3, 4). În această interpretare avem, după calcule,

I Þ I, I &ØL ├ ØI sau I, I ├ L.

Deci, în această interpretare, ambele premise au valoarea I, iar concluzia are valoarea L. Aceasta înseamnă că următoarea (3.2) este incorectă, iar raționamentul este incorect.

3.9. După ce au introdus predicate unare potrivite pe domeniile corespunzătoare, traduceți următoarele afirmații în limbajul algebrei predicate:

a) Toate numerele raționale sunt reale.

b) Niciun număr rațional nu este real.

c) Unele numere raționale sunt reale.

d) Unele numere raționale nu sunt reale.

Soluţie. Să introducem următoarele predicate unare

Q(x): « X- număr rațional”;

R(x): « X- număr real.”

Apoi, traducerea afirmațiilor de mai sus în limbajul algebrei predicate va fi după cum urmează:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">

3.10. Introduceți predicate unare pe domeniile corespunzătoare și folosiți-le pentru a scrie următoarele afirmații sub formă de formule de algebră a predicatelor:

a) Orice număr natural divizibil cu 12 este divizibil cu 2, 4 și 6.

b) Rezidenții din Elveția trebuie să vorbească fie franceză, italiană sau germană.

c) O funcție care este continuă pe interval își păstrează semnul sau ia valoare zero.

d) Unii șerpi sunt otrăvitori.

e) Toți câinii au un bun simț al mirosului.

3.11. În următoarele exemple, procedați la fel ca în problema anterioară, fără a vă limita neapărat la predicate unare:

a) Dacă a este rădăcina unui polinom într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci este și rădăcina acestui polinom.

b) Între oricare două puncte distincte ale unei linii se află cel puțin un punct care nu coincide cu ele.

c) Există o singură linie dreaptă care trece prin două puncte diferite.

d) Fiecare student a realizat cel puțin o lucrare de laborator.

e) Dacă produsul numerelor naturale este divizibil cu un număr prim, atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu acesta.

f) Un singur plan trece prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

g) Cel mai mare divizor comun al numerelor oŞi b este împărțit de fiecare divizor comun.

h) Pentru fiecare număr real X exista asa ceva la asta pentru toata lumea z, dacă suma z si 1 mai putin la, apoi suma X iar 2 este mai mic decat 4.

Şi) X- un număr prim.

j) Fiecare număr par mai mare de patru este suma a două numere prime (conjectura lui Goldbach).

3.12. Scrieți următoarele enunțuri în limbajul algebrei predicate:

a) Există exact unul X, astfel încât P(x).

b) Există cel puțin două diferite X, astfel încât P(x).

c) Nu sunt mai mult de două X, astfel încât P(x).

d) Sunt exact două diferite X, astfel încât P(x).

3.13. Ce se poate spune despre mulțimea M dacă pentru orice predicat B(x) pe mulțimea M este adevărată afirmația?

3.14. Lasă P(x)înseamnă " x- număr prim", E(x)înseamnă " X- număr par", Oh) - « X- număr impar", D ( x,y) - « X desparte la" sau " laîmpărțit la X" Traduceți următoarele notații simbolice în limba rusă în limba algebrei predicate, ținând cont de faptul că variabilele XŞi la treceți prin mulțimea numerelor naturale:

O) P( 7) ;

b) E( 2) & P( 2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src=">;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src=">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src=">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?

Corectitudinea celor de mai jos poate fi verificată și folosind diagramele Venn, dacă premisele și concluziile sunt predicate unice care depind de o variabilă. Pentru judecățile categorice, care sunt premisele și concluziile în exemplul nostru, relațiile dintre volumele de concepte SŞi R sunt descrise în exemplul 2. Vom folosi această descriere.

Metoda diagramei Venn pentru cazul unic premisă este următoarea. Înfățișăm totul cu diagrame cazuri posibile relaţiile dintre volumele de concepte SŞi R, corespunzător coletului.

Dacă concluzia se dovedește a fi adevărată pentru fiecare dintre diagramele rezultate, atunci următoarele sunt corecte. Dacă concluzia este falsă pe cel puțin una dintre diagrame, atunci următoarele sunt incorecte.

(a) Deoarece premisa este o propoziție negativă, diagramele prezentate în Fig. 1 sunt posibile pentru aceasta. 5.

În niciuna dintre aceste diagrame, judecata https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> nu este o anumită judecată afirmativă, atunci posibilele diagrame pentru aceasta sunt prezentat în Fig. .6.

Acest articol este dedicat studiului subiectului „Numere raționale”. Mai jos sunt definiții ale numerelor raționale, sunt date exemple și cum să determinați dacă un număr este rațional sau nu.

Numere raționale. Definiții

Înainte de a da definiția numerelor raționale, să ne amintim ce alte seturi de numere există și cum sunt legate între ele.

Numerele naturale, împreună cu contrariile lor și numărul zero, formează mulțimea numerelor întregi. La rândul său, mulțimea numerelor fracționale întregi formează mulțimea numerelor raționale.

Definiție 1. Numere raționale

Numerele raționale sunt numere care pot fi reprezentate ca pozitive fracție comună a b , o fracție comună negativă - a b sau numărul zero.

Astfel, putem reține o serie de proprietăți ale numerelor raționale:

1. Orice număr natural este un număr rațional. Evident, fiecare număr natural n poate fi reprezentat ca o fracție 1 n.
2. Orice număr întreg, inclusiv numărul 0, este un număr rațional. Într-adevăr, orice număr întreg pozitiv și orice număr întreg negativ pot fi reprezentați cu ușurință ca o fracție ordinară pozitivă sau, respectiv, negativă. De exemplu, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Orice fracție comună pozitivă sau negativă a b este un număr rațional. Aceasta rezultă direct din definiția dată mai sus.
4. Orice număr mixt este rațional. Într-adevăr, un număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție improprie obișnuită.
5. Orice fracție zecimală finită sau periodică poate fi reprezentată ca o fracție. Prin urmare, fiecare periodic sau finit zecimal este un număr rațional.
6. Decimale infinite și neperiodice nu sunt numere raționale. Ele nu pot fi reprezentate sub formă de fracții obișnuite.

Să dăm exemple de numere raționale. Numerele 5, 105, 358, 1100055 sunt naturale, pozitive și întregi. Evident, acestea sunt numere raționale. Numerele - 2, - 358, - 936 reprezintă numere întregi numere negative, și sunt, de asemenea, raționale conform definiției. Fracțiile comune 3 5, 8 7, - 35 8 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată mai pe scurt. Încă o dată vom răspunde la întrebarea, ce este un număr rațional?

Definiție 2. Numere raționale

Numerele raționale sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție ± z n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu definiția anterioară a numerelor raționale. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că linia fracției este echivalentă cu semnul diviziunii. Luând în considerare regulile și proprietățile împărțirii numerelor întregi, putem scrie următoarele inegalități corecte:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Astfel, putem scrie:

z n = z n , p r și z > 0 0 , p r și z = 0 - z n , p r și z< 0

De fapt, această înregistrare este o dovadă. Să dăm exemple de numere raționale bazate pe a doua definiție. Luați în considerare numerele - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 și - 1 3 5. Toate aceste numere sunt raționale, deoarece pot fi scrise ca o fracție cu numărător întreg și numitor natural: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Să dăm o altă formă echivalentă pentru definirea numerelor raționale.

Definiție 3. Numere raționale

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție rezultă direct din prima definiție a acestui paragraf.

Să rezumam și să formulăm un rezumat al acestui punct:

1. Fracțiile și numerele întregi pozitive și negative alcătuiesc mulțimea numerelor raționale.
2. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită, al cărei numărător este un număr întreg, iar numitorul este un număr natural.
3. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat și ca o fracție zecimală: finit sau infinit periodic.

Care număr este rațional?

După cum am aflat deja, orice număr natural, întreg, fracție ordinară proprie și improprie, fracție zecimală periodică și finită sunt numere raționale. Înarmat cu aceste cunoștințe, puteți determina cu ușurință dacă un anumit număr este rațional.

Cu toate acestea, în practică, de multe ori trebuie să ne ocupăm nu de numere, ci de expresii numerice care conțin rădăcini, puteri și logaritmi. În unele cazuri, răspunsul la întrebarea „este numărul rațional?” este departe de a fi evident. Să ne uităm la metodele de răspuns la această întrebare.

Dacă un număr este dat ca expresie care conține numai numere raționale și operații aritmetice între ele, atunci rezultatul expresiei este un număr rațional.

De exemplu, valoarea expresiei 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) este un număr rațional și este egal cu 18.

Astfel, simplificarea unei expresii numerice complexe vă permite să determinați dacă numărul dat de aceasta este rațional.

Acum să ne uităm la semnul rădăcinii.

Rezultă că numărul m n dat ca rădăcină a puterii n a numărului m este rațional numai atunci când m este puterea a n-a a unui număr natural.

Să ne uităm la un exemplu. Numărul 2 nu este rațional. În timp ce 9, 81 sunt numere raționale. 9 și 81 sunt pătrate perfecte ale numerelor 3 și, respectiv, 9. Numerele 199, 28, 15 1 nu sunt numere raționale, deoarece numerele de sub semnul rădăcinii nu sunt pătrate perfecte ale niciunui numere naturale.

Acum să luăm mai multe caz dificil. Este 243 5 un număr rațional? Dacă ridici 3 la puterea a cincea, obții 243, deci expresia originală poate fi rescrisă după cum urmează: 243 5 = 3 5 5 = 3. Prin urmare, număr dat raţional. Acum să luăm numărul 121 5. Acest număr este irațional, deoarece nu există un număr natural a cărui ridicare la puterea a cincea să dea 121.

Pentru a afla dacă logaritmul unui număr a la baza b este un număr rațional, trebuie să aplicați metoda contradicției. De exemplu, să aflăm dacă numărul log 2 5 este rațional. Să presupunem că acest număr este rațional. Dacă este așa, atunci poate fi scrisă sub forma unei fracțiuni obișnuite log 2 5 = m n Conform proprietăților logaritmului și proprietăților gradului, următoarele egalități sunt adevărate:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

În mod evident, ultima egalitate este imposibilă deoarece părțile din stânga și din dreapta conțin numere pare și, respectiv. Prin urmare, ipoteza făcută este incorectă și log 2 5 nu este un număr rațional.

Este demn de remarcat faptul că atunci când determinați raționalitatea și iraționalitatea numerelor, nu ar trebui să luați decizii bruște. De exemplu, rezultatul produsului numerelor iraționale nu este întotdeauna un număr irațional. Un exemplu ilustrativ: 2 · 2 = 2.

Există și numere iraționale, a căror ridicare la o putere irațională dă un număr rațional. Într-o putere de forma 2 log 2 3, baza și exponentul sunt numere iraționale. Cu toate acestea, numărul în sine este rațional: 2 log 2 3 = 3.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Problema 2. 1

Exprimați în cuvinte enunțurile simbolice enumerate mai jos dacă P(x) este un predicat unar definit pe mulțimea M:

Problema 2. 2

Ce se întâmplă cu extensionalul predicatului A(x), care este definit ca inegalitatea x*x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Problema 2.3

Fie R(x) - „x este un număr real”,

Q(x) - „x este un număr rațional”. Folosind aceste simboluri, scrieți formula:

1. toate numerele raţionale sunt reale

2. niciun număr rațional nu este real

3. unele numere raţionale sunt reale

4. unele numere raţionale nu sunt reale

Problema 2.4

Au fost introduse următoarele predicate:

J(x)- „x este judecătorul”,

L(x)- „x este avocat”,

S(x)- „x este un escroc”,

Q(x)- „x este un om bătrân”,

V(x)- "x - vesel",

P(x)- „x este un politician”,

C(x)- „x este membru al parlamentului”,

W(x)- „x este o femeie”,

U(x)- „x este casnică”,

A(x, y) - „x îl admiră pe y”,

j - Jones.

Găsiți o corespondență între descrierea verbală și formule:

Toți judecătorii sunt avocați

Unii avocați sunt escroci

Niciun judecător nu este un escroc

Unii judecători sunt bătrâni, dar viguroși

Judecătorul Jones nu este nici bătrân, nici sănătos

Nu toți avocații sunt judecători

Niște avocați care sunt politicieni, membri ai parlamentului

Niciun deputat nu este vesel

Toți vechii membri ai parlamentului sunt avocați

Unele femei sunt atât avocate, cât și membre ale parlamentului

Nicio femeie nu este atât politician, cât și casnică

Unele femei avocate sunt, de asemenea, gospodine

Toate femeile avocate admiră un judecător

Unii avocați îi admiră doar pe judecători

Unii avocați le admiră pe femei

Unii escroci nu admiră niciun avocat

Judecătorul Jones nu admiră niciun escroc

Sunt atât avocați, cât și escroci care îl admiră pe judecătorul Jones

Doar judecătorii îi admiră pe judecători

o. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))

b.

"x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))

c.

"x (C(x) ® ù "(x))

d.

"x (C(x)/\Q(x) ®L(x))

e.

$x (W(x)/\L(x)/\C(x))

f.

$x (W(x)/\L(x)/\U(x))

g.

"x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))

h.

"x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))

j.

"x (J(x) ®L(x))

k.

$x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

l.

$x (L(x)/\S(x))

m.

$x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))

n.

"x (J(x) ® ù S(x))

o.

"x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))

p.

$x (J(x)/\Q(x)/\"(x))

q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

Au fost introduse următoarele predicate:

r.

J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)

s.

ù "x (L(x) ®J(x))

t.

$x (L(x)/\P(x)/\C(x))

Problema 2.5

Traduceți următoarele expresii în limbajul formulei:

Dacă fiecare număr este divizibil cu fiecare număr, atunci este par

pentru fiecare număr real x există un y astfel încât pentru fiecare k, dacă suma lui k și 1 este mai mică decât y, atunci suma lui x și 2 este mai mică decât 4

există un număr par care este divizibil cu orice număr dacă acest număr este prim

cel mai mare divizor comun al numerelor a și b este divizibil cu fiecare dintre divizorii lor comuni

pentru ca orice număr să fie prim, nu trebuie să fie divizibil cu niciun număr impar

pentru fiecare număr real există un număr real mai mare

Există numere reale x, y, k astfel încât suma lui x și y este mai mare decât produsul dintre x și k.

dacă produsul unui număr finit de factori este 0, atunci cel puțin unul dintre factori este 0

Demonstrați următoarele tautologii:

1. = „x A(x)® $x A(x)

2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)

3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)

Problema 2.9

Obțineți expresii predicate în forma normală corectă:

1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))

2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))

Problema 2. 10

Reduceți expresia la forma normală conjunctivă:

"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\

/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))

Problema 2. 11

Construiți tabele de adevăr pentru următoarele formule (predicatele sunt definite pe un set de două elemente):

1. „x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))

2. „x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)

3. „x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))

4. „x P(x) ¬®S)/\(P(y)\/S)

5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)

6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))

7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)

Problema 2. 12

Dat: D=(a, b), P(a, a)=și, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=și Determinați valorile de adevăr ​a formulelor:

1. „x $y P(x, y)

2. $x "y P(x, y)

3. „x” y (P(x, y) ®P(y, x))

4. „x” y P(x, y)

5. $y ù P(a, y)

7. „x $y (P(x, y)/\P(y, x))

8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)

Problema 2. 13

Verificați următorul raționament pentru consecvență:

Fiecare student este sincer. John nu este sincer. Deci John nu este student.

Sfântul Francisc este iubit de oricine iubește pe cineva. Toată lumea iubește pe cineva. Prin urmare, toată lumea îl iubește pe Sfântul Francisc.

Niciun animal nu este nemuritor. Pisicile sunt animale. Aceasta înseamnă că unele pisici nu sunt nemuritoare.

Doar păsările au pene. Niciun mamifer nu este o pasăre. Aceasta înseamnă că tuturor mamiferelor le lipsesc pene.

Toți politicienii sunt actori. Unii actori sunt ipocriți. Asta înseamnă că unii politicieni sunt ipocriți.

Un prost ar fi capabil de asta. Nu sunt capabil de asta. Deci nu sunt prost.

Dacă cineva poate rezolva această problemă, atunci poate și orice matematician. Sasha este matematician, dar nu poate. Aceasta înseamnă că problema nu poate fi rezolvată.

Orice matematician poate rezolva această problemă dacă cineva o poate rezolva. Sasha este matematician, dar nu o poate rezolva. Aceasta înseamnă că problema este insolubilă.

Oricine poate rezolva această problemă este matematician.

Sasha nu o poate rezolva. Prin urmare, Sasha nu este un matematician.

Oricine poate rezolva această problemă este matematician.

Dacă fiecare strămoș al unui strămoș al unui anumit individ este, de asemenea, un strămoș al aceluiași individ și niciun individ nu este un strămoș al lui însuși, atunci trebuie să existe cineva care nu are strămoși.

Pentru fiecare persoană, există o persoană care este mai în vârstă decât el. Dacă x este un descendent al lui y, atunci x nu este mai vechi decât y. Toți oamenii sunt descendenți ai lui Adam.

Prin urmare, Adam nu este bărbat.

Pentru orice mulțime x, există o mulțime y astfel încât cardinalitatea lui y este mai mare decât cardinalitatea lui x. Dacă x este inclus în y, atunci puterea lui x nu este mai mare decât puterea lui y. Fiecare set este inclus în V. Prin urmare, V nu este o mulțime.

Toate reptilele au 4 picioare sau deloc. Broasca are 4 picioare. Deci ea este o reptilă.

Fiecare student care promovează examenul la timp primește o bursă. Petrov nu primește o bursă. Prin urmare, el nu este student.

Toate păsările depun ouă. Nici un crocodil nu este o pasăre. Prin urmare, crocodilii nu depun ouă.

Profesorul este mulțumit dacă toți elevii săi trec examenul din prima încercare. Nimeni nu poate trece logica din prima încercare.

În consecință, profesorul de logică este întotdeauna nemulțumit.

Fiecare student din anul cinci primește o diplomă dacă promovează toate examenele. Nu toată lumea a primit diplomă. Asta înseamnă că cineva nu a promovat toate examenele.

Nimănui nu îi plac insectele. Păianjenii nu sunt insecte. Înseamnă că cineva îi iubește.

Toți profesorii de artă sunt bărbați. Toate lecțiile din clasele inferioare sunt predate de femei.

În consecință, desenul nu se predă în clasele inferioare.

Oricine a absolvit școala poate vorbi engleza. Nimeni din familia lui Mueller nu vorbește engleza. Persoanele fără studii medii nu sunt acceptate în institut.

În consecință, niciunul dintre soții Müller nu studiază la institut.

Toate benzinăriile sunt profitabile. Toate punctele de colectare a vaselor sunt neprofitabile. O întreprindere nu poate fi atât profitabilă, cât și neprofitabilă. În consecință, nicio benzinărie nu acceptă sticle.

Oricine este sănătos poate înțelege matematica. Niciunul dintre fiii lui Tom nu poate înțelege matematica.

Numai cei curajoși sunt demni de iubire. Are noroc în dragoste. El nu este curajos.

Adulții aveau voie să intre doar cu copii. M-au lăsat să intru.

Deci, fie sunt copil, fie am venit cu un copil.

Problema 2. 15

Următoarele afirmații sunt adevărate:

cunoașterea structurii datelor este necesară pentru a îmbunătăți disciplina mentală;

numai experiența de programare poate crea o minte disciplinată;

pentru a scrie un compilator, trebuie să fii capabil să analizezi problemele;

o minte nedisciplinată nu poate analiza problemele;

Oricine a scris programe structurate poate fi considerat un programator experimentat.

Este posibil să se determine din aceste ipoteze validitatea următoarelor afirmații:

6. experienta in scrierea de programe structurate este necesara pentru a putea scrie un compilator;

7. cunoașterea structurilor de date face parte din experiența de programare;

8. analiza sarcinilor nu este posibilă pentru cei care ignoră structurile de date;

9. Un programator cu experiență care a scris programe structurate, este capabil să analizeze probleme și are o minte disciplinată este un programator care ar putea scrie un compilator.

Problema 2. 16

Scrieți premisele sub formă de formule și aplicați toate metodele cunoscute pentru a demonstra corectitudinea concluziilor.

Premisa: 1. balaurul este fericit dacă toți copiii săi pot zbura;

2. Dragonul verde poate zbura;

3. un dragon este verde dacă cel puțin unul dintre părinții săi este verde, în caz contrar este roz strălucitor.

Concluzii: 1. Dragonii verzi sunt fericiți.

2. Dragonii fără copii sunt fericiți (s-ar putea să aveți nevoie de niște premise evidente ratate aici).

3. Ce ar trebui să facă un dragon roz strălucitor pentru a fi fericit?

Problema 2. 17<"), перевести на язык формул:

Utilizarea simbolurilor introduse pentru predicate și semne aritmetice (de exemplu, „+” și „

1. Dacă produsul unui număr finit de factori este zero, atunci cel puțin unul dintre factori este zero (Px înseamnă „x este produsul unui număr finit de factori”, iar Fxy înseamnă „x este unul dintre factorii lui y”).

2. Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b este împărțit la fiecare dintre divizorii lor comuni (Fxy înseamnă „x este unul dintre divizorii numărului y”, iar Gxyz - „z este cel mai mare divizor comun al numerelor x și y”).

3. Pentru fiecare număr real x există un număr real mai mare y(Rx).

5. Pentru fiecare număr real x există un y astfel încât pentru fiecare z, dacă suma lui z și 1 este mai mică decât y, atunci suma lui x și 2 este mai mică decât 4.

Problema 2. 18

Fie A0, A1, ..., An, ... o succesiune de numere reale. Folosind cuantificatori limitati, traduceți în formă simbolică:

1. Afirmația că a este limita acestei secvențe; 2. Afirmația că această secvență are o limită;< e).

3. Afirmația că această secvență este o secvență Cauchy (adică, dacă este dat e>0, atunci există un număr pozitiv k astfel încât n, m>k implică úAn - Amú

Scrieți negația fiecăreia dintre formule.

Problema 2. 19

Trageți concluzii corespunzătoare următorului raționament:

Niciun republican sau democrat nu este socialist. Norman Thomas este socialist. Prin urmare, el nu este republican.

Fiecare număr rațional este un număr real. Există un număr rațional.

Prin urmare, există un număr real.

Niciun boboc nu-i plac elevii.

Toți cei care locuiesc în Dascombe sunt absolvenți.

În consecință, niciun boboc nu-i place pe nimeni care locuiește în Duscombe.

Unii boboci îi iubesc pe toți studenții.

10 - Logica matematică i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; * În ce condiții: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; Nici unui boboc nu îi place niciunul dintre studenții din penultimul an.;< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

C – elevul are deficiențe;

D – studentul primește o bursă.

Atunci forma simbolică a enunțului complex va fi A ⋅B⋅C → D . 1b. O notație simbolică poate arăta astfel: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. În logica propozițională, afirmații precum „Nu este adevărat că Petya a mers la facultate” ar trebui considerate corecte, deoarece enunțurile nu sunt divizibile. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC sau același lucru, dar într-o formă mai simplă AB ∨ AC ∨ BC. 11b. A B ∨ BC ∨ AC. 13a. xy z . secolul al XIII-lea Formula este deja în DNF. De ce? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. Formula este deja în KNF. De ce? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16a. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ y y)( ∨ y y) y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . secolul al XVI-lea (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF este absent, deoarece aceasta este o tautologie.

- 13 - Logica matematică 17b. Aceasta este o tautologie, deci nu există SKNF pentru ea. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 Aceasta este o contradicție, motiv pentru care nu există SKNF pentru aceasta. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y ∨ yz ∨ x y ∨ yz ∨ z - SKDNF și MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ x ∨ y x ∨ yz ∨ yz ∨ yz ∨ yz ∨ yz ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. secolul al XX-lea xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20d. A∨C∨ D. 20-a. x∨z . 20 g. x∨z . 20z. xy ∨ x y ∨ xz sau xy ∨ x y ∨ yz. secolul 21 xy ∨ xz. 21 1. 22. Vezi fig. 2. - 14 - Logica matematică Fig. 2 23a. Vezi fig. 3. a) b) Fig. 3 23. Diagramele simplificate vor arăta ca cele prezentate în Fig. 4. a) b) Fig. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), unde C(x) este „x este student”, iar Y(x) este „x este student”. 25b. ∃x (C(x) & O(x)) . secolul 25 Să scriem predicatul cu două locuri sub forma unei relații obișnuite: ∀х ∃y (x

16. Care dintre următoarele propoziții este o afirmație:

a) fierul este mai greu decât plumbul;

D – studentul primește o bursă.

b) terciul este un preparat gustos;

c) matematica este o materie interesanta;

d) vremea este rea astăzi.

18. Care dintre următoarele afirmații este negația afirmației: „Totul numere prime ciudat":

a) „Există un număr prim par”;

b) „Există un număr prim impar”;

c) „Toate numerele prime sunt pare”;

d) „Totul numere impare simplu"?

19. Care operație logică corespunde următorului tabel de adevăr:

a) conjuncții;

b) disjuncţii;

c) implicaţii;

d) echivalenţă.

20. Care operație logică corespunde următorului tabel de adevăr:

a) echivalența;

b) conjuncţii;

c) implicaţii;

d) disjuncţii.

21. Fie A desemnează afirmația „Acest triunghi este isoscel” și fie

B – afirmația „Acest triunghi este echilateral”. Indicați afirmația adevărată:

22. Dacă există o mulțime de enunțuri A 1, A 2, … A n care transformă formula de algebră propozițională F(X 1, X 2, …, X n) într-o afirmație adevărată, atunci această formulă se numește:

a) fezabil;

b) tautologie;

c) contradicţie;

d) refutabil.

23. O tautologie este următoarea formulă de algebră propozițională F(X 1, X 2, …, X n):

a) care se transformă într-o afirmație adevărată pentru toate seturile de variabile;

b) pentru care există un set de enunţuri care transformă formula într-un enunţ adevărat;

c) care se transformă într-o afirmație falsă pentru toate seturile de variabile;

d) pentru care există un set de enunţuri care transformă formula într-un enunţ fals.

24. Care dintre formule este refuzată:

25. Care dintre formule este fezabilă:

26. Care enunț corespunde afirmației: „Pentru orice număr există un număr astfel încât”:

27. Care afirmație corespunde afirmației:

a) „Există numere astfel încât;

b) „Egalitatea este corectă pentru toată lumea;

c) „Există un număr astfel încât pentru toate numerele”;

d) „Pentru orice număr există un număr astfel încât .”

28. Care dintre următoarele afirmații este falsă:

29. Precizați setul de adevăr al predicatului „ x multiplu de 3", definit peste multimea M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

a) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP=(3, 6, 9, 12).

30. Precizați setul de adevăr al predicatului „ x multiplu de 3", definit peste multimea M=(3, 6, 9, 12):

a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.

31. Specificați setul de adevăr al predicatului „ x 2 +x+6=0", definită peste mulțimea numerelor reale:

a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).

32. Precizați setul de adevăr al predicatului:

33. Precizați setul de adevăr al predicatului:

38. Să introducem următoarele predicate unare:

Q(x): « x– număr rațional”;

R(x): « x este un număr real.”

Atunci predicatul poate fi considerat ca o traducere în limbajul algebrei predicate a următoarei afirmații:

a) unele numere raţionale sunt reale;

b) unele numere raţionale nu sunt reale;

c) niciun număr rațional nu este real;

d) toate numerele raționale sunt reale.