Momentul unui punct. Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct

Pentru un punct material, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Înmulțind ambele părți ale acestei relații din stânga vectorial cu vectorul rază (Fig. 3.9), obținem

(3.32)

În partea dreaptă a acestei formule avem momentul de forță relativ la punctul O. Transformăm partea stângă aplicând formula pentru derivata unui produs vectorial

Dar Cum produs vectorial vectori paraleli. După asta primim

(3.33)

Prima derivată în raport cu timpul a momentului de impuls al unui punct relativ la orice centru este egală cu momentul de forță relativ la același centru.

Un exemplu de calcul al momentului unghiular al unui sistem. Calculați momentul cinetic relativ la punctul O al unui sistem format dintr-un arbore cilindric de masă M = 20 kg și rază R = 0,5 m și o sarcină descendentă de masă m = 60 kg (Figura 3.12). Arborele se rotește în jurul axei Oz cu o viteză unghiulară ω = 10 s -1.

Figura 3.12

; ;

Pentru datele de intrare date, momentul unghiular al sistemului

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem. Aplicăm forțele interne și externe rezultate în fiecare punct al sistemului. Pentru fiecare punct al sistemului, puteți aplica teorema privind modificarea momentului unghiular, de exemplu în forma (3.33)

Însumând toate punctele sistemului și ținând cont de faptul că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem

Prin determinarea momentului cinetic al sistemului și a proprietăților forțelor externe și interne

Prin urmare, relația rezultată poate fi reprezentată ca

Prima derivată temporală a momentului unghiular al unui sistem în raport cu orice punct este egală cu momentul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu același punct.

3.3.5. Munca de forta

1) Munca elementară de forță este egală cu produs scalar forță pe raza diferențială a vectorului punctului de aplicare a forței (Fig. 3.13)

Figura 3.13

Expresia (3.36) poate fi scrisă și în următoarele forme echivalente

unde este proiecția forței pe direcția vitezei punctului de aplicare a forței.

2) Munca de forta la deplasarea finala

Integrând munca elementară a forței, obținem următoarele expresii pentru munca forței la deplasarea finală din punctul A în punctul B

3) Munca de forta constanta

Dacă forța este constantă, atunci din (3.38) rezultă

Munca unei forțe constante nu depinde de forma traiectoriei, ci depinde doar de vectorul deplasării punctului de aplicare al forței.

4) Munca de forta de greutate

Pentru forța de greutate (Fig. 3.14) și din (3.39) obținem

Figura 3.14

Dacă mișcarea are loc din punctul B în punctul A, atunci

În general

Semnul „+” corespunde mișcării în jos a punctului de aplicare a forței, semnul „-” – în sus.

4) Lucru de forță elastică

Fie ca axa arcului să fie îndreptată de-a lungul axei x (Fig. 3.15), iar capătul arcului se deplasează din punctul 1 în punctul 2, apoi din (3.38) obținem

Dacă rigiditatea arcului este Cu, deci

A (3.41)

Dacă capătul arcului se deplasează din punctul 0 în punctul 1, atunci în această expresie înlocuim , , atunci lucrul forței elastice va lua forma

(3.42)

unde este alungirea arcului.

Figura 3.15

5) Lucrul de forță aplicat unui corp în rotație. Lucrarea momentului.

În fig. Figura 3.16 prezintă un corp în rotație căruia i se aplică o forță arbitrară. În timpul rotației, punctul de aplicare al acestei forțe se mișcă într-un cerc.

Teoreme generale privind dinamica unui sistem de corpuri. Teoreme asupra mișcării centrului de masă, asupra schimbării momentului, asupra modificării momentului unghiular principal, asupra schimbării energiei cinetice. Principiile lui D'Alembert și posibilele mișcări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuații Lagrange.

Conţinut

Munca făcută de forță, este egal cu produsul scalar al vectorilor de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare a acestuia:
,
adică produsul valorilor absolute ale vectorilor F și ds cu cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor de cuplu și unghiul infinitezimal de rotație:
.

principiul lui d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, sunt introduse forțe inerțiale și (sau) momente ale forțelor inerțiale, care sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor și momentelor forțelor care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații date sau accelerații unghiulare.

Să ne uităm la un exemplu. Corpul suferă mișcare de translație și este acționat de forțe externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă o forță ar acționa asupra corpului. În continuare introducem forța de inerție:
.
După aceasta, problema de dinamică:
.
;
.

Pentru mișcarea de rotație procedați în același mod. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și să fie acționat de momentele exterioare de forță M e zk . Presupunem că aceste momente creează o accelerație unghiulară ε z. În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z. După aceasta, problema de dinamică:
.
Se transformă într-o problemă de statică:
;
.

Principiul mișcărilor posibile

Principiul deplasărilor posibile este utilizat pentru rezolvarea problemelor de statică. În unele probleme, oferă o soluție mai scurtă decât alcătuirea ecuațiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri) constând din mai multe corpuri

Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o mica miscare in care conexiunile impuse sistemului nu sunt intrerupte.

Conexiuni ideale- acestea sunt conexiuni care nu efectuează lucru atunci când sistemul se mișcă. Mai precis, cantitatea de muncă efectuată de conexiunile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul D'Alembert - Lagrange)

Principiul D'Alembert-Lagrange este o combinație a principiului D'Alembert cu principiul mișcărilor posibile. Adică, atunci când rezolvăm o problemă dinamică, introducem forțe inerțiale și reducem problema la o problemă statică, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări.

Principiul D'Alembert-Lagrange.
Atunci când un sistem mecanic cu conexiuni ideale se mișcă, în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului este zero:
.
Această ecuație se numește ecuație generală difuzoare.

Ecuații Lagrange

Coordonate q generalizate 1 , q 2 , ..., q n este o mulțime de n mărimi care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivate ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Să considerăm o posibilă mișcare a sistemului, la care coordonata q k va primi o mișcare δq k. Coordonatele rămase rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări. Apoi
δA k = Q k δq k sau
.

Dacă, cu o posibilă mișcare a sistemului, toate coordonatele se schimbă, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări are forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrului asupra deplasărilor:
.

Pentru forțele potențiale cu potențial Π,
.

Ecuații Lagrange sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate:

Aici T este energia cinetică. Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții ale timpului. Prin urmare, pentru a găsi derivata totală în funcție de timp, trebuie să aplicați regula de diferențiere functie complexa:
.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt mecanică teoretică," facultate", 2010.

• 1. Algebric moment unghiular în jurul centrului. Algebric DESPRE-- mărime scalară luată cu semnul (+) sau (-) și egală cu produsul modulului de impuls m la distanta h(perpendicular) de la acest centru la dreapta de-a lungul căreia este îndreptat vectorul m:
• 2. Momentul vector al impulsului relativ la centru.

Vector momentul impulsului unui punct material relativ la un centru DESPRE -- vector aplicat în acest centru și direcționat perpendicular pe planul vectorilor mȘi în direcția din care mișcarea punctului este vizibilă în sens invers acelor de ceasornic. Această definiție satisface egalitatea vectorială

Impuls punct material relativ la o axă z este o mărime scalară luată cu semnul (+) sau (-) și egală cu produsul modulului vector de proiecție impuls pe plan perpendicular pe această axă perpendiculară h, coborât de la punctul de intersecție al axei cu planul până la linia de-a lungul căreia este îndreptată proiecția indicată:

Momentul cinetic al unui sistem mecanic față de centru și axă

1. Momentum relativ la centru.

Moment cinetic sau momentul principal al mărimilor de mișcare ale unui sistem mecanic față de unele centru se numește suma geometrică a momentelor de impuls ale tuturor punctelor materiale ale sistemului relativ la același centru.

2. Moment cinetic în jurul axei.

Momentul cinetic sau momentul principal al mărimilor de mișcare ale unui sistem mecanic față de o anumită axă este suma algebrică a momentelor mărimilor de mișcare ale tuturor punctelor materiale ale sistemului față de aceeași axă.

3. Momentul cinetic al unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe z cu viteză unghiulară.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material în raport cu centrul și axa

1. Teorema momentelor despre centru.

Derivatîn timp din momentul impulsului unui punct material relativ la un centru fix este egal cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru

2. Teorema momentelor despre o axă.

Derivatîn timp din momentul impulsului unui punct material relativ la o anumită axă este egal cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la aceeași axă

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem mecanic în raport cu centrul și axa

Teorema momentelor despre centru.

Derivatîn timp de la momentul cinetic al unui sistem mecanic față de un centru fix este egală cu suma geometrică a momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu același centru;

Consecinţă. Dacă momentul principal al forțelor exterioare relativ la un anumit centru egal cu zero, atunci momentul unghiular al sistemului în raport cu acest centru nu se modifică (legea conservării momentului unghiular).

2. Teorema momentelor despre o axă.

Derivatîn timp de la momentul cinetic al unui sistem mecanic față de o axă fixă ​​este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu această axă

Consecinţă. Dacă momentul principal al forțelor externe față de o anumită axă este zero, atunci momentul cinetic al sistemului față de această axă nu se modifică.

De exemplu, = 0, atunci L z = const.

Munca și puterea forțelor

Munca de forta-- masura scalara a actiunii fortei.

1. Munca elementară de forță.

Elementar munca unei forțe este o mărime scalară infinitezimală egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasării infinite mici a punctului de aplicare a forței: ; - increment vector rază punctul de aplicare a forței, hodograful căruia este traiectoria acestui punct. Mișcare elementară puncte de-a lungul traiectoriei coincide cu datorită dimensiunilor lor mici. De aceea

daca atunci dA > 0; dacă, atunci dA = 0;dacă , Acea dA< 0.

2. Exprimarea analitică a muncii elementare.

Să ne imaginăm vectorii Și d prin proiecţiile lor pe axă coordonate carteziene:

, . Obținem (4,40)

3. Lucrul unei forțe asupra unei deplasări finale este egal cu suma integrală a lucrărilor elementare asupra acestei deplasări

Dacă forța este constantă și punctul de aplicare a acesteia se mișcă liniar,

4. Munca gravitatiei. Folosim formula: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

Unde h- deplasarea punctului de aplicare a forței vertical în jos (înălțime).

Când deplasați punctul de aplicare a gravitației în sus A 12 = -mgh(punct M 1 -- în partea de jos, M 2 - în partea de sus).

Asa de, . Lucrul efectuat de gravitație nu depinde de forma traiectoriei. Când vă deplasați pe o cale închisă ( M 2 meciuri M 1 ) munca este zero.

5. Lucrul forței elastice a arcului.

Arcul se întinde numai de-a lungul axei sale X:

F y = F z = DESPRE, F X = = -сх;

unde este magnitudinea deformarii arcului.

Când punctul de aplicare a forței se deplasează din poziția inferioară în poziția superioară, direcția forței și direcția mișcării coincid, atunci

Prin urmare, munca forței elastice

Munca fortelor la deplasarea finala; Dacă = const, atunci

unde este unghiul final de rotație; , Unde P -- numărul de rotații ale unui corp în jurul unei axe.

Energia cinetică a unui punct material și a unui sistem mecanic. teorema lui Koenig

Energie kinetică- masura scalara mișcare mecanică.

Energia cinetică a unui punct material - o mărime scalară pozitivă egală cu jumătate din produsul dintre masa unui punct și pătratul vitezei acestuia,

Energia cinetică a unui sistem mecanic -- suma aritmetică a energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale ale acestui sistem:

Energia cinetică a unui sistem format din P corpuri interconectate este egal cu suma aritmetică energiile cinetice ale tuturor corpurilor acestui sistem:

teorema lui Koenig

Energia cinetică a unui sistem mecanicîn cazul general al mișcării sale este egală cu suma energiei cinetice de mișcare a sistemului împreună cu centrul de masă și energia cinetică a sistemului atunci când acesta se mișcă în raport cu centrul de masă:

Unde Vkc -- viteză k- th puncte ale sistemului relativ la centrul de masă.

Energia cinetică a unui corp rigid sub diferite mișcări

Mișcare înainte.

Rotirea unui corp în jurul unei axe fixe . ,Unde -- momentul de inerție al unui corp față de axa de rotație.

3. Mișcare plan-paralelă. , unde este momentul de inerție figură plată faţă de o axă care trece prin centrul de masă.

Când vă deplasați plat energia cinetică a corpului constă din energia cinetică mișcare înainte corpuri cu viteza centrului de masă și energia cinetică a mișcării de rotație în jurul unei axe care trece prin centrul de masă, ;

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material

Teorema sub formă diferenţială.

Diferenţial din energia cinetică a unui punct material este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului,

Teorema în formă integrală (finită).

Schimbare Energia cinetică a unui punct material la o anumită deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Teorema sub formă diferenţială.

Diferenţial din energia cinetică a sistemului mecanic egal cu suma lucrări elementare ale forţelor externe şi interne care acţionează asupra sistemului.

Teorema în formă integrală (finită).

Schimbare Energia cinetică a unui sistem mecanic la o anumită deplasare este egală cu suma muncii forțelor externe și interne aplicate sistemului la aceeași deplasare. ; Pentru un sistem de corpuri solide = 0 (după proprietatea forțelor interne). Apoi

Legea conservării energiei mecanice a unui punct material și a sistemului mecanic

Dacă pentru material punct sau sistem mecanic, acționează doar forțele conservatoare, apoi în orice poziție a punctului sau a sistemului suma energiilor cinetice și potențiale rămâne constantă.

Pentru un punct material

Pentru sistem mecanic T+ P= const

Unde T+ P -- energia mecanică totală a sistemului.

Dinamica corpului rigid

Ecuații diferențiale ale mișcării unui corp rigid

Aceste ecuații pot fi obținute din teoreme generale ale dinamicii unui sistem mecanic.

1. Ecuațiile mișcării de translație a unui corp - din teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic În proiecții pe axele coordonatelor carteziene

2. Ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe - din teorema privind modificarea momentului cinetic al unui sistem mecanic față de o axă, de exemplu, față de o axă

Din momentul cinetic L z corp rigid în raport cu axa, atunci dacă

Deoarece sau, ecuația poate fi scrisă ca sau, forma de scriere a ecuației depinde de ceea ce trebuie determinat într-o anumită problemă.

Ecuații diferențiale de plan-paralel mișcările unui corp rigid sunt un set de ecuații progresivă mişcarea unei figuri plate împreună cu centrul de masă şi rotativ mișcare față de o axă care trece prin centrul de masă:

Pendul fizic

Pendul fizic numit solid, care se rotește în jurul unei axe orizontale care nu trece prin centrul de masă al corpului și se deplasează sub influența gravitației.

Ecuația diferențială a rotației

În cazul unor mici fluctuații.

Atunci unde

Rezolvarea acestei ecuații omogene.

Lasă la t=0 Apoi

-- ecuația oscilațiilor armonice.

Perioada de oscilație a pendulului

Lungimea dată un pendul fizic este lungimea unui pendul matematic a cărui perioadă de oscilație este egală cu perioada de oscilație a unui pendul fizic.

Dintre cele două caracteristici dinamice principale, mărimea este vectorială. Uneori, când se studiază mișcarea unui punct, în loc să se schimbe vectorul în sine, se dovedește a fi necesar să se ia în considerare schimbarea momentului său. Momentul unui vector relativ la un centru dat DESPRE sau topoare z notate cu sau și numite corespunzător impuls unghiular sau moment cinetic puncte relativ la acest centru (axă). Momentul unui vector se calculează în același mod ca și momentul unei forțe. În acest caz, vectorul este considerat a fi atașat la punctul de mișcare. Modul , Unde h- lungimea unei perpendiculare coborâte din centru DESPRE pe direcția vectorului (Fig. 15).

Teorema momentelor despre centru. Să găsim un punct material care se mișcă sub influența forței F(Fig. 15), relația dintre momentele vectorilor și relativ la un centru fix DESPRE. Până la urmă s-a arătat că .

De asemenea

În acest caz, vectorul este îndreptat perpendicular pe planul care trece prin centru DESPREși vector , și vector - perpendicular pe planul care trece prin centru DESPREși vector .

Fig.15

Diferențiând expresia în funcție de timp, obținem:

Dar, ca produs vectorial al doi vectori paraleli, a . Prin urmare,

Ca rezultat, am demonstrat următoarea teoremă a momentelor despre centru: derivata temporală a momentului de impuls al unui punct luat în raport cu un centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru . O teoremă similară este valabilă pentru momentele vectorului forțe în jurul unei axe z, care poate fi verificată prin proiectarea ambelor părți ale egalității la această axă. Expresia matematică a teoremei momentului despre o axă este dată de formula .

Întrebări de autotest

Care sunt cele două măsuri ale mișcării mecanice și forțele corespunzătoare lor?

Ce forțe se numesc forțe motrice?

Ce forțe se numesc forțe de rezistență?

Notați formule pentru a determina lucrul sub translație și mișcări de rotație?

Care este forța circumferențială? Ce este cuplul?

Prezentați teorema lucrului rezultat.

Cum este determinată munca unei forțe constante în mărime și direcție în timpul mișcării rectilinie?

Care este munca efectuată de forța de frecare de alunecare dacă această forță este constantă ca mărime și direcție?

Ce într-un mod simplu Este posibil să se calculeze un lucru care este constant în mărime și direcție a forței pe o mișcare curbilinie?

Care este munca efectuată de forța rezultantă?

Cum se exprimă munca elementară a unei forțe prin traseul elementar al punctului de aplicare a forței și cum - prin creșterea coordonatei arcului acestui punct?

Care este expresia vectorială a muncii elementare?

Care este expresia muncii elementare a forței prin proiecția forței pe axele de coordonate?

Scrie tipuri diferite integrală curbilinie, care determină lucrul unei forțe variabile pe o deplasare curbilinie finită.

Care este metoda grafică pentru determinarea lucrului unei forțe variabile pe o deplasare curbilinie?

Cum se calculează munca gravitațională și munca forței elastice?

La ce deplasări este munca gravitației: a) pozitiv, b) negativ, c) egal cu zero.

În ce caz lucrul forței elastice este pozitiv și în care este negativ?

Ce forţă se numeşte: a) conservatoare; b) neconservatoare; c) disipativ?

Ce se numește potențialul forțelor conservatoare?

Ce domeniu se numește potențial?

Care este funcția de forță?

Ce este un câmp de forță? Dați exemple de câmpuri de forță.

Care sunt relațiile matematice dintre potențialul câmpului și funcția de forță?

Cum se determină munca elementară a forțelor unui câmp potențial și munca acestor forțe asupra deplasării finale a sistemului dacă funcția de forță a câmpului este cunoscută?

Care este munca efectuată de forțele care acționează asupra punctelor sistemului dintr-un câmp potențial în timpul unei deplasări închise?

Care este energia potențială a sistemului în orice poziție?

Care este modificarea energiei potențiale a unui sistem mecanic atunci când acesta se deplasează dintr-o poziție în alta?

Ce relație există între funcția de forță a unui câmp potențial și energia potențială a unui sistem situat în acest câmp?

Calculați modificarea energiei cinetice a unui punct cu masa de 20 kg dacă viteza acestuia crește de la 10 la 20 m/s?

Cum sunt determinate proiecțiile pe axele de coordonate ale forței care acționează într-un câmp potențial în orice punct al sistemului?

Ce suprafețe se numesc echipotențiale și care sunt ecuațiile lor?

Care este direcția forței care acționează asupra unui punct material dintr-un câmp potențial în raport cu suprafața echipotențială care trece prin acest punct?

Care este energia potențială a unui punct material și a unui sistem mecanic sub influența gravitației?

Ce formă au suprafețele echipotențiale ale câmpului gravitațional și ale forței gravitaționale newtoniene?

Care este legea conservării și transformării energiei mecanice?

De ce un punct material descrie o curbă plană sub influența unei forțe centrale?

Ce se numește viteza sectorului și cum să-i exprimăm magnitudinea în coordonate polare?

Care este legea zonelor?

Ce tip are? ecuație diferențialăîn formă Binet, determinând traiectoria unui punct care se deplasează sub influența unei forțe centrale?

Ce formulă este folosită pentru a determina modulul forței gravitaționale newtoniene?

Ce vedere canonică ecuațiile unei secțiuni conice și la ce valori ale excentricității traiectoria unui corp care se mișcă în câmpul forței gravitaționale newtoniene este un cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă?

Formulați legile mișcării planetare descoperite de Kepler.

La ce condiții inițiale corpul devine un satelit al Pământului și în ce moment este capabil să învingă gravitația?

Care sunt prima și a doua viteză de evacuare?

Scrieți formulele pentru calculul muncii în timpul mișcărilor de translație și rotație?

O mașină care cântărește 1000 kg este deplasată de-a lungul unei piste orizontale pe 5 m, coeficientul de frecare este de 0,15. Determinați munca efectuată de gravitație?

Scrieți formulele de calcul a puterii pentru mișcările de translație și rotație?

Determinați puterea necesară pentru a ridica o sarcină care cântărește 0,5 kN la o înălțime de 10 m în 1 minut?

Care este munca efectuată de forța aplicată unui corp care se mișcă rectiliniu și cântărește 100 kg dacă viteza corpului crește de la 5 la 25 m/s?

Determinați eficiența globală a mecanismului dacă, cu o putere a motorului de 12,5 kW și o forță totală de rezistență la mișcare de 2 kN, viteza de mișcare este de 5 m/s.

Dacă o mașină urcă pe un munte cu aceeași putere a motorului, își reduce viteza. De ce?

Lucru de forță constantă în timpul mișcării liniare W=10 J. Ce unghi formează direcția forței cu direcția deplasării?

1) colt ascutit;

2) unghi drept;

3) unghi obtuz.

Cum se va schimba energia cinetică a unui punct care se mișcă rectiliniu dacă viteza sa se dublează?

1) se va dubla;

2) va crește de patru ori.

Care este munca pe care o face gravitația atunci când un corp se mișcă orizontal?

1) produsul gravitației și deplasării;

2) munca efectuată de gravitație este zero.

Sarcini pentru decizie independentă

Sarcina 1. O piatră este aruncată orizontal dintr-un turn de 25 m înălțime cu o viteză de 15 m/s. Găsiți energia cinetică și potențială a pietrei la o secundă după începerea mișcării. Greutatea pietrei 0,2 kg.

Sarcina 2. O piatră este aruncată la un unghi de 60° față de orizontală cu o viteză de 15 m/s. Aflați energia cinetică, potențială și totală a pietrei: 1) la o secundă după începerea mișcării, 2) în cel mai înalt punct traiectorii. Greutatea pietrei 0,2 kg. Neglijați rezistența aerului.

Sarcina 3.

Sarcina 4. Tancul, care cântărește 15 tone și are o putere de 368 kW, urcă pe un munte cu o pantă de 30°. Care viteza maxima poate dezvolta un rezervor?

Sarcina 5. Un candelabru care cântărește 100 kg este suspendat de tavan pe un lanț metalic de 5 m lungime Care este înălțimea la care poate fi înclinat candelabru, astfel încât lanțul să nu se rupă în timpul leagănelor ulterioare, dacă se știe că ruperea are loc la o tensiune. forta de 2 kN?

Sarcina 6. Vântul care sufla cu o viteză v 0 = 20 m/s acționează asupra unei pânze cu o suprafață de s = 25 m 2 cu o forță F = A sρ(v 0 -v) 2/2, unde A- coeficient adimensional, ρ - densitatea aerului, v - viteza navei. Determinați condițiile în care puterea vântului este maximă. Găsiți munca făcută de forța vântului.

Sarcina 7. O mașină cu o greutate de 1 tonă se deplasează în vale cu motorul oprit cu o viteză constantă de 54 km/h. Panta muntelui este de 4 m la fiecare 100 m de parcurs. Câtă putere trebuie să dezvolte motorul acestei mașini pentru ca mașina să se deplaseze cu aceeași viteză în sus cu aceeași înclinație?

Sarcina 8. Un ciocan care cântărește 1,5 tone lovește un semifabricat încins care se află pe o nicovală și deformează semifabricatul. Masa nicovalei împreună cu semifabricatul este de 20 de tone. Determinați eficiența în timpul unui impact cu ciocanul, presupunând că impactul este inelastic. Considerați că munca efectuată în timpul deformării semifabricatului este utilă.

Sarcina 9. Lovitorul (partea de impact) a unui ciocan de grămadă de 500 kg cade pe o grămadă de 100 kg cu o viteză de 4 m/s. Determinaţi: a) energia cinetică a percutorului în momentul impactului; b) energia cheltuită pentru adâncirea grămezii în pământ, c) energia cheltuită pentru deformarea grămezii, d) eficiența impactului lovitorului asupra grămezii. Impactul percutorului asupra grămezii ar trebui să fie considerat neelastic.

Problema 10. Proiectilul zboară din tun la un unghi α față de orizontală cu o viteză v 0 . În partea superioară a traiectoriei, proiectilul se rupe în două părți egale, iar vitezele pieselor imediat după explozie sunt orizontale și se află în planul traiectoriei. O jumătate a căzut la o distanţă s de pistol în direcţia împuşcăturii. Determinați locul în care a căzut a doua jumătate, dacă se știe că a căzut mai departe decât prima. Să presupunem că zborul proiectilului are loc în spațiu fără aer.

Problema 11. Proiectilul zboară în spațiu fără aer de-a lungul unei parabole și se rupe în două părți egale în punctul de sus al traiectoriei. O jumătate a proiectilului a căzut vertical în jos, a doua la o distanță orizontală s de locul exploziei. Determinați viteza proiectilului înainte de explozie, dacă se știe că explozia a avut loc la o înălțime H și jumătate din proiectilul căzut vertical în jos a căzut pentru timpul τ.

Capitolul 14. Teoreme despre mișcarea centrului de masă și despre modificarea momentului și a momentului unghiular.

14.5. Impuls.

14.5.1. Un punct material cu masa m = 0,5 kg se deplasează de-a lungul axei Oy conform ecuației y = 5t 2. Determinați momentul unghiular al acestui punct în raport cu centrul O la momentul t = 2 s. (Răspuns 0)

14.5.2. Punctul material M cu masa m = 0,5 kg se deplasează cu viteza v= 2 m/s de-a lungul dreptei AB. Determinați momentul unghiular al punctului relativ la origine, dacă distanța OA = 1 m și unghiul α = 30°. (Răspuns 0.5)

14.5.3. Punctul material M cu masa m = 1 kg se deplasează uniform într-un cerc cu viteză v= 4 m/s. Determinați momentul unghiular al acestui punct în raport cu centrul C al unui cerc cu raza r = 0,5 m (Răspunsul 2)

14.5.4. Mișcarea unui punct material M cu masa m = 0,5 kg are loc într-un cerc cu raza r = 0,5 m conform ecuației s = 0,5t 2. Determinați momentul unghiular al acestui punct în raport cu centrul cercului la momentul t = 1 s. (Răspuns 0,25)

14.5.5. Determinați momentul unghiular al unui punct material cu masa m = 1 kg față de origine într-o poziție în care coordonatele sale x = y = 1 m și proiecțiile vitezei v x = v y = 1 m/s. (Răspuns 0)

14.5.6. Un punct material M cu masa m = 0,5 kg se deplasează de-a lungul unei curbe. Sunt date coordonatele punctului: x = y = z = 1 m și proiecțiile vitezei v x = 1 m/s, v y = 2 m/s, v z = 4 m/s. Determinați momentul unghiular al acestui punct în raport cu axa O x (Răspunsul 1)

14.5.7. Un punct material cu masa m = 1 kg se deplasează conform legii: x = 2t, y = t 3, z = t 4. Determinați momentul unghiular al acestui punct în raport cu axa O y la momentul t = 2 s.
(Răspuns -96)

14.5.8. Viteza unui punct material cu masa m = 1 kg este determinată de expresie v= 2ti + 4tj + 5k. Determinați modulul momentului unghiular al unui punct în raport cu originea la momentul t = 2 s, când coordonatele sale sunt x = 2 m, y = 3 m, z = 3 m (Răspunsul 10.0).

14.5.9. Tubul se rotește uniform cu viteza unghiulară ω = 10 rad/s. O minge cu masa m = 1 kg se deplasează prin tub. Determinați momentul unghiular al bilei față de axa de rotație a tubului când distanța OM = 0,5 m și viteza bilei față de tub. v r = 2 m/s. (Răspunsul 2.5)

14.5.10. Conul se rotește uniform în jurul axei A z cu viteza unghiulară ω = 4 rad/s. Un punct material M cu o masă de 1 kg se deplasează de-a lungul generatricei conului. Determinați momentul unghiular al unui punct material în raport cu axa O z într-o poziție în care distanța OM = 1 m, dacă unghiul α = 30°. (Raspunsul 1)

14.5.11. O tijă omogenă cu lungimea l = 1 m și masa m = 6 kg se rotește cu viteza unghiulară ω = 10 rad/s. Determinați momentul cinetic al tijei în raport cu centrul O.
(Răspunsul 20)

14.5.12. O țeavă cu pereți subțiri cu masa m = 10 kg se rostogolește de-a lungul unui plan orizontal cu viteză unghiulară ω = 10 rad/s. Determinați momentul cinetic al cilindrului în raport cu axa instantanee de rotație dacă raza r = 10 cm (Răspunsul 2).

14.5.13. Manivela OA se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω = 6 rad/s. Roata 2 se rostogolește pe o roată staționară 1. Determinați momentul cinetic al roții 2 raportat la centrul său de viteză instantanee K, dacă raza r = 0,15 m Roata 2 este considerată un disc omogen cu masa m = 3 kg. (Răspunsul 1.22)

14.5.14. Conul se rostogolește pe un plan staționar fără să alunece. Viteza centrului bazei conului v c = 0,9 m/s, raza r = 30 cm Determinați modulul momentului cinetic al conului față de axa instantanee de rotație dacă momentul său de inerție față de această axă este egal cu 0,3 kg m 2. (Răspunsul 1.04)

14.5.15. Punctele materiale M 1 și M 2 se mișcă în planul O xy, ale căror mase sunt m 1 = m 2 = 1 kg. Determinați momentul unghiular al unui sistem dat de puncte materiale în raport cu punctul O într-o poziție în care viteza v 1 = 2v 2 = 4 m/s, distanțe OM 1 = 2OM 2 = 4m și unghiuri α 1 = α 2 = 30°. (Răspunsul 6)

14.5.16. Puncte materiale M 1, M 2, M 3 de masă m 1 = m 2 = m 3 = 2 kg, se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza r = 0,5 m Determinați momentul unghiular al sistemului de puncte de material relativ la centrul O a cercului dacă viteza lor v 1 = 2 m/s, v 2 = 4 m/s, v 3 = 6 m/s. (Răspunsul 12)

14.5.17. Cilindrul 1 se rotește cu viteză unghiulară ω = 20 rad/s. Momentul său de inerție față de axa de rotație este I = 2 kg m 2, raza r = 0,5 m Sarcina 2 are o masă m 2 = 1 kg. Determinați momentul cinetic al sistemului mecanic față de axa de rotație. (Răspunsul 45)

14.5.18. Pe tamburul 2, al cărui moment de inerție față de axa de rotație I = 0,05 kg m 2, sunt înfășurate fire, la care sunt atașate sarcinile 1 și 3 cu o masă de m 1 = 2m 3 = 2 kg. Să se determine momentul cinetic al sistemului de corpuri în raport cu axa de rotație dacă viteză unghiulară ω = 8 rad/s, razele R = 2r = 20 cm (Răspunsul 1.12)