Пусть требуется исследовать зависимость причем обе величины их измеряются в одних и тех же экспериментах. Для этого проводят серию экспериментов при разных значениях стараясь сохранить прочие условия эксперимента неизменными.

Измерение каждой величины содержит случайные ошибки (систематические ошибки здесь рассматривать не будем); следовательно, эти величины являются случайными.

Закономерная связь случайных величин называется стохастической. Будем рассматривать две задачи:

а) установить, существует ли (с определенной вероятностью) зависимость от или величина от не зависит;

б) если зависимость существует, описать ее количественно.

Первую задачу называют дисперсионным анализом, а если рассматривается функция многих переменных - то многофакторным дисперсионным анализом. Вторую задачу называют анализом регрессии. Если случайные ошибки велики, то они могут маскировать искомую зависимость и выявить ее бывает нелегко.

Таким образом, достаточно рассмотреть случайную величину зависящую от как от параметра. Математическое ожидание этой величины зависит от эта зависимость является искомой и называется законом регрессии.

Дисперсионный анализ. Проведем при каждом значении небольшую серию измерений и определим Рассмотрим два способа обработки этих данных, позволяющих исследовать, имеется ли значимая (т. е. с принятой доверительной вероятностью) зависимость z от

При первом способе вычисляют стандарты выборки единичного измерения по каждой серии отдельно и по всей совокупности измерений:

где полное число измерений, а

являются средними значениями соответственно по каждой серии и по всей совокупности измерений.

Сравним дисперсию совокупности измерений с дисперсиями отдельных серий . Если окажется, что при выбранном уровне достоверности можно считать для всех i, то зависимость z от имеется.

Если достоверного превышения нет, то зависимость не поддается обнаружению (при данной точности эксперимента и принятом способе обработки).

Дисперсии сравнивают по критерию Фишера (30). Поскольку стандарт s определен по полному числу измерений N, которое обычно достаточно велико, то почти всегда можно пользоваться коэффициентами Фишера приведенными в таблице 25.

Второй способ анализа заключается в сравнении средних при разных значениях между собой. Величины являются случайными и независимыми, причем их собственные стандарты выборки равны

Поэтому их сравнивают по схеме независимых измерений, описанной в п. 3. Если различия значимы, т. е. превышают доверительный интервал, то факт зависимости от установлен; если различия всех 2 незначимы, то зависимость не поддается обнаружению.

Многофакторный анализ имеет некоторые особенности. Величину целесообразно измерять в узлах прямоугольной сетки чтобы удобнее было исследовать зависимость от одного аргумента, фиксируя другой аргумент. Проводить серию измерений в каждом узле многомерной сетки слишком трудоемко. Достаточно провести серии измерений в нескольких узлах сетки, чтобы оценить дисперсию единичного измерения; в остальных узлах можно ограничиться однократными измерениями. Дисперсионный анализ при этом проводят по первому способу.

Замечание 1. Если измерений много, то в обоих способах отдельные измерения или серии могут с заметной вероятностью довольно сильно отклониться от своего математического ожидания. Это надо учитывать, выбирая доверительную вероятность достаточно близкой к 1 (как это делалось в при установлении пределов, отделяющих допустимые случайные ошибки от грубых).

Анализ регрессии. Пусть дисперсионный анализ указал, что зависимость z от есть. Как ее количественно описать?

Для этого аппроксимируем искомую зависимость некоторой функцией Оптимальные значения параметров найдем методом наименьших квадратов, решая задачу

где - веса измерений, выбираемые обратно пропорционально квадрату погрешности измерения в данной точке (т. е. ). Эта задача была разобрана в главе II, § 2. Остановимся здесь лишь на тех особенностях, которые вызваны присутствием больших случайных ошибок.

Вид подбирают либо из теоретических соображений о природе зависимости либо формально, сравнивая график с графиками известных функций. Если формула подобрана из теоретических соображений и правильно (с точки зрения теории) передает асимптотику то обычно она позволяет не только неплохо аппроксимировать совокупность экспериментальных данных, но и экстраполировать найденную зависимость на другие диапазоны значений Формально подобранная функция может удовлетворительно описывать эксперимент, но редко пригодна для экстраполяции.

Проще всего решить задачу (34), если является алгебраическим многочленом Однако такой формальный выбор функции редко оказывается удовлетворительным. Обычно хорошие формулы зависят от параметров нелинейно (трансцедентная регрессия). Трансцедентную регрессию наиболее удобно строить, подбирая такую выравнивающую замену переменных чтобы зависимость была почти линейной (см. гл. II, § 1, п. 8). Тогда ее нетрудно аппроксимировать алгебраическим многочленом: .

Выравнивающую замену переменных ищут, используя теоретические соображения и учитывая асимптотику Дальше будем считать, что такая замена уже сделана.

Замечание 2. При переходе к новым переменным задача метода наименьших квадратов (34) принимает вид

где новые веса связаны с исходными соотношениями

Поэтому, даже если в исходной постановке (34) все измерения имели одинаковую точность, так что то для выравнивающих переменных веса не будут одинаковыми.

Корреляционный анализ. Надо проверить, действительно ли замена переменных была выравнивающей, т. е. близка ли зависимость к линейной. Это можно сделать, вычислив коэффициент парной корреляции

Нетрудно показать, что всегда выполняется соотношение

Если зависимость строго линейная (и не содержит случайных ошибок), то или в зависимости от знака наклона прямой. Чем меньше , тем менее зависимость похожа на линейную. Поэтому, если , а число измерений N достаточно велико, то выравнивающие переменные выбраны удовлетворительно.

Подобные заключения о характере зависимости по коэффициентам корреляции называют корреляционным анализом.

При корреляционном анализе не требуется, чтобы в каждой точке проводилась серия измерений. Достаточно в каждой точке сделать одно измерение, но зато взять побольше точек на исследуемой кривой, что часто делают в физических экспериментах.

Замечание 3. Существуют критерии близости , позволяющие указать, является ли зависимость практически линейной. Мы на них не останавливаемся, поскольку далее будет рассмотрен выбор степени аппроксимирующего многочлена.

Замечание 4. Соотношение указывает на отсутствие линейной зависимости но не означает отсутствия какой-либо зависимости. Так, если на отрезке - то

Оптимальная степень многочлен а. Подставим в задачу (35) аппроксимирующий многочлен, степени :

Тогда оптимальные значения параметров удовлетворяют системе линейных уравнений (2.43):

и найти их нетрудно. Но как выбрать степень многочлена?

Для ответа на этот вопрос вернемся к исходным переменным и вычислим дисперсию аппроксимационной формулы с найденными коэффициентами. Несмещенная оценка этой дисперсии такова

Очевидно, при увеличении степени многочлена дисперсия (40) будет убывать: чем больше взято коэффициентов, тем точней можно аппроксимирозать экспериментальные точки.

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Академия Бюджета и Казначейства

Министерства финансов Российской Федерации

Калужский филиал

РЕФЕРАТ

по дисциплине:

Эконометрика

Тема: Эконометрический метод и использование стохастических зависимостей в эконометрике

Факультет учетный

Специальность

бухучет, анализ и аудит

Отделение очно-заочное

Научный руководитель

Швецова С.Т.

Калуга 2007

Введение

1. Анализ различных подходов к определению вероятности: априорный подход, апостериорно-частотный подход, апостериорно-модельный подход

2. Примеры стохастических зависимостей в экономике, их особенности и теоретико-вероятностные способы их изучения

3. Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования

Заключение

Список литературы

Введение

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе так называемой высшей статистики – на методах парной и множественной регрессии, парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда, на статистическом оценивании. Р. Фишер писал: «Статистические методы являются существенным элементом в социальных науках, и в основном именно с помощью этих методов социальные учения могут подняться до уровня наук» .

Целью данного реферата послужило изучение эконометрического метода и использования стохастических зависимостей в эконометрике.

Задачами данного реферата является проанализировать различные подходы к определению вероятности, привести примеры стохастических зависимостей в экономике, выявить их особенности и привести теоретико-вероятностные способы их изучения, проанализировать этапы эконометрического исследования.

1. Анализ различных подходов к определению вероятности: априорный подход, апостериорно-частотный подход, апостериорно-модельный подход

Для полного описания механизма исследуемого случайного эксперимента недостаточно задать лишь пространство элементарных событий. Очевидно, наряду с перечислением всех возможных исходов исследуемого случайного эксперимента мы должны также знать, как часто в длинной серии таких экспериментов могут происходить те или другие элементарные события.

Для построения (в дискретном случае) полной и законченной математической теории случайного эксперимента – теории вероятностей – помимо исходных понятий случайного эксперимента, элементарного исхода и случайного события необходимо запастись еще одним исходным допущением (аксиомой), постулирующим существование вероятностей элементарных событий (удовлетворяющих определенной нормировке), и определением вероятности любого случайного события.

Аксиома. Каждому элементу w i пространства элементарных событий Ω соответствует некоторая неотрицательная числовая характеристика p i шансов его появления, называемая вероятностью события w i , причем

p 1 + p 2 + . . . + p n + . . . = ∑ p i = 1 (1.1)

(отсюда, в частности, следует, что 0 ≤ р i ≤ 1 для всех i ).

Определение вероятности события. Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т.е. если использовать символику Р{А} для обозначения «вероятности события А », то

Р{А} = ∑ Р{ w i } = ∑ p i (1.2)

Отсюда и из (1.1) непосредственно следует, что всегда 0 ≤ Р{A } ≤ 1, причем вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Все остальные понятия и правила действий с вероятностями и событиями будут уже производными от введенных выше четырех исходных определений (случайного эксперимента, элементарного исхода, случайного события и его вероятности) и одной аксиомы.

Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов Ω и каждому элементарному исходу w i поставить в соответствие некоторую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характеристику p i , интерпретируемую как вероятность появления исхода w i (будем обозначать эту вероятность символами Р{w i }), причем установленное соответствие типа w i ↔ p i должно удовлетворять требованию нормировки (1.1).

Вероятностное пространство как раз и является понятием, формализующим такое описание механизма случайного эксперимента. Задать вероятностное пространство – это значит задать пространство элементарных событий Ω и определить в нем вышеуказанное соответствие типа

w i ↔ p i = Р { w i }. (1.3)

Для определения из конкретных условий решаемой задачи вероятности P { w i } отдельных элементарных событий используется один из следующих трех подходов.

Априорный подход к вычислению вероятностей P { w i } заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей. Например, возможен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т. п.). В силу аксиомы (1.1) вероятность каждого элементарного события равна в этом случае 1/ N . Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит N A элементарных событий, то в соответствии с определением (1.2)

Р {А} = N A / N . (1.2")

Смысл формулы (1.2’) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (1.2’) не является определением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей Р { w i } отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности. В соответствии с этой концепцией вероятность P { w i } определяется как предел относительной частоты появления исхода w i в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов n , т.е.

p i = P { w i } = lim m n (w i ) / n (1.4)

где m n (w i ) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события w i . Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей p i предлагается брать относительные частоты появления события w i в достаточно длинном ряду случайных экспериментов.

Разными в этих двух концепциях оказываются определения вероятностей: в соответствии с частотной концепцией вероятность не является объективным, существующим до опыта, свойством изучаемого явления, а появляется только в связи с проведением опыта или наблюдения; это приводит к смешению теоретических (истинных, обусловленных реальным комплексом условий «существования» исследуемого явления) вероятностных характеристик и их эмпирических (выборочных) аналогов.

Апостериорно-моделъный подход к заданию вероятностей P { w i } , отвечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной стороны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозрительного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реальных комплексов условий разработан и исследован набор модельных вероятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, показательное и т. п.). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее, с помощью специальных математико-статистических приемов исследователь как бы прилаживает гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

зависимость между случайными величинами, проявляющаяся в том, что изменение закона распределения одной из них происходит под влиянием изменения другой.

• - метод решения класса задач статистич. оценивания, в к-ром новое значение оценки представляет собой поправку к уже имеющейся оценке, основанную на новом наблюдении...

  Математическая энциклопедия

• - модель, которая позволяет учесть эффекты случайной изменчивости. Наиболее перспективный тип модели для прогнозирования изменений отдельных популяций или экосистемы в целом...

  Экологический словарь

• - англ. dependence; нем. Abhangigkeit. разновидности к-рого соответствуют соц.-экон. условиям жизни общества, уровню развития производительных сил, культ...

  Энциклопедия социологии

• - Характеристика взаимоотношений между развитыми и слаборазвитыми странами...

  Политология. Словарь.

• - неотрицательная функция V, для к-рой пара), Ft) - супермартингал для нек-рого случайного процесса X, Ft есть s-алгебра событий, порожденных течением процесса Xдо момента t. Если X - марковский процесс, то Л. с. ф. есть...

  Математическая энциклопедия

• - - теория, согласно коей развитие психическое на каждой стадии определяется случайным сочетанием факторов и зависит лишь от уровня, достигнутого на предыдущей стадии развития...

  Большая психологическая энциклопедия

• - сетевая модель, в которой временные оценки работ носят вероятностный характер - стохастичен мрежов модел - stochastický projekt síťového grafu - stochastisches Netzplanmodell - sztochasztikus hálósmodell - сүлжээний тохиолдлын загвар - model sieciowy stochastyczny...

  Строительный словарь

• - математическая модель экосистемы, которая пытается учесть эффекты случайной изменчивости вынуждающих функций и параметров...

  Экологический словарь

• - см. Функция, Отношение...

  Философская энциклопедия

• - модель экономическая, учитывающая случайные факторы...

  Словарь бизнес терминов

• - зависимость между случайными величинами, проявляющаяся в том, что изменение закона распределения одной из них происходит под влиянием изменения другой...

  Большой экономический словарь

• - математическая модель экономического процесса, учитывающая факторы случайной природы...

  Большой экономический словарь

• - СТОХАСТИЧЕСКАЯ модель - математическая модель экономического процесса, учитывающая факторы случайной природы...

  Экономический словарь

• - ...

  Энциклопедический словарь экономики и права

• - метод решения широкого класса задач статистического оценивания, при котором каждое следующее значение оценки получается в виде основанной лишь на новом наблюдении поправки к уже построенной оценке....

  Большая Советская энциклопедия

• - вероятностная грамматика...

  Толковый переводоведческий словарь

"ЗАВИСИМОСТЬ, СТОХАСТИЧЕСКАЯ" в книгах

Зависимость

Из книги Простые законы женского счастья автора Шереметева Галина Борисовна

Зависимость Женщине свойственно ощущать потребность в заботе и защите. Она предназначена природой рожать и заботиться о детях. В такое время женщина особенно нуждается в защите и помощи. Поэтому здесь женщины настроены на то, что мужчина обеспечит ее безбедную жизнь,

ЗАВИСИМОСТЬ

Из книги Прими силу рода своего автора Солодовникова Оксана Владимировна

ЗАВИСИМОСТЬ К зависимостям относятся две группы заболеваний.1. Зависимости, связанные с употреблением каких-либо психоактивных веществ. Это алкоголизм, наркомания, токсикомания, табакокурение.2. Зависимости, связанные с непреодолимым влечением к совершению

ЗАВИСИМОСТЬ

Из книги Осознание автора Мелло Энтони Де

ЗАВИСИМОСТЬ Об этом говорили жившие ранее учителя-мистики. Что до меня, то я не отрицаю, что наша запрограммированная извне сущность - мы называем ее собой - иногда способна возвращаться в обычные рамки; этого требует от нее пройденный человеком курс воспитания. Но тут

Зависимость

Из книги Просветление – не то, что ты думаешь автора Цзы Рам

Зависимость В: Около шести или восьми месяцев назад я упомянул свою проблему с алкоголем, и вы сказали: «Сходите на А. А. ». В беседе с Рамешем как-то всплыла та же тема, и он сказал то же самое: «Сходите на А. А.» Я начал туда ходить. Интеллектуально я вроде понимаю это

В. «Я» и зависимость

Из книги Тотальность и бесконечное автора Левинас Эммануэль

В. «Я» и зависимость 1. Радость и ее развитие Движение к себе, свойственное наслаждению и счастью, свидетельствует о самодостаточности «я», хотя образ закручивающейся спирали, который мы использовали, не позволяет видеть причину этой самодостаточности в недостаточности

Стохастическая судьба литературного произведения

автора Лем Станислав

Стохастическая судьба литературного произведения Наивная концепция того, как литературное произведение получает признание, предполагает, во-первых, что оно (произведение) представляет собой некую структуру, обладающую абсолютной ценностью «в себе»: ценностью алмаза, а

Стохастическая модель литературного произведения

Из книги Философия случая автора Лем Станислав

Стохастическая модель литературного произведения По сравнению с описанными отношениями информационных и физических объектов иначе выглядит «физикализация» во всей цепочке отношений «язык - литературное произведение - конкретизация», и, в свою очередь, чем-то иным

Стохастическая аппроксимация

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СТ) автора БСЭ

Зависимость

Из книги Мобильник: любовь или опасная связь? Правда, которой не расскажут в салонах мобильной связи автора Инджиев Артур Александрович

Зависимость Чем выше уровень излучения мобильника, тем выше и коэффициент SAR. Но отсюда совершенно не следует, что мобильные телефоны, излучающие сигнал в одном частотном диапазоне, имеют одинаковые коэффициенты SAR. Каждый мобильник излучает сигнал по-своему. Это

4.4. Стохастическая позиционная модель

Из книги Управление персоналом автора Шевчук Денис Александрович

4.4. Стохастическая позиционная модель Для измерения в денежной форме индивидуальных условной и реализуемой стоимостей была разработана стохастическая (вероятностная) позиционная модель. Реализация ее алгоритма включает следующие шаги: определить взаимоисключающий

ЗАВИСИМОСТЬ

Из книги Портреты гомеопатических препаратов (часть 1) автора Култер Кэтрин Р

ЗАВИСИМОСТЬ Второй примечательной и основной чертой Pulsatilla является её зависимость. Так же как и цветок, растущий пучками, так и человек-Pulsatilla должен быть окружен людьми. Не так, как Phosphorus, чтобы иметь слушателей и для стимула; не как Lycopodium или Sulphur, чтобы на кого-то

Зависимость

Из книги Грудное вскармливание автора Сирс Марта

Зависимость Когда дети учатся ходить, и в дошкольном возрасте, они постепенно учатся быть более независимыми, но делают это в своем темпе. Они не могут торопиться. Иногда кажется, что продолжение грудного вскармливания держит ребенка в зависимости от матери. «Отними

Зависимость

Из книги Как победить лишний вес с помощью музыки автора Блаво Рушель

Зависимость До сих пор я пользовался словом «зависимость», не объясняя, что это значит. Теперь давайте посмотрим, из чего она состоит, - это поможет вам с ней разделаться. Не все согласятся, что у человека может возникнуть НАВЯЗЧИВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ЕДЫ. Я лично в этом

Зависимость от еды

Из книги Настольная книга самой обаятельной и привлекательной толстушки автора Дерябина Марина

Зависимость от еды Находясь под впечатлением одной из телепередач, я вдруг почувствовала потребность ограничивать себя в еде. Нет, на сей раз о диете я не думала, но решила есть только тогда, когда это и в самом деле необходимо, никаких «перекусов».Весь день занят работой,

11.6. Зависимость

Из книги Успех или Позитивный образ мышления автора Богачев Филипп Олегович

11.6. Зависимость В Интернете никто не знает, что ты собака. Питер СтайнерДавай проведем простой тест: чем ты будешь заниматься, если тебя на месяц забросит в страну, где с интернетом все плохо? Например, в Северную Корею? У тебя есть план, чем можно занять все это время, кроме

Между различными явлениями и их признаками необходимо прежде всего выделить два типа связей: функциональную (жестко детерминированную) и статистическую (стохастическую детерминированную).

Связь признака y с признаком x называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака x соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака y. Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков x1,x2,…,x n .

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определляющих значение зависимого (результтативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженного определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить уравнением:

Где y i - результативный признак (i=1,…, n)

f(x i) – известная функция связи результативного и факторного признака

x i – факторный признак.

Стохастическая связь- это связь между величинами, при которых одна из них, случайная величина y, реагирует на изменение другой величины x или других величин x1, x2,…, x n , (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обуславливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком). Всегда имеет место влияние случайного. Появляющиеся различные значения зависимой переменной- реализации случайной величины.

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнением:

Где y i – расчетное значение результативного признака

f(x i) – часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком

ε i – часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками.

Стохастическая эмпирическая зависимость

Зависимость между случайными величинами называется стохастической зависимостью. Она проявляется в изменении закона распределения одной из них (зависимой переменной) при изменении других (аргументов).

Графически стохастическая эмпирическая зависимость, в системе координат зависимая переменная - аргументы , представляет собой множество случайно расположенных точек, которое отражает общую тенденцию поведения зависимой переменной при изменении аргументов.

Стохастическая эмпирическая зависимость от одного аргумента называется парной зависимостью, если аргументов более одного - многомерной зависимостью. Пример парной линейной зависимости приведён на рис. 1.()

Рис. 1.

В отличие от обычной функциональной зависимости, в которой изменениям значения аргумента (или нескольких аргументов) отвечает изменение детерминированной зависимой переменной, в стохастической зависимости при этом происходит изменение статистического распределения случайной зависимой переменной, в частности, математического ожидания.

Задача математического моделирования (аппроксимации)

Построение стохастической зависимости иначе называется математическим моделированием (аппроксимацией) или приближением и состоит в нахождении её математического выражения (формулы).

Эмпирически установленная формула (функция), которая отражает не всегда известную, но объективно существующую истинную зависимость и отвечает основному, устойчивому, повторяющемуся отношению между предметами, явлениями или их свойствами, рассматривается как математическая модель.

Устойчивое отношение вещей и их истинная зависимость. моделируется она или нет, существует объективно, имеет математическое выражение, и рассматривается как закон или его следствие.

Если подходящие закон или следствие из него известны, то их естественно рассматривать в качестве искомой аналитической зависимости. Например, эмпирическая зависимость силы тока I в цепи от напряжения U и сопротивления нагрузки R следует из закона Ома:

К сожалению, истинная зависимость переменных в подавляющем большинстве случаев априорно неизвестна, поэтому возникает необходимость её обнаружения, исходя из общих соображений и теоретических представлений, то есть построения математической модели рассматриваемой закономерности. При этом учитывается, что заданные переменные и их приращения на фоне случайных колебаний отражают математические свойства искомой истинной зависимости(поведение касательных, экстремумы, корни, асимптоты и т.п.)

Подбираемая, так или иначе, аппроксимирующая функция сглаживает (усредняет) случайные колебания исходных эмпирических значений зависимой переменной и, подавляя тем самым случайную составляющую, является приближением к регулярной составляющей и, стало быть, к искомой истинной зависимости.

Математическая модель эмпирической зависимости имеет теоретическое и практическое значение:

· позволяет установить адекватность экспериментальных данных тому или иному известному закону и выявить новые закономерности;

· решает для зависимой переменной задачи интерполяции внутри заданного интервала значений аргумента и прогнозирования (экстраполяции) за пределами интервала.

Однако, несмотря на большой теоретический интерес нахождения математической формулы для зависимости величин, на практике часто достаточно лишь определить, есть ли между ними связь и какова её сила.

Задача корреляционного анализа

Методом изучения взаимосвязи между изменяющимися величинами является корреляционный анализ.

Ключевым понятием корреляционного анализа, описывающим связь между переменными является корреляция (от английского correlation - согласование, связь, взаимосвязь, соотношение, взаимозависимость ).

Корреляционный анализ используется для обнаружения стохастической зависимости и оценки её силы (значимости) по величине коэффициентов корреляции и корреляционного отношения.

Если связь между переменными обнаружена, то говорят, что корреляция присутствует или что переменные коррелированны.

Показатели тесноты связи (коэффициент корреляции, корреляционное отношение) по модулю изменяются от 0(при отсутствии связи) до 1(при вырождении стохастической зависимости в функциональную).

Стохастическая связь полагается значимой (реальной), если абсолютная оценка коэффициента корреляции (корреляционного отношения) значима, то есть в 2-3 превышает стандартное отклонение оценки коэффициента.

Отметим, что в некоторых случаях связь может быть обнаружена между явлениями, не находящимися в очевидных причинно-следственных отношениях.

Например, для некоторых сельских районов выявлена прямая стохастическая связь между числом гнездящихся аистов и рождающихся детей. Весенний подсчёт аистов позволяет предсказывать, сколько в этом году родится детей, но зависимость, конечно, не доказывает известное поверье, и объясняется параллельными процессами:

· рождению детей обычно предшествует образование и обустройство новых семей с обзаведением сельскими домами и подворьями;

· расширение возможностей гнездования привлекает птиц и увеличивает их количество.

Подобная корреляция между признаками называется ложной(мнимой) корреляцией, хотя она может иметь прикладное значение.