Konsideroni një shembull të thjeshtë:
15:5=3
Në këtë shembull, ne kemi ndarë numrin natyror 15 plotësisht 3, nuk ka mbetur.

Ndonjëherë një numër natyror nuk mund të ndahet plotësisht. Për shembull, merrni parasysh problemin:
Në dollap kishte 16 lodra. Në grup ishin pesë fëmijë. Secili fëmijë mori të njëjtin numër lodrash. Sa lodra ka secili fëmijë?

Zgjidhja:
Ndani numrin 16 me 5 me një kolonë dhe merrni:

Ne e dimë se 16 herë 5 nuk është i pjesëtueshëm. Numri më i afërt më i vogël që pjesëtohet me 5 është 15 me një mbetje 1. Numrin 15 mund ta shkruajmë si 5⋅3. Si rezultat (16 - divident, 5 - pjesëtues, 3 - koeficient i pjesshëm, 1 - mbetje). Mora formulë pjesëtimi me mbetje të cilat mund të bëhen verifikimi i zgjidhjes.

a= b⋅ c+ d
a - i ndashëm
b - ndarës,
c - herësi jo i plotë,
d - mbetje.

Përgjigje: Çdo fëmijë do të marrë 3 lodra dhe një lodër do të mbetet.

Pjesa e mbetur e ndarjes

Pjesa e mbetur duhet të jetë gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.

Nëse pjesa e mbetur është zero gjatë pjesëtimit, atëherë dividenti është i pjestueshëm. plotësisht ose asnjë mbetje për pjesëtues.

Nëse, gjatë pjesëtimit, mbetja është më e madhe se pjesëtuesi, kjo do të thotë se numri i gjetur nuk është më i madhi. Ekziston një numër më i madh që do të ndajë dividentin dhe pjesa e mbetur do të jetë më e vogël se pjesëtuesi.

Pyetje mbi temën "Ndarja me mbetje":
A mund të jetë pjesa e mbetur më e madhe se pjesëtuesi?
Përgjigje: jo.

A mund të jetë pjesa e mbetur e barabartë me pjesëtuesin?
Përgjigje: jo.

Si të gjejmë dividentin me herësin e paplotë, pjesëtuesin dhe mbetjen?
Përgjigje: ne zëvendësojmë vlerat e herësit jo të plotë, pjesëtuesit dhe mbetjes në formulë dhe gjejmë dividentin. Formula:
a=b⋅c+d

Shembulli #1:
Kryeni pjesëtimin me një mbetje dhe kontrolloni: a) 258:7 b) 1873:8

Zgjidhja:
a) Ndani në një kolonë:

258 - i ndashëm,
7 - ndarës,
36 - herësi jo i plotë,
6 - mbetje. Mbetja më e vogël se pjesëtuesi 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Ndani në një kolonë:

1873 - i ndashëm,
8 - ndarës,
234 - herësi jo i plotë,
1 është pjesa e mbetur. Mbetja më e vogël se pjesëtuesi 1<8.

Zëvendësoni në formulë dhe kontrolloni nëse e kemi zgjidhur saktë shembullin:
8⋅234+1=1872+1=1873

Shembulli #2:
Çfarë mbetjesh fitohen gjatë pjesëtimit të numrave natyrorë: a) 3 b) 8?

Përgjigje:
a) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 3. Në rastin tonë, mbetja mund të jetë 0, 1 ose 2.
b) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 8. Në rastin tonë, mbetja mund të jetë 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ose 7.

Shembulli #3:
Cila është mbetja më e madhe që mund të fitohet duke pjesëtuar numrat natyrorë: a) 9 b) 15?

Përgjigje:
a) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 9. Por duhet të tregojmë mbetjen më të madhe. Kjo është, numri më i afërt me pjesëtuesin. Ky numër është 8.
b) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 15. Por duhet të tregojmë mbetjen më të madhe. Kjo është, numri më i afërt me pjesëtuesin. Ky numër është 14.

Shembulli #4:
Gjeni dividentin: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Zgjidhja:
a) Zgjidheni duke përdorur formulën:
a=b⋅c+d
(a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi i pjesshëm, d është mbetja.)
a:6=3 (pushim.4)
(a është dividenti, 6 është pjesëtuesi, 3 është herësi jo i plotë, 4 është mbetja.) Zëvendësoni numrat në formulë:
a=6⋅3+4=22
Përgjigje: a=22

b) Zgjidheni duke përdorur formulën:
a=b⋅c+d
(a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi i pjesshëm, d është mbetja.)
s:24=4 (pushim.11)
(c është dividenti, 24 është pjesëtuesi, 4 është herësi jo i plotë, 11 është mbetja.) Zëvendësoni numrat në formulë:
c=24⋅4+11=107
Përgjigje: s=107

Një detyrë:

Tela 4 m. duhet të pritet në copa 13 cm. Sa nga këto pjesë do të jenë?

Zgjidhja:
Së pari ju duhet të konvertoni metra në centimetra.
4m.=400cm.
Mund ta ndani me një kolonë ose në mendjen tuaj marrim:
400:13=30 (pushimi 10)
Le të kontrollojmë:
13⋅30+10=390+10=400

Përgjigje: Do të dalin 30 copë dhe do të mbeten 10 cm tela.

Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave- këto janë rregulla që lejojnë, pa pjesëtuar, të zbuloni relativisht shpejt nëse ky numër është i pjesëtueshëm me një të dhënë pa mbetje.
Disa nga shenjat e pjesëtueshmërisë mjaft e thjeshtë, disa më e vështirë. Në këtë faqe do të gjeni të dy shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave të thjeshtë, si p.sh., 2, 3, 5, 7, 11, dhe shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave të përbërë, si p.sh. 6 ose 12.
Shpresoj se ky informacion do të jetë i dobishëm për ju.
Gëzuar mësimin!

Shenja e pjesëtueshmërisë me 2

Kjo është një nga shenjat më të thjeshta të pjesëtueshmërisë. Tingëllon kështu: nëse rekordi i një numri natyror përfundon me një shifër çift, atëherë ai është çift (i pjesëtuar pa mbetje me 2), dhe nëse rekordi i një numri përfundon me një shifër tek, atëherë ky numër është tek.
Me fjalë të tjera, nëse shifra e fundit e një numri është 2 , 4 , 6 , 8 ose 0 - numri është i pjesëtueshëm me 2, nëse jo, atëherë nuk është i pjesëtueshëm
Për shembull, numrat: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 pjesëtohen me 2 sepse janë çift.
Numrat: 23 5 , 137 , 2303
nuk pjesëtohen me 2 sepse janë tek.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3

Kjo shenjë e pjesëtueshmërisë ka rregulla krejtësisht të ndryshme: nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë edhe numri pjesëtohet me 3; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 3, atëherë numri nuk pjesëtohet me 3.
Pra, për të kuptuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 3, mjafton të mbledhësh numrat që e përbëjnë atë.
Duket kështu: 3987 dhe 141 ndahen me 3, sepse në rastin e parë 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - i pjestueshëm pa mbetje me 3), dhe në të dytin 1+4+1= 6 (6:3=2 - gjithashtu pjesëtohet me 3 pa mbetje).
Por numrat: 235 dhe 566 nuk plotpjestohen me 3, sepse 2+3+5= 10 dhe 5+6+6= 17 (dhe ne e dimë se as 10 dhe as 17 nuk mund të pjesëtohen me 3 pa mbetje).

Pjesëtueshmëria me shenjën 4

Ky test i pjesëtueshmërisë do të jetë më i ndërlikuar. Nëse 2 shifrat e fundit të numrit formojnë një numër që pjesëtohet me 4 ose është 00, atëherë numri pjesëtohet me 4, përndryshe ky numër nuk pjesëtohet me 4 pa mbetje.
Për shembull: 1 00 dhe 3 64 pjesëtohen me 4, sepse në rastin e parë numri përfundon me 00 , dhe në të dytën 64 , i cili nga ana e tij plotpjesëtohet me 4 pa mbetje (64:4=16)
Numrat 3 57 dhe 8 86 nuk pjesëtohen me 4 sepse as 57 as 86 nuk janë të pjesëtueshëm me 4, dhe për këtë arsye nuk korrespondojnë me këtë kriter të pjesëtueshmërisë.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 5

Dhe përsëri, ne kemi një shenjë mjaft të thjeshtë të pjesëtueshmërisë: nëse rekordi i një numri natyror përfundon me shifrën 0 ose 5, atëherë ky numër pjesëtohet pa mbetje me 5. Nëse rekordi i numrit përfundon me një shifër tjetër, atëherë numri pa mbetje nuk pjesëtohet me 5.
Kjo do të thotë se çdo numër që mbaron me shifra 0 dhe 5 , për shembull 1235 5 dhe 43 0 , bien në rregull dhe pjesëtohen me 5.
Dhe, për shembull, 1549 3 dhe 56 4 nuk përfundojnë me 5 ose 0, që do të thotë se ato nuk mund të pjesëtohen me 5 pa një mbetje.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 6

Para nesh është një numër i përbërë 6, i cili është prodhimi i numrave 2 dhe 3. Prandaj, shenja e pjesëtueshmërisë me 6 është gjithashtu e përbërë: që një numër të plotpjesëtohet me 6, ai duhet të korrespondojë me dy shenja pjesëtueshmërie. në të njëjtën kohë: shenja e pjesëtueshmërisë me 2 dhe shenja e pjesëtueshmërisë me 3. Në të njëjtën kohë, vini re se një numër i tillë i përbërë si 4 ka një shenjë individuale të pjesëtueshmërisë, sepse është prodhim i numrit 2 në vetvete. . Por përsëri në testin për pjesëtueshmërinë me 6.
Numrat 138 dhe 474 janë çift dhe korrespondojnë me shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 (1+3+8=12, 12:3=4 dhe 4+7+4=15, 15:3=5), që do të thotë se janë plotpjesëtohen me 6. Por 123 dhe 447, edhe pse pjesëtohen me 3 (1+2+3=6, 6:3=2 dhe 4+4+7=15, 15:3=5), por janë tek, dhe për këtë arsye nuk korrespondojnë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 2, dhe për rrjedhojë nuk korrespondojnë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 6.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 7

Ky kriter i pjesëtueshmërisë është më kompleks: një numër pjesëtohet me 7 nëse rezultati i zbritjes së shifrës së fundit të dyfishuar nga numri i dhjetësheve të këtij numri është i pjesëtueshëm me 7 ose është i barabartë me 0.
Tingëllon mjaft konfuze, por në praktikë është e thjeshtë. Shihni vetë: numrin 95 9 pjesëtohet me 7 sepse 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 pjesëtohet me 7 pa mbetje). Për më tepër, nëse ka vështirësi me numrin e marrë gjatë transformimeve (për shkak të madhësisë së tij, është e vështirë të kuptohet nëse është i pjesëtueshëm me 7 apo jo, atëherë kjo procedurë mund të vazhdohet sa herë që ju duket e arsyeshme).
Për shembull, 45 5 dhe 4580 1 ka shenja pjesëtueshmërie me 7. Në rastin e parë, gjithçka është mjaft e thjeshtë: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Në rastin e dytë, ne do të bëjmë këtë: 4580 -2*1=4580-2=4578. Është e vështirë për ne të kuptojmë nëse 457 8 me 7, kështu që le të përsërisim procesin: 457 -2*8=457-16=441. Dhe përsëri do të përdorim shenjën e pjesëtueshmërisë, pasi kemi ende një numër treshifror përpara 44 1. Pra, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, d.m.th. 42 pjesëtohet me 7 pa mbetje, që do të thotë se edhe 45801 pjesëtohet me 7.
Dhe këtu janë numrat 11 1 dhe 34 5 nuk pjesëtohet me 7 sepse 11 -2*1=11-2=9 (9 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 7) dhe 34 -2*5=34-10=24 (24 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 7).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 8

Shenja e pjesëtueshmërisë me 8 tingëllon kështu: nëse 3 shifrat e fundit formojnë një numër që pjesëtohet me 8, ose është 000, atëherë numri i dhënë pjesëtohet me 8.
Numrat 1 000 ose 1 088 pjesëtohen me 8: i pari përfundon me 000 , i dyti 88 :8=11 (pjesëtohet me 8 pa mbetje).
Dhe këtu janë numrat 1 100 ose 4 757 nuk pjesëtohen me 8 sepse numrat 100 dhe 757 nuk pjesëtohen me 8 pa mbetje.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 9

Kjo shenjë e pjesëtueshmërisë është e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me 3: nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë numri është gjithashtu i pjesëtueshëm me 9; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 9, atëherë numri nuk pjesëtohet me 9.
Për shembull: 3987 dhe 144 pjesëtohen me 9 sepse në rastin e parë 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - i pjesëtueshëm pa mbetje me 9), dhe në të dytin 1+4+4= 9 (9:9=1 - gjithashtu i ndashëm pa mbetje me 9).
Por numrat: 235 dhe 141 nuk plotpjestohen me 9, sepse 2+3+5= 10 dhe 1+4+1= 6 (dhe ne e dimë se as 10 dhe as 6 nuk mund të pjesëtohen me 9 pa mbetje).

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100, 1000 dhe njësi të tjera bit

I kombinova këto kritere pjesëtueshmërie sepse ato mund të përshkruhen në të njëjtën mënyrë: një numër pjesëtohet me një njësi biti nëse numri i zerave në fund të numrit është më i madh ose i barabartë me numrin e zeros në një njësi biti të caktuar.
Me fjalë të tjera, për shembull, kemi numra si ky: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . të cilat të gjitha pjesëtohen me 1 0 ; 46400 dhe 867 000 pjesëtohen gjithashtu me 1 00 ; dhe vetëm një prej tyre - 867 000 pjesëtueshëm me 1 000 .
Çdo numër që përfundojnë me zero më pak se një njësi bit nuk janë të pjesëtueshëm me atë njësi bit, si p.sh. 600 30 dhe 7 93 mos ndaj 1 00 .

Shenja e pjesëtueshmërisë me 11

Për të kuptuar nëse një numër pjesëtohet me 11, duhet të merrni diferencën midis shumave të shifrave çift dhe tek të këtij numri. Nëse ky ndryshim është i barabartë me 0 ose i plotpjesëtueshëm me 11 pa mbetje, atëherë vetë numri pjesëtohet me 11 pa mbetje.
Për ta bërë më të qartë, unë propozoj të shqyrtojmë shembuj: 2 35 4 pjesëtohet me 11 sepse ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 gjithashtu plotpjesëtohet me 11 sepse ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Dhe këtu është 1 1 1 ose 4 35 4 nuk pjesëtohet me 11, pasi në rastin e parë marrim (1 + 1) - 1 =1, dhe në të dytën ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 12

Numri 12 është i përbërë. Shenja e saj e pjesëtueshmërisë është korrespondenca me shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 dhe me 4 në të njëjtën kohë.
Për shembull, 300 dhe 636 korrespondojnë si me shenjat e pjesëtueshmërisë me 4 (2 shifrat e fundit janë zero ose të pjesëtueshme me 4) dhe me shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 (shuma e shifrave dhe numri i parë dhe i dytë janë të pjesëtueshëm me 3. ), dhe për këtë arsye, ato pjesëtohen me 12 pa mbetje.
Por 200 ose 630 nuk pjesëtohen me 12, sepse në rastin e parë numri korrespondon vetëm me shenjën e pjesëtueshmërisë me 4, dhe në të dytin - vetëm me shenjën e pjesëtueshmërisë me 3. Por jo të dyja shenjat në të njëjtën kohë.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 13

Një shenjë e pjesëtueshmërisë me 13 është se nëse numri i dhjetësheve të një numri, i shtuar në njësitë e këtij numri shumëzuar me 4, është shumëfish i 13 ose i barabartë me 0, atëherë vetë numri është i pjesëtueshëm me 13.
Merrni për shembull 70 2. Pra 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 13), pra 70 2 pjesëtohet me 13 pa mbetje. Një shembull tjetër është numri 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Numri 130 plotpjesëtohet me 13 pa mbetje, që do të thotë se numri i dhënë korrespondon me shenjën e pjesëtueshmërisë me 13.
Nëse marrim numrat 12 5 ose 21 2, atëherë marrim 12 +4*5=32 dhe 21 +4*2=29 përkatësisht, dhe as 32 dhe as 29 nuk pjesëtohen me 13 pa mbetje, që do të thotë se numrat e dhënë nuk pjesëtohen me 13 pa mbetje.

Pjesëtueshmëria e numrave

Siç mund të shihet nga sa më sipër, mund të supozohet se cilido nga numrat natyrorë mund të përputhet me shenjën e tij individuale të pjesëtueshmërisë ose një shenjë "të përbërë" nëse numri është shumëfish i disa numrave të ndryshëm. Por siç tregon praktika, në thelb sa më i madh të jetë numri, aq më kompleks është atributi i tij. Ndoshta koha e shpenzuar për kontrollimin e kriterit të pjesëtueshmërisë mund të jetë e barabartë ose më e madhe se vetë pjesëtimi. Kjo është arsyeja pse ne zakonisht përdorim testet më të thjeshta të pjesëtueshmërisë.

Në këtë artikull, ne do të analizojmë ndarja e numrit të plotë me mbetjen. Le të fillojmë me parimin e përgjithshëm të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje, të formulojmë dhe vërtetojmë një teoremë mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me një mbetje dhe të gjurmojmë lidhjet midis dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes. Më pas, ne do të shpallim rregullat me të cilat kryhet ndarja e numrave të plotë me një mbetje dhe do të shqyrtojmë zbatimin e këtyre rregullave kur zgjidhim shembuj. Pas kësaj, ne do të mësojmë se si të kontrollojmë rezultatin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Navigimi i faqes.

Ideja e përgjithshme e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje

Pjesëtimin e numrave të plotë me mbetje do ta konsiderojmë si përgjithësim të pjesëtimit me mbetje të numrave natyrorë. Kjo për faktin se numrat natyrorë janë një përbërës i numrave të plotë.

Le të fillojmë me termat dhe shënimet që përdoren në përshkrim.

Për analogji me pjesëtimin e numrave natyrorë me një mbetje, supozojmë se rezultati i pjesëtimit me një mbetje prej dy numrash të plotë a dhe b (b nuk është i barabartë me zero) është dy numra të plotë c dhe d. Numrat a dhe b quhen i ndashëm dhe ndarës përkatësisht numri d është mbetje nga pjesëtimi i a me b, dhe numri i plotë c quhet private jo të plota(ose thjesht private nëse pjesa e mbetur është zero).

Le të biem dakord që pjesa e mbetur është një numër i plotë jo-negativ dhe vlera e tij nuk e kalon b-në, domethënë (takuam zinxhirë të ngjashëm pabarazish kur folëm për krahasimin e tre ose më shumë numrave të plotë).

Nëse numri c është një herës i pjesshëm dhe numri d është pjesa e mbetur e pjesëtimit të një numri të plotë a me një numër të plotë b, atëherë shkurtimisht do ta shkruajmë këtë fakt si barazi të formës a:b=c (mbetëse d) .

Vini re se kur një numër i plotë a ndahet me një numër të plotë b, pjesa e mbetur mund të jetë zero. Në këtë rast, themi se a është i pjesëtueshëm me b pa lënë gjurmë(ose plotësisht). Kështu, ndarja e numrave të plotë pa mbetje është një rast i veçantë i ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Vlen gjithashtu të thuhet se kur pjesëtojmë zeron me një numër të plotë, ne gjithmonë kemi të bëjmë me pjesëtimin pa mbetje, pasi në këtë rast herësi do të jetë i barabartë me zero (shiko seksionin mbi teorinë e pjesëtimit të zeros me një numër të plotë), dhe edhe pjesa e mbetur do të jetë e barabartë me zero.

Ne kemi vendosur për terminologjinë dhe shënimin, tani le të kuptojmë kuptimin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b gjithashtu mund të ketë kuptim. Për ta bërë këtë, konsideroni një numër të plotë negativ si një borxh. Le të imagjinojmë një situatë të tillë. Borxhi që përbën artikujt duhet të shlyhet nga b persona, duke dhënë të njëjtin kontribut. Vlera absolute e koeficientit jo të plotë c në këtë rast do të përcaktojë shumën e borxhit të secilit prej këtyre njerëzve, dhe pjesa e mbetur d do të tregojë se sa artikuj do të mbeten pas shlyerjes së borxhit. Le të marrim një shembull. Le të themi se 2 persona kanë borxh 7 mollë. Nëse supozojmë se secili prej tyre ka 4 mollë borxh, atëherë pas shlyerjes së borxhit do t'u mbetet edhe 1 mollë. Kjo situatë i përgjigjet barazisë (−7):2=−4 (mbetur 1) .

Ne nuk do t'i japim asnjë kuptim pjesëtimit me një mbetje të një numri të plotë arbitrar a me një numër të plotë negativ, por do t'ia lëmë të drejtën të ekzistojë.

Teorema e pjesëtueshmërisë për numrat e plotë me mbetje

Kur folëm për pjesëtimin e numrave natyrorë me një mbetje, zbuluam se dividenti a, pjesëtuesi b, herësi i pjesshëm c dhe mbetja d lidhen me barazinë a=b c+d. Numrat e plotë a , b , c dhe d ndajnë të njëjtën marrëdhënie. Kjo lidhje konfirmohet nga sa vijon teorema e pjesëtueshmërisë me mbetje.

Teorema.

Çdo numër i plotë a mund të përfaqësohet në një mënyrë unike përmes një numri të plotë dhe një numri jozero b në formën a=b q+r, ku q dhe r janë disa numra të plotë, dhe .

Dëshmi.

Le të vërtetojmë së pari mundësinë e paraqitjes së a=b·q+r .

Nëse numrat e plotë a dhe b janë të tillë që a është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me b, atëherë sipas përkufizimit ekziston një numër i plotë q i tillë që a=b q . Në këtë rast, barazia a=b q+r vlen për r=0 .

Tani do të supozojmë se b është një numër i plotë pozitiv. Ne zgjedhim një numër të plotë q në atë mënyrë që prodhimi b·q të mos e kalojë numrin a , dhe prodhimi b·(q+1) është tashmë më i madh se a. Domethënë, marrim q të tillë që pabarazitë b q

Mbetet të vërtetohet se a=b q+r mund të përfaqësohet për b negative.

Meqenëse moduli i numrit b në këtë rast është një numër pozitiv, atëherë ekziston një paraqitje për , ku q 1 është një numër i plotë dhe r është një numër i plotë që plotëson kushtet . Pastaj, duke supozuar q=−q 1 , marrim paraqitjen e dëshiruar a=b q+r për b negative.

Ne i drejtohemi provës së unike.

Supozojmë se përveç paraqitjes a=b q+r, q dhe r janë numra të plotë dhe , ekziston një paraqitje tjetër a=b q 1 +r 1 , ku q 1 dhe r 1 janë disa numra të plotë, dhe q 1 ≠ q dhe .

Pasi të kemi zbritur nga pjesa e majtë dhe e djathtë e barazisë së parë, përkatësisht, pjesët e majta dhe të djathta të barazisë së dytë, fitojmë 0=b (q−q 1)+r−r 1, që është ekuivalente me barazinë r− r 1 =b (q 1 − q) . Pastaj barazia e formës , dhe për shkak të vetive të modulit të numrit - dhe barazisë .

Nga kushtet dhe mund të konkludojmë se . Meqenëse q dhe q 1 janë numra të plotë dhe q≠q 1 , atëherë , prej nga arrijmë në përfundimin se . Nga pabarazitë e fituara dhe rrjedh se një barazi e formës e pamundur sipas supozimit tonë. Prandaj, nuk ka paraqitje tjetër të numrit a , përveç a=b·q+r .

Marrëdhëniet ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes

Barazia a=b c+d ju lejon të gjeni një dividend të panjohur a nëse pjesëtuesi b, herësi i pjesshëm c dhe mbetja d janë të njohura. Konsideroni një shembull.

Shembull.

Sa është e barabartë dividenti nëse pjesëtimi i tij me numrin e plotë −21 rezulton në një herës jo të plotë 5 dhe një mbetje prej 12?

Zgjidhje.

Duhet të llogarisim dividentin a kur njohim pjesëtuesin b=−21 , herësin e pjesshëm c=5 dhe mbetjen d=12 . Duke iu kthyer barazisë a=b c+d, marrim a=(−21) 5+12 . Duke vëzhguar, fillimisht ne kryejmë shumëzimin e numrave të plotë −21 dhe 5 sipas rregullit të shumëzimit të numrave të plotë me shenja të ndryshme, pas së cilës kryejmë mbledhjen e numrave të plotë me shenja të ndryshme: (−21) 5+12=−105+12 =−93 .

Përgjigje:

−93 .

Marrëdhëniet ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes shprehen edhe me barazi të formës b=(a−d):c , c=(a−d):b dhe d=a−b·c . Këto barazi na lejojnë të llogarisim përkatësisht pjesëtuesin, herësin e pjesshëm dhe mbetjen. Shpesh na duhet të gjejmë pjesën e mbetur të pjesëtimit të një numri të plotë a me një numër të plotë b kur dividenti, pjesëtuesi dhe herësi i pjesshëm janë të njohur, duke përdorur formulën d=a−b·c . Për të shmangur pyetje të mëtejshme, ne do të analizojmë një shembull të llogaritjes së pjesës së mbetur.

Shembull.

Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit të numrit të plotë −19 me numrin e plotë 3 nëse herësi i pjesshëm dihet të jetë −7.

Zgjidhje.

Për të llogaritur pjesën e mbetur të pjesëtimit, përdorim një formulë të formës d=a−b·c. Nga kushti kemi të gjitha të dhënat e nevojshme a=−19 , b=3 , c=−7 . Marrim d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (diferencën −19−(−21) e kemi llogaritur me rregullin e zbritjes së një negative numër i plotë).

Përgjigje:

Ndarja me një mbetje të numrave të plotë pozitivë, shembuj

Siç e kemi vërejtur tashmë më shumë se një herë, numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë. Prandaj, pjesëtimi me një mbetje të numrave të plotë pozitiv kryhet sipas të gjitha rregullave për pjesëtimin me një mbetje të numrave natyrorë. Është shumë e rëndësishme të jeni në gjendje të kryeni me lehtësi pjesëtimin me një pjesë të mbetur të numrave natyrorë, pasi është ajo që qëndron në themel të ndarjes jo vetëm të numrave të plotë pozitivë, por edhe në bazën e të gjitha rregullave të ndarjes me një mbetje të numrave të plotë arbitrar.

Nga këndvështrimi ynë, është më e përshtatshme për të kryer ndarjen me një kolonë, kjo metodë ju lejon të merrni edhe një koeficient jo të plotë (ose thjesht një koeficient) dhe një mbetje. Konsideroni një shembull të ndarjes me një pjesë të mbetur të numrave të plotë pozitivë.

Shembull.

Kryeni një pjesëtim me një mbetje prej 14671 me 54 .

Zgjidhje.

Le të kryejmë ndarjen e këtyre numrave të plotë pozitivë me një kolonë:

Koeficienti jo i plotë doli të jetë 271, dhe pjesa e mbetur është 37.

Përgjigje:

14 671:54=271 (pushimi 37) .

Rregulli i pjesëtimit me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ, shembuj

Le të formulojmë një rregull që ju lejon të kryeni ndarjen me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Herësi i pjesshëm i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv a me një numër të plotë negativ b është e kundërta e herësit të pjesshëm të pjesëtimit të a me modulin e b, dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të a me b është pjesa e mbetur e pjesëtimit me .

Nga ky rregull rezulton se herësi jo i plotë i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ është një numër i plotë jo pozitiv.

Le ta ribëjmë rregullin e shprehur në një algoritëm për ndarjen me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ:

• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, marrim herësin e paplotë dhe pjesën e mbetur. (Nëse në këtë rast mbetja doli të jetë e barabartë me zero, atëherë numrat origjinalë ndahen pa mbetje, dhe sipas rregullit për pjesëtimin e numrave të plotë me shenja të kundërta, herësi i dëshiruar është i barabartë me numrin e kundërt me herësin nga duke ndarë modulet.)
• Shkruajmë numrin e kundërt me herësin e paplotë të marrë dhe pjesën e mbetur. Këta numra janë, përkatësisht, herësi i dëshiruar dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit të plotë pozitiv origjinal me një numër të plotë negativ.

Le të japim një shembull të përdorimit të algoritmit për pjesëtimin e një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Shembull.

Pjestojeni me një mbetje të një numri të plotë pozitiv 17 me një numër të plotë negativ −5.

Zgjidhje.

Le të përdorim algoritmin e ndarjes me pjesën e mbetur të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Duke ndarë

Numri i kundërt i 3 është −3. Kështu, herësi i pjesshëm i kërkuar i pjesëtimit të 17 me -5 është -3, dhe pjesa e mbetur është 2.

Përgjigje:

17 :(−5)=−3 (pushimi 2).

Shembull.

Ndani 45 me -15 .

Zgjidhje.

Modulet e dividentit dhe pjesëtuesit janë përkatësisht 45 dhe 15. Numri 45 pjesëtohet me 15 pa mbetje, ndërsa herësi është 3. Prandaj, numri i plotë pozitiv 45 pjesëtohet me numrin e plotë negativ −15 pa mbetje, ndërsa herësi është i barabartë me numrin e kundërt me 3, pra −3. Në të vërtetë, sipas rregullit të ndarjes së numrave të plotë me shenja të ndryshme, kemi .

Përgjigje:

45:(−15)=−3 .

Pjesëtimi me një mbetje të një numri të plotë negativ me një numër të plotë pozitiv, shembuj

Le të formulojmë rregullin e pjesëtimit me një mbetje të një numri të plotë negativ nga një numër i plotë pozitiv.

Për të marrë një herës jo të plotë c nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b, duhet të merrni numrin e kundërt me herësin jo të plotë nga pjesëtimi i moduleve të numrave origjinal dhe të zbrisni një prej tij, pas së cilës llogaritet mbetja d. duke përdorur formulën d=a−b c.

Nga ky rregull i pjesëtimit me një mbetje del se herësi jo i plotë i pjesëtimit të një numri të plotë negativ me një numër të plotë pozitiv është një numër i plotë negativ.

Nga rregulli i shprehur ndjek algoritmi i ndarjes me pjesën e mbetur të një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b:

• Gjejmë modulet e dividendit dhe pjesëtuesit.
• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, marrim herësin e paplotë dhe pjesën e mbetur. (Nëse mbetja është zero, atëherë numrat e plotë origjinalë janë të pjesëtueshëm pa mbetje dhe herësi i dëshiruar është i barabartë me numrin e kundërt me herësin nga pjesëtimi i moduleve.)
• Shkruajmë numrin e kundërt me herësin jo të plotë të marrë dhe prej tij zbresim numrin 1. Numri i llogaritur është herësi i pjesshëm c i dëshiruar nga pjesëtimi i numrit të plotë negativ origjinal me një numër të plotë pozitiv.

Le të analizojmë zgjidhjen e shembullit, në të cilin përdorim algoritmin e pjesëtimit të shkruar me mbetje.

Shembull.

Gjeni herësin e pjesshëm dhe pjesën e mbetur të numrit të plotë negativ −17 pjesëtuar me numrin e plotë pozitiv 5 .

Zgjidhje.

Moduli i dividendit −17 është 17, dhe moduli i pjesëtuesit 5 është 5.

Duke ndarë 17 me 5 , marrim një herës jo të plotë 3 dhe një mbetje 2 .

E kundërta e 3 është −3. Zbrisni një nga −3: −3−1=−4 . Pra, herësi i dëshiruar jo i plotë është −4.

Mbetet për të llogaritur pjesën e mbetur. Në shembullin tonë a=−17 , b=5 , c=−4 , pastaj d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Kështu, herësi i pjesshëm i numrit të plotë negativ -17 i pjesëtuar me numrin e plotë pozitiv 5 është -4, dhe pjesa e mbetur është 3.

Përgjigje:

(−17):5=−4 (pushim. 3) .

Shembull.

Ndani numrin e plotë negativ −1 404 me numrin e plotë pozitiv 26 .

Zgjidhje.

Moduli i dividentit është 1404, moduli i pjesëtuesit është 26.

Ndani 1404 me 26 në një kolonë:

Meqenëse moduli i dividentit u nda me modulin e pjesëtuesit pa mbetje, numrat e plotë origjinalë ndahen pa mbetje, dhe herësi i dëshiruar është i barabartë me numrin e kundërt me 54, domethënë -54.

Përgjigje:

(−1 404):26=−54 .

Rregulla e ndarjes me një mbetje të numrave të plotë negativë, shembuj

Le të formulojmë rregullin e ndarjes me pjesën e mbetur të numrave të plotë negativë.

Për të marrë një herës jo të plotë c nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë negativ b, duhet të llogaritni herësin jo të plotë nga pjesëtimi i moduleve të numrave origjinalë dhe t'i shtoni një, pas kësaj, llogaritni pjesën e mbetur d duke përdorur formulën d. =a−b c .

Nga ky rregull del se herësi jo i plotë i pjesëtimit të numrave të plotë negativ është një numër i plotë pozitiv.

Le të rishkruajmë rregullin e shprehur në formën e një algoritmi për ndarjen e numrave të plotë negativë:

• Gjejmë modulet e dividendit dhe pjesëtuesit.
• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, marrim herësin e paplotë dhe pjesën e mbetur. (Nëse mbetja është zero, atëherë numrat e plotë origjinalë janë të pjesëtueshëm pa mbetje dhe herësi i dëshiruar është i barabartë me herësin e pjesëtimit të modulit të pjesëtuesit me modulin e pjesëtuesit.)
• I shtojmë një koeficientit jo të plotë që rezulton, ky numër është herësi jo i plotë i dëshiruar nga pjesëtimi i numrave të plotë negativë origjinalë.
• Llogaritni pjesën e mbetur duke përdorur formulën d=a−b·c .

Merrni parasysh zbatimin e algoritmit për ndarjen e numrave të plotë negativë kur zgjidhni një shembull.

Shembull.

Gjeni herësin e pjesshëm dhe pjesën e mbetur të numrit të plotë negativ −17 pjesëtuar me numrin e plotë negativ −5.

Zgjidhje.

Ne përdorim algoritmin e duhur të ndarjes me një mbetje.

Moduli i dividentit është 17 , moduli i pjesëtuesit është 5 .

Divizioni 17 herë 5 jep hersin jo të plotë 3 dhe mbetën 2.

Herësit jo të plotë 3 i shtojmë një: 3+1=4. Prandaj, herësi jo i plotë i dëshiruar i pjesëtimit të -17 me -5 është 4.

Mbetet për të llogaritur pjesën e mbetur. Në këtë shembull a=−17 , b=−5 , c=4 , pastaj d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Pra, herësi i pjesshëm i numrit të plotë negativ −17 i pjesëtuar me numrin e plotë negativ −5 është 4, dhe pjesa e mbetur është 3.

Përgjigje:

(−17):(−5)=4 (pushimi 3) .

Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje

Pasi të kryhet ndarja e numrave të plotë me një mbetje, është e dobishme të kontrolloni rezultatin. Verifikimi kryhet në dy faza. Në fazën e parë kontrollohet nëse pjesa e mbetur d është numër jo negativ dhe kontrollohet edhe gjendja. Nëse plotësohen të gjitha kushtet e fazës së parë të verifikimit, atëherë mund të vazhdoni në fazën e dytë të verifikimit, përndryshe mund të argumentohet se është bërë një gabim diku gjatë ndarjes me një mbetje. Në fazën e dytë kontrollohet vlefshmëria e barazisë a=b·c+d. Nëse kjo barazi është e vërtetë, atëherë ndarja me pjesën e mbetur është kryer saktë, përndryshe, diku është bërë një gabim.

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve në të cilët kontrollohet rezultati i pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje.

Shembull.

Kur pjesëtoni numrin -521 me -12, herësi i pjesshëm ishte 44 dhe pjesa e mbetur ishte 7, kontrolloni rezultatin.

Zgjidhje. −2 për b=−3, c=7, d=1. Ne kemi b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Pra, barazia a=b c+d është e pasaktë (në shembullin tonë a=−19 ).

Prandaj, ndarja me një mbetje është kryer gabimisht.