Berberi rruhet. Paradoksi i Bertrand Russell

Më e famshmja nga paradokset e zbuluara tashmë në shekullin e kaluar është antinomia e zbuluar nga Bertrand Russell dhe e komunikuar prej tij në një letër drejtuar G. Ferge. Russell zbuloi paradoksin e tij në lidhje me fushën e logjikës dhe matematikës në 1902. E njëjta antinomi u diskutua njëkohësisht në Göttingen nga matematikanët gjermanë Z. Zermelo (1871-1953) dhe D. Hilbert. Ideja ishte në ajër dhe publikimi i saj dha përshtypjen e një bombe shpërthyese Miroshnichenko P.N. Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Ky paradoks shkaktoi në matematikë, sipas Hilbertit, efektin e një katastrofe të plotë. Metodat më të thjeshta dhe më të rëndësishme logjike, konceptet më të zakonshme dhe më të dobishme, janë nën kërcënim. Doli se në teorinë e grupeve të Cantor-it, e cila u pranua me entuziazëm nga shumica e matematikanëve, ka kontradikta të çuditshme që janë të pamundura, ose të paktën shumë të vështira, për t'u hequr qafe. Paradoksi i Rasëllit i nxori në dritë këto kontradikta me një qartësi të veçantë. Matematikanët më të shquar të atyre viteve punuan në zgjidhjen e tij, si dhe në zgjidhjen e paradokseve të tjera të gjetura të teorisë së grupeve të Cantor-it. Menjëherë u bë e qartë se as në logjikë dhe as në matematikë, në të gjithë historinë e gjatë të ekzistencës së tyre, nuk ishte krijuar ndonjë gjë me vendosmëri që mund të shërbente si bazë për eliminimin e antinomisë. Është e qartë se një largim nga mënyrat e zakonshme të të menduarit ishte e nevojshme. Por nga ku dhe në çfarë drejtimi? Courant R., Robbins G. Çfarë është matematika? - Ch. II, § 4.5.

Sa radikal supozohej të ishte refuzimi i mënyrave të krijuara të teorizimit? Me studimin e mëtejshëm të antinomisë, bindja në nevojën për një qasje thelbësisht të re u rrit në mënyrë të qëndrueshme. Gjysmë shekulli pas zbulimit të tij, specialistët e themeleve të logjikës dhe matematikës L. Frenkel dhe I. Bar-Hillel tashmë deklaruan pa asnjë rezervë: , deri tani pa ndryshim, janë padyshim të pamjaftueshëm për këtë qëllim. Logjiciani modern amerikan H. Curry shkroi pak më vonë për këtë paradoks: “Për sa i përket logjikës së njohur në shekullin e 19-të, situata thjesht sfidoi shpjegimin, megjithëse, natyrisht, në epokën tonë të arsimuar mund të ketë njerëz që shohin (ose mendoj se shohin ), cili është gabimi” Miroshnichenko P.N. Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Paradoksi i Rasëllit në formën e tij origjinale lidhet me konceptin e një grupi ose një klase. Mund të flasim për grupe objektesh të ndryshme, për shembull, për grupin e të gjithë njerëzve ose për grupin e numrave natyrorë. Një element i grupit të parë do të jetë çdo person individual, një element i të dytit - çdo numër natyror. Është gjithashtu e mundur të konsiderohen vetë grupet si disa objekte dhe të flasim për grupe grupesh. Mund të prezantohen edhe koncepte të tilla si grupi i të gjitha grupeve ose grupi i të gjitha koncepteve. Në lidhje me çdo grup të marrë në mënyrë arbitrare, duket e arsyeshme të pyesim nëse është elementi i tij apo jo. Kompletet që nuk e përmbajnë veten si element do të quhen të zakonshme. Për shembull, grupi i të gjithë njerëzve nuk është një person, ashtu si grupi i atomeve nuk është një atom. Kompletet që janë elementë të duhur do të jenë të pazakonta. Për shembull, një grup që bashkon të gjitha grupet është një grup dhe për këtë arsye përmban veten si një element.

Meqenëse është një grup, mund të pyesni edhe nëse është i zakonshëm apo i pazakontë. Sidoqoftë, përgjigja është dekurajuese. Nëse është i zakonshëm, atëherë sipas përkufizimit ai duhet të përmbajë veten si një element, pasi përmban të gjitha grupet e zakonshme. Por kjo do të thotë se është një grup i pazakontë. Pra supozimi se grupi ynë është një grup i zakonshëm çon në një kontradiktë. Kështu që nuk mund të jetë normale. Nga ana tjetër, nuk mund të jetë as e pazakontë: një grup i pazakontë përmban veten si një element, dhe elementët e grupit tonë janë vetëm grupe të zakonshme. Si rezultat, arrijmë në përfundimin se grupi i të gjitha grupeve të zakonshme nuk mund të jetë as i zakonshëm dhe as i jashtëzakonshëm.

Kështu, bashkësia e të gjitha grupeve që nuk janë elemente të duhura është një element i duhur nëse dhe vetëm nëse nuk është një element i tillë. Kjo është një kontradiktë e qartë. Dhe është marrë në bazë të supozimeve më të besueshme dhe me ndihmën e hapave në dukje të padiskutueshme. Kontradikta thotë se një grup i tillë thjesht nuk ekziston. Por pse nuk mund të ekzistojë? Në fund të fundit, ai përbëhet nga objekte që plotësojnë një kusht të përcaktuar mirë, dhe vetë kushti nuk duket të jetë disi i jashtëzakonshëm ose i errët. Nëse një grup kaq i thjeshtë dhe i përcaktuar qartë nuk mund të ekzistojë, atëherë cili është, në fakt, ndryshimi midis grupeve të mundshme dhe të pamundura? Konkluzioni se grupi në shqyrtim nuk ekziston tingëllon i papritur dhe shqetësues. Ai e bën nocionin tonë të përgjithshëm të një grupi amorf dhe kaotik, dhe nuk ka asnjë garanci që nuk mund të shkaktojë disa paradokse të reja.

Paradoksi i Rasëllit është i shquar për përgjithësinë e tij ekstreme Courant R., Robbins G. Çfarë është matematika? - Ch. II, § 4.5. . Për ndërtimin e tij nuk nevojiten koncepte teknike komplekse, pasi në rastin e disa paradokseve të tjera mjaftojnë konceptet “kompleti” dhe “elementi i grupit”. Por kjo thjeshtësi flet vetëm për natyrën e saj themelore: ajo prek themelet më të thella të arsyetimit tonë për grupet, pasi nuk flet për disa raste të veçanta, por për grupe në përgjithësi.

Variante të tjera të paradoksit Paradoksi i Rasëllit nuk është specifikisht matematikor. Ai përdor konceptin e një grupi, por nuk prek ndonjë veti të veçantë që lidhet posaçërisht me matematikën.

Kjo bëhet e dukshme kur paradoksi riformulohet në terma thjesht logjikë. Nga çdo pronë, me të gjitha gjasat, dikush mund të pyesë nëse është e zbatueshme për vetveten apo jo. Vetia e të qenit i nxehtë, për shembull, nuk vlen për vetveten, pasi nuk është vetë i nxehtë; vetia e të qenit konkret gjithashtu nuk i referohet vetvetes, sepse është një veti abstrakte. Por vetia e të qenit abstrakt, të qenit abstrakt, është e zbatueshme për veten.

Le t'i quajmë këto veti të pazbatueshme për veten e tyre të pazbatueshme. A vlen vetia e të qenit i pazbatueshëm për veten? Rezulton se pazbatueshmëria është e pazbatueshme vetëm nëse nuk është. Kjo është, natyrisht, paradoksale. Versioni logjik, i lidhur me pronën, i antinomisë së Russell-it është po aq paradoksal sa versioni matematikor, i lidhur me grupin.

Russell propozoi gjithashtu versionin e mëposhtëm popullor të paradoksit të zbuluar prej tij Katrechko S.L. Paradoksi i Berberit të Russell-it dhe Dialektika e Platon-Aristotelit // Logjika moderne: Problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Le të imagjinojmë se këshilli i një fshati i përcaktoi detyrat e berberit në këtë mënyrë: të rruajë të gjithë burrat e fshatit që nuk rruhen vetë, dhe vetëm këta burra. A duhet të rruhet ai vetë? Nëse është kështu, do t'u referohet atyre që rruajnë veten, dhe atyre që rruajnë veten, ai nuk duhet të rruhet. Nëse jo, ai do t'i përkasë atyre që nuk rruhen vetë, dhe për këtë arsye ai do të duhet të rruhet vetë. Kështu vijmë në përfundimin se ky berber rruhet nëse dhe vetëm nëse nuk rruhet vetë. Kjo, natyrisht, është e pamundur.

Argumenti për berberin bazohet në supozimin se një berber i tillë ekziston. Kontradikta që rezulton do të thotë se ky supozim është i rremë, dhe nuk ka një fshatar të tillë që do t'i rruajë të gjithë ata dhe vetëm ata fshatarë që nuk rruhen vetë. Detyrat e një berberi nuk duken kontradiktore në shikim të parë, kështu që përfundimi se nuk mund të ketë një të tillë tingëllon disi i papritur. Megjithatë, ky përfundim nuk është paradoksal. Kushti që duhet të plotësojë berberi i fshatit është, në fakt, kontradiktor me vetveten dhe për rrjedhojë i pamundur. Nuk mund të ketë një floktar të tillë në fshat për të njëjtën arsye që nuk ka asnjë person në të që do të ishte më i vjetër se ai ose që do të lindte para lindjes së tij Miroshnichenko P.N. Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Argumenti për berberin mund të quhet pseudo-paradoks. Në rrjedhën e tij, është rreptësisht analoge me paradoksin e Russell-it, dhe kjo është ajo që e bën atë interesant. Por ende nuk është një paradoks i vërtetë.

Një shembull tjetër i të njëjtit pseudo-paradoks është argumenti i njohur i katalogut. Një bibliotekë e caktuar vendosi të hartonte një katalog bibliografik që do të përfshinte të gjithë ata dhe vetëm ata katalogë bibliografikë që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. A duhet që një drejtori i tillë të përfshijë një lidhje me vetveten? Është e lehtë të tregohet se ideja e krijimit të një katalogu të tillë nuk është e realizueshme; ai thjesht nuk mund të ekzistojë, sepse duhet të përfshijë njëkohësisht një referencë për veten dhe jo të përfshijë.

Është interesante të theksohet se katalogimi i të gjitha drejtorive që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre mund të mendohet si një proces i pafund dhe i pafund. Le të themi se në një moment u përpilua një drejtori, le të themi K1, duke përfshirë të gjitha drejtoritë e tjera që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. Me krijimin e K1, u shfaq një drejtori tjetër që nuk përmban një lidhje me vetveten. Meqenëse qëllimi është të bëhet një katalog i plotë i të gjitha drejtorive që nuk përmendin veten e tyre, është e qartë se K1 nuk është zgjidhja. Ai nuk përmend një nga ato drejtori -- vetë. Duke përfshirë këtë përmendje të tij në K1, ne marrim katalogun K2. Ai përmend K1, por jo vetë K2. Duke shtuar një përmendje të tillë në K2, marrim KZ, i cili përsëri nuk është i plotë për faktin se nuk e përmend veten. Dhe pa fund.

Mund të përmendet edhe një paradoks logjik - paradoksi i kryebashkiakëve holandezë, i ngjashëm me paradoksin e berberit. Çdo bashki në Holandë duhet të ketë një kryetar bashkie dhe dy komuna të ndryshme nuk mund të kenë të njëjtin kryetar. Ndonjëherë del se kryetari nuk jeton në komunën e tij. Le të supozojmë se është miratuar një ligj me të cilin një territor S u ndahet ekskluzivisht kryetarëve të tillë që nuk jetojnë në komunat e tyre dhe i drejton të gjithë këta kryetarë komunash të vendosen në këtë territor. Supozoni më tej se ka kaq shumë nga këta kryetarë bashkie sa që vetë territori S përbën një bashki më vete. Ku duhet të banojë kryetari i kësaj Bashkie Speciale? Arsyetimi i thjeshtë tregon se nëse kryetari i një Bashkie të Veçantë jeton në territorin S, atëherë ai nuk duhet të jetojë atje dhe anasjelltas, nëse nuk banon në territor, atëherë duhet të jetojë në këtë territor. Që ky paradoks është analog me paradoksin e berberit është mjaft e qartë.

Russell ishte një nga të parët që propozoi një zgjidhje për paradoksin "e tij". Zgjidhja që ai propozoi u quajt "teoria e tipit": një grup (klasë) dhe elementët e tij i përkasin llojeve të ndryshme logjike, lloji i një grupi është më i lartë se lloji i elementeve të tij, gjë që eliminon paradoksin e Rasëllit (teoria e tipit është përdorur edhe nga Russell për të zgjidhur paradoksin e famshëm "Gënjeshtar"). Sidoqoftë, shumë matematikanë nuk e pranuan zgjidhjen e Russell, duke besuar se ajo vendos kufizime shumë të rënda në deklaratat matematikore të Katrechko S.L. Paradoksi i Berberit të Russell-it dhe Dialektika e Platon-Aristotelit // Logjika moderne: Problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - Shën Petersburg, 2002. - S. 239-242 ..

Situata është e ngjashme me paradokset e tjera logjike. "Antinomitë e logjikës," shkruan von Wright, "na kanë hutuar që nga zbulimi i tyre dhe ndoshta do të na shqetësojnë gjithmonë. Mendoj se duhet t'i konsiderojmë jo aq si probleme që presin zgjidhje, por si lëndë të parë të pashtershme për t'u menduar. Ato janë të rëndësishme sepse të menduarit rreth tyre prek çështjet më themelore të të gjithë logjikës, dhe për rrjedhojë të gjithë të menduarit” Wrigt G.Kh. sfond. Logjika dhe filozofia në shekullin XX // Vopr. filozofisë. 1992. Nr. 8.

Të gjitha grupet që nuk e përmbajnë veten si element të tyre. A e përmban ai veten si një element? Nëse po, atëherë, sipas përkufizimit, nuk duhet të jetë një element - një kontradiktë. Nëse jo - atëherë, sipas përkufizimit, duhet të jetë një element - përsëri një kontradiktë.

Kontradikta në paradoksin e Russell-it lind nga përdorimi në arsyetim i konceptit të brendshëm kontradiktor. grupe të të gjitha grupeve dhe idetë për mundësinë e zbatimit të pakufizuar të ligjeve të logjikës klasike gjatë punës me grupe. Janë propozuar disa mënyra për të kapërcyer këtë paradoks. Më e famshmja është paraqitja e një formalizimi të qëndrueshëm për teorinë e grupeve, në lidhje me të cilën do të ishin të pranueshme të gjitha mënyrat "vërtet të nevojshme" (në një farë kuptimi) të funksionimit me grupe. Në kuadër të një formalizimi të tillë, deklarata për ekzistencën grupe të të gjitha grupeve do të ishte i pakalueshëm.

Në të vërtetë, supozoni se grupi i të gjitha grupeve ekziston. Pastaj, sipas aksiomës së përzgjedhjes, duhet të ekzistojë edhe një bashkësi, elementet e së cilës janë ato dhe vetëm ato bashkësi që nuk e përmbajnë veten si element. Sidoqoftë, supozimi i ekzistencës së një grupi çon në paradoksin e Russell. Prandaj, në funksion të konsistencës së teorisë, deklarata për ekzistencën e një grupi nuk është e derivueshme në këtë teori, e cila kërkohej të vërtetohej.

Gjatë zbatimit të programit të përshkruar të "ruajtjes" së teorisë së grupeve, u propozuan disa aksiomatizime të mundshme të saj (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria e Neumann-Bernays-Gödel NBG, etj.), megjithatë, asnjë provë nuk ka është gjetur për ndonjë nga këto teori të deritanishme konsistencë. Për më tepër, siç tregoi Gödel duke zhvilluar një numër teoremash të paplotësisë, një provë e tillë nuk mund të ekzistojë (në një farë kuptimi).

Një tjetër reagim ndaj zbulimit Paradoksi i Rasëllit u shfaq intuitizmi i L. E. Ya. Brouwer.

Opsionet e formulimit

Ka shumë formulime popullore të këtij paradoksi. Njëri prej tyre tradicionalisht quhet paradoksi i berberit dhe shkon kështu:

Një berber fshati u urdhërua "Rruhet këdo që nuk rruhet dhe mos rruhet këdo që rruhet". Si duhet të sillet me veten?

Një tjetër opsion:

Një vend nxori një dekret: “Kryetarët e të gjitha qyteteve nuk duhet të jetojnë në qytetin e tyre, por në një qytet të veçantë kryebashkiakësh”. Ku duhet të jetojë kryetari i bashkisë së kryetarëve?

Dhe një tjetër:

Një bibliotekë e caktuar vendosi të hartonte një katalog bibliografik që do të përfshinte të gjithë ata dhe vetëm ata katalogë bibliografikë që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. A duhet që një drejtori i tillë të përfshijë një lidhje me vetveten?

Shiko gjithashtu

Letërsia

• Courant R, Robbins G.Çfarë është matematika? - Ch. II, § 4.5
• Miroshnichenko P. N.Çfarë e shkatërroi paradoksin e Rasëllit në sistemin e Frege? // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe zbatimit në shkencë. - SPb., 2000. - S. 512-514.
• Katrechko S. L. Paradoksi i Berberit i Russell dhe dialektika e Platonit - Aristoteli // Logjika moderne: problemet e teorisë, historisë dhe aplikimeve në shkencë. - Shën Petersburg, 2002. - S. 239-242.
• Martin Gardner Epo me mend çfarë! = Ah! goca. Paradokse për enigmë dhe kënaqësi. - M .: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 f.

Shënime

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Russell Paradox" në fjalorë të tjerë:

- (Greqisht paradokse të papritura, të çuditshme) në një kuptim të gjerë: një deklaratë që bie ashpër në kundërshtim me opinionin e pranuar përgjithësisht, të vendosur, mohimi i asaj që duket se është "pa dyshim e saktë"; në një kuptim më të ngushtë, dy pohime të kundërta, për ... ... Enciklopedi Filozofike

Paradoksi i Russell-it, një antinomi teorike e grupeve e zbuluar në 1903 nga Bertrand Russell dhe më vonë e rizbuluar në mënyrë të pavarur nga E. Zermelo, duke demonstruar papërsosmërinë e gjuhës së teorisë naive të grupeve të G. Cantor-it dhe jo mospërputhjen e saj. Antinomia ... ... Wikipedia

paradoks- PARADOKS (nga greqishtja para jashtë dhe mendimi doxa). 1) Në një kuptim të gjerë (jologjik), gjithçka që në një mënyrë ose në një tjetër bie ndesh (ndryshon) nga mendimi i pranuar përgjithësisht, i konfirmuar nga tradita, ligji, rregulli, norma ose sensi i përbashkët. ... Enciklopedia e Epistemologjisë dhe Filozofisë së Shkencës

Pozicioni, i cili në fillim nuk është ende i dukshëm, por në kundërshtim me pritshmëritë, shpreh të vërtetën. Në logjikën e lashtë, një paradoks ishte një deklaratë, paqartësia e së cilës i referohet kryesisht korrektësisë ose pasaktësisë së saj. NË…… Enciklopedi Filozofike

- (paradoksi i klasës së të gjitha klasave të bazuara mirë) një paradoks në teorinë e grupeve, që është një përgjithësim i paradoksit të Burali Fortit. I quajtur pas matematikanit rus D. Mirimanov. Përmbajtja 1 Formulimi ... Wikipedia

Demonstron se supozimi i ekzistencës së një grupi të të gjithë numrave rendorë çon në kontradikta dhe, për rrjedhojë, teoria e bashkësive, në të cilën është e mundur ndërtimi i një grupi të tillë, është kontradiktore. Përmbajtja 1 Formulimi 2 Historia ... Wikipedia

- (nga paradokset greke i papritur, i çuditshëm) gjykim (deklaratë, fjali) i papritur, i pazakontë (të paktën në formë), në kundërshtim të fortë me opinionin e pranuar përgjithësisht, tradicional për këtë çështje. Në këtë kuptim, epiteti "paradoksal" ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Paradoksi i Cantorit është një paradoks i teorisë së grupeve, i cili demonstron se supozimi i ekzistencës së një grupi të të gjitha grupeve çon në kontradikta dhe, për rrjedhojë, një teori është e paqëndrueshme në të cilën ndërtimi i një grupi të tillë ... ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih Paradoks (kuptime). Robert Boyle. Skema e provës se një makinë me lëvizje të përhershme nuk ekziston Paradoks ... Wikipedia

libra

• Rënia e konceptit metafizik të universalitetit të fushës lëndore në logjikë. Polemika Frege-Schroeder, B. V. Biryukov. Ky libër diskuton historinë dramatike të logjikës matematikore të lidhur me konceptin e "universit të arsyetimit" - fusha e lëndës në logjikë. Konflikti i pikëpamjeve mes dy...

Paradoksi i Rasëllit (Antinomia e Rasëllit, gjithashtu Paradoksi Russell-Zermelo) - një paradoks teorik i grupeve (antinomia) i zbuluar në 1901 nga Bertrand Russell, duke demonstruar mospërputhjen e sistemit logjik të Frege, i cili ishte një përpjekje e hershme për të zyrtarizuar teorinë naive të grupeve të Georg Cantor. Zbuluar më parë, por jo botuar nga Ernst Zermelo.

Në gjuhën joformale, paradoksi mund të përshkruhet si më poshtë. Le të biem dakord ta quajmë një grup "të zakonshëm" nëse nuk është elementi i tij. Për shembull, grupi i të gjithë njerëzve është "i zakonshëm", pasi vetë grupi nuk është një person. Një shembull i një grupi "të pazakonshëm" është grupi i të gjitha grupeve, pasi ai vetë është një grup, dhe për rrjedhojë është vetë një element i duhur.

Mund të konsiderohet një grup i përbërë vetëm nga të gjitha grupet "të zakonshme", një grup i tillë quhet Komplet Russell . Një paradoks lind kur përpiqemi të përcaktojmë nëse ky grup është "i zakonshëm" apo jo, domethënë nëse e përmban veten si element. Ka dy mundësi.

• Nga njëra anë, nëse është "i zakonshëm", atëherë ai duhet të përfshijë veten si një element, pasi sipas përkufizimit ai përbëhet nga të gjitha grupet "të zakonshme". Por atëherë nuk mund të jetë "e zakonshme", pasi grupet "të zakonshme" janë ato që nuk përfshijnë vetveten.
• Mbetet të supozohet se ky grup është "i pazakontë". Sidoqoftë, ai nuk mund të përfshijë veten si një element, pasi sipas përkufizimit ai duhet të përbëhet vetëm nga grupe "të zakonshme". Por nëse nuk e përfshin veten si element, atëherë është një grup "i zakonshëm".

Në çdo rast, rezulton një kontradiktë.

YouTube enciklopedik

1 / 5

✪ Leksioni 1. Përkufizimi i një grupi. Ligjet e De Morganit. Paradoksi i Rasëllit. Teorema e Weierstrass

✪ 3 Paradoksi i Rasëllit

✪ Këshilla Bertrand Russell për brezat e ardhshëm

✪ Leksioni 21: Teoria naive e grupeve dhe logjika fuzzy

✪ Paradoksi i Monty Hall - Numberphile

Titra

Formulimi i paradoksit

Paradoksi i Rasëllit mund të formulohet në teorinë naive të grupeve. Prandaj, teoria naive e grupeve është jokonsistente. Një fragment kontradiktor i teorisë naive të grupeve, i cili mund të përkufizohet si një teori e rendit të parë me një lidhje anëtarësie binare ∈ (\displaystyle \in ) dhe skema e përzgjedhjes: për çdo formulë logjike me një ndryshore të lirë në teorinë naive të grupeve ka një aksiomë

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \ekziston y\për të gjitha x(x\në y\iff P(x))).

Kjo skemë aksioma thotë se për çdo kusht P (x) (\displaystyle P(x)) ka shume y , (\displaystyle y,) të përbërë nga ato x , (\displaystyle x,) të cilat plotësojnë kushtin P (x) (\displaystyle P(x)) .

Kjo është e mjaftueshme për të formuluar paradoksin e Rasëllit si më poshtë. Le te jete P (x) (\displaystyle P(x)) ka një formulë x ∉ x. (\stil ekrani x\jo në x.)(d.m.th P (x) (\displaystyle P(x)) do të thotë se shumë x (\displaystyle x) nuk e përmban veten si një element, ose, në terminologjinë tonë, është një grup "i zakonshëm".) Pastaj, me aksiomën e përzgjedhjes, ekziston një grup y (\displaystyle y)(Russell set) i tillë që

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \përgjithë x(x\në y\iff x\jo në x)).

Meqenëse kjo është e vërtetë për çdo x , (\displaystyle x,) kjo është e vërtetë edhe për x = y. (\displaystyle x=y.) dmth

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\në y\nëse y\jo në y.)

Nga kjo rrjedh se një kontradiktë konkludohet në teorinë naive të grupeve.

Paradoksi nuk do të lindte nëse do të supozonim se grupi Russell nuk ekziston. Megjithatë, ky supozim në vetvete është paradoksal: në teorinë e grupeve të Cantor-it, besohet se çdo veti përcakton grupin e elementeve që plotësojnë këtë veti. Meqenëse vetia e një grupi për të qenë "i zakonshëm" duket e mirëpërcaktuar, duhet të ketë një grup të të gjitha grupeve "të zakonshme". Kjo teori tani quhet teoria naive e grupeve .

Versionet popullore të paradoksit

Ka disa versione të paradoksit të Russell-it. Ndryshe nga vetë paradoksi, ato, si rregull, nuk mund të shprehen në një gjuhë zyrtare.

Paradoks gënjeshtar

Paradoksi i Rasëllit lidhet me paradoksin e gënjeshtarit të njohur që nga kohërat e lashta, që është pyetja e mëposhtme. Duke dhënë një deklaratë:

Kjo deklaratë është e rreme.

A është kjo deklaratë e vërtetë apo jo? Është e lehtë të tregohet se kjo deklaratë nuk mund të jetë as e vërtetë dhe as e rreme.

Russell shkroi për këtë paradoks:

Vetë Russell e shpjegoi paradoksin gënjeshtar në këtë mënyrë. Për të thënë diçka për thëniet, duhet së pari të përkufizohet vetë koncepti i "thënies", duke mos përdorur koncepte që ende nuk janë përcaktuar. Kështu, mund të përkufizohen deklaratat e llojit të parë të cilat nuk thonë asgjë për deklaratat. Pastaj mund të përcaktohen pohime të llojit të dytë që flasin për pohime të llojit të parë, e kështu me radhë. Deklarata "kjo deklaratë është e rreme" nuk bie në asnjë nga këto përkufizime, dhe kështu nuk ka kuptim.

Paradoksi i berberit

Russell përmend versionin e mëposhtëm të paradoksit, të formuluar si një enigmë që dikush i sugjeroi atij.

Le të jetojë në një fshat një berber, i cili rruan të gjithë banorët e fshatit që nuk rruhen dhe vetëm ata. A rruhet vetë berberi?

Çdo përgjigje çon në një kontradiktë. Russell vëren se ky paradoks nuk është i barabartë me paradoksin e tij dhe zgjidhet lehtësisht. Në të vërtetë, ashtu si paradoksi i Rasëllit tregon se nuk ka grup Russell, paradoksi i berberit tregon se një berber i tillë nuk ekziston. Ndryshimi është se nuk ka asgjë për t'u habitur në mosekzistencën e një berberi të tillë: jo për asnjë pronë nuk ka një berber që rruan njerëzit me këtë pronë. Megjithatë, fakti që nuk ka një grup elementesh të dhëna nga disa veti të përcaktuara mirë bie ndesh me idenë naive të grupeve dhe kërkon shpjegim.

Opsioni për drejtoritë

Formulimi më i afërt me paradoksin e Rasëllit është versioni i mëposhtëm i prezantimit të tij:

Katalogët bibliografikë janë libra që përshkruajnë libra të tjerë. Disa drejtori mund të përshkruajnë drejtori të tjera. Disa drejtori madje mund të përshkruajnë veten e tyre. A është e mundur të katalogohen të gjithë katalogët që nuk e përshkruajnë veten e tyre?

Një paradoks lind kur përpiqemi të vendosim nëse kjo direktori duhet të përshkruajë vetveten. Pavarësisht afërsisë së dukshme të formulimeve (ky është në të vërtetë paradoksi i Rasëllit, në të cilin përdoren katalogë në vend të grupeve), ky paradoks, si paradoksi i berberit, zgjidhet thjesht: një katalog i tillë nuk mund të përpilohet.

Paradoksi Grelling-Nelson

Ky paradoks u formulua nga matematikanët gjermanë Kurt Grelling dhe Leonard Nelson në 1908. Është në fakt një përkthim i versionit origjinal të paradoksit të Russell-it, i deklaruar prej tij në termat e logjikës së kallëzuesit (shih letrën drejtuar Frege), në një gjuhë jo matematikore.

Le ta quajmë mbiemrin reflektuese nëse ky mbiemër ka vetinë e përcaktuar nga ky mbiemër. Për shembull, mbiemrat "rusisht", "shumërrokësh" - kanë vetitë që përcaktojnë (mbiemri "rus" është rus, dhe mbiemri "polyrrokësh" është shumërrokësh), pra janë refleksiv, dhe mbiemrat "gjermanisht", "njërrokëshe" - janë jorefleksive. Mbiemri "jo-refleksiv" do të jetë refleksiv apo jo?

Çdo përgjigje çon në një kontradiktë. Ndryshe nga paradoksi i berberit, zgjidhja e këtij paradoksi nuk është aq e thjeshtë. Nuk mund të thuhet thjesht se një mbiemër i tillë ("jorefleksiv") nuk ekziston, pasi ne sapo e kemi përcaktuar. Paradoksi lind nga fakti se përkufizimi i termit "jorefleksiv" është i pasaktë në vetvete. Përkufizimi i këtij termi varet nga vlerat mbiemri për të cilin zbatohet. Dhe duke qenë se fjala "jo-refleksiv" është në vetvete një mbiemër në përkufizim, pason një rreth vicioz.

Histori

Russell ndoshta zbuloi paradoksin e tij në maj ose qershor 1901. Sipas vetë Russell-it, ai po përpiqej të gjente një gabim në provën e Cantor-it për faktin paradoksal (i njohur si Paradoksi i Cantor-it) se nuk ka një numër kardinal maksimal (ose grup i të gjitha grupeve). Si rezultat, Russell mori një paradoks më të thjeshtë. Russell ua komunikoi paradoksin e tij logjikësve të tjerë, veçanërisht Whitehead dhe Peano. Në letrën e tij drejtuar Frege më 16 qershor 1902, ai shkroi se kishte gjetur një kontradiktë në " Koncepti i llogaritjes” - një libër nga Frege, botuar në 1879. Ai parashtroi paradoksin e tij në aspektin e logjikës dhe më pas në aspektin e teorisë së grupeve, duke përdorur përkufizimin e Frege për një funksion:

Kam përjetuar vështirësi vetëm në një vend. Ju pretendoni (fq. 17) se një funksion mund të veprojë në vetvete si një i panjohur. Kështu mendoja edhe unë. Por tani kjo pikëpamje më duket e dyshimtë për shkak të kontradiktës së mëposhtme. Le te jete w kallëzues: "të jetë një kallëzues që nuk mund të zbatohet në vetvete." Mund w të jetë i zbatueshëm në vetvete? Çdo përgjigje nënkupton të kundërtën. Prandaj, duhet të konkludojmë se w nuk është kallëzues. Në mënyrë të ngjashme, nuk ka asnjë klasë (në tërësi) të atyre klasave të cilat, të marra në tërësi, nuk i përkasin vetes. Nga kjo konkludoj se ndonjëherë një grup i caktuar nuk formon një formacion holistik.

Teksti origjinal (gjermanisht)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege e mori letrën pikërisht në kohën kur përfundoi punën në vëllimin e dytë të Ligjeve Themelore të Aritmetikës (gjermanisht: Grundgesetze der Arithmetik). Frege nuk pati kohë për të korrigjuar teorinë e tij të grupeve. Ai shtoi vetëm një shtojcë në vëllimin e dytë me një ekspoze dhe analizën e tij të paradoksit, e cila filloi me vërejtjen e famshme:

Nuk ka gjasa që një shkencëtar t'i ndodhë diçka më e keqe sesa nëse i hiqet toka nga poshtë këmbëve pikërisht në momentin kur ai përfundon punën e tij. Pikërisht në këtë pozicion e gjeta veten kur mora një letër nga Bertrand Russell, kur puna ime tashmë kishte përfunduar.

Teksti origjinal (gjermanisht)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. Në diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\style ekrani z\in \(x\pika P(x)\)\iff P(z)),

i cili thoshte se është e mundur të ndërtohet një grup elementësh që kënaqin pronën P (x) , (\displaystyle P(x),) ai sugjeroi përdorimin e aksiomës së mëposhtme:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\pika P(x)\)),

duke eliminuar kështu mundësinë që një grup të jetë anëtar i vetvetes. Megjithatë, një [ cila?] modifikimi i paradoksit të Rasëllit dëshmon se kjo aksiomë çon gjithashtu në një kontradiktë.

Russell botoi paradoksin e tij në librin e tij " Parimet e Matematikës" në 1903 .

Më poshtë janë disa nga qasjet e mundshme për të ndërtuar një sistem aksiomash të lira nga paradokset e Russell-it.

Teoria e tipit të Russelit

Vetë Russell ishte i pari që propozoi një teori pa paradoksin e Russell-it. Ai zhvilloi një teori të llojeve, versioni i parë i së cilës u shfaq në librin e Russell dhe Whitehead Parimet e Matematikës" në 1903 . Kjo teori bazohet në idenë e mëposhtme: objektet e thjeshta në këtë teori kanë tipin 0, bashkësitë e objekteve të thjeshta kanë tipin 1, grupet e grupeve të objekteve të thjeshta kanë tipin 2, e kështu me radhë. Kështu, asnjë grup nuk mund ta ketë veten si element. As grupi i të gjitha grupeve dhe as grupi Russell nuk mund të përkufizohen në këtë teori. Një hierarki e ngjashme paraqitet për deklaratat dhe vetitë. Pohimet për objektet e thjeshta i përkasin tipit 1, pohimet për vetitë e pohimeve të tipit 1 i përkasin tipit 2, e kështu me radhë. Në përgjithësi, një funksion, sipas përkufizimit, është i një lloji më të lartë se variablat nga të cilët varet. Kjo qasje ju lejon të hiqni qafe jo vetëm paradoksin e Russell, por edhe nga shumë paradokse të tjera, duke përfshirë paradoksin e gënjeshtarit (), paradoksin Grelling-Nelson, paradoksin Burali-Forti. Russell dhe Whitehead treguan se si të reduktohet e gjithë matematika në aksiomat e teorisë së tipit në tre vëllimet e tyre Principia Mathematica, botuar në 1910-1913.

Megjithatë, kjo qasje hasi në vështirësi. Në veçanti, lindin probleme në përcaktimin e koncepteve të tilla si kufiri më i mirë i sipërm për grupet e numrave realë. Sipas përkufizimit, një kufi i sipërm më i vogël është më i vogli nga të gjithë kufijtë e sipërm. Prandaj, gjatë përcaktimit të kufirit më të vogël të sipërm, përdoret grupi i numrave realë. Prandaj, kufiri më i vogël i sipërm është një objekt i një lloji më të lartë se numrat realë. Kjo do të thotë se ai vetë nuk është një numër real. Për të shmangur këtë, ishte e nevojshme të futej i ashtuquajturi aksioma e reduktueshmërisë. Për shkak të arbitraritetit të saj, shumë matematikanë refuzuan të pranonin aksiomën e reduktueshmërisë dhe vetë Russell e quajti atë një defekt në teorinë e tij. Për më tepër, teoria doli të ishte shumë komplekse. Si rezultat, ai nuk ka marrë aplikim të gjerë.

Teoria e grupeve Zermelo-Fraenkel

Qasja më e njohur për aksiomatizimin e matematikës është teoria e grupeve Zermelo-Fraenkel (ZF), e cila filloi si një zgjerim i Teoritë e Zermelos(1908). Ndryshe nga Russell, Zermelo ruajti parimet logjike dhe ndryshoi vetëm aksiomat e teorisë së grupeve. Ideja e kësaj qasjeje është që lejohet të përdoren vetëm grupe të ndërtuara nga grupe të ndërtuara tashmë duke përdorur një grup të caktuar aksiomash. Për shembull, një nga aksiomat e Zermelos thotë se është e mundur të ndërtohet një grup i të gjitha nëngrupeve të një bashkësie të caktuar (aksioma Boolean). Një aksiomë tjetër ( skema e përzgjedhjes) thotë se nga çdo grup është e mundur të zgjidhet një nëngrup elementësh që kanë një veti të caktuar. Ky është ndryshimi kryesor midis teorisë së grupeve Zermelo dhe teorisë naive të grupeve: në teorinë naive të grupeve, mund të merrni parasysh grupin e të gjithë elementëve që kanë një veti të caktuar, dhe në teorinë e grupeve Zermelo, mund të zgjidhni vetëm një nëngrup nga një grup tashmë i ndërtuar. . Në teorinë e grupeve Zermelo, është e pamundur të ndërtohet një grup   e të gjitha bashkësive. Kështu, grupi Russell nuk mund të ndërtohet as atje.

Klasat

Ndonjëherë në matematikë është e dobishme të merren parasysh të gjitha grupet si një e tërë, për shembull, të merret parasysh tërësia e të gjitha grupeve. Për ta bërë këtë, teoria e grupeve mund të zgjerohet me nocionin e klasës, si, për shembull, në sistemin Neumann- Bernays- Gödel (NBG). Në këtë teori, mbledhja e të gjitha grupeve është klasës. Megjithatë, kjo klasë nuk është një grup dhe nuk është anëtare e asnjë klase, duke shmangur kështu paradoksin e Russell.

Një sistem më i fortë që lejon marrjen e sasive mbi klasa, dhe jo vetëm mbi grupe, është, për shembull, Teoria e grupeve Morse - Kelly(MK) . Në këtë teori, koncepti kryesor është koncepti klasës, por jo grupe. Kompletet në këtë teori konsiderohen të jenë klasa të tilla që janë vetë elemente të disa klasave. Në këtë teori, formula z ∈ ( x: P (x) ) (\style ekrani z\in \(x\pika P(x)\)) konsiderohet ekuivalente me formulën

P (z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \ekziston y.z\në y).

Si ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \ekziston y.z\në y) në këtë teori do të thotë se klasa z (\displaystyle z) eshte nje shumë, kjo formulë duhet kuptuar si ( x: P (x) ) (\style ekrani \(x\pika P(x)\))është klasa e të gjithëve grupe(jo klasa) z (\displaystyle z), sikurse P (z) (\displaystyle P(z)). Paradoksi i Rasëllit në këtë teori zgjidhet nga fakti se jo çdo klasë është një grup.

Dikush mund të shkojë më tej dhe të marrë parasysh koleksionet e klasave - konglomeratet, koleksionet e konglomerateve, e kështu me radhë.

Ndikimi në matematikë

Aksiomatizimi i matematikës

Paradoksi i Rasëllit, së bashku me antinomitë e tjera matematikore të zbuluara në fillim të shekullit të 20-të, nxiti një rishikim të themeleve të matematikës, i cili rezultoi në ndërtimin e teorive aksiomatike për të justifikuar matematikën, disa prej të cilave janë përmendur më lart.

Në të gjitha teoritë e reja aksiomatike të ndërtuara, paradokset e njohura nga mesi i shekullit të 20-të (përfshirë paradoksin e Rasëllit) u eliminuan. Sidoqoftë, për të vërtetuar se paradokse të reja të ngjashme nuk mund të zbulohen në të ardhmen (ky është problemi i konsistencës së teorive të ndërtuara aksiomatike), doli, në kuptimin modern të këtij problemi, është e pamundur (shih teoremat e Gödel mbi paplotësinë) .

intuitizmi

Paralelisht, u ngrit një prirje e re në matematikë, e quajtur intuitizëm, themeluesi i së cilës është L. E. Ya. Brouwer. Intuitizmi u ngrit në mënyrë të pavarur nga paradoksi i Russelit dhe antinomitë e tjera. Megjithatë, zbulimi i antinomive në teorinë e grupeve rriti mosbesimin e intuitivistëve ndaj parimeve logjike dhe përshpejtoi formimin e intuitizmit. Teza kryesore e intuitizmit thotë se për të vërtetuar ekzistencën e ndonjë objekti, është e nevojshme të paraqitet një metodë për ndërtimin e tij. Intuitivistët refuzojnë koncepte të tilla abstrakte si grupi i të gjitha grupeve. Intuitizmi mohon ligjin e mesit të përjashtuar, megjithatë, duhet theksuar se ligji i mesit të përjashtuar nuk është i nevojshëm për të nxjerrë një kontradiktë nga antinomia e Russell-it apo ndonjë tjetër (në çdo antinomi vërtetohet se A (\displaystyle A) sjell mohim A (\displaystyle A) dhe mohimi A (\displaystyle A) përfshin A , (\displaystyle A,) megjithatë, nga (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\stili i shfaqjes (A\Djathtas \neg A)\&(\neg A\Djathtas A)) edhe në logjikën intuitiviste pason një kontradiktë). Vlen gjithashtu të theksohet se në aksiomatizimet e mëvonshme të matematikës intuitiviste, u gjetën paradokse të ngjashme me atë të Russell-it, si p.sh. Paradoksi i Girardit në formulimin origjinal Martin Loef.

Argumenti diagonal (vetë-zbatueshmëria)

Përkundër faktit se arsyetimi i Russell çon në një paradoks, ideja kryesore e këtij arsyetimi përdoret shpesh në vërtetimin e teoremave matematikore. Siç u përmend më lart, Russell mori paradoksin e tij duke analizuar provën e Cantor-it për mosekzistencën e numrit më të madh kardinal. Ky fakt bie ndesh me ekzistencën e një grupi të të gjitha grupeve, pasi kardinaliteti i tij duhet të jetë maksimal. Megjithatë, sipas teoremës së Kantorit, bashkësia e të gjitha nëngrupeve të një grupi të caktuar ka një kardinalitet më të madh se vetë bashkësia. Prova e këtij fakti bazohet në sa vijon argument diagonal?!:

Le të ketë një korrespondencë një-për-një , e cila për secilin element x (\displaystyle x) grupe X (\displaystyle X) përputhet me një nëngrup s x (\displaystyle s_(x)) grupe x. (\displaystyle X.) Le te jete d (\displaystyle d) do të jetë një grup elementësh x (\displaystyle x) sikurse x ∈ s x (\style ekrani x\në s_(x)) (grup diagonale). Pastaj plotësuesi i këtij grupi s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) nuk mund të jetë një nga s x. (\displaystyle s_(x).) Prandaj, korrespondenca nuk ishte një me një.

Cantor përdori argumentin diagonal për të vërtetuar panumërueshmërinë numra realë në 1891. (Kjo nuk është prova e tij e parë e panumërueshmërisë së numrave realë, por më e thjeshta).

Paradokse të ndërlidhura

Vetë-zbatueshmëria përdoret në shumë paradokse të ndryshme nga ato të diskutuara më sipër:

• Paradoksi i plotfuqishmërisë është një pyetje mesjetare: "A mundet një zot i plotfuqishëm të krijojë një gur që ai vetë nuk mund ta ngrejë?"
• Paradoksi Burali-Forti (1897) është një analog i paradoksit Cantor për numrat rendorë.
• Paradoksi i Mirimanov (1917) është një përgjithësim i paradoksit Burali-Forti për klasën e të gjitha klasave të bazuara mirë.
• Paradoksi i Richard (1905) është një paradoks semantik që tregon rëndësinë e ndarjes së gjuhës së matematikës dhe metamatematikës.
• Paradoksi i Berry-t (1906) është një version i thjeshtuar i paradoksit të Richard-it të botuar nga Russell.
• Paradoksi Kleene-Rosser(1935) - formulimi i paradoksit të Richard-it në termat e llogaritjes λ.
• Paradoksi i Curry (1941) është një thjeshtim i paradoksit Kleene-Rosser.
• Paradoksi i Girardit(1972) - formulimi i paradoksit Burali-Forti për sa i përket teoria e tipit intuitivist .
• është një paradoks gjysmë shaka që të kujton paradoksin e Berry-t.

Shënime

1. Godhard Link (2004) Njëqind vjet nga paradoksi i Russell-it, me. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Antinomia e Russell // Fjalori i Logjikës. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 f. - ISBN 5-691-00099-3.
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // Enciklopedia e Filozofisë Stanford / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
4. Antinomia- artikull nga Enciklopedia Matematikore. A. G. Dragalin
5. A. S. Gerasimov. Llogaritshmëria e lëndës matematikore-logjike dhe teorisë. - Botimi i tretë, i rishikuar dhe i zmadhuar. - Shën Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 f.

Më e famshmja nga paradokset e zbuluara tashmë në shekullin tonë është antinomia e zbuluar nga B. Russell. Ideja ishte në ajër dhe publikimi i saj prodhoi përshtypjen e një bombe që shpërtheu. Ky paradoks shkaktoi në matematikë, sipas D. Hilbertit, "efektin e një katastrofe të plotë". Metodat më të thjeshta dhe më të rëndësishme logjike, konceptet më të zakonshme dhe më të dobishme, janë nën kërcënim. Menjëherë u bë e qartë se as në logjikë dhe as në matematikë, në të gjithë historinë e gjatë të ekzistencës së tyre, nuk ishte krijuar ndonjë gjë me vendosmëri që mund të shërbente si bazë për eliminimin e antinomisë. Është e qartë se një largim nga mënyrat e zakonshme të të menduarit ishte e nevojshme.

Paradoksi i Rasëllit në formën e tij origjinale lidhet me konceptin e një grupi ose një klase. Mund të flasim për grupe objektesh të ndryshme, për shembull, për grupin e të gjithë njerëzve ose për grupin e numrave natyrorë. Një element i grupit të parë do të jetë çdo person individual, një element i të dytit - çdo numër natyror. Është gjithashtu e mundur të konsiderohen vetë grupet si disa objekte dhe të flasim për grupe grupesh. Mund të prezantohen edhe koncepte të tilla si grupi i të gjitha grupeve ose grupi i të gjitha koncepteve. Në lidhje me çdo grup të marrë në mënyrë arbitrare, duket e arsyeshme të pyesim nëse është elementi i tij apo jo. Kompletet që nuk e përmbajnë veten si element do të quhen të zakonshme. Për shembull, grupi i të gjithë njerëzve nuk është një person, ashtu si grupi i atomeve nuk është një atom. Kompletet që janë elementë të duhur do të jenë të pazakonta. Për shembull, një grup që bashkon të gjitha grupet është një grup dhe për këtë arsye përmban veten si një element. Natyrisht, çdo grup është ose i zakonshëm ose i pazakontë.

Konsideroni tani grupin e të gjitha grupeve të zakonshme. Meqenëse është një grup, mund të pyesni edhe nëse është i zakonshëm apo i pazakontë. Sidoqoftë, përgjigja është dekurajuese. Nëse është i zakonshëm, atëherë sipas përkufizimit ai duhet të përmbajë veten si një element, pasi përmban të gjitha grupet e zakonshme. Por kjo do të thotë se është një grup i pazakontë. Pra supozimi se grupi ynë është një grup i zakonshëm çon në një kontradiktë. Kështu që nuk mund të jetë normale. Nga ana tjetër, nuk mund të jetë as e pazakontë: një grup i pazakontë përmban veten si një element, dhe elementët e grupit tonë janë vetëm grupe të zakonshme. Si rezultat, arrijmë në përfundimin se grupi i të gjitha grupeve të zakonshme nuk mund të jetë as i zakonshëm dhe as i jashtëzakonshëm.

Kështu, bashkësia e të gjitha grupeve që nuk janë elemente të duhura është një element i duhur nëse dhe vetëm nëse nuk është një element i tillë. Kjo është një kontradiktë e qartë.

Kontradikta thotë se një grup i tillë thjesht nuk ekziston. Por pse nuk mund të ekzistojë? Në fund të fundit, ai përbëhet nga objekte që plotësojnë një kusht të përcaktuar mirë, dhe vetë kushti nuk duket të jetë disi i jashtëzakonshëm ose i errët. Nëse një grup kaq i thjeshtë dhe i përcaktuar qartë nuk mund të ekzistojë, atëherë cili është, në fakt, ndryshimi midis grupeve të mundshme dhe të pamundura? Përfundimi për mosekzistencën e grupit të konsideruar tingëllon i papritur dhe ngjall ankth. Ai e bën nocionin tonë të përgjithshëm të një grupi amorf dhe kaotik, dhe nuk ka asnjë garanci që nuk mund të shkaktojë disa paradokse të reja.

Paradoksi i Rasëllit është i shquar për përgjithësinë e tij ekstreme. Për ndërtimin e tij nuk nevojiten koncepte teknike komplekse, pasi në rastin e disa paradokseve të tjera mjaftojnë konceptet “kompleti” dhe “elementi i grupit”. Por kjo thjeshtësi flet vetëm për natyrën e saj themelore: ajo prek themelet më të thella të arsyetimit tonë për grupet, pasi nuk flet për disa raste të veçanta, por për grupe në përgjithësi.

Paradoksi i Rasëllit nuk është specifikisht matematikor. Ai përdor konceptin e një grupi, por nuk prek ndonjë veti të veçantë që lidhet posaçërisht me matematikën. Kjo bëhet e dukshme kur paradoksi riformulohet në terma thjesht logjikë.

Nga çdo pronë, me të gjitha gjasat, dikush mund të pyesë nëse është e zbatueshme për vetveten apo jo. Vetia e të qenit i nxehtë, për shembull, nuk vlen për vetveten, pasi nuk është vetë i nxehtë; vetia e të qenit konkret gjithashtu nuk i referohet vetvetes, sepse është një veti abstrakte. Por vetia e të qenit abstrakt, të qenit abstrakt, është e zbatueshme për veten. Le t'i quajmë këto veti të pazbatueshme për veten e tyre të pazbatueshme. A vlen vetia e të qenit i pazbatueshëm për veten? Rezulton se një pazbatueshmëri është e pazbatueshme vetëm nëse nuk është. Kjo është, sigurisht, paradoksale.Larmia logjike, e lidhur me pronën e antinomisë së Russelit është po aq paradoksale sa varieteti matematikor, i lidhur me grupin.

B. Russell propozoi gjithashtu versionin e mëposhtëm popullor të paradoksit që zbuloi. “Berberi rruan të gjithë ata dhe vetëm ata banorë të qytetit që nuk rruhen vetë. Kush e rruan berberin?" Paradoksi i berberit qëndron në faktin se, gjoja, është e pamundur t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Për të kuptuar situatën, banorët e qytetit do t'i ndajmë në tre grupe. Kjo ndarje tregohet në figurën e majtë: ata që rruhen janë sipër; ata që rruhen - nga poshtë; ata që nuk rruhen fare (murgj, fëmijë, gra...) janë jashtë elipsit.

Konsideroni fillimisht veprimin e kushtit (1). Berberi le të rruajë të gjithë ata që nuk rruhen vetë, pra të gjithë gjysmën e poshtme të elipsës (çelja shënon klientët e berberit). Por kushti (1) i lejon atij të rruhet dhe atij që rruhet, pra vetvetes. Kushti (1) e lejon atë të pozicionohet në gjysmën e sipërme të elipsës, ku vetë banorët rruhen dhe rruhen vetë atje. Kjo tregohet në foton e mesme.

Nëse zbatohet kushti (2) dhe berberi rruan vetëm ata që nuk rruhen vetë, kjo do të thotë se ai rruan një pjesë të gjysmës së poshtme të elipsit dhe nuk rruhet vetë, domethënë nuk është në gjysmën e sipërme të elipsës. . Por banorët e gjysmës së poshtme mund të mos rruhen nga një berber, por nga dikush tjetër. Dhe një berber mund të jetë në mesin e këtyre njerëzve (figura e duhur). Kështu berberi mund të rruajë mikun e tij, dhe berberi do të rruajë pjesën e hijezuar të gjysmës së poshtme të elipsit.

Por nëse zbatohen të dyja kushtet (1) dhe (2), atëherë berberi nuk ka vend në elips. Ai nuk rruhet fare. Dhe këtu nuk ka asnjë paradoks. Ai, pra, është ose një murg, ose një robot, ose një fëmijë, ose një grua, ose një jobanor i qytetit ... Dhe nëse nuk ka njeri në qytet përveçse që rruhet burrat, dhe, për rrjedhojë, pamja e elipsit është bosh, atëherë një berber që plotëson kushtet (1) dhe (2) thjesht nuk ekziston. Është absurde të pyesësh në këtë rast se kush e rruan. Shumë berberë të tillë janë bosh.

Dhe këtu vërejmë se pyetja e bërë “Kush e rruan berberin?”, ishte e pasaktë që në fillim, ashtu si pyetja klasike: “Pse e rreh babin?”. Përpara se të pyesësh se kush e rruan berberin, duhet marrë një marrëveshje që dikush ta rruajë atë.

Argumenti për parukieren mund të quhet pseudo-paradoks. Në rrjedhën e tij, është rreptësisht analoge me paradoksin e Russell-it, dhe kjo është ajo që e bën atë interesant. Por ende nuk është një paradoks i vërtetë.

Një shembull tjetër i të njëjtit pseudo-paradoks është argumenti i njohur i katalogut.

Një bibliotekë e caktuar vendosi të hartonte një katalog bibliografik që do të përfshinte të gjithë ata dhe vetëm ata katalogë bibliografikë që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. A duhet që një drejtori i tillë të përfshijë një lidhje me vetveten? Është e lehtë të tregohet se ideja e krijimit të një katalogu të tillë nuk është e realizueshme; ai thjesht nuk mund të ekzistojë, sepse duhet të përfshijë njëkohësisht një referencë për veten dhe jo të përfshijë. Është interesante të theksohet se katalogimi i të gjitha drejtorive që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre mund të mendohet si një proces i pafund dhe i pafund.

Le të themi se në një moment u përpilua një drejtori, le të themi K1, duke përfshirë të gjitha drejtoritë e tjera që nuk përmbajnë referenca për veten e tyre. Me krijimin e K1, u shfaq një drejtori tjetër që nuk përmban një referencë për veten. Meqenëse qëllimi është të bëhet një katalog i plotë i të gjitha drejtorive që nuk përmendin veten e tyre, është e qartë se K1 nuk është zgjidhja. Ai nuk përmend një nga ato drejtori - veten e tij. Duke përfshirë këtë përmendje të tij në K1, ne marrim katalogun K2. Ai përmend K1 por jo vetë K2. Duke shtuar një përmendje të tillë në K2, marrim K3, i cili është përsëri i paplotë për faktin se nuk e përmend veten. Dhe kështu me radhë pa fund.

Pronari i një berberie në një fshat ka postuar njoftimin e mëposhtëm: "Unë rruaj ata dhe vetëm ata banorë të fshatit që nuk rruhen vetë". Pyetja është kush e rruan berberin?

Zhvillimi logjika matematikore veçanërisht u intensifikua në shekullin e 20-të në lidhje me zhvillimin e teknologjisë kompjuterike dhe programimit.

Ø Përkufizimi Logjika matematikoreështë një formë moderne e logjikës që mbështetet tërësisht në metodat formale matematikore. Ai studion vetëm konkluzionet me objekte dhe gjykime të përcaktuara rreptësisht për të cilat është e mundur të vendoset pa mëdyshje nëse ato janë të vërteta apo të rreme.

Koncepti themelor (i papërcaktuar) i logjikës matematikore është koncepti i " deklaratë e thjeshtë". Një deklaratë, e cila është një deklaratë e vetme, zakonisht quhet e thjeshtë ose elementare.

Ø Deklaratë përkufizimiështë një fjali deklarative që mund të thuhet se është e vërtetë ose e gabuar.

Deklaratat mund të jenë të vërteta I ose të rreme L.

Shembull: Planeti Tokë sistem diellor. (E vërtetë); Çdo paralelogram është katror (E gabuar)

Ka deklarata për të cilat është e pamundur të thuhet me siguri nëse janë të vërteta apo të rreme. "Sot moti është i mirë" (kushdo që e pëlqen)

Shembull deklaratë "Po bie shi"- e thjeshtë, dhe e vërtetë ose e rreme varet nga moti tani jashtë dritares. Nëse vërtet bie shi, atëherë deklarata është e vërtetë, dhe nëse është me diell dhe është e kotë të presësh për shi, atëherë deklarata është "Po bie shi" do të jetë false.

Shembull" " nuk është një deklaratë (nuk dihet se çfarë vlerash merr).

"Studenti i dytë" nuk është një thënie

Ø PërkufizimiElementare thëniet nuk mund të shprehen me thënie të tjera.

Ø PërkufizimiKompozit propozimet janë propozime që mund të shprehen duke përdorur propozime elementare.

Shembull"Numri 22 është çift" është një deklaratë elementare.

Ekzistojnë dy qasje kryesore për të përcaktuar vërtetësinë e pohimeve: empirike (eksperimentale) dhe logjike.

Në qasje empirike e vërteta e pohimit vërtetohet me ndihmën e vëzhgimeve, matjeve, eksperimenteve.

qasje logjike qëndron në faktin se e vërteta e një deklarate përcaktohet në bazë të së vërtetës së pohimeve të tjera, pra pa iu referuar fakteve, përmbajtjes së tyre, pra formalisht. Kjo qasje bazohet në identifikimin dhe përdorimin e lidhjeve logjike ndërmjet pohimeve të përfshira në argument.

2.2 Logjika propozicionale

Para së gjithash, ju duhet të përcaktoni konceptet, sepse i njëjti seksion shpesh quhet ndryshe: logjika matematikore, logjika propozicionale (fjali), logjika simbolike, logjika me dy vlera, logjika propozicionale, algjebra e Bulit ...

Ø Përkufizimilogjika propozicionale- një degë e logjikës në të cilën çështja e së vërtetës ose falsitetit të pohimeve shqyrtohet dhe vendoset në bazë të studimit të metodës së ndërtimit të pohimeve nga e. elementare(më tej të pazbërthyera dhe të pa analizuara) deklarata me ndihmën e veprimeve logjike të lidhjes ("dhe"), ndarjes ("ose"), mohimit ("jo"), nënkuptimit ("nëse...atëherë...") , etj.

Ø Përkufizimi Kalkulus propozicionalështë një sistem logjik aksiomatik, interpretimi i të cilit është algjebra e pohimeve.

Me interes më të madh është ndërtimi i një sistemi formal, i cili, midis të gjitha pohimeve të mundshme, dallon ato që janë ligje logjike (arsyetimi i ndërtuar saktë, përfundimet logjike, tautologjitë, deklaratat përgjithësisht të vlefshme).

Teoritë formale, duke mos përdorur gjuhën e natyrshme (të folurit), kanë nevojë për gjuhën e tyre formale në të cilën shkruhen shprehjet që hasen në të.

Ø Përkufizimi Quhet sistemi formal që gjeneron pohime që janë tautologji dhe vetëm ato llogaritja propozicionale(IV).

Sistemi formal IoT përcaktohet nga:

Cilat janë simbolet më të mira për t'u përdorur për lidhjet logjike?

Le të ndalemi në shënimet e mëposhtme: mohim, lidhëz, shkëputje, nënkuptim dhe ekuivalencë. Zakonisht, vlerat logjike të rezultateve të aplikimit të lidhjeve shkruhen në formën e tabelave (të ashtuquajturat tabela të së vërtetës).

2.3 Lidhjet logjike...................................................... ......................

Në gjuhën natyrore, mjetet gramatikore të mëposhtme luajnë rolin e lidhoreve në përpilimin e fjalive komplekse nga ato të thjeshta:

sindikatat "dhe", "ose", "jo";

fjalët "nëse ..., atëherë", "ose ... ose",

"nëse dhe vetëm nëse" etj.

Në logjikën propozicionale, lidhjet logjike të përdorura për të kompozuar propozime komplekse duhet të përcaktohen saktësisht.

Le të shqyrtojmë lidhjet (operacionet) logjike në pohime, në të cilat vlerat e së vërtetës së pohimeve të përbëra përcaktohen vetëm nga vlerat e vërteta të pohimeve përbërëse, dhe jo nga kuptimi i tyre.

Ekzistojnë pesë lidhje logjike të përdorura gjerësisht.

mohim (i përfaqësuar nga një shenjë),

lidhëz (shenjë),

ndarje (shenja v),

nënkuptim (shenjë)

ekuivalencë (shenjë).

Ø PërkufizimiNegacion pohimet P është një pohim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse pohimi P është i rremë.

Ø PërkufizimiLidhëza dy propozime P dhe Q - një propozim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy propozimet janë të vërteta.

Ø PërkufizimiDisjunksion dy propozime P dhe Q - një propozim që është i gabuar nëse dhe vetëm nëse të dy propozimet janë të rreme.

Ø Përkufiziminënkuptim dy pohime P dhe Q - një pohim që është i rremë nëse dhe vetëm nëse P është e vërtetë dhe Q është e gabuar. Pohimi P quhet parcela implikimet dhe pohimi Q - përfundimi implikimet.

Ø PërkufizimiEkuivalenca dy propozime P dhe Q - një propozim që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse vlerat e së vërtetës së P dhe Q janë të njëjta.

Përdorimi i fjalëve "nëse ..." "atëherë ..." në algjebrën e logjikës ndryshon nga përdorimi i tyre në të folurit e përditshëm, ku, si rregull, besojmë se nëse deklarata Xështë e rreme, atëherë deklarata "Nëse X, pastaj në' nuk ka fare kuptim. Përveç kësaj, ndërtimi i një fjalie të formës "nëse X, pastaj në» në të folurën e përditshme nënkuptojmë gjithmonë se fjalia në buron nga propozimi X. Përdorimi i fjalëve "nëse, atëherë" në logjikën matematikore nuk e kërkon këtë, pasi kuptimi i propozimeve nuk merret parasysh në të.

2.4 Operacionet logjike

Baza e teknologjisë dixhitale janë tre operacione logjike që qëndrojnë në themel të të gjitha daljeve kompjuterike. Këto janë tre operacione logjike: DHE, OSE, JO, të cilat quhen "tre shtyllat e logjikës së makinës".

Lidhjet logjike ose operacionet logjike të njohura nga kursi i matematikës diskrete mund të aplikohen në deklarata. Kjo rezulton në formulat. Formulat bëhen propozime duke zëvendësuar të gjitha kuptimet e shkronjave.

Tabelat e së vërtetës së operacioneve bazë logjike.

Disa variabla të lidhura së bashku me operacione logjike quhen funksion logjik.

Përshkrimi i çdo llogaritjeje përfshin një përshkrim të simboleve të kësaj llogaritjeje (alfabeti), formula, të cilat janë konfigurimet përfundimtare të simboleve dhe përkufizimin e formulave të derivueshme.

2.5 Alfabeti i njehsimit propozicional

Alfabeti i llogaritjes së shqiptimit përbëhet nga simbole të tre kategorive:

E para prej tyre është shenja e ndarjes ose e mbledhjes logjike, e dyta është shenja e lidhjes ose shumëzimit logjik, e treta është shenja e nënkuptimit ose pasojës logjike dhe e katërta është shenja e mohimit.

Llogaritja propozicionale nuk ka simbole të tjera.

2.6 Formulat Tautologji

Formulat e llogaritjes propozicionale janë sekuenca simbolesh nga alfabeti i llogaritjes propozicionale.

Shkronjat e mëdha të alfabetit latin përdoren për të përcaktuar formulat. Këto shkronja nuk janë simbole llogaritëse. Ato janë vetëm simbole formulash.

Ø Formula e përkufizimit - deklaratë e përbërë e mirëformuar:

1) Çdo shkronjë është formulë.

2) Nëse , janë formula, atëherë , , , , janë gjithashtu formula.

Natyrisht, fjalët nuk janë formula: ) (e treta e këtyre fjalëve nuk përmban kllapa të mbyllura dhe e katërta nuk përmban kllapa).

Vini re se koncepti i lidhjeve logjike nuk është konkretizuar këtu. Zakonisht, disa thjeshtëzime futen në formula. Për shembull, kllapat hiqen në shënimin e formulave sipas të njëjtave rregulla si në algjebrën propozicionale.

Ø Përkufizimi. Formula quhet tautologji, nëse merr vetëm vlera të vërteta për çdo vlerë të shkronjave.

Ø Përkufizimi Një formulë që është false për çdo vlerë të shkronjave quhet kontradiktë

Ø Përkufizimi Formula quhet e realizueshme, nëse në një grup të shpërndarjes së vlerave të vërtetësisë së variablave merr vlerën DHE.

Ø Përkufizimi Formula quhet e kundërshtueshme, nëse për disa shpërndarje të vlerave të vërtetësisë së variablave merr vlerën L.

Shembull janë formula sipas pikës 2 të përkufizimit.

Për të njëjtën arsye, fjalët do të jenë formula:

Njëkohësisht me konceptin e një formule, koncepti nënformula ose pjesë e një formule.

1. nënformula formula elementare është vetvetja.

2. Nëse formula ka formën , atëherë nënformulat e saj janë: vetë, formula A dhe të gjitha nënformula të formulës A.

3. Nëse formula ka formën (A * B) (në tekstin e mëtejmë, nën simbolin * do të kuptojmë cilindo nga tre simbolet), atëherë nënformulat e saj janë: vetë, formula A dhe B dhe të gjitha nënformulat e formulave. A dhe B.

Shembull Për formulën nënformulat e tij do të jenë:

- nënformula e thellësisë zero,

Nënformulat e thellësisë së parë,

Nënformulat e thellësisë së dytë,

Nënformulat e thellësisë së tretë,

Nënformula e thellësisë së katërt.

Kështu, ndërsa "zhytemi thellë në strukturën e formulës", ne veçojmë nënformula të thellësisë në rritje

Nga kursi i matematikës diskrete njihen ekuivalencat (ekuivalencat) kryesore logjike, të cilat janë shembuj tautologjish. Të gjitha ligjet logjike duhet të jenë tautologji.

Ndonjëherë quhen ligje rregullat e tërheqjes, të cilat përcaktojnë përfundimin e saktë nga premisat.

2.7Ligjet e logjikës propozicionale

Algjebra e logjikës ka ligje komutative dhe asociative në lidhje me veprimet e lidhjes dhe disjunksionit dhe një ligj shpërndarës të lidhjes në lidhje me disjunksionin, të njëjtat ligje ndodhin në algjebrën e numrave.

Prandaj, mbi formulat e algjebrës së logjikës, mund të kryeni të njëjtat transformime që kryhen në algjebrën e numrave (hapja e kllapave, kllapa, kllapa e faktorit të përbashkët).

Konsideroni ligjet bazë të logjikës propozicionale.

1. Komutativiteti:

, .

2. Asociacioni:

3. Shpërndarja:

4. Idempotenca: , .

5. Ligji i mohimit të dyfishtë: .

6. Ligji i përjashtimit të të tretës:.

7. Ligji i kontradiktës: .

8. Ligjet e de Morganit:

9. Ligjet e idempotencës(vetitë e veprimeve me konstante logjike)

Nuk ka eksponentë dhe koeficientë në algjebrën e logjikës. Lidhja e "faktorëve" identikë është e barabartë me njërin prej tyre

Këtu , dhe janë ndonjë shkronja.

Shembuj. formula e tautologjisë.