Derivat. Lektion "Tillämpning av derivatan för att lösa USE-problem Grundläggande regler för differentiering
Tillbaka framåt
Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.
Lektionstyp: upprepning och generalisering.
Lektionsform: konsultationslektion.
Lektionens mål:
- pedagogisk: upprepa och generalisera teoretisk kunskap om ämnena: "Geometrisk betydelse av derivatan" och "Tillämpning av derivatan för studier av funktioner"; överväga alla typer av B8-uppgifter som du stöter på i examen i matematik; ge eleverna möjlighet att testa sina kunskaper genom att självständigt lösa problem; lära ut hur man fyller i undersökningsformuläret för svar;
- utvecklande: att främja utvecklingen av kommunikation som en metod för vetenskaplig kunskap, semantiskt minne och frivillig uppmärksamhet; bildandet av sådana nyckelkompetenser som jämförelse, jämförelse, klassificering av objekt, fastställande av adekvata sätt att lösa ett inlärningsproblem baserat på givna algoritmer, förmågan att agera självständigt i en situation av osäkerhet, kontrollera och utvärdera ens aktiviteter, hitta och eliminera orsaker till svårigheter som har uppstått;
- pedagogisk: utveckla elevernas kommunikativa kompetens (kommunikationskultur, förmåga att arbeta i grupp); bidra till utvecklingen av behovet av egenutbildning.
Teknik: utvecklingsutbildning, IKT.
Lär ut metoder: verbala, visuella, praktiska, problematiska.
Arbetsformer: individuell, frontal, grupp.
Utbildnings- och metodstöd:
1. Algebra och början av matematisk analys Årskurs 11: lärobok. För allmänbildning Institutioner: grundläggande och profil. nivåer / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin); redigerad av A. B. Zhizhchenko. - 4:e uppl. - M .: Utbildning, 2011.
2. ANVÄNDNING: 3000 uppgifter med svar i matematik. Alla uppgifter i grupp B/A.L. Semyonov, I.V. Jasjtjenko och andra; redigerad av A.L. Semyonova, I.V. Jasjtjenko. - M .: Förlaget "Exam", 2011.
3. Öppen jobbbank.
Utrustning och material för lektionen: en projektor, en skärm, en PC för varje elev med en presentation installerad på den, en utskrift av ett PM för alla elever (Bilaga 1) och resultatlista Bilaga 2) .
Preliminära förberedelser inför lektionen: som läxa inbjuds eleverna att upprepa lärobokens teoretiska material om ämnena: "Den geometriska betydelsen av derivatan", "Tillämpning av derivatan för att studera funktioner"; klassen är indelad i grupper (4 personer vardera), som var och en har elever på olika nivåer.
Förklaring till lektionen: Denna lektion hålls i årskurs 11 vid repetition och förberedelse för tentamen. Lektionen syftar till upprepning och generalisering av teoretiskt material, dess tillämpning vid lösning av tentamensproblem. Lektionens längd - 1,5 timmar .
Den här lektionen är inte bifogad till läroboken, så den kan genomföras medan du arbetar med valfritt läromedel. Den här lektionen kan också delas upp i två separata och hållas som sista lektioner om de ämnen som behandlas.
Under lektionerna
I. Organisatoriskt ögonblick.
II. Målsättningslektion.
III. Upprepning på ämnet "Geometrisk betydelse av derivatan".
Muntligt frontalt arbete med projektor (slides nr 3-7)
Grupparbete: problemlösning med tips, svar, med lärares råd (bilder nr 8-17)
IV. Självständigt arbete 1.
Eleverna arbetar individuellt på en PC (bild nr 18-26), deras svar förs in i utvärderingsbladet. Vid behov kan du ta lärarens råd, men i det här fallet tappar eleven 0,5 poäng. Om eleven klarar av arbetet tidigare kan han välja att lösa ytterligare uppgifter från samlingen, s. 242, 306-324 (ytterligare uppgifter utvärderas separat).
V. Ömsesidig verifiering.
Studenter utbyter utvärderingsblad, kontrollerar en väns arbete, ger poäng (bild nr 27)
VI. Kunskapskorrigering.
VII. Upprepning på ämnet "Tillämpning av derivatan för att studera funktioner"
Muntligt frontalt arbete med projektor (slides nr 28-30)
Grupparbete: lösa problem med uppmaningar, svar, med lärares råd (bilder nr 31-33)
VIII. Självständigt arbete 2.
Eleverna arbetar individuellt på en PC (bild nr 34-46), skriv in sina svar i svarsbladet. Vid behov kan du ta lärarens råd, men i det här fallet tappar eleven 0,5 poäng. Om eleven orkar med arbetet tidigare kan han välja att lösa ytterligare uppgifter från samlingen, s. 243-305 (ytterligare uppgifter utvärderas separat).
IX. Ömsesidig verifiering.
Studenter utbyter utvärderingsblad, kontrollerar en väns arbete, ger poäng (bild nr 47).
X. Korrigering av kunskap.
Eleverna arbetar igen i sina grupper, diskuterar lösningen, rättar till misstagen.
XI. Sammanfattande.
Varje elev räknar ut sina poäng och sätter ett betyg på utvärderingsbladet.
Eleverna lämnar över utvärderingsbladet och lösningen av ytterligare problem till läraren.
Varje elev får ett memo (bild nr 53-54).
XII. Reflexion.
Eleverna uppmanas att utvärdera sina kunskaper genom att välja en av fraserna:
- Jag fick allt!!!
- Vi måste lösa ytterligare ett par exempel.
- Vem kom på den här matematiken!
XIII. Läxa.
För läxor inbjuds eleverna att välja att lösa uppgifter från samlingen, s. 242-334, samt från en öppen uppgiftsbank.
PRAKTISKT ARBETE EXTRA LÄRPLAN 2
Transformation av grafer över funktioner.
Mål
Rita funktionsgrafer med hjälp av olika transformationer, svara på frågan om problemet.
Slutförande av arbetet
Riktlinjer
Verket är utformat för 10 alternativ, alternativnumret matchar den sista siffran i serienumret i listan. Till exempel, 1, 11, 21, 31 ... utför 1 alternativ, 2,12, 22 ... - 2 alternativ, etc.
Arbetet består av två delar: den första delen av uppgifterna 1 - 5, dessa är uppgifter som måste utföras för att få tillgodoräknande, om dessa uppgifter är slutförda med ett fel behöver du korrigera dem och lämna in arbetet igen för verifiering . Den andra delen innehåller uppgifter, genom att slutföra vilka du kan tjäna ett extra betyg: huvuddelen +2 uppgifter - "4", huvuddelen +3 uppgifter - "5".
Uppgift 1. Grafen för en linjär funktion är en rät linje, två punkter räcker för att konstruera den. (vi tar värdena för argumentet x godtyckligt och överväger att ersätta värdet för funktionen y i formeln).
För att kontrollera om grafen för funktionen går genom den angivna punkten måste du ersätta punktens koordinater istället för x och y, om du får rätt likhet så går linjen genom den angivna punkten, annars passerar den inte .
Uppgift 2, 3, 4. Graferna för de angivna funktionerna hämtas från funktionernas grafer , med en förskjutning längs x- eller y-axeln.
, plotta först funktionen eller , sedan flyttar vi det med "a" enheter till höger eller vänster (+ a - till vänster, - a till höger), sedan flyttar vi det med "b" enheter upp eller ner (+ in - upp, - in - ner)
På samma sätt med andra funktioner:
Uppgift 5 Att rita en funktionsgraf: , måste du: 1) bygga en graf över funktionen , 2) den del av grafen som är ovanför x-axeln lämnas oförändrad, 3) den del av grafen som är under x-axeln speglas.
Uppgifter för självständig lösning.
Obligatorisk del
Uppgift 1. Rita en graf av en linjär funktion, avgör om grafen för funktionen går genom den angivna punkten:
Uppgift 2. Rita en graf av en kvadratisk funktion, ange uppsättningen värden för denna funktion.
Uppgift 3. Bygg en graf över en funktion, avgör om den angivna funktionen ökar eller minskar.
Uppgift 4. Bygg en graf över funktionen, svara på uppgiftens fråga.
Uppgift 5. Bygg en graf över en funktion som innehåller tecknet för modulen.
Uppgifter för ytterligare bedömning.
Uppgift 6. Rita en graf av en funktion given bitvis, avgör om denna funktion har en brytpunkt:
Uppgift 7. Bestäm hur många lösningar ekvationssystemet har, motivera svaret. Dra slutsatser genom att svara på frågorna.
Vilka funktionsdiagram har du byggt i det här arbetet?
Vad heter grafen för en linjär funktion?
Vad heter grafen för en kvadratisk funktion?
Vilka diagramtransformationer känner du till?
Hur grafen ligger i koordinatsystemet jämn funktion? Graf över en udda funktion?
Mästarklass i matematik
i 11:e klass
om detta ämne
"DERIVATIV FUNKTION
I ANVÄNDNINGSUPPGIFTER "
matematiklärare
Martynenko E.N.
läsåret 2017-2018
Syftet med mästarklassen: utveckla elevernas färdighetertillämpning av teoretiska kunskaper om ämnet "Derivat av en funktion" för att lösa problem med enhetsprovet.
Uppgifter
Pedagogisk:generalisera och systematisera elevernas kunskaper om ämnet
"The derivative of the function", för att överväga prototyperna av USE-problemen i detta ämne, för att ge eleverna möjlighet att testa sina kunskaper samtidigt som de löser problem på egen hand.
Utvecklande: främja utvecklingen av minne, uppmärksamhet, självkänsla och självkontroll; bildandet av grundläggande nyckelkompetenser (jämförelse, sammanställning, klassificering av objekt, bestämning av adekvata metoder för att lösa ett inlärningsproblem baserat på givna algoritmer, förmågan att agera självständigt i en situation av osäkerhet, kontrollera och utvärdera ens aktiviteter, hitta och eliminera orsaker till svårigheter som har uppstått).
Pedagogisk: främja:
Bildande hos elever av en ansvarsfull inställning till lärande;
utveckling av ett hållbart intresse för matematik;
skapa positiv inneboende motivation att studera matematik.
Teknik: individuellt differentierat lärande, IKT.
Lär ut metoder : verbala, visuella, praktiska, problematiska.
Arbetsformer: individuell, frontal, i par.
Utrustning och material för lektionen:projektor, duk, PC, simulator(Bilaga nr 1), presentation för lektionen(Bilaga nr 2), individuellt - differentierade kort för självständigt arbete i par(Bilaga nr 3), lista över webbplatser, individuellt differentierade läxa (Bilaga nr 4).
Förklaring till mästarklassen.
Denna mästarklass hålls i årskurs 11 för att förbereda sig för tentamen. Syftar till att tillämpa teoretiskt material på ämnet "Derivat av en funktion" vid lösning av examinationsuppgifter.
Mästarklassens varaktighet- 20 minuter.
Strukturen för mästarklassen
I. Organisationsmoment -1 min.
II Kommunikation av ämnet, mästarklassens mål, motivation för utbildningsaktiviteter - 1 min.
III. Framarbete. Utbildning "Tasks No. 14 BASE, No. 7 PROFILE USE". Analys av arbetet med simulatorn - 7 min.
IV.Individuellt - differentierat arbete i par. Gör-det-själv-lösning uppgifter nr 12. (PROFIL) Ömsesidig kontroll - 9 min. On-line testning (BASE) Analys av testresultat - 8 min
V. Kontrollera individuella läxor. -1 minut.
VI. Individuellt differentierade läxor -1 min.
VII. KONTROLLTEST 20 MINUTTER (4 ALTERNATIV)
Master class framsteg
jag .Arrangera tid.
II .Kommunikation av ämnet, mål för mästarklassen, motivering av pedagogiska aktiviteter.
(Bild 1-2, Bilaga nr 2)
Ämnet för vår lektion är "Derivatan av en funktion i ANVÄND uppdrag". Alla känner till talesättet "Spolen är liten och dyr." En av dessa "spolar" i matematik är derivatan. Derivatan används för att lösa många praktiska problem inom matematik, fysik, kemi, ekonomi och andra discipliner. Det låter dig lösa problem enkelt, vackert, intressant.
Ämnet "Derivat" presenteras i uppgift nr 14 på grundnivån och i uppgifter profilnivå nr 7,12, 18 och unified state examen.
Du har arbetat med dokument som reglerar strukturen och innehållet i kontrollmätmaterialen för Unified State Examination in Mathematics 2018. Avsluta vilka kunskaper och färdigheter du behöver för att framgångsrikt lösa problemen med Unified State Examination på ämnet "Derivative".
(Bild 3-4, Bilaga #2)
du studerade "Kodifierare av innehållselement i MATHEMATICS för sammanställning av kontrollmätmaterial för att genomföra en enhetlig undersökning",
"Kodifierare av krav för utbildningsnivån för utexaminerade", "Specifikation av kontrollmätmaterial", " Demoversion kontrollmätmaterial från Unified State examen 2018 "och kommit på vilka kunskaper och färdigheter om en funktion och dess derivata behövs för att framgångsrikt lösa problem i ämnet "Derivat".
Nödvändig
- KÄNNA TILL
regler för beräkning av derivat;
derivator av grundläggande elementära funktioner;
geometrisk och fysisk betydelse av derivatan;
ekvationen för tangenten till grafen för funktionen;
undersökning av en funktion med hjälp av en derivata.
- KUNNA
utföra åtgärder med funktioner (beskriv beteendet och egenskaperna för en funktion enligt grafen, hitta dess max- och minivärden).
- ANVÄNDA SIG AV
förvärvade kunskaper och färdigheter i praktisk verksamhet och vardagsliv.
Du har teoretiska kunskaper inom ämnet "Derivat". Idag ska viLÄR ATT ANVÄNDA KUNSKAP OM DERIVATFUNKTIONEN FÖR LÖSNING AV ANVÄNDNINGSPROBLEM.(Bild 4, ansökan nummer 2)
Trots allt inte utan anledning Aristoteles sa det"INTELLIGENS BESTÅR INTE BARA I KUNSKAP, UTAN OCKSÅ I Förmågan att tillämpa kunskap i praktiken"(Bild 5, ansökan nummer 2)
I slutet av lektionen kommer vi att återgå till målet med vår lektion och ta reda på om vi har uppnått det?
III . Framarbete.Utbildning "Tasks No. 14 BASE No. 7 USE PROFILE" ( Bilaga nr 1). Analys av arbetet med simulatorn.
Välj rätt svar bland de fyra givna.
Vad tycker du är svårigheten att klara uppgift nummer 7?
Vad tror du är de typiska misstagen som akademiker gör på provet när de löser det här problemet?
När du svarar på frågorna i uppgift nr 14 BAS OCH PROFIL nr 7 ska du kunna beskriva beteendet och egenskaperna hos en funktion med hjälp av en derivationsgraf, och beteendet och egenskaperna hos en derivationsfunktion med hjälp av en funktionsgraf. Och detta kräver goda teoretiska kunskaper om följande ämnen: ”Geometrisk och mekanisk betydelse av derivatan. Tangent till grafen för en funktion. Tillämpning av derivatan för studier av funktioner.
Analysera vilka uppgifter som orsakade dig svårigheter?
Vilka teoretiska frågor behöver du veta?
IV. Onlinetestning enligt uppgift nr 14 (BASE)Analys av testresultat.
Webbplats för att testa i lektionen:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/
Vem gjorde inte misstag?
Vem upplevde svårigheter med att testa? Varför?
Vilka uppgifter är fel?
Avsluta vilka teoretiska frågor du behöver veta?
Individuellt - differentierat arbete i par. Oberoende lösning av problem nr 12. (PROFIL)Ömsesidig verifiering.(Bilaga nr 3)
Kom ihåg algoritmen för att lösa problem nr 12 i USE för att hitta extrema punkter, funktionsextrema, de största och minsta värdena för funktionen på intervallet med hjälp av derivatan.
Lös problem med hjälp av derivatan
Eleverna fick följande problem:
"Tänk på det, är det möjligt att lösa vissa problem nr 12 på ett annat sätt, utan att använda en derivata?"
1 par
2 par
3 par
4 par
(Eleverna försvarar sin lösning genom att skriva ner huvudstegen för problemlösning på tavlan. Eleverna ger två sätt att lösa problem #2.)
Lösning av ett problem. Slutsats som eleverna ska dra:
"Vissa uppgifter nr 12 i Unified State Examination om att hitta de minsta och största värdena av en funktion kan lösas utan att använda en derivata, baserat på funktioners egenskaper."
Analysera vilket misstag du gjorde i uppgiften?
Vilka teoretiska frågor behöver du upprepa?
V. Kontrollera individuella läxor. (Bild 7-8, Bilaga #2)
Vegelman V. fick individuell läxa: från handböckerna för förberedelse för Unified State Examination nr 18.
(Eleven ger en lösning på problemet, baserad på den funktionell-grafiska metoden, som en av metoderna för att lösa problem nr 18 av Unified State Examination och ger en kort förklaring av denna metod).
VII. Individuellt differentierade läxor
(Bild 9, ansökan nummer 2), (Bilaga nr 4).
Jag har förberett en lista över webbplatser för att förbereda mig inför provet. Du kan också testa online på dessa webbplatser. För nästa lektion behöver du: 1) upprepa det teoretiska materialet om ämnet "Derivat av en funktion";
2) på sajten "Öppen bank med uppdrag i matematik" (http://mathege.ru/ ) hitta prototyperna för uppgifter nr 14 BAS OCH PROFIL nr 7 och 12 och lösa minst 10 PROFILuppgifter;
3) Vegelman V., lösa problem med parametrar (BILAGA 4). uppgifter 1-8 (alternativ 1).EN GRUNDLÄGGANDE NIVÅ AV
VIII. Lektionsbetyg.
Vilket betyg skulle du ge dig själv på lektionen?
Tror du att du skulle kunna göra det bättre i klassen?
IX. Sammanfattning av lektionen. Reflexion
Låt oss sammanfatta vårt arbete. Vad var syftet med lektionen? Tror du att det har uppnåtts?
Titta på tavlan och i en mening, välj början av frasen, fortsätt den mening som passar dig bäst.
Jag kände…
Jag lärde…
Jag lyckades …
Jag lyckades...
Jag ska försöka …
Jag blev förvånad över det …
Jag ville…
Kan du säga att det skedde en berikning av din kunskapsstock under lektionen?
Så du upprepade de teoretiska frågorna om funktionens derivata, använde dina kunskaper för att lösa prototyperna för ANVÄNDNINGSuppgifterna (nr 14 BASIC LEVEL nr 7.12 PROFILNIVÅ) och elev Vegelman V. slutförde uppgift nr 18 med en parameter, som är en uppgift för en ökad grad svårigheter.
Det var ett nöje att arbeta med dig, och jag hoppas att du framgångsrikt kommer att kunna tillämpa de kunskaper du fått i matematiklektionerna inte bara i klara provet men även i vidare studier.
Jag skulle vilja avsluta lektionen med en italiensk filosofs ordThomas av Aquino"Kunskap är en så dyrbar sak att det inte är skamligt att få den från någon källa"(Bild 10, Bilaga nr 2).
Jag önskar dig framgång med att förbereda dig inför provet!
Förhandsvisning:
För att använda förhandsgranskningen av presentationer, skapa ett Google-konto (konto) och logga in: https://accounts.google.com
Bildtexter:
Förberedelse för examen SIMULATOR på ämnet "DERIVAT" Uppgift nr 14 grundnivå, nr 7, 12 profilnivå
f(x) f / (x) x Vi utforskar grafens egenskaper och vi kommer att kunna svara på många frågor om funktionens egenskaper, även om grafen för själva funktionen inte presenteras! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 , där f / (x) =0 (dessa är funktionens nollor). + – – + +
UPPGIFT № 14 Matematik grundnivå
Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och markerade punkterna A, B, C och D på axeln Ox. Använd grafen för att matcha varje punkt med egenskaperna hos funktionen och dess derivata. A B C D vid punkten är positiv, och värdet på derivatan av funktionen vid punkten är positivt
Nr 1 Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och markerade punkterna A, B, C och D på axeln Ox. Använd grafen för att matcha varje punkt med egenskaperna hos funktionen och dess derivata. 1) värdet på funktionen vid punkten är positivt och värdet på funktionens derivata vid punkten är negativt 2) värdet på funktionen vid punkten är negativt och värdet på funktionens derivata vid punkten punkten är negativ 3) värdet på funktionen vid punkten är positivt och värdet på funktionens derivata vid punkten är positivt 4) värdet på funktionen vid punkten är negativt och värdet på derivatan av funktionen vid punkten är positiv A B C D
Figuren visar grafen för funktionen y=f(x). Punkterna a, b, c, d och e definierar intervall på Ox-axeln. Använd grafen för att matcha varje intervall med egenskapen för en funktion eller dess derivata. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) funktionens värden är positiva vid varje punkt i intervallet 2) värdena av funktionens derivata är negativa vid varje punkt i intervallet 3) funktionens derivator är positiva vid varje punkt i intervallet 4) funktionens värden är negativa vid varje punkt i intervallet
Figuren visar grafen för funktionen y=f(x). Siffrorna a, b, c, d och e definierar intervall på Ox-axeln. Använd grafen för att matcha varje intervall med egenskapen för en funktion eller dess derivata. A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) funktionens värden är positiva vid varje punkt i intervallet 2) värdena av funktionen är negativa vid varje punkt i intervallet 3) värdena på derivatfunktionerna är negativa vid varje punkt i intervallet 4) värdena på derivatan av funktionen är positiva vid varje punkt i intervallet
Figuren visar en funktionsgraf och tangenter ritade till den vid punkter med abskissorna A , B , C och D . A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3
Figuren visar en funktionsgraf och tangenter ritade till den vid punkter med abskissorna A , B , C och D . A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123
UPPGIFT № 7 Matematik profilnivå
Problem med den geometriska betydelsen av derivatan
1) Figuren visar grafen för funktionen y \u003d f (x) och tangenten till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan vid punkten x 0. -2 -0,5 2 0,5 Tänk! Tror! Höger! Tror! x 0 Den geometriska betydelsen av derivatan: k \u003d tg α Lutningsvinkeln för tangenten till Ox-axeln är trubbig, vilket betyder k
5 11 8 2) Den kontinuerliga funktionen y = f(x) definieras på intervallet (-6; 7). Figuren visar dess graf. Hitta antalet punkter där tangenten till funktionens graf är parallell med linjen y = 6. Kontrollera y = f(x) y x 3 Tänk! Tror! Tror! Höger! - 6 7 y = 6 . Brytpunkt. Vid denna tidpunkt existerar INTE derivatan! О -4 3 5 1.5
Uppgifter för att bestämma egenskaperna för en funktion från grafen för dess derivata
3) Figuren visar en graf av derivatan av funktionen y \u003d f / (x), given på intervallet (- 6; 8). Undersök funktionen y \u003d f (x) för ett extremum och ange antalet dess extremumpunkter. 2 1 4 5 Fel! Inte sant! Höger! Inte sant! Kontrollera (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max O
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Figuren visar en graf av derivatan av en funktion definierad på intervallet [-5;5] . Undersök funktionen för monotoni och ange den största maxpunkten. 3 2 4 5 Tänk! Tror! Höger! Tror! y = f / (x) + + + - - O - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Av de två maxpunkterna är den största x max = 3 max max y
7) Figuren visar en graf över derivatan av en funktion. Hitta längden på ökningsintervallet för denna funktion. Kontrollera O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 TÄNK! + TÄNK! HÖGER! TROR! y x 3 y = f / (x)
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Figuren visar en graf av derivatan av en funktion definierad på intervallet [-5;5] . Undersök funktionen y \u003d f (x) för monotonicitet och ange antalet intervall för minskning. 3 2 4 1 Tänk! Tror! Höger! Tror! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y
Uppgifter för att bestämma derivatans egenskaper enligt grafen för en funktion.
Figuren visar en graf över en differentierbar funktion y = f (x). Nio punkter är markerade på x-axeln: x 1 , x 2 , ..., x 9 . Hitta alla markerade punkter där derivatan av funktionen f(x) är negativ. Ange antalet av dessa punkter i ditt svar.
Figuren visar en graf över funktionen y \u003d f (x) definierad på intervallet (a; b). Bestäm antalet heltalspunkter där derivatan av funktionen är positiv. a) b) Bestäm själv! Lösning. om det ökar. Hela lösningar för: x=-2; x=-1; x=5; x=6. Deras antal är 4. Hela lösningar för: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. Deras nummer är 5. Svar: 4. Svar: 5.
Problem med den fysiska betydelsen av derivatan
Svar: 3 Svar: 14
UPPGIFT № 12 Matematik profilnivå
Självständigt arbete i par Uppgift nr 12 Profilnivå
Förhandsvisning:
Ansökan 3 individuella kort nr 12
1. Hitta maxpunkten för funktionen1 Hitta minimipunkten för funktionen
2. Hitta maxpunkten för funktionen
2 Hitta minimipunkten för funktionen
Linnik D. Vovnenko Ya
1. Hitta det minsta värdet på funktionen
1. Hitta det största värdet på funktionen
på segmentet 
på segmentet 
Wegelman V.
Logvinyuk A.
1. Hitta maxpunkten för funktionen
1. Hitta minimipunkten för funktionen
2. Hitta det minsta värdet på funktionen
2. Hitta det största värdet på funktionen
på segmentet 
På segmentet 
Leontieva A. Isaenko K.
Kommunal läroanstalt
"Saltykovskaya mitten grundskola
Rtishchevsky-distriktet i Saratov-regionen
Mästarklass i matematik
i 11:e klass
om detta ämne
"DERIVATIV FUNKTION
I ANVÄNDNINGSUPPGIFTER "
Ledde mattelärare
Beloglazova L.S.
läsåret 2012-2013
Syftet med mästarklassen : att utveckla elevernas färdigheter i att tillämpa teoretisk kunskap om ämnet "Derivative of a Function" för att lösa problem med det enhetliga provet.
Uppgifter
Pedagogisk: generalisera och systematisera elevernas kunskaper om ämnet
"The derivative of the function", för att överväga prototyperna av USE-problemen i detta ämne, för att ge eleverna möjlighet att testa sina kunskaper samtidigt som de löser problem på egen hand.
Utvecklande: främja utvecklingen av minne, uppmärksamhet, självkänsla och självkontroll; bildandet av grundläggande nyckelkompetenser (jämförelse, sammanställning, klassificering av objekt, bestämning av adekvata metoder för att lösa ett inlärningsproblem baserat på givna algoritmer, förmågan att agera självständigt i en situation av osäkerhet, kontrollera och utvärdera ens aktiviteter, hitta och eliminera orsaker till svårigheter som har uppstått).
Pedagogisk: främja:
bildandet av elevers ansvarsfulla inställning till lärande;
utveckling av ett hållbart intresse för matematik;
skapa positiv inneboende motivation att studera matematik.
Teknologi: individuellt differentierat lärande, IKT.
Lär ut metoder: verbala, visuella, praktiska, problematiska.
Arbetsformer: individuell, frontal, i par.
Utrustning och material för lektionen: projektor, duk, PC för varje elev, simulator (Bilaga nr 1), presentation för lektionen (Bilaga nr 2), individuellt - differentierade kort för självständigt arbete i par (Bilaga nr 3), lista över webbplatser, individuellt differentierade läxor (Bilaga nr 4).
Förklaring till mästarklassen. Denna mästarklass hålls i årskurs 11 för att förbereda sig för tentamen. Syftar till att tillämpa teoretiskt material på ämnet "Derivat av en funktion" vid lösning av examinationsuppgifter.
Mästarklassens varaktighet- 30 minuter.
Strukturen för mästarklassen
I. Organisationsmoment -1 min.
II Kommunikation av ämnet, mästarklassens mål, motivation för utbildningsaktiviteter - 1 min.
III. Framarbete. Utbildning "Uppdrag B8 ANVÄNDNING". Analys av arbetet med simulatorn - 6 min.
IV.Individuellt - differentierat arbete i par. Oberoende problemlösning B14. Ömsesidig kontroll - 7 min.
V. Kontrollera individuella läxor. Uppgift med parameter C5 ANVÄND
3 min.
VI .On-line testning. Analys av testresultat - 9 min.
VII. Individuellt differentierade läxor -1 min.
VIII. Betyg på lektionen - 1 min.
IX. Lektionssammanfattning. Reflektion -1 min.
Master class framsteg
jag .Arrangera tid.
II .Kommunikation av ämnet, mål för mästarklassen, motivering av pedagogiska aktiviteter.
(Bild 1-2, Bilaga nr 2)
Ämnet för vår lektion är "Derivatan av en funktion i tentamens uppgifter." Alla känner till talesättet "Spolen är liten och dyr." En av dessa "spolar" i matematik är derivatan. Derivatan används för att lösa många praktiska problem inom matematik, fysik, kemi, ekonomi och andra discipliner. Det låter dig lösa problem enkelt, vackert, intressant.
Ämnet "Derivat" presenteras i uppgifterna i del B (B8, B14) i det enhetliga provet. Vissa C5-uppgifter kan också lösas med hjälp av en derivata. Men för att lösa dessa problem krävs goda matematiska förberedelser och icke-standardiserat tänkande.
Du har arbetat med de dokument som reglerar strukturen och innehållet i kontrollmätmaterialen för enhetsprovet i matematik 2013. Dra slutsatsen attvilka kunskaper och färdigheter behöver du för att framgångsrikt lösa problemen med provet på ämnet "Derivat".
(Bild 3-4, Bilaga nr 2)
Vi studerat"Kodifierare innehållselement i MATEMATIK för sammanställning av kontrollmätmaterial för att genomföra en enhetlig examen",
"Kodifierare av krav på utbildningsnivån för utexaminerade","Specifikation kontrollera mätmaterial","Demoversion"kontrollmätmaterial från Unified State examen 2013 "ochkommit på vilka kunskaper och färdigheter om en funktion och dess derivata behövs för att framgångsrikt lösa problem i ämnet "Derivat".
Nödvändig
KÄNNA TILL
P regler för beräkning av derivat;
derivator av grundläggande elementära funktioner;
geometrisk och fysisk betydelse av derivatan;
ekvationen för tangenten till grafen för funktionen;
undersökning av en funktion med hjälp av en derivata.
KUNNA
utföra åtgärder med funktioner (beskriv beteendet och egenskaperna för en funktion enligt grafen, hitta dess max- och minivärden).
ANVÄNDA SIG AV
förvärvade kunskaper och färdigheter i praktisk verksamhet och vardagsliv.
Du har teoretiska kunskaper inom ämnet "Derivat". Idag ska viLÄR ATT ANVÄNDA KUNSKAP OM DERIVATFUNKTIONEN FÖR LÖSNING AV ANVÄNDNINGSPROBLEM. ( Bild 4, ansökan nummer 2)
Trots allt inte utan anledning Aristoteles sa det "INTELLIGENS BESTÅR INTE BARA I KUNSKAP, UTAN OCKSÅ I Förmågan att tillämpa kunskap i praktiken"( Bild 5, ansökan nummer 2)
I slutet av lektionen kommer vi att återgå till målet med vår lektion och ta reda på om vi har uppnått det?
III . Framarbete. Utbildning "Uppdrag B8 ANVÄNDNING" (Bilaga nr 1) . Analys av arbetet med simulatorn.
Välj rätt svar bland de fyra givna.
Vad tycker du är svårigheten att klara uppgift B8?
Vad tror du är de typiska misstagen som akademiker gör på provet när de löser det här problemet?
När du svarar på frågorna i uppgift B8 ska du kunna beskriva beteendet och egenskaperna hos en funktion på grafen för derivatan, och på grafen för funktionen, beteendet och egenskaperna för funktionens derivata. Och detta kräver goda teoretiska kunskaper om följande ämnen: ”Geometrisk och mekanisk betydelse av derivatan. Tangent till grafen för en funktion. Tillämpning av derivatan för studier av funktioner.
Analysera vilka uppgifter som orsakade dig svårigheter?
Vilka teoretiska frågor behöver du veta?
IV. Individuellt - differentierat arbete i par. Oberoende problemlösning B14. Ömsesidig verifiering. (Bilaga nr 3)
Kom ihåg algoritmen för att lösa problem (B14 USE) för att hitta extrema punkter, extrema för en funktion, de största och minsta värdena för en funktion i ett intervall med hjälp av en derivata.
Lös problem med hjälp av derivatan.
Eleverna fick följande problem:
"Tänk på det, kan vissa B14-problem lösas på ett annat sätt, utan att använda ett derivat?"
1 par(Lukyanova D., Gavryushina D.)
1)B14. Hitta minimipunkten för funktionen y \u003d 10x-ln (x + 9) + 6
2) B14.Hitta det största värdet på en funktiony =
– Försök att lösa det andra problemet på två sätt.
2 par(Saninskaya T., Sazanov A.)
1)B14.Hitta det minsta värdet på funktionen y=(x-10) på segmentet
2) B14. Hitta maxpunkten för funktionen y \u003d - 
(Eleverna försvarar sin lösning genom att skriva ner huvudstegen för att lösa problem på tavlan. Elever om 1 par (Lukyanova D., Gavryushina D.) tillhandahålla två sätt att lösa problem #2).
Lösning av ett problem. Slutsats som eleverna ska dra:
"Vissa B14 USE-problem med att hitta de minsta och största värdena på en funktion kan lösas utan att använda en derivata, baserat på funktioners egenskaper."
Analysera vilket misstag du gjorde i uppgiften?
Vilka teoretiska frågor behöver du upprepa?
V. Kontrollera individuella läxor. Uppgift med parameter C5(USE) ( Bild 7-8, Bilaga #2)
Lukyanova K. fick en individuell hemuppgift: välj ett problem med parametern (C5) från manualerna för att förbereda provet och lös det med hjälp av derivatan.
(Eleven ger en lösning på problemet, utifrån den funktionell-grafiska metoden, som en av metoderna för att lösa problem C5 ANVÄNDNING och ger en kort förklaring till denna metod).
Vilken kunskap om funktionen och dess derivata är nödvändig för att lösa problem C5 ANVÄNDNING?
V I. Onlinetestning för uppgifter B8, B14. Analys av testresultat.
Webbplats för att testa i lektionen:
Vem gjorde inte misstag?
Vem upplevde svårigheter med att testa? Varför?
Vilka uppgifter är fel?
Avsluta vilka teoretiska frågor du behöver veta?
VI jag. Individuellt differentierade läxor
(Bild 9, ansökan nummer 2), (Bilaga nr 4).
Jag har förberett en lista över webbplatser för att förbereda mig inför provet. Du kan också surfa på dessa webbplatsern – linjetestning. För nästa lektion behöver du: 1) upprepa det teoretiska materialet om ämnet "Derivat av en funktion";
2) på sajten "Öppen bank med uppdrag i matematik" ( ) hitta prototyper av uppgifter B8 och B14 och lösa minst 10 uppgifter;
3) Lukyanova K., Gavryushina D. lösa problem med parametrar. Resten av eleverna löser problem 1-8 (alternativ 1).
VIII. Lektionsbetyg.
Vilket betyg skulle du ge dig själv på lektionen?
Tror du att du skulle kunna göra det bättre i klassen?
IX. Sammanfattning av lektionen. Reflexion
Låt oss sammanfatta vårt arbete. Vad var syftet med lektionen? Tror du att det har uppnåtts?
Titta på tavlan och i en mening, välj början av frasen, fortsätt den mening som passar dig bäst.
Jag kände…
Jag lärde…
Jag lyckades …
Jag lyckades...
Jag ska försöka …
Jag blev förvånad över det …
Jag ville…
Kan du säga att det skedde en berikning av din kunskapsstock under lektionen?
Så du upprepade de teoretiska frågorna om derivatan av en funktion, tillämpade sina kunskaper i att lösa prototyper av USE-uppgifter (B8, B14), och Lukyanova K. genomförde uppgift C5 med en parameter, vilket är en uppgift med ökad grad av komplexitet.
Jag trivdes med att jobba med dig och Jag hoppas att du framgångsrikt kommer att kunna tillämpa kunskaperna från matematiklektioner inte bara när du klarar provet, utan också i dina fortsatta studier.
Jag skulle vilja avsluta lektionen med en italiensk filosofs ord Thomas av Aquino"Kunskap är en så dyrbar sak att det inte är skamligt att få den från någon källa" (Bild 10, Bilaga nr 2).
Jag önskar dig framgång med att förbereda dig inför provet!
Derivatan av en funktion $y = f(x)$ vid en given punkt $х_0$ är gränsen för förhållandet mellan funktionens ökning och motsvarande ökning av dess argument, förutsatt att det senare tenderar mot noll:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Differentiering är operationen att hitta en derivata.
Tabell över derivator av några elementära funktioner
| Fungera | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Grundläggande regler för differentiering
1. Derivatan av summan (skillnaden) är lika med summan (skillnaden) av derivator
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Hitta derivatan av funktionen $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Derivatan av summan (skillnaden) är lika med summan (skillnaden) av derivatorna.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat av en produkt
$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Hitta derivatan $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$
3. Derivat av kvoten
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Hitta derivatan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den externa funktionen och derivatan av den interna funktionen
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$
Den fysiska betydelsen av derivatan
Om en materialpunkt rör sig i en rät linje och dess koordinater ändras beroende på tid enligt lagen $x(t)$, så är den momentana hastigheten för denna punkt lika med funktionens derivata.
Punkten rör sig längs koordinatlinjen enligt lagen $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, där $x(t)$ är koordinaten vid tiden $t$. Vid vilken tidpunkt kommer punktens hastighet att vara lika med $12$?
1. Hastighet är en derivata av $x(t)$, så låt oss hitta derivatan av den givna funktionen
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. För att hitta vid vilken tidpunkt $t$ hastigheten var lika med $12$, komponerar vi och löser ekvationen:
Den geometriska betydelsen av derivatan
Kom ihåg att ekvationen för en rät linje som inte är parallell med koordinataxlarna kan skrivas som $y = kx + b$, där $k$ är den räta linjens lutning. Koefficienten $k$ är lika med tangenten för lutningen mellan den räta linjen och den positiva riktningen för $Ox$-axeln.
Derivatan av funktionen $f(x)$ i punkten $x_0$ är lika med lutningen $k$ för tangenten till grafen vid den givna punkten:
Därför kan vi göra en generell jämlikhet:
$f"(x_0) = k = tgα$
I figuren ökar tangenten till funktionen $f(x)$, därav koefficienten $k > 0$. Eftersom $k > 0$, då $f"(x_0) = tgα > 0$. Vinkeln $α$ mellan tangenten och den positiva riktningen $Ox$ är skarp.
I figuren minskar tangenten till funktionen $f(x)$, därav koefficienten $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
I figuren är tangenten till funktionen $f(x)$ parallell med $Ох$-axeln, därav koefficienten $k = 0$, därav $f"(x_0) = tg α = 0$. Punkten $ x_0$ där $f "(x_0) = 0$, anropad extremum.
Figuren visar grafen för funktionen $y=f(x)$ och tangenten till denna graf ritad vid punkten med abskissan $x_0$. Hitta värdet på derivatan av funktionen $f(x)$ vid punkten $x_0$.
Tangenten till grafen ökar, därför $f"(x_0) = tg α > 0$
För att hitta $f"(x_0)$, hittar vi tangenten för lutningen mellan tangenten och den positiva riktningen för $Ox$-axeln. För att göra detta slutför vi tangenten till triangeln $ABC$.
Hitta tangenten för vinkeln $BAC$. (tangent spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$
$f"(x_0) = tg DU = $0,25
Svar: $0,25
Derivaten används också för att hitta intervallen för ökande och minskande funktioner:
Om $f"(x) > 0$ på ett intervall, så ökar funktionen $f(x)$ på detta intervall.
Om $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Figuren visar grafen för funktionen $y = f(x)$. Hitta bland punkterna $х_1,х_2,х_3…х_7$ de punkter där derivatan av funktionen är negativ.
Skriv ner antalet datapunkter som svar.
