Exponentiella ojämlikheter grafisk lösning av ekvationer och ojämlikheter. Att lösa exponentiella ojämlikheter: grundläggande metoder

Där rollen som $b$ kan vara ett vanligt nummer, eller kanske något tuffare. Exempel? Ja tack:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jag tror att innebörden är tydlig: det finns en exponentiell funktion $((a)^(x))$, den jämförs med något och ombeds sedan hitta $x$. I särskilt kliniska fall kan de istället för variabeln $x$ sätta någon funktion $f\left(x \right)$ och därigenom komplicera ojämlikheten lite. :)

Naturligtvis kan ojämlikheten i vissa fall se allvarligare ut. Till exempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller till och med detta:

I allmänhet kan komplexiteten hos sådana ojämlikheter vara väldigt olika, men i slutändan kommer de ändå ner till en enkel konstruktion $((a)^(x)) \gt b$. Och vi kommer på något sätt att hantera en sådan design (i särskilt kliniska fall, när ingenting kommer att tänka på, kommer logaritmer att hjälpa oss). Därför kommer vi nu att lära oss hur man löser sådana enkla konstruktioner.

Lösning av de enklaste exponentiella ojämlikheterna

Låt oss titta på något mycket enkelt. Till exempel, här är det:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Uppenbarligen kan siffran till höger skrivas om som en potens av två: $4=((2)^(2))$. Således skrivs den ursprungliga ojämlikheten om i en mycket bekväm form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Och nu kliar händerna efter att "kryssa över" tvåorna, stående i gradernas baser, för att få svaret $x \gt 2$. Men innan vi stryker över något, låt oss komma ihåg krafterna hos två:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som du kan se, ju större nummer i exponenten, desto större utdatanummer. "Tack, Cap!" kommer en av eleverna att utbrista. Händer det annorlunda? Tyvärr händer det. Till exempel:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ höger))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Även här är allt logiskt: ju större grad, desto fler gånger multipliceras talet 0,5 med sig självt (det vill säga delas på hälften). Således minskar den resulterande sekvensen av tal, och skillnaden mellan den första och andra sekvensen är bara i basen:

• Om basen för grad $a \gt 1$, då exponenten $n$ växer, kommer talet $((a)^(n))$ också att växa;
• Omvänt, om $0 \lt a \lt 1$, då exponenten $n$ växer, kommer talet $((a)^(n))$ att minska.

När vi sammanfattar dessa fakta får vi det viktigaste uttalandet som hela beslutet bygger på. exponentiella ojämlikheter:

Om $a \gt 1$ är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \gt n$. Om $0 \lt a \lt 1$, så är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \lt n$.

Med andra ord, om basen är större än en kan du helt enkelt ta bort den - olikhetstecknet kommer inte att ändras. Och om basen är mindre än en, kan den också tas bort, men tecknet på ojämlikhet måste också ändras.

Observera att vi inte har övervägt alternativen $a=1$ och $a\le 0$. För i dessa fall råder osäkerhet. Antag hur man löser en olikhet av formen $((1)^(x)) \gt 3$? En etta till vilken makt som helst kommer igen att ge en etta - vi kommer aldrig att få en trea eller fler. De där. det finns inga lösningar.

Med negativa grunder är det ännu mer intressant. Tänk till exempel på följande ojämlikhet:

\[((\vänster(-2 \höger))^(x)) \gt 4\]

Vid första anblicken är allt enkelt:

Korrekt? Men nej! Det räcker med att ersätta ett par jämna och ett par udda tal istället för $x$ för att säkerställa att lösningen är fel. Ta en titt:

\[\begin(align) & x=4\Högerpil ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Högerpil ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se växlar tecknen. Men det finns fortfarande bråkgrader och annat tenn. Hur skulle du till exempel beställa att räkna $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus två upphöjda till roten av sju)? Aldrig!

Därför antar vi för visshetens skull att i alla exponentiella ojämlikheter (och ekvationer förresten också) $1\ne a \gt 0$. Och sedan är allt löst väldigt enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Högerpil \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

I allmänhet, kom ihåg huvudregeln återigen: om basen i exponentialekvationen är större än en kan du helt enkelt ta bort den; och om basen är mindre än en kan den också tas bort, men detta kommer att ändra olikhetstecknet.

Exempel på lösningar

Så överväg några enkla exponentiella ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primära uppgiften är densamma i alla fall: att reducera ojämlikheterna till den enklaste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Detta är vad vi nu kommer att göra med varje olikhet, och samtidigt kommer vi att upprepa egenskaperna hos potenser och exponentialfunktionen. Låt oss gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Vad kan göras här? Jo, till vänster har vi redan ett demonstrativt uttryck – inget behöver ändras. Men till höger finns det något slags skit: en bråkdel, och till och med en rot i nämnaren!

Kom dock ihåg reglerna för att arbeta med bråk och potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Vad betyder det? För det första kan vi enkelt bli av med bråket genom att göra det till en negativ exponent. Och för det andra, eftersom nämnaren är roten, skulle det vara trevligt att förvandla den till en grad – den här gången med en bråkdelsexponent.

Låt oss tillämpa dessa åtgärder sekventiellt på den högra sidan av ojämlikheten och se vad som händer:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Glöm inte att när du höjer en grad till en potens, läggs exponenterna för dessa grader till. Och i allmänhet, när man arbetar med exponentiella ekvationer och ojämlikheter, är det absolut nödvändigt att känna till åtminstone de enklaste reglerna för att arbeta med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\vänster(((a)^(x)) \höger))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Egentligen tillämpade vi bara den sista regeln. Därför kommer vår ursprungliga ojämlikhet att skrivas om enligt följande:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Högerpil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nu blir vi av med tvåan vid basen. Eftersom 2 > 1 förblir olikhetstecknet detsamma:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Högerpil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Den största svårigheten ligger inte alls i den exponentiella funktionen, utan i den kompetenta omvandlingen av det ursprungliga uttrycket: du måste noggrant och så snabbt som möjligt föra det till sin enklaste form.

Tänk på den andra ojämlikheten:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Men, men. Här väntar vi på decimalbråk. Som jag har sagt många gånger, i alla uttryck med potenser, bör du bli av med decimalbråk - ofta är detta det enda sättet att se en snabb och enkel lösning. Här är vad vi blir av med:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ höger))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Högerpil ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Framför oss är återigen den enklaste ojämlikheten, och även med basen 1/10, d.v.s. mindre än en. Tja, vi tar bort baserna och ändrar samtidigt tecknet från "mindre" till "större", och vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi fick det slutliga svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observera att svaret är exakt mängden, och i inget fall är konstruktionen av formen $x \lt -1$. För formellt sett är en sådan konstruktion inte alls en mängd, utan en olikhet med avseende på variabeln $x$. Ja, det är väldigt enkelt, men det är inte svaret!

Viktig notering. Denna ojämlikhet skulle kunna lösas på ett annat sätt - genom att reducera båda delarna till en potens med en bas större än en. Ta en titt:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Högerpil ((\vänster(((10)^(-1)) \höger))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Högerpil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Efter en sådan transformation får vi återigen en exponentiell olikhet, men med basen 10 > 1. Och det betyder att du helt enkelt kan stryka över tio - olikhetstecknet kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se är svaret exakt detsamma. Samtidigt räddade vi oss från behovet av att byta skylt och i allmänhet komma ihåg några regler där. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Men låt det inte skrämma dig. Vad som än står i indikatorerna förblir tekniken för att lösa själva ojämlikheten densamma. Därför noterar vi först att 16 = 2 4 . Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten med hänsyn till detta faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fick den vanliga kvadratiska ojämlikheten! Tecknet har inte ändrats någonstans, eftersom basen är en tvåa - ett tal större än ett.

Funktionsnollor på tallinjen

Vi ordnar tecknen för funktionen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - uppenbarligen kommer dess graf att vara en parabel med grenar uppåt, så det kommer att finnas "plus " på sidorna. Vi är intresserade av regionen där funktionen är mindre än noll, d.v.s. $x\in \left(2;5 \right)$ är svaret på det ursprungliga problemet.

Tänk slutligen på en annan ojämlikhet:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Återigen ser vi en exponentialfunktion med ett decimaltal i basen. Låt oss konvertera denna bråkdel till en vanlig bråkdel:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Högerpil \\ & \Högerpil ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\vänster(((5)^(-1)) \höger))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I det här fallet utnyttjade vi anmärkningen som gjordes tidigare - vi minskade basen till siffran 5\u003e 1 för att förenkla vårt ytterligare beslut. Låt oss göra samma sak med höger sida:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ höger))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten, med hänsyn till båda transformationerna:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Högerpil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \höger)))\ge ((5)^(-2))\]

Baserna på båda sidor är samma och större än en. Det finns inga andra termer till höger och vänster, så vi "kryssar" bara femmorna och vi får ett väldigt enkelt uttryck:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det är här du måste vara försiktig. Många elever gillar att helt enkelt ta kvadratroten från båda sidor av ojämlikheten och skriva något som $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Du bör aldrig göra detta, eftersom roten till den exakta kvadraten är modulen, och inte på något sätt den ursprungliga variabeln:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\vänster| x\höger|\]

Att arbeta med moduler är dock inte den roligaste upplevelsen, eller hur? Så vi kommer inte att jobba. Istället flyttar vi helt enkelt alla termer åt vänster och löser den vanliga ojämlikheten med intervallmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Återigen markerar vi de erhållna punkterna på tallinjen och tittar på tecknen:

Eftersom vi löste en icke strikt ojämlikhet är alla punkter på grafen skuggade. Därför blir svaret: $x\in \left[ -1;1 \right]$ är inte ett intervall, utan ett segment.

I allmänhet skulle jag vilja notera att det inte finns något komplicerat i exponentiella ojämlikheter. Innebörden av alla transformationer som vi utförde idag kokar ner till en enkel algoritm:

• Hitta basen till vilken vi ska minska alla grader;
• Utför noggrant transformationer för att få en olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naturligtvis, istället för variablerna $x$ och $n$, kan det finnas mycket mer komplexa funktioner, men det ändrar inte innebörden;
• Stryk över gradernas baser. I det här fallet kan olikhetstecknet ändras om basen $a \lt 1$.

I själva verket är detta en universell algoritm för att lösa alla sådana ojämlikheter. Och allt annat som kommer att berättas för dig om detta ämne är bara specifika knep och knep för att förenkla och påskynda omvandlingen. Här är ett av de knep vi ska prata om nu. :)

rationaliseringsmetod

Tänk på en annan grupp ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \höger))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Tja, vad är det som är så speciellt med dem? De är också lätta. Fast sluta! Är pi upphöjd till en makt? Vad är det för nonsens?

Och hur höjer man talet $2\sqrt(3)-3$ till en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Kompilatorerna av problemen drack uppenbarligen för mycket "Hawthorn" innan de satte sig till jobbet. :)

Det är faktiskt inget fel med dessa uppgifter. Låt mig påminna dig: en exponentialfunktion är ett uttryck av formen $((a)^(x))$, där basen $a$ är någon Positivt nummer, förutom enheten. Siffran π är positiv - det vet vi redan. Siffrorna $2\sqrt(3)-3$ och $3-2\sqrt(2)$ är också positiva - det är lätt att se om vi jämför dem med noll.

Det visar sig att alla dessa "skrämmande" ojämlikheter inte skiljer sig från de enkla som diskuterats ovan? Och gör de det på samma sätt? Ja, helt rätt. Men med deras exempel skulle jag vilja överväga ett knep som sparar mycket tid på självständigt arbete och tentor. Vi kommer att prata om metoden för rationalisering. Så uppmärksamhet:

Eventuell exponentiell olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ är ekvivalent med olikheten $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ höger) \gt 0 $.

Det är hela metoden :) Trodde du att det skulle bli något slags nästa spel? Inget sånt här! Men detta enkla faktum, bokstavligen skrivet på en rad, kommer att avsevärt förenkla vårt arbete. Ta en titt:

\[\begin(matris) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matris)\]

Här finns inga fler exponentiella funktioner! Och du behöver inte komma ihåg om skylten ändras eller inte. Men ett nytt problem uppstår: vad ska man göra med multiplikatorn \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet inte vad det exakta värdet på pi är. Men kaptenen verkar antyda det uppenbara:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ca 3,14... \gt 3\Högerpil \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

I allmänhet stör det exakta värdet av π oss inte mycket - det är bara viktigt för oss att förstå att i alla fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. är en positiv konstant, och vi kan dela båda sidor av ojämlikheten med den:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \höger) \gt 0 \\ & x+7-\vänster(((x)^(2))-3x+2 \höger) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, vid en viss tidpunkt var vi tvungna att dividera med minus ett, och olikhetstecknet ändrades. I slutet utökade jag kvadrattrinomialet enligt Vieta-satsen - det är uppenbart att rötterna är lika med $((x)_(1))=5$ och $((x)_(2))=- 1$. Sedan löses allt med den klassiska metoden med intervaller:

Alla punkter punkteras eftersom den ursprungliga ojämlikheten är strikt. Vi är intresserade av området med negativa värden, så svaret är $x\in \left(-1;5 \right)$. Det är lösningen. :)

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Allt är enkelt här, eftersom det finns en enhet till höger. Och vi kommer ihåg att en enhet är vilket tal som helst upphöjt till noll. Även om detta nummer är ett irrationellt uttryck, står vid basen till vänster:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \höger))^(0)); \\\end(align)\]

Så låt oss rationalisera:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det återstår bara att ta itu med tecknen. Multiplikatorn $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ innehåller inte variabeln $x$ - det är bara en konstant, och vi måste räkna ut dess tecken. För att göra detta, notera följande:

\[\begin(matris) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matris)\]

Det visar sig att den andra faktorn inte bara är en konstant, utan en negativ konstant! Och när man dividerar med det kommer tecknet på den ursprungliga ojämlikheten att ändras till motsatsen:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Nu blir allt ganska uppenbart. Rötter kvadratisk trinomium till höger: $((x)_(1))=0$ och $((x)_(2))=2$. Vi markerar dem på talraden och tittar på tecknen för funktionen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Vi är intresserade av intervallerna markerade med ett plustecken. Det återstår bara att skriva ner svaret:

Låt oss gå vidare till nästa exempel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ höger))^(16-x))\]

Tja, allt är ganska uppenbart här: baserna är potenser av samma nummer. Därför kommer jag att skriva allt kort:

\[\begin(matris) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Nedåt \\ ((\vänster(((3)^(-1)) \höger))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\vänster(((3)^(-2)) \höger))^(16-x)) \\\end(matris)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vänster(16-x\höger))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se var vi i transformationsprocessen tvungna att multiplicera med ett negativt tal, så olikhetstecknet ändrades. I slutet tillämpade jag återigen Vietas teorem för att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. Som ett resultat blir svaret följande: $x\in \left(-8;4 \right)$ - de som vill kan verifiera detta genom att rita en sifferlinje, markera punkter och räkna tecken. Under tiden kommer vi att gå vidare till den sista ojämlikheten från vår "uppsättning":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se är basen återigen ett irrationellt tal, och enheten är återigen till höger. Därför skriver vi om vår exponentiella ojämlikhet enligt följande:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ höger))^(0))\]

Låt oss rationalisera:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det är dock ganska uppenbart att $1-\sqrt(2) \lt 0$, eftersom $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Därför är den andra faktorn återigen en negativ konstant, med vilken båda delarna av ojämlikheten kan delas:

\[\begin(matris) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Byt till en annan bas

Ett separat problem för att lösa exponentiella ojämlikheter är sökandet efter den "rätta" basen. Tyvärr är det vid en första anblick av uppgiften långt ifrån alltid självklart vad man ska lägga till grund och vad man ska göra som graden av denna grund.

Men oroa dig inte: det finns ingen magi och "hemliga" tekniker här. Inom matematik kan alla färdigheter som inte kan algoritmiseras lätt utvecklas genom övning. Men för detta måste du lösa problem med olika komplexitetsnivåer. Dessa är till exempel:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Svår? Skrämmande? Ja, det är lättare än en kyckling på asfalten! Låt oss försöka. Första ojämlikheten:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Tja, jag tror att allt är klart här:

Vi skriver om den ursprungliga ojämlikheten och reducerar allt till basen "två":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Högerpil \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du förstod rätt: jag tillämpade precis den ovan beskrivna rationaliseringsmetoden. Nu måste vi arbeta försiktigt: vi fick en bråk-rationell olikhet (detta är en som har en variabel i nämnaren), så innan du likställer något med noll måste du reducera allt till en gemensam nämnare och bli av med konstantfaktorn .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nu använder vi standardintervallmetoden. Täljaren nollor: $x=\pm 4$. Nämnaren går till noll endast när $x=0$. Totalt är det tre punkter som ska markeras på talraden (alla punkter är utstansade, eftersom olikhetstecknet är strikt). Vi får:

Som du kanske gissar markerar kläckning de intervall med vilka uttrycket till vänster tar negativa värden. Därför kommer två intervaller att gå in i det slutliga svaret på en gång:

Ändarna på intervallen ingår inte i svaret eftersom den ursprungliga ojämlikheten var strikt. Ingen ytterligare validering av detta svar krävs. I detta avseende är exponentiella ojämlikheter mycket enklare än logaritmiska: ingen DPV, inga begränsningar, etc.

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Det finns inga problem här heller, eftersom vi redan vet att $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hela ojämlikheten kan skrivas om så här:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Högerpil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\vänster(-2\höger)\höger. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Observera: på den tredje raden bestämde jag mig för att inte slösa tid på bagateller och omedelbart dividera allt med (−2). Minul gick in i den första parentesen (nu finns det plus överallt), och tvåan reducerades med en konstant multiplikator. Det är precis vad du bör göra när du gör riktiga beräkningar för självständigt och kontrollarbete - du behöver inte måla upp varje handling och transformation direkt.

Därefter kommer den välbekanta metoden med intervaller in i bilden. Nollor i täljaren: men det finns inga. Eftersom diskriminanten kommer att vara negativ. I sin tur sätts nämnaren till noll endast när $x=0$ — precis som förra gången. Tja, det är klart att bråkdelen kommer att ta positiva värden till höger om $x=0$ och negativa till vänster. Eftersom vi bara är intresserade av negativa värden är det slutliga svaret $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Och vad ska man göra med decimalbråk i exponentiella olikheter? Det stämmer: bli av med dem genom att omvandla dem till vanliga. Här översätter vi:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Högerpil ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Högerpil ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \höger))^(x)). \\\end(align)\]

Tja, vad fick vi i baserna för exponentialfunktioner? Och vi fick två ömsesidiga siffror:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Högerpil ((\left(\frac(25)(4) \ höger))^(x))=((\vänster(((\vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-1)) \höger))^(x))=((\ vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-x))\]

Således kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om på följande sätt:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \höger))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Naturligtvis, när man multiplicerar potenser med samma bas, adderas deras indikatorer, vilket hände på den andra raden. Dessutom har vi representerat enheten till höger, även som en kraft i bas 4/25. Det återstår bara att rationalisera:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Observera att $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andra faktorn är en negativ konstant, och när den divideras med den kommer olikhetstecknet att ändras:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Högerpil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Slutligen, den sista ojämlikheten från den nuvarande "uppsättningen":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I princip är idén om en lösning här också tydlig: alla exponentiella funktioner som utgör ojämlikheten måste reduceras till basen "3". Men för detta måste du mixtra lite med rötter och grader:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Med tanke på dessa fakta kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \höger))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Var uppmärksam på den andra och tredje raden av beräkningar: innan du gör något med ojämlikhet, var noga med att ta det till den form som vi pratade om från början av lektionen: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Så länge du har vänster eller höger vänster multiplikatorer, extra konstanter, etc., ingen rationalisering och "överkorsning" av grunderna kan utföras! Otaliga uppgifter har gjorts fel på grund av ett missförstånd av detta enkla faktum. Jag själv observerar hela tiden detta problem med mina elever när vi precis börjar analysera exponentiella och logaritmiska ojämlikheter.

Men tillbaka till vår uppgift. Låt oss försöka klara oss utan rationalisering den här gången. Vi minns: gradens bas är större än en, så trippeln kan helt enkelt strykas över - ojämlikhetstecknet kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det är allt. Slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Markera ett stabilt uttryck och ersätta en variabel

Avslutningsvis föreslår jag att lösa ytterligare fyra exponentiella ojämlikheter, som redan är ganska svåra för oförberedda elever. För att klara av dem måste du komma ihåg reglerna för att arbeta med examina. I synnerhet att sätta gemensamma faktorer utanför parantes.

Men det viktigaste är att lära sig att förstå: vad exakt kan vara inom parentes. Ett sådant uttryck kallas stabilt - det kan betecknas med en ny variabel och därmed bli av med exponentialfunktionen. Så låt oss titta på uppgifterna:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Låt oss börja med den allra första raden. Låt oss skriva denna ojämlikhet separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Observera att $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, så höger sida kan skriva om:

Observera att det inte finns några andra exponentialfunktioner förutom $((5)^(x+1))$ i olikheten. Och generellt sett förekommer inte variabeln $x$ någon annanstans, så låt oss introducera en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får följande konstruktion:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi återgår till den ursprungliga variabeln ($t=((5)^(x+1))$), och kommer samtidigt ihåg att 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Låt oss gå vidare till den andra ojämlikheten:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Allting är likadant här. Observera att $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Sedan kan den vänstra sidan skrivas om:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \höger. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Högerpil x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ungefär så behöver du upprätta ett beslut om verklig kontroll och självständigt arbete.

Nåväl, låt oss försöka något svårare. Här är till exempel en ojämlikhet:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Vad är problemet här? Först och främst är baserna för exponentialfunktionerna till vänster olika: 5 och 25. Men 25 \u003d 5 2, så den första termen kan omvandlas:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se, först tog vi allt till samma grund, och märkte sedan att den första termen lätt reduceras till den andra - det räcker för att utöka exponenten. Nu kan vi säkert introducera en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, och hela olikheten kommer att skrivas om så här:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Återigen, inga problem! Slutligt svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Vi går vidare till den slutliga ojämlikheten i dagens lektion:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det första du bör vara uppmärksam på är förstås decimalbråket i grunden för första graden. Det är nödvändigt att bli av med det och samtidigt föra alla exponentiella funktioner till samma bas - siffran "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Högerpil ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\vänster(((2)^(-1)) \höger))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Högerpil ((16)^(x+1,5))=((\vänster(((2)^(4)) \höger))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Jättebra, vi har tagit första steget – allt har lett till samma grund. Nu måste vi lyfta fram det stabila uttrycket. Observera att $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Om vi ​​introducerar en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, kan den ursprungliga olikheten skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturligtvis kan frågan uppstå: hur fick vi reda på att 256 = 2 8 ? Tyvärr behöver du här bara känna till tvåpotenserna (och samtidigt tre- och fempotenserna). Tja, eller dividera 256 med 2 (du kan dividera, eftersom 256 är ett jämnt tal) tills vi får resultatet. Det kommer att se ut ungefär så här:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align )\]

Detsamma är med de tre (siffrorna 9, 27, 81 och 243 är dess makter), och med de sju (siffrorna 49 och 343 skulle också vara trevliga att komma ihåg). Tja, de fem har också "vackra" grader som du behöver veta:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Naturligtvis, om du vill, kan alla dessa siffror återställas i ditt sinne genom att helt enkelt multiplicera dem en efter en. Men när du måste lösa flera exponentiella ojämlikheter, och varje nästa är svårare än den föregående, då är det sista du vill tänka på potenserna för vissa tal där. Och i denna mening är dessa problem mer komplexa än de "klassiska" ojämlikheterna, som löses med intervallmetoden.

Jag hoppas att den här lektionen hjälpte dig att bemästra detta ämne. Om något är oklart, fråga i kommentarerna. Och vi ses i nästa tutorials. :)

Sätt att lösa ekvationssystem

Till att börja med, låt oss kort påminna om vilka metoder för att lösa ekvationssystem i allmänhet finns.

Existera fyra huvudvägar lösningar av ekvationssystem:

Substitutionsmetod: ta någon av dessa ekvationer och uttryck $y$ i termer av $x$, sedan byts $y$ in i systemets ekvation, varifrån variabeln $x.$ finns. Efter det kan vi enkelt beräkna variabeln $y.$

Tilläggsmetod: in den här metoden det är nödvändigt att multiplicera en eller båda ekvationerna med sådana tal att när båda läggs ihop "försvinner" en av variablerna.

Grafisk metod: båda ekvationerna i systemet är avbildade på koordinatplan och hitta deras skärningspunkt.

Metoden för att introducera nya variabler: i den här metoden byter vi ut några uttryck för att förenkla systemet och tillämpar sedan en av ovanstående metoder.

System av exponentiella ekvationer

Definition 1

Ekvationssystem som består av exponentiella ekvationer kallas ett system av exponentiella ekvationer.

Vi kommer att överväga lösningen av system av exponentiella ekvationer med hjälp av exempel.

Exempel 1

Lös ett ekvationssystem

Bild 1.

Lösning.

Vi kommer att använda den första metoden för att lösa detta system. Låt oss först uttrycka $y$ i den första ekvationen i termer av $x$.

Figur 2.

Ersätt $y$ i den andra ekvationen:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Svar: $(-4,6)$.

Exempel 2

Lös ett ekvationssystem

Figur 3

Lösning.

Detta system är likvärdigt med systemet

Figur 4

Vi tillämpar den fjärde metoden för att lösa ekvationer. Låt $2^x=u\ (u >0)$ och $3^y=v\ (v >0)$, vi får:

Bild 5

Vi löser det resulterande systemet med additionsmetoden. Låt oss lägga till ekvationerna:

\ \

Sedan får vi det från den andra ekvationen

När jag återvände till ersättningen fick jag ett nytt system med exponentiella ekvationer:

Bild 6

Vi får:

Bild 7

Svar: $(0,1)$.

System av exponentiella ojämlikheter

Definition 2

System av ojämlikheter som består av exponentiella ekvationer kallas ett system av exponentiella ojämlikheter.

Vi kommer att överväga lösningen av system med exponentiella ojämlikheter med hjälp av exempel.

Exempel 3

Lös systemet med ojämlikheter

Figur 8

Lösning:

Detta system av ojämlikheter är likvärdigt med systemet

Figur 9

För att lösa den första olikheten, kom ihåg följande ekvivalenssats för exponentiella olikheter:

Sats 1. Olikheten $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, där $a >0,a\ne 1$ är ekvivalent med mängden av två system

\}