Konvergensregion En funktionell serie är en serie vars medlemmar är funktioner/definierade på en viss mängd E nummeraxel. Till exempel definieras termerna för en serie på ett intervall, och termerna för en serie definieras på ett intervall. En funktionell serie (1) sägs konvergera vid punkten Ho € E om den konvergerar FUNCTIONAL SERIES Convergence region Uniform. konvergens Weierstrass-test Egenskaper för enhetligt konvergent funktionsseries numeriska serier Om serie (1) konvergerar i varje punkt x i mängden D C E och divergerar vid varje punkt som inte tillhör mängden D, så säger de att serien konvergerar på mängden D , och D kallas området för konvergens av serien. En serie (1) sägs vara absolut konvergent på en mängd D om serien konvergerar på denna mängd I fallet med konvergens av en serie (1) på en mängd D, kommer dess summa S att vara en funktion definierad på D. Konvergensregionen för vissa funktionella serier kan hittas genom att använda kända tillräckliga kriterier som fastställts för serier med positiva termer, till exempel Dapamberts test, Cauchys test. Exempel 1. Hitta konvergensområdet för serien M Eftersom den numeriska serien konvergerar för p > 1 och divergerar för p ^ 1, då, med antagande av p - Igx, får vi denna serie. som kommer att konvergera vid Igx > T dvs. om x > 10, och divergera när Igx ^ 1, dvs. vid 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >Rad 0 divergerar, eftersom A =. Seriens divergens vid x = 0 är uppenbar. Exempel 3. Hitta konvergensområdet för serien. Termerna för den givna serien är definierade och kontinuerliga på mängden. Med hjälp av kriteriet Kosh och, hittar vi för alla. Följaktligen divergerar serien för alla värden på x. Låt oss beteckna med Sn(x) den n:te partialsumman av den funktionella serien (1). Om denna serie konvergerar på mängden D och dess summa är lika med 5(g), så kan den representeras i formen där är summan av serien som konvergerar på mängden D som kallas n-m återstoden funktionsserie (1). För alla värden på x € D gäller relationen och därför. det vill säga att resten Rn(x) av en konvergent serie tenderar till noll som n oo, oavsett x 6 D. Uniform konvergens Bland alla konvergenta funktionella serier spelar de så kallade enhetligt konvergenta serierna en viktig roll. Låt en funktionsserie konvergent på en mängd D ges vars summa är lika med S(x). Låt oss ta dess n:te delsumma Definition. Funktionsserie FUNKTIONELL SERIE Konvergensdomän Uniform konvergens Weierstrass-test Egenskaper för enhetligt konvergenta funktionella serier sägs vara enhetligt konvergenta på mängden PS1) om det för något tal e > O finns ett tal Γ > O så att olikheten gäller för alla tal n > N och för alla x från uppsättningen fI. Kommentar. Här är talet N detsamma för alla x € Yu, dvs. beror inte på z, utan beror på valet av tal e, så vi skriver N = N(e). Den enhetliga konvergensen av den funktionella serien £ /n(®) till funktionen S(x) på mängden ft betecknas ofta på följande sätt: Definitionen av enhetlig konvergens av serien /n(x) på mängden ft kan skrivas mer kortfattat med hjälp av logiska symboler: Låt oss geometriskt förklara innebörden av enhetligt konvergensfunktionellt område. Låt oss ta segmentet [a, 6] som set ft och konstruera grafer för funktionerna. Olikheten |, som gäller för tal n > N och för alla a; G [a, b], kan skrivas i följande form. De erhållna olikheterna visar att graferna för alla funktioner y = 5n(x) med siffror n > N kommer att vara helt och hållet inom £-bandet som begränsas av kurvorna y. = S(x) - e och y = 5(g) + e (Fig. 1). Exempel 1 konvergerar likformigt på intervallet Denna serie är alternerande i tecken, uppfyller villkoren för Leibniz-kriteriet för varje x € [-1,1] och konvergerar därför på intervallet (-1,1]. Låt S(x) ) vara dess summa, och Sn (x) är dess n:e delsumma. a] anger det största heltal som inte överstiger a), så kommer olikheten |e att gälla för alla tal n > N och för alla x € [-1,1). Detta betyder att denna serie konvergerar enhetligt på intervallet [-1,1). I. Inte varje funktionell serie konvergent på en mängd D är likformigt konvergent i exempel 2. Låt oss visa att serien konvergerar på ett intervall, men inte likformigt. 4 Låt oss beräkna den n:te delsumman £„(*) av serien. Vi har Var konvergerar denna serie på segmentet och dess summa om det absoluta värdet av skillnaden S(x) - 5„(x) (resten av serien) är lika. Låt oss ta ett nummer e sådant. Låt Vi lösa ojämlikheten med avseende på n Vi har varifrån (eftersom, och när man dividerar med Inx, ändras olikhetens tecken till det motsatta). Ojämlikheten kommer att tillfredsställas när. Därför finns det ett sådant antal N(e) oberoende av x att olikheten är uppfylld för varje) för alla x från segmentet på en gång. , existerar inte. Om vi ​​ersätter segmentet 0 med ett mindre segment, där, på det senare kommer denna serie att konvergera enhetligt till funktionen S0. Faktum är att för, och därför för för alla x på en gång §3. Weierstrass test Ett tillräckligt test för enhetlig konvergens av en funktionell serie ges av Weierstrass teorem. Sats 1 (Weierstrasstest). Låt för alla x från mängden Q termerna för den funktionella serien i absolut värde inte överstiga motsvarande medlemmar av den konvergenta numeriska serien P = 1 med positiva termer, det vill säga för alla x € Q. Sedan den funktionella serien (1) ) på uppsättningen konvergerar P absolut och enhetligt. Och Tek eftersom, enligt villkoren för satsen, villkoren i serie (1) uppfyller villkor (3) på hela mängden Q, då konvergerar serien 2 \fn(x)\ i jämförelse för varje x € I, och Följaktligen konvergerar serie (1) till P absolut. Låt oss bevisa den enhetliga konvergensen av serier (1). Låt Sn(x) och an beteckna delsummorna av serier (1) respektive (2). Vi har ta vilket (godtyckligt litet) tal e > 0 som helst. Sedan följer av konvergensen av talserien (2) förekomsten av ett tal N = N(e) så att -e för alla tal n > N därför (e) och för alla xbP, dvs. serie (1) konvergerar enhetligt på uppsättningen P. Anmärkning. Talserien (2) kallas ofta för majorizing, eller majorant, för den funktionella serien (1). Exempel 1. Undersök serien för enhetlig konvergens. Olikheten gäller för alla. och för alla. Nummerserien konvergerar. I kraft av Weierstrass-kriteriet konvergerar den aktuella funktionsserien absolut och enhetligt på hela axeln. Exempel 2. Undersök serien för enhetlig konvergens Termerna för serien är definierade och kontinuerliga på intervallet [-2,2|. Eftersom på intervallet [-2,2) för vilket naturligt tal n som helst, så gäller alltså olikheten för. Eftersom nummerserien konvergerar, så konvergerar den ursprungliga funktionella serien enligt Weierstrass kriterium absolut och enhetligt på segmentet. Kommentar. Den funktionella serien (1) kan konvergera enhetligt på uppsättningen Piv i fallet då det inte finns någon numerisk majorantserie (2), dvs. Weierstrass-kriteriet är endast ett tillräckligt kriterium för enhetlig konvergens, men är inte nödvändigt. Exempel. Som visats ovan (exempel), konvergerar serien likformigt på segmentet 1-1,1]. Men för det finns det ingen majorant konvergent nummerserie (2). Faktum är att för alla naturliga n och för alla x € [-1,1) är ojämlikheten uppfylld och jämlikhet uppnås när. Därför måste medlemmarna i den önskade majorantserien (2) verkligen uppfylla villkoret, men nummerserien FUNKTIONELL SERIE Konvergensområde Uniform konvergens Weierstrass-test Egenskaper för enhetligt konvergerande funktionella serier divergerar. Det betyder att serien £op också kommer att divergera. Egenskaper för enhetligt konvergerande funktionsserier Enhetligt konvergent funktionsserie har följande egenskaper: viktiga egenskaper . Sats 2. Om alla termer i en serie som konvergerar likformigt på intervallet [a, b] multipliceras med samma funktion d(x) begränsad till [a, 6], så kommer den resulterande funktionella serien att konvergera likformigt på. Låt på intervallet [a, b\ serien £ fn(x) konvergera enhetligt till funktionen 5(x), och funktionen d(x) begränsas, dvs det finns en konstant C > 0 så att enligt definitionen av enhetlig konvergens av serien för alla tal e > 0 finns ett tal N så att för alla n > N och för alla x € [a, b] kommer olikheten att vara uppfylld där 5n(ar) är partialsumman av serie under övervägande. Därför kommer vi att ha det för alla. serien konvergerar enhetligt på [a, b| till funktionen Sats 3. Låt alla termer fn(x) i den funktionella serien vara kontinuerliga och serien konvergera enhetligt på intervallet [a, b\. Då är summan S(x) av serien kontinuerlig på detta intervall. M Låt oss ta två godtyckliga punkter gig + Axe på segmentet [o, b]. Eftersom denna serie konvergerar enhetligt på intervallet [a, b], så finns det för alla tal e > O ett tal N = N(e) så att för alla i > N är olikheterna uppfyllda där 5„(g) är delsummor av serien fn (x). Dessa delsummor 5n(x) är kontinuerliga på intervallet [a, 6] som summor av ett ändligt antal funktioner fn(x) kontinuerligt på [a, 6]. Därför, för ett fast tal no > N(e) och ett givet tal e, finns det ett tal 6 = 6(e) > 0 så att för inkrementet Ax som uppfyller villkoret |, kommer olikheten att gälla: Ökningen AS av summan S(x) kan representeras i följande form: där. Med hänsyn till ojämlikheterna (1) och (2), för inkrement Ax som uppfyller villkoret |, får vi Detta betyder att summan Sex) är kontinuerlig vid punkt x. Eftersom x är en godtycklig punkt i segmentet [a, 6], så är 5(x) kontinuerlig på |a, 6|. Kommentar. En funktionell serie vars termer är kontinuerliga på intervallet [a, 6), men som konvergerar ojämnt på (a, 6], kan ha en diskontinuerlig funktion som summa Exempel 1. Betrakta en funktionell serie på intervallet |0,1 ). Låt oss beräkna dess n:e delsumma Därför är den diskontinuerlig på segmentet, även om termerna i serien är kontinuerliga på det. På grund av den beprövade satsen är denna serie inte enhetligt konvergent på intervallet. Exempel 2. Betrakta serien Som visas ovan, denna serie konvergerar vid, serien kommer att konvergera enhetligt enligt Weierstrass test, eftersom 1 och nummerserien konvergerar. Följaktligen är summan av denna serie kontinuerlig för varje x > 1. Kommentar. Funktionen kallas Riemann-funktionen (denna funktion spelar en stor roll i talteorin). Sats 4 (om term-för-term integration av en funktionell serie). Låt alla termer fn(x) i serien vara kontinuerliga och serien konvergera enhetligt på intervallet [a, b] till funktionen S(x). Då gäller likheten: På grund av kontinuiteten hos funktionerna f„(x) och den enhetliga konvergensen av denna serie på intervallet [a, 6], är dess summa 5(x) kontinuerlig och därför integrerbar på . Låt oss betrakta skillnaden Från den enhetliga konvergensen av serien på [o, b] följer det att för alla e > 0 finns ett tal N(e) > 0 så att för alla tal n > N(e) och för alla x € [a, 6] olikheten kommer att vara uppfylld Om serien fn(0 inte är enhetligt konvergent, kan den generellt sett inte integreras term för term, dvs. sats 5 (om term för term differentiering av en funktionell serie) Låt alla termer i den konvergenta serien 00 ha kontinuerliga derivator och serien som består av dessa derivator konvergerar enhetligt på intervallet [a, b]. Sedan är likheten sann, dvs. denna serie kan differentieras term för term . Som summan av en enhetligt konvergent serie av kontinuerliga funktioner, genom att differentiera likheten som vi får.

Lukhov Yu.P. Föreläsningsanteckningar om högre matematik. Föreläsning nr 42 5

Föreläsning 42

ÄMNE: Funktionell serie

Planen.

1. Funktionell serie. Konvergensregion.
2. Enhetlig konvergens. Weierstrass tecken.
3. Egenskaper för enhetligt konvergerande serier: kontinuitet av summan av serierna, term-för-term integration och differentiering.
4. Power-serien. Abels sats. Konvergensområdet för kraftserien. Konvergensradie.
5. Grundläggande egenskaper för kraftserier: enhetlig konvergens, kontinuitet och oändlig differentierbarhet av summan. Term-för-term integration och differentiering av effektserier.

Funktionell serie. Konvergensregion

Definition 40.1. Oändligt antal funktioner

u 1 (x) + u 2 (x) +…+ u n (x) +…, (40.1)

där u n (x) = f (x, n), kallas funktionsområde.

Om du anger ett specifikt numeriskt värde X , serier (40.1) kommer att förvandlas till en nummerserie, och beroende på valet av värde X en sådan serie kan konvergera eller divergera. Endast konvergenta serier är av praktiskt värde, så det är viktigt att fastställa dessa värden X , där den funktionella serien blir en konvergent talserie.

Definition 40.2. Flera betydelser X , när man ersätter dem i den funktionella serien (40.1) erhålls en konvergent numerisk serie, kallaskonvergensområdetfunktionsområde.

Definition 40.3. Funktion s(x), definieras i området för konvergens av serien, som för varje värde X från konvergensområdet är lika med summan av motsvarande numeriska serie erhållen från (40.1) för ett givet värde x kallas summan av funktionsserien.

Exempel. Låt oss hitta konvergensområdet och summan av den funktionella serien

1 + x + x² +…+ x n +…

När | x | ≥ 1 därför divergerar motsvarande nummerserie. Om

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей geometrisk progression, beräknat med formeln:

Följaktligen är seriens konvergensintervall intervallet (-1, 1), och dess summa har den angivna formen.

Kommentar . Precis som för talserier kan du introducera begreppet en delsumma av en funktionell serie:

s n = 1 + x + x² +…+ x n

och resten av serien: r n = s s n .

Enhetlig konvergens av en funktionell serie

Låt oss först definiera begreppet enhetlig konvergens av en talsekvens.

Definition 40.4. Funktionell sekvens fn(x) anropas likformigt konvergerar till en funktion f på uppsättningen X om och

Anteckning 1. Vi kommer att beteckna den vanliga konvergensen av en funktionell sekvens och den enhetliga konvergensen med .

Anteckning 2 . Låt oss återigen notera den grundläggande skillnaden mellan enhetlig konvergens och vanlig konvergens: i fallet med vanlig konvergens, för ett valt värde på ε, finns det för varje ditt nummer N, för vilken kl n>N ojämlikhet gäller:

I detta fall kan det visa sig att för ett givet ε det allmänna numret N, säkerställa uppfyllelsen av denna ojämlikhet för någon X , omöjligt. Vid enhetlig konvergens, ett sådant antal N, gemensam för alla x, finns.

Låt oss nu definiera begreppet enhetlig konvergens av en funktionell serie. Eftersom varje serie motsvarar en sekvens av dess delsummor, bestäms den enhetliga konvergensen för serien genom den enhetliga konvergensen av denna sekvens:

Definition 40.5. Den funktionella serien kallasenhetligt konvergent på uppsättningen X, om på X sekvensen av dess delsummor konvergerar enhetligt.

Weierstrass tecken

Sats 40.1. Om en nummerserie konvergerar för både alla och alla n = 1, 2,... ojämlikheten är uppfylld då konvergerar serien absolut och enhetligt på uppsättningen X.

Bevis.

För alla ε > 0 s det finns ett sådant nummer N, det är därför

För återstoden r n serie uppskattningen är rättvis

Därför konvergerar serien enhetligt.

Kommentar. Proceduren för att välja en nummerserie som uppfyller villkoren i sats 40.1 brukar kallas majorisering , och den här raden själv majorante för ett givet funktionsområde.

Exempel. För en funktionell serie majorant för vilket värde som helst X är en konvergent serie med positivt tecken. Därför konvergerar den ursprungliga serien enhetligt till (-∞, +∞).

Egenskaper för enhetligt konvergerande serier

Sats 40.2. Om funktioner u n (x) är kontinuerliga vid och serien konvergerar enhetligt till X, sedan dess summa s (x) är också kontinuerlig vid en punkt x 0 .

Bevis.

Låt oss välja ε > 0. Då finns det alltså ett sådant tal n 0 det

- summan av ett ändligt antal kontinuerliga funktioner, alltsåkontinuerlig vid en punkt x 0 . Därför finns det en δ > 0 så att Då får vi:

Det vill säga, funktionen s (x) är kontinuerlig vid x = x 0.

Sats 40.3. Låt funktionerna u n (x) kontinuerligt på intervallet [ a, b ] och serien konvergerar enhetligt på detta segment. Sedan konvergerar serien också enhetligt till [ a , b ] och (40.2)

(det vill säga, under satsens villkor kan serien integreras term för term).

Bevis.

Genom sats 40.2 funktionen s(x) = kontinuerlig på [a, b ] och är därför integrerbar på den, det vill säga integralen på vänster sida av jämlikhet (40.2) existerar. Låt oss visa att serien enhetligt konvergerar till funktionen

Låt oss beteckna

Sedan för alla ε finns det ett sådant nummer N , vilket för n > N

Detta betyder att serien konvergerar enhetligt och dess summa är lika med σ ( x) = .

Teoremet har bevisats.

Sats 40.4. Låt funktionerna u n (x) är kontinuerligt differentierbara på intervallet [ a, b ] och en serie som består av deras derivat:

(40.3)

konvergerar enhetligt på [ a, b ]. Sedan, om en serie konvergerar åtminstone vid en punkt, så konvergerar den likformigt genom hela [ a , b ], dess summa s (x )= är en kontinuerligt differentierbar funktion och

(serien kan särskiljas term för term).

Bevis.

Låt oss definiera funktionen σ( X ) Hur. Genom sats 40.3 kan serier (40.3) integreras term för term:

Serien på höger sida av denna jämlikhet konvergerar enhetligt på [ a, b ] av sats 40.3. Men enligt satsens villkor konvergerar talserien, därför konvergerar serien också enhetligt. Sedan funktion σ( t ) är summan av en enhetligt konvergent serie av kontinuerliga funktioner på [ a, b ] och är därför själv kontinuerlig. Då är funktionen kontinuerligt differentierbar på [ a, b ], och det är vad som behövde bevisas.

Definition 41.1. Power-serien kallas en funktionell serie av formen

(41.1)

Kommentar. Använder ersättning x x 0 = t serier (41.1) kan reduceras till formen, därför är det tillräckligt att bevisa alla egenskaper hos potensserier för serier av formen

(41.2)

Sats 41.1 (Abels 1:a sats).Om effektserien (41.2) konvergerar vid x = x 0, sedan för valfritt x: | x |< | x 0 | serie (41.2) konvergerar absolut. Om serie (41.2) divergerar vid x = x 0, då avviker det för någon x: | x | > | x 0 |.

Bevis.

Om serien konvergerar, så finns det en konstant c > 0:

Följaktligen, och serien för | x |<| x 0 | konvergerar eftersom det är summan av en oändligt minskande geometrisk progression. Det betyder att serien på | x |<| x 0 | matchar absolut.

Om det är känt att serie (41.2) divergerar vid x = x 0 , då kan den inte konvergera vid | x | > | x 0 | , eftersom det av vad som tidigare bevisats skulle följa att det konvergerar vid punkten x 0 .

Alltså, om du hittar det största antalet x 0 > 0 så att (41.2) konvergerar för x = x 0, då kommer konvergensområdet för denna serie, som följer av Abels sats, att vara intervallet (- x 0, x 0 ), eventuellt inklusive en eller båda gränserna.

Definition 41.2. Talet R ≥ 0 kallas konvergensradieeffektserier (41.2), om denna serie konvergerar och divergerar. Intervall (- R, R) kallas konvergensintervall serie (41.2).

Exempel.

1. För att studera den absoluta konvergensen av en serie tillämpar vi D’Alembert-testet: . Därför konvergerar serien endast när X = 0, och dess konvergensradie är 0: R = 0.
2. Med samma D'Alembert-test kan vi visa att serien konvergerar för alla x, alltså
3. För en serie som använder d'Alemberts kriterium får vi:

Därför, för 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 avviker. På X = 1 får vi en övertonsserie, som som bekant divergerar, och när X = -1-serien konvergerar villkorligt enligt Leibniz-kriteriet. Således är konvergensradien för serien i fråga R = 1, och konvergensintervallet är [-1, 1).

Formler för att bestämma konvergensradien för en potensserie.

1. d'Alemberts formel.

Låt oss betrakta en maktserie och tillämpa d'Alemberts kriterium på den: för att serien ska konvergera, är det nödvändigt att om det finns, så bestäms konvergensområdet av ojämlikheten, det vill säga

- (41.3)

• d'Alemberts formelför att beräkna konvergensradien.

1. Cauchy-Hadamard formel.

Genom att använda det radikala Cauchy-testet och resonemang på ett liknande sätt finner vi att vi kan definiera konvergensområdet för en potensserie som en uppsättning lösningar på ojämlikheten, med förbehåll för existensen av denna gräns, och följaktligen hitta en annan formel för konvergensradien:

(41.4)

• Cauchy-Hadamard formel.

Egenskaper för kraftserier.

Sats 41.2 (Abels 2:a sats). Om R seriens konvergensradie (41.2) och denna serie konvergerar vid x = R , sedan konvergerar den jämnt på intervallet (- R, R).

Bevis.

En positiv serie konvergerar genom sats 41.1. Följaktligen konvergerar serier (41.2) likformigt i intervallet [-ρ, ρ] enligt sats 40.1. Av valet av ρ följer att intervallet för enhetlig konvergens (- R, R ), vilket var det som behövde bevisas.

Följd 1 . På varje segment som ligger helt inom konvergensintervallet är summan av serien (41.2) en kontinuerlig funktion.

Bevis.

Termerna för serien (41.2) är kontinuerliga funktioner, och serien konvergerar enhetligt på det aktuella intervallet. Sedan följer kontinuiteten av dess summa av sats 40.2.

Följd 2. Om gränserna för integrationen α, β ligger inom intervallet för konvergens för potensserien, då integralen av summan av serien lika med summan integraler av termerna i serien:

(41.5)

Beviset för detta påstående följer av sats 40.3.

Sats 41.3. Om serien (41.2) har ett konvergensintervall (- R, R), sedan serien

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41,6)

erhållen genom term-för-term differentiering av serien (41.2) har samma konvergensintervall (- R, R). Vart i

φ΄(x) = s΄ (x) för | x |< R , (41.7)

det vill säga inom konvergensintervallet är derivatan av summan av en potensserie lika med summan av serien som erhålls genom dess term-för-term differentiering.

Bevis.

Låt oss välja ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Sedan konvergerar serien, alltså If| x | ≤ ρ, alltså

Där Följaktligen är termerna för serien (41.6) mindre i absolut värde än termerna för serien med positiva tecken, som konvergerar enligt D'Alemberts kriterium:

det vill säga det är en majorant för serien (41.6) för Därför konvergerar serien (41.6) enhetligt på [-ρ, ρ]. Därför, enligt sats 40.4, är likhet (41.7) sann. Av valet av ρ följer att serien (41.6) konvergerar vid vilken som helst inre punkt i intervallet (- R, R).

Låt oss bevisa att utanför detta intervall divergerar serien (41.6). Ja, om det konvergerade kl x 1 > R , sedan integrera det term för term på intervallet (0, x 2), R< x 2 < x 1 , skulle vi få att serien (41.2) konvergerar vid punkten x 2 , vilket motsäger satsens villkor. Så satsen är helt bevisad.

Kommentar . Serien (41.6) kan i sin tur differentieras term för term och denna operation kan utföras så många gånger som önskas.

Slutsats: om effektserien konvergerar på intervallet (- R, R ), då är dess summa en funktion som har derivator av valfri ordning inom konvergensintervallet, som var och en är summan av en serie erhållen från den ursprungliga med användning av term-för-term differentiering motsvarande antal gånger; Dessutom är konvergensintervallet för en serie derivator av valfri ordning (- R, R).

Institutionen för informatik och högre matematik KSPU

4.1. Funktionell serie: grundläggande begrepp, konvergensområde

Definition 1. En serie vars medlemmar är funktioner av en eller
flera oberoende variabler definierade på en viss mängd kallas funktionsområde.

Betrakta en funktionell serie, vars medlemmar är funktioner av en oberoende variabel X. Summan av första n medlemmar i en serie är en delsumma av en given funktionell serie. Allmän medlem det finns en funktion från X, definierad i en viss region. Tänk på den funktionella serien vid punkten . Om motsvarande nummerserie konvergerar, dvs. det finns en gräns för delsummorna för denna serie
(Var − summan av en talserie), så kallas punkten konvergenspunkt funktionsområde . Om nummerserien divergerar, då kallas punkten divergenspunkt funktionsområde.

Definition 2. Konvergensområde funktionsområde uppsättningen av alla sådana värden kallas X, vid vilken den funktionella serien konvergerar. Konvergensområdet, som består av alla konvergenspunkter, betecknas . Anteckna det R.

Den funktionella serien konvergerar i regionen , om för någon den konvergerar som en talserie, och dess summa kommer att vara någon funktion . Detta är den så kallade gränsfunktion sekvenser : .

Hur man hittar konvergensområdet för en funktionsserie ? Du kan använda ett tecken som liknar d'Alemberts tecken. För en rad komponera och överväga gränsen för en fast X:
. Sedan är en lösning på ojämlikheten och lösa ekvationen (vi tar bara in de lösningarna av ekvationen
vilka motsvarande nummerserier konvergerar).

Exempel 1. Hitta konvergensområdet för serien.

Lösning. Låt oss beteckna , . Låt oss komponera och beräkna gränsen
, då bestäms seriens konvergensregion av olikheten och ekvationen . Låt oss ytterligare undersöka konvergensen av den ursprungliga serien vid de punkter som är rötterna till ekvationen:

och om , , då får vi en divergerande serie ;

b) om , , sedan serien konvergerar villkorligt (av

Leibniz kriterium, exempel 1, föreläsning 3, avsnitt. 3.1).

Alltså konvergensområdet serien ser ut så här: .

4.2. Kraftserier: grundläggande begrepp, Abels sats

Låt oss överväga ett specialfall av en funktionell serie, den så kallade kraftserie , Var
.

Definition 3. Power-serien kallas en funktionell serie av formen,

Var − konstanta tal kallas seriens koefficienter.

En potensserie är ett "oändligt polynom" arrangerat i ökande potenser . Vilken nummerserie som helst är
ett specialfall av en kraftserie för .

Låt oss överväga det speciella fallet med en kraftserie för :
. Låt oss ta reda på vilken typ det är
konvergensregionen i denna serie .

Sats 1 (Abels sats). 1) Om kraftserien konvergerar vid en punkt , då konvergerar det absolut för någon X, för vilken ojämlikheten gäller .

2) Om effektserien divergerar vid , då avviker det för ev X, för vilka .

Bevis. 1) Tillståndsmässigt konvergerar effektserien vid punkten ,

d.v.s. nummerserien konvergerar

(1)

och genom det nödvändiga kriteriet för dess konvergens gemensam medlem tenderar till 0, dvs. . Därför finns det ett sådant nummer att alla medlemmar i serien är begränsade av detta antal:
.

Låt oss nu överväga någon X, för vilka , och gör en serie av absoluta värden: .
Låt oss skriva den här serien i en annan form: sedan sedan (2).

Från ojämlikhet
vi får, d.v.s. rad

består av termer som är större än motsvarande termer i serie (2). Rad representerar en konvergent serie av en geometrisk progression med en nämnare , och , därför att . Följaktligen konvergerar serie (2) vid . Alltså kraftserien matchar absolut.

2) Låt serien avviker kl , med andra ord,

nummerserier divergerar . Låt oss bevisa det för någon X () serien divergerar. Beviset är motsägelsefullt. Låt för några

fixat ( ) serien konvergerar, sedan konvergerar den för alla (se den första delen av denna sats), särskilt när , vilket motsäger villkor 2) i sats 1. Satsen är bevisad.

Följd. Abels sats låter oss bedöma platsen för konvergenspunkten för en potensserie. Om poängen är konvergenspunkten för potensserien, sedan intervallet fylld med konvergenspunkter; om punkten för divergens är punkten , Den där
oändliga intervaller fylld med divergenspunkter (fig. 1).

Ris. 1. Intervall för konvergens och divergens för serien

Det kan visas att det finns en sådan siffra det inför alla
kraftserie konvergerar absolut, och när − avviker. Vi kommer att anta att om serien konvergerar endast vid en punkt 0, då , och om serien konvergerar för alla , Den där .

Definition 4. Konvergensintervall kraftserie ett sådant intervall kallas det inför alla denna serie konvergerar och dessutom absolut, och för alla X, som ligger utanför detta intervall, divergerar serien. siffra R kallad konvergensradie kraftserie.

Kommentar. I slutet av intervallet frågan om konvergens eller divergens för en potensserie löses separat för varje specifik serie.

Låt oss visa ett av sätten att bestämma intervallet och konvergensradien för en potensserie.

Tänk på kraftserien och beteckna .

Låt oss skapa en serie absoluta värderingar av dess medlemmar:

och tillämpa d'Alemberts test på det.

Låt det existera

.

Enligt d'Alemberts test konvergerar en serie if , och avviker om . Därför konvergerar serien vid , då är konvergensintervallet: . När serien divergerar, sedan .
Använda notationen , får vi en formel för att bestämma konvergensradien för en potensserie:

,

Var − effektseriekoefficienter.

Om det visar sig att gränsen , då antar vi .

För att bestämma konvergensintervallet och radien för en potensserie, kan du också använda det radikala Cauchy-testet seriens konvergensradie bestäms utifrån relationen .

Definition 5. Generaliserad kraftserie kallas en serie av formen

. Det kallas också kraftserier .
För en sådan serie har konvergensintervallet formen: , Var − Konvergensradie.

Låt oss visa hur man hittar konvergensradien för en generaliserad potensserie.

de där. , Var .

Om , Den där och konvergensregionen R; Om , Den där och konvergensregionen .

Exempel 2. Hitta konvergensområdet för serien .

Lösning. Låt oss beteckna . Låt oss sätta en gräns

Att lösa ojämlikheten: , , därför intervallet

konvergens har formen: , och R= 5. Dessutom undersöker vi ändarna på konvergensintervallet:
A) , , vi får serien , som avviker;
b) , , vi får serien , som konvergerar
villkorligt. Sålunda är konvergensområdet: , .

Svar: konvergensregion .

Exempel 3. Rad olika för alla , därför att på , konvergensradie .

Exempel 4. Serien konvergerar för alla R, konvergensradie .

Funktionell serie. Power-serien.
Seriens konvergensområde

Skratt utan anledning är ett tecken på d'Alembert

Timmen för funktionella led har slagit till. För att framgångsrikt bemästra ämnet, och i synnerhet denna lektion, måste du ha en god förståelse för vanliga nummerserier. Du bör ha en god förståelse för vad en serie är och kunna tillämpa jämförelsekriterier för att undersöka serien för konvergens. Således, om du precis har börjat studera ämnet eller är nybörjare i högre matematik, nödvändig arbeta igenom tre lektioner i följd: Rader för dummies,D'Alemberts tecken. Cauchys tecken Och Omväxlande rader. Leibniz test. Definitivt alla tre! Om du har grundläggande kunskaper och färdigheter i att lösa problem med nummerserier, kommer det att vara ganska enkelt att hantera funktionella serier, eftersom det inte finns mycket nytt material.

I den här lektionen ska vi titta på konceptet med en funktionell serie (vad är det ändå), bekanta oss med effektserier, som finns i 90 % av praktiska uppgifter, och lära oss hur man löser en vanlig typisk uppgift för att hitta konvergensradien, konvergensintervallet och konvergensområdet för en potensserie. Därefter rekommenderar jag att överväga materialet om utbyggnad av funktioner till effektserier, och första hjälpen kommer att ges till nybörjaren. Efter att ha hämtat andan lite går vi vidare till nästa nivå:

Även i sektionen av funktionella serier finns det många av dem applikationer för ungefärlig beräkning, och i viss mån Fourier-serien, som utbildningslitteratur, som regel, sticker ut separat kapitel. Jag har bara en artikel, men den är lång och det finns många, många fler exempel!

Så, landmärkena är satta, låt oss gå:

Begreppet funktionella serier och kraftserier

Om gränsen visar sig vara oändlig, sedan avslutar också lösningsalgoritmen sitt arbete, och vi ger det slutliga svaret på uppgiften: "Serien konvergerar vid " (eller vid antingen "). Se mål nr 3 i föregående stycke.

Om gränsen visar sig vara varken noll eller oändlighet, då har vi det vanligaste fallet i praktiken nr 1 - serien konvergerar på ett visst intervall.

I det här fallet är gränsen . Hur hittar man konvergensintervallet för en serie? Vi tar igen ojämlikheten:

I NÅGON uppgift av den här typen på vänster sida av ojämlikheten bör vara resultat av gränsberäkning, och på höger sida av ojämlikheten – strikt enhet. Jag ska inte förklara exakt varför det finns en sådan ojämlikhet och varför det finns en till höger. Lektionerna är praktiskt inriktade, och det är redan mycket bra att mina berättelser inte hängde upp lärarkåren och en del teorem blev tydligare.

Tekniken att arbeta med en modul och lösa dubbla ojämlikheter diskuterades i detalj under det första året i artikeln Funktionsdomän, men för enkelhetens skull kommer jag att försöka kommentera alla åtgärder så detaljerat som möjligt. Vi avslöjar ojämlikheten med modul av skolregel . I detta fall:

Halva vägen är över.

I det andra steget är det nödvändigt att undersöka konvergensen av serien i ändarna av det hittade intervallet.

Först tar vi den vänstra änden av intervallet och ersätter den med vår kraftserie:

På

Vi har fått en nummerserie, och vi måste undersöka den för konvergens (en uppgift som redan är bekant från tidigare lektioner).

1) Serien är omväxlande.
2) – seriens termer minskar i modul. Dessutom är varje nästa medlem i serien mindre än den föregående i absolut värde: , vilket innebär att minskningen är monoton.
Slutsats: serien konvergerar.

Med hjälp av en serie som består av moduler kommer vi att ta reda på exakt hur:
– konvergerar ("standardserier" från familjen av generaliserade övertonsserier).

Således konvergerar den resulterande nummerserien absolut.

på – konvergerar.

! Jag påminner dig att varje konvergent positiv serie också är absolut konvergent.

Således konvergerar potensserien, och absolut, i båda ändarna av det hittade intervallet.

Svar: konvergensområdet för kraftserien som studeras:

En annan form av svar har rätt till liv: En serie konvergerar om

Ibland kräver problemformuleringen att du anger konvergensradien. Det är uppenbart att i det övervägda exemplet .

Exempel 2

Hitta konvergensområdet för potensserien

Lösning: vi finner konvergensintervallet för serien genom att använda d'Alemberts tecken (men inte BY-attribut! – ett sådant attribut finns inte för funktionella serier):

Serien konvergerar kl

Vänster vi måste lämna endast, så vi multiplicerar båda sidor av ojämlikheten med 3:

– Serien växlar.
– – seriens termer minskar i modul. Varje nästa medlem i serien är mindre än den föregående i absolut värde: , vilket innebär att minskningen är monoton.

Slutsats: serien konvergerar.

Låt oss undersöka det för karaktären av konvergens:

Låt oss jämföra denna serie med en divergerande serie.
Vi använder det begränsande jämförelsekriteriet:

Ett ändligt tal erhålls som skiljer sig från noll, vilket betyder att serien avviker från serien.

Således konvergerar serien villkorligt.

2) När – avviker (enligt vad som är bevisat).

Svar: Konvergensområde för kraftserien som studeras: . När serien konvergerar villkorligt.

I det betraktade exemplet är konvergensområdet för potensserien ett halvintervall, och vid alla punkter i intervallet potensserien konvergerar absolut, och vid den punkten, som det visade sig – villkorligt.

Exempel 3

Hitta konvergensintervallet för potensserien och undersök dess konvergens i ändarna av det hittade intervallet

Detta är ett exempel för oberoende beslut.

Låt oss titta på ett par exempel som är sällsynta, men som förekommer.

Exempel 4

Hitta konvergensområdet för serien:

Lösning: Med hjälp av d'Alemberts test hittar vi konvergensintervallet för denna serie:

(1) Vi sammanställer förhållandet mellan nästa medlem i serien och föregående.

(2) Vi blir av med den fyra våningar långa fraktionen.

(3) Enligt regeln för operationer med krafter, för vi kuberna under en enda makt. I täljaren utökar vi skickligt graden, d.v.s. Vi ordnar det så att vi i nästa steg kan minska bråkdelen med . Vi beskriver factorials i detalj.

(4) Under kuben delar vi täljaren med nämnaren term för term, vilket indikerar att . I en bråkdel minskar vi allt som kan minskas. Vi tar faktorn bortom gränstecknet den kan tas ut, eftersom det inte finns något i den som beror på den "dynamiska" variabeln "en". Observera att modultecknet inte ritas - av den anledningen att det tar icke-negativa värden för alla "x".

I gränsen erhålls noll, vilket betyder att vi kan ge det slutliga svaret:

Svar: Serien konvergerar kl

Men först verkade det som att den här raden med den "hemska fyllningen" skulle vara svår att lösa. Noll eller oändlighet i gränsen är nästan en gåva, eftersom lösningen är märkbart reducerad!

Exempel 5

Hitta konvergensområdet för serien

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Var försiktig;-) Hela lösningen finns i slutet av lektionen.

Låt oss titta på några fler exempel som innehåller ett inslag av nyhet när det gäller användningen av tekniska tekniker.

Exempel 6

Hitta konvergensintervallet för serien och undersök dess konvergens i ändarna av det hittade intervallet

Lösning: Den gemensamma termen för effektserien innehåller en faktor som säkerställer teckenväxling. Lösningsalgoritmen är helt bevarad, men när vi drar upp gränsen ignorerar vi (skriv inte) denna faktor, eftersom modulen förstör alla "minus".

Vi hittar konvergensintervallet för serien med d'Alemberts test:

Låt oss skapa en standardojämlikhet:
Serien konvergerar kl
Vänster vi måste lämna endast modul, så vi multiplicerar båda sidor av ojämlikheten med 5:

Nu öppnar vi modulen på ett bekant sätt:

I mitten av den dubbla olikheten behöver du bara lämna "X" för detta ändamål, vi subtraherar 2 från varje del av ojämlikheten:

– konvergensintervall för effektserien som studeras.

Vi undersöker konvergensen av serien i ändarna av det hittade intervallet:

1) Ersätt värdet i vår kraftserie :

Var extremt försiktig, multiplikatorn ger inte teckenväxling för någon naturlig "en". Vi tar det resulterande minuset utanför serien och glömmer det, eftersom det (som vilken faktorkonstant som helst) inte på något sätt påverkar talseriens konvergens eller divergens.

Observera igen att i samband med att värdet ersattes i den allmänna termen för effektserien, reducerades vår faktor. Om detta inte skedde skulle det betyda att vi antingen beräknat gränsen felaktigt eller felaktigt utökat modulen.

Så vi måste undersöka talserien för konvergens. Här är det enklaste sättet att använda det begränsande jämförelsekriteriet och jämföra denna serie med en divergerande övertonsserie. Men, för att vara ärlig, jag är fruktansvärt trött på det begränsande tecknet på jämförelse, så jag ska lägga till lite variation till lösningen.

Så, serien konvergerar kl

Vi multiplicerar båda sidor av ojämlikheten med 9:

Vi extraherar roten från båda delarna, samtidigt som vi minns det gamla skolskämtet:


Utöka modulen:

och lägg till en till alla delar:

– konvergensintervall för effektserien som studeras.

Låt oss undersöka konvergensen av potensserien i ändarna av det hittade intervallet:

1) Om , då erhålls följande nummerserie:

Multiplikatorn försvann spårlöst, eftersom för något naturvärde "en" .

Ämne 2. Funktionell serie. Power-serien

2.1. Funktionell serie

Hittills har vi övervägt serier vars medlemmar var nummer. Låt oss nu gå vidare till studiet av serier vars medlemmar är funktioner.

Funktionellt omfång kallas en rad

vars medlemmar är funktioner av samma argument definierade på samma uppsättning E.

Till exempel,

1.
;

2.
;

Om vi ​​ger argumentet X något numeriskt värde
,
, då får vi nummerserien

som kan konvergera (konvergera absolut) eller divergera.

Jag fet
den resulterande nummerserien konvergerar, sedan punkten
kalladkonvergenspunkt funktionsområde. Uppsättningen av alla konvergenspunkter kallaskonvergensområdet funktionsområde. Låt oss beteckna konvergensområdet X, självklart,
.

Om frågan för numeriska serier med positivt tecken ställs: "Konvergerar eller divergerar serien?", för alternerande serier ställs frågan: "Konvergerar den, villkorligt eller absolut, eller divergerar?", då för en funktionell serie huvudfrågan är: "Konvergera (konvergera absolut) till vad X?».

Funktionellt omfång
fastställer en lag enligt vilken varje värde av argumentet
,
, tilldelas ett nummer lika med summan av nummerserien
. Alltså på uppsättningen X funktion specificeras
, som kallas summan av funktionsserien.

Exempel 16.

Hitta konvergensområdet för den funktionella serien

.

Lösning.

Låta Xär ett fast tal, så kan denna serie betraktas som en nummerserie med positivt tecken när
och omväxlande kl
.

Låt oss göra en serie absoluta värden av termerna i denna serie:

dvs för vilket värde som helst X denna gräns är mindre än en, vilket betyder att denna serie konvergerar, och absolut (eftersom vi studerade en serie absoluta värden av termerna i serien) på hela den numeriska axeln.

Således är området för absolut konvergens uppsättningen
.

Exempel 17.

Hitta konvergensområdet för den funktionella serien
.

Lösning.

Låta X– fast nummer,
, då kan denna serie betraktas som en nummerserie med ett positivt tecken när
och omväxlande kl
.

Låt oss överväga en serie absoluta värden av termerna i denna serie:

och tillämpa D'Alemberts test på det.

Enligt DAlemberts test konvergerar en serie om gränsvärdet är mindre än ett, d.v.s. denna serie kommer att konvergera om
.

När vi löser denna ojämlikhet får vi:


.

Således, när , serien som består av de absoluta värdena av termerna i denna serie konvergerar, vilket betyder att den ursprungliga serien konvergerar absolut, och när
denna serie skiljer sig åt.

På
serien kan konvergera eller divergera, eftersom för dessa värden X gränsvärdet är lika med enhet. Därför undersöker vi dessutom konvergensen av ett antal punkter
Och
.

Ersätter i den här raden
, får vi en nummerserie
, om vilken det är känt att det är en harmonisk divergerande serie, vilket betyder punkten
– punkt för divergens för en given serie.

På
vi får en alternerande nummerserie

om vilken det är känt att det konvergerar villkorligt (se exempel 15), vilket betyder punkten
– punkt för villkorad konvergens för serien.

Således är konvergensområdet för denna serie , och serien konvergerar absolut vid .

Funktionellt omfång

kalladhuvudämne i någon region av variation av x, om det finns en sådan konvergent serie med positivt tecken

,

att för alla x från denna region är villkoret uppfyllt
på
. Rad
kalladmajorante.

Med andra ord domineras en serie om var och en av dess termer inte är större i absolut värde än motsvarande term för någon konvergent positiv serie.

Till exempel en serie

är majoriserbar för någon X, för för alla X relationen håller

på
,

och en rad är som bekant konvergent.

SatsWeierstrass

En serie som är majoriserad i en viss region konvergerar absolut i den regionen.

Låt oss till exempel betrakta den funktionella serien
. Denna serie är majorized när
, sen när
medlemmar i serien inte överstiger motsvarande medlemmar i den positiva serien . Följaktligen, enligt Weierstrass-satsen, konvergerar den betraktade funktionella serien absolut för
.

2.2. Power-serien. Abels sats. Konvergensregion för kraftserier

Bland mångfalden av funktionella serier är de viktigaste ur praktisk tillämpningssynpunkt kraft- och trigonometriska serier. Låt oss titta på dessa serier mer i detalj.

Power-serien gradvis
kallas en funktionell serie av formen

Var – något fast nummer,
– tal som kallas seriekoefficienter.

På
vi får en potensserie i potenser X, som har formen

.

För enkelhetens skull kommer vi att överväga potensserier i potenser X, eftersom det från en sådan serie är lätt att få en serie i potenser
, ersätter istället X uttryck
.

Enkelheten och betydelsen av klassen av potensserier beror främst på att delsumman av en potensserie

är ett polynom - en funktion vars egenskaper är väl studerade och vars värden lätt kan beräknas med endast aritmetiska operationer.

Eftersom effektserier är ett specialfall av en funktionell serie är det också nödvändigt att hitta konvergensområdet för dem. Till skillnad från konvergensdomänen för en godtycklig funktionell serie, som kan vara en uppsättning av vilken form som helst, har konvergensdomänen för en potensserie en helt bestämd form. Följande teorem talar om detta.

SatsAbel.

Om kraftserien
konvergerar till något värde
, då konvergerar det, absolut, för alla värden på x som uppfyller villkoret
. Om en effektserie divergerar vid något värde
, då avviker det för värden som uppfyller villkoret
.

Av Abels sats följer att Allt konvergenspunkter för potensserier i potenser X ligger från ursprunget för koordinater inte längre än någon av divergenspunkterna. Uppenbarligen fyller konvergenspunkterna ett visst gap centrerat vid origo. satsen om konvergensområdet för en potensserie är giltig.

Sats.

För alla kraftserier
det finns ett nummerR (R>0)sådan att för alla x som ligger innanför intervallet
, serien konvergerar absolut och för alla x som ligger utanför intervallet
, serien skiljer sig åt.

siffraRkalladkonvergensradie effektserier och intervallet
– konvergensintervall potensserier i potenser av x.

Notera att satsen inte säger något om seriens konvergens i ändarna av konvergensintervallet, d.v.s. på punkter
. Vid dessa punkter beter sig olika effektserier olika: serierna kan konvergera (absolut eller villkorligt), eller så kan den divergera. Därför bör konvergensen av serien vid dessa punkter kontrolleras direkt per definition.

I speciella fall kan seriens konvergensradie vara lika med noll eller oändlighet. Om
, sedan maktserien i potenser X konvergerar endast vid en punkt
; om
, då konvergerar potensserien på hela talaxeln.

Låt oss återigen uppmärksamma det faktum att kraftserien
gradvis
kan reduceras till en effektserie
använder ersättning
. Om raden
konvergerar kl
, dvs. För
, sedan efter omvänd substitution får vi

 eller
.

Således intervallet för konvergens av potensserien
ser ut som
. Punkt kallad konvergenscentrum. För tydlighetens skull är det vanligt att avbilda konvergensintervallet på den numeriska axeln (Figur 1)

Således består konvergensområdet av ett konvergensintervall till vilket punkter kan adderas
, om serien konvergerar vid dessa punkter. Konvergensintervallet kan hittas genom att direkt tillämpa DAlemberts test eller Cauchys radikala test på en serie sammansatt av de absoluta värdena för medlemmarna i en given serie.

Exempel 18.

Hitta konvergensområdet för serien
.

Lösning.

Denna serie är en kraftserie i krafter X, dvs.
. Låt oss betrakta en serie som består av de absoluta värdena för medlemmarna i denna serie och använder DAlemberts tecken.

Serien kommer att konvergera om gränsvärdet är mindre än 1, d.v.s.

, var
.

Således konvergensintervallet för denna serie
, konvergensradie
.

Vi undersöker seriens konvergens vid intervallets slut, vid punkter
. Ersätter värdet i denna serie
, vi får serien

.

Den resulterande serien är en harmonisk divergerande serie, därför vid punkten
serien divergerar, vilket betyder en punkt
ingår inte i konvergensregionen.

På
vi får en omväxlande serie

,

som är villkorligt konvergent (exempel 15), därav poängen
– konvergenspunkt (villkorlig).

Således regionen för konvergens av serien
, och vid punkten
Serien konvergerar villkorligt, och på andra punkter konvergerar den absolut.

Resonemanget som används för att lösa exemplet kan ges en generell karaktär.

Tänk på kraftserien

Låt oss sammanställa en serie absoluta värden för medlemmarna i serien och tillämpa D'Alemberts kriterium på det.

Om det finns en (ändlig eller oändlig) gräns, kommer serien, enligt konvergensvillkoret för D'Alemberts kriterium, att konvergera om

,

,

.

Därför, från definitionen av konvergensintervallet och radien, har vi

Genom att använda det radikala Cauchy-testet och resonera på samma sätt kan vi få en annan formel för att hitta konvergensradien

Exempel 19

Lösning.

Serien är en maktserie i makter X. För att hitta konvergensintervallet beräknar vi konvergensradien med hjälp av formeln ovan. För en given serie har formeln för den numeriska koefficienten formen

, Då

Därav,

Därför att R = , då konvergerar serien (och absolut) för alla värden X, de där. konvergensregion X (–; +).

Observera att det skulle vara möjligt att hitta konvergensområdet utan att använda formler, utan genom att direkt tillämpa Alemberts kriterium:

Eftersom värdet på gränsen inte beror på X och mindre än 1, då konvergerar serien för alla värden X, de där. på X(-;+).

Exempel 20

Hitta konvergensområdet för serien

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Lösning .

x + 5), de där. konvergenscentrum X 0 = - 5. Numerisk koefficient för serien A P = n!.

Låt oss hitta konvergensradien för serien

.

Konvergensintervallet består alltså av en punkt - mitten av konvergensintervallet x = - 5.

Exempel 21

Hitta konvergensområdet för serien
.

Lösning.

Denna serie är en kraftserie i potenser ( X–2), de där.

konvergenscentrum X 0 = 2. Observera att serien är positivt tecken för alla fasta X, sedan uttrycket ( X- 2) upphöjd till makten 2 P. Låt oss tillämpa det radikala Cauchy-testet på serien.

Serien kommer att konvergera om gränsvärdet är mindre än 1, d.v.s.

,
,
,

Detta innebär att konvergensradien
, sedan konvergensintegralen

,
.

Således konvergerar serien absolut kl X
. Observera att konvergensintegralen är symmetrisk med avseende på konvergenscentrum X O = 2.

Låt oss studera konvergensen av serien vid ändarna av konvergensintervallet.

Troende
, får vi en numerisk serie med positivt tecken

Låt oss använda det nödvändiga kriteriet för konvergens:

därför divergerar talserien, och punkten
är punkten för divergensen. Observera att när vi beräknade gränsen använde vi den andra anmärkningsvärda gränsen.

Troende
, vi får samma nummerserie (kolla själv!), vilket betyder punkt
ingår inte heller i konvergensintervallet.

Så, regionen för absolut konvergens för denna serie X
.

2.3. Egenskaper för konvergenta effektserier

Vi vet att en ändlig summa av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig; summan av differentierbara funktioner är differentierbar, och derivatan av summan är lika med summan av derivatorna; slutsumman kan integreras termin för termin.

Det visar sig att för "oändliga summor" av funktioner - funktionsserier - gäller inte egenskaperna i det allmänna fallet.

Tänk till exempel på den funktionella serien

Det är uppenbart att alla termer i serien är kontinuerliga funktioner. Låt oss hitta konvergensområdet för denna serie och dess summa. För att göra detta hittar vi seriens delsummor

sedan summan av serien

Alltså mängden S(X) av en given serie, som gränsen för en sekvens av delsummor, finns och är ändlig för X (-1;1), Detta betyder att detta intervall är seriens konvergensregion. Dessutom är dess summa en diskontinuerlig funktion, eftersom

Så det här exemplet visar att i det allmänna fallet har egenskaperna hos ändliga summor ingen analog för oändliga summor - serier. Men för ett specialfall av funktionella serier - potensserier - liknar summans egenskaper egenskaperna hos ändliga summor.