Hur hittar man derivatan, hur tar man derivatan? I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man hittar derivator av funktioner. Men innan du studerar den här sidan rekommenderar jag starkt att du bekantar dig med det metodologiska materialet. Heta skolmatematikformler. Referensmanualen kan öppnas eller laddas ner från sidan Matematiska formler och tabeller. Även därifrån behöver vi Derivattabell, det är bättre att skriva ut det, du måste ofta hänvisa till det, och inte bara nu, utan även offline.

Äta? Låt oss börja. Jag har två nyheter till dig: bra och mycket bra. Den goda nyheten är denna: för att lära sig hur man hittar derivat är det inte alls nödvändigt att veta och förstå vad ett derivat är. Dessutom, definitionen av derivatan av en funktion, matematisk, fysisk, geometrisk känsla derivatan är mer ändamålsenlig att smälta senare, eftersom en kvalitativ studie av teorin, enligt min mening, kräver studier av ett antal andra ämnen, samt viss praktisk erfarenhet.
Och nu är vår uppgift att bemästra just dessa derivator tekniskt. Den mycket goda nyheten är att det inte är så svårt att lära sig ta derivator, det finns en ganska tydlig algoritm för att lösa (och förklara) denna uppgift, integraler eller gränser är till exempel svårare att bemästra.

Jag rekommenderar följande studieordning av ämnet S: Först den här artikeln. Då behöver du läsa den viktigaste lektionen Derivat av en sammansatt funktion. Dessa två grundläggande klasser låter dig höja dina färdigheter från grunden. Vidare kommer det att vara möjligt att bekanta dig med mer komplexa derivator i artikeln. komplexa derivat. logaritmisk derivata. Om ribban är för hög, läs artikeln först De enklaste typiska problemen med en derivata. Utöver det nya materialet omfattade lektionen andra, enklare typer av derivat, och det finns en stor möjlighet att förbättra din differentieringsteknik. Dessutom finns det i kontrollarbete nästan alltid uppgifter för att hitta derivator av funktioner som specificeras implicit eller parametriskt. Det finns också en handledning för detta: Derivator av implicita och parametriskt definierade funktioner.

Jag kommer att försöka i en tillgänglig form, steg för steg, lära dig hur du hittar derivator av funktioner. All information presenteras i detalj, i enkla ord.

Låt oss faktiskt titta på ett exempel:

Exempel 1

Hitta derivatan av en funktion

Lösning:

Detta det enklaste exemplet, vänligen hitta den i tabellen över derivator av elementära funktioner. Låt oss nu titta på lösningen och analysera vad som hände? Och följande sak hände: vi hade en funktion , som, som ett resultat av lösningen, förvandlades till en funktion .

Helt enkelt, för att hitta derivatan av en funktion måste du göra om den till en annan funktion enligt vissa regler. Titta igen på tabellen över derivator - där funktioner förvandlas till andra funktioner. Det enda undantaget är exponentialfunktionen, som förvandlas till sig själv. Operationen att hitta derivatan kallas differentiering .

Notation: Derivatan betecknas med eller .

OBSERVERA, VIKTIGT! Glöm att lägga ett slag (där det behövs), eller rita ett extra slag (där det inte är nödvändigt) - STORT FEL! En funktion och dess derivata är två olika funktioner!

Låt oss återgå till vår tabell över derivat. Från denna tabell är det önskvärt memorera: regler för differentiering och derivator av vissa elementära funktioner, särskilt:

derivata av en konstant:
, där är ett konstant tal;

derivat kraftfunktion:
, särskilt: , , .

Varför memorera? Denna kunskap är elementär kunskap om derivat. Och om du inte kan svara på lärarens fråga "Vad är derivatan av numret?", Då kan dina studier vid universitetet sluta för dig (jag känner personligen till två riktiga fall från livet). Dessutom är dessa de vanligaste formlerna som vi måste använda nästan varje gång vi stöter på derivator.

I verkligheten är enkla tabellexempel sällsynta; vanligtvis, när man hittar derivator, används differentieringsregler först och sedan en tabell med derivator av elementära funktioner.

I detta avseende vänder vi oss till övervägandet differentieringsregler:

1) Ett konstant tal kan (och bör) tas ut ur derivatans tecken

Var är ett konstant tal (konstant)

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Vi tittar på tabellen över derivat. Derivatan av cosinus finns där, men vi har .

Det är dags att använda regeln, vi tar ut den konstanta faktorn bortom derivatans tecken:

Och nu vänder vi vår cosinus enligt tabellen:

Tja, det är önskvärt att "kamma" resultatet lite - sätt minuset i första hand, samtidigt som du blir av med fästena:

2) Derivatan av summan är lika med summan av derivatorna

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Vi bestämmer. Som du säkert redan har märkt är den första åtgärden som alltid utförs när man hittar derivatan att vi sätter hela uttrycket inom parentes och sätter ett streck längst upp till höger:

Vi tillämpar den andra regeln:

Observera att för differentiering måste alla rötter, grader representeras som , och om de finns i nämnaren, flytta dem uppåt. Hur man gör detta diskuteras i mitt metodmaterial.

Nu minns vi den första differentieringsregeln - vi tar ut de konstanta faktorerna (talen) utanför tecknet för derivatan:

Vanligtvis, under lösningen, tillämpas dessa två regler samtidigt (för att inte skriva om ett långt uttryck igen).

Alla funktioner under strecken är elementära tabellfunktioner, med hjälp av tabellen utför vi transformationen:

Du kan lämna allt i den här formen, eftersom det inte finns fler streck och derivatan har hittats. Men uttryck som detta brukar förenkla:

Det är önskvärt att representera alla grader av arten igen som rötter, och att återställa graderna med negativa indikatorer till nämnaren. Även om du inte kan göra detta, kommer det inte att vara ett misstag.

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

Försök att lösa detta exempel själv (svar i slutet av lektionen). Den som är intresserad kan också använda intensivkurs i pdf-format, vilket är särskilt relevant om du har väldigt lite tid till ditt förfogande.

3) Derivat av produkten av funktioner

Det verkar som om formeln analogt föreslår sig själv ...., men överraskningen är att:

Denna ovanliga regel (liksom andra) följer av definitioner av derivatan. Men vi avvaktar med teorin tills vidare - nu är det viktigare att lära sig hur man löser:

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion

Här har vi produkten av två funktioner beroende på .
Först tillämpar vi vår konstiga regel, och sedan transformerar vi funktionerna enligt tabellen med derivator:

Svår? Inte alls, ganska prisvärt även för en tekanna.

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Denna funktion innehåller summan och produkten av två funktioner - kvadratisk trinomium och logaritm. Vi minns från skolan att multiplikation och division har företräde framför addition och subtraktion.

Det är samma sak här. I BÖRJAN vi använder produktdifferentieringsregeln:

Nu för parentes använder vi de två första reglerna:

Som ett resultat av att tillämpa reglerna för differentiering under slagen har vi bara elementära funktioner kvar, enligt tabellen med derivator omvandlar vi dem till andra funktioner:

Redo.

Med viss erfarenhet av att hitta derivat verkar enkla derivat inte behöva beskrivas så detaljerat. I allmänhet löses de vanligtvis muntligt, och det registreras omedelbart att .

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för oberoende lösning(svar i slutet av lektionen)

4) Härledning av privata funktioner

En lucka har öppnats i taket, var inte rädd, det är ett fel.
Och här är den hårda verkligheten:

Exempel 8

Hitta derivatan av en funktion

Vad är inte här - summan, skillnaden, produkten, bråkdelen .... Vad ska jag börja med?! Det finns tvivel, inga tvivel, men, I ALLA FALL först, rita parenteser och sätt ett streck längst upp till höger:

Nu tittar vi på uttrycket inom parentes, hur skulle vi förenkla det? I det här fallet märker vi en faktor som, enligt den första regeln, är tillrådlig att ta den ur derivatans tecken.

Processen att hitta derivatan av en funktion kallas differentiering. Derivatan måste hittas i ett antal problem under matematisk analys. Till exempel när man hittar extrema punkter och brytpunkter för en funktionsgraf.

Hur man hittar?

För att hitta derivatan av en funktion måste du känna till tabellen över derivator av elementära funktioner och tillämpa de grundläggande reglerna för differentiering:

1. Ta konstanten ur tecknet för derivatan: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivat av summa/differens av funktioner: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivat av produkten av två funktioner: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Bråkderivata : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Sammansatt funktionsderivata : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Exempel på lösningar

Exempel 1

Hitta derivatan av funktionen $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Lösning

Derivatan av summan/skillnaden av funktioner är lika med summan/skillnaden av derivatorna: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Med hjälp av potensfunktionen derivatregel $ (x^p)" = px^(p-1) $ har vi: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Man tog också hänsyn till att derivatan av konstanten är lika med noll. Om du inte kan lösa ditt problem, skicka det till oss. Vi kommer att tillhandahålla en detaljerad lösning. Du kommer att kunna bekanta dig med hur beräkningen fortskrider och samla information. Detta kommer att hjälpa dig att få en kredit från läraren i tid!

Svar

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Bevis och härledning av formler för derivatan av exponentialen (e i potensen av x) och exponentialfunktionen (a i potensen av x). Exempel på beräkning av derivator av e^2x, e^3x och e^nx. Formler för derivat av högre ordning.

Innehåll

Se även: Exponentialfunktion - egenskaper, formler, graf
Exponent, e till potensen av x - egenskaper, formler, graf

Grundläggande formler

Exponentens derivata är lika med exponenten själv (derivatan av e till potensen av x är lika med e till potensen av x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivatan av en exponentialfunktion med en bas av grad a är lika med själva funktionen, multiplicerad med den naturliga logaritmen av a:
(2) .

Exponenten är en exponentialfunktion vars exponentbas är lika med talet e, vilket är följande gräns:
.
Här kan det vara både naturligt och riktigt nummer. Därefter härleder vi formel (1) för derivatan av exponenten.

Härledning av formeln för derivatan av exponenten

Betrakta exponenten e i potensen av x :
y = e x .
Denna funktion är definierad för alla. Låt oss hitta dess derivata med avseende på x . Per definition är derivatan följande gräns:
(3) .

Låt oss omvandla detta uttryck för att reducera det till kända matematiska egenskaper och regler. För detta behöver vi följande fakta:
A) Exponentegenskap:
(4) ;
B) Logaritm-egenskap:
(5) ;
I) Kontinuitet för logaritmen och egenskapen för gränser för en kontinuerlig funktion:
(6) .
Här är någon funktion som har en gräns och denna gräns är positiv.
G) Innebörden av den andra underbara gränsen:
(7) .

Vi tillämpar dessa fakta till vår gräns (3). Vi använder egendom (4):
;
.

Låt oss göra ett byte. Sedan ; .
På grund av exponentens kontinuitet,
.
Därför, vid , . Som ett resultat får vi:
.

Låt oss göra ett byte. Sedan . Vid , . Och vi har:
.

Vi tillämpar egenskapen för logaritmen (5):
. Sedan
.

Låt oss tillämpa egendom (6). Eftersom det finns en positiv gräns och logaritmen är kontinuerlig, då:
.
Här använde vi också den andra anmärkningsvärda gränsen (7). Sedan
.

Således har vi erhållit formel (1) för derivatan av exponenten.

Härledning av formeln för derivatan av exponentialfunktionen

Nu härleder vi formeln (2) för derivatan av exponentialfunktionen med en bas av grad a. Det tror vi och . Sedan exponentialfunktionen
(8)
Definierat för alla.

Låt oss omvandla formel (8). För att göra detta använder vi egenskaperna för exponentialfunktionen och logaritmen.
;
.
Så vi har transformerat formel (8) till följande form:
.

Högre ordningens derivator av e i potensen av x

Låt oss nu hitta derivator av högre ordning. Låt oss först titta på exponenten:
(14) .
(1) .

Vi ser att derivatan av funktionen (14) är lika med själva funktionen (14). Genom att differentiera (1) får vi andra och tredje ordningens derivator:
;
.

Detta visar att den n:te ordningens derivatan också är lika med den ursprungliga funktionen:
.

Högre ordningens derivator av exponentialfunktionen

Betrakta nu en exponentialfunktion med en bas av grad a:
.
Vi hittade dess första ordningens derivata:
(15) .

Genom att differentiera (15), får vi andra och tredje ordningens derivator:
;
.

Vi ser att varje differentiering leder till multiplikationen av den ursprungliga funktionen med . Därför har den n:e derivatan följande form:
.

Se även:
Datum: 2014-11-20

Vad är ett derivat?

Derivattabell.

Derivaten är ett av huvudbegreppen inom högre matematik. I den här lektionen kommer vi att introducera detta koncept. Låt oss bli bekanta, utan strikta matematiska formuleringar och bevis.

Denna introduktion låter dig:

Förstå essensen av enkla uppgifter med en derivata;

Lös dessa mycket enkla uppgifter framgångsrikt;

Förbered dig på mer seriösa härledda lektioner.

Först en trevlig överraskning.

Den strikta definitionen av derivatan är baserad på teorin om gränser, och saken är ganska komplicerad. Det är upprörande. Men den praktiska tillämpningen av derivatan kräver som regel inte så omfattande och djupa kunskaper!

För att framgångsrikt slutföra de flesta uppgifter i skolan och universitetet räcker det att veta bara några få termer- att förstå uppgiften, och bara några regler- att lösa det. Och det är allt. Detta gör mig lycklig.

Ska vi lära känna varandra?)

Villkor och beteckningar.

Det finns många matematiska operationer i elementär matematik. Addition, subtraktion, multiplikation, exponentiering, logaritm, etc. Om ytterligare en operation läggs till dessa operationer blir elementär matematik högre. Denna nya operation kallas differentiering. Definitionen och innebörden av denna operation kommer att diskuteras i separata lektioner.

Här är det viktigt att förstå att differentiering bara är en matematisk operation på en funktion. Vi tar vilken funktion som helst och omvandlar den enligt vissa regler. Resultatet är en ny funktion. Denna nya funktion kallas: derivat.

Differentiering- åtgärd på en funktion.

Derivatär resultatet av denna åtgärd.

Precis som t.ex. beloppär resultatet av tillägget. Eller privatär resultatet av uppdelningen.

Genom att känna till termerna kan du åtminstone förstå uppgifterna.) Formuleringen är som följer: hitta derivatan av en funktion; ta derivatan; differentiera funktionen; beräkna derivata och så vidare. Detta är allt samma. Naturligtvis finns det mer komplexa uppgifter, där att hitta derivatan (differentiering) blir bara ett av stegen för att lösa uppgiften.

Derivatan betecknas med ett streck längst upp till höger ovanför funktionen. Så här: y" eller f"(x) eller S"(t) och så vidare.

läsa y stroke, ef stroke från x, es stroke från te, ja ni förstår...)

Ett primtal kan också beteckna derivatan av en viss funktion, till exempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofta betecknas derivatan med differentialer, men vi kommer inte att överväga en sådan notation i den här lektionen.

Antag att vi har lärt oss att förstå uppgifterna. Det finns inget kvar - att lära sig hur man löser dem.) Låt mig påminna dig igen: att hitta derivatan är omvandling av en funktion enligt vissa regler. Dessa regler är förvånansvärt få.

För att hitta derivatan av en funktion behöver du bara veta tre saker. Tre pelare som all differentiering vilar på. Här är de tre valarna:

1. Tabell över derivat (differentieringsformler).

3. Derivat komplex funktion.

Låt oss börja i ordning. I den här lektionen kommer vi att överväga tabellen över derivat.

Derivattabell.

Världen har ett oändligt antal funktioner. Bland denna uppsättning finns funktioner som är viktigast för praktisk tillämpning. Dessa funktioner sitter i alla naturlagar. Från dessa funktioner, som från tegelstenar, kan du konstruera alla andra. Denna klass av funktioner kallas elementära funktioner. Det är dessa funktioner som studeras i skolan - linjär, kvadratisk, hyperbel, etc.

Differentiering av funktioner "från grunden", d.v.s. baserat på definitionen av derivatan och teorin om gränser - en ganska tidskrävande sak. Och matematiker är människor också, ja, ja!) Så de förenklade sina liv (och oss). De beräknade derivator av elementära funktioner före oss. Resultatet är en tabell över derivat, där allt är klart.)

Här är den, denna platta för de mest populära funktionerna. Vänster - elementär funktion, höger - dess derivata.

	Fungera y	Derivata av funktion y y"
1	C( konstant)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n är valfritt tal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synd x	(sinx)" = cosx
	för x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	båge x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	logga a x
	ln x ( a = e)

Jag rekommenderar att du uppmärksammar den tredje gruppen av funktioner i denna tabell över derivator. Derivatan av en potensfunktion är en av de vanligaste formlerna, om inte den vanligaste! Är tipset tydligt?) Ja, det är önskvärt att kunna tabellen över derivator utantill. Förresten, det här är inte så svårt som det kan verka. Försök att lösa fler exempel, själva tabellen kommer att komma ihåg!)

Att hitta derivatans tabellvärde, som du förstår, är inte den svåraste uppgiften. Därför finns det mycket ofta i sådana uppgifter ytterligare marker. Antingen i formuleringen av uppgiften, eller i den ursprungliga funktionen, som inte verkar finnas i tabellen ...

Låt oss titta på några exempel:

1. Hitta derivatan av funktionen y = x 3

Det finns ingen sådan funktion i tabellen. Men det finns en allmän derivata av potensfunktionen (tredje gruppen). I vårt fall är n=3. Så vi ersätter trippeln istället för n och skriver noggrant ner resultatet:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det är allt som finns.

Svar: y" = 3x 2

2. Hitta värdet på derivatan av funktionen y = sinx i punkten x = 0.

Denna uppgift innebär att du först måste hitta derivatan av sinus och sedan ersätta värdet x = 0 till samma derivata. Det är i den ordningen! Annars händer det att de omedelbart ersätter noll i den ursprungliga funktionen ... Vi uppmanas att hitta inte värdet på den ursprungliga funktionen, utan värdet dess derivat. Den derivata, låt mig påminna dig, är redan en ny funktion.

På plattan hittar vi sinus och motsvarande derivata:

y" = (sinx)" = cosx

Ersätt noll i derivatan:

y"(0) = cos 0 = 1

Detta kommer att vara svaret.

3. Differentiera funktionen:

Vad inspirerar?) Det finns inte ens nära en sådan funktion i tabellen över derivator.

Låt mig påminna dig om att att differentiera en funktion helt enkelt är att hitta derivatan av denna funktion. Om du glömmer elementär trigonometri är det ganska besvärligt att hitta derivatan av vår funktion. Bordet hjälper inte...

Men om vi ser att vår funktion är cosinus av en dubbel vinkel, då blir allt genast bättre!

Jaja! Kom ihåg att omvandlingen av den ursprungliga funktionen före differentiering helt acceptabelt! Och det råkar göra livet mycket lättare. Enligt formeln för cosinus för en dubbel vinkel:

De där. vår knepiga funktion är inget annat än y = cox. Och det här är en tabellfunktion. Vi får genast:

Svar: y" = - sin x.

Exempel för avancerade akademiker och studenter:

4. Hitta derivatan av en funktion:

Det finns naturligtvis ingen sådan funktion i derivattabellen. Men om du kommer ihåg elementär matematik, handlingar med krafter... Då är det fullt möjligt att förenkla denna funktion. Så här:

Och x till en tiondels makt är redan en tabellfunktion! Den tredje gruppen, n=1/10. Direkt enligt formeln och skriv:

Det är allt. Detta kommer att vara svaret.

Jag hoppas att allt är klart med den första valen av differentiering - tabellen över derivat. Det återstår att ta itu med de två återstående valarna. I nästa lektion kommer vi att lära oss reglerna för differentiering.

Derivatberäkningär en av de viktigaste operationerna i differentialkalkyl. Nedan finns en tabell för att hitta derivator av enkla funktioner. För mer komplexa differentieringsregler, se andra lektioner:

• Tabell över derivator av exponential- och logaritmiska funktioner

Använd de givna formlerna som referensvärden. De hjälper dig att bestämma differentialekvationer och uppgifter. På bilden, i tabellen över derivator av enkla funktioner, finns ett "fuskblad" med de viktigaste fallen för att hitta derivatan i en form som är begriplig för användning, bredvid finns förklaringar för varje fall.

Derivater av enkla funktioner

1. Derivatan av ett tal är noll
с´ = 0
Exempel:
5' = 0

Förklaring:
Derivatan visar den hastighet med vilken värdet på funktionen ändras när argumentet ändras. Eftersom talet inte förändras på något sätt under några förhållanden, är ändringshastigheten alltid noll.

2. Derivat av en variabel lika med ett
x' = 1

Förklaring:
Med varje ökning av argumentet (x) med ett, ökar värdet på funktionen (beräkningsresultat) med samma belopp. Således är förändringshastigheten för värdet av funktionen y = x exakt lika med förändringshastigheten för argumentets värde.

3. Derivatan av en variabel och en faktor är lika med denna faktor
сx´ = с
Exempel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Förklaring:
I det här fallet, varje gång funktionsargumentet ( X) dess värde (y) växer in Med en gång. Således är förändringshastigheten för funktionens värde med avseende på förändringshastigheten för argumentet exakt lika med värdet Med.

Varifrån följer det
(cx + b)" = c
dvs differential linjär funktion y=kx+b är lika med lutningen på den räta linjen (k).

4. Moduloderivata av en variabelär lika med kvoten för denna variabel till dess modul
|x|"= x / |x| förutsatt att x ≠ 0
Förklaring:
Eftersom derivatan av variabeln (se formel 2) är lika med ett, skiljer sig derivatan av modulen endast genom att värdet på funktionens förändringshastighet ändras till det motsatta när man korsar utgångspunkten (försök att rita en graf av funktionen y = |x| och se själv. Detta är exakt värde och returnerar uttrycket x / |x| När x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vill säga, med negativa värden av variabeln x, med varje ökning av förändringen i argumentet, minskar värdet på funktionen med exakt samma värde, och med positiva värden, tvärtom, ökar det, men med exakt samma värde.

5. Potensderivata av en variabelär lika med produkten av talet av denna potens och variabeln i potensen, reducerad med en
(x c)"= cx c-1, förutsatt att xc och cx c-1 är definierade och c ≠ 0
Exempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Att memorera formeln:
Ta exponenten för variabeln "ner" som en multiplikator och minska sedan själva exponenten med en. Till exempel, för x 2 - två var före x, och sedan gav den reducerade effekten (2-1 = 1) oss bara 2x. Samma sak hände för x 3 - vi sänker trippeln, minskar den med en och istället för en kub har vi en kvadrat, det vill säga 3x 2 . Lite "ovetenskapligt", men väldigt lätt att komma ihåg.

6.Bråkderivat 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exempel:
Eftersom en bråkdel kan representeras som att höja till negativ makt
(1/x)" = (x -1)", då kan du tillämpa formeln från regel 5 i derivattabellen
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Bråkderivat med en variabel av godtycklig grad i nämnaren
(1/x c)" = - c/x c+1
Exempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. rotderivat(derivata av variabeln under roten ur)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Exempel:
(√x)" = (x 1/2)" så att du kan tillämpa formeln från regel 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat av en variabel under en rot av en godtycklig grad
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)