Bir jinsli bo'lmagan jismni to'xtatib, massa markazini toping. Samolyot figuralarining og'irlik markazini aniqlash

27.11.2023 | Bolalar uchun

Tizimning diagrammasini chizing va unda og'irlik markazini belgilang. Agar topilgan og'irlik markazi ob'ekt tizimidan tashqarida bo'lsa, siz noto'g'ri javob oldingiz. Siz turli xil mos yozuvlar nuqtalaridan masofani o'lchagan bo'lishingiz mumkin. O'lchovlarni takrorlang.

Misol uchun, agar bolalar belanchakda o'tirishsa, og'irlik markazi belanchakning o'ng yoki chap tomonida emas, balki bolalar o'rtasida bo'ladi. Bundan tashqari, tortishish markazi hech qachon bolaning o'tirgan joyiga to'g'ri kelmaydi.
Ushbu dalillar ikki o'lchovli fazoda haqiqiydir. Tizimning barcha ob'ektlarini o'z ichiga oladigan kvadrat chizing. Og'irlik markazi bu kvadrat ichida bo'lishi kerak.

Agar siz kichik natijaga erishsangiz, matematikani tekshiring. Agar mos yozuvlar nuqtasi tizimning bir uchida bo'lsa, kichik natija tortishish markazini tizimning oxiriga yaqinlashtiradi. Bu to'g'ri javob bo'lishi mumkin, lekin aksariyat hollarda bu natija xatoni ko'rsatadi. Momentlarni hisoblaganingizda, tegishli og'irlik va masofalarni ko'paytirdingizmi? Agar ko'paytirish o'rniga siz og'irlik va masofalarni qo'shsangiz, juda kichikroq natijaga erishasiz.

Agar siz bir nechta tortishish markazlarini topsangiz, xatoni tuzating. Har bir tizim faqat bitta tortishish markaziga ega. Agar siz bir nechta tortishish markazlarini topsangiz, ehtimol siz barcha daqiqalarni qo'shmagansiz. Og'irlik markazi "jami" momentning "umumiy" vaznga nisbatiga teng. "Har bir lahzani" "har bir" vaznga bo'lishning hojati yo'q: shu tarzda siz har bir ob'ektning o'rnini topasiz.

Agar javob ba'zi bir butun qiymat bilan farq qilsa, mos yozuvlar nuqtasini tekshiring. Bizning misolimizda javob 3,4 m, deylik, siz 0,4 m yoki 1,4 m yoki ".4" bilan tugaydigan boshqa raqamni oldingiz. Buning sababi, siz boshlang'ich nuqta sifatida taxtaning chap uchini emas, balki butun o'ng tomonda joylashgan nuqtani tanladingiz. Aslida, qaysi mos yozuvlar nuqtasini tanlamasligingizdan qat'iy nazar, javobingiz to'g'ri! Esda tuting: mos yozuvlar nuqtasi har doim x = 0 holatidadir. Mana bir misol:

Bizning misolimizda mos yozuvlar nuqtasi taxtaning chap uchida edi va biz og'irlik markazi ushbu mos yozuvlar nuqtasidan 3,4 m masofada ekanligini aniqladik.
Agar siz mos yozuvlar nuqtasi sifatida taxtaning chap uchidan 1 m o'ngda joylashgan nuqtani tanlasangiz, siz 2,4 m javob olasiz, ya'ni tortishish markazi yangi mos yozuvlar nuqtasidan 2,4 m , o'z navbatida, taxtaning chap uchidan 1 m masofada joylashgan. Shunday qilib, tortishish markazi taxtaning chap uchidan 2,4 + 1 = 3,4 m masofada joylashgan. Bu eski javob bo'lib chiqdi!
Eslatma: masofalarni o'lchashda, "chap" mos yozuvlar nuqtasiga masofalar salbiy va "o'ng" mos yozuvlar nuqtasiga ijobiy ekanligini unutmang.

To'g'ri chiziqlardagi masofalarni o'lchash. Faraz qilaylik, belanchakda ikkita bola bor, lekin bir bola ikkinchisidan ancha balandroq yoki bitta bola taxtada o'tirishdan ko'ra uning ostida osilgan. Bu farqni e'tiborsiz qoldiring va taxtaning to'g'ri chizig'i bo'ylab masofalarni o'lchang. Burchaklardagi masofalarni o'lchash yaqin, ammo to'liq aniq emas natijalar beradi.

Arra taxtasi muammosi uchun tortishish markazi taxtaning o'ng va chap uchlari orasida ekanligini unutmang. Keyinchalik murakkabroq ikki o'lchovli tizimlarning og'irlik markazini hisoblashni o'rganasiz.

Og'irlik markazi qattiq jismning geometrik nuqtasi bu jismga qattiq bog'langan va tananing alohida elementar zarralariga qo'llaniladigan parallel tortishish kuchlarining markazidir (1.6-rasm).

Bu nuqtaning radius vektori

1.6-rasm

Bir hil jism uchun tananing og'irlik markazining holati materialga bog'liq emas, balki tananing geometrik shakli bilan belgilanadi.

Agar bir jinsli jismning solishtirma og'irligi γ , vazn elementar zarracha tanasi

P k = gDV k (P = gV ) aniqlash uchun formulaga almashtiring r C , bizda ... bor

Bu erdan o'qlarga proyeksiya qilib, chegaraga o'tib, biz bir hil hajmning og'irlik markazining koordinatalarini olamiz.

Xuddi shunday, maydoni bo'lgan bir hil sirtning og'irlik markazining koordinatalari uchun S (1.7-rasm, a)

1.7-rasm

Bir hil uzunlikdagi og'irlik markazining koordinatalari uchun L (1.7-rasm, b)

Og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash usullari

Oldindan olingan narsalarga asoslanib umumiy formulalar, siz qattiq jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlash usullarini belgilashingiz mumkin:

1 Analitik(integratsiya orqali).

2 Simmetriya usuli. Agar tananing tekisligi, o'qi yoki simmetriya markazi bo'lsa, unda uning og'irlik markazi mos ravishda simmetriya tekisligida, simmetriya o'qi yoki simmetriya markazida yotadi.

3 Eksperimental(tanaga osib qo'yish usuli).

4 Bo'linish. Tana cheklangan miqdordagi qismlarga bo'lingan, ularning har biri uchun og'irlik markazining pozitsiyasi. C va maydon S ma'lum. Masalan, jismning tekislikka proyeksiyasi xOy (1.8-rasm) maydonlari bo'lgan ikkita tekis figura sifatida ifodalanishi mumkin S 1 Va S 2 (S=S 1 +S 2 ). Ushbu figuralarning og'irlik markazlari nuqtalarda joylashgan C 1 (x 1 , y 1 ) Va C 2 (x 2 , y 2 ) . Keyin tananing og'irlik markazining koordinatalari teng bo'ladi

1.8-rasm

5Qo'shish(salbiy maydonlar yoki hajmlar usuli). Bo'lish usulining alohida holati. Agar kesiksiz tananing og'irlik markazlari va kesilgan qismi ma'lum bo'lsa, u kesiklari bo'lgan jismlarga taalluqlidir. Masalan, tekis figuraning og'irlik markazining koordinatalarini topishingiz kerak (1.9-rasm):

1.9-rasm

Eng oddiy figuralarning og'irlik markazlari

1.10-rasm

1 uchburchak

Uchburchak maydonining og'irlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi (1.10-rasm, a).

DM = MB , CM = (1/3)A.M. .

2 dumaloq yoy

Yoy simmetriya o'qiga ega (1.10-rasm, b). Og'irlik markazi bu o'qda yotadi, ya'ni. y C = 0 .

dl - yoy elementi, dl = Rdph , R - aylana radiusi, x = Rcosph , L= 2aR ,

Demak:

x C = R(sina/a) .

3 Doiraviy sektor

Radius sektori R markaziy burchak bilan 2 α simmetriya o'qiga ega ho'kiz , uning ustida og'irlik markazi joylashgan (1.10-rasm, v).

Biz sektorni uchburchaklar deb hisoblash mumkin bo'lgan elementar sektorlarga ajratamiz. Elementar sektorlarning tortishish markazlari radiusli (2/3) aylana yoyda joylashgan. R .

Sektorning og'irlik markazi yoyning og'irlik markaziga to'g'ri keladi AB :

14. Nuqtaning harakatini ko'rsatish usullari.

Harakatni aniqlashning vektor usuli bilan nuqtaning pozitsiyasi tanlangan mos yozuvlar tizimidagi sobit nuqtadan chizilgan radius vektori bilan aniqlanadi.

Harakatni aniqlashning koordinata usuli bilan nuqta koordinatalari vaqt funktsiyasi sifatida belgilanadi:

Bu harakatlanuvchi nuqta traektoriyasining parametrik tenglamalari bo'lib, unda vaqt parametr rolini o'ynaydi. t . Uning tenglamasini aniq shaklda yozish uchun ulardan chiqarib tashlash kerak t .

Harakatni ko'rsatishning tabiiy usuli bilan nuqtaning traektoriyasi, yo'nalishning ijobiy yo'nalishini ko'rsatadigan traektoriyadagi mos yozuvlar kelib chiqishi va yoy koordinatasidagi o'zgarish qonuni belgilanadi: s=s(t) . Agar nuqtaning traektoriyasi oldindan ma'lum bo'lsa, bu usuldan foydalanish qulay.

15. 1.2 ball tezligi

Qisqa vaqt ichida nuqtaning harakatini ko'rib chiqing Dt :

nuqtaning ma'lum vaqt oralig'idagi o'rtacha tezligi Dt . Belgilangan vaqtdagi nuqta tezligi

Nuqta tezligi ko'rib chiqilayotgan mos yozuvlar tizimidagi ushbu nuqtaning radius vektorining vaqt hosilasiga teng bo'lgan uning harakatining kinematik o'lchovidir. Tezlik vektori harakat yo'nalishi bo'yicha nuqtaning traektoriyasiga tangensial yo'naltiriladi.

To'rtburchaklar, dumaloq, sferik yoki silindrsimon, shuningdek kvadrat shaklga ega bo'lgan oddiy figuralarning og'irlik markazini topishdan oldin, siz ma'lum bir figuraning simmetriya markazi qaysi nuqtada joylashganligini bilishingiz kerak. Chunki bu holatlarda og'irlik markazi simmetriya markaziga to'g'ri keladi.

Bir jinsli tayoqning og'irlik markazi uning geometrik markazida joylashgan. Agar siz bir hil strukturaning yumaloq diskining og'irlik markazini aniqlashingiz kerak bo'lsa, unda birinchi navbatda doira diametrlarining kesishish nuqtasini toping. Bu tananing og'irlik markazi bo'ladi. To'p, halqa va bir xil to'rtburchak parallelepiped kabi figuralarni hisobga olsak, biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, halqaning og'irlik markazi figuraning markazida bo'ladi, lekin uning nuqtalaridan tashqarida to'pning og'irlik markazi bo'ladi. sharning geometrik markazi, ikkinchi holatda esa og'irlik markazi to'rtburchaklar parallelepipedning kesishish diagonallari deb hisoblanadi.

Bir jinsli bo'lmagan jismlarning og'irlik markazi

Og'irlik markazining koordinatalarini, shuningdek bir jinsli bo'lmagan jismning og'irlik markazini topish uchun ushbu jismning qaysi segmentida barcha tortishish kuchlari kesishgan nuqta joylashganligini aniqlash kerak. ag'darilganligini ko'rsating. Amalda bunday nuqtani topish uchun tana ipga osilib, ipning tanaga biriktirilish nuqtalarini asta-sekin o'zgartiradi. Agar tana muvozanat holatida bo'lsa, tananing og'irlik markazi ipning chizig'iga to'g'ri keladigan chiziqda yotadi. Aks holda, tortishish tananing harakatlanishiga olib keladi.

Qalam va o'lchagichni oling, ipning yo'nalishlariga (tananing turli nuqtalariga biriktirilgan iplar) vizual ravishda mos keladigan vertikal tekis chiziqlar torting. Agar tana shakli juda murakkab bo'lsa, unda bir nuqtada kesishadigan bir nechta chiziqlarni torting. U siz tajriba o'tkazgan tananing og'irlik markaziga aylanadi.

Uchburchak og'irlik markazi

Uchburchakning og'irlik markazini topish uchun siz uchburchakni chizishingiz kerak - uch nuqtada bir-biriga bog'langan uchta segmentdan iborat rasm. Shaklning og'irlik markazini topishdan oldin, uchburchakning bir tomonining uzunligini o'lchash uchun o'lchagichdan foydalanish kerak. Yonning o'rtasiga belgi qo'ying, so'ngra qarama-qarshi cho'qqi va segmentning o'rtasini median deb ataladigan chiziq bilan bog'lang. Xuddi shu algoritmni uchburchakning ikkinchi tomoni bilan, keyin uchinchi tomoni bilan takrorlang. Sizning ishingiz natijasi bir nuqtada kesishadigan uchta median bo'ladi, bu uchburchakning og'irlik markazi bo'ladi.

Agar siz teng tomonli uchburchak shaklidagi jismning og'irlik markazini qanday topish bo'yicha vazifaga duch kelsangiz, to'rtburchaklar o'lchagich yordamida har bir cho'qqidan balandlikni chizishingiz kerak. Teng tomonli uchburchakdagi tortishish markazi balandliklar, medianalar va bissektrisalarning kesishgan joyida bo'ladi, chunki bir xil segmentlar bir vaqtning o'zida balandliklar, medianalar va bissektrisalardir.

Uchburchakning og'irlik markazining koordinatalari

Uchburchakning og'irlik markazini va uning koordinatalarini topishdan oldin, keling, rasmning o'zini batafsil ko'rib chiqaylik. Bu bir hil uchburchak plastinka bo'lib, A, B, C cho'qqilari va shunga mos ravishda koordinatalari: A tepasi uchun - x1 va y1; B cho'qqisi uchun - x2 va y2; C cho'qqisi uchun - x3 va y3. Og'irlik markazining koordinatalarini topishda biz uchburchak plastinkaning qalinligini hisobga olmaymiz. Rasmda aniq ko'rinib turibdiki, uchburchakning og'irlik markazi E harfi bilan ko'rsatilgan - uni topish uchun biz uchta medianani chizdik, ularning kesishmasida biz E nuqtasini joylashtirdik. Uning o'z koordinatalari bor: xE va yE.

A cho'qqisidan B segmentiga chizilgan mediananing bir uchi x 1 , y 1 koordinatalariga ega (bu A nuqta) va mediananing ikkinchi koordinatalari D nuqtasi (mediananing ikkinchi uchi) ekanligiga asoslanib olinadi. miloddan avvalgi segmentning o'rtasida joylashgan. Ushbu segmentning uchlari bizga ma'lum bo'lgan koordinatalarga ega: B(x 2, y 2) va C (x 3, y 3). D nuqtaning koordinatalari xD va yD bilan belgilanadi. Quyidagi formulalar asosida:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Segment o'rtasining koordinatalarini aniqlang. Biz quyidagi natijani olamiz:

xd=(X2+X3)/2; ud=(U2+U3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Biz AD segmentining uchlari uchun qanday koordinatalar xosligini bilamiz. Biz E nuqtaning koordinatalarini, ya'ni uchburchak plastinkaning og'irlik markazini ham bilamiz. Og'irlik markazi AD segmentining o'rtasida joylashganligini ham bilamiz. Endi bizga ma'lum bo'lgan formulalar va ma'lumotlardan foydalanib, biz tortishish markazining koordinatalarini topishimiz mumkin.

Shunday qilib, biz uchburchakning og'irlik markazining koordinatalarini, to'g'rirog'i, uning qalinligi bizga noma'lum ekanligini hisobga olsak, uchburchak plastinkaning og'irlik markazining koordinatalarini topishimiz mumkin. Ular uchburchak plastinka cho'qqilarining bir hil koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

Muhandislik amaliyotida og'irlik markazining joylashuvi ma'lum bo'lgan oddiy elementlardan tashkil topgan murakkab tekis figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblash zarurati paydo bo'ladi. Bu vazifa ... aniqlash vazifasining bir qismidir.

Kompozitlarning geometrik xarakteristikalari kesmalar nurlar va novdalar. Ko'pincha, kesish qoliplarini loyihalash bo'yicha muhandislar bosim markazining koordinatalarini aniqlashda, yuklarni joylashtirishda turli xil transport vositalari uchun yuklash sxemalarini ishlab chiquvchilar, elementlarning kesmalarini tanlashda metall konstruktsiyalarni qurish dizaynerlari va, albatta, shunga o'xshash savollarga duch kelishlari kerak. talabalar "Nazariy mexanika" va "Materiallar mustahkamligi" fanlarini o'rganishda.

Boshlang'ich raqamlar kutubxonasi.

Simmetrik tekislik figuralari uchun tortishish markazi simmetriya markaziga to'g'ri keladi. Elementar ob'ektlarning simmetrik guruhiga quyidagilar kiradi: aylana, to'rtburchaklar (shu jumladan kvadrat), parallelogramm (rombni o'z ichiga olgan holda), muntazam ko'pburchak.

Yuqoridagi rasmda keltirilgan o'nta raqamdan faqat ikkitasi asosiy hisoblanadi. Ya'ni, uchburchaklar va doira sektorlaridan foydalanib, siz deyarli har qanday shaklni birlashtira olasiz amaliy qiziqish. Har qanday ixtiyoriy egri chiziqlar bo'limlarga bo'linishi va aylana yoylari bilan almashtirilishi mumkin.

Qolgan sakkizta raqam eng keng tarqalgan, shuning uchun ular ushbu noyob kutubxonaga kiritilgan. Bizning tasnifimizda bu elementlar asosiy emas. Ikkita uchburchakdan to'rtburchak, parallelogramm va trapezoid hosil qilish mumkin. Olti burchak to'rtta uchburchakning yig'indisidir. Doira segmenti aylananing sektori va uchburchak o'rtasidagi farqdir. Doiraning halqali sektori ikki sektor orasidagi farqdir. Doira - burchak a=2*p=360˚ bo'lgan doira sektori. Yarim doira, shunga ko'ra, burchak a=p=180˚ bo'lgan aylananing sektoridir.

Excelda kompozit figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblash.

Sof nazariy hisob-kitoblar yordamida masalani o'rganishdan ko'ra, misolni ko'rib chiqish orqali ma'lumotni etkazish va idrok etish har doim osonroqdir. Keling, "Og'irlik markazini qanday topish mumkin?" Degan muammoning echimini ko'rib chiqaylik. ushbu matn ostidagi rasmda ko'rsatilgan kompozitsion figuraning misolidan foydalanib.

Kompozit qism to'rtburchaklardir (o'lchamlari bilan a1 =80 mm, b1 =40 mm), uning yuqori chap tomoniga teng yonli uchburchak qo'shilgan (tayanch o'lchami bilan) a2 =24 mm va balandligi h2 =42 mm) va undan yuqori o'ng tomondan yarim doira (markazi koordinatali nuqtada) kesilgan. x03 =50 mm va y03 =40 mm, radius r3 =26 mm).

Hisob-kitoblarni amalga oshirishda sizga yordam beradigan dasturdan foydalanamiz MS Excel yoki dastur OOo Calc . Ulardan har biri bizning vazifamizni osongina engishadi!

bilan hujayralarda sariq to'ldiramiz yordamchi dastlabki hisob-kitoblar .

Natijalarni och sariq rangli to'lg'azish bilan hujayralardagi hisoblaymiz.

Moviy shrift dastlabki ma'lumotlar .

Qora shrift oraliq hisoblash natijalari .

Qizil shrift final hisoblash natijalari .

Biz muammoni hal qilishni boshlaymiz - biz bo'limning og'irlik markazining koordinatalarini qidirishni boshlaymiz.

Dastlabki ma'lumotlar:

1. Kompozit qismni tashkil etuvchi elementar figuralarning nomlarini mos ravishda yozamiz

D3 katagiga: To'rtburchak

E3 katakchaga: Uchburchak

F3 katakchaga: Yarim doira

2. Ushbu maqolada keltirilgan "Elementar raqamlar kutubxonasi" dan foydalanib, biz kompozit qismning elementlarining og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlaymiz. xci Va yci o'zboshimchalik bilan tanlangan o'qlarga nisbatan mm da 0x va 0y va yozing

D4 katakchaga: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

D5 katakchaga: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

E4 katakchaga: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

E5 katakchaga: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

F4 katakchaga: =50 =50,000

xc 3 = x03

F5 katagiga: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Keling, elementlarning maydonlarini hisoblaylik F 1 , F 2 , F3 mm2 da, yana "Elementar raqamlar kutubxonasi" bo'limidagi formulalar yordamida

D6 katakda: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

E6 katakchasida: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

F6 katakchasida: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-p/2*r3 ^2

Uchinchi elementning maydoni - yarim doira - manfiy, chunki u kesma - bo'sh joy!

Og'irlik markazi koordinatalarini hisoblash:

4. Yakuniy raqamning umumiy maydonini aniqlaymiz F0 mm2 da

birlashtirilgan D8E8F8 katakchasida: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Keling, kompozit figuraning statik momentlarini hisoblaymiz Sx Va Sy tanlangan 0x va 0y o'qlariga nisbatan mm3 da

birlashtirilgan D9E9F9 katakchasida: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

birlashtirilgan D10E10F10 katakchasida: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Va nihoyat, kompozit qismning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblaylik Xc Va Yc tanlangan koordinatalar tizimida mm da 0x - 0y

birlashtirilgan D11E11F11 katakchasida: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

birlashtirilgan D12E12F12 katakchasida: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Muammo hal qilindi, Excelda hisoblash tugallandi - uchta oddiy element yordamida tuzilgan bo'limning og'irlik markazining koordinatalari topildi!

Xulosa.

Murakkab qismning og'irlik markazini hisoblash metodologiyasini tushunishni osonlashtirish uchun maqoladagi misol juda oddiy qilib tanlangan. Usul shundan iboratki, har qanday murakkab raqam og'irlik markazlarining ma'lum joylari bilan oddiy elementlarga bo'linishi va butun qism uchun yakuniy hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak.

Agar bo'lim o'ralgan profillardan - burchaklar va kanallardan iborat bo'lsa, ularni dumaloq "p/2" sektorlari bilan to'rtburchaklar va kvadratlarga bo'lishning hojati yo'q. Ushbu profillarning og'irlik markazlarining koordinatalari GOST jadvallarida keltirilgan, ya'ni burchak va kanal ham kompozit qismlarni hisoblashda asosiy elementar elementlar bo'ladi (I-nurlari haqida gapirishning ma'nosi yo'q, quvurlar, novdalar va olti burchaklar - bu markaziy nosimmetrik qismlar).

Koordinata o'qlarining joylashishi, albatta, figuraning og'irlik markazining holatiga ta'sir qilmaydi! Shuning uchun, hisob-kitoblaringizni soddalashtiradigan koordinata tizimini tanlang. Agar, masalan, men koordinatalar tizimini bizning misolimizda soat yo'nalishi bo'yicha 45˚ aylantirgan bo'lsam, unda to'rtburchaklar, uchburchaklar va yarim doira og'irlik markazlarining koordinatalarini hisoblash amalga oshirib bo'lmaydigan hisob-kitoblarning boshqa alohida va noqulay bosqichiga aylanadi. boshida".

Quyida keltirilgan Excel hisoblash fayli bu holda dastur emas. To'g'rirog'i, bu kalkulyatorning eskizi, algoritm, shablon, har bir alohida holatda amal qiladi. yorqin sariq plomba bilan hujayralar uchun formulalar o'z ketma-ketligini yaratish.

Shunday qilib, endi siz har qanday bo'limning og'irlik markazini qanday topishni bilasiz! O'zboshimchalik bilan murakkab kompozitsion bo'limlarning barcha geometrik xususiyatlarini to'liq hisoblash "" bo'limidagi kelgusi maqolalardan birida ko'rib chiqiladi. Blogdagi yangiliklarni kuzatib boring.

Uchun qabul qilish yangi maqolalarning chiqarilishi haqida ma'lumot va uchun ishlaydigan dastur fayllarini yuklab olish Maqolaning oxirida joylashgan oynada yoki sahifaning yuqori qismidagi oynada e'lonlarga obuna bo'lishingizni so'rayman.

Elektron pochta manzilingizni kiritib, "Maqola e'lonlarini qabul qilish" tugmasini bosganingizdan so'ng ESDAN CHIQARMA OBUNANI TASHLAB QILING havolani bosish orqali ko'rsatilgan pochta orqali darhol sizga keladigan xatda (ba'zan papkada « Spam » )!

Maqolaning boshida "tasvir belgisi" da tasvirlangan stakan, tanga va ikkita vilkalar haqida bir necha so'z. Ko'pchiligingiz bolalar va noaniq kattalarning hayratlanarli nigohlarini uyg'otadigan ushbu "hiyla" bilan tanishsiz. Ushbu maqolaning mavzusi - tortishish markazi. Aynan u va tayanch nuqtasi bizning ongimiz va tajribamiz bilan o'ynab, ongimizni aldaydi!

"Vilka + tanga" tizimining og'irlik markazi har doim joylashgan belgilangan masofa vertikal pastga tanganing chetidan, bu esa o'z navbatida tayanch nuqtasidir. Bu barqaror muvozanat pozitsiyasi! Agar siz vilkalarni silkitsangiz, tizim avvalgi barqaror pozitsiyani egallashga intilayotgani darhol ayon bo'ladi! Mayatnikni tasavvur qiling - mahkamlash nuqtasi (= stakan chetidagi tanganing tayanch nuqtasi), mayatnikning novda o'qi (= bizning holatlarimizda, o'q virtualdir, chunki ikkita vilkaning massasi kosmosning turli yo'nalishlarida tarqalgan) va o'qning pastki qismidagi yuk (= butun "vilkalar" tizimining og'irlik markazi + tanga"). Agar siz mayatnikni vertikaldan istalgan yo'nalishda (oldinga, orqaga, chapga, o'ngga) burishni boshlasangiz, u tortishish kuchi ta'sirida muqarrar ravishda asl holatiga qaytadi. barqaror muvozanat holati(Bizning vilkalar va tangalar bilan ham xuddi shunday bo'ladi)!

Agar tushunmasangiz, lekin tushunmoqchi bo'lsangiz, buni o'zingiz aniqlang. O'zingizga "u erga borish" juda qiziq! Shuni qo'shimcha qilamanki, barqaror muvozanatdan foydalanishning xuddi shunday printsipi o'yinchoq Vanka-stend-da ham amalga oshiriladi. Ushbu o'yinchoqning faqat og'irlik markazi tayanch nuqtasi ustida joylashgan, ammo qo'llab-quvvatlovchi yuzaning yarim sharining markazidan pastda.

Fikrlaringizni ko'rib doim xursand bo'laman, aziz o'quvchilar!!!

so'rang, HURMAT muallifning ishi, faylni yuklab olish OBUNA BO'LGAN KEYIN maqola e'lonlari uchun.

Muallif: Keling, ixtiyoriy shakldagi jismni olaylik. Uni ipga osib qo'yish mumkinmi, shunda u osilgandan keyin o'z holatini saqlab qoladi (ya'ni aylana boshlamaydi). har qanday boshlang'ich orientatsiya (27.1-rasm)?

Boshqacha qilib aytganda, tananing turli qismlariga ta'sir qiluvchi tortishish momentlarining yig'indisi nolga teng bo'ladigan nuqta bormi? har qanday tananing kosmosdagi yo'nalishi?

O'quvchi: Ha, shunday deb o'ylayman. Bu nuqta deyiladi tananing og'irlik markazi.

Isbot. Oddiylik uchun kosmosda o'zboshimchalik bilan yo'naltirilgan ixtiyoriy shakldagi tekis plastinka ko'rinishidagi tanani ko'rib chiqaylik (27.2-rasm). Keling, koordinatalar tizimini olaylik X 0da boshi massa markazida - nuqtada BILAN, Keyin x C = 0, C da = 0.

Keling, bu tanani to'plam sifatida tasavvur qilaylik katta raqam nuqta massalari m i, ularning har birining pozitsiyasi radius vektori bilan belgilanadi.

Ta'rifga ko'ra, massa markazi , va koordinatasi x C = .

Koordinata tizimida biz qabul qilganimizdan beri x C= 0, keyin . Keling, bu tenglikni ga ko'paytiramiz g va biz olamiz

Shakldan ko'rinib turibdiki. 27.2, | x i| - bu kuchning yelkasi. Va agar x i> 0, keyin kuch momenti M i> 0 va agar x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i kuch momenti teng bo'ladi M i = m i gx i. Keyin tenglik (1) tenglikka teng bo'ladi , bu erda M i- tortishish momenti. Bu shuni anglatadiki, tananing o'zboshimchalik bilan yo'nalishi bilan tanaga ta'sir qiluvchi tortishish momentlarining yig'indisi uning massa markaziga nisbatan nolga teng bo'ladi.

Biz ko'rib chiqayotgan tanamiz muvozanatda bo'lishi uchun unga nuqtada murojaat qilish kerak. BILAN kuch T = mg, vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Bu kuchning nuqtaga nisbatan momenti BILAN nolga teng.

Bizning fikrimiz hech qanday tarzda tananing kosmosda qanday yo'naltirilganligiga bog'liq emasligi sababli, biz tortishish markazi massa markaziga to'g'ri kelishini isbotladik, buni isbotlashimiz kerak edi.

Muammo 27.1. Uzunlikdagi vaznsiz tayoqning og'irlik markazini toping l, uning uchlarida ikkita nuqta massasi o'rnatiladi T 1 va T 2 .

T 1 T 2 l	Yechim. Biz tortishish markazini emas, balki massa markazini qidiramiz (chunki bular bir xil). Keling, eksa bilan tanishtiramiz X(27.3-rasm). Guruch. 27.3
x C =?

Javob: massadan uzoqda T 1 .

STOP! O'zingiz qaror qiling: B1-B3.

Bayonot 1 . Agar bir hil tekis jism simmetriya o'qiga ega bo'lsa, tortishish markazi shu o'qda joylashgan.

Darhaqiqat, har qanday nuqta massasi uchun m i, simmetriya o'qining o'ng tomonida joylashgan, birinchisiga nisbatan nosimmetrik tarzda joylashgan bir xil nuqta massasi mavjud (27.4-rasm). Bunday holda, kuchlar momentlarining yig'indisi .

Butun tanani o'xshash juft nuqtalarga bo'lingan holda tasvirlash mumkin bo'lganligi sababli, simmetriya o'qida yotgan har qanday nuqtaga nisbatan umumiy tortishish momenti nolga teng, ya'ni tananing og'irlik markazi ushbu o'qda joylashgan. . Bu muhim xulosaga olib keladi: Agar tananing bir nechta simmetriya o'qlari bo'lsa, u holda og'irlik markazi ushbu o'qlarning kesishmasida joylashgan.(27.5-rasm).

Guruch. 27.5

Bayonot 2. Agar ikkita jismning massasi bo'lsa T 1 va T 2 ta biriga ulangan bo'lsa, unda bunday jismning og'irlik markazi birinchi va ikkinchi jismlarning og'irlik markazlarini bog'laydigan to'g'ri chiziq segmentida yotadi (27.6-rasm).

Guruch. 27.6 Guruch. 27.7

Isbot. Keling, kompozit tanani jismlarning og'irlik markazlarini bog'laydigan segment vertikal bo'lishi uchun joylashtiramiz. Keyin birinchi jismning nuqtaga nisbatan tortishish momentlari yig'indisi BILAN 1 nolga teng va ikkinchi jismning nuqtaga nisbatan tortishish momentlari yig'indisi BILAN 2 nolga teng (27.7-rasm).

e'tibor bering, bu elka har qanday nuqta massasining tortishish kuchi t i segmentda yotgan har qanday nuqtaga nisbatan bir xil BILAN 1 BILAN 2, va shuning uchun segmentda yotgan har qanday nuqtaga nisbatan tortishish momenti BILAN 1 BILAN 2, xuddi shunday. Binobarin, butun jismning tortishish kuchi segmentdagi istalgan nuqtaga nisbatan nolga teng BILAN 1 BILAN 2. Shunday qilib, kompozit tananing og'irlik markazi segmentda yotadi BILAN 1 BILAN 2 .

Ko'rsatmalar shaklida aniq ifodalangan 2-bayonotdan muhim amaliy xulosa kelib chiqadi.

Ko'rsatmalar,

og'irlik markazini qanday topish mumkin qattiq agar uni buzish mumkin bo'lsa

qismlarga bo'lib, har birining og'irlik markazlarining joylashuvi ma'lum

1. Har bir qismni ushbu qismning og'irlik markazida joylashgan massa bilan almashtirish kerak.

2. Toping massa markazi(va bu og'irlik markazi bilan bir xil) nuqta massalarining hosil bo'lgan tizimini, qulay koordinatalar tizimini tanlash X 0da, formulalar bo'yicha:

Haqiqatan ham, kompozit tanani segment bo'lishi uchun tartibga keltiraylik BILAN 1 BILAN 2 gorizontal edi va uni nuqtalarda iplarga osib qo'ying BILAN 1 va BILAN 2 (27.8-rasm, A). Tananing muvozanatda bo'lishi aniq. Va har bir jismni nuqta massalari bilan almashtirsak, bu muvozanat buzilmaydi T 1 va T 2 (27.8-rasm, b).

Guruch. 27.8

STOP! O'zingiz uchun qaror qiling: C3.

Muammo 27.2. Massa to'plari teng qirrali uchburchakning ikkita cho'qqisiga joylashtirilgan T har. Uchinchi tepaga massasi 2 bo'lgan shar qo'yilgan T(27.9-rasm, A). Uchburchak tomoni A. Ushbu tizimning og'irlik markazini aniqlang.