4-MA'RUZA

KINETIKA VA DİNAMIKANING ASOSIY QONUNLARI

AYLANMA HARAKAT. MEXANIK

BIOTISKLARNING XUSUSIYATLARI. BIOMEXANIK

TAYYON TIZIMDAGI JARAYONLAR

ODAM.

1. Aylanma harakat kinematikasining asosiy qonunlari.

Tananing qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati eng oddiy harakat turidir. Bu tananing har qanday nuqtalari markazlari bir to'g'ri chiziqda joylashgan aylanalarni tasvirlashi bilan tavsiflanadi 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , bu aylanish o'qi deb ataladi (1-rasm).

Bunda tananing har qanday vaqt momentidagi holati har qanday A nuqtaning R radius vektorining dastlabki holatiga nisbatan ph burilish burchagi bilan aniqlanadi. Uning vaqtga bog'liqligi:

(1)

aylanish harakati tenglamasidir. Tananing aylanish tezligi burchak tezligi ō bilan tavsiflanadi. Aylanuvchi jismning barcha nuqtalarining burchak tezligi bir xil. Bu vektor miqdori. Ushbu vektor aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va o'ng vint qoidasi bilan aylanish yo'nalishi bilan bog'liq:

. (2)

Nuqtaning aylana bo'ylab bir tekis harakati bilan

, (3)

Bu yerda Dph=2p - tananing bir marta to'liq aylanishiga mos keladigan burchak, Dt=T - bitta to'liq aylanish vaqti yoki aylanish davri. Burchak tezligining o'lchov birligi [ō]=c -1.

Bir tekis harakatda tananing tezlashishi burchak tezlanishi e bilan tavsiflanadi (uning vektori burchak tezligi vektoriga o'xshash joylashgan va unga ko'ra tezlashtirilgan va teskari yo'nalishda - sekin harakatda yo'naltiriladi):

. (4)

Burchak tezlanishining birligi [e]=c -2 .

Aylanma harakatni uning alohida nuqtalarining chiziqli tezligi va tezlashishi bilan ham tavsiflash mumkin. dph burchak orqali aylantirilganda istalgan A nuqta (1-rasm) bilan tasvirlangan dS yoyining uzunligi quyidagi formula bilan aniqlanadi: dS=Rdph. (5)

Keyin nuqtaning chiziqli tezligi :

. (6)

Chiziqli tezlanish a:

. (7)

2. Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonunlari.

Jismning o'q atrofida aylanishi, tananing istalgan nuqtasiga qo'llaniladigan, aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikda harakat qiladigan va radius vektoriga perpendikulyar yo'naltirilgan (yoki bu yo'nalishda tarkibiy qismga ega bo'lgan) F kuchidan kelib chiqadi. qo'llash nuqtasi (1-rasm).

Kuch momenti aylanish markaziga nisbatan son jihatdan kuch mahsulotiga teng vektor kattalik deyiladi perpendikulyar d uzunligi bo'yicha, aylanish markazidan kuch yo'nalishiga tushirilgan, kuchning qo'li deb ataladi. 1-rasmda d=R, shuning uchun

. (8)

Lahza aylanish kuchi vektor kattalikdir. Vektor aylana O markaziga biriktirilgan va aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan. vektor yo'nalishi o'ng vintning qoidasiga ko'ra kuchning yo'nalishiga mos keladi. Elementar ish dA i , dph kichik burchakdan burilganda, jism kichik dS yo'lidan o'tganda, quyidagilarga teng:

Translatsiya harakatida jism inertsiyasining o'lchovi massa hisoblanadi. Jism aylanganda uning inertsiya o'lchovi tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti bilan tavsiflanadi.

Moddiy nuqtaning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti I i nuqta massasi va uning o'qdan masofa kvadrati ko'paytmasiga teng qiymatdir (2-rasm):

. (10)

Jismning o'qqa nisbatan inersiya momenti jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalarning inersiya momentlarining yig'indisidir:

. (11)

Yoki chegarada (n→∞):
, (12)

G deintegratsiya butun V hajmda amalga oshiriladi. Xuddi shunday, muntazam geometrik shakldagi bir jinsli jismlarning inersiya momentlari hisoblanadi. Inersiya momenti kg m 2 da ifodalanadi.

Odamning massa markazidan o'tadigan vertikal aylanish o'qiga nisbatan inertsiya momenti (odamning massa markazi sagittal tekislikda ikkinchi ko'ndalang vertebradan bir oz oldinda joylashgan), odamning holatiga qarab, quyidagi qiymatlarga ega: 1,2 kg m 2 diqqatga sazovor; 17 kg m 2 - gorizontal holatda.

Jism aylanganda uning kinetik energiyasi tananing alohida nuqtalarining kinetik energiyalarining yig'indisiga teng:

Farqlash (14), biz kinetik energiyaning elementar o'zgarishini olamiz:

. (15)

Tashqi kuchlarning elementar ishini (9-formula) kinetik energiyaning elementar o'zgarishiga (15-formula) tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
, bu erda:
yoki buni hisobga olgan holda
olamiz:
. (16)

Bu tenglama aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasi deb ataladi. Bu qaramlik Nyutonning tarjima harakati uchun II qonuniga o'xshaydi.

Moddiy nuqtaning o‘qga nisbatan burchak momenti L i nuqta impulsi va uning aylanish o‘qiga bo‘lgan masofasi ko‘paytmasiga teng qiymatdir:

. (17)

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jismning burchak momenti L:

Burchak momenti - burchak tezligi vektorining yo'nalishi bo'ylab yo'naltirilgan vektor miqdori.

Endi asosiy tenglamaga qaytaylik (16):

,
.

I doimiy qiymatini differentsial belgisi ostiga keltiramiz va quyidagilarni olamiz:
, (19)

bu yerda Mdt kuch momentining impulsi deyiladi. Agar jismga tashqi kuchlar taʼsir qilmasa (M=0), u holda burchak impulsining oʻzgarishi (dL=0) ham nolga teng boʻladi. Bu shuni anglatadiki, burchak momentum doimiy bo'lib qoladi:
. (20)

Bu xulosa aylanish o'qiga nisbatan burchak momentumining saqlanish qonuni deb ataladi. U, masalan, akrobatika kabi sport turlarida erkin o'q atrofida aylanish harakatlari uchun ishlatiladi. Shunday qilib, muz ustida figurali uchuvchi, aylanish jarayonida tananing holatini va shunga mos ravishda aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentini o'zgartirib, uning aylanish tezligini tartibga solishi mumkin.

Massa markazidan o'tuvchi ba'zi o'qlar atrofida aylanadigan qattiq jism, agar u tashqi ta'sirlardan ozod bo'lsa, aylanishni cheksiz saqlaydi.. (Bu xulosa Nyutonning tarjima harakati uchun birinchi qonuniga o'xshaydi).

Qattiq jismning aylanishining paydo bo'lishi har doim tananing alohida nuqtalariga qo'llaniladigan tashqi kuchlarning ta'siridan kelib chiqadi. Bunday holda, deformatsiyalarning paydo bo'lishi va ichki kuchlarning paydo bo'lishi muqarrar bo'lib, bu qattiq jismda uning shaklini amaliy saqlanishini ta'minlaydi. Tashqi kuchlarning ta'siri to'xtaganda, aylanish saqlanib qoladi: ichki kuchlar qattiq jismning aylanishiga sabab bo'lishi yoki yo'q qilishi mumkin emas.

Ruxsat etilgan aylanish o'qi bo'lgan jismga tashqi kuchning ta'siri natijasi tananing tezlashtirilgan aylanish harakatidir.. (Ushbu xulosa Nyutonning tarjima harakati uchun ikkinchi qonuniga o'xshaydi).

Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni: inertial sanoq sistemasida qo'zg'almas o'q atrofida aylanayotgan jism tomonidan olingan burchak tezlanishi jismga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning umumiy momentiga proportsional va tananing berilgan o'qga nisbatan inersiya momentiga teskari proportsionaldir. :

Oddiyroq formulani berish mumkin aylanish harakati dinamikasining asosiy qonuni(shuningdek deyiladi Aylanish harakati uchun Nyutonning ikkinchi qonuni): moment inersiya momenti va burchak tezlanishining mahsulotiga teng:

burchak momentum(burchak momentum, burchak momentum) jismning inersiya momentini burchak tezligiga ko‘paytmasi deyiladi:

Burchak momenti vektor kattalikdir. Uning yo'nalishi burchak tezligi vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi.

Burchak momentining o'zgarishi quyidagicha aniqlanadi:

. (I.112)

Burchak momentining o'zgarishi (tananing doimiy inersiya momenti bilan) faqat burchak tezligining o'zgarishi natijasida yuzaga kelishi mumkin va har doim kuch momentining ta'siridan kelib chiqadi.

Formulaga, shuningdek (I.110) va (I.112) formulalarga ko'ra, burchak momentining o'zgarishi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

. (I.113)

(I.113) formuladagi mahsulot deyiladi kuchning impuls momenti yoki haydash momenti. Bu burchak momentumining o'zgarishiga teng.

Formula (I.113) kuch momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmasa, amal qiladi. Agar kuch momenti vaqtga bog'liq bo'lsa, ya'ni. , keyin

. (I.114)

Formula (I.114) shuni ko'rsatadi: burchak momentining o'zgarishi kuch momentining vaqt integraliga teng. Bundan tashqari, agar ushbu formula quyidagi shaklda taqdim etilgan bo'lsa, unda ta'rif undan kelib chiqadi kuch momenti: kuchning oniy momenti moment momentining vaqtga nisbatan birinchi hosilasidir,

Laboratoriya ishi №107

Dinamikaning asosiy tenglamasini tekshirish

aylanish harakati

Ishning maqsadi:Oberbek mayatnik yordamida aylanma harakat dinamikasining asosiy qonunini eksperimental tekshirish.

Asboblar va aksessuarlar: Millisekundli FRM bilan Oberbek mayatnik - 15, nousli kaliper.

Nazariy kirish

Qattiq jismning aylanishini dinamik nuqtai nazardan ko'rib chiqishda kuchlar tushunchasi bilan bir qatorda kuchlar momentlari tushunchasi, massa tushunchasi bilan birga inersiya momenti tushunchasi kiritiladi.

Massasi bo'lgan moddiy nuqta bo'lsin t tashqi kuch taʼsirida qoʻzgʻalmas O nuqtaga nisbatan egri chiziqli harakat qiladi. Moddiy nuqtaga kuch momenti taʼsir qiladi va nuqta impuls momentiga ega. Harakatlanuvchi moddiy nuqtaning holati O nuqtadan unga chizilgan radius vektori bilan aniqlanadi (1-rasm). Ruxsat etilgan O nuqtaga nisbatan kuch momenti radius vektorining vektor ko'paytmasiga teng vektor kattalik, kuch vektori deyiladi.

Vektor vektorlar tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan va uning yo'nalishi o'ng vint qoidasiga mos keladi. Kuchlar momentining moduli ga teng

qayerda a - vektorlar orasidagi burchak va, h=rsin a - kuchning yelkasi, O nuqtadan kuchning ta'sir chizig'igacha (kuch ta'sir qiladigan) eng qisqa masofaga teng.

O nuqtaga nisbatan burchak impuls momenti vektor radiusining vektor ko'paytmasiga impuls vektoriga teng vektor kattalik deyiladi, ya'ni.

Vektor vektorlar tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan va (2-rasm). Burchak momentining moduli ga teng

qayerda b - vektorlar yo'nalishi orasidagi burchak va.

Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni

dan tashkil topgan mexanik tizim bo'lsin N tashqi kuchlar ta'siri ostidagi moddiy nuqtalar, natijada qo'zg'almas O nuqtaga nisbatan egri chiziqli harakat qiladi, ya'ni

O nuqtadan radius vektori qayerga chizilgan i th moddiy nuqta, ta'sir qiluvchi kuch vektoridir i- moddiy nuqta.

Tizimning burchak momentumini ham topishingiz mumkin

burchak momentumi qayerda i- moddiy nuqta.

Burchak momenti vaqtga bog'liq t chunki tezlik vaqtning funktsiyasidir. Tizim impulsining vaqtga nisbatan hosilasini olish t, olamiz

Formula (7) - tizimning aylanish harakati dinamikasining asosiy qonunining matematik ifodasi bo'lib, unga ko'ra tizimning burchak momentumining vaqt bo'yicha o'zgarish tezligi unga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning hosil bo'lgan momentiga tengdir. tizim.

Qonun (7) qattiq jism uchun ham amal qiladi, chunki qattiq jismni moddiy nuqtalar yig'indisi deb hisoblash mumkin.

Muayyan holatda qattiq jism tashqi kuch ta'sirida massa markazidan o'tuvchi qo'zg'almas o'q atrofida aylansin. Qattiq jism moddiy nuqtalarga bo'linadi. Massaga ega bo'lgan moddiy nuqta uchun m i harakat tenglamasi yoziladi

Uchun burchak momenti i- th moddiy nuqta teng

Aylanish paytidan berib = 90 0, u holda chiziqli tezlik burchak tezligi bilan formula bo'yicha bog'liq bo'ladi Keyin (9) quyidagicha yozilishi mumkin.

Qiymat moddiy nuqtaning Z o'qiga nisbatan inersiya momentidir.So'ngra (10) ko'rinishni oladi

(11) ni hisobga olib, qattiq jismning qo'zg'almas o'qqa nisbatan aylanish harakati dinamikasining asosiy qonuni yoziladi.

qattiq jismning Z o'qiga nisbatan inersiya momenti qayerda.

Da

burchak tezlanishi qayerda. Asosiy tenglamaga ko'ra aylanish harakati dinamikasi (12) jismga ta'sir etuvchi tashqi kuchning hosil bo'lgan momenti jismning J inersiya momenti va uning burchak tezlanishi ko'paytmasiga teng.

(12) tenglamadan kelib chiqadiki, at j = const tananing burchak tezlashishi

aylanish o'qiga nisbatan tashqi kuchlar momentiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional, ya'ni.

Da M = konst burchak tezlashuvi tananing inertsiya momentiga teskari proportsionaldir, ya'ni.

Ushbu ishning maqsadi (13) va (14) munosabatlarini va shuning uchun aylanish harakati dinamikasining asosiy tenglamasini (12), ularning oqibatlarini tekshirishdir.

Operatsion sozlash va o'lchash usuli tavsifi

(13) va (14) munosabatlarni tekshirish uchun Oberbek mayatnikidan foydalaniladi, u xoch shaklidagi inertial g'ildirakdir. To'rtta o'zaro perpendikulyar novda 1da to'rtta bir xil silindrsimon yuk 2 mavjud bo'lib, ular novdalar bo'ylab harakatlanishi va o'qdan ma'lum masofada o'rnatilishi mumkin. Yuklar nosimmetrik tarzda o'rnatiladi, ya'ni. shuning uchun ularning massa markazi aylanish o'qiga to'g'ri keladi. Xochning gorizontal o'qida ikki bosqichli disk 3 mavjud bo'lib, uning ustiga ip o'raladi. Ipning bir uchi diskka biriktirilgan va ipning ikkinchi uchiga yuk 4 osilgan bo'lib, uning ta'siri ostida qurilma aylanish holatiga keltiriladi. Oberbek FRM-06 mayatnikining umumiy ko'rinishi 3-rasmda ko'rsatilgan. Tormoz elektromagniti shpal tizimini tinch holatda og'irliklar bilan birga ushlab turish uchun ishlatiladi. Tovarlarning tushish balandligini o'qish uchun ustunga millimetr shkalasi 5 qo'llaniladi.Yukning tushish vaqti 4 FRM-15 millisekundli soat bilan o'lchanadi, unga 1-sonli fotoelektrik datchiklar (6) ) va No 2 (7) ulanadi. Fotoelektrik sensor No 2 (7) vaqt o'lchovlarining oxiri elektr impulsini hosil qiladi va tormoz elektromagnitini yoqadi.

Agar siz yuk 4 harakatlanishiga ruxsat bersangiz, u holda bu harakat tezlashuv bilan sodir bo'ladi a.

qayerda t- yukning balandlikdan harakatlanish vaqti h. Bunday holda, novdalar va ular ustida joylashgan yuklar bilan kasnak burchak tezlashuvi bilan aylanadi.e .

qayerda r- kasnak radiusi.

Xochga qo'llaniladigan va qurilmaning aylanadigan qismining burchak tezlashishini bildiruvchi kuchning momentini formula bo'yicha topamiz.

qayerda T- shnurning kuchlanish kuchi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra yuk 4 uchun biz bor

qayerda

qayerda g- tortishishning tezlashishi.

Formulalardan (12), (15), (16), (17) va (19) bizda mavjud

Ishlarni bajarish va o'lchov natijalarini qayta ishlash tartibi

1. Katta va kichik kasnaklarning radiusini kaliper bilan o'lchang r 1 va r 2 .

2. Texnik tarozida aniqlik bilan tortish orqali yuk 4 massasini aniqlang± 0,1 g

3. Aloqani tekshiring (13). Buning uchun:

- silindrsimon harakatlanuvchi og'irliklarni aylanish o'qidan eng yaqin masofada novdalarga mahkamlang, shunda ko'ndalang bo'lak befarq muvozanat holatida bo'ladi;

- ipni katta radiusli kasnaq atrofida aylantiring r1 va yukning harakatlanish vaqtini o'lchash t balanddan h millisekundlik soat, nima uchun

- hisoblagichning quvvat simini quvvat manbaiga ulang;

- "TARMOQ" tugmasini bosing va hisoblagichning barcha ko'rsatkichlari nolga teng ekanligini va ikkala fotoelektr sensorning barcha ko'rsatkichlari yoqilganligini tekshiring;

- og'irlikni yuqori holatga o'tkazing va kontaktlarning zanglashiga olib kelishini tekshiring;

- "START" tugmasini bosing va yukning harakatlanish vaqtini millisekundli soat bilan o'lchang;

- "RESET" tugmasini bosing va hisoblagich ko'rsatkichlari nolga qaytarilganligini va elektromagnit tomonidan qulf bo'shatilganligini tekshiring;

- yukni yuqori holatga o'tkazing, "START" tugmasini bosing va kontaktlarning zanglashiga olib qayta bloklanganligini tekshiring;

- tajribani 5 marta takrorlang. Balandligi h butun operatsiya davomida o'zgartirish tavsiya etilmaydi;

- (15), (16), (20) formulalar yordamida qiymatlarni hisoblang a 1 , e 1 , M 1 ;

- Harakatlanuvchi yuklarning joylashishini o'zgartirmasdan va shu bilan tizimning inertsiya momentini o'zgarmagan holda, ipni radiusli kichik kasnakga yuk bilan o'rash orqali tajribani takrorlang. r2;

- (15), (16), (20) formulalar yordamida qiymatlarni hisoblang a 2 , e 2 , M 2 ;

- aylanish harakati dinamikasining asosiy qonuni natijasining haqiqiyligini tekshiring:

, da

- 1 va 2-jadvallarga o'lchovlar va hisob-kitoblar natijalari ma'lumotlarini kiriting.

4. Tekshirish nisbati (1 to'rtta). Buning uchun:

- harakatlanuvchi og'irliklarni novdalarning uchlarida to'xtash joyiga surib qo'ying, lekin shpal yana befarq muvozanat holatida bo'lishi uchun;

- kichik kasnak uchun r2 yukning harakatlanish vaqtini aniqlash t/ 5 ta tajriba bo'yicha;

- (15), (20), (21) formulalar yordamida qiymatlarni aniqlang a / , e / , J1;

- nisbatni tekshirishda va sozlash orqali oldingi tajriba qiymatlaridan foydalanishingiz mumkin bo'lganda;

- (21) formuladan foydalanib qiymatni aniqlang J 2 ;

- va qiymatlarini hisoblang.

- O'lchov va hisob-kitoblarning natijalarini 3-jadvalga yozing.

1-jadval

r1	m	h	t 1	< t 1 >	a 1	e 1	M 1
	kg				m/s 2	-2 dan	H × m

jadval 2

r2	t 2	< t 2 >	a 2	e 2	M 2	M 1 /M 2	e 1 / e 2
			m/s 2	-2 dan	H × m

3-jadval

r 2	t /	< t / >	a /	e /	J 1	a //	J 2	e //	e / / e //	J 2 / J 1
			m/s 2	-2 dan	kg × m 2	m/s 2	kg × m 2	-2 dan

Ishga kirish uchun savollar

1. Ishning maqsadi nima?

2. Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonunini tuzing. Ushbu qonunga kiritilgan miqdorlarning fizik ma'nosini tushuntiring, ularning o'lchov birliklarini "SI" da ko'rsating.

3. Ishlaydigan o'rnatish qurilmasini tavsiflang.

Ishni himoya qilish uchun savollar

1. Kuchlar momentining ta'riflarini, qo'zg'almas O nuqtaga nisbatan moddiy nuqtaning impuls momentini keltiring.

2. Qattiq jismning qo'zg'almas nuqtaga va Z o'qiga nisbatan aylanish harakati dinamikasining asosiy qonunini tuzing.

3. Moddiy nuqta va qattiq jismning inersiya momentini aniqlang.

4. Ishchi formulalarni chiqaring.

5. Uchun va uchun nisbatini chiqaring

6. Bu ish haqida tanqidlar bormi?

Quvvat momenti

Kuchning aylanish harakati uning impulsi bilan belgilanadi. Bir nuqtaga nisbatan kuch momenti o'zaro ko'paytma hisoblanadi

Kuchni qo'llash nuqtasidan tortib to radius vektori (2.12-rasm). Kuch momentining o'lchov birligi.

2.12-rasm

Kuch momentining kattaligi

yoki yozishingiz mumkin

kuchning yelkasi qayerda (nuqtadan kuchning ta'sir chizig'igacha bo'lgan eng qisqa masofa).

Vektorning yo'nalishi ko'ndalang mahsulot qoidasi yoki "o'ng vint" qoidasi bilan aniqlanadi (biz vektorlarni va parallel tarjimalarni O nuqtasida birlashtiramiz, vektorning yo'nalishi uning oxiridan boshlab vektordan burish soat miliga teskari yo'nalishda ko'rinadi - 2.12-rasmda vektor "bizdan" chizilgan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan (xuddi shunday, gimlet qoidasiga ko'ra - translatsiya harakati vektor yo'nalishiga mos keladi, aylanish - burilishga to'g'ri keladi. ushbudan boshlab: ushbugacha)).

Agar kuchning ta'sir chizig'i shu nuqtadan o'tsa, kuchning nuqtaga nisbatan momenti nolga teng.

Vektorning har qanday o'qdagi proyeksiyasi, masalan, z o'qi, bu o'qga nisbatan kuch momenti deyiladi. O'qqa nisbatan kuch momentini aniqlash uchun avval kuchni o'qga perpendikulyar tekislikka proyeksiyalang (2.13-rasm), so'ngra bu proyeksiyaning o'qning unga perpendikulyar tekislik bilan kesishish nuqtasiga nisbatan momentini toping. . Agar kuchning ta'sir chizig'i o'qga parallel bo'lsa yoki uni kesib o'tsa, bu o'qga nisbatan kuch momenti nolga teng.

2.13-rasm

burchak momentum

Impuls momenti moddiy nuqta har qanday mos yozuvlar nuqtasiga nisbatan tezlikda harakatlanadigan massa vektor mahsuloti deyiladi

Moddiy nuqtaning radius vektori (2.14-rasm) uning impuls momentidir.

2.14-rasm

Moddiy nuqtaning burchak momentum qiymati

vektor chizig'idan nuqtagacha bo'lgan eng qisqa masofa qayerda.

Burchak momentining yo'nalishi kuch momentining yo'nalishiga o'xshash tarzda aniqlanadi.

Agar L 0 ifodasi ko'paytirilsa va l ga bo'linsa, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda - moddiy nuqtaning inersiya momenti - aylanish harakatidagi massa analogi.

Burchak tezligi.

Qattiq jismning inersiya momenti

Ko'rinib turibdiki, olingan formulalar impuls va Nyutonning ikkinchi qonuni ifodalariga juda o'xshash bo'lib, faqat chiziqli tezlik va tezlanish o'rniga burchak tezligi va tezlanish, massa o'rniga esa miqdor ishlatiladi. I=mR 2, chaqirildi moddiy nuqtaning inersiya momenti .

Agar tanani moddiy nuqta deb hisoblash mumkin bo'lmasa, lekin uni mutlaqo qattiq deb hisoblash mumkin bo'lsa, unda uning inersiya momentini cheksiz kichik qismlarining inersiya momentlari yig'indisi deb hisoblash mumkin, chunki bu qismlarning aylanish burchak tezligi bir xil bo'ladi. (2.16-rasm). Cheksiz kichiklar yig'indisi integraldir:

Har qanday jism uchun uning inertsiya markazidan o'tuvchi o'qlar mavjud bo'lib, ular quyidagi xususiyatga ega: tashqi ta'sirlar bo'lmaganda jism bunday o'qlar atrofida aylanganda, aylanish o'qlari o'z holatini o'zgartirmaydi. Bunday o'qlar deyiladi tananing erkin o'qlari . Har qanday shakldagi va har qanday zichlik taqsimotiga ega bo'lgan jism uchun uchta o'zaro perpendikulyar erkin o'q borligini isbotlash mumkin. inertsiyaning asosiy o'qlari tanasi. Jismning bosh o'qlarga nisbatan inersiya momentlari deyiladi inertsiyaning asosiy (ichki) momentlari tanasi.

Ba'zi jismlarning asosiy inersiya momentlari jadvalda keltirilgan:

Gyuygens-Shtayner teoremasi.

Bu ifoda deyiladi Gyuygens-Shtayner teoremalari : tananing ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti summasiga teng jismning berilgan o'qqa parallel bo'lgan va tananing massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti va tana massasining o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga ko'paytmasi.

Aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasi

Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonunini qattiq jismning translatsiya harakati uchun Nyutonning ikkinchi qonunidan olish mumkin.

Qayerda F jismga massa tomonidan qo'llaniladigan kuchdir m; a jismning chiziqli tezlanishidir.

Agar qattiq massa jismiga m nuqtada A (2.15-rasm) kuchni qo'llang F, keyin tananing barcha moddiy nuqtalari orasidagi qattiq bog'lanish natijasida ularning barchasi burchak tezlanishi e va mos keladigan chiziqli tezlanishlarni oladi, go'yo har bir nuqtaga F 1 ...F n kuch ta'sir qiladi. Har bir moddiy nuqta uchun quyidagilarni yozishingiz mumkin:

Shuning uchun qayerda

Qayerda m i- vazn men- th nuqta; e - burchak tezlanishi; r i- uning aylanish o'qiga bo'lgan masofasi.

Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirish r i, olamiz

Qaerda - kuch momenti - uning yelkasidagi kuchning mahsuloti.

Guruch. 2.15. Kuch ta'sirida aylanuvchi qattiq jism F"OO" o'qi haqida

- inersiya momenti i th moddiy nuqta (aylanish harakatida massaga o'xshash).

Ifodani quyidagicha yozish mumkin:

Keling, tananing barcha nuqtalari bo'yicha chap va o'ng qismlarni yig'amiz:

Tenglama qattiq jismning aylanish harakati dinamikasining asosiy qonunidir. Qiymat - kuchlarning barcha momentlarining geometrik yig'indisi, ya'ni kuch momenti F, jismning barcha nuqtalariga tezlanish e beradi. jismning barcha nuqtalari inersiya momentlarining algebraik yig‘indisidir. Qonun quyidagicha ifodalangan: «Aylanuvchi jismga ta`sir etuvchi kuch momenti jismning inersiya momenti bilan burchak tezlanishining ko`paytmasiga teng».

Boshqa tomondan

O'z navbatida - tananing burchak momentumidagi o'zgarish.

Keyin aylanish harakati dinamikasining asosiy qonunini quyidagicha qayta yozish mumkin:

Yoki - aylanayotgan jismga ta'sir etuvchi kuch momentining impulsi uning burchak momentining o'zgarishiga teng.

Burchak momentining saqlanish qonuni

ZSI ga o'xshash.

Aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasiga ko'ra Z o'qiga nisbatan kuch momenti: . Demak, yopiq tizimda va shuning uchun yopiq tizimga kiritilgan barcha jismlarning Z o'qiga nisbatan umumiy burchak momenti doimiy qiymatdir. U ifodalaydi burchak momentumining saqlanish qonuni . Bu qonun faqat inertial sanoq sistemalarida amal qiladi.

Keling, tarjima harakati va aylanish harakatining xususiyatlari o'rtasida o'xshashlik keltiramiz.

Bazalar va poydevorlar 2 chegara holati bo'yicha hisoblanadi

	Yuk ko'tarish qobiliyati bo'yicha:	N- eng noqulay kombinatsiyadagi bazaga belgilangan dizayn yuki; - yukning ma'lum bir yo'nalishi uchun poydevorning ko'tarish qobiliyati (yakuniy yuk). N; - poydevorning ish sharoitlari koeffitsienti (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Cheklangan deformatsiyalar bo'yicha:	- poydevorning hisoblangan mutlaq joylashishi; - poydevor qo'yishlarining hisoblangan nisbiy farqi; , - mos ravishda poydevor qo'yishlarining mutlaq va nisbiy farqining chegara qiymatlari (SNiP 2.02.01-83 *)

Aylanish dinamikasi

Muqaddima

Talabalarning e'tiborini ushbu material maktabda MUTLAK ko'rib chiqilmaganiga qarataman (kuch momenti tushunchasidan tashqari).

1. Aylanma harakat dinamikasi qonuni

a. Aylanma harakat dinamikasi qonuni

b. Quvvat momenti

c. Bir juft kuch momenti

d. Inersiya momenti

2. Ayrim jismlarning inersiya momentlari:

a. Ring (ingichka devorli silindr)

b. Qalin devorli silindr

c. qattiq silindr

e. yupqa tayoq

3. Shtayner teoremasi

4. Tananing burchak momenti. Tananing burchak momentumidagi o'zgarish. impuls impulsi. Burchak momentining saqlanish qonuni

5. Aylanma operatsiya

6. Aylanishning kinetik energiyasi

7. Tarjima va aylanish harakati uchun kattaliklar va qonunlarni solishtirish

1a. Ruxsat etilgan o'q atrofida aylana oladigan qattiq jismni ko'rib chiqaylik OO (3.1-rasm). Keling, bu qattiq jismni alohida elementar massalarga ajratamiz D m men. D ga qo'llaniladigan barcha kuchlarning natijasi m i , bilan belgilanadi. Kuch aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikda bo'lgan holatni ko'rib chiqish kifoya: o'qga parallel bo'lgan kuch komponentlari tananing aylanishiga ta'sir qila olmaydi, chunki o'q o'zgarmasdir. U holda kuch va tezlanishning tangensial komponentlari uchun Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Quvvatning normal komponenti markazlashtirilgan tezlanishni ta'minlaydi va burchak tezlanishiga ta'sir qilmaydi. (1.27) dan: , bu yerda aylanish radiusi i- o'sha nuqta. Keyin

(3.2) ning ikkala tomonini quyidagiga ko'paytiramiz:

e'tibor bering, bu

Bu erda a - kuch vektori va nuqtaning radius vektori orasidagi burchak (3.1-rasm), aylanish markazidan kuchning ta'sir chizig'iga tushirilgan perpendikulyar (kuchning yelkasi). Keling, kuch momenti tushunchasini kiritamiz.

1b. Kuch momenti o'qiga nisbatan aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va gimlet qoidasi bo'yicha kuch yo'nalishi bilan bog'langan vektor deyiladi, moduli kuch va uning qo'lining mahsulotiga teng: . Kuchli elka l aylanish o'qiga nisbatan - kuchning ta'sir chizig'idan aylanish o'qigacha bo'lgan eng qisqa masofa. Kuch momentining o'lchami:

Vektor shaklida nuqtaga nisbatan kuch momenti:

Kuch momentining vektori kuchga ham, uni qo'llash nuqtasining radius vektoriga ham perpendikulyar:

Agar kuch vektori o'qga perpendikulyar bo'lsa, u holda kuch momentining vektori o'ng vint qoidasiga ko'ra o'q bo'ylab yo'naltiriladi va bu o'qga nisbatan kuch momentining kattaligi (o'qga proyeksiya) (3.4) formula bilan aniqlanadi:

Kuch momenti ham kuchning kattaligiga, ham kuchning qo'liga bog'liq. Agar kuch o'qga parallel bo'lsa, u holda.

1c. Quvvat juftligi - bu ikkita teng kattalik va yo'nalish bo'yicha qarama-qarshi kuchlar, ta'sir chiziqlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi (3.2-rasm). Bir juft kuchning qo'li - bu kuchlarning ta'sir chiziqlari orasidagi masofa. O nuqtadan o'tuvchi o'qga proyeksiyada juft kuchlarning umumiy momenti va () topilsin:

Ya'ni, bir juft kuchning momenti kuchning kattaligi va juft plccho ko'paytmasiga teng:

Keling, (3.3) ga qaytaylik. (3.4) va (3.6) ni hisobga olgan holda:

1d. Ta'rif: moddiy nuqta massasi va uning o'qga bo'lgan masofasining kvadratiga teng bo'lgan skalyar qiymat deyiladi. moddiy nuqtaning inersiya momenti OO o'qiga nisbatan:

Inersiya momentining o'lchami

Vektorlar aylanish o'qi bilan yo'nalishda mos keladi, gimlet qoidasiga ko'ra aylanish yo'nalishi bilan bog'liq, shuning uchun tenglikni (3.9) vektor shaklida qayta yozish mumkin:

(3.10) tana bo'lingan barcha elementar massalar bo'yicha yig'indi:

Bu yerda qattiq jismning barcha nuqtalarining burchak tezlanishi bir xil bo'lishi va uni yig'indi belgisidan chiqarish mumkinligi hisobga olinadi. Tenglamaning chap tomonida tananing har bir nuqtasiga qo'llaniladigan barcha kuchlarning (tashqi va ichki) momentlarining yig'indisi joylashgan. Ammo Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, jismning nuqtalari bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiluvchi kuchlar (ichki kuchlar) kattaligi bo'yicha teng va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi bo'lib, bir to'g'ri chiziqda yotadi, shuning uchun ularning momentlari bir-birini bekor qiladi. Shunday qilib, (3.11) ning chap qismida faqat tashqi kuchlarning umumiy momenti qoladi: .

Elementar massalar ko'paytmalari yig'indisi va ularning aylanish o'qiga bo'lgan masofalari kvadrati deyiladi qattiq jismning inersiya momenti bu eksa haqida:

Shunday qilib, ; - bu qattiq jismning aylanish harakati dinamikasining asosiy qonuni (Nyutonning ikkinchi qonuniga o'xshash): jismning burchak tezlanishi tashqi kuchlarning umumiy momentiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional va tananing inersiya momentiga teskari proportsionaldir. :

Inersiya momenti Iqattiq aylanish harakati paytida qattiq jismning inert xossalarining o'lchovi va Nyutonning ikkinchi qonunidagi jismning massasiga o'xshaydi. Bu mohiyatan nafaqat tananing massasiga, balki uning aylanish o'qiga nisbatan taqsimlanishiga ham bog'liq (o'qga perpendikulyar yo'nalishda).

Massaning uzluksiz taqsimlanishida (3.12) yig'indisi tananing butun hajmi bo'yicha integralga kamayadi:

2a. Yupqa halqaning markazidan halqa tekisligiga perpendikulyar o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti.

chunki halqaning har qanday elementi uchun uning o'qqa bo'lgan masofasi bir xil va halqa radiusiga teng: .

2b. Ichki radiusli va tashqi radiusli qalin devorli silindr (disk).

Zichlikdagi bir jinsli diskning inersiya momentini hisoblaylik ρ , balandligi h, ichki radius va tashqi radius (Fig.3.3) disk tekisligiga perpendikulyar massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan. Diskni qalinligi va balandligi bo'yicha ingichka halqalarga ajratamiz, shunda halqaning ichki radiusi, tashqisi esa bo'ladi. Bunday halqaning hajmi , bu erda yupqa halqa asosining maydoni. Uning massasi:

Biz (3.14) ga almashtiramiz va ustiga integrasiya qilamiz r():

Diskning massasi, nihoyat:

2c. Qattiq silindr (disk).

Radiusli qattiq disk yoki silindrning maxsus holatida R(3.17) ni almashtiramiz. R 1 =0, R 2 =R va oling:

Radiusli sharning inersiya momenti R va uning markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan massa (3.4-rasm), (isbotsiz):

2e. Massasi va uzunligi sterjenga perpendikulyar bo'lgan uchidan o'tadigan o'qqa nisbatan bo'lgan yupqa tayoqning inersiya momenti (3.5-rasm).

Biz novdani cheksiz kichik uzunlikdagi segmentlarga ajratamiz. Bunday hududning massasi. (3.14) ni almashtiring va 0 dan ga integrallang:

Agar o'q novda markazidan unga perpendikulyar o'tadigan bo'lsa, siz (3.20) yordamida novda yarmining inersiya momentini hisoblashingiz va keyin ikki barobarga oshirishingiz mumkin:

3. Agar aylanish o'qi bo'lsa o'tmaydi tananing massa markazi orqali (3.6-rasm), formula (3.14) yordamida hisob-kitoblar ancha murakkab bo'lishi mumkin. Bunday holda, inersiya momentini hisoblash yordamida osonlashtiriladi Shtayner teoremalari : jismning ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti inersiya momentining yig'indisiga teng I c jismning massa markazidan bu o'qqa parallel ravishda o'tadigan o'q atrofida va tana massasining masofa kvadratiga ko'paytmasi akslar orasida:

Keling, Shtayner teoremasini tayoqqa qo'llasak, qanday ishlashini ko'rib chiqamiz:

O'ziga xoslik olinganligini ko'rish oson, chunki bu holda o'qlar orasidagi masofa novda uzunligining yarmiga teng.

4. Tananing burchak momenti. Tananing burchak momentumidagi o'zgarish. impuls impulsi. Burchak momentining saqlanish qonuni.

Aylanma harakat dinamikasi qonunidan va burchak tezlanishining ta'rifidan quyidagilar kelib chiqadi:

Agar, keyin. Qattiq jismning burchak momentini sifatida kiritamiz

Munosabatlar (3.24) aylanish harakati uchun qattiq jism dinamikasining asosiy qonunidir. Buni shunday qayta yozish mumkin:

va keyin u impulsiv shakldagi translatsiya harakati uchun Nyutonning ikkinchi qonunining analogi bo'ladi (2.5)

(3.24) ifodani birlashtirish mumkin:

va burchak impulsining o'zgarish qonunini tuzing: jismning impuls momentining o'zgarishi tashqi kuchlarning umumiy momenti momentiga teng . Miqdor kuch momentining impulsi deb ataladi va Nyutonning ikkinchi qonunini tarjima harakati uchun shakllantirishda kuchning impulsiga o'xshaydi (2.2); burchak momentum momentiga o'xshaydi.

Burchak momentumining o'lchami

Qattiq jismning aylanish o'qi atrofidagi burchak impulsi gimlet qoidasiga ko'ra aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan vektordir.

Moddiy nuqtaning O nuqtaga nisbatan burchak momenti (3.6-rasm):

Bu yerda moddiy nuqtaning radius vektori, uning impulsi. Burchak momentum vektori vektorlari va yotadigan tekislikka perpendikulyar bo'lgan gimlet qoidasiga ko'ra yo'naltiriladi: 3.7-rasmda - shakl tufayli bizga. Burchak momentumining kattaligi

Biz o'q atrofida aylanadigan qattiq jismni elementar massalarga ajratamiz va har bir massaning burchak momentini butun tana bo'ylab yig'amiz (xuddi shunday integral sifatida yozilishi mumkin; bu asosiy emas):

Barcha nuqtalarning burchak tezligi bir xil va aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilganligi sababli, uni vektor ko'rinishida yozish mumkin:

Shunday qilib, (3.23) va (3.26) ta'riflarning ekvivalentligi isbotlangan.

Agar tashqi kuchlarning umumiy momenti nolga teng bo'lsa, u holda tizimning burchak momenti o'zgarmaydi(3.25 ga qarang):

. Bu impulsning saqlanish qonuni . Bu quyidagi hollarda mumkin:

a) tizim yopiq (yoki);

b) tashqi kuchlarning tangensial komponentlari yo'q (kuch vektori aylanish o'qi/markazidan o'tadi);

v) tashqi kuchlar qo'zg'almas aylanish o'qiga parallel.

Burchak momentumining saqlanish qonunidan foydalanish/ishlash misollari:

1. giroskop;

2. Jukovskiy skameykasi;

3. konkida uchuvchi.

5. Aylanma harakat bilan ishlash.

Kuch ta'sirida jism burchak orqali aylansin va siljish va kuch orasidagi burchak ; - kuchni qo'llash nuqtasining radius vektori (3.8-rasm), u holda kuchning ishi quyidagilarga teng bo'ladi: