Logarifmik tengsizliklar yechimi bilan vaqtdan oldin ege. Imtihonga tayyorgarlik
Maqola 15-sonli vazifalarni tahlil qilishga bag'ishlangan profil imtihoni 2017 yil uchun matematika bo'yicha. Ushbu topshiriqda o'quvchilarga tengsizliklarni, ko'pincha logarifmiklarni echish taklif etiladi. Garchi ular indikativ bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada logarifmik tengsizliklar misollari, shu jumladan logarifm bazasida o'zgaruvchi bo'lganlar tahlili keltirilgan. Barcha misollar matematika (profil) bo'yicha USE topshiriqlarining ochiq bankidan olingan, shuning uchun bunday tengsizliklar imtihonda sizga 15-topshiriq sifatida duch kelishi mumkin. profilning bir qismi imtihonda yuqori ball olish uchun matematikadan qisqa vaqt ichida FOYDALANISH.
Matematika fanidan profil imtihonidan 15-topshiriqlarni tahlil qilish
| 1-misol. Tengsizlikni yeching: |
Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 15-topshiriqlarida (profil) logarifmik tengsizliklar ko'pincha topiladi. Logarifmik tengsizliklarni yechish qabul qilinadigan qiymatlar diapazonini aniqlashdan boshlanadi. Bunday holda, ikkala logarifmning bazasida o'zgaruvchi yo'q, faqat 11 raqami mavjud, bu vazifani sezilarli darajada osonlashtiradi. Shuning uchun bizda mavjud bo'lgan yagona cheklov shundaki, logarifm belgisi ostidagi ikkala ifoda ham ijobiydir:
Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Tizimdagi birinchi tengsizlik kvadrat tengsizlikdir. Buni hal qilish uchun chap tomonni faktorizatsiya qilsak yaxshi bo'lardi. Menimcha, siz buni bilasiz kvadrat trinomial mehribon 
U quyidagicha faktorizatsiya qilinadi:
qaerda va tenglamaning ildizlari. Bunday holda, koeffitsient 1 ga teng (bu oldingi raqamli koeffitsient). Koeffitsient ham 1 ga teng, koeffitsient esa erkin atama, u -20 ga teng. Trinomning ildizlarini Viet teoremasi yordamida aniqlash oson. Tenglamamiz kichraytirilgan, ya'ni va ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili koeffitsientga, ya'ni -1 ga teng bo'ladi va bu ildizlarning ko'paytmasi koeffitsientga, ya'ni -20 ga teng bo'ladi. Ildizlar -5 va 4 bo'lishini taxmin qilish oson.
Endi tengsizlikning chap tomonini faktorlarga ajratish mumkin: title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 va 4 nuqtalarda. Demak, tengsizlikning kerakli yechimi intervaldir. Bu yerda nima yozilganini tushunmaganlar uchun hozirdan boshlab tafsilotlarni videoda ko'rishingiz mumkin. U erda siz tizimning ikkinchi tengsizligi qanday echilishi haqida batafsil tushuntirishni ham topasiz. Bu hal qilinmoqda. Bundan tashqari, javob tizimning birinchi tengsizligi bilan bir xil. Ya'ni, yuqorida yozilgan to'plam tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari maydonidir.
Shunday qilib, faktorizatsiyani hisobga olgan holda, asl tengsizlik quyidagi shaklni oladi:
Formuladan foydalanib, birinchi logarifm belgisi ostidagi ifodaning kuchiga 11 ni qo'shamiz va ikkinchi logarifmni ishorasini teskari tomonga o'zgartirgan holda, tengsizlikning chap tomoniga o'tkazamiz:
Qisqartirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
Funktsiyaning ortishi tufayli oxirgi tengsizlik tengsizlikka ekvivalent bo'ladi 
, uning yechimi intervaldir 
. Uni tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari maydoni bilan kesib o'tish qoladi va bu butun vazifaga javob bo'ladi.
Shunday qilib, vazifaga kerakli javob quyidagi shaklga ega:
Biz ushbu vazifani aniqladik, endi biz matematika (profil) bo'yicha Yagona davlat imtihonining 15-topshirining keyingi misoliga o'tamiz.
| 2-misol. Tengsizlikni yeching:
|
Biz ushbu tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlashdan boshlaymiz. Har bir logarifmning asosi bo'lishi kerak ijobiy raqam, bu 1 ga teng emas. Logarifm belgisi ostidagi barcha ifodalar ijobiy bo'lishi kerak. Kasrning maxraji nolga teng bo'lmasligi kerak. Oxirgi shart ga ekvivalentdir, chunki aks holda maxrajdagi ikkala logarifm ham yo'qoladi. Ushbu shartlarning barchasi quyidagi tengsizliklar tizimi tomonidan berilgan ushbu tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaydi:
Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida biz tengsizlikning chap tomonini soddalashtirish uchun logarifm o'zgartirish formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Formuladan foydalanish 
maxrajdan xalos bo'ling:
Endi bizda faqat asosiy logarifmlar mavjud. Bu allaqachon qulayroq. Keyinchalik, ulug'vorlikka arziydigan iborani quyidagi shaklga etkazish uchun formuladan, shuningdek formuladan foydalanamiz:
Hisob-kitoblarda biz maqbul qiymatlar oralig'ida bo'lganidan foydalandik. O'zgartirishdan foydalanib, biz quyidagi ifodaga kelamiz:
Yana bitta almashtirishdan foydalanamiz: . Natijada biz quyidagi natijaga erishamiz:
Shunday qilib, asta-sekin asl o'zgaruvchilarga qayting. O'zgaruvchiga birinchi bo'lib:
Bo'limlar: Matematika
Ko'pincha logarifmik tengsizliklarni yechishda logarifmning o'zgaruvchan asosi bilan bog'liq muammolar mavjud. Shunday qilib, shaklning tengsizligi
standart maktab tengsizligidir. Qoida tariqasida, uni hal qilish uchun ekvivalent tizimlar to'plamiga o'tish qo'llaniladi:
Ushbu usulning kamchiliklari ikkita tizim va bitta to'plamni hisobga olmaganda, ettita tengsizlikni yechish zarurati hisoblanadi. Hatto berilgan kvadratik funksiyalar bilan ham populyatsiya yechimi ko'p vaqt talab qilishi mumkin.
Ushbu standart tengsizlikni echishning muqobil, kamroq vaqt talab qiladigan usuli taklif qilinishi mumkin. Buning uchun quyidagi teoremani hisobga olamiz.
Teorema 1. X to'plamda uzluksiz ortib boruvchi funksiya bo'lsin. U holda bu to'plamda funktsiya o'sish belgisi argument o'sish belgisi bilan mos keladi, ya'ni. , qayerda 
.
Eslatma: agar X to'plamda uzluksiz kamayuvchi funktsiya bo'lsa, u holda .
Keling, tengsizlikka qaytaylik. Keling, o'nlik logarifmga o'tamiz (siz birdan katta doimiy asosga ega bo'lgan istalganiga o'tishingiz mumkin).
Endi biz teoremadan foydalanib, numeratorda funktsiyalarning o'sishini payqashimiz mumkin 
va maxrajda. Demak, bu haqiqat
Natijada, javobga olib keladigan hisob-kitoblar soni qariyb yarmiga kamayadi, bu nafaqat vaqtni tejaydi, balki kamroq arifmetik va beparvo xatolarga yo'l qo'yish imkonini beradi.
1-misol
(1) bilan solishtirib, topamiz 
, 
, .
(2) ga o'tsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
2-misol
(1) bilan solishtirib, , , ni topamiz.
(2) ga o'tsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
3-misol
Tengsizlikning chap tomoni va uchun ortib borayotgan funktsiya bo'lgani uchun 
, keyin javob o'rnatiladi.
Terme 1ni qo'llash mumkin bo'lgan misollar to'plamini, agar Terme 2 hisobga olinsa, osongina kengaytirilishi mumkin.
To'plamga qo'ying X, , , funktsiyalari aniqlanadi va bu to'plamda belgilar va mos keladi, ya'ni, keyin adolatli bo'ladi.
4-misol
5-misol
Standart yondashuv bilan misol sxema bo'yicha hal qilinadi: omillar turli belgilarga ega bo'lganda mahsulot noldan kichikdir. Bular. biz boshida aytib o'tilganidek, har bir tengsizlik yana ettitaga bo'lingan ikkita tengsizliklar tizimini ko'rib chiqamiz.
Agar 2-teoremani hisobga olsak, (2) ni hisobga olgan holda omillarning har biri O.D.Z.ning ushbu misolida bir xil belgiga ega bo'lgan boshqa funktsiya bilan almashtirilishi mumkin.
2-teoremani inobatga olgan holda, funktsiyaning o'sishini argumentning o'sishi bilan almashtirish usuli C3 USE tipik muammolarni hal qilishda juda qulay bo'lib chiqadi.
6-misol
7-misol
. belgilaylik. Oling
. E'tibor bering, almashtirish quyidagilarni nazarda tutadi: . Tenglamaga qaytsak, biz olamiz
.
8-misol
Biz foydalanadigan teoremalarda funksiyalar sinflari bo'yicha hech qanday cheklov yo'q. Ushbu maqolada misol tariqasida teoremalar logarifmik tengsizliklarni yechishda qo'llanildi. Quyidagi bir nechta misollar boshqa turdagi tengsizliklarni yechish usulining va'dasini ko'rsatadi.
FOYDALANISHDA LOGARIFMIK TENGSIZLIKLAR
Sechin Mixail Aleksandrovich
Qozog'iston Respublikasi talabalari uchun kichik fanlar akademiyasi "Izlovchi"
MBOU "1-sonli Sovet o'rta maktabi", 11-sinf, shahar. Sovetskiy Sovet tumani
Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU o'qituvchisi "Sovet 1-sonli o'rta maktab"
Sovet tumani
Ishning maqsadi: logarifmik C3 tengsizliklarini nostandart usullar yordamida yechish mexanizmini o'rganish, aniqlash qiziqarli faktlar logarifm.
O'rganish mavzusi:
3) Nostandart usullardan foydalangan holda maxsus logarifmik C3 tengsizliklarini yechishni o'rganing.
Natijalar:
Tarkib
Kirish…………………………………………………………………………….4
1-bob. Ma’lumot…………………………………………………5
2-bob. Logarifmik tengsizliklar to‘plami ………………………… 7
2.1. Ekvivalent o'tishlar va oraliqlarning umumlashtirilgan usuli…………… 7
2.2. Ratsionalizatsiya usuli ………………………………………………… 15
2.3. Non-standard substitution…………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Qopqon bilan vazifalar……………………………………………… 27
Xulosa………………………………………………………………… 30
Adabiyot…………………………………………………………………. 31
Kirish
Men 11-sinfdaman va matematika asosiy fan bo'lgan universitetga kirishni rejalashtirganman. Va shuning uchun men C qismining vazifalari bilan juda ko'p ishlayman. C3 vazifasida odatda logarifmlar bilan bog'liq bo'lgan nostandart tengsizlik yoki tengsizliklar tizimini hal qilishingiz kerak. Imtihonga tayyorgarlik ko'rayotganda men C3 da taklif qilingan imtihon logarifmik tengsizliklarni yechish usullari va usullari yo'qligi muammosiga duch keldim. Ushbu mavzu bo'yicha maktab o'quv dasturida o'rganiladigan usullar C3 vazifalarini hal qilish uchun asos bo'lmaydi. Matematika o‘qituvchisi menga uning rahbarligida C3 topshiriqlari bilan mustaqil ishlashimni taklif qildi. Bundan tashqari, meni savol qiziqtirdi: hayotimizda logarifmlar bormi?
Shularni hisobga olib, mavzu tanlandi:
"Imtihondagi logarifmik tengsizliklar"
Ishning maqsadi: nostandart usullardan foydalangan holda C3 muammolarini hal qilish mexanizmini o'rganish, logarifm haqida qiziqarli faktlarni ochib berish.
O'rganish mavzusi:
1) Logarifmik tengsizliklarni echishning nostandart usullari haqida kerakli ma’lumotlarni toping.
2) Logarifmlar haqida qo'shimcha ma'lumot toping.
3) Nostandart usullardan foydalangan holda aniq C3 muammolarni hal qilishni o'rganing.
Natijalar:
Amaliy ahamiyati C3 muammolarini hal qilish uchun apparatni kengaytirishdan iborat. Ushbu materialdan ba'zi darslarda, to'garaklar, matematikadan ixtiyoriy darslarni o'tkazish uchun foydalanish mumkin.
Loyiha mahsuloti "Logarifmik C3 tengsizliklari yechimlari" to'plami bo'ladi.
1-bob. Fon
16-asrda taqribiy hisob-kitoblar soni, birinchi navbatda, astronomiyada tez sur'atlar bilan o'sdi. Asboblarni takomillashtirish, sayyoralar harakatini o'rganish va boshqa ishlar ulkan, ba'zan ko'p yillik hisob-kitoblarni talab qildi. Astronomiya amalga oshirilmagan hisob-kitoblarga botib ketish xavfi ostida edi. Boshqa sohalarda ham qiyinchiliklar paydo bo'ldi, masalan, sug'urta biznesida turli foiz qiymatlari uchun murakkab foizlar jadvallari kerak edi. Asosiy qiyinchilik ko'p xonali sonlarni, ayniqsa trigonometrik miqdorlarni ko'paytirish, bo'lish edi.
Logarifmlarning ochilishi 16-asr oxiriga kelib progressiyalarning maʼlum boʻlgan xususiyatlariga asoslangan edi. Arximed “Zabur”da q, q2, q3, ... geometrik progressiyaning a’zolari va ularning 1, 2, 3, ... ko‘rsatkichlarining arifmetik progressiyasi o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida gapirgan. Yana bir shart - daraja tushunchasini manfiy va kasr ko'rsatkichlarga kengaytirish edi. Ko'pgina mualliflar ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildizni chiqarish arifmetikada bir xil tartibda - qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lishning eksponensial ravishda mos kelishini ta'kidladilar.
Bu erda logarifmning ko'rsatkich sifatidagi g'oyasi paydo bo'ldi.
Logarifmlar haqidagi ta'limotning rivojlanish tarixida bir necha bosqichlar o'tdi.
1-bosqich
Logarifmlar 1594 yildan kechiktirmay mustaqil ravishda Shotlandiya baroni Nepier (1550-1617) va o'n yildan keyin shveytsariyalik mexanik Burgi (1552-1632) tomonidan ixtiro qilingan. Ikkalasi ham bu muammoga turli yo'llar bilan yondashgan bo'lsalar-da, arifmetik hisob-kitoblarning yangi qulay vositasini taqdim qilmoqchi edilar. Napier logarifmik funktsiyani kinematik tarzda ifodaladi va shu bilan unga kirdi yangi hudud funktsiya nazariyasi. Burgi diskret progressiyalarni hisobga olish asosida qoldi. Biroq, ikkalasi uchun ham logarifmning ta'rifi zamonaviyga o'xshamaydi. "Logarifm" (logarifm) atamasi Napierga tegishli. U yunoncha soʻzlarning birikmasidan kelib chiqqan: logos — «munosabat» va ariqmo — «son», yaʼni «munosabatlar soni» degan maʼnoni bildirgan. Dastlab, Nepier boshqa atamani ishlatgan: numeri artificiales - "sun'iy sonlar", numeri naturalts - "tabiiy sonlar" dan farqli o'laroq.
1615 yilda Londondagi Gresh kollejining matematika professori Genri Briggs (1561-1631) bilan suhbatda Nepier birning logarifmi uchun nolni, o'nning logarifmi uchun 100 ni yoki bir xil miqdorni olishni taklif qildi. , faqat 1. O'nlik logarifmlar va Birinchi logarifmik jadvallar shunday chop etilgan. Keyinchalik Briggs jadvallari gollandiyalik kitob sotuvchisi va matematik Andrian Flakk (1600-1667) tomonidan to'ldirildi. Napier va Briggs, garchi ular logarifmlarga hammadan oldin kelgan bo'lsalar ham, o'z jadvallarini boshqalarga qaraganda kechroq - 1620 yilda nashr etishgan. Belgilar jurnali va jurnali 1624 yilda I. Kepler tomonidan kiritilgan. «Tabiiy logarifm» atamasini 1659 yilda Mengoli kiritgan, undan keyin 1668 yilda N. Merkator kiritgan va londonlik o‘qituvchi Jon Spadel «Yangi logarifmlar» nomi bilan 1 dan 1000 gacha bo‘lgan sonlarning natural logarifmlari jadvallarini nashr etgan.
Rus tilida birinchi logarifmik jadvallar 1703 yilda nashr etilgan. Lekin hammasida logarifmik jadvallar hisoblashda xatolarga yo'l qo'yilgan. Birinchi xatosiz jadvallar 1857 yilda Berlinda nemis matematigi K. Bremiker (1804-1877) tomonidan qayta ishlashda nashr etilgan.
2-bosqich
Logarifmlar nazariyasining keyingi rivojlanishi analitik geometriya va cheksiz kichik hisoblashning kengroq qo‘llanilishi bilan bog‘liq. Bu vaqtga kelib, teng yonli giperbolaning kvadraturasi va natural logarifm o'rtasidagi bog'liqlik o'rnatildi. Bu davr logarifmlari nazariyasi bir qator matematiklarning nomlari bilan bog'liq.
Nemis matematigi, astronomi va muhandisi Nikolaus Merkator o'z inshosida
"Logarifmotexnika" (1668) ln(x + 1) ning kengayishini beradigan qatorni beradi.
kuchlari x:
Bu ibora uning fikrlash yo'nalishiga to'liq mos keladi, garchi u, albatta, d, ... belgilarini ishlatmagan, lekin yanada og'irroq belgilarni ishlatgan. Logarifmik qatorlar kashf etilishi bilan logarifmlarni hisoblash texnikasi o‘zgardi: ular cheksiz qatorlar yordamida aniqlana boshladi. 1907-1908 yillarda o'qilgan "Elementar matematika yuqori nuqtai nazardan" ma'ruzalarida F. Klein logarifmlar nazariyasini qurishda boshlang'ich nuqta sifatida formuladan foydalanishni taklif qildi.
3-bosqich
Logarifmik funktsiyani teskari funktsiya sifatida ta'rifi
eksponentsial, berilgan asosning ko'rsatkichi sifatida logarifm
darhol shakllantirilmagan. Leonhard Eyler ishi (1707-1783)
"Cheksiz kichiklar tahliliga kirish" (1748) keyingi bo'lib xizmat qildi
logarifmik funksiya nazariyasini ishlab chiqish. Shunday qilib,
Logarifmlar birinchi marta kiritilganidan beri 134 yil o'tdi
(1614 yildan boshlab hisoblangan) matematiklar ta'rifni ishlab chiqishdan oldin
endi maktab kursining asosi bo'lgan logarifm tushunchasi.
2-bob. Logarifmik tengsizliklar yig'indisi
2.1. Ekvivalent o'tishlar va intervallarning umumlashtirilgan usuli.
Ekvivalent o'tishlar
a > 1 bo'lsa
agar 0 <
а <
1
Umumlashtirilgan interval usuli
Bu usul deyarli har qanday turdagi tengsizliklarni yechishda eng universal. Yechim sxemasi quyidagicha ko'rinadi:
1. Tengsizlikni funksiya chap tomonda joylashgan shunday shaklga keltiring 
, va o'ngda 0.
2. Funksiya sohasini toping .
3. Funksiyaning nollarini toping , ya'ni tenglamani yechish 
(va tenglamani yechish odatda tengsizlikni yechishdan osonroqdir).
4. Haqiqiy chiziqqa funksiyaning aniqlanish sohasi va nollarini chizing.
5. Funksiyaning belgilarini aniqlang qabul qilingan intervallarda.
6. Funksiya kerakli qiymatlarni oladigan oraliqlarni tanlang va javobni yozing.
1-misol
Yechim:
Interval usulini qo'llang
qayerda
Ushbu qiymatlar uchun logarifmlar belgilari ostidagi barcha ifodalar ijobiydir.
Javob:
2-misol
Yechim:
1-chi yo'l . ODZ tengsizlik bilan aniqlanadi x> 3. Bundaylar uchun logarifmlarni olish x 10 ta asosda biz olamiz
Oxirgi tengsizlikni parchalanish qoidalarini qo'llash orqali hal qilish mumkin edi, ya'ni. omillarni nolga solishtirish. Biroq, bu holda funktsiyaning doimiylik intervallarini aniqlash oson
shuning uchun interval usulini qo'llash mumkin.
Funktsiya f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ uchun uzluksiz x> 3 va nuqtalarda yo'qoladi x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Shunday qilib, funktsiyaning doimiylik intervallarini aniqlaymiz f(x):
Javob:
2-yo'l . Intervallar usulining g'oyalarini to'g'ridan-to'g'ri dastlabki tengsizlikka tatbiq qilaylik.
Buning uchun biz iboralarni eslaymiz a b- a c va ( a - 1)(b- 1) bitta belgiga ega. Keyin bizning tengsizligimiz x> 3 tengsizlikka teng
yoki
Oxirgi tengsizlik interval usuli bilan yechiladi
Javob:
3-misol
Yechim:
Interval usulini qo'llang
Javob:
4-misol
Yechim:
2 dan beri x 2 - 3x Barcha haqiqiy uchun + 3 > 0 x, keyin
Ikkinchi tengsizlikni yechish uchun interval usulidan foydalanamiz
Birinchi tengsizlikda biz o'zgartirish kiritamiz
keyin 2y 2 tengsizlikka kelamiz - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, -0,5 tengsizlikni qanoatlantiradi< y < 1.
Qayerdan, chunki
tengsizlikni olamiz
bilan amalga oshiriladi x, buning uchun 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Endi, tizimning ikkinchi tengsizligining yechimini hisobga olib, biz nihoyat qo'lga kiritamiz
Javob:
5-misol
Yechim:
Tengsizlik tizimlar to'plamiga ekvivalentdir
yoki
Interval usulini qo'llang yoki
Javob:
6-misol
Yechim:
Tengsizlik tizimga tengdir
Mayli
keyin y > 0,
va birinchi tengsizlik
sistema shaklini oladi
yoki kengaymoqda
omillarga kvadrat trinomial,
Oxirgi tengsizlikka interval usulini qo'llash,
uning yechimlari shartni qanoatlantirayotganini ko'ramiz y> 0 hammasi bo'ladi y > 4.
Shunday qilib, dastlabki tengsizlik tizimga ekvivalentdir:
Demak, tengsizlikning yechimlari hammasi
2.2. ratsionalizatsiya usuli.
Ilgari tengsizlikni ratsionalizatsiya qilish usuli hal etilmagan, ma'lum emas edi. Bu "eksponensial va logarifmik tengsizliklarni echishning yangi zamonaviy samarali usuli" (Kolesnikova S.I. kitobidan iqtibos)
Va agar o'qituvchi uni bilgan bo'lsa ham, qo'rquv bor edi - lekin USE mutaxassisi uni biladimi va nega uni maktabda berishmaydi? O'qituvchi talabaga: "Qaerdan oldingiz, o'tiring - 2" degan holatlar bo'lgan.
Endi bu usul hamma joyda targ'ib qilinmoqda. Mutaxassislar uchun esa ushbu usul bilan bog'liq bo'lgan ko'rsatmalar mavjud va C3 yechimidagi "Turli variantlarning eng to'liq nashrlari ..." da bu usul qo'llaniladi.
USUL Ajoyib!
"Sehrli stol"
Boshqa manbalarda
agar a >1 va b >1, keyin log a b >0 va (a -1)(b -1)>0;
agar a >1 va 0 agar 0<a<1 и b
>1, keyin log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
agar 0<a<1 и 00 va (a -1)(b -1)>0. Yuqoridagi mulohaza oddiy, lekin logarifmik tengsizliklarning yechilishini sezilarli darajada soddalashtiradi. 4-misol
log x (x 2 -3)<0
Yechim:
5-misol
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Yechim: 6-misol
Bu tengsizlikni yechish uchun maxraj o‘rniga (x-1-1) (x-1), sanoq o‘rniga esa (x-1) (x-3-9 + x) ko‘paytmasini yozamiz. 7-misol
8-misol
2.3. Nostandart almashtirish. 1-misol
2-misol
3-misol
4-misol
5-misol
6-misol
7-misol
log 4 (3 x -1) log 0,25 y=3 x -1 almashtirishni qilaylik; u holda bu tengsizlik shaklni oladi log 4 log 0,25 Chunki log 0,25 t =log 4 y ni almashtiramiz va t 2 -2t +≥0 tengsizlikni olamiz, uning yechimi intervallar - Shunday qilib, y ning qiymatlarini topish uchun biz ikkita eng oddiy tengsizliklar to'plamiga egamiz Demak, asl tengsizlik ikkita eksponensial tengsizliklar to‘plamiga ekvivalentdir, Bu to‘plamning birinchi tengsizligining yechimi 0 oralig‘idir<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8-misol
Yechim:
Tengsizlik tizimga tengdir ODZni aniqlaydigan ikkinchi tengsizlikning yechimi shular to'plami bo'ladi x,
buning uchun x > 0.
Birinchi tengsizlikni yechish uchun biz o'zgartirish kiritamiz Keyin tengsizlikni olamiz yoki Oxirgi tengsizlikning yechimlar to'plami usul bilan topiladi intervallar: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, olamiz yoki Ularning ko'plari x, bu oxirgi tengsizlikni qanoatlantiradi ODZga tegishli ( x> 0), shuning uchun tizimning yechimi, va demak, asl tengsizlik. Javob: 2.4. Qopqon bilan vazifalar. 1-misol
Yechim. Tengsizlikning ODZ 0 shartni qanoatlantiruvchi barcha x ga teng 2-misol
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Javob. (0; 0,5) U.
Javob :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , keyin oxirgi tengsizlikni 2log 4 y -log 4 2 y ≤ shaklida qayta yozamiz.
Ushbu to'plamning yechimi 0 intervallaridir<у≤2 и 8≤у<+.
ya'ni agregatlar 
. Shunday qilib, asl tengsizlik 0 oraliqlaridagi x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladi<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Demak, 0 oraliqdan barcha x
Xulosa
Turli xil ta'lim manbalaridan C3 muammolarini hal qilishning maxsus usullarini topish oson emas edi. Bajarilgan ish jarayonida men murakkab logarifmik tengsizliklarni echishning nostandart usullarini o'rganishga muvaffaq bo'ldim. Bular: ekvivalent o'tishlar va intervallarning umumlashtirilgan usuli, ratsionalizatsiya usuli , nostandart almashtirish , ODZda tuzoqlar bilan vazifalar. Ushbu usullar maktab o'quv dasturida yo'q.
Turli usullardan foydalanib, men C qismida USEda taklif qilingan 27 tengsizlikni, ya'ni C3 ni yechdim. Usullar bo'yicha echimlar bilan ushbu tengsizliklar mening faoliyatimning loyiha mahsulotiga aylangan "Logarifmik C3 yechimlar bilan tengsizliklar" to'plamining asosini tashkil etdi. Loyihaning boshida men ilgari surgan faraz tasdiqlandi: agar bu usullar ma'lum bo'lsa, C3 muammolarini samarali hal qilish mumkin.
Bundan tashqari, men logarifmlar haqida qiziqarli ma'lumotlarni topdim. Men uchun buni qilish qiziq edi. Mening loyiha mahsulotlarim talabalar va o'qituvchilar uchun foydali bo'ladi.
Xulosa:
Shunday qilib, loyihaning maqsadiga erishiladi, muammo hal qilinadi. Va men ishning barcha bosqichlarida loyiha faoliyatida eng to'liq va ko'p qirrali tajribaga ega bo'ldim. Loyiha ustida ishlash jarayonida mening asosiy rivojlanish ta'sirim aqliy kompetentsiyaga, mantiqiy aqliy operatsiyalar bilan bog'liq faoliyatga, ijodiy kompetentsiyani, shaxsiy tashabbusni, mas'uliyatni, qat'iyatlilikni va faollikni rivojlantirish edi.
Tadqiqot loyihasini yaratishda muvaffaqiyat kafolati Men bo'ldim: muhim maktab tajribasi, turli manbalardan ma'lumot olish, uning ishonchliligini tekshirish, ahamiyati bo'yicha tartiblash qobiliyati.
Matematika fanidan to‘g‘ridan-to‘g‘ri fan bilimlari bilan bir qatorda, informatika sohasida amaliy ko‘nikmalarini kengaytirdi, psixologiya sohasida yangi bilim va tajribaga ega bo‘ldi, sinfdoshlari bilan aloqa o‘rnatdi, kattalar bilan hamkorlik qilishni o‘rgandi. Loyiha faoliyati davomida tashkilotchilik, intellektual va kommunikativ umumiy ta'lim ko'nikmalari va qobiliyatlari rivojlantirildi.
Adabiyot
1. Koryanov A. G., Prokofyev A. A. Bir o‘zgaruvchili tengsizliklar sistemalari (C3 tipik vazifalari).
2. Malkova A. G. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik.
3. S. S. Samarova, Logarifmik tengsizliklarni yechish.
4. Matematika. O'quv ishlari to'plami tahrirlangan A.L. Semyonov va I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 b.-
