Hosila qanday topiladi, hosila qanday olinadi? Ushbu darsda biz funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz. Ammo ushbu sahifani o'rganishdan oldin, men sizga uslubiy material bilan tanishishingizni tavsiya qilaman. Issiq maktab matematika formulalar. Ma'lumotnomani sahifadan ochish yoki yuklab olish mumkin Matematik formulalar va jadvallar. Shuningdek, u erdan bizga kerak Hosiliy jadval, uni chop etish yaxshiroq, siz tez-tez unga murojaat qilishingiz kerak bo'ladi va nafaqat hozir, balki oflayn rejimda ham.

U yerda? Qani boshladik. Siz uchun ikkita yangiligim bor: yaxshi va juda yaxshi. Yaxshi xabar shundaki: hosilalarni qanday topishni o'rganish uchun hosila nima ekanligini bilish va tushunish umuman shart emas. Qolaversa, funktsiyaning hosilasining ta'rifi, hosilaning matematik, fizik, geometrik ma'nosini keyinroq hazm qilish maqsadga muvofiqdir, chunki nazariyani sifatli o'rganish, menimcha, bir qator boshqa mavzularni o'rganishni talab qiladi. shuningdek, ba'zi amaliy tajriba.
Va endi bizning vazifamiz - bu hosilalarni texnik jihatdan o'zlashtirish. Juda yaxshi xabar shundaki, hosilalarni olishni o'rganish unchalik qiyin emas, bu vazifani hal qilish (va tushuntirish) uchun juda aniq algoritm mavjud, integrallar yoki chegaralarni, masalan, o'zlashtirish qiyinroq.

Men mavzuni o'rganishning quyidagi tartibini tavsiya qilaman Javob: Birinchidan, ushbu maqola. Keyin eng muhim darsni o'qishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi. Ushbu ikkita asosiy dars sizning mahoratingizni noldan oshirishga imkon beradi. Bundan tashqari, maqolada yanada murakkab lotinlar bilan tanishish mumkin bo'ladi. murakkab hosilalar. logarifmik hosila. Agar bar juda baland bo'lsa, avval elementni o'qing Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar. Yangi materialga qo'shimcha ravishda, darsda hosilalarning boshqa, oddiyroq turlari yoritilgan va farqlash texnikangizni yaxshilash uchun ajoyib imkoniyat mavjud. Bundan tashqari, nazorat ishlarida deyarli har doim aniq yoki parametrik ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalarini topish uchun vazifalar mavjud. Buning uchun qo'llanma ham mavjud: Yashirin va parametrik aniqlangan funksiyalarning hosilalari.

Men sizga funksiyalarning hosilalarini qanday topishni o'rgatish uchun bosqichma-bosqich kirish mumkin bo'lgan shaklda harakat qilaman. Barcha ma'lumotlar batafsil, oddiy so'zlar bilan keltirilgan.

Aslida, keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim:

Bu eng oddiy misol, uni elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan toping. Endi yechimni ko'rib chiqamiz va nima bo'lganini tahlil qilamiz? Va shunday bo'ldi: bizda funktsiya bor edi, u yechim natijasida funktsiyaga aylandi.

Juda oddiy, funktsiyaning hosilasini topish uchun uni ma'lum qoidalarga muvofiq boshqa funktsiyaga aylantirish kerak. Yana hosilalar jadvaliga qarang - u erda funktsiyalar boshqa funktsiyalarga aylanadi. Istisno faqat o'ziga aylanadigan eksponensial funktsiyadir. Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash .

Belgilash: hosila yoki bilan belgilanadi.

DIQQAT, MUHIM! Qo'yishni unuting (kerak bo'lganda) yoki qo'shimcha zarbani chizish (kerak bo'lmagan joyda) - KATTA XATO! Funktsiya va uning hosilasi ikki xil funktsiyadir!

Keling, hosilalar jadvalimizga qaytaylik. Ushbu jadvaldan bu maqsadga muvofiqdir yodlash: ba'zi elementar funktsiyalarning differensiallash qoidalari va hosilalari, xususan:

doimiyning hosilasi:
, bu yerda doimiy son;

quvvat funksiyasining hosilasi:
, ayniqsa: , , .

Nega yodlash kerak? Bu bilim hosilalar haqidagi elementar bilimdir. Va agar siz o'qituvchining "Raqamning hosilasi nima?" Degan savoliga javob bera olmasangiz, universitetdagi o'qishingiz siz uchun tugashi mumkin (men hayotdan ikkita haqiqiy holatni shaxsan bilaman). Bundan tashqari, bu deyarli har doim hosilalarga duch kelganimizda foydalanishimiz kerak bo'lgan eng keng tarqalgan formulalardir.

Aslida, oddiy jadvalli misollar kamdan-kam uchraydi, odatda, hosilalarni topishda birinchi navbatda differentsiallash qoidalari, so'ngra elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali qo'llaniladi.

Shu munosabat bilan biz mulohazalarga murojaat qilamiz farqlash qoidalari:

1) doimiy son hosila belgisidan chiqarilishi mumkin (va kerak).

Doimiy raqam qayerda (doimiy)

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz lotinlar jadvaliga qaraymiz. Kosinusning hosilasi mavjud, lekin bizda .

Qoidadan foydalanish vaqti keldi, biz hosila belgisidan tashqari doimiy omilni chiqaramiz:

Va endi biz kosinusimizni jadvalga muvofiq aylantiramiz:

Xo'sh, natijani biroz "tarash" maqsadga muvofiqdir - minusni birinchi o'ringa qo'ying, shu bilan birga qavslardan xalos bo'ling:

2) Yig‘indining hosilasi hosilalari yig‘indisiga teng

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz qaror qilamiz. Siz allaqachon payqaganingizdek, hosilani topishda har doim bajariladigan birinchi harakat bu butun ifodani qavs ichiga qo'yish va yuqori o'ng tomonga chiziq qo'yishdir:

Biz ikkinchi qoidani qo'llaymiz:

Differensiatsiya qilish uchun barcha ildizlar, darajalar sifatida ifodalanishi kerak va agar ular maxrajda bo'lsa, ularni yuqoriga siljiting. Buni qanday qilish mening uslubiy materiallarimda muhokama qilinadi.

Endi biz farqlashning birinchi qoidasini eslaymiz - hosila belgisidan tashqarida doimiy omillarni (raqamlarni) chiqaramiz:

Odatda, yechim davomida bu ikki qoida bir vaqtning o'zida qo'llaniladi (uzun ifodani yana bir bor qayta yozmaslik uchun).

Chiziq ostidagi barcha funktsiyalar elementar jadval funktsiyalari bo'lib, jadvaldan foydalanib, biz transformatsiya qilamiz:

Siz hamma narsani ushbu shaklda qoldirishingiz mumkin, chunki boshqa zarbalar yo'q va lotin topildi. Biroq, bu kabi iboralar odatda soddalashtiradi:

Turning barcha darajalarini yana ildiz sifatida ifodalash va salbiy ko'rsatkichlar bilan darajalarni maxrajga qaytarish maqsadga muvofiqdir. Garchi siz buni qila olmasangiz ham, bu xato bo'lmaydi.

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Ushbu misolni o'zingiz hal qilishga harakat qiling (dars oxirida javob bering). Qiziqqanlar ham foydalanishlari mumkin intensiv kurs pdf formatida, bu sizning ixtiyoringizda juda oz vaqt bo'lsa, ayniqsa muhimdir.

3) funksiyalar hosilasining hosilasi

Aftidan, analogiyaga ko'ra, formula o'zini ko'rsatadi ...., ammo ajablanarli tomoni shundaki:

Bu g'ayrioddiy qoida (shuningdek, boshqalar) dan kelib chiqadi hosilalarning ta'riflari. Ammo biz hozircha nazariyani kutamiz - endi qanday hal qilishni o'rganish muhimroq:

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda ga qarab ikkita funktsiyaning mahsuloti mavjud.
Avval biz g'alati qoidamizni qo'llaymiz, so'ngra funktsiyalarni hosilalar jadvaliga muvofiq o'zgartiramiz:

Qiyinmi? Umuman emas, hatto choynak uchun ham ancha arzon.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Ushbu funktsiya ikkita funktsiyaning yig'indisi va mahsulotini o'z ichiga oladi - kvadrat trinomial va logarifm. Biz maktabdan eslaymizki, ko'paytirish va bo'lish qo'shish va ayirishdan ustun turadi.

Bu yerda ham xuddi shunday. BIRINCHI Biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanamiz:

Endi qavs uchun biz birinchi ikkita qoidadan foydalanamiz:

Chiziqlar ostida farqlash qoidalarini qo'llash natijasida bizda faqat elementar funktsiyalar qoldi, hosilalar jadvaliga muvofiq biz ularni boshqa funktsiyalarga aylantiramiz:

Tayyor.

Hosilalarni topishda ma'lum tajribaga ega bo'lgan holda, oddiy hosilalarni bu qadar batafsil tavsiflash kerak emas. Umuman olganda, ular odatda og'zaki hal qilinadi va bu darhol qayd etiladi .

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu misol uchun mustaqil qaror(javob dars oxirida)

4) Xususiy funksiyalarning hosilasi

Shiftda lyuk ochildi, qo'rqmang, bu xato.
Va bu erda dahshatli haqiqat:

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda nima yo'q - yig'indi, farq, mahsulot, kasr .... Nimadan boshlashim kerak?! Shubhalar bor, shubha yo'q, lekin, NIMA BO'LGANDA HAM Birinchidan, qavslarni chizib, yuqori o'ng tomonga chiziq qo'ying:

Endi biz qavs ichidagi ifodani ko'rib chiqamiz, uni qanday soddalashtiramiz? Bunda biz birinchi qoidaga ko'ra uni hosila belgisidan olib tashlash maqsadga muvofiq bo'lgan omilni ko'ramiz.

Funktsiyaning hosilasini topish jarayoni deyiladi farqlash. Hosilni matematik tahlil jarayonida bir qancha masalalarda topish kerak. Masalan, funksiya grafigining ekstremum nuqtalari va burilish nuqtalarini topishda.

Qanday topish mumkin?

Funktsiyaning hosilasini topish uchun elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini bilish va asosiy differentsiallash qoidalarini qo'llash kerak:

1. Konstantani hosila belgisidan chiqarish: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funktsiyalar yig'indisi/farqining hosilasi: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Ikki funktsiyaning hosilasi: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Kasr hosilasi: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Murakkab funksiya hosilasi: $$ (f(g(x))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Yechim misollari

1-misol

$ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ funksiyaning hosilasini toping.

Yechim

Funksiyalarning yig‘indisi/farqining hosilasi hosilalarning yig‘indisi/farqiga teng: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Quvvat funksiyasining hosilaviy qoidasi $ (x^p)" = px^(p-1) $ yordamida bizda: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Shuningdek, doimiyning hosilasi nolga teng ekanligi hisobga olindi. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Ko‘rsatkichli (e ning x darajasiga) va ko‘rsatkichli funksiyaning (a ning x darajasiga) hosilasi formulalarini isbotlash va hosil qilish. e^2x, e^3x va e^nx hosilalarini hisoblash misollari. Yuqori tartibli hosilalar uchun formulalar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Ko'rsatkichli funktsiya - xossalar, formulalar, grafik
Ko'rsatkich, e x ning kuchiga - xossalar, formulalar, grafik

Asosiy formulalar

Ko'rsatkichning hosilasi ko'rsatkichning o'ziga teng (e ning x darajasiga hosilasi e ning x darajasiga teng):
(1) (e x )′ = e x.

A darajali asosli ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi funktsiyaning o'ziga teng bo'lib, a ning natural logarifmiga ko'paytiriladi:
(2) .

Ko'rsatkich bu ko'rsatkichli funktsiya bo'lib, uning ko'rsatkich asosi e soniga teng bo'lib, u quyidagi chegaradir:
.
Bu erda ham tabiiy, ham bo'lishi mumkin haqiqiy raqam. Keyinchalik, ko'rsatkichning hosilasi uchun (1) formulani olamiz.

Ko‘rsatkich hosilasi formulasini hosil qilish

Ko'rsatkichni e ning x ning kuchiga qarab ko'rib chiqing:
y = e x.
Bu funksiya hamma uchun belgilangan. Uning x ga nisbatan hosilasi topilsin. Ta'rifga ko'ra, lotin quyidagi chegara hisoblanadi:
(3) .

Keling, ushbu ifodani ma'lum matematik xususiyatlar va qoidalarga qisqartirish uchun aylantiramiz. Buning uchun bizga quyidagi faktlar kerak:
LEKIN) Ko'rsatkich xususiyati:
(4) ;
B) Logarifm xossasi:
(5) ;
DA) Logarifmning uzluksizligi va uzluksiz funksiya uchun limitlar xossasi:
(6) .
Mana, chegarasi bor va bu chegara ijobiy bo'lgan ba'zi funksiyalar.
G) Ikkinchi ajoyib chegaraning ma'nosi:
(7) .

Biz bu faktlarni o'z chegaramizga qo'llaymiz (3). Biz mulkdan foydalanamiz (4):
;
.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz. Keyin; .
Ko'rsatkichning uzluksizligi tufayli,
.
Shuning uchun, , da. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz. Keyin. Da , . Va bizda:
.

Biz logarifmning (5) xossasini qo'llaymiz:
. Keyin
.

Keling, mulkni qo'llaymiz (6). Ijobiy chegara mavjud va logarifm uzluksiz bo'lgani uchun, u holda:
.
Bu erda biz ikkinchi ajoyib chegaradan ham foydalandik (7). Keyin
.

Shunday qilib, ko'rsatkichning hosilasi uchun formula (1) ni oldik.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi formulasini hosil qilish

Endi asosi a darajali ko‘rsatkichli funksiya hosilasi uchun (2) formulani olamiz. Biz bunga ishonamiz va. Keyin eksponensial funktsiya
(8)
Hamma uchun belgilangan.

(8) formulani o'zgartiramiz. Buning uchun ko'rsatkich funksiyasi va logarifmning xossalaridan foydalanamiz.
;
.
Shunday qilib, (8) formulani quyidagi shaklga o'tkazdik:
.

e ning x darajasiga yuqori tartibli hosilalari

Endi yuqori tartibli hosilalarni topamiz. Avval ko‘rsatkichni ko‘rib chiqamiz:
(14) .
(1) .

(14) funktsiyaning hosilasi (14) funksiyaning o'ziga teng ekanligini ko'ramiz. Farqlash (1), biz ikkinchi va uchinchi tartib hosilalarni olamiz:
;
.

Bu shuni ko'rsatadiki, n-tartibli hosila ham asl funktsiyaga teng:
.

Ko'rsatkichli funktsiyaning yuqori tartibli hosilalari

Endi a darajali asosli eksponensial funktsiyani ko'rib chiqing:
.
Biz uning birinchi tartibli hosilasini topdik:
(15) .

Farqlash (15), biz ikkinchi va uchinchi tartib hosilalarni olamiz:
;
.

Har bir differensiallanish asl funktsiyani ga ko'paytirishga olib kelishini ko'ramiz. Demak, n-chi hosila quyidagi shaklga ega:
.

Shuningdek qarang:
Sana: 20.11.2014 yil

hosila nima?

Hosiliy jadval.

Hosila oliy matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. Ushbu darsda biz ushbu tushuncha bilan tanishamiz. Qattiq matematik formulalar va isbotlarsiz tanishamiz.

Ushbu kirish sizga quyidagilarga imkon beradi:

Tuzama bilan oddiy vazifalarning mohiyatini tushunish;

Ushbu juda oddiy vazifalarni muvaffaqiyatli hal qiling;

Yana jiddiy derivativ darslarga tayyorlaning.

Birinchidan, yoqimli ajablanib.

Hosilning qat'iy ta'rifi chegaralar nazariyasiga asoslanadi va bu narsa ancha murakkab. Xafa qiladi. Ammo lotinning amaliy qo'llanilishi, qoida tariqasida, bunday keng va chuqur bilimni talab qilmaydi!

Maktabda va universitetda ko'pgina vazifalarni muvaffaqiyatli bajarish uchun bilish kifoya faqat bir nechta shartlar- vazifani tushunish, va faqat bir nechta qoidalar- uni hal qilish uchun. Va tamom. Bu quvontiradi.

Tanishamizmi?)

Shartlar va belgilar.

Boshlang'ich matematikada juda ko'p matematik operatsiyalar mavjud. Qo'shish, ayirish, ko'paytirish, darajaga ko'tarish, logarifm va boshqalar. Agar bu amallarga yana bitta amal qo'shilsa, elementar matematika yuqori bo'ladi. Ushbu yangi operatsiya deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyaning ta'rifi va ma'nosi alohida darslarda muhokama qilinadi.

Bu erda farqlash faqat funktsiya ustidagi matematik operatsiya ekanligini tushunish muhimdir. Biz har qanday funktsiyani olamiz va ma'lum qoidalarga muvofiq uni o'zgartiramiz. Natijada yangi funktsiya paydo bo'ladi. Ushbu yangi funksiya deyiladi: hosila.

Differentsiatsiya- funksiya ustidagi harakat.

Hosil bu harakat natijasidir.

Xuddi, masalan, so'm qo'shish natijasidir. Yoki xususiy bo'linish natijasidir.

Shartlarni bilgan holda, siz hech bo'lmaganda vazifalarni tushunishingiz mumkin.) Matn quyidagicha: funktsiyaning hosilasini toping; hosilani oling; funktsiyani farqlash; hosilani hisoblang va h.k. Hammasi shu bir xil. Albatta, murakkabroq vazifalar mavjud, bu erda hosilani topish (farqlash) vazifani hal qilishdagi qadamlardan biri bo'ladi.

Hosila funktsiyaning yuqori o'ng tomonidagi chiziqcha bilan belgilanadi. Mana bunday: y" yoki f"(x) yoki S"(t) va hokazo.

o'qing y zarbasi, x dan ef zarbasi, te dan es zarbasi, yaxshi tushunasiz...)

Tutqich ma'lum bir funktsiyaning hosilasini ham ko'rsatishi mumkin, masalan: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" va hokazo. Ko'pincha hosila differentsiallar yordamida belgilanadi, ammo biz ushbu darsda bunday belgini ko'rib chiqmaymiz.

Aytaylik, biz vazifalarni tushunishni o'rgandik. Hech narsa qolmadi - ularni qanday hal qilishni o'rganish.) Yana bir bor eslatib o'taman: hosila topish funktsiyani ma'lum qoidalarga muvofiq o'zgartirish. Bu qoidalar hayratlanarli darajada kam.

Funktsiyaning hosilasini topish uchun faqat uchta narsani bilish kerak. Barcha farqlanishlar tayanadigan uchta ustun. Mana uchta kit:

1. Hosilalar jadvali (differensiatsiya formulalari).

3. Kompleks funktsiyaning hosilasi.

Keling, tartibda boshlaylik. Ushbu darsda biz hosilalar jadvalini ko'rib chiqamiz.

Hosiliy jadval.

Dunyo cheksiz ko'p funktsiyalarga ega. Ushbu to'plam orasida amaliy qo'llash uchun eng muhim bo'lgan funktsiyalar mavjud. Bu funktsiyalar tabiatning barcha qonunlarida joylashgan. Ushbu funktsiyalardan, g'ishtdan bo'lgani kabi, siz qolgan barcha narsalarni qurishingiz mumkin. Bu funksiyalar sinfi deyiladi elementar funktsiyalar. Aynan shu funktsiyalar maktabda o'rganiladi - chiziqli, kvadratik, giperbola va boshqalar.

Funktsiyalarni "noldan" farqlash, ya'ni. lotin ta'rifi va chegaralar nazariyasiga asoslangan - juda ko'p vaqt talab qiladigan narsa. Va matematiklar ham odamlardir, ha, ha!) Shunday qilib, ular hayotlarini soddalashtirdilar (va biz). Ular bizdan oldin elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblab chiqdilar. Natijada hosilalar jadvali paydo bo'ladi, unda hamma narsa tayyor.)

Mana, bu eng mashhur funktsiyalar uchun plastinka. Chap - elementar funktsiya, o'ng - uning hosilasi.

	Funktsiya y	y funksiyaning hosilasi y"
1	C (doimiy)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n har qanday raqam)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	gunoh x	(sinx)" = cosx
	chunki x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	jurnal a x
	ln x ( a = e)

Men ushbu lotinlar jadvalidagi uchinchi guruh funktsiyalariga e'tibor berishni tavsiya qilaman. Quvvat funktsiyasining hosilasi eng keng tarqalgan formulalardan biridir, agar eng keng tarqalgan bo'lmasa! Maslahat aniqmi?) Ha, hosilalar jadvalini yoddan bilish maqsadga muvofiqdir. Aytgancha, bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Ko'proq misollarni echishga harakat qiling, jadvalning o'zi eslab qoladi!)

Siz tushunganingizdek, lotinning jadval qiymatini topish eng qiyin ish emas. Shuning uchun, ko'pincha bunday vazifalarda qo'shimcha chiplar mavjud. Yoki vazifani shakllantirishda yoki jadvalda ko'rinmaydigan asl funktsiyada ...

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1. y = x funksiyaning hosilasini toping 3

Jadvalda bunday funktsiya yo'q. Ammo kuch funktsiyasining umumiy hosilasi mavjud (uchinchi guruh). Bizning holatda, n = 3. Shunday qilib, biz n o'rniga uchlikni almashtiramiz va natijani diqqat bilan yozamiz:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Hammasi shu.

Javob: y" = 3x 2

2. y = sinx funksiyaning x = 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

Bu vazifa, avvalo, sinusning hosilasini topib, keyin qiymatni almashtirish kerakligini anglatadi x = 0 xuddi shu hosilaga. Bu shunday tartibda! Aks holda, ular darhol nolni asl funktsiyaga almashtiradilar ... Bizdan asl funktsiyaning qiymatini emas, balki qiymatini topish so'raladi. uning hosilasi. Sana eslatib o'taman, lotin allaqachon yangi funktsiyadir.

Plastinada biz sinus va tegishli hosilani topamiz:

y" = (sinx)" = cosx

Hosilda nolni almashtiring:

y"(0) = cos 0 = 1

Bu javob bo'ladi.

3. Funksiyani farqlang:

Nima ilhomlantiradi?) hosilalar jadvalida hatto yaqin bunday funktsiya yo'q.

Eslatib o‘taman, funktsiyani farqlash bu funksiyaning hosilasini topishdir. Agar siz elementar trigonometriyani unutsangiz, funktsiyamizning hosilasini topish juda qiyin. Jadval yordam bermaydi ...

Ammo bizning funktsiyamiz ekanligini ko'rsak ikki burchakli kosinus, keyin hamma narsa darhol yaxshilanadi!

Ha ha! Esda tutingki, asl funktsiyaning o'zgarishi farqlashdan oldin juda maqbul! Va bu hayotni ancha osonlashtiradi. Ikki burchakli kosinus formulasiga ko'ra:

Bular. bizning qiyin vazifamiz boshqa narsa emas y = koks. Va bu jadval funktsiyasi. Biz darhol olamiz:

Javob: y" = - sin x.

Ilg'or bitiruvchilar va talabalar uchun misol:

4. Funksiyaning hosilasini toping:

Albatta, hosilalar jadvalida bunday funktsiya yo'q. Ammo agar siz elementar matematikani eslasangiz, kuchlar bilan harakatlar ... Keyin bu funktsiyani soddalashtirish juda mumkin. Mana bunday:

Va o'ndan birining kuchiga x allaqachon jadvalli funktsiyadir! Uchinchi guruh, n=1/10. To'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha va yozing:

Ana xolos. Bu javob bo'ladi.

Umid qilamanki, birinchi farqlash kiti - hosilalar jadvali - hamma narsa aniq. Qolgan ikkita kit bilan shug'ullanish qoladi. Keyingi darsda biz farqlash qoidalarini bilib olamiz.

Hosilalarni hisoblash differensial hisoblashdagi eng muhim operatsiyalardan biridir. Quyida oddiy funksiyalarning hosilalarini topish jadvali keltirilgan. Murakkab farqlash qoidalari uchun boshqa darslarga qarang:

• Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning hosilalari jadvali

Berilgan formulalardan mos yozuvlar qiymatlari sifatida foydalaning. Ular differentsial tenglamalar va muammolarni hal qilishda yordam beradi. Rasmda, oddiy funktsiyalarning hosilalari jadvalida, hosila topishning asosiy holatlarining "cheat varag'i" foydalanish uchun tushunarli shaklda, uning yonida har bir holat uchun tushuntirishlar mavjud.

Oddiy funksiyalarning hosilalari

1. Sonning hosilasi nolga teng
s´ = 0
Misol:
5' = 0

Tushuntirish:
Hosila argument o'zgarganda funktsiya qiymatining o'zgarishi tezligini ko'rsatadi. Raqam hech qanday sharoitda hech qanday tarzda o'zgarmasligi sababli, uning o'zgarish tezligi doimo nolga teng.

2. O‘zgaruvchining hosilasi birga teng
x' = 1

Tushuntirish:
(x) argumentining har bir ortishi bilan funksiyaning qiymati (hisoblash natijasi) bir xil miqdorga ortadi. Shunday qilib, y = x funksiya qiymatining o'zgarish tezligi argument qiymatining o'zgarish tezligiga to'liq tengdir.

3. O‘zgaruvchi va omilning hosilasi shu ko‘rsatkichga teng
sx´ = s
Misol:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Tushuntirish:
Bunday holda, har safar funktsiya argumenti ( X) uning qiymati (y) ichida o'sadi Bilan bir marta. Shunday qilib, argumentning o'zgarish tezligiga nisbatan funktsiya qiymatining o'zgarish tezligi qiymatga to'liq tengdir. Bilan.

Bundan kelib chiqadi
(cx + b)" = c
ya’ni y=kx+b chiziqli funksiyaning differensiali to‘g‘ri chiziq qiyaligiga (k) teng.

4. O'zgaruvchining modul hosilasi bu o'zgaruvchining moduliga bo'lgan qismiga teng
|x|"= x / |x| x ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Tushuntirish:
O'zgaruvchining hosilasi (2-formulaga qarang) birga teng bo'lganligi sababli, modul hosilasi faqat boshlang'ich nuqtasini kesib o'tishda funktsiyaning o'zgarish tezligi qiymatining teskari tomonga o'zgarishi bilan farqlanadi (grafik chizishga harakat qiling). y = |x| funksiyasini aniqlang va o'zingiz ko'ring.Bu aniq qiymat va x / |x| ifodasini qaytaradi.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bitta. Ya'ni, x o'zgaruvchisining manfiy qiymatlari bilan, argumentdagi har bir o'zgarish bilan, funktsiya qiymati aynan bir xil qiymatga kamayadi va ijobiy qiymatlar bilan, aksincha, ortadi, lekin aniq bir xil qiymat.

5. O‘zgaruvchining quvvat hosilasi bu kuchning soni va quvvatdagi o'zgaruvchining ko'paytmasiga teng bo'lib, bittaga kamayadi
(x c)"= cx c-1, x c va cx c-1 aniqlangan va c ≠ 0 bo'lishi sharti bilan
Misol:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Formulani eslab qolish uchun:
Ko'paytma sifatida "pastga" o'zgaruvchisining ko'rsatkichini oling va keyin ko'rsatkichni bittaga kamaytiring. Misol uchun, x 2 uchun - ikkitasi x dan oldinda edi, keyin esa kamaytirilgan quvvat (2-1 = 1) bizga faqat 2x berdi. Xuddi shu narsa x 3 uchun sodir bo'ldi - biz uchlikni pasaytiramiz, uni bir marta kamaytiramiz va kub o'rniga biz kvadratga ega bo'lamiz, ya'ni 3x 2 . Bir oz "ilmiy emas", lekin eslash juda oson.

6.Kasr hosilasi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Misol:
Chunki kasrni salbiy kuchga ko'tarish sifatida ifodalash mumkin
(1/x)" = (x -1)" , keyin hosilalar jadvalining 5-qoidasidan formulani qo'llashingiz mumkin.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Kasr hosilasi ixtiyoriy darajadagi o'zgaruvchan bilan maxrajda
(1/x c)" = - c / x c+1
Misol:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ildiz hosilasi(kvadrat ildiz ostidagi o'zgaruvchining hosilasi)
(√x)" = 1 / (2√x) yoki 1/2 x -1/2
Misol:
(√x)" = (x 1/2)" shuning uchun siz 5-qoidadagi formulani qo'llashingiz mumkin
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Ixtiyoriy darajadagi ildiz ostidagi o'zgaruvchining hosilasi
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)