Vektori na avionu iu svemiru. II.6

Sve definicije i teoreme vezane za vektore u ravni važe i za prostor. Podsjećamo na glavne definicije.

Da bismo definisali vektor koji nam je potreban

Definicija

Smjerni segment naziva se uređeni par tačaka u prostoru. Usmjereni segmenti se nazivaju jednaka ako imaju istu dužinu i pravac.

Definicija

Vector je skup svih jednako usmjerenih segmenata.

Vektori se obično označavaju malim latiničnim slovima sa strelicom iznad: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Usmjereni segmenti su označeni označavanjem početka i kraja, također strelicom odozgo: $\vec(AB)$.

Vektor je skup koji se sastoji od beskonačnog broja elemenata. Često se usmjereni segment naziva "vektor". Ako je $\vec(AB) \in \vec(a)$, onda se kaže da usmjereni segment $\vec(AB)$ predstavlja vektor $\vec(a)$. Istovremeno, na crtežu se crta usmjereni segment, a za njega kažu "vektor". Na primjer, kada kažemo "odmaknite vektor $\vec(r)$ od tačke $O$, mislimo da konstruiramo usmjereni segment $\vec(OR)$ koji predstavlja vektor $\vec(r) $.

Definicija

Vektori se nazivaju jednaka, ako su usmjereni segmenti koji ih prikazuju jednaki.

Na vektorima možete izvoditi operacije sabiranja i oduzimanja, kao i množiti dati vektor realnim brojem.

Pravilo trokuta je poznato iz planimetrije: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,

pravilo paralelograma: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$

i pravilo poligonalnog sabiranja vektora za ravan, koji su tačni i u prostoru.

Pravilo polilinije za sabiranje vektora

Ako su $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ proizvoljne tačke u prostoru, tada

$ \vec(A_1A_2) + \dots + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $

Osim toga, u svemiru je to istina

Pravilo kutije

Ako je $\vec(OA) \u \vec(a)$, $\vec(OB) \u \vec(b)$, $\vec(OC) \u \vec(c)$, onda, konstruiranjem na usmjerenim segmentima paralelepipeda $OAEBCFDG$, može se pronaći usmjereni segment $\vec(OD)$ koji predstavlja vektor $\vec(d)$, koji je zbir vektora $\vec(a), \, \vec(b), \, \vec(c).$

Biće i zadataka za nezavisna odluka na koje možete vidjeti odgovore.

Vektorski koncept

Prije nego što naučite sve o vektorima i operacijama na njima, prilagodite se rješavanju jednostavnog problema. Postoji vektor vašeg preduzeća i vektor vaših inovativnih sposobnosti. Vektor preduzetništva vodi vas do cilja 1, a vektor inovativnih sposobnosti - do cilja 2. Pravila igre su takva da se ne možete kretati u pravcima ova dva vektora odjednom i postići dva cilja odjednom. Vektori su u interakciji, ili, govoreći matematički, neka operacija se izvodi na vektorima. Rezultat ove operacije je vektor "Rezultat" koji vas vodi do cilja 3.

Sada mi recite: rezultat koje operacije na vektorima "Preduzeće" i "Inovativne sposobnosti" je vektor "Rezultat"? Ako ne možete reći odmah, nemojte se obeshrabriti. Dok budete proučavali ovu lekciju, moći ćete odgovoriti na ovo pitanje.

Kao što smo vidjeli gore, vektor nužno dolazi iz neke tačke A u pravoj liniji do neke tačke B. Prema tome, svaki vektor ima ne samo numeričku vrijednost - dužinu, već i fizički i geometrijski - smjer. Iz ovoga je izvedena prva, najjednostavnija definicija vektora. Dakle, vektor je usmjereni segment koji ide iz tačke A do tačke B. Označava se ovako:

I za početak drugačije vektorske operacije , moramo se upoznati sa još jednom definicijom vektora.

Vektor je vrsta reprezentacije tačke do koje se dolazi iz neke početne tačke. Na primjer, trodimenzionalni vektor se obično piše kao (x, y, z) . Jednostavno rečeno, ovi brojevi predstavljaju koliko daleko morate ići u tri različita smjera da biste došli do točke.

Neka je dat vektor. Gde x = 3 (desna ruka pokazuje desno) y = 1 (lijeva ruka pokazuje naprijed) z = 5 (ispod tačke se nalaze merdevine koje vode prema gore). Iz ovih podataka, tačku ćete pronaći hodajući 3 metra u smjeru koji pokazuje desna ruka, zatim 1 metar u smjeru koji pokazuje lijevom rukom, a zatim vas čekaju ljestve i penjući se 5 metara, konačno ćete pronaći sebe na krajnjoj tački.

Svi ostali termini su dorade prethodno predstavljenog objašnjenja, neophodnih za različite operacije nad vektorima, odnosno za rješavanje praktičnih problema. Prođimo kroz ove rigoroznije definicije, zadržavajući se na tipičnim vektorskim problemima.

Fizički primjeri vektorske veličine mogu biti pomak materijalne tačke koja se kreće u prostoru, brzina i ubrzanje ove tačke, kao i sila koja na nju djeluje.

geometrijski vektor predstavljen u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru u obliku usmjereni segment. Ovo je segment koji ima početak i kraj.

Ako a A je početak vektora, i B je njegov kraj, tada je vektor označen simbolom ili jednim malim slovom . Na slici je kraj vektora označen strelicom (slika 1)

Dužina(ili modul) geometrijskog vektora je dužina segmenta koji ga generiše

Dva vektora se nazivaju jednaka , ako se mogu kombinovati (kada se pravci poklapaju) paralelnim prevođenjem, tj. ako su paralelni, pokazuju u istom smjeru i imaju jednake dužine.

U fizici se često razmatra zakačeni vektori, tačka primjene, dužina i smjer. Ako tačka primjene vektora nije bitna, onda se može prenijeti, zadržavajući dužinu i smjer u bilo koju tačku u prostoru. U ovom slučaju vektor se zove besplatno. Slažemo se samo da uzmemo u obzir slobodni vektori.

Linearne operacije nad geometrijskim vektorima

Pomnožite vektor brojem

Vektorski proizvod po broju Vektorom se naziva vektor dobijen iz vektora rastezanjem (u ) ili skupljanjem (u ) puta, a smjer vektora je sačuvan ako je , i obrnut ako . (sl. 2)

Iz definicije slijedi da se vektori i = uvijek nalaze na jednoj ili paralelnoj liniji. Takvi vektori se nazivaju kolinearno. (Također možete reći da su ovi vektori paralelni, ali u vektorskoj algebri je uobičajeno reći "kolinearno".) Isto vrijedi i obrnuto: ako su vektori i kolinearni, onda su povezani relacijom

Dakle, jednakost (1) izražava uslov kolinearnosti dva vektora.

Vektorsko sabiranje i oduzimanje

Kada dodajete vektore, to morate znati suma vektora i naziva se vektor, čiji se početak poklapa sa početkom vektora, a kraj - sa krajem vektora, pod uslovom da je početak vektora vezan za kraj vektora. (sl. 3)

Ova definicija se može distribuirati na bilo koji konačan broj vektora. Neka u prostoru dat n slobodni vektori. Prilikom sabiranja više vektora, njihov zbir se uzima kao vektor zatvaranja, čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora, a kraj s krajem posljednjeg vektora. Odnosno, ako početak vektora priložimo kraju vektora, a početak vektora kraju vektora, itd. i, konačno, do kraja vektora - početka vektora, tada je zbir ovih vektora završni vektor , čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora , a čiji se kraj poklapa sa krajem posljednjeg vektora . (sl. 4)

Pojmovi se nazivaju komponente vektora, a formulirano pravilo je pravilo poligona. Ovaj poligon možda nije ravan.

Kada se vektor pomnoži sa brojem -1, dobije se suprotan vektor. Vektori i imaju istu dužinu i suprotne smjerove. Njihova suma daje null vektor, čija je dužina nula. Smjer nultog vektora nije definiran.

U vektorskoj algebri nema potrebe posebno razmatrati operaciju oduzimanja: oduzeti vektor od vektora znači vektoru dodati suprotni vektor, tj.

Primjer 1 Pojednostavite izraz:

.

,

to jest, vektori se mogu sabirati i množiti brojevima na isti način kao i polinomi (posebno, također problemi za pojednostavljivanje izraza). Obično se javlja potreba za pojednostavljivanjem linearno sličnih izraza s vektorima prije izračunavanja proizvoda vektora.

Primjer 2 Vektori i služe kao dijagonale paralelograma ABCD (slika 4a). Izrazite u terminima i vektori , , i , koji su strane ovog paralelograma.

Rješenje. Tačka presjeka dijagonala paralelograma prepolovi svaku dijagonalu. Dužine vektora potrebne u uvjetu zadatka nalaze se ili kao polovina zbroja vektora koji tvore trokut sa željenim, ili kao polovina razlika (ovisno o smjeru vektora koji služi kao dijagonala), ili, kao u drugom slučaju, polovinu sume uzete sa predznakom minus. Rezultat su vektori potrebni za uvjet problema:

Postoje svi razlozi da vjerujemo da ste sada ispravno odgovorili na pitanje o vektorima "Preduzeće" i "Inovativne sposobnosti" na početku ove lekcije. Tačan odgovor: ovi vektori su podvrgnuti operaciji sabiranja.

Sami rješavajte probleme na vektorima, a zatim pogledajte rješenja

Kako pronaći dužinu zbira vektora?

Ovaj problem zauzima posebno mjesto u operacijama s vektorima, jer uključuje upotrebu trigonometrijska svojstva. Recimo da imate zadatak kao što je sljedeći:

S obzirom na dužinu vektora i dužina zbira ovih vektora . Pronađite dužinu razlike ovih vektora.

Rješenja ovog i drugih sličnih problema i objašnjenja kako ih riješiti - u lekciji " Sabiranje vektora: dužina zbira vektora i kosinus teorema ".

A rješenje takvih problema možete provjeriti na Online kalkulator "Nepoznata stranica trokuta (vektorski sabiranje i kosinus teorema)" .

Gdje su produkti vektora?

Proizvodi vektora sa vektorom nisu linearne operacije i razmatraju se odvojeno. I imamo lekcije "Tačkasti proizvod vektora" i "Vektorski i mješoviti proizvod vektora".

Projekcija vektora na osu

Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

Kao što je poznato, projekcija tačke A na pravoj (ravan) je osnova okomice spuštene iz ove tačke na pravu (ravninu).

Neka - proizvoljan vektor (slika 5), ​​i i - projekcije njegovog početka (tačke A) i kraj (tačke B) po osovini l. (Za izgradnju projekcije tačke A) povucite pravo kroz tačku A ravan okomita na pravu. Presjek prave i ravni će odrediti potrebnu projekciju.

Komponenta vektora na l osi naziva se takav vektor koji leži na ovoj osi, čiji se početak poklapa s projekcijom početka, a kraj - s projekcijom kraja vektora.

Projekcija vektora na osu l nazvao broj

,

jednaka dužini vektora komponente na ovoj osi, uzeta sa znakom plus ako se smjer komponente poklapa sa smjerom ose l, i sa znakom minus ako su ovi pravci suprotni.

Glavna svojstva vektorskih projekcija na osi:

1. Projekcije jednakih vektora na istu osu su jednake jedna drugoj.

2. Kada se vektor pomnoži sa brojem, njegova projekcija se množi sa istim brojem.

3. Projekcija sume vektora na bilo koju osu jednaka je zbiru projekcija na istu osu članova vektora.

4. Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

.

Rješenje. Projektujmo vektore na osu l kao što je definisano u teorijskoj referenci iznad. Sa slike 5a je očigledno da je projekcija zbira vektora jednaka zbiru projekcija vektora. Izračunavamo ove projekcije:

Nalazimo konačnu projekciju zbira vektora:

Odnos vektora sa pravougaonim Dekartovim koordinatnim sistemom u prostoru

Upoznavanje sa pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru odvijao se u odgovarajućoj lekciji, po mogućnosti otvorite ga u novom prozoru.

U uređenom sistemu koordinatnih osa 0xyz osa Ox pozvao x-osa, osa 0g – y-osa, i os 0z – aplicirana osovina.

sa proizvoljnom tačkom M vektor vektorske veze

pozvao radijus vektor bodova M i projektuju ga na svaku od koordinatnih ose. Označimo vrijednosti odgovarajućih projekcija:

Brojevi x, y, z pozvao koordinate tačke M, odnosno apscisa, ordinate i applique, i zapisuju se kao uređena tačka brojeva: M(x; y; z)(Sl. 6).

Zove se vektor jedinične dužine čiji se smjer poklapa sa smjerom ose jedinični vektor(ili ortom) osovine. Označiti sa

Prema tome, jedinični vektori koordinatnih osa Ox, Oy, Oz

Teorema. Bilo koji vektor se može razložiti na jedinične vektore koordinatnih osa:

(2)

Jednakost (2) naziva se ekspanzija vektora duž koordinatnih osa. Koeficijenti ove ekspanzije su projekcije vektora na koordinatne ose. Dakle, koeficijenti ekspanzije (2) vektora duž koordinatnih osa su koordinate vektora.

Nakon odabira određenog koordinatnog sistema u prostoru, vektor i trojka njegovih koordinata jednoznačno određuju jedan drugog, pa se vektor može zapisati u obliku

Vektorske reprezentacije u obliku (2) i (3) su identične.

Stanje kolinearnih vektora u koordinatama

Kao što smo već primijetili, vektori se nazivaju kolinearni ako su povezani relacijom

Neka vektori . Ovi vektori su kolinearni ako su koordinate vektora povezane relacijom

,

odnosno koordinate vektora su proporcionalne.

Primjer 6 Zadani vektori . Da li su ovi vektori kolinearni?

Rješenje. Hajde da saznamo omjer koordinata ovih vektora:

.

Koordinate vektora su proporcionalne, dakle, vektori su kolinearni ili, što je isto, paralelni.

Kosinus dužine i smjera vektora

Zbog međusobne okomitosti koordinatnih osa, dužina vektora

jednaka je dužini dijagonale pravokutnog paralelepipeda izgrađenog na vektorima

a izražava se jednakošću

(4)

Vektor je u potpunosti definiran specificiranjem dvije tačke (početna i krajnja), tako da se koordinate vektora mogu izraziti u terminima koordinata ovih tačaka.

Neka je početak vektora u datom koordinatnom sistemu u tački

a kraj je na mestu

Od jednakosti

Prati to

ili u koordinatnom obliku

shodno tome, koordinate vektora jednake su razlikama istoimenih koordinata kraja i početka vektora . Formula (4) u ovom slučaju ima oblik

Određuje se smjer vektora kosinus smjera . Ovo su kosinusi uglova koje vektor pravi sa osama Ox, Oy i Oz. Označimo ove uglove redom α , β i γ . Tada se kosinusi ovih uglova mogu naći po formulama

Kosinusi smjera vektora su također koordinate vektora vektora, a time i vektora vektora

.

S obzirom da je dužina vektorskog vektora jednaka jednoj jedinici, tj.

,

dobijamo sljedeću jednakost za kosinuse smjera:

Primjer 7 Pronađite dužinu vektora x = (3; 0; 4).

Rješenje. Dužina vektora je

Primjer 8 Dati bodovi:

Saznajte da li je trokut izgrađen na ovim tačkama jednakokračan.

Rješenje. Koristeći formulu dužine vektora (6), nalazimo dužine stranica i saznajemo da li su dvije jednake:

Dva jednake strane nađeno, dakle, ne treba tražiti dužinu treće stranice, a dati trougao je jednakokračan.

Primjer 9 Pronađite dužinu vektora i njegove kosinuse smjera ako .

Rješenje. Vektorske koordinate su date:

.

Dužina vektora jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata vektorskih koordinata:

.

Pronalaženje kosinusa smjera:

Sami riješite problem na vektorima, a zatim pogledajte rješenje

Operacije nad vektorima date u koordinatnom obliku

Neka su data dva vektora i data njihovim projekcijama:

Naznačimo radnje na ovim vektorima.

Vektori Vektor u prostoru je usmjereni segment, tj. segment sa svojim početkom i krajem. Dužina, ili modul, vektora je dužina odgovarajućeg segmenta. Duljina vektora se označava u skladu s tim. Za dva vektora se kaže da su jednaka ako imaju istu dužinu i smjer. Vektor sa početkom u tački A i krajem u tački B označava se i prikazuje strelicom sa početkom u tački A i krajem u tački B. Razmatraju se i nulti vektori kod kojih se početak poklapa sa krajem. Svi nulti vektori se smatraju jednakim jedni drugima. Oni su označeni i pretpostavlja se da je njihova dužina nula.

Sabiranje vektora Operacija sabiranja je definirana za vektore. Da bi se dodala dva vektora i, vektor se odvaja tako da se njegov početak poklapa sa krajem vektora. Vektor čiji se početak poklapa sa početkom vektora, a kraj sa krajem vektora, naziva se zbir vektora i označava se

Množenje vektora brojem Označava se proizvod vektora brojem t. Po definiciji, proizvod vektora brojem -1 naziva se vektor suprotan i označava se po definiciji, vektor ima smjer suprotan od vektora i Proizvod vektora brojem t je vektor čija je dužina jednaka , a smjer ostaje isti ako je t > 0 i mijenja se u suprotan ako je t 0 i obrnut ako je t

Svojstva Razlika vektora i naziva se vektor, koji se označava Za množenje vektora brojem vrijede svojstva slična svojstvima množenja brojeva, i to: Svojstvo 1. (asocijativni zakon). Svojstvo 2. (prvi distributivni zakon). Svojstvo 3. (drugi distributivni zakon).

U članku će se raspravljati o tome što je vektor, što je to u geometrijskom smislu, uvest ćemo rezultirajuće koncepte.

Počnimo sa definicijom:

Definicija 1

Vector je usmjeren segment.

Na osnovu definicije, pod vektorom u geometriji je segment na ravni ili u prostoru koji ima pravac, a ovaj pravac je zadan početkom i krajem.

U matematici se za označavanje vektora obično koriste mala latinična slova, ali se iznad vektora uvijek stavlja mala strelica, na primjer a → . Ako su granične tačke vektora poznate - njegov početak i kraj, na primjer A i B, tada se vektor označava kao A B →.

Definicija 2

Ispod nulti vektor 0 → razumećemo bilo koju tačku ravni ili prostora.

Iz definicije postaje očigledno da nulti vektor može imati bilo koji smjer na ravni iu prostoru.

Dužina vektora

Definicija 3

Ispod dužina vektora A B → znači broj veći ili jednak 0 i jednak dužini segmenta AB.

Dužina vektora A B → obično se označava kao A B → .

Koncepti modula vektora i dužine vektora su ekvivalentni, jer se njegova oznaka poklapa sa predznakom modula. Stoga se dužina vektora naziva i njegovim modulom. Međutim, ispravnije je koristiti termin "dužina vektora". Očigledno, dužina nul-vektora poprima vrijednost nula.

Kolinearnost vektora

Definicija 4

Zovu se dva vektora koji leže na istoj pravoj ili na paralelnim kolinearno .

Definicija 5

Zovu se dva vektora koji ne leže na istoj pravoj ili na paralelnim nekolinearno .

Treba imati na umu da je nulti vektor uvijek kolinearan s bilo kojim drugim vektorom, jer može ići u bilo kojem smjeru.

Kolinearni vektori se, zauzvrat, mogu podijeliti u dvije klase: kousmjerene i suprotno usmjerene.

Definicija 6

Kosmjerni vektori dva kolinearna vektora nazivaju se a → i b → , čiji su pravci isti, takvi vektori se označavaju kao a → b → .

Definicija 7

Suprotno usmjereni vektori su dva kolinearna vektora a → i b → , čiji se pravci ne poklapaju, tj. su suprotni, takvi vektori se označavaju na sljedeći način: a → ↓ b → .

Smatra se da je nulti vektor kosmjeran prema bilo kojem drugom vektoru.

Definicija 8

Jednako nazivaju se kosmjernim vektori čije su dužine jednake.

Definicija 9

suprotno nazivaju se suprotno usmjereni vektori za koje su njihove dužine jednake.

Gore uvedeni koncepti nam omogućavaju da razmatramo vektore bez pozivanja na određene tačke. Drugim riječima, vektor možete zamijeniti vektorom jednakim njemu, nacrtanim iz bilo koje tačke.

Neka su dva proizvoljna vektora data na ravni ili u prostoru a → i b → . Odvojimo od neke tačke O ravni ili prostora vektore O A → = a → i O B → = b → . Zrake OA i OB formiraju ugao ∠ A O B = φ .

Definicija 9

Ugao φ = ∠ A O B se naziva ugao između vektora a → = O A → i b → = O B → .

Očigledno, ugao između kosmjernih vektora jednak je nula stepeni (ili nula radijana), budući da kosmjerni vektori leže na jednoj ili paralelnim linijama i imaju isti smjer, a ugao između suprotno usmjerenih vektora je 180 stepeni (ili π radijana), jer suprotno usmjereni vektori leže na istim ili paralelnim linijama, ali imaju suprotne smjerove.

Definicija 10

Perpendicular nazivaju se dva vektora, ugao između kojih je jednak 90 stepeni (ili π 2 radijana).

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Definicija 1.Vektor u svemiru naziva se usmjereni segment.

Dakle, vektori, za razliku od skalara, imaju dvije karakteristike: dužinu i smjer. Vektore ćemo označavati simbolima , ili a .

(Ovdje ALI i AT- početak i kraj ovog vektora (slika 1)) a AT

Dužina vektora je označena modulo simbolom: .ALI sl.1

Postoje tri tipa vektora definisanih odnosom jednakosti između njih:

Pinned Vectors nazivaju se jednakim ako imaju isti početak i kraj. Primjer takvog vektora je vektor sile.

Klizni vektori nazivaju se jednakim ako se nalaze na istoj pravoj liniji, imaju iste dužine i pravce. Primjer takvih vektora je vektor brzine.

Slobodnoručni ili geometrijski vektori smatraju se jednakim ako se mogu kombinirati korištenjem paralelnog prijenosa.

Kurs analitičke geometrije bavi se samo slobodni vektori.

Definicija 2. Poziva se vektor čija je dužina nula nula vektor, ili nula -

vektor.

Očigledno, početak i kraj nultog vektora se poklapaju. Nulti vektor nema određeni smjer ili ga ima bilo koji smjer.

Definicija 3. Zovu se dva vektora koji leže na istoj pravoj ili paralelnoj

kolinearno(Sl. 2). Odrediti:
.a

b

Definicija 4. Zovu se dva kolinearna i jednako usmjerena vektora

kosmjeran. Odrediti:
.

Sada možemo dati striktnu definiciju jednakosti slobodnih vektora:

Definicija 5. Za dva slobodna vektora se kaže da su jednaka ako su kosmjerna i imaju

iste dužine.

Definicija 6. Zovu se tri vektora koji leže u istoj ili paralelnoj ravni

komplanarno.

Dva okomiti vektor pozvao međusobno ortogonalne:
.

Definicija 7. Vektor jedinične dužine se zove jedinični vektor ili orth.

Orth kosmjeran prema vektoru različitom od nule a pozvao vektorski vektora :e a .

§ 2. Linearne operacije nad vektorima.

Na skupu vektora definirane su linearne operacije: zbrajanje vektora i množenje vektora brojem.

I. Vektorsko sabiranje.

Zbir 2 - x vektora je vektor čiji se početak poklapa sa početkom prvog, a kraj sa krajem drugog, pod uslovom da se početak drugog poklapa sa krajem prvog.

L lako je vidjeti da je zbir dva vektora definirana sa

tako (slika 3a), poklapa se sa zbirom vektora,

izgrađen po pravilu paralelograma (slika 6). b

Međutim, ovo pravilo vam omogućava da gradite a

zbir bilo kog broja vektora (slika 3b).

a + b

a

b a + b + c

sl.3b c