1.1 Výpočet ploch ve starověku

1.2 Různé přístupy ke studiu pojmů „plocha“, „polygon“, „plocha polygonu“

1.2.1 Pojem oblasti. Vlastnosti oblasti

1.2.2 Pojem mnohoúhelník

1.2.3 Pojem plochy polygonu. Popisná definice

1.3 Různé vzorce pro oblasti polygonů

1.4 Odvození vzorců oblasti polygonu

1.4.1 Plocha trojúhelníku. Heronův vzorec

1.4.2 Plocha obdélníku

1.4.3 Plocha lichoběžníku

1.4.4 Plocha čtyřúhelníku

1.4.5 Univerzální vzorec

1.4.6 Oblast n-úhelníku

1.4.7 Výpočet plochy mnohoúhelníku ze souřadnic jeho vrcholů

1.4.8 Výběr vzorce

1.5 Pythagorova věta o součtu ploch čtverců postavených na nohách pravoúhlý trojuhelník

1.6 Ekvivalence trojúhelníků. Bogliai-Gervinova věta

1.7 Poměr ploch podobných trojúhelníků

1.8 Obrazce s největší plochou

1.8.1 Lichoběžník nebo obdélník

1.8.2 Pozoruhodná vlastnost čtverce

1.8.3 Pozemky různého tvaru

1.8.4 Trojúhelník s největší plochou

Kapitola 2. Metodologické rysy studia oblastí polygonů v matematických třídách

2.1 Tematické plánování a rysy výuky ve třídách s hloubkovým studiem matematiky

2.2 Metodika lekce

2.3 Výsledky experimentálních prací

Závěr

Literatura

Úvod

Téma „Plocha polygonů“ je nedílnou součástí školního kurzu matematiky, což je zcela přirozené. Historicky je samotný vznik geometrie spojen s potřebou porovnávat pozemky té či oné formy. Zároveň je třeba poznamenat, že možnosti vzdělávání pro odhalování tohoto tématu na střední škole nejsou zdaleka plně využívány.

Hlavním úkolem výuky matematiky ve škole je zajistit silné a vědomé zvládnutí systému studenty. matematické znalosti a dovednosti nezbytné v každodenním životě a práci každého člena moderní společnosti, dostatečné ke studiu příbuzných oborů a dalšímu vzdělávání.

Hluboké studium matematiky spolu s řešením hlavního úkolu zajišťuje u studentů formování trvalého zájmu o předmět, identifikaci a rozvoj jejich matematických schopností, orientaci na profese, které s matematikou významně souvisí, a příprava na studium na vysoké škole.

Kvalifikační práce zahrnuje náplň kurzu matematiky všeobecně vzdělávací školy a řadu doplňujících otázek, které s tímto kurzem přímo navazují a prohlubují jej v hlavních ideových liniích.

Zařazení doplňujících otázek slouží dvěma vzájemně souvisejícím účelům. Na jedné straně jde o vytvoření, ve spojení s hlavními úseky kurzu, základny pro naplnění zájmů a rozvíjení schopností studentů se zálibou v matematice, na straně druhé o naplnění smysluplných mezer v hlavní kurz, který dává obsahu hloubkového studia nezbytnou integritu.

Kvalifikační práce se skládá z úvodu, dvou kapitol, závěru a citované literatury. První kapitola pojednává o teoretických základech pro studium oblastí polygonů a druhá kapitola se zabývá přímo metodologické rysy studium oblastí.

Kapitola 1

1.1Výpočet ploch ve starověku

Základy geometrických znalostí souvisejících s měřením ploch se ztrácejí v hlubinách tisíciletí.

Před 4 - 5 tisíci lety byli Babyloňané schopni určit oblast obdélníku a lichoběžníku ve čtvercových jednotkách. Čtverec dlouho sloužil jako standard pro měření ploch díky mnoha svým pozoruhodným vlastnostem: stejné strany, stejné a pravé úhly, symetrie a všeobecná dokonalost tvaru. Čtverce lze snadno postavit, nebo můžete vyplnit rovinu bez mezer.

Ve starověké Číně byl měřítkem plochy obdélník. Když zedníci určili plochu obdélníkové domovní zdi, vynásobili výšku a šířku zdi. Toto je uznávaná definice v geometrii: plocha obdélníku se rovná součinu jeho sousedních stran. Obě tyto strany musí být vyjádřeny ve stejných lineárních jednotkách. Jejich součinem bude plocha obdélníku vyjádřená v odpovídajících čtvercových jednotkách. Řekněme, že pokud se výška a šířka stěny měří v decimetrech, pak součin obou měření bude vyjádřen v decimetrech čtverečních. A pokud je plocha každého obkladového pozemku decimetr čtvereční, pak výsledný produkt udává počet dlaždic potřebných pro obklad. Vyplývá to z tvrzení, které je základem měření ploch: plocha obrazce složeného z neprotínajících se obrazců se rovná součtu jejich ploch.

Staří Egypťané před 4 000 lety používali k měření plochy obdélníku, trojúhelníku a lichoběžníku téměř stejné techniky jako my: základna trojúhelníku byla rozdělena na polovinu a vynásobena výškou; u lichoběžníku byl součet rovnoběžných stran rozdělen na polovinu a vynásoben výškou atd. Pro výpočet plochy

čtyřúhelník se stranami (obr. 1.1), byl použit vzorec (1.1).

těch. poloviční součty protilehlých stran byly násobeny.

Tento vzorec je zjevně nesprávný pro jakýkoli čtyřúhelník, vyplývá z něj zejména, že plochy všech kosočtverců jsou stejné. Mezitím je zřejmé, že plochy takových kosočtverců závisí na velikosti úhlů ve vrcholech. Tento vzorec je platný pouze pro obdélník. S jeho pomocí můžete přibližně vypočítat plochu čtyřúhelníků, ve kterých jsou úhly blízko vpravo.

K určení oblasti

rovnoramenný trojúhelník (obr. 1.2), ve kterém Egypťané používali přibližný vzorec:
(1.2) Obr. 1.2 Chyba v tomto případě je tím menší, čím menší je rozdíl mezi stranou a výškou trojúhelníku, jinými slovy, čím blíže je vrchol (a) k základně výšky od. Proto je přibližný vzorec (1.2) použitelný pouze pro trojúhelníky s relativně malým vrcholovým úhlem.

Ale již staří Řekové věděli, jak správně najít oblasti mnohoúhelníků. Euklides ve svých Živlech nepoužívá slovo „plocha“, protože samotným slovem „figura“ rozumí část roviny ohraničené tou či onou uzavřenou linií. Euklides nevyjadřuje výsledek měření plochy číslem, ale porovnává plochy různé postavy mezi sebou.

Stejně jako ostatní vědci starověku se Euklides zabývá přeměnou některých postav v jiné, velikostí jsou si rovny. Plocha složeného obrázku se nezmění, pokud jsou jeho části uspořádány jinak, ale bez křížení. Proto je například možné na základě vzorců pro oblast obdélníku najít vzorce pro oblasti jiných obrazců. Trojúhelník je tedy rozdělen na takové části, ze kterých pak můžete vytvořit obdélník o stejné ploše. Z této konstrukce vyplývá, že plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho základny a výšky. Při takovém překreslení zjistí, že plocha rovnoběžníku se rovná součinu základny a výšky, plocha lichoběžníku je součinem poloviny součtu základen a výšky.

Když musí zedníci obkládat stěnu složité konfigurace, mohou určit plochu stěny spočítáním počtu dlaždic, které byly použity na obkládání. Některé dlaždice samozřejmě budou muset být štípané tak, aby okraje obkladu splývaly s okrajem stěny. Počet všech dlaždic, které šly do práce, hodnotí plochu stěny s přebytkem, počet nerozbitých dlaždic - s nevýhodou. S klesající velikostí buněk se snižuje množství odpadu a stále přesněji se počítá plocha stěny, určená počtem dlaždic.

Jedním z pozdně řeckých matematiků – encyklopedistů, jejichž díla se uplatňovala především v přírodě, byl Herón Alexandrijský, který žil v 1. stol. n. E. Jako vynikající inženýr se mu také říkalo „mechanik Heron“. Volavka ve svém díle Dioptrie popisuje různé stroje a praktické měřicí přístroje.

Jedna z Heronových knih byla jím pojmenována „Geometrie“ a je jakousi sbírkou vzorců a odpovídajících problémů. Obsahuje příklady pro výpočet ploch čtverců, obdélníků a trojúhelníků. Heron píše o nalezení plochy trojúhelníku podél jeho stran: „Nechť má například jedna strana trojúhelníku délku 13 měřených šňůr, druhá 14 a třetí 15. Chcete-li najít plochu, proveďte následující . Přidejte 13, 14 a 15; dostanete 42. Polovina z toho je 21. Odečtěte od těchto tří stran jednu po druhé; nejprve odečtěte 13 – zbývá 8, pak 14 – zbývá 7 a nakonec 15 – zbývá 6. Nyní je vynásobte: 21 krát 8 dá 168, vezměte toto 7krát – dostanete 1176 a toto ještě 6krát – vy získejte 7056. Odtud bude odmocnina 84. Tolik měřících šňůr bude v oblasti trojúhelníku.

Převodník jednotek vzdálenosti a délky Převodník jednotek plochy Připojit © 2011-2017 Michail Dovzhik Kopírování materiálů je zakázáno. V online kalkulačce můžete použít hodnoty ve stejných měrných jednotkách! Pokud máte potíže s převodem měrných jednotek, použijte převodník jednotek vzdálenosti a délky a převodník jednotek plochy. Další funkce kalkulátoru plochy čtyřúhelníku

• Mezi vstupními poli se můžete pohybovat stisknutím pravé a levé klávesy na klávesnici.

Teorie. Plocha čtyřúhelníku geometrický obrazec, skládající se ze čtyř bodů (vrcholů), z nichž žádné tři neleží na stejné přímce, a čtyř segmentů (stran) spojujících tyto body ve dvojicích. Čtyřúhelník se nazývá konvexní, pokud segment spojující libovolné dva body tohoto čtyřúhelníku bude uvnitř něj.

Jak najít oblast polygonu?

Vzorec pro určení plochy se určí tak, že se vezme každá hrana mnohoúhelníku AB a vypočítá se plocha trojúhelníku ABO s vrcholem v počátku O přes souřadnice vrcholů. Při obcházení mnohoúhelníku se tvoří trojúhelníky, včetně vnitřku mnohoúhelníku a umístěné mimo něj. Rozdíl mezi součtem těchto oblastí je plocha samotného polygonu.

Proto se vzorec nazývá geodetským vzorcem, protože "kartograf" je na počátku; pokud prochází oblastí proti směru hodinových ručiček, oblast se přidá, pokud je nalevo, a odečte, pokud je napravo z hlediska počátku. Plošný vzorec je platný pro jakýkoli neprotínající se (jednoduchý) mnohoúhelník, který může být konvexní nebo konkávní. Obsah

• 1 Definice
• 2 Příklady
• 3 Složitější příklad
• 4 Vysvětlení názvu
• 5 Viz

Oblast mnohoúhelníku

Pozornost

To může být:

• trojúhelník;
• čtyřúhelník;
• pěti- nebo šestiúhelník a tak dále.

Taková postava bude jistě charakterizována dvěma polohami:

1. Sousední strany nepatří do stejné linie.
2. Nesousedící nemají žádné společné body, to znamená, že se neprotínají.

Abyste pochopili, které vrcholy sousedí, musíte zjistit, zda patří na stejnou stranu. Pokud ano, tak sousední. Jinak mohou být spojeny segmentem, který se musí nazývat úhlopříčka. Lze je kreslit pouze v polygonech, které mají více než tři vrcholy.

Jaké druhy existují? Mnohoúhelník s více než čtyřmi rohy může být konvexní nebo konkávní. Rozdíl druhého je v tom, že některé jeho vrcholy mohou ležet na různých stranách přímky procházející libovolnou stranou mnohoúhelníku.

Jak najít oblast pravidelného a nepravidelného šestiúhelníku?

• Znáte-li délku strany, vynásobte ji 6 a získáte obvod šestiúhelníku: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Dosaďte výsledky do našeho vzorce:
Plocha \u003d 1/2 * obvod * apotéma Plocha \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Vyřešte: Nyní zbývá zjednodušit odpověď, abyste se zbavili odmocnin, a uveďte výsledek v centimetrech čtverečních: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video o tom, jak najít plochu pravidelného šestiúhelníku Existuje několik možností, jak určit plochu nepravidelného šestiúhelníku:

• lichoběžníková metoda.
• Metoda pro výpočet plochy nepravidelných polygonů pomocí souřadnicové osy.
• Způsob dělení šestiúhelníku na jiné tvary.

V závislosti na počátečních údajích, které budete znát, se vybere vhodná metoda.

Důležité

Některé nepravidelné šestiúhelníky se skládají ze dvou rovnoběžníků. Chcete-li najít oblast rovnoběžníku, vynásobte jeho délku jeho šířkou a poté je sečtěte. slavných náměstí. Video o tom, jak najít oblast mnohoúhelníku Rovnostranný šestiúhelník má šest stejných stran a je pravidelným šestiúhelníkem.

Plocha rovnostranného šestiúhelníku se rovná 6 oblastem trojúhelníků, na které je rozdělen pravidelný šestiúhelníkový obrazec. Všechny trojúhelníky v pravidelném šestiúhelníku jsou stejné, takže k nalezení oblasti takového šestiúhelníku bude stačit znát oblast alespoň jednoho trojúhelníku. K nalezení oblasti rovnostranného šestiúhelníku se samozřejmě používá vzorec pro oblast pravidelného šestiúhelníku, popsaný výše.

404 nenalezeno

Zdobení domova, oblečení, kreslení obrázků přispělo k procesu utváření a hromadění informací v oblasti geometrie, které tehdejší lidé získávali empiricky, kousek po kousku a předávali z generace na generaci. Znalost geometrie je dnes nezbytná pro řezače, stavitele, architekta a každého běžného člověka v běžném životě. Proto se musíte naučit, jak vypočítat plochu různých čísel, a nezapomeňte, že každý ze vzorců může být užitečný později v praxi, včetně vzorce pro pravidelný šestiúhelník.
Šestiúhelník je takový polygonální obrazec, jehož celkový počet úhlů je šest. Pravidelný šestiúhelník je šestiúhelníkový obrazec, který má stejné strany. Úhly pravidelného šestiúhelníku jsou také stejné.
V běžném životě se často můžeme setkat s předměty, které mají tvar pravidelného šestiúhelníku.

Kalkulačka plochy nepravidelného polygonu po stranách

Budete potřebovat

• - ruleta;
• — elektronický dálkoměr;
• - list papíru a tužka;
• - kalkulačka.

Pokyn 1 Pokud potřebujete celkovou plochu bytu nebo samostatného pokoje, stačí si přečíst technický pas pro byt nebo dům, zobrazuje záběry jednotlivých pokojů a celkové záběry bytu. 2 Chcete-li změřit plochu obdélníkové nebo čtvercové místnosti, vezměte metr nebo elektronický dálkoměr a změřte délku stěn. Při měření vzdáleností dálkoměrem dbejte na to, aby byl směr paprsku kolmý, jinak mohou být výsledky měření zkresleny. 3 Výslednou délku (v metrech) místnosti pak vynásobte šířkou (v metrech). Výsledná hodnota bude podlahová plocha, měří se v metrech čtverečních.

Vzorec Gaussovy oblasti

Pokud potřebujete vypočítat podlahovou plochu složitější konstrukce, jako je pětiúhelníková místnost nebo místnost s kulatým obloukem, nakreslete schematický náčrt na kus papíru. Poté rozdělte složitý tvar na několik jednoduchých, jako je čtverec a trojúhelník nebo obdélník a půlkruh. Pomocí metru nebo dálkoměru změřte velikost všech stran výsledných obrazců (u kruhu potřebujete znát průměr) a zadejte výsledky do výkresu.

5 Nyní vypočítejte plochu každého tvaru zvlášť. Plocha obdélníků a čtverců se vypočítá vynásobením stran. Chcete-li vypočítat plochu kruhu, rozdělte průměr na polovinu a čtverec (vynásobte jej samotným), poté vynásobte výsledek 3,14.
Pokud chcete jen polovinu kruhu, rozdělte výslednou plochu na polovinu. Chcete-li vypočítat plochu trojúhelníku, najděte P vydělením součtu všech stran 2.

Vzorec pro výpočet plochy nepravidelného mnohoúhelníku

Pokud jsou body číslovány postupně proti směru hodinových ručiček, pak jsou determinanty ve výše uvedeném vzorci kladné a modul v něm lze vynechat; pokud jsou číslovány ve směru hodinových ručiček, budou determinanty záporné. Je to proto, že na vzorec lze pohlížet jako na speciální případ Greenovy věty. Pro aplikaci vzorce potřebujete znát souřadnice vrcholů mnohoúhelníku v kartézské rovině.

Vezměme si například trojúhelník se souřadnicemi ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Vezměte první souřadnici x prvního vrcholu a vynásobte ji souřadnicí y druhého vrcholu a poté vynásobte souřadnici x druhého vrcholu souřadnicí y třetího. Tento postup opakujeme pro všechny vrcholy. Výsledek lze určit podle následujícího vzorce: A tri.

Vzorec pro výpočet plochy nepravidelného čtyřúhelníku

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|), kde xi a yi označují odpovídající souřadnici. Tento vzorec lze získat rozšířením závorek v obecný vzorec pro případ n = 3. Pomocí tohoto vzorce můžete zjistit, že plocha trojúhelníku je poloviční součet 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, což dává 3. Počet proměnných ve vzorci závisí na počtu stran mnohoúhelníku. Například vzorec pro oblast pětiúhelníku bude používat proměnné až do x5 a y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A pro čtveřici - proměnné do x4 a y4: čtveřice.

V tomto článku budeme hovořit o tom, jak vyjádřit oblast mnohoúhelníku, do kterého lze vepsat kruh z hlediska poloměru tohoto kruhu. Okamžitě stojí za zmínku, že ne každý mnohoúhelník může být vepsán do kruhu. Pokud je to však možné, pak se vzorec, podle kterého se vypočítá plocha takového polygonu, stává velmi jednoduchým. Přečtěte si tento článek až do konce nebo se podívejte na přiložený video tutoriál a dozvíte se, jak vyjádřit plochu mnohoúhelníku pomocí poloměru jeho vepsané kružnice.

Vzorec pro oblast mnohoúhelníku z hlediska poloměru vepsané kružnice

Nakreslíme mnohoúhelník A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, ne nutně správný, ale takový, do kterého lze vepsat kruh. Připomenu, že vepsaná kružnice je kružnice, která se dotýká všech stran mnohoúhelníku. Na obrázku je to zelený kruh se středem v bodě Ó:

Jako příklad jsme zde vzali 5-úhelník. Ale ve skutečnosti to není podstatné, protože další důkaz platí jak pro 6-úhelník, tak pro 8-úhelník a obecně pro jakýkoli "gon" libovolně.

Pokud spojíte střed vepsané kružnice se všemi vrcholy mnohoúhelníku, pak se rozdělí na tolik trojúhelníků, kolik je vrcholů v daném mnohoúhelníku. V našem případě: 5 trojúhelníků. Pokud spojíme tečku Ó se všemi body tečnosti vepsané kružnice se stranami mnohoúhelníku získáte 5 segmentů (na obrázku níže se jedná o segmenty Ach 1 , Ach 2 , Ach 3 , Ach 4 a Ach 5), které se rovnají poloměru kružnice a jsou kolmé ke stranám mnohoúhelníku, ke kterému jsou nakresleny. To platí, protože poloměr nakreslený k bodu dotyku je kolmý na tečnu:

Jak najít oblast našeho opsaného mnohoúhelníku? Odpověď je jednoduchá. Je nutné sečíst plochy všech trojúhelníků získaných dělením:

Zvažte, jaká je plocha trojúhelníku. Na obrázku níže je zvýrazněna žlutě:

Rovná se polovině součinu základu A 1 A 2 do výšky Ach 1 nakreslený k této základně. Ale jak jsme již zjistili, tato výška se rovná poloměru vepsané kružnice. To znamená, že vzorec pro oblast trojúhelníku má tvar: , kde r je poloměr vepsané kružnice. Podobně jsou nalezeny plochy všech zbývajících trojúhelníků. V důsledku toho se požadovaná oblast polygonu rovná:

Je vidět, že ve všech termínech tohoto součtu je společný faktor , který lze vyjmout ze závorek. Výsledkem je následující výraz:

To znamená, že v závorkách byl jednoduše součet všech stran mnohoúhelníku, tedy jeho obvodu P. Nejčastěji je v tomto vzorci výraz jednoduše nahrazen výrazem p a nazývat toto písmeno "půlobvod". Výsledkem je, že konečný vzorec je:

To znamená, že plocha mnohoúhelníku, ve které je vepsána kružnice o známém poloměru, se rovná součinu tohoto poloměru a semiperimetru mnohoúhelníku. Toto je výsledek, o který jsme usilovali.

Nakonec poznamenává, že kruh lze vždy vepsat do trojúhelníku, což je zvláštní případ mnohoúhelníku. Proto pro trojúhelník lze tento vzorec použít vždy. U ostatních mnohoúhelníků s více než 3 stranami se nejprve musíte ujistit, že do nich lze vepsat kružnici. Pokud ano, můžete bezpečně použít tento jednoduchý vzorec a najít z něj oblast tohoto mnohoúhelníku.

Připravil Sergey Valerievich

Každý, kdo studoval ve škole matematiku a geometrii, tyto vědy alespoň povrchně zná. Ale postupem času, pokud nejsou praktikovány, jsou znalosti zapomenuty. Mnozí dokonce věří, že jen ztráceli čas studiem geometrických výpočtů. Nicméně se mýlí. Techničtí pracovníci vykonávají každodenní práce spojené s geometrickými výpočty. Pokud jde o výpočet plochy polygonu, tato znalost najde své uplatnění i v životě. Budou potřeba alespoň pro výpočet plochy pozemku. Pojďme se tedy naučit, jak najít oblast polygonu.

Definice mnohoúhelníku

Nejprve si definujme, co je to polygon. Jedná se o plochý geometrický obrazec, který byl vytvořen jako výsledek průniku tří nebo více čar. Další jednoduchá definice: mnohoúhelník je uzavřená křivka. Přirozeně na průsečíku čar vznikají průsečíky, jejich počet se rovná počtu čar, které tvoří mnohoúhelník. Průsečíky se nazývají vrcholy a segmenty vytvořené z přímek se nazývají strany mnohoúhelníku. Sousední segmenty mnohoúhelníku nejsou na stejné přímce. Úsečky, které nesousedí, jsou ty, které neprocházejí společnými body.

Součet obsahů trojúhelníků

Jak najít oblast polygonu? Oblast mnohoúhelníku je vnitřní část roviny, která byla vytvořena v průsečíku segmentů nebo stran mnohoúhelníku. Vzhledem k tomu, že mnohoúhelník je kombinací tvarů, jako je trojúhelník, kosočtverec, čtverec, lichoběžník, neexistuje prostě žádný univerzální vzorec pro výpočet jeho plochy. V praxi je nejuniverzálnější metodou rozdělení mnohoúhelníku na jednodušší obrazce, jejichž oblast není těžké najít. Sečtením součtů ploch těchto jednoduchých obrazců získáme plochu mnohoúhelníku.

Přes oblast kruhu

Ve většině případů má mnohoúhelník pravidelný tvar a tvoří s ním obrazec rovné strany a úhly mezi nimi. Výpočet plochy je v tomto případě velmi jednoduchý pomocí kružnice vepsané nebo opsané. Pokud je plocha kruhu známá, musí se vynásobit obvodem mnohoúhelníku a výsledný produkt se vydělí 2. Výsledkem je vzorec pro výpočet plochy takového mnohoúhelníku : S = ½∙P∙r., kde P je obsah kruhu a r je obvod mnohoúhelníku.

Metoda rozdělení mnohoúhelníku do „pohodlných“ tvarů je v geometrii nejoblíbenější, umožňuje rychle a správně najít oblast mnohoúhelníku. 4. třída střední škola obvykle takové metody studuje.

Lekce ze seriálu" Geometrické algoritmy»

Dobrý den milý čtenáři.

Řešení mnoha úloh výpočetní geometrie je založeno na hledání oblast polygonu. V této lekci odvodíme vzorec pro výpočet plochy mnohoúhelníku pomocí souřadnic jeho vrcholů a napíšeme funkci pro výpočet této plochy.

Úkol. Vypočítejte plochu mnohoúhelníku, daný souřadnicemi jeho vrcholů, ve směru hodinových ručiček.

Informace z výpočetní geometrie

K odvození vzorce pro oblast polygonu potřebujeme informace z výpočetní geometrie, konkrétně koncept orientované oblasti trojúhelníku.

Orientovaná oblast trojúhelníku je obvyklá oblast opatřená znakem. Orientovaná oblast znamení trojúhelníku ABC stejný jako orientovaný úhel mezi vektory a . To znamená, že jeho znaménko závisí na pořadí, ve kterém jsou vrcholy vyjmenovány.

Na rýže. 1 trojúhelník ABC je pravoúhlý trojúhelník. Jeho orientovaná plocha je rovna (je větší než nula, protože dvojice je kladně orientovaná). Stejnou hodnotu lze vypočítat i jiným způsobem.

Nechat Ó je libovolný bod roviny. Na našem obrázku se plocha trojúhelníku ABC získá odečtením ploch OAB a OCA od plochy trojúhelníku OBC. Tak prostě potřebujete přidat orientované oblasti trojúhelníky OAB, OBC a OCA. Toto pravidlo platí pro jakýkoli výběr bodu Ó.

Podobně pro výpočet plochy libovolného mnohoúhelníku je třeba přidat orientované oblasti trojúhelníků

Součet bude plocha mnohoúhelníku, braná se znaménkem plus, pokud je mnohoúhelník při procházení mnohoúhelníku vlevo (obcházení hranice proti směru hodinových ručiček), a se znaménkem mínus, pokud je napravo (přechod ve směru hodinových ručiček). .

Výpočet plochy polygonu byl tedy redukován na nalezení plochy trojúhelníku. Podívejme se, jak to vyjádřit v souřadnicích.

Křížový součin dvou vektorů v rovině je plocha rovnoběžníku postaveného na těchto vektorech.

Vektorový součin vyjádřený pomocí souřadnic vektorů:

Plocha trojúhelníku se bude rovnat polovině této plochy:

Počátek souřadnic je vhodné brát jako bod O, pak se souřadnice vektorů, na základě kterých se vypočítávají orientované oblasti, budou shodovat se souřadnicemi bodů.

Nechť (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - souřadnice vrcholů daného polygonu ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Pak se jeho orientovaná plocha S bude rovnat:

Toto je náš pracovní vzorec, používá se v našem programu.

Pokud byly souřadnice vrcholů uvedeny v pořadí proti směru hodinových ručiček, pak číslo S, vypočítaná podle tohoto vzorce bude kladná. Jinak bude záporná a abychom získali obvyklou geometrickou plochu, musíme vzít její absolutní hodnotu.

Zvažte tedy program pro nalezení oblasti polygonu dané souřadnicemi vrcholů.

Program geom6; Const n_max=200; (max bodů+1) typ b=záznam x,y:skutečný; konec; myArray= pole b; var input:text; A:myArray; s:skutečný; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Vyplnění pole) begin assign(input,"input.pas"); reset(vstup); readln(vstup, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); zavřít(vstup); konec; funkce Square(A:myarray): real; (Výpočet plochy mnohoúhelníku) var i:integer; S: skutečný začít a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; pro i:=1 až n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Čtverec:= S konec; (čtverec) begin (hlavní) Zapmas(n, a); TiskMas(a); S:=čtverec(a); writeln("S= ",s:6:2); konec.

Souřadnice vrcholů jsou čteny ze souboru input.pas., uloženého v poli ALE jako záznamy se dvěma poli. Pro usnadnění obcházení polygonu je do pole zavedeno n + 1 prvků, jejichž hodnota je rovna hodnotě prvního prvku pole.

Vstupní data:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Výstup:
S = 3,91

Vyřešili jsme problém nalezení oblasti polygonu podle souřadnic jeho vrcholů. Úkoly jsou čím dál těžší. Pokud máte k tomuto článku připomínky, nebo přání, napište do komentářů. Budu Vám velmi vděčný za spolupráci.

Uvidíme se na další lekci.