Řešte pro každou hodnotu parametru a určete. Rovnice s parametry

1. Úkol.
Při jakých hodnotách parametru A rovnice ( A - 1)X 2 + 2X + A- 1 = 0 má přesně jeden kořen?

1. Rozhodnutí.
V A= 1 rovnice má tvar 2 X= 0 a má samozřejmě jeden kořen X= 0. Pokud A Tedy č. 1 daná rovnice je čtverec a má jednu odmocninu pro ty hodnoty parametru, pro které je diskriminant čtvercový trojčlen rovná se nule. Přirovnáním diskriminantu k nule získáme rovnici pro parametr A 4A 2 - 8A= 0, odkud A= 0 nebo A = 2.

1. Odpověď: rovnice má jediný kořen at A O(0; 1; 2).

2. Úkol.
Najděte všechny hodnoty parametrů A, pro kterou má rovnice dva různé kořeny X 2 +4sekera+8A+3 = 0.
2. Rozhodnutí.
Rovnice X 2 +4sekera+8A+3 = 0 má dva odlišné kořeny tehdy a jen tehdy D = 16A 2 -4(8A+3) > 0. Dostaneme (po zmenšení společným faktorem 4) 4 A 2 -8A-3 > 0, odkud

2. Odpověď:

A O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) A (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Úkol.
Je známo že
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Graf funkce F 1 (X) v A = 1.
b) V jaké hodnotě A funkční grafy F 1 (X) a F 2 (X) mají jeden společný bod?

3. Řešení.
3.a. Pojďme se transformovat F 1 (X) následujícím způsobem
Graf této funkce A= 1 je znázorněno na obrázku vpravo.
3.b. Ihned si všimneme, že funkce grafy y = kx+b a y = sekera 2 +bx+C (Ač. 0) se protínají v jediném bodě právě tehdy, když kvadratická rovnice kx+b = sekera 2 +bx+C má jeden kořen. Pomocí zobrazení F 1 z 3.a, srovnáme diskriminant rovnice A = 6X-X 2-6 na nulu. Z rovnice 36-24-4 A= 0 dostaneme A= 3. Udělejte totéž s rovnicí 2 X-A = 6X-X 2-6 najít A= 2. Je snadné ověřit, že tyto hodnoty parametrů splňují podmínky problému. Odpovědět: A= 2 nebo A = 3.

4. Úkol.
Najděte všechny hodnoty A, pod nímž množina řešení nerovnice X 2 -2sekera-3A i 0 obsahuje segment .

4. Řešení.
První souřadnice vrcholu paraboly F(X) = X 2 -2sekera-3A je rovný X 0 = A. Z vlastností kvadratické funkce podmínka F(X) i 0 na intervalu je ekvivalentní souhrnu tří systémů
má přesně dvě řešení?

5. Rozhodnutí.
Přepišme tuto rovnici do tvaru X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Toto je kvadratická rovnice, má právě dvě řešení, pokud je její diskriminant striktně větší než nula. Výpočtem diskriminantu dostaneme, že podmínkou pro to, abychom měli právě dva kořeny, je splnění nerovnosti A 2 +A-6 > 0. Řešením nerovnice najdeme A < -3 или A> 2. Je zřejmé, že první z nerovnic nemá řešení v přirozených číslech a nejmenší přirozené řešení druhé je číslo 3.

5. Odpověď: 3.

6. Úkol (10 buněk)
Najděte všechny hodnoty A, pro který graf funkce nebo po zřejmých transformacích, A-2 = | 2-A| . Poslední rovnice je ekvivalentní nerovnosti A já 2.

6. Odpověď: A O; pokud jsou hodnoty parametru a větší než jedna, pak bude mít rovnice dva kořeny.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit rovnice s parametrem?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

1. Soustavy lineárních rovnic s parametrem

Soustavy lineárních rovnic s parametrem se řeší stejnými základními metodami jako konvenční soustavy rovnic: substituční metodou, metodou sčítání rovnic a grafickou metodou. Znalost grafické interpretace lineárních systémů usnadňuje odpověď na otázku o počtu kořenů a jejich existenci.

Příklad 1

Najděte všechny hodnoty pro parametr a, pro který soustava rovnic nemá řešení.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Řešení.

Podívejme se na několik způsobů, jak tento problém vyřešit.

1 způsob. Použijeme vlastnost: soustava nemá řešení, pokud je poměr koeficientů před x roven poměru koeficientů před y, ale není roven poměru volných členů (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Pak máme:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 nebo systém

(a 2–3 = 1,
(a ≠ 2.

Z první rovnice a 2 \u003d 4 tedy, vezmeme-li v úvahu podmínku, že a ≠ 2, dostaneme odpověď.

Odpověď: a = -2.

2 způsobem.Řešíme substituční metodou.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Po odebrání společného faktoru y ze závorek v první rovnici dostaneme:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Systém nemá řešení, pokud první rovnice nemá řešení, tzn

(a 2–4 ​​= 0,
(a - 2 ≠ 0.

Je zřejmé, že a = ±2, ale při zohlednění druhé podmínky je dána pouze odpověď s mínusem.

Odpovědět: a = -2.

Příklad 2

Najděte všechny hodnoty pro parametr a, pro který má soustava rovnic nekonečný počet řešení.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Řešení.

Vlastností, pokud je poměr koeficientů v x a y stejný a je roven poměru volných členů systému, pak má nekonečný počet řešení (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Proto 8/a = a/2 = 2/1. Po vyřešení každé ze získaných rovnic zjistíme, že v tomto příkladu je odpovědí a \u003d 4.

Odpovědět: a = 4.

2. Soustavy racionálních rovnic s parametrem

Příklad 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Řešení.

Vynásobte první rovnici soustavy 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odečtením druhé rovnice od první dostaneme 5|х| = 4 – a. Tato rovnice bude mít jediné rozhodnutí pro a = 4. V ostatních případech bude mít tato rovnice dvě řešení (pro a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpověď: a = 4.

Příklad 4

Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které má systém rovnic jedinečné řešení.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Řešení.

Tento systém vyřešíme pomocí grafické metody. Grafem druhé rovnice systému je tedy parabola, zvednutá podél osy Oy o jeden jednotkový segment. První rovnice definuje množinu přímek rovnoběžných s přímkou ​​y = -x (obrázek 1). Obrázek jasně ukazuje, že systém má řešení, jestliže přímka y = -x + a je tečnou k parabole v bodě se souřadnicemi (-0,5; 1,25). Dosazením těchto souřadnic místo x a y do rovnice zjistíme hodnotu parametru a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpověď: a = 0,75.

Příklad 5

Pomocí substituční metody zjistěte, při jaké hodnotě parametru a má systém jedinečné řešení.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.

Řešení.

Vyjádřete y z první rovnice a dosaďte ji do druhé:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Přivedeme druhou rovnici do tvaru kx = b, která bude mít jednoznačné řešení pro k ≠ 0. Máme:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Čtvercová trojčlenka a 2 + 3a + 2 může být reprezentována jako součin závorek

(a + 2)(a + 1) a vlevo vyjmeme x ze závorek:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Je zřejmé, že a 2 + 3a se nesmí rovnat nule, proto,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, což znamená a ≠ 0 a ≠ -3.

Odpovědět: a ≠ 0; ≠ -3.

Příklad 6

Metodou grafického řešení určete, při jaké hodnotě parametru a má systém jedinečné řešení.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Řešení.

Na základě podmínky postavíme kružnici se středem v počátku souřadnic a poloměrem 3 jednotkových segmentů, je to právě tato kružnice, která stanoví první rovnici systému

x 2 + y 2 = 9. Druhá rovnice soustavy (y = |x| + a) je přerušovaná čára. Používáním obrázek 2 uvažujeme všechny možné případy jeho umístění vzhledem ke kružnici. Je snadné vidět, že a = 3.

Odpověď: a = 3.

Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit soustavy rovnic?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Rovnice používá člověk od pradávna a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. V matematice existují úlohy, ve kterých je třeba hledat řešení lineárních a kvadratických rovnic v obecném tvaru nebo hledat počet kořenů, které rovnice má v závislosti na hodnotě parametru. Všechny tyto úlohy s parametry.

Zvažte následující rovnice jako ilustrativní příklad:

\[y = kx,\] kde \ - proměnné, \ - parametr;

\[y = kx + b,\] kde \ - proměnné, \ - parametr;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] kde \ je proměnná, \[a, b, c\] je parametr.

Řešení rovnice s parametrem znamená zpravidla řešení nekonečné množiny rovnic.

Při dodržení určitého algoritmu však lze snadno vyřešit následující rovnice:

1. Určete "kontrolní" hodnoty parametru.

2. Vyřešte původní rovnici pro [\x\] s hodnotami parametrů definovanými v prvním odstavci.

3. Vyřešte původní rovnici s ohledem na [\x\] s hodnotami parametrů, které se liší od hodnot vybraných v prvním odstavci.

Řekněme, že je dána následující rovnice:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Po analýze počátečních dat je jasné, že \[\ge 0.\]

Modulovým pravidlem \ vyjadřujeme \

Odpověď: \ kde \

Kde mohu vyřešit rovnici s parametrem online?

Rovnici můžete vyřešit na našem webu https: //. Zdarma online řešitel vám umožní vyřešit online rovnici jakékoli složitosti během několika sekund. Jediné, co musíte udělat, je zadat svá data do řešitele. Můžete se také podívat na video návod a naučit se řešit rovnici na našem webu. A pokud máte nějaké dotazy, můžete se jich zeptat v naší skupině Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.