Vzorce pro snížení logaritmů. Výpočet logaritmů, příklady, řešení

Jsou uvedeny hlavní vlastnosti logaritmu, graf logaritmu, definiční obor, množina hodnot, základní vzorce, nárůst a pokles. Zvažuje se nalezení derivace logaritmu. Stejně jako integrál, rozšiřování mocninných řad a reprezentace pomocí komplexních čísel.

Obsah

Doména, množina hodnot, vzestupná, sestupná

Logaritmus je monotónní funkce, takže nemá žádné extrémy. Hlavní vlastnosti logaritmu jsou uvedeny v tabulce.

Doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnot	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónní	monotónně narůstá	monotónně klesá
Nuly, y= 0	x= 1	x= 1
Průsečíky s osou y, x = 0	Ne	Ne
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Soukromé hodnoty

Zavolá se základní 10 logaritmus dekadický logaritmus a je označen takto:

základní logaritmus E volala přirozený logaritmus:

Základní logaritmické vzorce

Vlastnosti logaritmu vyplývající z definice inverzní funkce:

Hlavní vlastnost logaritmů a její důsledky

Vzorec pro náhradu báze

Logaritmus je matematická operace logaritmu. Při logaritmování jsou součiny faktorů převedeny na součty členů.
Potenciace je matematická operace inverzní k logaritmu. Při potenciaci je daný základ povýšen na sílu výrazu, na kterém je potenciace provedena. V tomto případě se součty členů převedou na součiny faktorů.

Důkaz základních vzorců pro logaritmy

Vzorce související s logaritmy vyplývají ze vzorců pro exponenciální funkce az definice inverzní funkce.

Uvažujme vlastnost exponenciální funkce
.
Pak
.
Použijte vlastnost exponenciální funkce
:
.

Dokažme vzorec pro změnu báze.
;
.
Nastavení c = b , máme:

Inverzní funkce

Převrácená hodnota logaritmu základu a je exponenciální funkce s exponentem a.

Pokud, pak

Pokud, pak

Derivace logaritmu

Derivace logaritmu modulo x :
.
Derivát n-tého řádu:
.
Odvození vzorců >> >

Abychom našli derivaci logaritmu, musí být redukován na základnu E.
;
.

Integrální

Integrál logaritmu se vypočítá integrací po částech : .
Tak,

Výrazy z hlediska komplexních čísel

Zvažte funkci komplexních čísel z:
.
Vyjádřit komplexní číslo z přes modul r a argument φ :
.
Potom pomocí vlastností logaritmu máme:
.
Nebo

Nicméně argument φ není jasně definován. Pokud položíme
, kde n je celé číslo,
pak to bude stejné číslo pro různé n.

Proto logaritmus jako funkce komplexní proměnné není jednohodnotovou funkcí.

Rozšíření výkonové řady

Pro , rozšíření probíhá:

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.

Viz také:

\(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)

Pojďme si to vysvětlit jednodušeji. Například \(\log_(2)(8)\) se rovná mocnině, kterou je třeba zvýšit, aby \(2\) získal \(8\). Z toho je zřejmé, že \(\log_(2)(8)=3\).

Příklady:		\(\log_(5)(25)=2\)		protože \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		protože \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		protože \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument a základ logaritmu

Každý logaritmus má následující „anatomii“:

Argument logaritmu se obvykle zapisuje na jeho úrovni a základ se zapisuje v dolním indexu blíže znaménku logaritmu. A tento záznam se čte takto: "logaritmus dvaceti pěti na základ pět."

Jak vypočítat logaritmus?

Chcete-li vypočítat logaritmus, musíte odpovědět na otázku: do jaké míry by měl být základ zvýšen, aby se argument dostal?

například, vypočítejte logaritmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na jakou mocninu je třeba zvýšit \(4\), abyste dostali \(16\)? Pochopitelně to druhé. Tak:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(\sqrt(5)\), aby se dostalo \(1\)? A jaký stupeň dělá z libovolného čísla jednotku? Nula, samozřejmě!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na jakou mocninu musí být \(\sqrt(7)\) zvýšeno, aby se dostalo \(\sqrt(7)\)? V prvním - jakékoli číslo v prvním stupni je rovno samo sobě.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(3\), aby se dostalo \(\sqrt(3)\)? Z toho víme, že se jedná o zlomkovou mocninu, a proto je odmocnina mocninou \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Příklad : Vypočítejte logaritmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rozhodnutí :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musíme najít hodnotu logaritmu, označme ho jako x. Nyní použijeme definici logaritmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Šipka doleva\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Jaké odkazy \(4\sqrt(2)\) a \(8\)? Dvě, protože obě čísla mohou být reprezentována dvojkami: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vlevo používáme vlastnosti stupně: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) a \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Základy se rovnají, přistupujeme k rovnosti ukazatelů
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vynásobte obě strany rovnice \(\frac(2)(5)\)
		Výsledná odmocnina je hodnota logaritmu

Odpovědět : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Proč byl logaritmus vynalezen?

Abychom tomu porozuměli, vyřešme rovnici: \(3^(x)=9\). Stačí spárovat \(x\), aby rovnost fungovala. Samozřejmě, \(x=2\).

Nyní vyřešte rovnici: \(3^(x)=8\) Čemu se x rovná? To je přesně ono.

Ti nejdůmyslnější řekne: "X je o něco méně než dva." Jak přesně se má toto číslo zapsat? Aby odpověděli na tuto otázku, přišli s logaritmem. Díky němu zde může být odpověď zapsána jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chci zdůraznit, že \(\log_(3)(8)\), stejně jako každý logaritmus je jen číslo. Ano, vypadá to nezvykle, ale je to krátké. Protože pokud bychom to chtěli zapsat jako desetinné číslo, vypadalo by to takto: \(1.892789260714.....\)

Příklad : Vyřešte rovnici \(4^(5x-4)=10\)

Rozhodnutí :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) a \(10\) nelze redukovat na stejný základ. Zde se tedy bez logaritmu neobejdete. Použijme definici logaritmu: \(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Otočte rovnici tak, aby x bylo vlevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Před námi. Přesuňte \(4\) doprava. A nebojte se logaritmu, zacházejte s ním jako s normálním číslem.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Vydělte rovnici 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Zde je náš kořen. Ano, vypadá to nezvykle, ale odpověď není zvolena.

Odpovědět : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desetinné a přirozené logaritmy

Jak je uvedeno v definici logaritmu, jeho základna může být jakákoli kladné číslo, kromě jednotky \((a>0, a\neq1)\). A mezi všemi možnými bázemi jsou dva, které se vyskytují tak často, že pro logaritmy s nimi byl vynalezen speciální krátký zápis:

Přirozený logaritmus: logaritmus, jehož základem je Eulerovo číslo \(e\) (rovné přibližně \(2,7182818…\)) a logaritmus je zapsán jako \(\ln(a)\).

Tj, \(\ln(a)\) je totéž jako \(\log_(e)(a)\)

Desetinný logaritmus: Logaritmus, jehož základ je 10, se zapisuje \(\lg(a)\).

Tj, \(\lg(a)\) je totéž jako \(\log_(10)(a)\), kde \(a\) je nějaké číslo.

Základní logaritmická identita

Logaritmy mají mnoho vlastností. Jeden z nich se nazývá „Základní logaritmická identita“ a vypadá takto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tato vlastnost vyplývá přímo z definice. Podívejme se, jak přesně se tento vzorec objevil.

Připomeňme si krátkou definici logaritmu:

jestliže \(a^(b)=c\), pak \(\log_(a)(c)=b\)

To znamená, že \(b\) je totéž jako \(\log_(a)(c)\). Potom můžeme ve vzorci \(a^(b)=c\) místo \(b\) napsat \(\log_(a)(c)\) . Ukázalo se, že \(a^(\log_(a)(c))=c\) - hlavní logaritmická identita.

Můžete najít zbytek vlastností logaritmů. S jejich pomocí můžete zjednodušit a vypočítat hodnoty výrazů s logaritmy, které je obtížné vypočítat přímo.

Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(36^(\log_(6)(5))\)

Rozhodnutí :

Odpovědět : \(25\)

Jak zapsat číslo jako logaritmus?

Jak bylo uvedeno výše, každý logaritmus je pouze číslo. Platí to i naopak: libovolné číslo lze zapsat jako logaritmus. Například víme, že \(\log_(2)(4)\) se rovná dvěma. Potom můžete místo dvou napsat \(\log_(2)(4)\).

Ale \(\log_(3)(9)\) se také rovná \(2\), takže můžete také napsat \(2=\log_(3)(9)\) . Podobně s \(\log_(5)(25)\) as \(\log_(9)(81)\) atd. To znamená, že se ukazuje

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Pokud tedy potřebujeme, můžeme dvojku zapsat jako logaritmus s libovolným základem kdekoli (i v rovnici, dokonce i ve výrazu, dokonce i v nerovnosti) - prostě zapíšeme druhou mocninu základu jako argument.

Stejné je to s trojkou – lze ji zapsat jako \(\log_(2)(8)\), nebo jako \(\log_(3)(27)\), nebo jako \(\log_(4)( 64) \) ... Zde zapíšeme základ v krychli jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A se čtyřmi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A s mínus jedna:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

A s jednou třetinou:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jakékoli číslo \(a\) může být reprezentováno jako logaritmus se základem \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rozhodnutí :

Odpovědět : \(1\)

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a se nerovná 1) je číslo c takové, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimněte si, že logaritmus nezáporného čísla není definován. Také základ logaritmu musí být kladné číslo, které se nerovná 1. Pokud například odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základ -2 logaritmu 4 je 2.

Základní logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je důležité, aby oblasti definice pravé a levé části tohoto vzorce byly různé. Levá strana je definována pouze pro b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá strana je definována pro libovolné b a vůbec nezávisí na a. Použití základní logaritmické "identity" při řešení rovnic a nerovnic tedy může vést ke změně DPV.

Dva zřejmé důsledky definice logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Když zvýšíme číslo a na první mocninu, dostaneme stejné číslo, a když ho zvýšíme na nulovou mocninu, dostaneme jedničku.

Logaritmus součinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chtěl bych varovat školáky před bezmyšlenkovitým používáním těchto vzorců při řešení logaritmických rovnic a nerovnic. Při jejich použití „zleva doprava“ se ODZ zužuje a při přechodu od součtu nebo rozdílu logaritmů k logaritmu součinu nebo kvocientu se ODZ rozšiřuje.

Výraz log a (f (x) g (x)) je skutečně definován ve dvou případech: když jsou obě funkce striktně kladné, nebo když jsou f(x) a g(x) obě menší než nula.

Převedeme-li tento výraz na součet log a f (x) + log a g (x) , jsme nuceni se omezit pouze na případ, kdy f(x)>0 a g(x)>0. Dochází k zúžení rozsahu přípustných hodnot, a to je kategoricky nepřijatelné, protože to může vést ke ztrátě řešení. Podobný problém existuje pro vzorec (6).

Stupeň lze odečíst ze znaménka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A znovu bych rád vyzval k přesnosti. Zvažte následující příklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Levá strana rovnosti je samozřejmě definována pro všechny hodnoty f(x) kromě nuly. Pravá strana je pouze pro f(x)>0! Odebráním výkonu z logaritmu opět zúžíme ODZ. Opačný postup vede k rozšíření rozsahu přípustných hodnot. Všechny tyto poznámky platí nejen pro mocninu 2, ale také pro jakoukoli sudou mocninu.

Vzorec pro přesun na novou základnu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten vzácný případ, kdy se ODZ během převodu nezmění. Pokud jste moudře zvolili základ c (kladný a nerovná se 1), vzorec pro přechod na nový základ je naprosto bezpečný.

Zvolíme-li číslo b jako nový základ c, získáme důležitý konkrétní případ vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Několik jednoduchých příkladů s logaritmy

Příklad 1 Vypočítejte: lg2 + lg50.
Rozhodnutí. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Použili jsme vzorec pro součet logaritmů (5) a definici dekadického logaritmu.

Příklad 2 Vypočítejte: lg125/lg5.
Rozhodnutí. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Použili jsme nový základní přechodový vzorec (8).

Tabulka vzorců souvisejících s logaritmy

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

základní vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

stejné důvody

log6 4 + log6 9.

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme.

Příklady řešení logaritmů

Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Všechna tato pravidla dávají samozřejmě smysl, pokud je dodržen logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Přechod na nový základ

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Viz také:

Základní vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Abyste si zapamatovali exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobek roku narození Lva Tolstého.

Základní vlastnosti logaritmů

Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

Příklady pro logaritmy

Vezměte logaritmus výrazů

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastností 3,5 počítáme

2.

3.

Příklad 2 Najděte x if

Příklad 3. Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Vezměte prosím na vědomí: klíčový bod je zde - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce "Co je to logaritmus"). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny "špatnými" logaritmy, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl při dodržení logaritmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem.

Vzorce logaritmů. Logaritmy jsou příklady řešení.

Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli indikátory - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel mají stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když jsem mluvil o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud vložíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že je možné zaměnit základ a argument logaritmu, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jak jsou vhodné, je možné vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Jmenuje se to takto:

Co se skutečně stane, když se číslo b zvýší natolik, že číslo b v tomto stupni dá číslo a? Správně: toto je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení pravomocí s stejný základ, dostaneme:

Pokud někdo neví, byl to skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a ze samotného základu je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Základem a může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Viz také:

Logaritmus čísla b k základu a označuje výraz. Vypočítat logaritmus znamená najít takovou mocninu x (), při které platí rovnost

Základní vlastnosti logaritmu

Výše uvedené vlastnosti je třeba znát, protože na jejich základě jsou téměř všechny problémy a příklady řešeny na základě logaritmů. Zbývající exotické vlastnosti lze odvodit matematickými manipulacemi s těmito vzorci

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Při výpočtu vzorců pro součet a rozdíl logaritmů (3.4) se setkáváme poměrně často. Zbytek je poněkud složitý, ale v řadě úloh je nepostradatelný pro zjednodušení složitých výrazů a výpočet jejich hodnot.

Běžné případy logaritmů

Některé z běžných logaritmů jsou ty, ve kterých je základ dokonce deset, exponenciální nebo dvojka.
Logaritmus základu deset se obvykle nazývá logaritmus základu deset a je jednoduše označen lg(x).

Ze záznamu je vidět, že základy nejsou v záznamu zapsány. Například

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Abyste si zapamatovali exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobek roku narození Lva Tolstého. Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

A další důležitý logaritmus základny dva je

Derivace logaritmu funkce je rovna jedné dělené proměnnou

Integrální nebo primitivní logaritmus je určen závislostí

Výše uvedený materiál vám postačí k řešení široké třídy problémů souvisejících s logaritmy a logaritmy. Pro asimilaci materiálu uvedu jen několik běžných příkladů ze školních osnov a univerzit.

Příklady pro logaritmy

Vezměte logaritmus výrazů

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastností 3,5 počítáme

2.
Podle rozdílové vlastnosti logaritmů máme

3.
Pomocí vlastností 3.5 najdeme

Zdánlivě složitý výraz využívající řadu pravidel je zjednodušen do formuláře

Nalezení logaritmických hodnot

Příklad 2 Najděte x if

Rozhodnutí. Pro výpočet použijeme vlastnosti 5 a 13 až do posledního členu

Náhradník v záznamu a truchlit

Protože se základy rovnají, dáváme rovnítko mezi výrazy

Logaritmy. První úroveň.

Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Řešení: Vezměte logaritmus proměnné k zápisu logaritmu přes součet členů

Toto je jen začátek seznámení s logaritmy a jejich vlastnostmi. Procvičte si výpočty, obohaťte své praktické dovednosti – získané znalosti budete brzy potřebovat k řešení logaritmických rovnic. Po prostudování základních metod řešení takových rovnic rozšíříme vaše znalosti o další neméně důležité téma - logaritmické nerovnosti ...

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Vezměte prosím na vědomí: klíčový bod je zde - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce "Co je to logaritmus"). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny "špatnými" logaritmy, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl při dodržení logaritmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli indikátory - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel mají stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když jsem mluvil o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud vložíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že je možné zaměnit základ a argument logaritmu, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jak jsou vhodné, je možné vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Jmenuje se to takto:

Co se skutečně stane, když se číslo b zvýší natolik, že číslo b v tomto stupni dá číslo a? Správně: toto je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení mocnin se stejným základem dostaneme:

Pokud někdo neví, byl to skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a ze samotného základu je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Základem a může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Pokračujeme ve studiu logaritmů. V tomto článku budeme hovořit o výpočet logaritmů, tento proces se nazývá logaritmus. Nejprve se budeme zabývat výpočtem logaritmů podle definice. Dále zvažte, jak jsou hodnoty logaritmů nalezeny pomocí jejich vlastností. Poté se zastavíme u výpočtu logaritmů prostřednictvím původně zadaných hodnot dalších logaritmů. Nakonec se naučíme používat tabulky logaritmů. Celá teorie je opatřena příklady s podrobným řešením.

Navigace na stránce.

Počítání logaritmů podle definice

V nejjednodušších případech je možné rychle a snadno provést nalezení logaritmu podle definice. Podívejme se blíže na to, jak tento proces probíhá.

Jeho podstatou je reprezentovat číslo b ve tvaru a c , odkud je podle definice logaritmu číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že podle definice, nalezení logaritmu odpovídá následujícímu řetězci rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu tedy podle definice spočívá v nalezení takového čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhledem k informacím z předchozích odstavců, když je číslo pod znaménkem logaritmu dáno určitým stupněm základny logaritmu, můžete okamžitě uvést, čemu se logaritmus rovná - rovná se exponentu. Ukažme si příklady.

Příklad.

Najděte log 2 2 −3 a také vypočítejte přirozený logaritmus e 5,3.

Rozhodnutí.

Definice logaritmu nám umožňuje hned říci, že log 2 2 −3 = −3 . Číslo pod znaménkem logaritmu se skutečně rovná mocnině od 2 do -3.

Podobně najdeme druhý logaritmus: lne 5,3 =5,3.

Odpovědět:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Pokud číslo b pod znaménkem logaritmu není uvedeno jako mocnina základu logaritmu, pak je třeba pečlivě zvážit, zda je možné přijít s reprezentací čísla b ve tvaru a c . Často je tato reprezentace zcela zřejmá, zvláště když se číslo pod znaménkem logaritmu rovná základně s mocninou 1, nebo 2, nebo 3, ...

Příklad.

Vypočítejte logaritmy log 5 25 a .

Rozhodnutí.

Je snadné vidět, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítat první logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 =2.

Pokračujeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo může být reprezentováno jako mocnina 7: (viz v případě potřeby). Proto, .

Přepišme třetí logaritmus do následujícího tvaru. Nyní to můžete vidět , z čehož vyvozujeme, že . Proto podle definice logaritmu .

Stručně řečeno, řešení by se dalo napsat takto:

Odpovědět:

log 5 25=2, a .

Když je dostatečně velké přirozené číslo ve znaménku logaritmu, není na škodu ho rozložit na prvočinitele. Často pomáhá reprezentovat takové číslo jako nějakou mocninu základu logaritmu, a proto tento logaritmus vypočítat podle definice.

Příklad.

Najděte hodnotu logaritmu.

Rozhodnutí.

Některé vlastnosti logaritmů umožňují okamžitě určit hodnotu logaritmů. Tyto vlastnosti zahrnují vlastnost logaritmu jedničky a vlastnost logaritmu čísla rovného základu: log 1 1=log a a 0 =0 a log a a=log a a 1 =1 . To znamená, že když číslo 1 nebo číslo a je pod znaménkem logaritmu, které se rovná základně logaritmu, pak jsou v těchto případech logaritmy 0 a 1, v tomto pořadí.

Příklad.

Jaké jsou logaritmy a lg10?

Rozhodnutí.

Od , vyplývá z definice logaritmu .

Ve druhém příkladu se číslo 10 pod znaménkem logaritmu shoduje se svým základem, takže desetinný logaritmus deseti je roven jedné, tedy lg10=lg10 1 =1 .

Odpovědět:

A lg10=1.

Všimněte si, že výpočet logaritmů podle definice (kterou jsme probrali v předchozím odstavci) implikuje použití logaritmu rovnosti a a p =p , což je jedna z vlastností logaritmů.

V praxi, když je číslo pod logaritmickým znakem a základ logaritmu snadno reprezentováno jako mocnina nějakého čísla, je velmi vhodné použít vzorec , což odpovídá jedné z vlastností logaritmů. Zvažte příklad nalezení logaritmu, který ilustruje použití tohoto vzorce.

Příklad.

Vypočítejte logaritmus .

Rozhodnutí.

Odpovědět:

.

Při výpočtu jsou také použity výše neuvedené vlastnosti logaritmů, ale o tom si povíme v následujících odstavcích.

Hledání logaritmů z hlediska jiných známých logaritmů

Informace v tomto odstavci pokračují v tématu využití vlastností logaritmů při jejich výpočtu. Zde je však hlavní rozdíl v tom, že vlastnosti logaritmů se používají k vyjádření původního logaritmu pomocí jiného logaritmu, jehož hodnota je známá. Pro upřesnění si uveďme příklad. Řekněme, že víme, že log 2 3≈1,584963 , pak můžeme najít například log 2 6 provedením malé transformace pomocí vlastností logaritmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Ve výše uvedeném příkladu nám stačilo použít vlastnost logaritmu součinu. Mnohem častěji však musíte použít širší arzenál vlastností logaritmů, abyste mohli vypočítat původní logaritmus z hlediska daných.

Příklad.

Vypočítejte logaritmus 27 k základu 60, pokud je známo, že log 60 2=a a log 60 5=b .

Rozhodnutí.

Potřebujeme tedy najít log 60 27 . Je snadné vidět, že 27=3 3 a původní logaritmus lze díky vlastnosti logaritmu stupně přepsat jako 3·log 60 3 .

Nyní se podívejme, jak lze log 60 3 vyjádřit pomocí známých logaritmů. Vlastnost logaritmu čísla rovného základu umožňuje zapsat logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhou stranu log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tím pádem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Proto, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakonec vypočítáme původní logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odpovědět:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatně stojí za zmínku význam vzorce pro přechod na nový základ logaritmu formuláře . Umožňuje přejít od logaritmů s libovolnou bází k logaritmům s konkrétní bází, jejichž hodnoty jsou známé nebo je možné je najít. Obvykle se z původního logaritmu podle přechodového vzorce přecházejí na logaritmy v jedné ze základen 2, e nebo 10, protože pro tyto základy existují tabulky logaritmů, které umožňují vypočítat jejich hodnoty s určitým stupněm přesnosti. V další části si ukážeme, jak se to dělá.

Logaritmické tabulky, jejich použití

Pro přibližný výpočet hodnot logaritmů lze použít logaritmické tabulky. Nejčastěji se používá základní 2 logaritmická tabulka, přirozená logaritmická tabulka a desítková logaritmická tabulka. Při práci v desítkové číselné soustavě je vhodné použít tabulku logaritmů se základem deset. S jeho pomocí se naučíme najít hodnoty logaritmů.

Uvedená tabulka umožňuje s přesností na desetitisícinu najít hodnoty dekadických logaritmů čísel od 1,000 do 9,999 (se třemi desetinnými místy). Princip hledání hodnoty logaritmu pomocí tabulky dekadických logaritmů rozebereme na konkrétním příkladu - je to přehlednější. Pojďme najít lg1,256 .

V levém sloupci tabulky dekadických logaritmů najdeme první dvě číslice čísla 1,256, tedy najdeme 1,2 (toto číslo je pro názornost zakroužkováno modře). Třetí číslice čísla 1,256 (číslo 5) se nachází v prvním nebo posledním řádku vlevo od dvojitého řádku (toto číslo je zakroužkováno červeně). Čtvrtá číslice původního čísla 1,256 (číslo 6) se nachází v prvním nebo posledním řádku vpravo od dvojitého řádku (toto číslo je zakroužkováno zeleně). Nyní najdeme čísla v buňkách tabulky logaritmů na průsečíku označeného řádku a označených sloupců (tato čísla jsou zvýrazněna oranžově). Součet označených čísel dává požadovanou hodnotu desetinného logaritmu až na čtvrté desetinné místo, tzn. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocí výše uvedené tabulky najít hodnoty desetinných logaritmů čísel, která mají za desetinnou čárkou více než tři číslice, a také překročit limity od 1 do 9,999? Ano můžeš. Ukažme si, jak se to dělá na příkladu.

Pojďme vypočítat lg102.76332 . Nejprve musíte napsat číslo ve standardním tvaru: 102,76332=1,0276332 102. Poté by měla být mantisa zaokrouhlena nahoru na třetí desetinné místo, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, zatímco původní dekadický logaritmus je přibližně roven logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Nyní použijte vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakonec zjistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podle tabulky dekadických logaritmů lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. V důsledku toho celý proces výpočtu logaritmu vypadá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na závěr stojí za zmínku, že pomocí tabulky desetinných logaritmů můžete vypočítat přibližnou hodnotu libovolného logaritmu. K tomu stačí pomocí přechodového vzorce přejít na desetinné logaritmy, najít jejich hodnoty v tabulce a provést zbývající výpočty.

Spočítejme například log 2 3 . Podle vzorce pro přechod na nový základ logaritmu máme . Z tabulky dekadických logaritmů najdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. Tím pádem, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: učebnice pro ročníky 10-11 všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy).