Dělení logaritmů se stejným základem. Výpočet logaritmů, příklady, řešení

základní vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

stejné důvody

log6 4 + log6 9.

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme.

Příklady řešení logaritmů

Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržen logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Přechod na nový základ

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Viz také:

Základní vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobek roku narození Lva Tolstého.

Základní vlastnosti logaritmů

Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

Příklady pro logaritmy

Vezměte logaritmus výrazů

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastností 3,5 počítáme

2.

3.

Příklad 2 Najděte x if

Příklad 3. Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Poznámka: Klíčovým bodem je zde - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce "Co je to logaritmus"). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy se skládají ze "špatných" logaritmů, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl při dodržení logaritmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem.

Vzorce logaritmů. Logaritmy jsou příklady řešení.

Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli ukazatele - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel a jmenovatel mají stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud vložíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze zaměnit, ale celý výraz je „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Jmenuje se to takto:

Co se skutečně stane, když se číslo b zvýší natolik, že číslo b v tomto stupni dá číslo a? Správně: toto je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení mocnin se stejným základem dostaneme:

Pokud někdo neví, byl to skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a ze samotného základu je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Základem a může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Viz také:

Logaritmus čísla b k základu a označuje výraz. Vypočítat logaritmus znamená najít takovou mocninu x (), při které platí rovnost

Základní vlastnosti logaritmu

Výše uvedené vlastnosti je třeba znát, protože na jejich základě jsou téměř všechny problémy a příklady řešeny na základě logaritmů. Zbývající exotické vlastnosti lze odvodit matematickými manipulacemi s těmito vzorci

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Při výpočtu vzorců pro součet a rozdíl logaritmů (3.4) se setkáváme poměrně často. Zbytek je poněkud složitý, ale v řadě úloh je nepostradatelný pro zjednodušení složitých výrazů a výpočet jejich hodnot.

Běžné případy logaritmů

Některé z běžných logaritmů jsou ty, ve kterých je základ dokonce deset, exponenciální nebo dvojka.
Logaritmus základu deset se obvykle nazývá logaritmus základu deset a je jednoduše označen lg(x).

Ze záznamu je vidět, že základy nejsou v záznamu zapsány. Například

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobek roku narození Lva Tolstého. Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

A další důležitý logaritmus základny dva je

Derivace logaritmu funkce je rovna jedné dělené proměnnou

Integrální nebo primitivní logaritmus je určen závislostí

Výše uvedený materiál vám postačí k řešení široké třídy problémů souvisejících s logaritmy a logaritmy. Pro asimilaci materiálu uvedu jen několik běžných příkladů ze školních osnov a univerzit.

Příklady pro logaritmy

Vezměte logaritmus výrazů

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podle vlastností 3,5 počítáme

2.
Podle rozdílové vlastnosti logaritmů máme

3.
Pomocí vlastností 3.5 najdeme

Zdánlivě složitý výraz využívající řadu pravidel je zjednodušen do formuláře

Nalezení logaritmických hodnot

Příklad 2 Najděte x if

Řešení. Pro výpočet použijeme vlastnosti 5 a 13 až do posledního členu

Náhradník v záznamu a truchlit

Protože se základy rovnají, dáváme rovnítko mezi výrazy

Logaritmy. První úroveň.

Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Řešení: Vezměte logaritmus proměnné k zápisu logaritmu přes součet členů

Toto je jen začátek seznámení s logaritmy a jejich vlastnostmi. Procvičte si výpočty, obohaťte své praktické dovednosti – získané znalosti budete brzy potřebovat k řešení logaritmických rovnic. Po prostudování základních metod řešení takových rovnic rozšíříme vaše znalosti o další neméně důležité téma - logaritmické nerovnosti ...

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Poznámka: Klíčovým bodem je zde - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce "Co je to logaritmus"). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy se skládají ze "špatných" logaritmů, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl při dodržení logaritmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli ukazatele - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel a jmenovatel mají stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud vložíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze zaměnit, ale celý výraz je „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Jmenuje se to takto:

Co se skutečně stane, když se číslo b zvýší natolik, že číslo b v tomto stupni dá číslo a? Správně: toto je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení mocnin se stejným základem dostaneme:

Pokud někdo neví, byl to skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a ze samotného základu je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Základem a může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Logaritmus b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1) je exponent, na který musíte zvýšit číslo a, abyste dostali b.

Základ 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus na základ e (přirozený logaritmus) - ln(b).

Často se používá při řešení problémů s logaritmy:

Vlastnosti logaritmů

Existují čtyři hlavní vlastnosti logaritmů.

Nechť a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus součinu

Logaritmus produktu se rovná součtu logaritmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus podílu

Logaritmus kvocientu se rovná rozdílu logaritmů:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus stupně

Logaritmus stupňů se rovná součinu stupně a logaritmu:

Pokud je základ logaritmu v exponentu, pak platí jiný vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus kořene

Tuto vlastnost lze získat z vlastnosti logaritmu stupně, protože odmocnina n-tého stupně se rovná mocnině 1/n:

Vzorec pro přechod od logaritmu v jedné bázi k logaritmu v jiné bázi

Tento vzorec se také často používá při řešení různých úloh pro logaritmy:

Speciální případ:

Porovnání logaritmů (nerovnice)

Předpokládejme, že máme 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejnými základy a je mezi nimi znaménko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, musíte se nejprve podívat na základnu logaritmů a:

• Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
• Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak řešit problémy s logaritmy: příklady

Úlohy s logaritmy zařazeny do USE v matematice pro 11. ročník v úloze 5 a úloze 7, úlohy s řešením naleznete na našem webu v příslušných sekcích. Také úlohy s logaritmy se nacházejí v bance úloh v matematice. Všechny příklady najdete při hledání na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly vždy považovány za obtížné téma v kurzu školní matematiky. Existuje mnoho různých definic logaritmu, ale z nějakého důvodu většina učebnic používá tu nejsložitější a nejnešťastnější z nich.

Logaritmus definujeme jednoduše a jasně. Vytvoříme pro to tabulku:

Takže máme mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak řešit

Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, pak můžete snadno najít sílu, na kterou musíte zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Například, abyste získali 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A nyní - ve skutečnosti definice logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na kterou musí být číslo a umocněno, abychom dostali číslo x.

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je ve skutečnosti to, čemu se rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Může také log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Zavolá se operace nalezení logaritmu čísla k danému základu. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy lze tak snadno zvážit. Zkuste například najít log 2 5. Číslo 5 v tabulce není, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde v segmentu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát donekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat takto: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Zpočátku si mnoho lidí plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, stačí se podívat na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Zapamatovat si: logaritmus je síla, ke kterému musíte zvednout základ, abyste získali argument. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Toto úžasné pravidlo říkám svým studentům hned na první hodině – a není v tom žádný zmatek.

Jak počítat logaritmy

Přišli jsme na definici - zbývá se naučit počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

1. Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
2. Základ se musí lišit od jednoty, protože jednotka k jakékoli mocnině je stále jednotkou. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají platný rozsah(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že neexistují žádná omezení na číslo b (hodnota logaritmu) není uložena. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 = −1, protože 0,5 = 2 -1.

Nyní však uvažujeme pouze o číselných výrazech, kde není vyžadována znalost ODZ logaritmu. Všechna omezení již zohlednili kompilátoři problémů. Když však do hry vstoupí logaritmické rovnice a nerovnosti, stanou se požadavky DHS povinnými. V základu a argumentu totiž mohou být velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní zvažte obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s nejmenším možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných zlomků;
2. Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi relevantní: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Podobně s desetinnými zlomky: pokud je hned převedete na obyčejné, bude chyb mnohonásobně méně.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

1. Představme základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Obdržel odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Obdržel odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

1. Představme základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Obdržela odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

1. Představme základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 není reprezentováno jako mocnina sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se neuvažuje;
3. Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak se ujistit, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Velmi jednoduché – stačí to rozložit na prvočinitele. Pokud v expanzi existují alespoň dva různé faktory, číslo není přesná mocnina.

Úkol. Zjistěte, zda jsou přesné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; čtrnáct.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 5 - opět ne přesný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a označení.

argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. mocnina, na kterou se musí zvýšit 10, aby se získalo x. Označení: lgx.

Například log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však na takové označení nejste zvyklí, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí i pro desetinná místa.

přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má svůj vlastní zápis. V jistém smyslu je ještě důležitější než desítkové. Toto je přirozený logaritmus.

argumentu x je logaritmus k základu e, tj. mocninu, na kterou musí být číslo e zvýšeno, abychom dostali číslo x. Označení: lnx.

Mnozí se budou ptát: jaké je číslo e? Jedná se o iracionální číslo, jeho přesnou hodnotu nelze zjistit a zapsat. Zde jsou jen první čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se ponořit do toho, co je toto číslo a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionálního čísla je iracionální. Samozřejmě kromě jednoty: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy platí všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy.

Viz také:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak znázornit číslo jako logaritmus?

Použijeme definici logaritmu.

Logaritmus je míra síly, na kterou musí být základna zvýšena, aby se číslo dostalo pod znaménko logaritmu.

Abychom tedy mohli reprezentovat určité číslo c jako logaritmus k základu a, je nutné pod znaménko logaritmu umístit stupeň se stejným základem jako základ logaritmu a zapsat toto číslo c do exponentu. :

Ve formě logaritmu můžete reprezentovat absolutně jakékoli číslo - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionální, iracionální:

Aby nedošlo k záměně písmen a a c ve stresových podmínkách testu nebo zkoušky, můžete si zapamatovat následující pravidlo:

co je dole, jde dolů, co je nahoře, jde nahoru.

Například chcete reprezentovat číslo 2 jako logaritmus se základem 3.

Máme dvě čísla - 2 a 3. Tato čísla jsou základ a exponent, které zapíšeme pod znaménko logaritmu. Zbývá určit, které z těchto čísel se má zapsat do základu stupně a které nahoru do exponentu.

Základ 3 v záznamu logaritmu je dole, což znamená, že když dvojku znázorníme jako logaritmus se základem 3, zapíšeme také 3 k základu.

2 je vyšší než 3. A v zápisu stupně zapíšeme dvojku nad trojku, tedy v exponentu:

Logaritmy. První úroveň.

Logaritmy

logaritmus kladné číslo b podle rozumu A, kde a > 0, a ≠ 1, je exponent, na který musí být číslo zvýšeno. A, Získat b.

Definice logaritmu lze stručně napsat takto:

Tato rovnost platí pro b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obvykle se mu říká logaritmická identita.
Zavolá se akce nalezení logaritmu čísla logaritmus.

Vlastnosti logaritmů:

Logaritmus součinu:

Logaritmus podílu z dělení:

Nahrazení základny logaritmu:

Logaritmus stupňů:

kořenový logaritmus:

Logaritmus s výkonovou základnou:

Desetinné a přirozené logaritmy.

Desetinný logaritmusčísla volají základní 10 logaritmus tohoto čísla a zapisují   lg b
přirozený logaritmusčísla volají logaritmus tohoto čísla k základně E, kde E je iracionální číslo, přibližně rovné 2,7. Zároveň píší ln b.

Další poznámky k algebře a geometrii

Základní vlastnosti logaritmů

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, jako každé číslo, lze sčítat, odečítat a převádět všemi možnými způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají základní vlastnosti.

Tato pravidla musí být známa - bez nich nelze vyřešit žádný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejným základem: log a x a log a y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Takže součet logaritmů se rovná logaritmu součinu a rozdíl je logaritmus kvocientu. Poznámka: Klíčovým bodem je zde - stejné důvody. Pokud jsou základy odlišné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce "Co je to logaritmus"). Podívejte se na příklady a uvidíte:

log 6 4 + log 6 9.

Protože základy logaritmů jsou stejné, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Opět platí, že základy jsou stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy se skládají ze "špatných" logaritmů, které nejsou uvažovány samostatně. Ale po transformacích vyjdou docela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, kontrola - podobné výrazy ve vší vážnosti (někdy - prakticky beze změn) jsou nabízeny u zkoušky.

Odstranění exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je v základu nebo argumentu logaritmu stupeň? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje jejich první dvě. Ale stejně je lepší si to zapamatovat – v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl při dodržení logaritmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. můžete zadat čísla před znaménkem logaritmu do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu podle prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel je logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 72. My máme:

Myslím, že poslední příklad potřebuje objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě stupňů a vyjmuli ukazatele - dostali „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel a jmenovatel mají stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyřku přenést do čitatele, což bylo provedeno. Výsledkem je odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou základy jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na novou základnu. Formulujeme je ve formě věty:

Nechť je dán logaritmus log a x. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud vložíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze zaměnit, ale celý výraz je „převrácen“, tzn. logaritmus je ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však úkoly, které nelze vyřešit vůbec jinak než přesunem do nového základu. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů jsou přesné exponenty. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní otočme druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin nemění permutací faktorů, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak vymysleli logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

V procesu řešení je často vyžadováno reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu.

V tomto případě nám pomohou vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Jmenuje se to takto:

Co se skutečně stane, když se číslo b zvýší natolik, že číslo b v tomto stupni dá číslo a? Správně: toto je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec pozorně znovu - mnoho lidí na něm „visí“.

Stejně jako nové základní převodní vzorce je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - právě vyjmuli čtverec ze základny a argument logaritmu. Vzhledem k pravidlům pro násobení mocnin se stejným základem dostaneme:

Pokud někdo neví, byl to skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které je obtížné nazvat vlastnostmi – spíše jde o důsledky z definice logaritmu. Neustále se nacházejí v problémech a kupodivu vytvářejí problémy i „pokročilým“ studentům.

1. log a a = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a ze samotného základu je roven jedné.
2. log a 1 = 0 je. Základem a může být cokoliv, ale pokud je argument jedna, logaritmus je nula! Protože a 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tj. jakéhokoli kladného) "b" jeho základem "a" se považuje za mocninu "c" , na který se musí základ "a" zvednout, aby nakonec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A právem, protože 2 na 3 dává v odpovědi číslo 8.

Varianty logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá komplikované a nepochopitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Existují tři různé druhy logaritmických výrazů:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b k základu a>1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich rozhodování.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například je nemožné dělit čísla nulou a je také nemožné extrahovat kořen sudého stupně ze záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• základ "a" musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože "1" a "0" se v jakémkoliv stupni vždy rovnají svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že "c" musí být větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například vzhledem k úkolu najít odpověď na rovnici 10 x \u003d 100. Je to velmi snadné, musíte zvolit takovou sílu zvýšením čísla deset, na které dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 \u003d 100.

Nyní znázorněme tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení míry, do jaké musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Větší hodnoty však budou vyžadovat tabulku výkonu. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku v buňkách jsou určeny hodnoty čísel, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což je čtyři (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelné hodnoty a body porušující tuto funkci. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi rovnice, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh při hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je v první řadě nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, rozeberme si nejprve každou vlastnost podrobněji.

1. Základní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je předpokladem: d, s 1 as 2 > 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňů ), a dále podle definice: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což mělo být prokázáno.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechte log a b \u003d t, ukáže se t \u003d b. Zvednete-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n , tudíž log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Pro přijetí na univerzitu nebo absolvování přijímací zkoušky v matematice je potřeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel neexistuje jednotný plán nebo schéma pro řešení a určení neznámé hodnoty logaritmu, nicméně na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat na obecnou formu. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi brzy seznámit.

Při řešení logaritmických rovnic je nutné určit, jaký logaritmus máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo desítkový.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozených logaritmů je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu lze využít v úlohách, kde je potřeba rozložit velkou hodnotu čísla b na jednodušší faktory. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, aplikací čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám podařilo vyřešit na první pohled složitý a neřešitelný výraz. Je nutné pouze faktorizovat základ a poté vyjmout hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly ze zkoušky

Logaritmy se často vyskytují při přijímacích zkouškách, zejména mnoho logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle jsou tyto úlohy přítomny nejen v části A (nejjednodušší testová část zkoušky), ale také v části C (nejobtížnější a nejobsáhlejší úlohy). Zkouška předpokládá přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních POUŽÍVEJTE možnosti. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Všechny logaritmy je nejlépe zredukovat na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod znaménkem logaritmu jsou označeny jako kladné, proto při vyjímání exponentu exponentu výrazu, který je pod znaménkem logaritmu a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.

odvozené z jeho definice. A tak logaritmus čísla b podle rozumu A definován jako exponent, na který musí být číslo zvýšeno A získat číslo b(logaritmus existuje pouze pro kladná čísla).

Z této formulace vyplývá, že výpočet x=log a b, je ekvivalentní řešení rovnice sekera=b. Například, log 2 8 = 3 protože 8 = 2 3 . Formulace logaritmu umožňuje zdůvodnit, že pokud b=a c, pak logaritmus čísla b podle rozumu A rovná se S. Je také zřejmé, že téma logaritmu úzce souvisí s tématem mocniny čísla.

S logaritmy, stejně jako s jinými čísly, můžete provést operace sčítání, odčítání a transformovat všemi možnými způsoby. Ale vzhledem k tomu, že logaritmy nejsou zcela běžná čísla, platí zde jejich vlastní speciální pravidla, tzv. základní vlastnosti.

Sčítání a odčítání logaritmů.

Vezměte dva logaritmy se stejným základem: log x a přihlásit se y. Poté odeberte je možné provádět operace sčítání a odčítání:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Z kvocientové logaritmické věty lze získat ještě jednu vlastnost logaritmu. Je dobře známo, že log A 1 = 0, tedy

log A 1 /b= log A 1 - log a b= -log a b.

Existuje tedy rovnost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvou vzájemně reciprokých čísel na stejném základě se od sebe budou lišit pouze znakem. Tak:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Přijatelný rozsah (ODZ) logaritmu

Nyní pojďme mluvit o omezeních (ODZ - oblast přípustných hodnot proměnných).

Pamatujeme si, že například odmocninu nelze vzít ze záporných čísel; nebo pokud máme zlomek, pak se jmenovatel nemůže rovnat nule. Pro logaritmy existují podobná omezení:

To znamená, že argument i základ musí být větší než nula a základ se nemůže rovnat.

proč tomu tak je?

Začněme jednoduše: řekněme to. Pak například číslo neexistuje, protože ať zvedneme jakýkoli stupeň, vždy to dopadne. Navíc pro žádné neexistuje. Ale zároveň se může rovnat čemukoli (ze stejného důvodu – rovná se jakémukoli stupni). Objekt proto není zajímavý a byl jednoduše vyhozen z matematiky.

Máme podobný problém v případě: v jakémkoli kladném stupni - toto, ale nelze to vůbec zvýšit na zápornou mocninu, protože výsledkem bude dělení nulou (to připomínám).

Když jsme postaveni před problém zvýšení na zlomkovou mocninu (která je reprezentována jako kořen:. Například (to je), ale neexistuje.

Negativní důvody je proto snazší zahodit, než se s nimi popasovat.

Protože základ a je pro nás pouze kladný, pak bez ohledu na to, o jaký stupeň jej zvedneme, vždy dostaneme striktně kladné číslo. Takže argument musí být kladný. Například neexistuje, protože v žádném rozsahu nebude záporné číslo (a dokonce ani nula, proto také neexistuje).

Při problémech s logaritmy je prvním krokem zapsání ODZ. Uvedu příklad:

Pojďme řešit rovnici.

Připomeňme si definici: logaritmus je mocnina, na kterou musí být základna zvýšena, aby se získal argument. A podle podmínky se tento stupeň rovná: .

Dostaneme obvyklou kvadratickou rovnici: . Řešíme to pomocí Vietovy věty: součet kořenů se rovná a součin. Snadné vyzvednutí, to jsou čísla a.

Pokud ale obě tato čísla hned vezmete a zapíšete do odpovědi, můžete za úkol získat 0 bodů. Proč? Zamysleme se nad tím, co se stane, když tyto kořeny dosadíme do počáteční rovnice?

To je jasně nepravdivé, protože základ nemůže být záporný, to znamená, že kořen je "třetí strana".

Abyste se vyhnuli takovým nepříjemným trikům, musíte si zapsat ODZ ještě předtím, než začnete řešit rovnici:

Poté, co jsme obdrželi kořeny a, kořen okamžitě zahodíme a napíšeme správnou odpověď.

Příklad 1(zkuste to vyřešit sami) :

Najděte kořen rovnice. Pokud existuje několik kořenů, uveďte v odpovědi ten menší.

Řešení:

Nejprve napíšeme ODZ:

Nyní si pamatujeme, co je logaritmus: na jakou moc potřebujete zvýšit základnu, abyste dostali argument? Ve druhém. to je:

Zdálo by se, že menší kořen se rovná. Ale není tomu tak: podle ODZ je kořen třetí strany, to znamená, že to vůbec není kořen daná rovnice. Rovnice má tedy pouze jeden kořen: .

Odpovědět: .

Základní logaritmická identita

Připomeňme si definici logaritmu obecně:

Dosaďte ve druhé rovnosti místo logaritmu:

Tato rovnost se nazývá základní logaritmickou identitu. I když ve své podstatě je tato rovnost jen napsána jinak definice logaritmu:

Toto je síla, na kterou se musíte zvednout, abyste se dostali.

Například:

Vyřešte následující příklady:

Příklad 2

Najděte hodnotu výrazu.

Řešení:

Připomeňme si pravidlo z části:, to znamená, že při zvýšení stupně na mocninu se indikátory násobí. Pojďme to aplikovat:

Příklad 3

Dokázat to.

Řešení:

Vlastnosti logaritmů

Úkoly bohužel nejsou vždy tak jednoduché - často je nutné výraz nejprve zjednodušit, převést do obvyklé podoby a teprve poté bude možné vypočítat hodnotu. Nejjednodušší je to udělat s vědomím vlastnosti logaritmů. Pojďme se tedy naučit základní vlastnosti logaritmů. Dokážu každé z nich, protože jakékoli pravidlo se snáze zapamatuje, pokud víte, odkud pochází.

Všechny tyto vlastnosti je třeba mít na paměti, bez nich nelze většinu problémů s logaritmy vyřešit.

A nyní o všech vlastnostech logaritmů podrobněji.

Vlastnost 1:

Důkaz:

Tak nech.

Máme: , h.t.d.

Vlastnost 2: Součet logaritmů

Součet logaritmů se stejným základem se rovná logaritmu součinu: .

Důkaz:

Tak nech. Tak nech.

Příklad: Najděte hodnotu výrazu: .

Řešení: .

Vzorec, který jste se právě naučili, pomáhá zjednodušit součet logaritmů, nikoli rozdíl, takže tyto logaritmy nelze hned kombinovat. Ale můžete to udělat i opačně – „rozlomit“ první logaritmus na dva: A tady je slibované zjednodušení:
.
Proč je to potřeba? No, například: co na tom záleží?

Teď je to jasné.

Nyní usnadněte si to:

úkoly:

Odpovědi:

Vlastnost 3: Rozdíl logaritmů:

Důkaz:

Vše je naprosto stejné jako v odstavci 2:

Tak nech.

Tak nech. My máme:

Příklad z posledního bodu je nyní ještě jednodušší:

Složitější příklad: . Hádejte sami, jak se rozhodnout?

Zde je třeba poznamenat, že nemáme jediný vzorec o logaritmech na druhou. To je něco jako výraz – to nejde hned zjednodušit.

Odbočme proto od vzorců o logaritmech a zamysleme se nad tím, jaké vzorce obecně v matematice používáme nejčastěji? Už od 7. třídy!

To - . Musíte si zvyknout, že jsou všude! A to exponenciální, trigonometrické a in iracionální úkoly setkají se. Proto je třeba na ně pamatovat.

Když se podíváte pozorně na první dva termíny, je jasné, že ano rozdíl čtverců:

Odpověď ke kontrole:

Zjednodušte se.

Příklady

Odpovědi.

Vlastnost 4: Odvození exponentu z argumentu logaritmu:

Důkaz: A zde také používáme definici logaritmu: dovolte tedy. Máme: , h.t.d.

Toto pravidlo můžete pochopit takto:

To znamená, že stupeň argumentu je předán logaritmu jako koeficient.

Příklad: Najděte hodnotu výrazu.

Řešení: .

Rozhodněte se sami:

Příklady:

Odpovědi:

Vlastnost 5: Odvození exponentu ze základny logaritmu:

Důkaz: Tak nech.

Máme: , h.t.d.
Pamatujte: od důvody stupeň je vykreslen jako zvrátitčíslo, na rozdíl od předchozího případu!

Vlastnost 6: Odvození exponentu od základu a argumentu logaritmu:

Nebo pokud jsou stupně stejné: .

Vlastnost 7: Přechod na novou základnu:

Důkaz: Tak nech.

Máme: , h.t.d.

Vlastnost 8: Záměna báze a argumentu logaritmu:

Důkaz: Toto je speciální případ vzorce 7: pokud dosadíme, dostaneme: , p.t.d.

Podívejme se na několik dalších příkladů.

Příklad 4

Najděte hodnotu výrazu.

Využíváme vlastnosti logaritmů č. 2 - součet logaritmů se stejným základem je roven logaritmu součinu:

Příklad 5

Najděte hodnotu výrazu.

Řešení:

Využíváme vlastnosti logaritmů č. 3 a č. 4:

Příklad 6

Najděte hodnotu výrazu.

Řešení:

Pomocí vlastnosti číslo 7 - přejděte na základnu 2:

Příklad 7

Najděte hodnotu výrazu.

Řešení:

Jak se vám článek líbí?

Pokud čtete tyto řádky, pak jste si přečetli celý článek.

A je to v pohodě!

Teď nám řekněte, jak se vám článek líbí?

Naučili jste se řešit logaritmy? Pokud ne, v čem je problém?

Napište nám do komentářů níže.

A ano, hodně štěstí u zkoušek.

U Jednotné státní zkoušky a OGE a obecně v životě