Podle teorie pravděpodobnosti. Typy událostí, přímý výpočet pravděpodobnosti výskytu události

Nauka o zákonech, na kterou se vztahuje t. zv. náhodné události. Slovník cizích slov zahrnutých v ruském jazyce. Chudinov A.N., 1910 ... Slovník cizích slov ruského jazyka

teorie pravděpodobnosti- - [L.G. Sumenko. Anglický ruský slovník informačních technologií. M.: GP TsNIIS, 2003.] Témata informační technologie obecně EN teorie pravděpodobnosti teorie pravděpodobnosti výpočet pravděpodobnosti ... Technická příručka překladatele

Teorie pravděpodobnosti- existuje část matematiky, která studuje vztahy mezi pravděpodobnostmi (viz Pravděpodobnost a statistika) různých událostí. Uvádíme nejdůležitější teorémy související s touto vědou. Pravděpodobnost výskytu jedné z několika neslučitelných událostí je rovna ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI- matematický věda, která umožňuje podle pravděpodobností některých náhodných událostí (viz) najít pravděpodobnosti náhodných událostí spojených s k. l. způsobem s prvním. Moderní TV na základě axiomatiky (viz Axiomatická metoda) A. N. Kolmogorova. Na… … Ruská sociologická encyklopedie

Teorie pravděpodobnosti- obor matematiky, ve kterém se podle daných pravděpodobností některých náhodných jevů zjišťují pravděpodobnosti dalších událostí, souvisejících nějakým způsobem s první. Teorie pravděpodobnosti také studuje náhodné proměnné a náhodné procesy. Jedna z hlavních…… Pojmy moderní přírodní vědy. Slovníček základních pojmů

teorie pravděpodobnosti- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorie pravděpodobnosti vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, rus. teorie pravděpodobnosti, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teorie pravděpodobnosti- ... Wikipedie

Teorie pravděpodobnosti- matematická disciplína, která studuje vzorce náhodných jevů ... Počátky moderní přírodní vědy

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI- (teorie pravděpodobnosti) viz Pravděpodobnost ... Velký výkladový sociologický slovník

Teorie pravděpodobnosti a její aplikace- („Teorie pravděpodobnosti a její aplikace“), vědecký časopis katedry matematiky Akademie věd SSSR. Publikuje původní články a stručná sdělení o teorii pravděpodobnosti, obecných problémech matematické statistiky a jejich aplikacích v přírodních vědách a ... ... Velká sovětská encyklopedie

knihy

• Teorie pravděpodobnosti. , Venttsel E.S. Kniha je učebnicí určenou pro lidi, kteří se orientují v matematice v rozsahu běžného středoškolského kurzu a zajímají se o technické aplikace teorie pravděpodobnosti, v ... Koupit za 2056 UAH (pouze Ukrajina)
• Teorie pravděpodobnosti. , Wentzel E.S. Kniha je učebnicí určenou lidem znalým matematiky v rozsahu běžného středoškolského kurzu a zájemcům o technické aplikace teorie pravděpodobnosti, v ...

Teorie pravděpodobnosti je odvětví matematiky, které studuje vzorce náhodných jevů: náhodné události, náhodné veličiny, jejich vlastnosti a operace s nimi.

Teorie pravděpodobnosti dlouho neměla jasnou definici. Byl formulován až v roce 1929. Vznik teorie pravděpodobnosti jako vědy je připisován středověku a prvním pokusům o matematickou analýzu hazardních her (los, kostky, ruleta). Francouzští matematici 17. století Blaise Pascal a Pierre de Fermat objevili první pravděpodobnostní vzorce, které vznikají při házení kostkou, když studovali predikci výher v hazardních hrách.

Teorie pravděpodobnosti vznikla jako věda z přesvědčení, že určité zákonitosti jsou základem masivních náhodných událostí. Teorie pravděpodobnosti studuje tyto vzorce.

Teorie pravděpodobnosti se zabývá studiem událostí, jejichž výskyt není s jistotou znám. Umožňuje posoudit míru pravděpodobnosti výskytu některých událostí ve srovnání s jinými.

Například: nelze jednoznačně určit výsledek hození hlavou nebo ocasem, ale při opakovaném házení vypadne přibližně stejný počet hlav a ocasů, což znamená, že pravděpodobnost, že padnou hlavy nebo ocasy, je stejná na 50 %.

test v tomto případě se nazývá splnění určitého souboru podmínek, tedy v tomto případě hod mincí. Výzvu lze hrát neomezeně mnohokrát. V tomto případě komplex podmínek zahrnuje náhodné faktory.

Výsledek testu je událost. Událost se stane:

1. Spolehlivý (vždy se vyskytuje jako výsledek testování).
2. Nemožné (nikdy se to nestane).
3. Náhodné (může nebo nemusí nastat jako výsledek testu).

Například při hodu mincí nemožná událost - mince skončí na hraně, náhodná událost - ztráta "hlav" nebo "ocásku". Konkrétní výsledek testu se nazývá elementární událost. Výsledkem testu jsou pouze elementární události. Nazývá se souhrn všech možných, různých, specifických výsledků testu prostor elementárních akcí.

Základní pojmy teorie

Pravděpodobnost- stupeň možnosti výskytu události. Když důvody, proč nějaká možná událost skutečně nastane, převažují nad opačnými důvody, pak se tato událost nazývá pravděpodobná, jinak - nepravděpodobná nebo nepravděpodobná.

Náhodná hodnota- jedná se o hodnotu, která v důsledku testu může nabývat té či oné hodnoty a není předem známo jakou. Například: počet hasičských stanic za den, počet zásahů 10 ranami atd.

Náhodné proměnné lze rozdělit do dvou kategorií.

1. Diskrétní náhodná veličina nazývá se taková veličina, která v důsledku testu může s určitou pravděpodobností nabývat určitých hodnot a tvoří spočetnou množinu (množinu, jejíž prvky lze očíslovat). Tato množina může být konečná nebo nekonečná. Například počet výstřelů před prvním zásahem do cíle je diskrétní náhodná veličina, protože tato hodnota může nabývat nekonečného, ​​i když spočitatelného počtu hodnot.
2. Spojitá náhodná veličina je veličina, která může nabývat libovolné hodnoty z nějakého konečného nebo nekonečného intervalu. Je zřejmé, že počet možných hodnot spojité náhodné proměnné je nekonečný.

Pravděpodobnostní prostor- koncept představený A.N. Kolmogorov ve 30. letech 20. století formalizovat pojem pravděpodobnosti, což dalo podnět k rychlému rozvoji teorie pravděpodobnosti jako rigorózní matematické disciplíny.

Pravděpodobnostní prostor je trojitý (někdy orámovaný v lomených závorkách: , kde

Jedná se o libovolnou množinu, jejíž prvky se nazývají elementární události, výsledky nebo body;
- sigma-algebra podmnožin nazývaných (náhodné) události;
- pravděpodobnostní míra nebo pravděpodobnost, tzn. sigma-aditivní konečná míra taková, že .

De Moivre-Laplaceova věta- jeden z limitujících teorémů teorie pravděpodobnosti, který založil Laplace v roce 1812. Uvádí, že počet úspěchů při opakování stejného náhodného experimentu se dvěma možnými výsledky je přibližně normálně rozdělen. Umožňuje zjistit přibližnou hodnotu pravděpodobnosti.

Pokud je pro každý z nezávislých pokusů pravděpodobnost výskytu nějaké náhodné události rovna () a je to počet pokusů, ve kterých k ní skutečně dojde, pak je pravděpodobnost platnosti nerovnosti blízká (pro velké ) na hodnotu Laplaceova integrálu.

Distribuční funkce v teorii pravděpodobnosti- funkce charakterizující rozdělení náhodné veličiny nebo náhodného vektoru; pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty menší nebo rovné x, kde x je libovolné reálné číslo. Za určitých podmínek zcela určuje náhodnou veličinu.

Očekávaná hodnota- průměrná hodnota náhodné veličiny (jedná se o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, uvažované v teorii pravděpodobnosti). V anglické literatuře se značí, v ruštině -. Ve statistice se často používá zápis.

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a na něm definovaná náhodná veličina. To je z definice měřitelná funkce. Pak, pokud existuje Lebesgueův integrál přes prostor , pak se nazývá matematické očekávání nebo střední hodnota a značí se .

Rozptyl náhodné veličiny- míra šíření dané náhodné veličiny, tj. její odchylka od matematického očekávání. Označeno v ruské literatuře i v zahraničí. Ve statistice se často používá označení nebo. Druhá odmocnina rozptylu se nazývá standardní odchylka, standardní odchylka nebo standardní rozpětí.

Nechť je náhodná veličina definovaná na nějakém pravděpodobnostním prostoru. Pak

kde symbol označuje matematické očekávání.

V teorii pravděpodobnosti se nazývají dvě náhodné události nezávislý pokud výskyt jednoho z nich nemění pravděpodobnost výskytu druhého. Podobně se nazývají dvě náhodné proměnné závislý pokud hodnota jednoho z nich ovlivňuje pravděpodobnost hodnot druhého.

Nejjednodušší formou zákona velkých čísel je Bernoulliho věta, která říká, že je-li pravděpodobnost jevu ve všech pokusech stejná, pak s rostoucím počtem pokusů se četnost jevu blíží pravděpodobnosti jevu a přestává být náhodné.

Zákon velkých čísel v teorii pravděpodobnosti říká, že aritmetický průměr konečného vzorku z pevného rozdělení se blíží teoretickému průměru tohoto rozdělení. Podle typu konvergence se rozlišuje slabý zákon velkých čísel, kdy dochází ke konvergenci pravděpodobnosti, a silný zákon velkých čísel, kdy ke konvergenci téměř jistě dochází.

Obecný význam zákona velkých čísel spočívá v tom, že společné působení velkého počtu stejných a nezávislých náhodných faktorů vede k výsledku, který v limitu nezávisí na náhodě.

Na této vlastnosti jsou založeny metody pro odhad pravděpodobnosti založené na analýze konečného vzorku. Dobrým příkladem je predikce volebních výsledků na základě průzkumu na vzorku voličů.

Centrální limitní věty- třída teorémů v teorii pravděpodobnosti, že součet dostatečně velkého počtu slabě závislých náhodných veličin, které mají přibližně stejné měřítko (žádný z členů nedominuje, nepřispívá rozhodujícím způsobem k součtu), má rozdělení blízké normální.

Protože mnoho náhodných proměnných v aplikacích vzniká pod vlivem několika slabě závislých náhodných faktorů, je jejich rozložení považováno za normální. V tomto případě je třeba dodržet podmínku, že žádný z faktorů není dominantní. Centrální limitní teorémy v těchto případech opravňují použití normálního rozdělení.

Když se hodí mincí, dá se říci, že přistane heads up, popř pravděpodobnost z toho je 1/2. To samozřejmě neznamená, že když se mincí hodí 10krát, nutně 5krát přistane na hlavě. Je-li mince „spravedlivá“ a je-li mnohokrát hozena, pak se hlavy v polovině případů přiblíží velmi blízko. Existují tedy dva druhy pravděpodobností: experimentální A teoretický .

Experimentální a teoretická pravděpodobnost

Pokud si hodíme mincí hodněkrát – řekněme 1000 – a spočítáme, kolikrát padne hlavou, můžeme určit pravděpodobnost, že padne hlavou. Pokud se hlavy zvednou 503krát, můžeme vypočítat pravděpodobnost, že se objeví:
503/1000 nebo 0,503.

Tento experimentální definice pravděpodobnosti. Tato definice pravděpodobnosti vychází z pozorování a studia dat a je zcela běžná a velmi užitečná. Zde jsou například některé pravděpodobnosti, které byly stanoveny experimentálně:

1. Šance, že žena onemocní rakovinou prsu, je 1/11.

2. Pokud líbáte někoho nachlazeného, ​​pak pravděpodobnost, že nastydnete i vy, je 0,07.

3. Osoba, která byla právě propuštěna z vězení, má 80% šanci na návrat do vězení.

Pokud vezmeme v úvahu házení mincí a vezmeme-li v úvahu, že je stejně pravděpodobné, že padne hlava nebo konec, můžeme vypočítat pravděpodobnost, že se objeví hlava: 1 / 2. Toto je teoretická definice pravděpodobnosti. Zde jsou některé další pravděpodobnosti, které byly teoreticky určeny pomocí matematiky:

1. Pokud je v místnosti 30 lidí, pravděpodobnost, že dva z nich mají stejné narozeniny (bez roku), je 0,706.

2. Během cesty někoho potkáte a v průběhu rozhovoru zjistíte, že máte společného známého. Typická reakce: "To nemůže být!" Ve skutečnosti tato fráze nesedí, protože pravděpodobnost takové události je poměrně vysoká - něco přes 22%.

Proto je experimentální pravděpodobnost určena pozorováním a sběrem dat. Teoretické pravděpodobnosti jsou určeny matematickým uvažováním. Příklady experimentálních a teoretických pravděpodobností, jako jsou ty diskutované výše, a zejména ty, které neočekáváme, nás vedou k důležitosti studia pravděpodobnosti. Můžete se zeptat: "Jaká je skutečná pravděpodobnost?" Ve skutečnosti žádná není. Experimentálně je možné určit pravděpodobnosti v určitých mezích. Mohou a nemusí se shodovat s pravděpodobnostmi, které získáme teoreticky. Existují situace, ve kterých je mnohem snazší definovat jeden typ pravděpodobnosti než jiný. Například by stačilo zjistit pravděpodobnost nachlazení pomocí teoretické pravděpodobnosti.

Výpočet experimentálních pravděpodobností

Nejprve zvažte experimentální definici pravděpodobnosti. Základní princip, který používáme k výpočtu takových pravděpodobností, je následující.

Princip P (experimentální)

Jestliže v experimentu, ve kterém je provedeno n pozorování, se situace nebo událost E vyskytne mkrát v n pozorováních, pak se říká, že experimentální pravděpodobnost události je P (E) = m/n.

Příklad 1 Sociologický průzkum. Byla provedena experimentální studie ke zjištění počtu leváků, praváků a lidí, u kterých jsou obě ruce stejně vyvinuté.Výsledky jsou uvedeny v grafu.

a) Určete pravděpodobnost, že je osoba pravák.

b) Určete pravděpodobnost, že je člověk levák.

c) Určete pravděpodobnost, že osoba ovládá obě ruce stejně plynule.

d) Většina turnajů PBA má 120 hráčů. Na základě tohoto experimentu, kolik hráčů může být levák?

Řešení

a) Počet lidí, kteří jsou praváci, je 82, počet leváků je 17 a počet těch, kteří ovládají obě ruce stejně plynule, je 1. Celkový počet pozorování je 100. Pravděpodobnost tedy že člověk je pravák je P
P = 82/100 nebo 0,82 nebo 82 %.

b) Pravděpodobnost, že je člověk levák, je P, kde
P = 17/100 nebo 0,17 nebo 17 %.

c) Pravděpodobnost, že člověk ovládá obě ruce stejně plynule, je P, kde
P = 1/100 nebo 0,01 nebo 1 %.

d) 120 nadhazovačů a od (b) můžeme očekávat, že 17 % bude leváků. Odtud
17 % ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znamená, že můžeme očekávat zhruba 20 hráčů leváků.

Příklad 2 Kontrola kvality . Pro výrobce je velmi důležité udržovat kvalitu svých výrobků na vysoké úrovni. Ve skutečnosti společnosti najímají inspektory kontroly kvality, aby zajistili tento proces. Cílem je uvolnit co nejmenší počet vadných produktů. Ale protože společnost vyrábí tisíce položek každý den, nemůže si dovolit kontrolovat každou položku, aby zjistila, zda je vadná nebo ne. Aby společnost zjistila, jaké procento výrobků je vadných, testuje mnohem méně výrobků.
USDA vyžaduje, aby 80 % semen, která pěstitelé prodávají, vyklíčilo. Pro zjištění kvality osiva, které zemědělský podnik vyrábí, se zasadí 500 semen z těch, která byla vyprodukována. Poté bylo spočítáno, že vyklíčilo 417 semen.

a) Jaká je pravděpodobnost, že semínko vyklíčí?

b) Splňují semena vládní normy?

Řešení a) Víme, že z 500 zasazených semen jich 417 vyklíčilo. Pravděpodobnost klíčení semen P, a
P = 417/500 = 0,834 nebo 83,4 %.

b) Vzhledem k tomu, že procento naklíčených semen na požádání přesáhlo 80 %, splňují semena státní normy.

Příklad 3 TV hodnocení. Podle statistik je ve Spojených státech 105 500 000 televizních domácností. Každý týden se shromažďují a zpracovávají informace o sledovanosti pořadů. Během jednoho týdne si 7 815 000 domácností naladilo komediální seriál CBS Everybody Loves Raymond a 8 302 000 domácností si naladilo hit Law & Order od NBC (Zdroj: Nielsen Media Research). Jaká je pravděpodobnost, že televizor jednoho domova je během daného týdne naladěn na „Everybody Loves Raymond“? na „Law & Order“?

Řešení Pravděpodobnost, že je televize v jedné domácnosti nastavena na „Každý miluje Raymonda“ je P a
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Možnost, že byl televizor pro domácnost nastaven na „Zákon a pořádek“ je P a
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Tato procenta se nazývají hodnocení.

teoretická pravděpodobnost

Předpokládejme, že provádíme experiment, jako je házení mince nebo šipky, tažení karty z balíčku nebo testování předmětů na montážní lince. Každý možný výsledek takového experimentu se nazývá Exodus . Množina všech možných výsledků se nazývá výsledný prostor . událost je to soubor výsledků, tedy podmnožina prostoru výsledků.

Příklad 4 Házení šipek. Předpokládejme, že v experimentu „házení šipek“ zasáhne šipka cíl. Najděte každou z následujících možností:

b) Prostor výsledků

Řešení
a) Výsledky jsou: trefa černá (H), trefa červená (K) a trefa bílá (B).

b) Je zde výsledný prostor (zásah do černé, červený, bílý), který lze jednoduše napsat jako (B, R, B).

Příklad 5 Házení kostkou. Kostka je kostka se šesti stranami, z nichž každá má jednu až šest teček.


Předpokládejme, že házíme kostkou. Nalézt
a) Výsledky
b) Prostor výsledků

Řešení
a) Výsledky: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor výsledků (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Pravděpodobnost, že událost E nastane, označíme jako P(E). Například „mince dopadne na ocasy“ může být označena H. Pak P(H) je pravděpodobnost, že mince dopadne na ocasy. Když mají všechny výsledky experimentu stejnou pravděpodobnost, že nastanou, říká se, že jsou stejně pravděpodobné. Chcete-li vidět rozdíl mezi událostmi, které jsou stejně pravděpodobné, a událostmi, které stejně pravděpodobné nejsou, zvažte cíl uvedený níže.

U cíle A jsou černé, červené a bílé zásahy stejně pravděpodobné, protože černé, červené a bílé sektory jsou stejné. U cíle B však zóny s těmito barvami nejsou stejné, to znamená, že jejich zásah není stejně pravděpodobný.

Princip P (teoretický)

Pokud událost E může nastat v m způsobech mimo n možných ekvipravděpodobných výsledků z výsledného prostoru S, pak teoretická pravděpodobnost událost, P(E) je
P(E) = m/n.

Příklad 6 Jaká je pravděpodobnost hodu 3 hodem kostkou?

Řešení Na kostce je 6 stejně pravděpodobných výsledků a je pouze jedna možnost hodit číslo 3. Potom bude pravděpodobnost P P(3) = 1/6.

Příklad 7 Jaká je pravděpodobnost hodu sudým číslem na kostce?

Řešení Událostí je házení sudého čísla. To se může stát 3 způsoby (pokud hodíte 2, 4 nebo 6). Počet ekvipravděpodobných výsledků je 6. Pak pravděpodobnost P(sudá) = 3/6 nebo 1/2.

Použijeme řadu příkladů souvisejících se standardním balíčkem 52 karet. Takový balíček se skládá z karet znázorněných na obrázku níže.

Příklad 8 Jaká je pravděpodobnost vytažení esa z dobře zamíchaného balíčku karet?

Řešení Existuje 52 výsledků (počet karet v balíčku), jsou stejně pravděpodobné (pokud je balíček dobře promíchán) a existují 4 způsoby, jak líznout eso, takže podle principu P je pravděpodobnost
P(táhnutí esa) = 4/52 nebo 1/13.

Příklad 9 Předpokládejme, že si vybereme, aniž bychom hledali jednu kuličku z pytlíku 3 červených kuliček a 4 zelených kuliček. Jaká je pravděpodobnost výběru červené koule?

Řešení Existuje 7 stejně pravděpodobných výsledků, jak získat jakoukoli kouli, a protože počet způsobů, jak vytáhnout červenou kouli, je 3, dostaneme
P(výběr červené koule) = 3/7.

Následující tvrzení jsou výsledkem principu P.

Pravděpodobnostní vlastnosti

a) Pokud událost E nemůže nastat, pak P(E) = 0.
b) Pokud událost E musí nastat, pak P(E) = 1.
c) Pravděpodobnost, že událost E nastane, je číslo mezi 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Například při hodu mincí má nulová pravděpodobnost, že mince dopadne na její okraj. Pravděpodobnost, že mince je buď hlava nebo pata, má pravděpodobnost 1.

Příklad 10 Předpokládejme, že jsou taženy 2 karty z balíčku s 52 kartami. Jaká je pravděpodobnost, že oba jsou piky?

Řešení Počet způsobů n tažení 2 karet z dobře zamíchaného balíčku 52 karet je 52 C 2 . Protože 13 z 52 karet jsou piky, je počet m způsobů tažení 2 piků 13 C 2 . Pak,
P(roztažení 2 vrcholů) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Příklad 11 Předpokládejme, že ze skupiny 6 mužů a 4 žen jsou náhodně vybráni 3 lidé. Jaká je pravděpodobnost, že bude vybrán 1 muž a 2 ženy?

Řešení Počet způsobů výběru tří osob ze skupiny 10 osob 10 C 3 . Jeden muž může být vybrán 6 způsoby C 1 a 2 ženy mohou být vybrány 4 způsoby C 2. Podle základního principu počítání je počet způsobů výběru 1. muže a 2 žen 6 C 1 . 4C2. Potom je pravděpodobnost, že bude vybrán 1 muž a 2 ženy
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Příklad 12 Házení kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že hodíte celkem 8 na dvou kostkách?

Řešení Na každé kostce je 6 možných výsledků. Výsledky jsou zdvojnásobeny, to znamená, že existuje 6,6 nebo 36 možných způsobů, jak mohou čísla na dvou kostkách padat. (Je lepší, když se kostky liší, řekněme, že jedna je červená a druhá modrá – pomůže to vizualizovat výsledek.)

Dvojice čísel, jejichž součet je 8, jsou znázorněny na obrázku níže. Existuje 5 možných způsobů, jak získat součet rovný 8, pravděpodobnost je tedy 5/36.

ÚVOD

Mnoho věcí je pro nás nepochopitelných, ne proto, že by naše pojmy byly slabé;
ale protože tyto věci nevstupují do okruhu našich pojmů.
Kozma Prutkov

Hlavním cílem studia matematiky ve středních odborných vzdělávacích institucích je poskytnout studentům soubor matematických znalostí a dovedností nezbytných pro studium dalších programových oborů, které matematiku v té či oné míře využívají, pro schopnost provádět praktické výpočty, pro utváření a rozvoj logického myšlení.

V tomto příspěvku jsou všechny základní pojmy sekce matematiky "Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky", poskytované programem a Státními vzdělávacími standardy středního odborného vzdělávání (Ministerstvo školství Ruské federace. M., 2002). ), jsou důsledně zavedeny, jsou formulovány hlavní věty, z nichž většina není dokázána. Jsou zvažovány hlavní úkoly a metody jejich řešení a technologie aplikace těchto metod při řešení praktických problémů. Prezentace je doplněna podrobnými komentáři a četnými příklady.

Metodické pokyny lze využít k prvotnímu seznámení s probíranou látkou, při pořizování poznámek z přednášek, k přípravě na praktická cvičení, k upevňování získaných znalostí, dovedností a schopností. Kromě toho bude příručka užitečná pro vysokoškolské studenty jako referenční nástroj, který vám umožní rychle obnovit v paměti to, co bylo dříve studováno.

V závěru práce jsou uvedeny příklady a úkoly, které mohou žáci provádět v režimu sebekontroly.

Metodické pokyny jsou určeny studentům korespondenčních a prezenčních forem vzdělávání.

ZÁKLADNÍ POJMY

Teorie pravděpodobnosti studuje objektivní zákonitosti hromadných náhodných událostí. Jde o teoretický základ pro matematickou statistiku, zabývající se vývojem metod sběru, popisu a zpracování výsledků pozorování. Prostřednictvím pozorování (testů, experimentů), tzn. zkušenosti v širokém slova smyslu, dochází k poznání jevů reálného světa.

Při naší praktické činnosti se často setkáváme s jevy, jejichž výsledek nelze předvídat, jehož výsledek závisí na náhodě.

Náhodný jev lze charakterizovat poměrem počtu jeho výskytů k počtu pokusů, z nichž v každém by za stejných podmínek všech pokusů mohl nastat nebo nenastat.

Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, ve kterém se studují náhodné jevy (události) a odhalují se zákonitosti, když se masivně opakují.

Matematická statistika je obor matematiky, jehož předmětem je studium metod sběru, systematizace, zpracování a používání statistických dat k získávání vědecky podložených závěrů a rozhodování.

Statistická data jsou přitom chápána jako soubor čísel, která představují kvantitativní charakteristiky znaků studovaných objektů, které nás zajímají. Statistická data jsou získávána jako výsledek speciálně navržených experimentů a pozorování.

Statistická data ve své podstatě závisí na mnoha náhodných faktorech, proto matematická statistika úzce souvisí s teorií pravděpodobnosti, která je jejím teoretickým základem.

I. PRAVDĚPODOBNOST. VĚTY O SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

1.1. Základní pojmy kombinatoriky

V části matematiky zvané kombinatorika se řeší některé problémy související s uvažováním množin a sestavováním různých kombinací prvků těchto množin. Vezmeme-li například 10 různých čísel 0, 1, 2, 3,:, 9 a vytvoříme z nich kombinace, dostaneme různá čísla, například 143, 431, 5671, 1207, 43 atd.

Vidíme, že některé z těchto kombinací se liší pouze pořadím číslic (například 143 a 431), jiné čísly v nich obsaženými (například 5671 a 1207) a další se liší také počtem číslic ( například 143 a 43).

Takto získané kombinace splňují různé podmínky.

V závislosti na pravidlech kompilace lze rozlišit tři typy kombinací: permutace, umístění, kombinace.

Pojďme se nejprve seznámit s konceptem faktoriál.

Zavolá se součin všech přirozených čísel od 1 do n včetně n-faktoriální a piš.

Vypočítejte: a) ; b) ; v) .

Řešení. ale) .

b) stejně tak , pak jej můžete vyjmout ze závorek

Pak dostaneme

v) .

Permutace.

Kombinace n prvků, které se od sebe liší pouze v pořadí prvků, se nazývá permutace.

Permutace jsou označeny symbolem P n , kde n je počet prvků v každé permutaci. ( R- první písmeno francouzského slova permutace- permutace).

Počet permutací lze vypočítat pomocí vzorce

nebo s faktoriálem:

Připomeňme si to 0!=1 a 1!=1.

Příklad 2. Kolika způsoby lze umístit šest různých knih na jednu polici?

Řešení. Požadovaný počet způsobů se rovná počtu permutací 6 prvků, tzn.

Ubytování.

Umístění z m prvky v n v každém se nazývají takové sloučeniny, které se od sebe liší buď samotnými prvky (alespoň jedním), nebo pořadím z místa.

Místa jsou označena symbolem , kde m je počet všech dostupných prvků, n je počet prvků v každé kombinaci. ( ALE- první písmeno francouzského slova dohoda, což znamená "umístění, uvedení do pořádku").

Přitom se předpokládá, že nm.

Počet umístění lze vypočítat pomocí vzorce

,

ty. počet všech možných umístění z m prvky podle n se rovná produktu n po sobě jdoucích celých čísel, z nichž větší je m.

Tento vzorec zapíšeme ve faktoriálovém tvaru:

Příklad 3. Kolik možností pro distribuci tří voucherů do sanatoria různého profilu lze udělat pro pět žadatelů?

Řešení. Požadovaný počet možností se rovná počtu umístění 5 prvků po 3 prvcích, tzn.

.

Kombinace.

Kombinace jsou všechny možné kombinace m prvky podle n, které se od sebe liší alespoň jedním prvkem (zde m A n- přirozená čísla a n m).

Počet kombinací od m prvky podle n jsou označeny ( Z- první písmeno francouzského slova kombinace- kombinace).

Obecně platí, že počet m prvky podle n se rovná počtu umístění z m prvky podle n děleno počtem permutací z n Prvky:

Pomocí faktoriálových vzorců pro umístění a permutační čísla dostaneme:

Příklad 4. V týmu 25 lidí musíte přidělit čtyři na práci v určité oblasti. Kolika způsoby to lze provést?

Řešení. Protože na pořadí vyvolených čtyř lidí nezáleží, lze to udělat různými způsoby.

Najdeme podle prvního vzorce

.

Kromě toho se při řešení problémů používají následující vzorce, které vyjadřují hlavní vlastnosti kombinací:

(podle definice a předpokládá se);

.

1.2. Řešení kombinatorických úloh

Úkol 1. Na fakultě se studuje 16 předmětů. Na pondělí je potřeba dát do rozvrhu 3 předměty. Kolika způsoby to lze provést?

Řešení. Existuje tolik způsobů, jak naplánovat tři položky ze 16, stejně jako umístění se 16 prvky po 3.

Úkol 2. Z 15 objektů je třeba vybrat 10 objektů. Kolika způsoby to lze provést?

Úkol 3. Soutěže se zúčastnila čtyři družstva. Kolik možností pro rozdělení míst mezi nimi je možných?

.

Úloha 4. Kolika způsoby lze vytvořit hlídku ze tří vojáků a jednoho důstojníka, když je 80 vojáků a 3 důstojníci?

Řešení. Voják na hlídce lze vybrat

způsoby a způsoby důstojníků. Protože každý důstojník může jít s každým týmem vojáků, existují pouze způsoby.

Úkol 5. Zjistěte, zda je známo, že .

Od , dostáváme

,

,

Z definice kombinace vyplývá, že . Že. .

1.3. Koncept náhodné události. Typy událostí. Pravděpodobnost události

Bude volána jakákoli akce, jev, pozorování s několika různými výsledky, realizované za daného souboru podmínek test.

Výsledek této akce nebo pozorování se nazývá událost .

Pokud událost za daných podmínek může nebo nemůže nastat, pak je volána náhodný . V případě, že k nějaké události jistě dojde, je tzv spolehlivý a v případě, kdy se to jistě nemůže stát, - nemožné.

Události jsou tzv nekompatibilní pokud se pokaždé může objevit pouze jeden z nich.

Události jsou tzv kloub pokud za daných podmínek výskyt jedné z těchto událostí nevylučuje výskyt druhé v téže zkoušce.

Události jsou tzv naproti , pokud jsou za zkušebních podmínek jako její jediné výsledky neslučitelné.

Události se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy: ABECEDA, : .

Kompletní systém událostí A 1, A 2, A 3, : , A n je soubor neslučitelných událostí, z nichž výskyt alespoň jedné je pro daný test povinný.

Pokud se úplný systém skládá ze dvou neslučitelných událostí, pak se takové události nazývají opačné a označují se A a .

Příklad. V krabici je 30 očíslovaných míčků. Určete, které z následujících událostí jsou nemožné, jisté, opačné:

dostal očíslovaný míč (ALE);

vytáhni kouli se sudým číslem (V);

vytáhl míč s lichým číslem (Z);

dostal míč bez čísla (D).

Kdo z nich tvoří ucelenou skupinu?

Řešení . ALE- určitá událost; D- nemožná událost;

V a Z- opačné události.

Kompletní skupina událostí je ALE A D, V A Z.

Pravděpodobnost události je považována za míru objektivní možnosti výskytu náhodné události.

1.4. Klasická definice pravděpodobnosti

Číslo, které je vyjádřením míry objektivní možnosti vzniku události, se nazývá pravděpodobnost tato událost a je označena symbolem P(A).

Definice. Pravděpodobnost události ALE je poměr počtu výsledků m, které upřednostňují výskyt dané události ALE, na číslo n všechny výsledky (neslučitelné, jedinečné a stejně možné), tzn. .

Proto, abychom našli pravděpodobnost události, je nutné po zvážení různých výsledků testu vypočítat všechny možné nekompatibilní výsledky n, zvolte počet výsledků, které nás zajímají, a vypočítejte poměr m na n.

Z této definice vyplývají následující vlastnosti:

Pravděpodobnost jakéhokoli pokusu je nezáporné číslo nepřesahující jednu.

Skutečně, počet m požadovaných událostí leží uvnitř . Rozdělení obou částí na n, dostaneme

2. Pravděpodobnost určité události je rovna jedné, protože .

3. Pravděpodobnost nemožné události je nulová, protože .

Problém 1. V loterii je 200 výherců z 1000 tiketů. Náhodně se losuje jeden tiket. Jaká je pravděpodobnost, že tento tiket vyhraje?

Řešení. Celkový počet různých výsledků je n= 1000. Počet výsledků ve prospěch výhry je m=200. Podle vzorce dostaneme

.

Úkol 2. V dávce 18 dílů jsou 4 vadné. Náhodně je vybráno 5 kusů. Najděte pravděpodobnost, že dva z těchto 5 dílů jsou vadné.

Řešení. Počet všech stejně možných nezávislých výsledků n se rovná počtu kombinací od 18 do 5, tj.

Vypočítejme počet m, které zvýhodňují událost A. Mezi 5 náhodně vybranými díly by měly být 3 kvalitní a 2 vadné. Počet způsobů, jak vybrat dva vadné díly ze 4 dostupných vadných dílů, se rovná počtu kombinací od 4 do 2:

Počet způsobů výběru tří kvalitních dílů ze 14 dostupných kvalitních dílů se rovná

.

Jakákoli skupina kvalitních dílů může být kombinována s jakoukoli skupinou vadných dílů, takže celkový počet kombinací m je

Požadovaná pravděpodobnost jevu A se rovná poměru počtu výsledků m, které favorizují tento jev, k počtu n všech stejně možných nezávislých výsledků:

.

Součet konečného počtu událostí je událost spočívající ve výskytu alespoň jedné z nich.

Součet dvou událostí je označen symbolem A + B a součet n symbol událostí A 1 +A 2 + : +A n .

Věta o sčítání pravděpodobností.

Pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí.

Důsledek 1. Pokud jev А 1 , А 2 , : , А n tvoří úplný systém, pak je součet pravděpodobností těchto událostí roven jedné.

Důsledek 2. Součet pravděpodobností opačných událostí a je roven jedné.

.

Problém 1. Existuje 100 losů. Je známo, že 5 vstupenek získá výhru 20 000 rublů, 10 - 15 000 rublů, 15 - 10 000 rublů, 25 - 2 000 rublů. a zbytek nic. Najděte pravděpodobnost, že zakoupená vstupenka vyhraje alespoň 10 000 rublů.

Řešení. Nechť A, B a C jsou události spočívající ve skutečnosti, že na zakoupenou vstupenku připadá cena rovna 20 000, 15 000 a 10 000 rublů. protože události A, B a C jsou neslučitelné, pak

Úkol 2. Oddělení korespondence technické školy dostává od měst testy z matematiky A, B A Z. Pravděpodobnost příjmu kontrolních prací od města ALE rovna 0,6, od města V- 0,1. Najděte pravděpodobnost, že další kontrolní práce budou pocházet z města Z.

co je pravděpodobnost?

Tváří v tvář tomuto termínu poprvé nechápu, co to je. Pokusím se to tedy vysvětlit srozumitelně.

Pravděpodobnost je šance, že dojde k požadované události.

Například jste se rozhodli navštívit přítele, zapamatovat si vchod a dokonce i podlahu, ve které žije. Ale zapomněl jsem číslo a polohu bytu. A teď stojíte na schodišti a před vámi jsou dveře, ze kterých si můžete vybrat.

Jaká je šance (pravděpodobnost), že když zazvoníte na první zvonek, otevře vám váš přítel? Celý byt a přítel bydlí jen za jedním z nich. Se stejnou šancí si můžeme vybrat jakékoliv dveře.

Ale jaká je tato šance?

Dveře, správné dveře. Pravděpodobnost uhodnutí zazvoněním na první dveře: . To znamená, že jeden čas ze tří uhodnete jistě.

Chceme vědět, když zavoláme jednou, jak často uhodneme dveře? Podívejme se na všechny možnosti:

1. volali jste 1 dveře
2. volali jste 2 dveře
3. volali jste 3 dveře

A nyní zvažte všechny možnosti, kde může být přítel:

ale. Za 1 dveře
b. Za 2 dveře
v. Za 3 dveře

Porovnejme všechny možnosti ve formě tabulky. Zaškrtnutí označuje možnosti, pokud se vaše volba shoduje s umístěním přítele, křížek - pokud se neshoduje.

Jak to všechno vidíš možná možnosti umístění přítele a váš výběr, na které dveře zazvonit.

ALE příznivé výsledky všech . Čili časy od uhodnete tak, že jednou zazvoníte na dveře, tzn. .

Toto je pravděpodobnost - poměr příznivého výsledku (když se vaše volba shodovala s umístěním přítele) k počtu možných událostí.

Definice je vzorec. Pravděpodobnost se obvykle označuje p, takže:

Není příliš vhodné psát takový vzorec, takže vezměme za - počet příznivých výsledků a za - celkový počet výsledků.

Pravděpodobnost lze zapsat jako procento, k tomu musíte výsledný výsledek vynásobit:

Pravděpodobně vás zaujalo slovo „výsledky“. Vzhledem k tomu, že matematici nazývají různé akce (u nás je taková akce zvonek) experimenty, je zvykem nazývat výsledek takových experimentů výsledkem.

No, výsledky jsou příznivé i nepříznivé.

Vraťme se k našemu příkladu. Řekněme, že jsme zazvonili u jedněch dveří, ale otevřel nám cizí muž. Nehádali jsme. Jaká je pravděpodobnost, že když zazvoníme na jedny ze zbývajících dveří, náš přítel nám je otevře?

Pokud jste si to mysleli, pak je to chyba. Pojďme na to přijít.

Zbývají nám dvoje dveře. Máme tedy možné kroky:

1) Zavolejte na 1 dveře
2) Zavolejte 2 dveře

Za jedním z nich určitě stojí přítel (koneckonců nebyl za tím, kterému jsme volali):

a) přítel 1 dveře
b) přítel pro 2 dveře

Znovu nakreslíme tabulku:

Jak vidíte, existují všechny možnosti, z nichž - příznivé. To znamená, že pravděpodobnost je stejná.

Proč ne?

Situace, kterou jsme zvažovali, je příklad závislých událostí. První událostí je první zvonek, druhou událostí je druhý zvonek.

A nazývají se závislými, protože ovlivňují následující akce. Koneckonců, kdyby přítel otevřel dveře po prvním zazvonění, jaká by byla pravděpodobnost, že je za jedním z dalších dvou? Že jo, .

Ale pokud existují závislé události, pak musí existovat nezávislý? Pravda, existují.

Učebnicovým příkladem je házení mincí.

1. Házíme si mincí. Jaká je pravděpodobnost, že přijdou např. hlavy? Je to tak - protože možnosti na všechno (buď hlavy nebo paty, zanedbáme pravděpodobnost, že coin bude stát na hraně), ale vyhovují pouze nám.
2. Ale ocasy vypadly. Dobře, zopakujeme to. Jaká je pravděpodobnost, že se teď objeví? Nic se nezměnilo, vše je při starém. Kolik možností? Dva. Jak moc jsme spokojeni? Jeden.

A nechejte ocasy vypadnout alespoň tisíckrát za sebou. Pravděpodobnost pádu hlav najednou bude stejná. Vždy existují možnosti, ale příznivé.

Rozlišení závislých událostí od nezávislých je snadné:

1. Pokud je experiment proveden jednou (jednou vhození mincí, zazvonění zvonku atd.), jsou události vždy nezávislé.
2. Pokud se experiment provádí vícekrát (jednou se hodí mince, několikrát zazvoní zvonek), je první událost vždy nezávislá. A pak, pokud se změní počet příznivých nebo počet všech výsledků, pak jsou události závislé, a pokud ne, jsou nezávislé.

Pojďme si trochu procvičit určení pravděpodobnosti.

Příklad 1

Mince se hodí dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že dostanete heads up dvakrát za sebou?

Řešení:

Zvažte všechny možné možnosti:

1. orel orel
2. orel ocasní
3. ocas-orel
4. Ocasy-ocasy

Jak vidíte, všechny možnosti. Z toho jsme spokojeni pouze my. To je pravděpodobnost:

Pokud podmínka požaduje jednoduše najít pravděpodobnost, pak musí být odpověď uvedena jako desetinný zlomek. Pokud by bylo uvedeno, že odpověď musí být uvedena v procentech, pak bychom násobili.

Odpovědět:

Příklad 2

V bonboniéře jsou všechny bonbony zabalené ve stejném obalu. Nicméně ze sladkostí - s ořechy, koňakem, třešněmi, karamelem a nugátem.

Jaká je pravděpodobnost, že vezmete jeden bonbón a dostanete bonbón s ořechy. Uveďte svou odpověď v procentech.

Řešení:

Kolik existuje možných výsledků? .

To znamená, že když si vezmete jeden bonbón, bude to jeden z těch v krabici.

A kolik příznivých výsledků?

Protože krabička obsahuje pouze čokolády s oříšky.

Odpovědět:

Příklad 3

V krabici s míčky. z nichž jsou bílé a černé.

1. Jaká je pravděpodobnost vytažení bílé koule?
2. Do krabice jsme přidali další černé kuličky. Jaká je pravděpodobnost vytažení bílé koule nyní?

Řešení:

a) V krabici jsou pouze míčky. z nichž jsou bílé.

Pravděpodobnost je:

b) Nyní jsou v krabici míčky. A stejně mnoho bílých zbylo.

Odpovědět:

Plná pravděpodobnost

Pravděpodobnost všech možných událostí je ().

Například v krabici červených a zelených kuliček. Jaká je pravděpodobnost vytažení červené koule? Zelená koule? Červená nebo zelená koule?

Pravděpodobnost nakreslení červené koule

Zelená koule:

Červená nebo zelená koule:

Jak vidíte, součet všech možných událostí je roven (). Pochopení tohoto bodu vám pomůže vyřešit mnoho problémů.

Příklad 4

V krabičce jsou fixy: zelená, červená, modrá, žlutá, černá.

Jaká je pravděpodobnost, že nenakreslíte červenou značku?

Řešení:

Pojďme počítat číslo příznivé výsledky.

NE červená značka, to znamená zelená, modrá, žlutá nebo černá.

Pravděpodobnost všech událostí. A pravděpodobnost událostí, které považujeme za nepříznivé (když vytáhneme červenou fixu), je .

Pravděpodobnost nakreslení NE červenou fixou je tedy -.

Odpovědět:

Pravděpodobnost, že k události nedojde, je mínus pravděpodobnost, že k události dojde.

Pravidlo pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí

Už víte, co jsou nezávislé události.

A pokud potřebujete najít pravděpodobnost, že dojde ke dvěma (nebo více) nezávislým událostem za sebou?

Řekněme, že chceme vědět, jaká je pravděpodobnost, že když jednou hodíme mincí, uvidíme orla dvakrát?

Už jsme uvažovali - .

Co když si hodíme mincí? Jaká je pravděpodobnost, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkem možné možnosti:

1. Orel-orel-orel
2. Orlí hlava-ocas
3. Hlava-ocas-orel
4. Hlava-ocas-ocas
5. ocas-orel-orel
6. Ocasy-hlavy-ocasy
7. Ocasy-ocasy-hlavy
8. Ocasy-ocasy-ocasy

Nevím jak vy, ale já jsem tento seznam jednou udělal špatně. Wow! A jediná možnost (první) nám vyhovuje.

Za 5 hodů si můžete sami vytvořit seznam možných výsledků. Ale matematici nejsou tak pracovití jako vy.

Proto si nejprve všimli a následně dokázali, že pravděpodobnost určité posloupnosti nezávislých událostí klesá pokaždé o pravděpodobnost jedné události.

Jinými slovy,

Vezměme si příklad stejné, nešťastné mince.

Pravděpodobnost, že se objevíte u soudu? . Teď si hodíme mincí.

Jaká je pravděpodobnost, že dostanete ocasy v řadě?

Toto pravidlo nefunguje pouze v případě, že jsme požádáni o zjištění pravděpodobnosti, že stejná událost nastane vícekrát za sebou.

Pokud bychom chtěli najít sekvenci TAILS-EAGLE-TAILS na po sobě jdoucích flipech, udělali bychom totéž.

Pravděpodobnost získání ocasů - , hlav - .

Pravděpodobnost získání sekvence TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Můžete si to ověřit sami vytvořením tabulky.

Pravidlo pro sčítání pravděpodobností nekompatibilních událostí.

Tak přestaň! Nová definice.

Pojďme na to přijít. Vezměme naši opotřebovanou minci a otočme ji jednou.
Možné možnosti:

1. Orel-orel-orel
2. Orlí hlava-ocas
3. Hlava-ocas-orel
4. Hlava-ocas-ocas
5. ocas-orel-orel
6. Ocasy-hlavy-ocasy
7. Ocasy-ocasy-hlavy
8. Ocasy-ocasy-ocasy

Zde jsou tedy neslučitelné události, toto je určitý, daný sled událostí. jsou neslučitelné události.

Pokud chceme určit, jaká je pravděpodobnost dvou (nebo více) neslučitelných událostí, pak sečteme pravděpodobnosti těchto událostí.

Musíte pochopit, že ztráta orla nebo ocasů jsou dvě nezávislé události.

Pokud chceme určit, jaká je pravděpodobnost vypadnutí posloupnosti (nebo jakékoli jiné), pak použijeme pravidlo násobení pravděpodobností.
Jaká je pravděpodobnost, že dostanete hlavy při prvním hodu a ocasy při druhém a třetím?

Pokud ale chceme vědět, jaká je pravděpodobnost získání jedné z více sekvencí, například když se hlavy objeví právě jednou, tzn. možnosti a pak musíme přidat pravděpodobnosti těchto sekvencí.

Celkové možnosti nám vyhovují.

Totéž můžeme získat sečtením pravděpodobností výskytu každé posloupnosti:

Pravděpodobnosti tedy sčítáme, když chceme určit pravděpodobnost nějaké, neslučitelné, posloupnosti událostí.

Existuje skvělé pravidlo, které vám pomůže nezaměnit se, kdy násobit a kdy sčítat:

Vraťme se k příkladu, kdy jsme si házeli mincí krát a chceme znát pravděpodobnost, že jednou uvidíme hlavy.
Co se bude dít?

Mělo by klesnout:
(hlavy A ocasy A ocasy) OR (ocasy A hlavy A ocasy) NEBO (ocasy A ocasy A hlavy).
A tak to dopadá:

Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 5

V krabičce jsou tužky. červená, zelená, oranžová a žlutá a černá. Jaká je pravděpodobnost nakreslení červené nebo zelené tužky?

Řešení:

Co se bude dít? Musíme vytáhnout (červená NEBO zelená).

Nyní je to jasné, sečteme pravděpodobnosti těchto událostí:

Odpovědět:

Příklad 6

Kostkou se hází dvakrát, jaká je pravděpodobnost, že padne celkem 8?

Řešení.

Jak můžeme získat body?

(a) nebo (a) nebo (a) nebo (a) nebo (a).

Pravděpodobnost vypadnutí z jednoho (jakéhokoli) obličeje je .

Spočítáme pravděpodobnost:

Odpovědět:

Výcvik.

Myslím, že nyní je vám jasné, kdy je potřeba pravděpodobnost počítat, kdy je sčítat a kdy násobit. Není to ono? Pojďme si trochu zacvičit.

úkoly:

Vezměme si balíček karet, ve kterém jsou karty piky, srdce, 13 kyjů a 13 tamburín. Od do Eso každé barvy.

1. Jaká je pravděpodobnost vytažení klubů za sebou (první vytaženou kartu vložíme zpět do balíčku a zamícháme)?
2. Jaká je pravděpodobnost tažení černé karty (piky nebo kluby)?
3. Jaká je pravděpodobnost nakreslení obrázku (jack, královna, král nebo eso)?
4. Jaká je pravděpodobnost vytažení dvou obrázků za sebou (z balíčku odstraníme první vytaženou kartu)?
5. Jaká je pravděpodobnost, že vezmete dvě karty a sesbíráte kombinaci - (Jack, Queen nebo King) a Eso Na pořadí, ve kterém budou karty taženy, nezáleží.

Odpovědi:

1. V balíčku karet každé hodnoty to znamená:
2. Události jsou závislé, protože po vytažení první karty se počet karet v balíčku snížil (stejně jako počet „obrázků“). Celkový počet jacků, královen, králů a es v balíčku zpočátku, což znamená pravděpodobnost tažení „obrázku“ s první kartou:

   Protože z balíčku odstraňujeme první kartu, znamená to, že v balíčku již zbyla karta, na které jsou obrázky. Pravděpodobnost nakreslení obrázku s druhou kartou:

   Protože nás zajímá situace, kdy dostaneme z balíčku: „obrázek“ A „obrázek“, musíme pravděpodobnosti vynásobit:

   Odpovědět:

3. Po vytažení první karty se počet karet v balíčku sníží. Máme tedy dvě možnosti:
   1) S první kartou vyjmeme eso, druhou - jacka, královnu nebo krále
   2) S první kartou vyjmeme jacka, královnu nebo krále, druhou - eso. (eso a (jack nebo královna nebo král)) nebo ((jack nebo královna nebo král) a eso). Nezapomeňte snížit počet karet v balíčku!

Pokud jsi dokázal vyřešit všechny problémy sám, pak jsi skvělý chlap! Nyní úkoly z teorie pravděpodobnosti u zkoušky budete cvakat jako ořechy!

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Zvažte příklad. Řekněme, že hodíme kostkou. Co je to za kost, víš? Toto je název kostky s čísly na stěnách. Kolik tváří, tolik čísel: od do kolik? Před.

Takže hodíme kostkou a chceme, aby přišla s nebo. A vypadneme.

V teorii pravděpodobnosti říkají, co se stalo příznivá událost(neplést s dobrem).

Pokud by to vypadlo, akce by byla také příznivá. Celkově mohou nastat pouze dvě příznivé události.

Kolik těch špatných? Protože všechny možné události, pak nepříznivé z nich jsou události (to je, pokud vypadne nebo).

Definice:

Pravděpodobnost je poměr počtu příznivých událostí k počtu všech možných událostí.. To znamená, že pravděpodobnost ukazuje, jaký podíl všech možných událostí je příznivý.

Pravděpodobnost označují latinským písmenem (zřejmě z anglického slova pravděpodobnost - pravděpodobnost).

Je zvykem měřit pravděpodobnost v procentech (viz témata a). K tomu je třeba hodnotu pravděpodobnosti vynásobit. V příkladu s kostkami pravděpodobnost.

A v procentech: .

Příklady (rozhodněte se sami):

1. Jaká je pravděpodobnost, že hod mincí dopadne na hlavy? A jaká je pravděpodobnost ocasů?
2. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? A s čím - zvláštní?
3. V šuplíku obyčejných, modrých a červených tužek. Náhodně nakreslíme jednu tužku. Jaká je pravděpodobnost vytažení jednoduchého?

Řešení:

1. Kolik možností existuje? Hlavy a ocasy - pouze dva. A kolik z nich je příznivých? Jen jeden je orel. Takže pravděpodobnost

   Totéž s ocasy: .

2. Celkové možnosti: (kolik stran má kostka, tolik různých možností). Příznivé: (to vše jsou sudá čísla :).
   Pravděpodobnost. S odd, samozřejmě, to samé.
3. Celkem: . Příznivé: . Pravděpodobnost: .

Plná pravděpodobnost

Všechny tužky v šuplíku jsou zelené. Jaká je pravděpodobnost nakreslení červenou tužkou? Neexistují žádné šance: pravděpodobnost (koneckonců příznivé události -).

Taková událost se nazývá nemožná.

Jaká je pravděpodobnost nakreslení zelené tužky? Příznivých událostí je přesně tolik, kolik je celkových událostí (všechny události jsou příznivé). Pravděpodobnost je tedy nebo.

Taková událost se nazývá jistá.

Pokud jsou v krabici zelené a červené tužky, jaká je pravděpodobnost, že nakreslíte zelenou nebo červenou? Opět. Všimněte si následující věci: pravděpodobnost nakreslení zelené je rovna a červené je .

V součtu jsou tyto pravděpodobnosti naprosto stejné. Tj, součet pravděpodobností všech možných událostí je roven nebo.

Příklad:

V krabici tužek jsou mezi nimi modrá, červená, zelená, jednoduchá, žlutá a zbytek je oranžový. Jaká je pravděpodobnost, že nenakreslíte zelenou?

Řešení:

Pamatujte, že všechny pravděpodobnosti se sčítají. A pravděpodobnost nakreslení zelené je stejná. To znamená, že pravděpodobnost, že nevykreslíte zelenou, je stejná.

Pamatujte si tento trik: Pravděpodobnost, že k události nedojde, je mínus pravděpodobnost, že k události dojde.

Nezávislé události a pravidlo násobení

Hodíte mincí dvakrát a chcete, aby padla hlavou v obou případech. Jaká je pravděpodobnost tohoto?

Pojďme si projít všechny možné možnosti a určit, kolik jich je:

Orel-Orel, Tails-Orel, Eagle-Tails, Tails-Tails. Co jiného?

Celá varianta. Z nich nám vyhovuje pouze jeden: Eagle-Eagle. Takže pravděpodobnost je stejná.

Dobře. Teď si hodíme mincí. Počítejte sami. Stalo? (Odpovědět).

Možná jste si všimli, že s každým dalším hodem se pravděpodobnost o faktor snižuje. Obecné pravidlo se nazývá pravidlo násobení:

Pravděpodobnost nezávislých událostí se mění.

Co jsou nezávislé události? Všechno je logické: to jsou ty, které na sobě nezávisí. Když například hodíme mincí několikrát, pokaždé se provede nový hod, jehož výsledek nezávisí na všech předchozích hodech. Se stejným úspěchem můžeme hodit dvě různé mince současně.

Další příklady:

1. Kostkou se hází dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že se to objeví v obou případech?
2. Mince se hází krát. Jaká je pravděpodobnost, že dostanete nejprve hlavy a pak dvakrát ocasy?
3. Hráč hodí dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že se součet čísel na nich bude rovnat?

Odpovědi:

1. Události jsou nezávislé, což znamená, že pravidlo násobení funguje: .
2. Pravděpodobnost orla je stejná. Pravděpodobnost ocasů také. Množíme:
3. 12 lze získat pouze tehdy, vypadnou-li dvě -ki: .

Nekompatibilní události a pravidlo sčítání

Neslučitelné události jsou události, které se s plnou pravděpodobností doplňují. Jak název napovídá, nemohou se dít současně. Když si například hodíme mincí, mohou vypadnout buď hlavy, nebo ocasy.

Příklad.

V krabici tužek jsou mezi nimi modrá, červená, zelená, jednoduchá, žlutá a zbytek je oranžový. Jaká je pravděpodobnost nakreslení zelené nebo červené?

Řešení .

Pravděpodobnost nakreslení zelené tužky je stejná. Červené - .

Příznivé události všech: zelená + červená. Pravděpodobnost nakreslení zelené nebo červené je tedy stejná.

Stejná pravděpodobnost může být reprezentována v následujícím tvaru: .

Toto je pravidlo sčítání: pravděpodobnosti neslučitelných událostí se sčítají.

Smíšené úkoly

Příklad.

Mince se hodí dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že výsledek hodů bude jiný?

Řešení .

To znamená, že pokud se hlavy zvednou jako první, ocasy by měly být druhé a naopak. Ukazuje se, že zde existují dvě dvojice nezávislých událostí a tyto dvojice jsou navzájem nekompatibilní. Jak se nenechat zmást, kde násobit a kde přidávat.

Pro takové situace platí jednoduché pravidlo. Pokuste se popsat, co by se mělo stát, spojením událostí s odbory „AND“ nebo „OR“. Například v tomto případě:

Must roll (hlavy a ocasy) nebo (ocasy a hlavy).

Kde je spojení „a“, dojde k násobení a kde „nebo“ je sčítání:

Zkus to sám:

1. Jaká je pravděpodobnost, že dva hody mincí přijdou v obou případech se stejnou stranou?
2. Kostkou se hází dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že součet klesne o body?

Řešení:

1. (Hlavy nahoru a hlavy nahoru) nebo (hlavy nahoru a nahoru): .
2. Jaké jsou možnosti? A. Pak:
   Válcované (a) nebo (a) nebo (a): .

Další příklad:

Jednou si hodíme mincí. Jaká je pravděpodobnost, že se alespoň jednou objeví hlavy?

Řešení:

Ach, jak se mi nechce třídit možnosti ... Hlava-ocas-ocas, Orlí-hlava-ocas, ... Ale nemusíte! Pojďme se bavit o plné pravděpodobnosti. pamatovat? Jaká je pravděpodobnost, že orel nikdy nespadne? Je to jednoduché: ocasy létají pořád, to znamená.

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. KRÁTCE O HLAVNÍM

Pravděpodobnost je poměr počtu příznivých událostí k počtu všech možných událostí.

Nezávislé akce

Dvě události jsou nezávislé, pokud výskyt jedné nemění pravděpodobnost výskytu druhé.

Plná pravděpodobnost

Pravděpodobnost všech možných událostí je ().

Pravděpodobnost, že k události nedojde, je mínus pravděpodobnost, že k události dojde.

Pravidlo pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí

Pravděpodobnost určité posloupnosti nezávislých událostí je rovna součinu pravděpodobností každé z událostí

Neslučitelné události

Neslučitelné události jsou takové události, které nemohou nastat současně jako výsledek experimentu. Řada neslučitelných událostí tvoří ucelenou skupinu událostí.

Pravděpodobnosti neslučitelných událostí se sčítají.

Po popisu toho, co by se mělo stát, pomocí spojení "AND" nebo "OR", místo "AND" vložíme znaménko násobení a místo "OR" - sčítání.

ZBÝVAJÍCÍ 2/3 ČLÁNKU JSOU K DISPOZICI POUZE PRO VAŠE CHYTRÉ STUDENTY!

Staňte se studentem YouClever,

Připravte se na OGE nebo USE v matematice za cenu "šálek kávy za měsíc",

A také získáte neomezený přístup k učebnici „YouClever“, školicímu programu „100gia“ (kniha řešení), neomezené zkušební USE a OGE, 6000 úloh s analýzou řešení a další služby YouClever a 100gia.