Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων. Τριγωνομετρικές ανισώσεις και οι λύσεις τους Παραδείγματα μιγαδικών τριγωνομετρικών ανισώσεων

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας

εκπαιδευτικό ίδρυμα

«Κρατικό Πανεπιστήμιο Γκόμελ

πήρε το όνομά του από τον Francysk Skaryna"

Μαθηματική Σχολή

Τμήμα Άλγεβρας και Γεωμετρίας

Δυνατότητα άμυνας

Κεφάλι Τμήμα Shemetkov L.A.

Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις

Εργασία μαθήματος

Εκτελεστής διαθήκης:

μαθητική ομάδα Μ-51

ΕΚ. Γκόρσκι

Επιστημονικός σύμβουλος

Ανώτερος Λέκτορας

V.G. Σαφόνοφ

Gomel 2008

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Παραγοντοποίηση

Επίλυση εξισώσεων μετατρέποντας το γινόμενο τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε άθροισμα

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τύπων τριπλού επιχειρήματος

Πολλαπλασιασμός με κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση

ΜΗ ΤΥΠΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΟΓΗ ΡΙΖΩΝ

ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΛΥΣΗ

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΠΗΓΩΝ

Στην αρχαιότητα, η τριγωνομετρία προέκυψε σε σχέση με τις ανάγκες της αστρονομίας, της τοπογραφίας και της κατασκευής, δηλαδή ήταν καθαρά γεωμετρικής φύσης και αντιπροσωπευόταν κυρίως<<исчисление хорд>>. Με τον καιρό, κάποια αναλυτικά σημεία άρχισαν να παρεμβάλλονται σε αυτό. Στο πρώτο μισό του 18ου αιώνα σημειώθηκε μια απότομη στροφή, μετά την οποία η τριγωνομετρία πήρε μια νέα κατεύθυνση και στράφηκε προς τη μαθηματική ανάλυση. Ήταν εκείνη τη στιγμή που οι τριγωνομετρικές εξαρτήσεις άρχισαν να θεωρούνται ως συναρτήσεις.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις προκύπτουν κατά την επίλυση προβλημάτων επιπεδομετρίας, στερεάς γεωμετρίας, αστρονομίας, φυσικής και άλλων περιοχών. Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις και οι ανισότητες από έτος σε έτος βρίσκονται μεταξύ των εργασιών της κεντρικής δοκιμής.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ των τριγωνομετρικών εξισώσεων και των αλγεβρικών είναι ότι οι αλγεβρικές εξισώσεις έχουν πεπερασμένο αριθμό ριζών, ενώ οι τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν έναν άπειρο αριθμό, γεγονός που περιπλέκει πολύ την επιλογή των ριζών. Μια άλλη ιδιαιτερότητα των τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι η μη μοναδική μορφή γραφής της απάντησης.

Η παρούσα διατριβή είναι αφιερωμένη σε μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Η διπλωματική εργασία αποτελείται από 6 ενότητες.

Η πρώτη ενότητα περιέχει τις βασικές θεωρητικές πληροφορίες: τον ορισμό και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων για ορισμένα ορίσματα. έκφραση τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε σχέση με άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η οποία είναι πολύ σημαντική για τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, ειδικά εκείνων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις; εκτός από το κύριο τριγωνομετρικούς τύπους, πολύ γνωστά από το σχολικό μάθημα, είναι τύποι που απλοποιούν εκφράσεις που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Η δεύτερη ενότητα περιγράφει τις κύριες μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Εξετάζονται η λύση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, η μέθοδος παραγοντοποίησης, μέθοδοι αναγωγής τριγωνομετρικών εξισώσεων σε αλγεβρικές. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι λύσεις των τριγωνομετρικών εξισώσεων μπορούν να γραφτούν με πολλούς τρόπους, και η μορφή αυτών των λύσεων δεν επιτρέπει σε κάποιον να διαπιστώσει αμέσως εάν αυτές οι λύσεις είναι ίδιες ή διαφορετικές, κάτι που μπορεί<<сбить с толку>> κατά την επίλυση δοκιμών, εξετάζεται ένα γενικό σχήμα για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και εξετάζεται λεπτομερώς ο μετασχηματισμός ομάδων γενικών λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η τρίτη ενότητα ασχολείται με μη τυπικές τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι λύσεις των οποίων βασίζονται στη συναρτησιακή προσέγγιση.

Η τέταρτη ενότητα ασχολείται με τις τριγωνομετρικές ανισότητες. Οι μέθοδοι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών ανισώσεων εξετάζονται λεπτομερώς, όπως στο κύκλος μονάδαςκαθώς και γραφική μέθοδος. Περιγράφεται η διαδικασία επίλυσης μη στοιχειωδών τριγωνομετρικών ανισώσεων μέσω στοιχειωδών ανισώσεων και η μέθοδος των διαστημάτων που είναι ήδη πολύ γνωστή στους μαθητές.

Η πέμπτη ενότητα παρουσιάζει τις πιο δύσκολες εργασίες: όταν είναι απαραίτητο όχι μόνο να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, αλλά και να επιλέξετε ρίζες από τις ρίζες που βρέθηκαν που ικανοποιούν κάποια συνθήκη. Αυτή η ενότητα παρέχει λύσεις σε τυπικές εργασίες για την επιλογή των ριζών. Δίνονται οι απαραίτητες θεωρητικές πληροφορίες για την επιλογή των ριζών: η διαίρεση του συνόλου των ακεραίων σε μη τέμνοντα υποσύνολα, η λύση των εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς (διοφαντική).

Η έκτη ενότητα παρουσιάζει εργασίες για ανεξάρτητη απόφασημε τη μορφή δοκιμής. Οι 20 δοκιμαστικές εργασίες απαριθμούν τις πιο δύσκολες εργασίες που μπορούν να συναντηθούν σε κεντρικές δοκιμές.

Στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις

Οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής , όπου είναι μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις: , , , .

Οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν άπειρες ρίζες. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες τιμές ικανοποιούν την εξίσωση: , , , κ.λπ. Ο γενικός τύπος με τον οποίο βρίσκονται όλες οι ρίζες της εξίσωσης, όπου , είναι:

Εδώ μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές, καθεμία από αυτές αντιστοιχεί σε μια ορισμένη ρίζα της εξίσωσης. σε αυτόν τον τύπο (καθώς και σε άλλους τύπους με τους οποίους λύνονται στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις) ονομάζεται παράμετρος. Συνήθως καταγράφουν, τονίζοντας έτσι ότι η παράμετρος μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Οι λύσεις της εξίσωσης , όπου , βρίσκονται από τον τύπο

Η εξίσωση λύνεται με την εφαρμογή του τύπου

και η εξίσωση --- σύμφωνα με τον τύπο

Ας σημειώσουμε ιδιαίτερα ορισμένες ειδικές περιπτώσεις στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, όταν η λύση μπορεί να γραφτεί χωρίς τη χρήση γενικών τύπων:

Κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, η περίοδος των τριγωνομετρικών συναρτήσεων παίζει σημαντικό ρόλο. Επομένως, παρουσιάζουμε δύο χρήσιμα θεωρήματα:

Θεώρημα Αν --- η κύρια περίοδος της συνάρτησης, τότε ο αριθμός είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης.

Οι περίοδοι των συναρτήσεων και λέγονται συγκρίσιμες αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί και , ότι .

Θεώρημα Αν οι περιοδικές συναρτήσεις και , έχουν ανάλογη και , τότε έχουν μια κοινή περίοδο , που είναι η περίοδος των συναρτήσεων , , .

Το θεώρημα λέει ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης , , , και δεν είναι απαραίτητα η κύρια περίοδος. Για παράδειγμα, η κύρια περίοδος των συναρτήσεων και είναι --- , και η κύρια περίοδος του προϊόντος τους είναι --- .

Παρουσιάζοντας ένα βοηθητικό επιχείρημα

Ο τυπικός τρόπος μετατροπής εκφράσεων της φόρμας είναι το εξής κόλπο: έστω --- τη γωνία που δίνουν οι ισότητες , . Για οποιαδήποτε και τέτοια γωνία υπάρχει. Με αυτόν τον τρόπο . Εάν , ή , , , διαφορετικά .

Σχέδιο επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Το κύριο σχήμα από το οποίο θα καθοδηγούμαστε κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι το εξής:

λύση δεδομένη εξίσωσηανάγεται στην επίλυση στοιχειωδών εξισώσεων. Εργαλεία Λύσης --- μεταμορφώσεις, παραγοντοποιήσεις, αλλαγή αγνώστων. Η κατευθυντήρια αρχή είναι να μην χάνουμε ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι όταν μεταβαίνουμε στην επόμενη εξίσωση (εξισώσεις), δεν φοβόμαστε την εμφάνιση επιπλέον (εξωγενών) ριζών, αλλά μας νοιάζει μόνο ότι κάθε επόμενη εξίσωση της «αλυσίδας» μας (ή ένα σύνολο εξισώσεων στην περίπτωση διακλάδωση) είναι συνέπεια του προηγούμενου. Μια πιθανή μέθοδος για την επιλογή των ριζών είναι ο έλεγχος. Σημειώνουμε αμέσως ότι στην περίπτωση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, οι δυσκολίες που σχετίζονται με την επιλογή των ριζών, με την επαλήθευση, κατά κανόνα, αυξάνονται απότομα σε σύγκριση με τις αλγεβρικές εξισώσεις. Μετά από όλα, πρέπει να ελέγξετε τη σειρά, που αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό μελών.

Ιδιαίτερη αναφορά πρέπει να γίνει στη μεταβολή των αγνώστων στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, μετά την απαραίτητη αντικατάσταση, προκύπτει μια αλγεβρική εξίσωση. Επιπλέον, οι εξισώσεις δεν είναι τόσο σπάνιες, οι οποίες, αν και είναι τριγωνομετρικές στην εμφάνιση, ουσιαστικά δεν είναι έτσι, αφού ήδη μετά το πρώτο βήμα --- οι αλλαγές των μεταβλητών --- μετατρέπονται σε αλγεβρικές και η επιστροφή στην τριγωνομετρία γίνεται μόνο στις στάδιο επίλυσης στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Θυμηθείτε για άλλη μια φορά: η αντικατάσταση του αγνώστου πρέπει να γίνει το συντομότερο δυνατό, η εξίσωση που προκύπτει μετά την αντικατάσταση πρέπει να λυθεί μέχρι το τέλος, συμπεριλαμβανομένου του σταδίου επιλογής ριζών, και μόνο τότε θα επιστρέψει στο αρχικό άγνωστο.

Ένα από τα χαρακτηριστικά των τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι ότι η απάντηση σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να γραφτεί με διάφορους τρόπους. Ακόμα και να λύσουμε την εξίσωση η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

1) με τη μορφή δύο σειρών: , , ;

2) σε τυπική μορφή, που είναι ένωση της παραπάνω σειράς: , ;

3) από τότε , τότε η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως , . (Περαιτέρω, η παρουσία της παραμέτρου , ή στην εγγραφή απόκρισης σημαίνει αυτόματα ότι αυτή η παράμετρος λαμβάνει όλες τις πιθανές ακέραιες τιμές. Θα οριστούν εξαιρέσεις.)

Προφανώς, οι τρεις περιπτώσεις που παρατίθενται δεν εξαντλούν όλες τις δυνατότητες γραφής της απάντησης στην εξίσωση που εξετάζουμε (είναι άπειρες).

Για παράδειγμα, για . Επομένως, στις δύο πρώτες περιπτώσεις, εάν , μπορούμε να αντικαταστήσουμε με .

Συνήθως, η απάντηση γράφεται με βάση την παράγραφο 2. Είναι χρήσιμο να θυμάστε την ακόλουθη σύσταση: εάν η εργασία δεν τελειώσει με τη λύση της εξίσωσης, είναι ακόμα απαραίτητο να διεξαχθεί μια μελέτη, η επιλογή των ριζών, στη συνέχεια η πιο βολική μορφή εγγραφής υποδεικνύεται στην παράγραφο 1. (Πρέπει να δοθεί παρόμοια σύσταση για την εξίσωση.)

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα που δείχνει τα όσα ειπώθηκαν.

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Ο πιο προφανής είναι ο ακόλουθος τρόπος. Αυτή η εξίσωση χωρίζεται σε δύο: και . Λύνοντας καθένα από αυτά και συνδυάζοντας τις απαντήσεις που ελήφθησαν, βρίσκουμε .

Ενας άλλος τρόπος.Από τότε, αντικαθιστώντας και από τους τύπους αναγωγής. Μετά από μικρές μετατροπές, παίρνουμε , από πού .

Με την πρώτη ματιά, η δεύτερη φόρμουλα δεν έχει ιδιαίτερα πλεονεκτήματα σε σχέση με την πρώτη. Ωστόσο, αν πάρουμε, για παράδειγμα, , τότε αποδεικνύεται ότι , δηλ. η εξίσωση έχει λύση, ενώ ο πρώτος τρόπος μας οδηγεί στην απάντηση . «Δείτε» και αποδείξτε την ισότητα Όχι και τόσο εύκολο.

Απάντηση. .

Μετασχηματισμός και ένωση ομάδων γενικών λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων

Θα εξετάσουμε μια αριθμητική πρόοδο που εκτείνεται επ 'αόριστον και προς τις δύο κατευθύνσεις. Τα μέλη αυτής της προόδου μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες μελών, που βρίσκονται στα δεξιά και στα αριστερά κάποιου μέλους, που ονομάζεται κεντρικό ή μηδενικό μέλος της προόδου.

Διορθώνοντας έναν από τους όρους της άπειρης προόδου με έναν αριθμό μηδέν, θα πρέπει να πραγματοποιήσουμε διπλή αρίθμηση για όλους τους υπόλοιπους όρους: θετικός για τους όρους που βρίσκονται στα δεξιά και αρνητικός για τους όρους που βρίσκονται στα αριστερά του μηδενός.

Γενικά, αν η διαφορά της προόδου , ο όρος μηδέν , ο τύπος για οποιονδήποτε (ο) όρο της άπειρης αριθμητικής προόδου είναι:

Μετασχηματισμοί τύπου για οποιοδήποτε μέλος μιας άπειρης αριθμητικής προόδου

1. Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τη διαφορά της προόδου στον μηδενικό όρο, τότε η πρόοδος δεν θα αλλάξει από αυτό, αλλά θα μετακινηθεί μόνο ο μηδενικός όρος, δηλ. θα αλλάξει η αρίθμηση των μελών.

2. Εάν ο συντελεστής μιας μεταβλητής πολλαπλασιαστεί με , τότε αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα μόνο μια μετάθεση της δεξιάς και της αριστερής ομάδας όρων.

3. Αν διαδοχικά μέλη μιας άπειρης προόδου

για παράδειγμα , , , ..., , για να κάνετε τους κεντρικούς όρους των προόδων με την ίδια διαφορά ίσο με :

τότε η πρόοδος και η σειρά προόδου εκφράζουν τους ίδιους αριθμούς.

Παράδειγμα Η σειρά μπορεί να αντικατασταθεί από τις ακόλουθες τρεις σειρές: , , .

4. Εάν άπειρες προόδους με την ίδια διαφορά έχουν αριθμούς ως κεντρικά μέλη που σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά, τότε αυτές οι σειρές μπορούν να αντικατασταθούν από μία πρόοδο με διαφορά και με ένα κεντρικό μέλος ίσο με οποιοδήποτε από τα κεντρικά μέλη αυτών προόδους, δηλ. αν

τότε αυτές οι προόδους συνδυάζονται σε μία:

Παράδειγμα , , , και τα δύο συνδυάζονται σε μια ομάδα, αφού .

Για να μετατρέψουμε ομάδες που έχουν κοινές λύσεις σε ομάδες που δεν έχουν κοινές λύσεις, αυτές οι ομάδες αποσυντίθενται σε ομάδες με κοινή περίοδο και στη συνέχεια προσπαθούμε να συνδυάσουμε τις ομάδες που προκύπτουν, εξαιρουμένων των επαναλαμβανόμενων.

Παραγοντοποίηση

Η μέθοδος παραγοντοποίησης είναι η εξής: αν

τότε οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης

είναι η λύση του συνόλου των εξισώσεων

Η αντίστροφη πρόταση είναι, σε γενικές γραμμές, ψευδής: δεν είναι κάθε λύση του συνόλου λύση της εξίσωσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι λύσεις μεμονωμένων εξισώσεων ενδέχεται να μην περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού της συνάρτησης.

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, αναπαριστάνουμε την εξίσωση στη μορφή

Απάντηση. ; .

Μετατροπή του αθροίσματος των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Εφαρμόζουμε τον τύπο, παίρνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση

Απάντηση. .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Σε αυτήν την περίπτωση, πριν εφαρμόσετε τους τύπους για το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο αναγωγής . Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση

Απάντηση. , .

Επίλυση εξισώσεων μετατρέποντας το γινόμενο τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε άθροισμα

Κατά την επίλυση ενός αριθμού εξισώσεων, χρησιμοποιούνται τύποι.

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.

Απάντηση. , .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο, παίρνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση:

Απάντηση. .

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τύπων αναγωγής

Κατά την επίλυση ενός ευρέος φάσματος τριγωνομετρικών εξισώσεων, οι τύποι παίζουν βασικό ρόλο.

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο, παίρνουμε μια ισοδύναμη εξίσωση.

Απάντηση. ; .

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τύπων τριπλού επιχειρήματος

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Εφαρμόζουμε τον τύπο, παίρνουμε την εξίσωση

Απάντηση. ; .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Εφαρμόζοντας τους τύπους για τη μείωση του βαθμού, παίρνουμε: . Με την εφαρμογή παίρνουμε:

Απάντηση. ; .

Ισότητα ομώνυμων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.

Απάντηση. , .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Ας μετατρέψουμε την εξίσωση.

Απάντηση. .

Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι και ικανοποιούν την εξίσωση

Βρείτε το άθροισμα.

Λύση.Από την εξίσωση προκύπτει ότι

Απάντηση. .

Εξετάστε τα αθροίσματα της φόρμας

Αυτά τα αθροίσματα μπορούν να μετατραπούν σε γινόμενο πολλαπλασιάζοντάς τα και διαιρώντας τα με το , τότε παίρνουμε

Αυτή η τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ορισμένων τριγωνομετρικών εξισώσεων, αλλά θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ως αποτέλεσμα μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Ακολουθεί μια γενίκευση αυτών των τύπων:

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο είναι μια λύση στην αρχική εξίσωση. Επομένως, ο πολλαπλασιασμός της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης με δεν οδηγεί στην εμφάνιση επιπλέον ριζών.

Εχουμε .

Απάντηση. ; .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Πολλαπλασιάζουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με και εφαρμόζοντας τους τύπους για τη μετατροπή του γινομένου των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε άθροισμα, παίρνουμε

Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο δύο εξισώσεων και , όπου και .

Εφόσον οι ρίζες της εξίσωσης δεν είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε από τα προκύπτοντα σύνολα λύσεων θα πρέπει να εξαιρεθούν. Έτσι στο σετ πρέπει να αποκλείσετε .

Απάντηση.και , .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Ας μετατρέψουμε την έκφραση:

Η εξίσωση θα γραφτεί με τη μορφή:

Απάντηση. .

Αναγωγή τριγωνομετρικών εξισώσεων σε αλγεβρικές

Μείωση στο τετράγωνο

Αν η εξίσωση μοιάζει

τότε η αντικατάσταση το φέρνει σε τετράγωνο, γιατί () και.

Αν αντί του όρου υπάρχει , τότε η απαιτούμενη αντικατάσταση θα είναι .

Η εξίσωση

ανάγεται στην τετραγωνική εξίσωση

παρουσίαση ως . Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι για το οποίο , δεν είναι ρίζες της εξίσωσης, και κάνοντας την αλλαγή, η εξίσωση ανάγεται σε τετραγωνική.

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Ας το μετακινήσουμε στην αριστερή πλευρά, ας το αντικαταστήσουμε με , και ας εκφράσουμε μέσω και .

Μετά από απλοποιήσεις, παίρνουμε: . Διαιρέστε όρο με όρο με , κάντε την αντικατάσταση:

Επιστρέφοντας στο , βρίσκουμε .

Εξισώσεις ομοιογενείς ως προς ,

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

όπου , , , ..., , --- πραγματικούς αριθμούς. Σε κάθε όρο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, οι βαθμοί των μονοωνύμων είναι ίσοι, δηλ. το άθροισμα των μοιρών του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι ίδιο και ίσο με. Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ομοιογενήςσε σχέση με και , και ο αριθμός ονομάζεται δείκτης ομοιογένειας .

Είναι σαφές ότι αν , τότε η εξίσωση θα έχει τη μορφή:

των οποίων οι λύσεις είναι οι τιμές για τις οποίες , δηλ. οι αριθμοί , . Η δεύτερη εξίσωση, γραμμένη σε αγκύλες, είναι επίσης ομοιογενής, αλλά οι μοίρες είναι 1 χαμηλότερες.

Αν , τότε αυτοί οι αριθμοί δεν είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

Όταν παίρνουμε: , και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (1) παίρνει την τιμή .

Έτσι, για , και , επομένως, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να διαιρεθούν με . Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την εξίσωση:

η οποία, με αντικατάσταση, ανάγεται εύκολα στην αλγεβρική:

Ομογενείς εξισώσεις με δείκτη ομοιογένειας 1. Στο , έχουμε την εξίσωση .

Αν , τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση , , από όπου , .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής πρώτου βαθμού. Διαιρώντας και τα δύο μέρη του με παίρνουμε: , , , .

Απάντηση. .

Παράδειγμα Στο , παίρνουμε μια ομοιογενή εξίσωση της μορφής

Λύση.

Αν , τότε διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , παίρνουμε την εξίσωση , το οποίο μπορεί εύκολα να μειωθεί σε τετράγωνο με αντικατάσταση: . Αν ένα , τότε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες , . Η αρχική εξίσωση θα έχει δύο ομάδες λύσεων: , , .

Αν ένα , τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής δεύτερου βαθμού. Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , παίρνουμε: . Ας , λοιπόν , , . , , ; , , .

Απάντηση. .

Η εξίσωση ανάγεται σε μια εξίσωση της μορφής

Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα

Συγκεκριμένα, η εξίσωση μειώνεται σε ομοιογενή εάν αντικατασταθεί από , τότε παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση:

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Ας μετατρέψουμε την εξίσωση σε ομοιογενή:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , παίρνουμε την εξίσωση:

Έστω, τότε ερχόμαστε στην τετραγωνική εξίσωση: , , , , .

Απάντηση. .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, δεδομένου ότι έχουν θετικές τιμές: , ,

Ας, μετά παίρνουμε , , .

Απάντηση. .

Εξισώσεις που λύνονται με χρήση ταυτοτήτων

Είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τους ακόλουθους τύπους:

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Χρησιμοποιώντας, παίρνουμε

Απάντηση.

Δεν προσφέρουμε τους ίδιους τους τύπους, αλλά τον τρόπο εξαγωγής τους:

Συνεπώς,

Ομοίως,.

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Ας μετατρέψουμε την έκφραση:

Η εξίσωση θα γραφτεί με τη μορφή:

Παίρνοντας , παίρνουμε . , . συνεπώς

Απάντηση. .

Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση

Τριγωνομετρική εξίσωση της φόρμας

όπου --- ορθολογικόη συνάρτηση με τη βοήθεια τύπων -- , καθώς και με τη βοήθεια τύπων -- μπορεί να αναχθεί σε μια ορθολογική εξίσωση ως προς τα ορίσματα , , , μετά την οποία η εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μια αλγεβρική ορθολογική εξίσωση ως προς στη χρήση των καθολικών τύπων τριγωνομετρικής υποκατάστασης

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση τύπων μπορεί να οδηγήσει σε στένωση του ODZ της αρχικής εξίσωσης, καθώς δεν ορίζεται στα σημεία , επομένως σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ελεγχθεί εάν οι γωνίες είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Σύμφωνα με το καθήκον. Εφαρμόζοντας τους τύπους και κάνοντας την αντικατάσταση, παίρνουμε

από πού και, επομένως, .

Εξισώσεις της φόρμας

Εξισώσεις της μορφής , όπου --- πολυώνυμο, λύνονται αλλάζοντας τα άγνωστα

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Κάνοντας την αντικατάσταση και λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε

όπου , . --- εξωγενής ρίζα, γιατί . Ρίζες εξισώσεων είναι .

Χρήση περιορισμένων λειτουργιών

Στην πρακτική της κεντρικής δοκιμής, δεν είναι ασυνήθιστο να συναντάμε εξισώσεις των οποίων η λύση βασίζεται στο όριο των συναρτήσεων και . Για παράδειγμα:

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Αφού , , τότε η αριστερή πλευρά δεν υπερβαίνει και ισούται με , αν

Για να βρούμε τις τιμές που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις, προχωράμε ως εξής. Λύνουμε ένα από αυτά και, στη συνέχεια, μεταξύ των τιμών που βρέθηκαν επιλέγουμε εκείνες που ικανοποιούν τις άλλες.

Ας ξεκινήσουμε με το δεύτερο: , . Επειτα , .

Είναι σαφές ότι μόνο για ζυγούς αριθμούς θα είναι .

Απάντηση. .

Μια άλλη ιδέα υλοποιείται λύνοντας την ακόλουθη εξίσωση:

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης: , .

Προσθέτοντας αυτές τις ανισότητες ανά όρο, έχουμε:

Επομένως, η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι ίση αν και μόνο αν ισχύουν οι δύο ισότητες:

δηλαδή μπορεί να πάρει τις τιμές , , , ή μπορεί να πάρει τις τιμές , .

Απάντηση. , .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση., . Συνεπώς, .

Απάντηση. .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.Δηλώστε , τότε από τον ορισμό της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης έχουμε και .

Εφόσον , η ανισότητα προκύπτει από την εξίσωση, δηλ. . Αφού και , τότε και . Ωστόσο, και ως εκ τούτου.

Αν και , τότε . Αφού προηγουμένως είχε διαπιστωθεί ότι , τότε .

Απάντηση. , .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.Το εύρος των έγκυρων τιμών της εξίσωσης είναι .

Ας δείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση

Για οποιοδήποτε, μπορεί να πάρει μόνο θετικές τιμές.

Ας αναπαραστήσουμε τη συνάρτηση ως εξής: .

Από τότε, δηλ. .

Επομένως, για να αποδειχθεί η ανισότητα, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι . Για το σκοπό αυτό, κύβουμε και τα δύο μέρη αυτής της ανισότητας, λοιπόν

Η αριθμητική ανισότητα που προκύπτει δείχνει ότι . Αν λάβουμε επίσης υπόψη ότι , τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι μη αρνητική.

Σκεφτείτε τώρα τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Επειδή , έπειτα

Ωστόσο, είναι γνωστό ότι . Από εδώ προκύπτει ότι , δηλ. η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν υπερβαίνει το . Είχε αποδειχθεί προηγουμένως ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι μη αρνητική, επομένως η ισότητα μπορεί να είναι μόνο στην περίπτωση που και τα δύο μέρη της είναι ίσα, και αυτό είναι δυνατό μόνο για .

Απάντηση. .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.Σημειώστε και . Εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky, λαμβάνουμε . Ως εκ τούτου προκύπτει ότι . Από την άλλη, υπάρχει . Επομένως, η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση. .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση:

Λύση.Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή:

Απάντηση. .

Λειτουργικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών και συνδυασμένων εξισώσεων

Δεν μπορεί κάθε εξίσωση ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών να αναχθεί σε μια εξίσωση μιας ή άλλης τυπικής μορφής, για την οποία υπάρχει μια συγκεκριμένη μέθοδος επίλυσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις, αποδεικνύεται χρήσιμο να χρησιμοποιηθούν τέτοιες ιδιότητες των συναρτήσεων και όπως η μονοτονία, η οριοθέτηση, η ομαλότητα, η περιοδικότητα κ.λπ. Έτσι, εάν μια από τις συναρτήσεις μειωθεί και η δεύτερη αυξηθεί στο διάστημα, τότε αν η εξίσωση έχει μια ρίζα σε αυτό το διάστημα, αυτή η ρίζα είναι μοναδική και, για παράδειγμα, μπορεί να βρεθεί με επιλογή. Αν η συνάρτηση είναι οριοθετημένη από πάνω, και , και η συνάρτηση είναι οριοθετημένη από κάτω, και , τότε η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα εξισώσεων

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.Μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή

και λύστε το ως τετράγωνο ως προς το . Μετά παίρνουμε

Ας λύσουμε την εξίσωση του πρώτου συνόλου. Λαμβάνοντας υπόψη το όριο της συνάρτησης , καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση μπορεί να έχει ρίζα μόνο στο διάστημα . Σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση αυξάνεται και η συνάρτηση μειώνεται. Επομένως, αν αυτή η εξίσωση έχει ρίζα, τότε είναι μοναδική. Βρίσκουμε με επιλογή.

Απάντηση. .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση

Λύση.Αφήστε , και , τότε η αρχική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως συναρτησιακή εξίσωση . Εφόσον η συνάρτηση είναι περιττή, τότε . Σε αυτή την περίπτωση, παίρνουμε την εξίσωση

Εφόσον , και είναι μονότονη στο , η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση , δηλ. , το οποίο έχει μία μόνο ρίζα .

Απάντηση. .

Παράδειγμα λύσει την εξίσωση .

Λύση.Με βάση το θεώρημα για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, είναι σαφές ότι η συνάρτηση φθίνουσα (συνάρτηση μείωση, αύξηση, μείωση). Από αυτό είναι σαφές ότι η συνάρτηση ορίζεται στις , φθίνουσα. Να γιατί δεδομένη εξίσωσηέχει το πολύ μία ρίζα. Επειδή , έπειτα

Απάντηση. .

Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση.

Λύση.Θεωρήστε την εξίσωση σε τρία διαστήματα.

α) Αφήστε . Τότε σε αυτό το σύνολο η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση . Το οποίο δεν έχει λύσεις στο μεσοδιάστημα, αφού , , ένα . Στο διάστημα, η αρχική εξίσωση επίσης δεν έχει ρίζες, γιατί , ένα .

β) Αφήστε . Τότε σε αυτό το σύνολο η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

των οποίων οι ρίζες στο διάστημα είναι οι αριθμοί , , , .

γ) Αφήστε . Τότε σε αυτό το σύνολο η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Το οποίο δεν έχει λύσεις στο διάστημα, αφού , αλλά . Η εξίσωση επίσης δεν έχει λύσεις στο διάστημα, αφού , , ένα .

Απάντηση. , , , .

Μέθοδος συμμετρίας

Η μέθοδος συμμετρίας είναι βολική στη χρήση όταν η διατύπωση εργασίας περιέχει την απαίτηση να είναι μοναδική η λύση μιας εξίσωσης, ανισότητας, συστήματος κ.λπ. ή ακριβής ένδειξη του αριθμού των λύσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να εντοπιστεί οποιαδήποτε συμμετρία των παραστάσεων.

Είναι επίσης απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η ποικιλία των διαφορετικών πιθανών τύπων συμμετρίας.

Εξίσου σημαντική είναι η αυστηρή τήρηση λογικών σταδίων στο συλλογισμό με συμμετρία.

Συνήθως, η συμμετρία μας επιτρέπει να καθιερώσουμε μόνο τις απαραίτητες συνθήκες και στη συνέχεια πρέπει να ελέγξουμε την επάρκειά τους.

Παράδειγμα Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου για την οποία έχει η εξίσωση μόνη απόφαση.

Λύση.Σημειώστε ότι και --- ακόμη και λειτουργίες, άρα η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι άρτια συνάρτηση.

Αν λοιπόν είναι λύση σε μια εξίσωση, τότε υπάρχει και λύση στην εξίσωση. Αν είναι η μόνη λύση της εξίσωσης, τότε απαραίτητη , .

Ας επιλέξουμε δυνατόντιμές, που απαιτούν να είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Σημειώνουμε αμέσως ότι άλλες τιμές δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την κατάσταση του προβλήματος.

Αλλά δεν είναι ακόμη γνωστό εάν όλοι όσοι επιλέχθηκαν ικανοποιούν πράγματι την κατάσταση του προβλήματος.

Επάρκεια.

1) , η εξίσωση θα πάρει τη μορφή .

2), η εξίσωση θα έχει τη μορφή:

Προφανώς, για όλους και . Επομένως, η τελευταία εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

Έτσι, αποδείξαμε ότι για , η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση. .

Λύση με εξερεύνηση συναρτήσεων

Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι όλες οι λύσεις της εξίσωσης

Ολόκληροι αριθμοί.

Λύση.Η κύρια περίοδος της αρχικής εξίσωσης είναι . Επομένως, πρώτα μελετάμε αυτήν την εξίσωση στο τμήμα .

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση στη μορφή:

Με τη βοήθεια μιας αριθμομηχανής παίρνουμε:

Αν , τότε από τις προηγούμενες ισότητες παίρνουμε:

Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει, παίρνουμε: .

Οι υπολογισμοί που πραγματοποιήθηκαν παρέχουν την ευκαιρία να υποθέσουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης που ανήκει στο διάστημα είναι , και .

Η άμεση επαλήθευση επιβεβαιώνει αυτή την υπόθεση. Έτσι, αποδεικνύεται ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι μόνο ακέραιοι , .

Παράδειγμα Λύστε την Εξίσωση .

Λύση.Βρείτε την κύρια περίοδο της εξίσωσης. Η κύρια περίοδος της λειτουργίας είναι . Η κύρια περίοδος της λειτουργίας είναι . Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών και ισούται με . Επομένως, η κύρια περίοδος της εξίσωσης είναι . Αφήστε .

Προφανώς, είναι μια λύση στην εξίσωση. Στο μεσοδιάστημα. Η συνάρτηση είναι αρνητική. Επομένως, άλλες ρίζες της εξίσωσης θα πρέπει να αναζητηθούν μόνο στα διαστήματα x και .

Με τη βοήθεια ενός μικροϋπολογιστή, βρίσκουμε πρώτα τις κατά προσέγγιση τιμές των ριζών της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, συντάσσουμε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων σε διαστήματα και ? δηλ. στα διαστήματα και .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Οι ακόλουθες υποθέσεις φαίνονται εύκολα από τον πίνακα: οι ρίζες της εξίσωσης που ανήκει στο τμήμα είναι αριθμοί: ; ; . Η άμεση επαλήθευση επιβεβαιώνει αυτή την υπόθεση.

Απάντηση. ; ; .

Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο

Κατά την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων της μορφής , όπου είναι μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείται ένας τριγωνομετρικός κύκλος για να παρουσιάζεται με μεγαλύτερη σαφήνεια η λύση της ανισότητας και να σημειώνεται η απάντηση. Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων είναι η αναγωγή τους στις απλούστερες ανισώσεις του τύπου. Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να λύσουμε τέτοιες ανισότητες.

Παράδειγμα Λύστε την ανισότητα.

Λύση.Ας σχεδιάσουμε έναν τριγωνομετρικό κύκλο και ας σημειώσουμε πάνω του τα σημεία για τα οποία η τεταγμένη είναι μεγαλύτερη από .

Για τη λύση αυτής της ανισότητας θα είναι . Είναι επίσης σαφές ότι εάν κάποιος αριθμός διαφέρει από κάποιον αριθμό από το υποδεικνυόμενο διάστημα κατά , τότε δεν θα είναι επίσης μικρότερος από . Επομένως, στα άκρα του ευρεθέντος τμήματος της λύσης, πρέπει απλώς να προσθέσετε . Τέλος, παίρνουμε ότι οι λύσεις της αρχικής ανισότητας θα είναι όλες .

Απάντηση. .

Για την επίλυση ανισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, είναι χρήσιμη η έννοια μιας γραμμής εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Αυτές είναι οι γραμμές και, αντίστοιχα (στο σχήμα (1) και (2)), που αγγίζουν τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι εάν χτίσετε μια ακτίνα με αρχή στην αρχή, κάνοντας μια γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, τότε το μήκος του τμήματος από το σημείο μέχρι το σημείο τομής αυτής της ακτίνας με την ευθεία εφαπτομένες είναι ακριβώς ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που κάνει αυτή η ακτίνα με τον άξονα της τετμημένης. Μια παρόμοια παρατήρηση ισχύει για την συνεφαπτομένη.

Παράδειγμα Λύστε την ανισότητα.

Λύση.Σημειώστε , τότε η ανισότητα θα πάρει τη μορφή της απλούστερης: . Θεωρήστε ένα διάστημα με μήκος ίσο με την ελάχιστη θετική περίοδο (LPP) της εφαπτομένης. Σε αυτό το τμήμα, χρησιμοποιώντας την ευθεία των εφαπτομένων, καθορίζουμε ότι . Τώρα υπενθυμίζουμε τι πρέπει να προστεθεί, αφού το RPE της συνάρτησης . Ετσι, . Επιστρέφοντας στη μεταβλητή, παίρνουμε ότι.

Απάντηση. .

Είναι βολικό να λύνουμε ανισώσεις με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας γραφήματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό με ένα παράδειγμα.

Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων με γραφική μέθοδο

Σημειώστε ότι εάν --- περιοδική λειτουργία, τότε για να λυθεί η ανίσωση, είναι απαραίτητο να βρούμε τις λύσεις της σε ένα τμήμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με την περίοδο της συνάρτησης . Όλες οι λύσεις της αρχικής ανισότητας θα αποτελούνται από τις τιμές που βρέθηκαν, καθώς και όλες εκείνες που διαφέρουν από αυτές που βρέθηκαν κατά οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό περιόδων της συνάρτησης.

Εξετάστε τη λύση της ανίσωσης ().

Από τότε η ανισότητα δεν έχει λύσεις για . Αν , τότε το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα --- πολλάόλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Αφήστε . Η συνάρτηση ημιτόνου έχει τη μικρότερη θετική περίοδο, επομένως η ανισότητα μπορεί να λυθεί πρώτα σε ένα τμήμα μήκους, για παράδειγμα, σε ένα τμήμα. Κατασκευάζουμε γραφήματα συναρτήσεων και (). δίνονται από ανισώσεις της μορφής: και, από πού,

Σε αυτή την εργασία, εξετάστηκαν μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων, τόσο του απλούστερου όσο και του επιπέδου της Ολυμπιάδας. Εξετάστηκαν οι κύριες μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων, τόσο συγκεκριμένες --- χαρακτηριστικές μόνο για τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις --- όσο και γενικές συναρτησιακές μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων, όπως εφαρμόζονται στις τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Η διπλωματική εργασία παρέχει βασικές θεωρητικές πληροφορίες: τον ορισμό και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. έκφραση τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε σχέση με άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η οποία είναι πολύ σημαντική για τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, ειδικά εκείνων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εκτός από τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, γνωστούς από το σχολικό μάθημα, δίνονται τύποι που απλοποιούν εκφράσεις που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εξετάζονται η λύση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, η μέθοδος παραγοντοποίησης, μέθοδοι αναγωγής τριγωνομετρικών εξισώσεων σε αλγεβρικές. Λόγω του γεγονότος ότι οι λύσεις των τριγωνομετρικών εξισώσεων μπορούν να γραφτούν με πολλούς τρόπους και η μορφή αυτών των λύσεων δεν επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει αμέσως εάν αυτές οι λύσεις είναι ίδιες ή διαφορετικές, εξετάζεται ένα γενικό σχήμα για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και εξετάζεται αναλυτικά ο μετασχηματισμός ομάδων γενικών λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Οι μέθοδοι επίλυσης στοιχειωδών τριγωνομετρικών ανισώσεων, τόσο σε μοναδιαίο κύκλο όσο και με γραφική μέθοδο, εξετάζονται λεπτομερώς. Περιγράφεται η διαδικασία επίλυσης μη στοιχειωδών τριγωνομετρικών ανισώσεων μέσω στοιχειωδών ανισώσεων και η μέθοδος των διαστημάτων που είναι ήδη πολύ γνωστή στους μαθητές. Δίνονται οι λύσεις τυπικών εργασιών για την επιλογή των ριζών. Δίνονται οι απαραίτητες θεωρητικές πληροφορίες για την επιλογή των ριζών: η διαίρεση του συνόλου των ακεραίων σε μη τέμνοντα υποσύνολα, η λύση των εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς (διοφαντική).

Τα αποτελέσματα αυτής της διπλωματικής εργασίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία μαθημάτων και διατριβών, στην προετοιμασία μαθημάτων επιλογής για μαθητές, καθώς και η εργασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην προετοιμασία των μαθητών για εισαγωγικές εξετάσεις και κεντρικές εξετάσεις.

Vygodsky Ya.Ya., Εγχειρίδιο στοιχειωδών μαθηματικών. /Vygodsky Ya.Ya. --- Μ.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Μαθηματικά στην προφορική εξέταση / Igudisman O. --- M .: Iris press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., εξισώσεις / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Μινσκ: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Εργαστήριο για τα στοιχειώδη μαθηματικά / Litvinenko V.N. --- M .: Εκπαίδευση, 1991.

Sharygin I.F., Προαιρετικό μάθημα στα μαθηματικά: επίλυση προβλημάτων / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- Μ.: Διαφωτισμός, 1991.

Bardushkin V., Τριγωνομετρικές εξισώσεις. Επιλογή ριζών / V. Bardushkin, A. Prokofiev.// Mathematics, No. 12, 2005 p. 23--27.

Vasilevsky A.B., Εργασίες για εξωσχολική εργασία στα μαθηματικά / Vasilevsky A.B. --- Μν.: Λαϊκός Ασβέτα. 1988. --- 176s.

Sapunov P. I., Μετασχηματισμός και ένωση ομάδων γενικών λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων / Sapunov P. I. // Μαθηματική εκπαίδευση, τεύχος αρ. 3, 1935.

Borodin P., Τριγωνομετρία. Υλικά εισαγωγικών εξετάσεων στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας [κείμενο] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Mathematics No. 1, 2005 p. 36--48.

Samusenko A.V., Μαθηματικά: Τυπικά λάθη των υποψηφίων: Εγχειρίδιο αναφοράς / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Minsk: Higher School, 1991.

Azarov A.I., Λειτουργικές και γραφικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων εξέτασης / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Minsk: Aversev, 2004.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Οι τριγωνομετρικές ανισώσεις είναι ανισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων

Η λύση των τριγωνομετρικών ανισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων της μορφής: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \όνομα χειριστή(tg) x > a \ ), \(\ \ όνομα χειριστή(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \όνομα χειριστή(tg) x \ leq a \), \ (\ \όνομα χειριστή(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \όνομα χειριστή(tg ) x \geq a \ ), \(\ \όνομα χειριστή(tg) x \geq a \)

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις λύνονται γραφικά ή χρησιμοποιώντας έναν μοναδιαίο τριγωνομετρικό κύκλο.

Εξ ορισμού, το ημίτονο της γωνίας \(\ \άλφα \) είναι η τεταγμένη του σημείου \(\ P_(\άλφα)(x, y) \) του μοναδιαίου κύκλου (Εικ. 1), και το συνημίτονο είναι η τετμημένη αυτού του σημείου. Αυτό το γεγονός χρησιμοποιείται για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων με συνημίτονο και ημίτονο χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Παραδείγματα επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων

Ασκηση

Λύστε την ανισότητα \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Λύθηκε

Εφόσον \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , αυτή η ανισότητα έχει λύση και μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους

Πρώτος τρόπος. Ας λύσουμε αυτή την ανισότητα γραφικά. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων ένα γράφημα του ημιτόνου \(\ y=\sin x \) (Εικ. 2) και της ευθείας \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)

Ας επιλέξουμε τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται το ημιτονοειδές κάτω από το γράφημα της ευθείας \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Βρείτε τα τετμημένα \(\ x_(1) \) και \(\ x_(2) \) των σημείων τομής αυτών των γραφημάτων: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3 ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Πήραμε το διάστημα \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) αλλά επειδή η συνάρτηση \(\ y=\sin x \) είναι περιοδική και έχει τελεία \(\ 2 \pi \) , τότε η απάντηση είναι η ένωση των διαστημάτων: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\δεξιά] \), \(\ k \σε Z \)

Ο δεύτερος τρόπος. Κατασκευάστε έναν κύκλο μονάδας και μια ευθεία \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , υποδηλώστε τα σημεία τομής τους \(\ P_(x_(1)) \) και \(\ P_(x_ (2 )) \) (Εικ. 3). Η λύση στην αρχική ανισότητα θα είναι το σύνολο των τεταγμένων σημείων που είναι μικρότερα από \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Ας βρούμε την τιμή των \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) και \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) πηγαίνοντας αριστερόστροφα, \(\ x_(1) Εικ. 3

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης ημιτόνου, λαμβάνουμε τελικά τα διαστήματα \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\right] \), \(\k\σε Z\)

Απάντηση\(\ x \in\αριστερά[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\δεξιά] \), \(\ k \σε Ω)

Ασκηση

Λύστε την ανισότητα \(\ \sin x>2 \)

Λύση

Το ημίτονο είναι μια οριοθετημένη συνάρτηση: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , και η δεξιά πλευρά αυτής της ανισότητας είναι μεγαλύτερη από μία, επομένως δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Ασκηση

Λύστε την ανισότητα \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

Λύση

Αυτή η ανισότητα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους: γραφικά και χρησιμοποιώντας έναν κύκλο μονάδας. Ας εξετάσουμε κάθε μία από τις μεθόδους.

Πρώτος τρόπος. Ας απεικονίσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων τις συναρτήσεις που περιγράφουν το αριστερό και το δεξιό μέρος της ανίσωσης, δηλαδή \(\ y=\cos x \) και \(\ y=\frac(1)(2) \) . Ας επιλέξουμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημιτόνου \(\ y=\cos x \) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της ευθείας \(\ y=\frac(1)(2) \) (Εικ. 4 ).

Βρείτε τα τετμημένα των σημείων \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) και \(\ x_(2) \) - τα σημεία τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων \(\ y=\cos x \ ) και \(\ y=\frac (1)(2) \) , που είναι τα άκρα ενός από τα διαστήματα στα οποία ισχύει η υποδεικνυόμενη ανισότητα. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το συνημίτονο είναι μια περιοδική συνάρτηση, με τελεία \(\ 2 \pi \) , η απάντηση είναι η τιμή \(\ x \) από τα διαστήματα \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Ο δεύτερος τρόπος. Ας κατασκευάσουμε έναν μοναδιαίο κύκλο και μια ευθεία γραμμή \(\ x=\frac(1)(2) \) (αφού ο άξονας x αντιστοιχεί στα συνημίτονα του μοναδιαίου κύκλου). Έστω \(\ P_(x_(1)) \) και \(\ P_(x_(2)) \) (Εικ. 5) τα σημεία τομής της ευθείας και του μοναδιαίου κύκλου. Η λύση στην αρχική εξίσωση θα είναι το σύνολο των σημείων τετμημένης που είναι μικρότερα από \(\ \frac(1)(2) \) . Βρείτε την τιμή των \(\ x_(1) \) και \(\ 2 \) , κάνοντας μια περιήγηση αριστερόστροφα έτσι ώστε \(\ x_(1) Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα του συνημιτόνου, λαμβάνουμε τελικά τα διαστήματα \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)

Απάντηση: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \σε Z \)

Ασκηση

Λύστε την ανισότητα \(\ \όνομα χειριστή(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Λύση

Ας σχεδιάσουμε γραφήματα συναρτήσεων \(\ y=\όνομα χειριστή(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) σε ένα σύστημα συντεταγμένων

Ας επιλέξουμε τα διαστήματα όπου το γράφημα της συνάρτησης \(\ y=\όνομα χειριστή(ctg) x \) δεν είναι υψηλότερο από το γράφημα της ευθείας \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (Εικ. 6) .

Βρείτε την τετμημένη του σημείου \(\ x_(0) \) , που είναι το τέλος ενός από τα διαστήματα στα οποία υπάρχει η ανισότητα \(\ x_(0)=\όνομα χειριστή(arcctg)\left(-\frac(\ sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)

Το άλλο άκρο αυτού του κενού είναι το σημείο \(\ \pi \) , και η συνάρτηση \(\ y=\όνομα χειριστή(ctg) x \) δεν έχει οριστεί σε αυτό το σημείο. Έτσι, μία από τις λύσεις αυτής της ανισότητας είναι το διάστημα \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

Απάντηση: \(\ x \in\αριστερά[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\δεξιά) \), \(\ k \in Z \)

Τριγωνομετρικές ανισώσεις με μιγαδικό όρισμα

Οι τριγωνομετρικές ανισώσεις με μιγαδικό όρισμα μπορούν να αναχθούν στις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις χρησιμοποιώντας μια αντικατάσταση. Μετά την επίλυσή του γίνεται η αντίστροφη αντικατάσταση και εκφράζεται το αρχικό άγνωστο.

Ασκηση

Λύστε την ανισότητα \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

Λύση

Εκφράστε το συνημίτονο στη δεξιά πλευρά αυτής της ανισότητας: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Πραγματοποιούμε την αντικατάσταση \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , μετά την οποία αυτή η ανισότητα μετατρέπεται στην απλούστερη ανισότητα \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας. Ας κατασκευάσουμε έναν κύκλο μονάδας και μια γραμμή \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Ας συμβολίσουμε τα \(\ P_(1) \) και \(\ P_(2) \) ως σημεία τομής της ευθείας και του μοναδιαίου κύκλου (Εικ. 7).

Η λύση στην αρχική ανισότητα θα είναι το σύνολο των σημείων τετμημένης, τα οποία είναι το πολύ \(\ -\frac(1)(2) \). Το σημείο \(\ P_(1) \) αντιστοιχεί στη γωνία \(\ 120^(\circ) \) , και το σημείο \(\ P_(2) \) . Έτσι, δεδομένης της περιόδου συνημιτόνου, παίρνουμε \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ) , \(\ n \σε Z \)

Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \σε Z \)

Εκφράζουμε \(\ \mathbf(x) \), για να το κάνουμε αυτό, πρώτα αφαιρούμε \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\σε Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

και μετά, διαιρέστε με το 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Απάντηση\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Διπλές τριγωνομετρικές ανισώσεις

Ασκηση

Λύστε τη διπλή τριγωνομετρική ανισότητα \(\ \frac(1)(2)

Λύση

Ας εισάγουμε την αντικατάσταση \(\ t=\frac(x)(2) \) , τότε η αρχική ανισότητα θα πάρει τη μορφή \(\ \frac(1)(2)

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας. Δεδομένου ότι ο άξονας τεταγμένων αντιστοιχεί στο ημίτονο στον μοναδιαίο κύκλο, επιλέγουμε πάνω του το σύνολο των τεταγμένων του οποίου είναι μεγαλύτερο από \(\ x=\frac(1)(2) \) και μικρότερο ή ίσο με \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Στο σχήμα 8, αυτά τα σημεία θα βρίσκονται στα τόξα \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) και \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Ας βρούμε την τιμή \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , κάνοντας μια περιήγηση αριστερόστροφα και \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)

Έτσι, λαμβάνουμε δύο διαστήματα, τα οποία, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της ημιτονοειδούς συνάρτησης, μπορούν να γραφτούν ως εξής \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Express \(\ \mathbf( x) \), για αυτό πολλαπλασιάζουμε όλες τις πλευρές και των δύο ανισώσεων επί 2, παίρνουμε \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x

Απάντηση\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\δεξιά) \), \(\ k \σε Z \)

Σε ένα πρακτικό μάθημα, θα επαναλάβουμε τους κύριους τύπους εργασιών από το θέμα "Τριγωνομετρία", θα αναλύσουμε επιπλέον προβλήματα αυξημένης πολυπλοκότητας και θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης διαφόρων τριγωνομετρικών ανισοτήτων και των συστημάτων τους.

Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για έναν από τους τύπους εργασιών B5, B7, C1 και C3.

Ας ξεκινήσουμε επαναλαμβάνοντας τους κύριους τύπους εργασιών που εξετάσαμε στο θέμα Τριγωνομετρία και λύνουμε αρκετές μη τυπικές εργασίες.

Εργασία #1. Μετατρέψτε τις γωνίες σε ακτίνια και μοίρες: α) ; β) .

α) Χρησιμοποιήστε τον τύπο για τη μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια

Αντικαταστήστε τη δεδομένη τιμή σε αυτό.

β) Εφαρμόστε τον τύπο για τη μετατροπή των ακτίνων σε μοίρες

Ας κάνουμε την αντικατάσταση .

Απάντηση. ένα) ; β) .

Εργασία #2. Υπολογίστε: α) ; β) .

α) Επειδή η γωνία είναι πολύ πέρα ​​από τον πίνακα, τη μειώνουμε αφαιρώντας την περίοδο του ημιτονοειδούς. Επειδή η γωνία δίνεται σε ακτίνια, τότε η περίοδος θα θεωρηθεί ως .

β) Στην περίπτωση αυτή η κατάσταση είναι παρόμοια. Εφόσον η γωνία καθορίζεται σε μοίρες, τότε θα θεωρήσουμε την περίοδο της εφαπτομένης ως .

Η γωνία που προκύπτει, αν και μικρότερη από την περίοδο, είναι μεγαλύτερη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν αναφέρεται πλέον στο κύριο, αλλά στο εκτεταμένο τμήμα του πίνακα. Για να μην εκπαιδεύσουμε ξανά τη μνήμη μας απομνημονεύοντας έναν εκτεταμένο πίνακα τιμών τριγώνων συναρτήσεων, αφαιρούμε ξανά την εφαπτομένη περίοδο:

Εκμεταλλευτήκαμε την παραδοξότητα της εφαπτομένης συνάρτησης.

Απάντηση. Α'1; β) .

Εργασία #3. Υπολογίζω , αν .

Φέρνουμε ολόκληρη την έκφραση στις εφαπτομένες διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με . Ταυτόχρονα, δεν μπορούμε να το φοβόμαστε αυτό, γιατί Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της εφαπτομένης δεν θα υπήρχε.

Εργασία #4. Απλοποιήστε την έκφραση.

Οι καθορισμένες εκφράσεις μετατρέπονται χρησιμοποιώντας τύπους cast. Απλώς είναι ασυνήθιστα γραμμένα χρησιμοποιώντας βαθμούς. Η πρώτη έκφραση είναι γενικά ένας αριθμός. Απλοποιήστε όλες τις τριγωνικές συναρτήσεις με τη σειρά:

Επειδή , τότε η συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση, π.χ. στην συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο δεύτερο τέταρτο, στο οποίο το πρόσημο της αρχικής εφαπτομένης είναι αρνητικό.

Για τους ίδιους λόγους όπως και στην προηγούμενη έκφραση, η συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση, π.χ. στην συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο πρώτο τέταρτο, στο οποίο η αρχική εφαπτομένη έχει θετικό πρόσημο.

Αντικαθιστώντας τα πάντα σε μια απλοποιημένη έκφραση:

Εργασία #5. Απλοποιήστε την έκφραση.

Ας γράψουμε την εφαπτομένη της διπλής γωνίας σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο και ας απλοποιήσουμε την έκφραση:

Η τελευταία ταυτότητα είναι μία από τις καθολικές φόρμουλες αντικατάστασης του συνημιτόνου.

Εργασία #6. Υπολογίστε.

Το κύριο πράγμα είναι να μην κάνετε ένα τυπικό σφάλμα και να μην δώσετε μια απάντηση που η έκφραση είναι ίση με . Είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί η κύρια ιδιότητα της εφαπτομένης του τόξου ενώ υπάρχει ένας παράγοντας με τη μορφή δύο κοντά της. Για να απαλλαγούμε από αυτήν, γράφουμε την έκφραση σύμφωνα με τον τύπο για την εφαπτομένη διπλής γωνίας, ενώ την αντιμετωπίζουμε ως ένα συνηθισμένο όρισμα.

Τώρα είναι ήδη δυνατή η εφαρμογή της κύριας ιδιότητας της εφαπτομένης τόξου, θυμηθείτε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στο αριθμητικό της αποτέλεσμα.

Εργασία #7. Λύστε την εξίσωση.

Όταν λύνουμε μια κλασματική εξίσωση που ισούται με μηδέν, υποδεικνύεται πάντα ότι ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής όχι, επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Η πρώτη εξίσωση είναι μια ειδική περίπτωση της απλούστερης εξίσωσης, η οποία λύνεται χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Σκεφτείτε μόνοι σας αυτή τη λύση. Η δεύτερη ανισότητα λύνεται ως η απλούστερη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για τις ρίζες της εφαπτομένης, αλλά μόνο με το πρόσημο όχι ίσο.

Όπως μπορούμε να δούμε, μια οικογένεια ριζών αποκλείει μια άλλη ακριβώς την ίδια οικογένεια ριζών που δεν ικανοποιούν την εξίσωση. Εκείνοι. δεν υπάρχουν ρίζες.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν ρίζες.

Εργασία #8. Λύστε την εξίσωση.

Σημειώστε αμέσως ότι μπορείτε να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα και να το κάνετε:

Η εξίσωση έχει αναχθεί σε μία από τις τυπικές μορφές, όταν το γινόμενο πολλών παραγόντων είναι ίσο με μηδέν. Γνωρίζουμε ήδη ότι σε αυτή την περίπτωση είτε το ένα από αυτά ισούται με μηδέν, είτε το άλλο, είτε το τρίτο. Το γράφουμε ως σύνολο εξισώσεων:

Οι δύο πρώτες εξισώσεις είναι ειδικές περιπτώσεις από τις πιο απλές, έχουμε ήδη συναντήσει πολλές φορές παρόμοιες εξισώσεις, οπότε θα υποδείξουμε αμέσως τις λύσεις τους. Μειώνουμε την τρίτη εξίσωση σε μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας.

Ας λύσουμε την τελευταία εξίσωση χωριστά:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, γιατί η αξία του ημιτονοειδούς δεν μπορεί να υπερβεί .

Έτσι, μόνο οι δύο πρώτες οικογένειες ριζών είναι η λύση, μπορούν να συνδυαστούν σε μία, η οποία είναι εύκολο να φανεί σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο:

Αυτή είναι μια οικογένεια όλων των μισών, δηλ.

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων. Αρχικά, ας αναλύσουμε την προσέγγιση για την επίλυση ενός παραδείγματος χωρίς τη χρήση γενικών τύπων λύσης, αλλά με τη βοήθεια ενός τριγωνομετρικού κύκλου.

Εργασία #9. Λύστε την ανισότητα.

Σχεδιάστε μια βοηθητική γραμμή στον τριγωνομετρικό κύκλο που αντιστοιχεί στην τιμή του ημιτόνου ίση με , και δείξτε το διάστημα των γωνιών που ικανοποιούν την ανίσωση.

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ακριβώς πώς να καθορίσετε το προκύπτον διάστημα γωνίας, δηλ. ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος της. Η αρχή του διακένου θα είναι η γωνία που αντιστοιχεί στο σημείο που θα εισέλθουμε στην αρχή του κενού αν κινηθούμε αριστερόστροφα. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι το σημείο που βρίσκεται στα αριστερά, γιατί κινούμενοι αριστερόστροφα και περνώντας το σωστό σημείο, αντίθετα, βγαίνουμε από το απαιτούμενο διάστημα γωνίας. Το σωστό σημείο θα αντιστοιχεί επομένως στο τέλος του κενού.

Τώρα πρέπει να κατανοήσουμε τις τιμές των γωνιών αρχής και τέλους του χάσματος των λύσεών μας στην ανισότητα. Ένα τυπικό λάθος είναι να υποδείξετε αμέσως ότι το σωστό σημείο αντιστοιχεί στη γωνία , το αριστερό και να δώσετε την απάντηση. Αυτό δεν είναι αληθινό! Σημειώστε ότι μόλις υποδείξαμε το διάστημα που αντιστοιχεί στο πάνω μέρος του κύκλου, αν και μας ενδιαφέρει το κάτω, με άλλα λόγια, έχουμε μπερδέψει την αρχή και το τέλος του διαστήματος των λύσεων που χρειαζόμαστε.

Προκειμένου το διάστημα να ξεκινά από τη γωνία του δεξιού σημείου και να τελειώνει στη γωνία του αριστερού σημείου, η πρώτη καθορισμένη γωνία πρέπει να είναι μικρότερη από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να μετρήσουμε τη γωνία του σωστού σημείου στην αρνητική κατεύθυνση αναφοράς, δηλ. δεξιόστροφα και θα είναι ίσο με . Στη συνέχεια, ξεκινώντας από αυτό με θετική φορά δεξιόστροφα, θα φτάσουμε στο δεξί σημείο μετά το αριστερό σημείο και θα πάρουμε την τιμή της γωνίας για αυτό. Τώρα η αρχή του διαστήματος των γωνιών είναι μικρότερη από το τέλος του , και μπορούμε να γράψουμε το διάστημα των λύσεων χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίοδο:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τέτοια διαστήματα θα επαναληφθούν άπειρες φορές μετά από οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό περιστροφών, παίρνουμε τη γενική λύση, λαμβάνοντας υπόψη την ημιτονοειδή περίοδο:

Βάζουμε στρογγυλές αγκύλες γιατί η ανισότητα είναι αυστηρή και τρυπάμε τα σημεία του κύκλου που αντιστοιχούν στα άκρα του διαστήματος.

Συγκρίνετε την απάντησή σας με τον τύπο για τη γενική λύση που δώσαμε στη διάλεξη.

Απάντηση. .

Αυτή η μέθοδος είναι καλή για να κατανοήσουμε από πού προέρχονται οι τύποι για τις γενικές λύσεις των απλούστερων τριγωνικών ανισώσεων. Επιπλέον, είναι χρήσιμο για όσους είναι πολύ τεμπέληδες να μάθουν όλες αυτές τις δυσκίνητες φόρμουλες. Ωστόσο, η ίδια η μέθοδος δεν είναι επίσης εύκολη, επιλέξτε ποια προσέγγιση στη λύση είναι πιο βολική για εσάς.

Για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα γραφήματα συναρτήσεων στα οποία είναι χτισμένη η βοηθητική γραμμή, παρόμοια με τη μέθοδο που εμφανίζεται χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας. Εάν ενδιαφέρεστε, προσπαθήστε να κατανοήσετε μόνοι σας αυτήν την προσέγγιση στη λύση. Σε όσα ακολουθούν, θα χρησιμοποιήσουμε γενικούς τύπουςγια την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Εργασία #10. Λύστε την ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο λύσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή:

Παίρνουμε στην περίπτωσή μας:

Απάντηση.

Εργασία #11. Λύστε την ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο λύσης για την αντίστοιχη αυστηρή ανισότητα:

Απάντηση. .

Εργασία #12. Λύστε ανισώσεις: α) ; β) .

Σε αυτές τις ανισότητες, δεν πρέπει να βιαστεί κανείς να χρησιμοποιήσει τύπους για γενικές λύσεις ή έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί απλώς να θυμηθεί το εύρος των τιμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

α) Επειδή , τότε η ανισότητα δεν έχει νόημα. Επομένως, δεν υπάρχουν λύσεις.

β) Επειδή Ομοίως, το ημίτονο οποιουδήποτε επιχειρήματος ικανοποιεί πάντα την ανισότητα που καθορίζεται στη συνθήκη. Επομένως, η ανισότητα ικανοποιείται από όλους πραγματικές αξίεςδιαφωνία .

Απάντηση. α) δεν υπάρχουν λύσεις. β) .

Εργασία 13. Λύστε την ανισότητα .

Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων

Αρχικά, ας θυμηθούμε τους τύπους για την επίλυση του απλούστερου τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Για να λύσουμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις, πρέπει πρώτα να λύσουμε την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική κύκλος, εύρημα λύση ανισότητας. Εξετάστε τις λύσεις των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων με παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

Βρείτε μια λύση στην τριγωνομετρική ανισότητα $sinx=\frac(1)(2)$

\ \

Εικόνα 1. Λύση της ανισότητας $sinx\ge \frac(1)(2)$.

Εφόσον η ανισότητα έχει πρόσημο «μεγαλύτερο ή ίσο», η λύση βρίσκεται στο πάνω τόξο του κύκλου (σε σχέση με τη λύση της εξίσωσης).

Απάντηση: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

Παράδειγμα 2

Βρείτε μια λύση στην τριγωνομετρική ανισότητα $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

\ \

Σημειώστε τη λύση στον τριγωνομετρικό κύκλο

Εφόσον η ανισότητα έχει πρόσημο «λιγότερο από», η λύση βρίσκεται στο τόξο του κύκλου που βρίσκεται στα αριστερά (σε σχέση με τη λύση της εξίσωσης).

Απάντηση: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

Παράδειγμα 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

Βρείτε μια λύση στην τριγωνομετρική ανισότητα $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

\ \

Εδώ χρειαζόμαστε επίσης έναν τομέα ορισμού. Όπως θυμόμαστε λειτουργίεςεφαπτομένη $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\σε Z$

Σημειώστε τη λύση στον τριγωνομετρικό κύκλο

Εικόνα 3. Λύση της ανισότητας $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

Εφόσον η ανισότητα έχει πρόσημο «λιγότερο από ή ίσο», η λύση βρίσκεται στα τόξα του κύκλου που σημειώνονται με μπλε χρώμα στο Σχήμα 3.

Απάντηση: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\ cup \αριστερά (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\δεξιά.\αριστερά.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\δεξιά]$

Παράδειγμα 4

Βρείτε μια λύση στην τριγωνομετρική ανισότητα $ctgx=\sqrt(3)$

\ \

Εδώ χρειαζόμαστε επίσης έναν τομέα ορισμού. Όπως θυμόμαστε, η εφαπτομένη συνάρτηση $x\ne \pi n,n\σε Z$

Σημειώστε τη λύση στον τριγωνομετρικό κύκλο

Εικόνα 4. Λύση της ανισότητας $ctgx\le \sqrt(3)$.

Εφόσον η ανισότητα έχει πρόσημο "μεγαλύτερο από", η λύση βρίσκεται στα τόξα του κύκλου που σημειώνονται με μπλε χρώμα στο σχήμα 4.

Απάντηση: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\δεξιά)$