Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο x0. Υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης online

Παράδειγμα 1

Αναφορά: Οι ακόλουθοι τρόποι σημείωσης μιας συνάρτησης είναι ισοδύναμοι: Σε ορισμένες εργασίες, είναι βολικό να ορίσετε τη συνάρτηση ως "παίκτης" και σε ορισμένες ως "ef από x".

Πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο:

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο

, , πλήρης μελέτη λειτουργίαςκαι τα λοιπά.

Παράδειγμα 3

Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο . Ας βρούμε πρώτα την παράγωγο:

Λοιπόν, αυτό είναι ένα εντελώς διαφορετικό θέμα. Υπολογίστε την τιμή της παραγώγου στο σημείο:

Σε περίπτωση που δεν καταλαβαίνετε πώς βρέθηκε το παράγωγο, επιστρέψτε στα δύο πρώτα μαθήματα του θέματος. Εάν υπάρχουν δυσκολίες (παρεξήγηση) με την εφαπτομένη του τόξου και τις έννοιές της, αναγκαίως μελέτη μεθοδολογικού υλικού Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων- η τελευταία παράγραφος. Διότι υπάρχουν ακόμα αρκετοί αρκετοί για τη φοιτητική ηλικία.

Παράδειγμα 4

Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο .

Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Για να συμπυκνώσετε την προηγούμενη παράγραφο, εξετάστε το πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης γραφικά λειτουργίαςσε αυτό το σημείο. Αυτό το καθήκον το συναντήσαμε στο σχολείο και το συναντάμε και στο μάθημα των ανώτερων μαθηματικών.

Εξετάστε ένα στοιχειώδες παράδειγμα «επίδειξης».

Να γράψετε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο με την τετμημένη. Θα φέρω αμέσως το τελειωμένο γραφική λύσηεργασίες (στην πράξη, αυτό δεν είναι απαραίτητο στις περισσότερες περιπτώσεις):

Ένας αυστηρός ορισμός της εφαπτομένης δίνεται από ορισμοί της παραγώγου μιας συνάρτησης, αλλά προς το παρόν θα κυριαρχήσουμε στο τεχνικό μέρος του θέματος. Σίγουρα σχεδόν όλοι καταλαβαίνουν διαισθητικά τι είναι η εφαπτομένη. Εάν εξηγήσετε "στα δάχτυλα", τότε η εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης είναι ευθεία, που αφορά το γράφημα της συνάρτησης στο το μοναδικόσημείο. Σε αυτήν την περίπτωση, όλα τα κοντινά σημεία της ευθείας βρίσκονται όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα της συνάρτησης.

Όπως εφαρμόζεται στην περίπτωσή μας: στο , η εφαπτομένη (τυπική σημειογραφία) αγγίζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο.

Και το καθήκον μας είναι να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο; Δύο προφανή σημεία αυτής της εργασίας προκύπτουν από τη διατύπωση:

1) Είναι απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος.

2) Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός της τιμής της παραγώγου σε ένα δεδομένο σημείο.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο

Βοήθεια: Οι ακόλουθοι τρόποι σημείωσης μιας συνάρτησης είναι ισοδύναμοι:


Σε ορισμένες εργασίες, είναι βολικό να ορίσετε τη συνάρτηση ως "παίκτης" και σε ορισμένες ως "ef από x".

Πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο:

Ελπίζω ότι πολλοί έχουν ήδη προσαρμοστεί για να βρουν τέτοια παράγωγα προφορικά.

Στο δεύτερο βήμα, υπολογίζουμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο:

Ένα μικρό παράδειγμα προθέρμανσης για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η ανάγκη εύρεσης της παραγώγου σε ένα σημείο προκύπτει στις ακόλουθες εργασίες: κατασκευή μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (επόμενη παράγραφος), μελέτη μιας συνάρτησης για ένα άκρο , μελέτη της συνάρτησης για την κλίση της γραφικής παράστασης , πλήρης μελέτη λειτουργίας και τα λοιπά.

Αλλά το έργο που εξετάζεται βρίσκεται στα έγγραφα ελέγχου και από μόνο του. Και, κατά κανόνα, σε τέτοιες περιπτώσεις, η λειτουργία δίνεται αρκετά περίπλοκη. Από αυτή την άποψη, εξετάστε δύο ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης στο σημείο.
Ας βρούμε πρώτα την παράγωγο:

Το παράγωγο, καταρχήν, βρίσκεται και η απαιτούμενη τιμή μπορεί να αντικατασταθεί. Αλλά δεν θέλω πραγματικά να κάνω τίποτα. Η έκφραση είναι πολύ μεγάλη και η τιμή του "x" είναι κλασματική. Επομένως, προσπαθούμε να απλοποιήσουμε την παράγωγή μας όσο το δυνατόν περισσότερο. Σε αυτήν την περίπτωση, ας προσπαθήσουμε να αναγάγουμε τους τρεις τελευταίους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή: στο σημείο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Πώς να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης F(x) στο σημείο Ho; Πώς να το λύσετε γενικά;

Εάν δίνεται ο τύπος, τότε βρείτε την παράγωγο και αντικαταστήστε το X-zero αντί για το X. μετρώ
Αν μιλάμε για b-8 USE, γράφημα, τότε πρέπει να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας (οξεία ή αμβλεία), η οποία σχηματίζει εφαπτομένη στον άξονα Χ (χρησιμοποιώντας τη νοητική κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου και προσδιορίζοντας την εφαπτομένη του η γωνία)

Timur adilkhodzhaev

Πρώτα, πρέπει να αποφασίσετε για το σημάδι. Αν το x0 είναι στο κάτω μέρος επίπεδο συντεταγμένων, τότε το πρόσημο στην απάντηση θα είναι μείον, και αν υψηλότερο, τότε +.
Δεύτερον, πρέπει να ξέρετε τι είναι tange σε ένα ορθογώνιο ορθογώνιο. Και αυτή είναι η αναλογία της απέναντι πλευράς (πόδι) προς τη διπλανή πλευρά (επίσης πόδι). Συνήθως υπάρχουν μερικά μαύρα σημάδια στον πίνακα. Από αυτά τα σημάδια κάνετε ορθογώνιο τρίγωνοκαι βρες tanges.

Πώς να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f x στο σημείο x0;

δεν υπάρχει συγκεκριμένη ερώτηση - πριν από 3 χρόνια

Στη γενική περίπτωση, για να βρεθεί η τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε σχέση με κάποια μεταβλητή σε οποιοδήποτε σημείο, είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί η δεδομένη συνάρτηση σε σχέση με αυτήν τη μεταβλητή. Στην περίπτωσή σας, από τη μεταβλητή X. Στην παράσταση που προκύπτει, αντί για X, βάλτε την τιμή του x στο σημείο για το οποίο πρέπει να βρείτε την τιμή της παραγώγου, δηλ. στην περίπτωσή σας, αντικαταστήστε το μηδέν X και υπολογίστε την παράσταση που προκύπτει.

Λοιπόν, η επιθυμία σας να κατανοήσετε αυτό το θέμα, κατά τη γνώμη μου, αξίζει αναμφίβολα +, το οποίο βάζω με ήσυχη τη συνείδησή μου.

Μια τέτοια διατύπωση του προβλήματος της εύρεσης της παραγώγου τίθεται συχνά για να στερεώσει το υλικό στη γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Προτείνεται ένα γράφημα μιας συγκεκριμένης συνάρτησης, εντελώς αυθαίρετο και μη δίνεται από την εξίσωσηκαι απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου (όχι της ίδιας της παραγώγου!) στο καθορισμένο σημείο X0. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζεται μια εφαπτομένη στη δεδομένη συνάρτηση και βρίσκονται τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων. Τότε η εξίσωση αυτής της εφαπτομένης συντάσσεται με τη μορφή y=kx+b.

Σε αυτή την εξίσωση, ο συντελεστής k και θα είναι η τιμή της παραγώγου. απομένει μόνο να βρεθεί η τιμή του συντελεστή β. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την τιμή του y στο x \u003d o, ας είναι ίση με 3 - αυτή είναι η τιμή του συντελεστή b. Αντικαθιστούμε τις τιμές των X0 και Y0 στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε το k - την τιμή μας της παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Στο πρόβλημα Β9 δίνεται μια γραφική παράσταση συνάρτησης ή παραγώγου, από την οποία απαιτείται να προσδιοριστεί ένα από τα ακόλουθα μεγέθη:

1. Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
2. Υψηλά ή χαμηλά σημεία (ακραία σημεία),
3. Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).

Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, γεγονός που απλοποιεί σημαντικά τη λύση. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, είναι αρκετά στη δύναμη ακόμη και των πιο αδύναμων μαθητών, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.

Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.

Διαβάστε προσεκτικά την κατάσταση του προβλήματος Β9 για να μην κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντώνται αρκετά ογκώδη κείμενα, αλλά υπάρχουν λίγες σημαντικές συνθήκες που επηρεάζουν την πορεία της λύσης.

Υπολογισμός της τιμής της παραγώγου. Μέθοδος δύο σημείων

Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0 , και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

1. Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Γράψτε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι το βασικό σημείο της λύσης και οποιοδήποτε λάθος εδώ οδηγεί σε λάθος απάντηση.
2. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
3. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.

Για άλλη μια φορά, σημειώνουμε: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει αναγκαστικά τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία, διαφορετικά το πρόβλημα διατυπώνεται εσφαλμένα.

Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Εξετάστε τα σημεία Α (0; 3) και Β (3; 0), βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Εξετάστε τα σημεία Α (0; 2) και Β (5; 2) και βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε τον κανόνα: εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο επαφής είναι ίση με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να υπολογίσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.

Υπολογισμός υψηλών και χαμηλών πόντων

Μερικές φορές αντί για γράφημα μιας συνάρτησης στο πρόβλημα Β9, δίνεται ένα γράφημα παραγώγου και απαιτείται να βρεθεί το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. Σε αυτό το σενάριο, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:

1. Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
2. Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανίσωση: f(x 0) ≤ f(x).

Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία στο γράφημα της παραγώγου, αρκεί να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Ξανασχεδιάστε το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα επιπλέον δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στη λύση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
2. Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Αντίθετα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
3. Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν, υπάρχει ένα ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο πρόβλημα Β9.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες - θα αφήσουμε μόνο τα σύνορα [−5; 5] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώστε επίσης τα σημάδια:

Προφανώς, στο σημείο x = −3, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:

Προφανώς, στο σημείο x = 5, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−6; τέσσερα]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο διάστημα [−4; 3].

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να ληφθεί υπόψη μόνο το τμήμα του γραφήματος που οριοθετείται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα, στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και τα μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, τα σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:

Σε αυτό το γράφημα, υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Είναι σε αυτό που το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.

Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα, εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα διατυπωθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν εμπλέκονται άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, με ακέραιους πόντους ένα τέτοιο κόλπο δεν θα λειτουργήσει.

Εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης

Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα σημεία μέγιστου και ελαχίστου, προτείνεται να βρεθούν περιοχές στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται από τη γραφική παράσταση της παραγώγου. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξουσα και η φθίνουσα:

1. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται αύξουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
2. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Διατυπώνουμε επαρκείς προϋποθέσεις για αύξηση και μείωση:

1. Για να αυξηθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
2. Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.

Δεχόμαστε αυτούς τους ισχυρισμούς χωρίς απόδειξη. Έτσι, παίρνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:

1. Καταργήστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε αφήνουμε μόνο αυτά.
2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα έχει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον στο νέο γράφημα.
3. Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τον περιορισμό, μένει να υπολογίσουμε την απαιτούμενη τιμή στο πρόβλημα.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα της φθίνουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ως συνήθως, ξανασχεδιάζουμε το γράφημα και σημειώνουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:

Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Μια εργασία. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−10; τέσσερα]. Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Αφήνουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, που αυτή τη φορά αποδείχθηκαν τέσσερα: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου και λάβετε την παρακάτω εικόνα:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης, δηλ. όπου f'(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Εφόσον απαιτείται να βρεθεί το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε την τιμή l 2 = 5 ως απάντηση.

Η αριθμομηχανή υπολογίζει τις παραγώγους όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, δίνοντας μια λεπτομερή λύση. Η μεταβλητή διαφοροποίησης προσδιορίζεται αυτόματα.

Παράγωγος συνάρτησηςείναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Τέτοια προβλήματα οδήγησαν στην εμφάνιση της παραγώγου, όπως, για παράδειγμα, ο υπολογισμός της στιγμιαίας ταχύτητας ενός σημείου σε μια χρονική στιγμή, εάν η διαδρομή είναι γνωστή ανάλογα με το χρόνο, το πρόβλημα της εύρεσης μιας εφαπτομένης σε μια συνάρτηση σε ένα σημείο .

Τις περισσότερες φορές, η παράγωγος μιας συνάρτησης ορίζεται ως το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, εάν υπάρχει.

Ορισμός.Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου. Τότε η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο ονομάζεται όριο, αν υπάρχει

Πώς να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης;

Για να μάθει κανείς να διαφοροποιεί τις λειτουργίες, πρέπει να μάθει και να κατανοήσει κανόνες διαφοροποίησηςκαι μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε πίνακας παραγώγων.

Κανόνες διαφοροποίησης

Έστω και είναι αυθαίρετες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και είναι κάποια πραγματική σταθερά. Επειτα

είναι ο κανόνας για τη διαφοροποίηση του γινομένου των συναρτήσεων

είναι ο κανόνας για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων πηλίκου

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — διαφοροποίηση συνάρτησης με μεταβλητό εκθέτη

- ο κανόνας διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης

είναι ο κανόνας διαφοροποίησης συνάρτησης ισχύος

Παράγωγο μιας συνάρτησης σε απευθείας σύνδεση

Η αριθμομηχανή μας θα υπολογίσει γρήγορα και με ακρίβεια την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης στο διαδίκτυο. Το πρόγραμμα δεν θα κάνει λάθη κατά τον υπολογισμό της παραγώγου και θα βοηθήσει στην αποφυγή μακρών και κουραστικών υπολογισμών. Ηλεκτρονική αριθμομηχανήΘα είναι επίσης χρήσιμο στην περίπτωση που υπάρχει ανάγκη να ελέγξετε τη λύση σας για την ορθότητα και εάν είναι λανθασμένη, βρείτε γρήγορα το σφάλμα.

Πολλές θεωρίες έχουν γραφτεί για το γεωμετρικό νόημα. Δεν θα μπω στην παραγωγή της αύξησης της συνάρτησης, θα σας υπενθυμίσω το κύριο πράγμα για την ολοκλήρωση εργασιών:

Η παράγωγος στο σημείο x είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) σε αυτό το σημείο, δηλαδή είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στον άξονα Χ.

Ας πάρουμε αμέσως την εργασία από την εξέταση και ας αρχίσουμε να την καταλαβαίνουμε:

Εργασία αριθμός 1. Το σχήμα δείχνειγράφημα συνάρτησης y = f(x) και η εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0.
Ποιος βιάζεται και δεν θέλει να καταλάβει τις εξηγήσεις:δημιουργήστε ένα τέτοιο τρίγωνο (όπως φαίνεται παρακάτω) και διαιρέστε την όρθια πλευρά (κάθετη) με την ξαπλωμένη (οριζόντια) και θα χαρείτε αν δεν ξεχάσετε το πρόσημο (αν η ευθεία μειωθεί (→ ↓), τότε η απάντηση πρέπει να είναι με μείον, αν η ευθεία αυξηθεί (→), τότε η απάντηση πρέπει να είναι θετική!)

Πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα Χ, ας την ονομάσουμε α: σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Χ οπουδήποτε μέσα από την εφαπτομένη στο γράφημα, έχουμε την ίδια γωνία.

Καλύτερα να μην πάρουμε το σημείο x0, γιατί θα χρειαστείτε έναν μεγάλο μεγεθυντικό φακό για να προσδιορίσετε τις ακριβείς συντεταγμένες.

Παίρνοντας οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο (προτείνονται 3 επιλογές στο σχήμα), βρίσκουμε το tgα (οι γωνίες είναι ίσες, ως αντίστοιχες), δηλ. παίρνουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0. Γιατί έτσι?

Αν σχεδιάσουμε εφαπτομένες σε άλλα σημεία x2, x1 κ.λπ. οι εφαπτομένες θα είναι διαφορετικές.

Ας επιστρέψουμε στην 7η τάξη για να φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή!

Η εξίσωση μιας ευθείας δίνεται από την εξίσωση y = kx + b , όπου

k - κλίση σε σχέση με τον άξονα Χ.

b είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου τομής με τον άξονα Υ και της αρχής.

Η παράγωγος μιας ευθείας είναι πάντα η ίδια: y" = k.

Σε όποιο σημείο της γραμμής πάρουμε την παράγωγο, θα είναι αμετάβλητη.

Επομένως, μένει μόνο να βρούμε το tgα (όπως αναφέρθηκε παραπάνω: χωρίζουμε την όρθια πλευρά με την ξαπλωμένη πλευρά). Διαιρούμε το αντίθετο σκέλος με το διπλανό, παίρνουμε ότι k \u003d 0,5. Ωστόσο, εάν το γράφημα μειώνεται, ο συντελεστής είναι αρνητικός: k = −0,5.

Σας συμβουλεύω να ελέγξετε δεύτερος τρόπος:
Δύο σημεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον καθορισμό μιας ευθείας γραμμής. Βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων. Για παράδειγμα, (-2;-2) και (2;-4):

Αντικαταστήστε στην εξίσωση y = kx + b αντί για y και x τις συντεταγμένες των σημείων:

-2 = -2k + β

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε b = −3, k = −0,5

Συμπέρασμα: Η δεύτερη μέθοδος είναι μεγαλύτερη, αλλά σε αυτήν δεν θα ξεχάσετε το σημάδι.

Απάντηση: - 0,5

Εργασία αριθμός 2. Το σχήμα δείχνει παράγωγο γράφημασυναρτήσεις f(x). Οκτώ σημεία σημειώνονται στον άξονα x: x1, x2, x3, ..., x8. Πόσα από αυτά τα σημεία βρίσκονται στα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x) ;

Εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι φθίνουσα - η παράγωγος είναι αρνητική (και το αντίστροφο).

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυξηθεί, η παράγωγος είναι θετική (και το αντίστροφο).

Αυτές οι δύο φράσεις θα σας βοηθήσουν να λύσετε τα περισσότερα από τα προβλήματα.

Κοίτα προσεκτικά σας δίνεται ένα σχέδιο μιας παραγώγου ή μιας συνάρτησης και, στη συνέχεια, επιλέξτε μία από τις δύο φράσεις.

Κατασκευάζουμε ένα σχηματικό γράφημα της συνάρτησης. Επειδή μας δίνεται μια γραφική παράσταση της παραγώγου, τότε όπου είναι αρνητική, η γραφική παράσταση της συνάρτησης μειώνεται, όπου είναι θετική, αυξάνεται!

Αποδεικνύεται ότι 3 σημεία βρίσκονται στις περιοχές αύξησης: x4; x5; x6.

Απάντηση: 3

Εργασία αριθμός 3. Η συνάρτηση f(x) ορίζεται στο διάστημα (-6; 4). Η εικόνα δείχνει γραφική παράσταση της παραγώγου της. Βρείτε την τετμημένη του σημείου όπου η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.

Σας συμβουλεύω να δημιουργείτε πάντα πώς πηγαίνει το γράφημα συνάρτησης, με τέτοια βέλη ή σχηματικά με σημάδια (όπως στο Νο. 4 και στο Νο. 5):

Προφανώς, αν το γράφημα αυξηθεί στο -2, τότε το μέγιστο σημείο είναι -2.

Απάντηση: -2

Εργασία αριθμός 4. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) και δώδεκα σημεία στον άξονα x: x1, x2, ..., x12. Σε πόσα από αυτά τα σημεία είναι αρνητική η παράγωγος της συνάρτησης;

Η εργασία είναι αντίστροφη, δεδομένου του γραφήματος της συνάρτησης, πρέπει να δημιουργήσετε σχηματικά πώς θα μοιάζει το γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης και να υπολογίσετε πόσα σημεία θα βρίσκονται στο αρνητικό εύρος.

Θετικά: x1, x6, x7, x12.

Αρνητικό: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Απάντηση: 7

Ένας άλλος τύπος εργασίας, όταν ρωτήθηκε για κάποιες τρομερές "ακρότητες"; Δεν θα σας είναι δύσκολο να βρείτε τι είναι, αλλά θα σας εξηγήσω για τα γραφήματα.

Εργασία αριθμός 5. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα (-16; 6). Να βρείτε τον αριθμό των ακραίων σημείων της συνάρτησης f(x) στο τμήμα [-11; 5].

Σημειώστε το εύρος από -11 έως 5!

Ας στρέψουμε τα λαμπερά μας μάτια στην πλάκα: δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης => τότε τα άκρα είναι τα σημεία τομής με τον άξονα Χ.

Απάντηση: 3

Εργασία αριθμός 6. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f (x), που ορίζεται στο διάστημα (-13; 9). Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) στο τμήμα [-12; 5].

Σημειώστε το εύρος από -12 έως 5!

Μπορείτε να κοιτάξετε την πλάκα με ένα μάτι, το μέγιστο σημείο είναι ένα άκρο, έτσι ώστε πριν από αυτό η παράγωγος να είναι θετική (η συνάρτηση αυξάνεται) και μετά η παράγωγος να είναι αρνητική (η συνάρτηση μειώνεται). Αυτά τα σημεία είναι κυκλωμένα.

Τα βέλη δείχνουν πώς συμπεριφέρεται το γράφημα της συνάρτησης.

Απάντηση: 3

Εργασία αριθμός 7. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-7; 5). Να βρείτε τον αριθμό των σημείων όπου η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι ίση με 0.

Μπορείτε να δείτε τον παραπάνω πίνακα (η παράγωγος είναι μηδέν, που σημαίνει ότι πρόκειται για ακραία σημεία). Και σε αυτό το πρόβλημα, δίνεται το γράφημα της συνάρτησης, που σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε αριθμός σημείων καμπής!

Και μπορείτε, ως συνήθως: χτίζουμε ένα σχηματικό γράφημα της παραγώγου.

Η παράγωγος είναι μηδέν όταν η γραφική παράσταση των συναρτήσεων αλλάζει την κατεύθυνση της (από αύξουσα σε φθίνουσα και αντίστροφα)

Απάντηση: 8

Εργασία αριθμός 8. Η εικόνα δείχνει παράγωγο γράφημασυνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-2; 10). Βρείτε τα διαστήματα της συνάρτησης αύξησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ας φτιάξουμε ένα σχηματικό γράφημα της συνάρτησης:

Όπου αυξάνεται, παίρνουμε 4 ακέραιους αριθμούς: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Απάντηση: 22

Εργασία αριθμός 9. Η εικόνα δείχνει παράγωγο γράφημασυνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα (-6; 6). Να βρείτε τον αριθμό των σημείων f(x) όπου η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία y = 2x + 13.

Μας δίνεται μια γραφική παράσταση της παραγώγου! Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη μας πρέπει επίσης να «μεταφραστεί» σε παράγωγο.

Εφαπτομένη παράγωγος: y" = 2.

Τώρα ας δημιουργήσουμε και τα δύο παράγωγα:

Οι εφαπτομένες τέμνονται σε τρία σημεία, οπότε η απάντησή μας είναι 3.

Απάντηση: 3

Εργασία αριθμός 10. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x), και σημειώνονται τα σημεία -2, 1, 2, 3. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η τιμή της παραγώγου είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Η εργασία είναι κάπως παρόμοια με την πρώτη: για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, πρέπει να δημιουργήσετε μια εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα σε ένα σημείο και να βρείτε τον συντελεστή k.

Εάν η γραμμή μειώνεται, k< 0.

Αν η ευθεία αυξάνεται, k > 0.

Ας σκεφτούμε πώς η τιμή του συντελεστή θα επηρεάσει την κλίση της ευθείας:

Με k = 1 ή k = − 1, η γραφική παράσταση θα βρίσκεται στη μέση μεταξύ των αξόνων x και y.

Όσο πιο κοντά είναι η ευθεία στον άξονα Χ, τόσο πιο κοντά στο μηδέν είναι ο συντελεστής k.

Όσο πιο κοντά είναι η ευθεία στον άξονα Υ, τόσο πιο κοντά στο άπειρο είναι ο συντελεστής k.

Στο σημείο -2 και 1 κ<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>εκεί θα είναι η μικρότερη τιμή του παραγώγου

Απάντηση: 1

Εργασία αριθμός 11. Η ευθεία είναι εφαπτομένη y = 3x + 9 στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x³ + x² + 2x + 8 . Βρείτε την τετμημένη του σημείου επαφής.

Η γραμμή θα είναι εφαπτομένη στο γράφημα όταν τα γραφήματα έχουν ένα κοινό σημείο, όπως οι παράγωγοί τους. Εξισώστε τις εξισώσεις των γραφημάτων και των παραγώγων τους:

Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2 βαθμούς. Για να ελέγξουμε ποιο είναι κατάλληλο, αντικαθιστούμε κάθε ένα από τα x στην πρώτη εξίσωση. Μόνο ένας θα κάνει.

Δεν θέλω να λύσω καθόλου κυβική εξίσωση, αλλά τετράγωνη για μια γλυκιά ψυχή.

Αυτό ακριβώς πρέπει να γράψετε ως απάντηση, εάν λάβετε δύο "κανονικές" απαντήσεις;

Όταν αντικαθιστάτε το x (x) στα αρχικά γραφήματα y \u003d 3x + 9 και y \u003d x³ + x² + 2x + 8, θα πρέπει να λάβετε το ίδιο Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Σωστά! Άρα x=1 θα είναι η απάντηση

Απάντηση: 1

Εργασία αριθμός 12. Η ευθεία y = − 5x − 6 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ax² + 5x − 5 . Βρες ένα .

Ομοίως, εξισώνουμε τις συναρτήσεις και τις παράγωγές τους:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα σε σχέση με τις μεταβλητές a και x:

Απάντηση: 25

Η εργασία με τα παράγωγα θεωρείται από τις πιο δύσκολες στο πρώτο μέρος της εξέτασης, ωστόσο, με λίγη προσοχή και κατανόηση του θέματος, θα τα καταφέρετε και θα ανεβάσετε το ποσοστό ολοκλήρωσης αυτής της εργασίας!