Cómo recordar puntos en un círculo unitario. Círculo en el plano de coordenadas Indica los números \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Al estudiar trigonometría en la escuela, cada estudiante se enfrenta a un concepto muy interesante de "círculo numérico". Depende de la capacidad del maestro de la escuela para explicar qué es y por qué se necesita, qué tan bien el alumno se irá con la trigonometría más adelante. Desafortunadamente, no todos los maestros pueden explicar este material de manera accesible. Como resultado, muchos estudiantes se confunden incluso con la forma de celebrar puntos en círculo numérico . Si lees este artículo hasta el final, aprenderás cómo hacerlo sin problemas.

Entonces empecemos. Dibujemos un círculo, cuyo radio sea igual a 1. El punto más "a la derecha" de este círculo se denotará con la letra O:

Enhorabuena, acabas de dibujar un círculo unitario. Como el radio de este círculo es 1, entonces su longitud es .

Cada número real se puede asociar con la longitud de la trayectoria a lo largo del círculo numérico desde el punto O. La dirección del movimiento es en sentido contrario a las agujas del reloj como la dirección positiva. Para negativo - en el sentido de las agujas del reloj:

Disposición de puntos en un círculo numérico

Como ya hemos señalado, la longitud del círculo numérico (círculo unitario) es igual a. Entonces, ¿dónde se ubicará el número en este círculo? Obviamente desde el punto O en sentido contrario a las agujas del reloj, debe recorrer la mitad de la longitud del círculo y nos encontraremos en el punto deseado. Vamos a denotarlo con una letra. B:

Tenga en cuenta que se podría llegar al mismo punto pasando el semicírculo en dirección negativa. Entonces pondríamos el número en el círculo unitario. Es decir, los números y corresponden al mismo punto.

Además, el mismo punto también corresponde a los números , , , y, en general, a un conjunto infinito de números que se pueden escribir en la forma , donde , es decir, pertenece al conjunto de los enteros. Todo esto se debe a que desde el punto B puedes hacer un viaje de "vuelta al mundo" en cualquier dirección (suma o resta la circunferencia) y llega al mismo punto. Obtenemos una conclusión importante que necesita ser entendida y recordada.

Cada número corresponde a un solo punto en el círculo numérico. Pero cada punto del círculo numérico corresponde a un número infinito de números.

Dividamos ahora el semicírculo superior del círculo numérico en arcos de igual longitud con un punto C. Es fácil ver que la longitud del arco jefe es igual a . Dejemos ahora de lado el punto C un arco de la misma longitud en sentido antihorario. Como resultado, llegamos al punto B. El resultado es bastante esperado, ya que . Pospongamos este arco en la misma dirección nuevamente, pero ahora desde el punto B. Como resultado, llegamos al punto D, que ya coincidirá con el número:

Nótese nuevamente que este punto corresponde no solo al número , sino también, por ejemplo, al número , porque a este punto se puede llegar apartándose del punto O cuarto de círculo en el sentido de las agujas del reloj (en el sentido negativo).

Y, en general, volvemos a notar que este punto corresponde a una infinidad de números que se pueden escribir en la forma . Pero también se pueden escribir como . O, si lo prefiere, en forma de . Todos estos registros son absolutamente equivalentes y se pueden obtener unos de otros.

Ahora dividamos el arco en jefe punto a la mitad METRO. Piensa ahora cuál es la longitud del arco OM? Así es, la mitad del arco. jefe. Eso es . ¿A qué números corresponde el punto? METRO en un círculo numérico? Estoy seguro de que ahora te darás cuenta de que estos números se pueden escribir en el formulario.

Pero es posible de otra manera. Tomemos la fórmula presentada. Entonces obtenemos eso . Es decir, estos números se pueden escribir como . El mismo resultado podría obtenerse usando un círculo numérico. Como dije, ambas entradas son equivalentes y se pueden obtener una de la otra.

Ahora puedes dar fácilmente un ejemplo de números que corresponden a puntos norte, PAGS y k en el círculo de números. Por ejemplo, números , y :

A menudo, son precisamente los números positivos mínimos los que se toman para designar los puntos correspondientes en el círculo numérico. Aunque esto no es del todo necesario, y el punto norte, como ya sabes, corresponde a una infinidad de otros números. Incluyendo, por ejemplo, el número .

Si rompes el arco jefe en tres arcos iguales con puntos S y L, entonces el punto S estará entre los puntos O y L, entonces la longitud del arco sistema operativo será igual a , y la longitud del arco OL será igual a . Usando el conocimiento que recibió en la parte anterior de la lección, puede averiguar fácilmente cómo resultaron el resto de los puntos en el círculo numérico:

Números que no son múltiplos de π en el círculo numérico

Hagámonos ahora la pregunta, ¿en qué parte de la recta numérica marcar el punto correspondiente al número 1? Para hacer esto, es necesario desde el punto más "derecho" del círculo unitario. O reservar un arco cuya longitud sería igual a 1. Solo podemos indicar aproximadamente la ubicación del punto deseado. Procedamos de la siguiente manera.

En general, este tema merece una atención especial, pero aquí todo es simple: en el ángulo de los grados, tanto el seno como el coseno son positivos (ver figura), luego tomamos el signo más.

Ahora intenta, con base en lo anterior, encontrar el seno y el coseno de los ángulos: y

Puedes hacer trampa: en particular para un ángulo en grados. Ya que si una esquina triángulo rectángulo es igual a grados, entonces el segundo es igual a grados. Ahora entran en vigor las fórmulas familiares:

Luego desde entonces y. Desde entonces y. Con grados, es aún más simple: si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es igual a grados, entonces el otro también es igual a grados, lo que significa que dicho triángulo es isósceles.

Entonces sus piernas son iguales. Entonces su seno y coseno son iguales.

Ahora encuentre de acuerdo con la nueva definición (¡a través de x e y!) el seno y el coseno de los ángulos en grados y grados. ¡No hay triángulos para dibujar aquí! ¡Son demasiado planas!

Deberías haber conseguido:

Puedes encontrar la tangente y la cotangente tú mismo usando las fórmulas:

¡Tenga en cuenta que no puede dividir por cero!

Ahora todos los números recibidos se pueden resumir en una tabla:

Aquí están los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos Yo cuarto. Por conveniencia, los ángulos se dan tanto en grados como en radianes (¡pero ahora ya sabes la relación entre ellos!). Preste atención a 2 guiones en la tabla: a saber, la cotangente de cero y la tangente de grados. ¡Esto no es un accidente!

En particular:

Ahora generalicemos el concepto de seno y coseno a un ángulo completamente arbitrario. Voy a considerar dos casos aquí:

1. El ángulo varía de a grados
2. Ángulo mayor que grados

En términos generales, torcí un poco mi alma, hablando de "bastante todos" los rincones. ¡También pueden ser negativos! Pero consideraremos este caso en otro artículo. Centrémonos primero en el primer caso.

Si el ángulo se encuentra en 1 cuarto, entonces todo está claro, ya hemos considerado este caso e incluso dibujamos tablas.

Ahora que nuestro ángulo sea mayor que grados y no mayor que. Esto significa que está ubicado en el segundo, tercer o cuarto trimestre.

¿Cómo vamos? ¡Sí, exactamente lo mismo!

Consideremos en lugar de algo como esto...

... como esto:

Es decir, considere el ángulo que se encuentra en el segundo cuarto. ¿Qué podemos decir de él?

El punto que es el punto de intersección del rayo y el círculo todavía tiene 2 coordenadas (nada sobrenatural, ¿no?). Estas son las coordenadas y

¡Además, la primera coordenada es negativa y la segunda es positiva! Esto significa que ¡en las esquinas del segundo cuarto, el coseno es negativo y el seno es positivo!

Increíble, ¿verdad? Antes de eso, nunca nos habíamos encontrado con un coseno negativo.

Sí, y en principio esto no podría ser cuando consideramos las funciones trigonométricas como razones de los lados de un triángulo. Por cierto, piensa en qué ángulos tienen el coseno igual. ¿Y cuál tiene un seno?

De manera similar, puedes considerar los ángulos en todos los demás cuartos. ¡Solo te recuerdo que el ángulo se cuenta en sentido antihorario! (como se muestra en la última imagen!).

Por supuesto, puede contar en la otra dirección, pero el enfoque de tales ángulos será algo diferente.

Con base en el razonamiento anterior, puedes colocar los signos del seno, coseno, tangente (como seno dividido por coseno) y cotangente (como coseno dividido por seno) para los cuatro cuartos.

Pero una vez más repito, no tiene sentido memorizar este dibujo. Todo lo que necesitas saber:

Practiquemos un poco contigo. Rompecabezas muy simples:

Averigüe qué signo tienen las siguientes cantidades:

¿Vamos a revisar?

1. grados: este es un ángulo, más grande y más pequeño, lo que significa que se encuentra en 3 cuartos. Dibuja cualquier ángulo en 3 cuartos y mira qué tipo de y tiene. Saldrá negativo. Después.
   grados - ángulo 2 cuartos. El seno es positivo y el coseno es negativo. Más dividido por menos es menos. Medio.
   grados - ángulo, mayor y menor. Entonces miente en 4 cuartos. Cualquier esquina del cuarto cuarto "X" será positiva, lo que significa
2. Trabajamos con radianes de manera similar: este es el ángulo del segundo cuarto (desde y. El seno del segundo cuarto es positivo.
   .
   , esta es la esquina del cuarto trimestre. Allí el coseno es positivo.
   - la esquina del cuarto cuarto otra vez. El coseno es positivo y el seno es negativo. Entonces la tangente será menor que cero:

Tal vez le resulte difícil determinar los cuartos en radianes. En ese caso, siempre se puede ir a grados. La respuesta, por supuesto, será exactamente la misma.

Ahora me gustaría detenerme muy brevemente en otro punto más. Recordemos de nuevo la identidad trigonométrica básica.

Como decía, a partir de ella podemos expresar el seno a través del coseno o viceversa:

La elección del signo se verá afectada únicamente por el cuarto en el que se encuentre nuestro ángulo alfa. Para las dos últimas fórmulas, hay muchas tareas en el examen, por ejemplo, estas son:

Una tarea

Hallar si y.

De hecho, ¡esta es una tarea para una cuarta parte! Mira cómo se resuelve:

Solución

Ya que, entonces sustituimos el valor aquí, entonces. Ahora le toca a los pequeños: lidiar con el cartel. ¿Qué necesitamos para esto? Sepa en qué barrio está nuestra esquina. Según la condición del problema: . ¿Qué trimestre es este? Cuatro. ¿Cuál es el signo del coseno en el cuarto cuadrante? El coseno en el cuarto cuadrante es positivo. Entonces nos queda elegir el signo más antes. , después.

No me detendré en tales tareas ahora, puede encontrar su análisis detallado en el artículo "". Solo quería señalarles la importancia de qué signo toma esta o aquella función trigonométrica dependiendo del trimestre.

Ángulos mayores que grados

Lo último que me gustaría señalar en este artículo es cómo lidiar con ángulos mayores que grados.

¿Qué es y con qué se puede comer para no atragantarse? Tomemos, digamos, un ángulo en grados (radianes) y vayamos en sentido contrario a las agujas del reloj...

En la imagen, dibujé una espiral, pero entiendes que en realidad no tenemos ninguna espiral: solo tenemos un círculo.

Entonces, ¿dónde llegamos si comenzamos desde un cierto ángulo y recorremos todo el círculo (grados o radianes)?

¿A dónde vamos? ¡Y llegaremos a la misma esquina!

Lo mismo, por supuesto, es cierto para cualquier otro ángulo:

Tomando un ángulo arbitrario y pasando toda la circunferencia, volveremos al mismo ángulo.

¿Qué nos dará? Esto es lo que: si, entonces

De donde finalmente obtenemos:

Para cualquier número entero. Esto significa que seno y coseno son funciones periódicas con un período.

Por lo tanto, no hay problema en encontrar el signo del ángulo ahora arbitrario: solo necesitamos descartar todos los "círculos enteros" que caben en nuestra esquina y averiguar en qué cuarto se encuentra la esquina restante.

Por ejemplo, para encontrar una señal:

Verificamos:

1. En grados cabe tiempos en grados (grados):
   grados a la izquierda. Este es el cuarto cuarto de ángulo. Hay un seno negativo, entonces
2. . grados Este es el tercer cuarto de ángulo. Allí el coseno es negativo. Después
3. . . Desde entonces - la esquina del primer cuarto. Allí el coseno es positivo. Entonces porque
4. . . Dado que nuestro ángulo se encuentra en el segundo cuarto, donde el seno es positivo.

Podemos hacer lo mismo para la tangente y la cotangente. Sin embargo, de hecho, es aún más fácil con ellas: también son funciones periódicas, solo que su período es 2 veces menor:

Entonces, entiendes qué es un círculo trigonométrico y para qué sirve.

Pero todavía tenemos muchas preguntas:

1. ¿Qué son los ángulos negativos?
2. Cómo calcular valores funciones trigonométricas en estos rincones
3. Cómo usar los valores conocidos de las funciones trigonométricas del 1er trimestre para buscar los valores de las funciones en otros trimestres (¡¿realmente necesitas llenar la mesa?!)
4. ¿Cómo usar un círculo para simplificar la solución de ecuaciones trigonométricas?

NIVEL PROMEDIO

Bueno, en este artículo, continuaremos estudiando el círculo trigonométrico y discutiremos los siguientes puntos:

1. ¿Qué son los ángulos negativos?
2. ¿Cómo calcular los valores de las funciones trigonométricas en estos ángulos?
3. ¿Cómo utilizar los valores conocidos de funciones trigonométricas del 1er trimestre para buscar los valores de funciones en otros trimestres?
4. ¿Qué es el eje tangente y el eje de las cotangentes?

No necesitaremos ningún conocimiento adicional, excepto las habilidades básicas de trabajar con un círculo unitario (artículo anterior). Bueno, vayamos a la primera pregunta: ¿qué son los ángulos negativos?

ángulos negativos

Ángulos negativos en trigonometría se establecen en un círculo trigonométrico hacia abajo desde el principio, en la dirección del movimiento en el sentido de las agujas del reloj:

Recordemos cómo previamente graficamos ángulos en un círculo trigonométrico: Pasamos de la dirección positiva del eje en sentido anti-horario:

Entonces en nuestra figura se construye un ángulo igual a . Del mismo modo, construimos todas las esquinas.

Sin embargo, nada nos impide ir de la dirección positiva del eje. agujas del reloj.

También obtendremos diferentes ángulos, pero ya serán negativos:

La siguiente imagen muestra dos ángulos que son iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto:

En general, la regla se puede formular de la siguiente manera:

• Vamos en sentido contrario a las agujas del reloj: obtenemos ángulos positivos
• Vamos en el sentido de las agujas del reloj: obtenemos ángulos negativos

Esquemáticamente, la regla se muestra en esta figura:

Podrías hacerme una pregunta bastante razonable: bueno, necesitamos ángulos para poder medir sus valores de seno, coseno, tangente y cotangente.

Entonces, ¿hay alguna diferencia cuando tenemos un ángulo positivo y cuando tenemos uno negativo? Te responderé: por regla general lo hay.

Sin embargo, siempre puedes reducir el cálculo de la función trigonométrica desde un ángulo negativo al cálculo de la función en el ángulo. positivo .

Mira la siguiente imagen:

Tracé dos ángulos, son iguales en valor absoluto pero tienen signo opuesto. Note para cada uno de los ángulos su seno y coseno en los ejes.

¿Qué vemos tú y yo? Y esto es lo que:

• ¡Los senos están en las esquinas y son de signo opuesto! Entonces sí
• ¡Los cosenos de las esquinas y coinciden! Entonces sí
• Desde entonces:
• Desde entonces:

Así, siempre podemos deshacernos del signo negativo dentro de cualquier función trigonométrica: ya sea simplemente destruyéndolo, como con el coseno, o colocándolo delante de la función, como con el seno, la tangente y la cotangente.

Por cierto, recuerda cuál es el nombre de la función, en la que para cualquier admisible es cierto: ?

Tal función se llama impar.

Y si por alguna admisible se cumple: ? En este caso, la función se llama par.

Así, acabamos de demostrar que:

Seno, tangente y cotangente - funciones impares, y el coseno es par.

Por lo tanto, como comprenderá, no hay diferencia si buscamos un seno desde un ángulo positivo o negativo: tratar con un signo negativo es muy simple. Entonces no necesitamos tablas separadas para ángulos negativos.

Por otro lado, debes admitirlo, sería muy conveniente, sabiendo solo las funciones trigonométricas de los ángulos del primer cuarto, poder calcular funciones similares para los cuartos restantes. Se puede hacer? ¡Sí, ciertamente puedes! Tienes al menos 2 formas: la primera es construir un triángulo y aplicar el teorema de Pitágoras (así encontramos tú y yo los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos principales del primer cuarto), y el segundo: recordar los valores de las funciones de los ángulos en el primer cuarto y alguna regla simple, poder calcular funciones trigonométricas para todos los demás cuartos. La segunda forma te ahorrará mucho lío con los triángulos y con Pitágoras, así que la veo más prometedora:

Asi que, Por aquí(o regla) se llama - fórmulas de reducción.

Fórmulas de fundición

En términos generales, estas fórmulas lo ayudarán a no recordar esa tabla (¡por cierto, contiene 98 números!):

si recuerdas este (solo 20 números):

Es decir, ¡no puedes molestarte con 78 números completamente innecesarios! Vamos, por ejemplo, que tenemos que calcular. Está claro que no existe tal cosa en la mesa pequeña. qué hacemos? Y esto es lo que:

En primer lugar, necesitamos los siguientes conocimientos:

1. El seno y el coseno tienen un período (grados), es decir,

   Tangente (cotangente) tienen un período (grados)

   Cualquier número entero

2. El seno y la tangente son funciones impares y el coseno es par:

Ya hemos probado la primera afirmación contigo, y la validez de la segunda se estableció recientemente.

La regla de conversión real se ve así:

1. Si calculamos el valor de la función trigonométrica desde un ángulo negativo, lo hacemos positivo usando un grupo de fórmulas (2). Por ejemplo:
2. Descartamos para el seno y el coseno sus periodos: (en grados), y para la tangente - (grados). Por ejemplo:
3. Si la "esquina" restante es menor que grados, entonces el problema está resuelto: lo estamos buscando en la "mesa pequeña".
4. En caso contrario, buscamos en qué cuarto está nuestra esquina: será el 2º, 3º o 4º cuarto. Nos fijamos en el signo de la función deseada en el trimestre. ¡Recuerda este cartel!
5. Representa un ángulo en una de las siguientes formas:

   (si en el segundo trimestre)
   (si en el segundo trimestre)
   (si en el tercer cuarto)
   (si en el tercer cuarto)
   
   (si en el cuarto trimestre)

   de modo que el ángulo restante sea mayor que cero y menor que grados. Por ejemplo:

   En principio, no importa en cuál de las dos formas alternativas para cada cuarto represente la esquina. Esto no afectará el resultado final.

6. Ahora veamos lo que tenemos: si elegiste registrar hasta o grados más menos algo, entonces el signo de la función no cambiará: simplemente eliminas o y escribes el seno, el coseno o la tangente del ángulo restante. Si eligió registrar hasta grados o grados, cambie el seno por coseno, el coseno por seno, la tangente por la cotangente, la cotangente por la tangente.
7. Ponemos el signo del párrafo 4 delante de la expresión resultante.

Demostremos todo lo anterior con ejemplos:

1. Calcular
2. Calcular
3. Encuentra-di-estos significados tú-ra-misma-nia:

Comencemos en orden:

1. Actuamos de acuerdo con nuestro algoritmo. Seleccione un número entero de círculos para:

   En general, concluimos que el todo se coloca en la esquina 5 veces, pero ¿cuánto queda? Izquierda. Después

   Pues hemos descartado el exceso. Ahora vamos a tratar con el signo. se encuentra en 4 cuartos. El seno del cuarto cuarto tiene un signo menos, y no debo olvidar ponerlo en la respuesta. Además, presentamos de acuerdo con una de las dos fórmulas del párrafo 5 de las reglas de reducción. elegiré:

   Ahora miramos lo que pasó: tenemos un caso con grados, luego lo descartamos y cambiamos el seno a coseno. ¡Y ponle un signo menos delante!

   grados es el ángulo en el primer cuarto. Sabemos (me prometiste aprender una pequeña mesa!!) su significado:

   Entonces obtenemos la respuesta final:

   Responder:

2. todo es lo mismo, pero en lugar de grados, radianes. Está bien. Lo principal a recordar es que

   Pero no puedes reemplazar radianes con grados. Es cuestión de tu gusto. No cambiaré nada. Empezaré de nuevo descartando círculos enteros:

   Descartamos: estos son dos círculos completos. Queda por calcular. Este ángulo está en el tercer cuarto. El coseno del tercer trimestre es negativo. No olvides poner un signo menos en tu respuesta. puede imaginarse como. Nuevamente, recordamos la regla: tenemos el caso de un número "entero" (o), entonces la función no cambia:

   Después.
   Responder: .

3. . Necesitas hacer lo mismo, pero con dos funciones. Seré un poco más breve: y los grados son los ángulos del segundo cuarto. El coseno del segundo cuarto tiene un signo menos y el seno tiene un signo más. se puede representar como: pero como, entonces

   Ambos casos son "mitades de un todo". Entonces el seno se convierte en coseno y el coseno se convierte en seno. Además, hay un signo menos delante del coseno:

Responder: .

Ahora practica por tu cuenta con los siguientes ejemplos:

Y aquí están las soluciones:

1. 
   Primero, eliminemos el menos moviéndolo frente al seno (¡ya que el seno es una función impar!). Luego considera los ángulos:

   Descartamos un número entero de círculos, es decir, tres círculos ().
   Queda por calcular: .
   Hacemos lo mismo con la segunda esquina:

   Elimine un número entero de círculos: 3 círculos (), luego:

   Ahora pensamos: ¿en qué cuarto se encuentra la esquina restante? Él "no alcanza" todo. Entonces, ¿qué es un cuarto? Cuatro. ¿Cuál es el signo del coseno del cuarto cuarto? Positivo. Ahora imaginemos. Como restamos de un número entero, no cambiamos el signo del coseno:

   Sustituimos todos los datos recibidos en la fórmula:

   Responder: .

2. 
   Estándar: eliminamos el menos del coseno, usando el hecho de que.
   Queda por contar el coseno de grados. Quitemos los círculos enteros: . Después

   Después.
   Responder: .

3. Actuamos como en el ejemplo anterior.

   Como recuerdas que el período de la tangente es (o) diferente del coseno o del seno, en el que es 2 veces mayor, entonces quitaremos el número entero.

   grados es el ángulo en el segundo cuarto. La tangente del segundo trimestre es negativa, ¡entonces no nos olvidemos del "menos" al final! Se puede escribir como. Cambios de tangente a cotangente. Finalmente obtenemos:

   Después.
   Responder: .

¡Pues quedan muy pocos!

Eje de tangentes y eje de cotangentes

Lo último en lo que me gustaría detenerme aquí es en dos ejes adicionales. Como ya hemos comentado, tenemos dos ejes:

1. Eje - eje coseno
2. Eje - eje sinusoidal

De hecho, nos hemos quedado sin ejes de coordenadas, ¿no? Pero, ¿qué pasa con las tangentes y las cotangentes?

¿De verdad, para ellos no hay interpretación gráfica?

De hecho, lo es, puedes verlo en esta imagen:

En particular, de estas imágenes podemos decir lo siguiente:

1. Tangente y cotangente tienen el mismo signo en cuartos
2. Son positivos en 1er y 3er trimestres
3. Son negativos en el 2° y 4° trimestre
4. Tangente no definida en ángulos
5. Cotangente no definida en ángulos

¿Para qué más son estas imágenes? ¡Aprenderás en un nivel avanzado, donde te diré cómo puedes simplificar la solución de ecuaciones trigonométricas con la ayuda de un círculo trigonométrico!

NIVEL AVANZADO

En este artículo, describiré cómo círculo unitario (círculo trigonométrico) puede ser útil para resolver ecuaciones trigonométricas.

Puedo destacar dos casos en los que puede ser útil:

1. En la respuesta, no obtenemos un ángulo "hermoso", pero, sin embargo, debemos seleccionar las raíces.
2. La respuesta es demasiadas series de raíces.

No es necesario ningún conocimiento específico, excepto el conocimiento del tema:

Tema " ecuaciones trigonométricas Traté de escribir sin recurrir a círculos. Muchos no me elogiarían por tal enfoque.

Pero prefiero la fórmula, entonces, ¿qué puedes hacer? Sin embargo, en algunos casos las fórmulas no son suficientes. El siguiente ejemplo me motivó a escribir este artículo:

Resuelve la ecuación:

Bien entonces. Resolver la ecuación en sí es fácil.

Reemplazo inverso:

¡Por lo tanto, nuestra ecuación original es equivalente a las cuatro ecuaciones más simples! ¿Realmente necesitamos escribir 4 series de raíces?

En principio, esto podría haberse detenido. ¡Pero no para los lectores de este artículo, que pretende ser una especie de "complejidad"!

Consideremos primero la primera serie de raíces. Entonces, tomamos un círculo unitario, ahora apliquemos estas raíces al círculo (por y para por separado):

Presta atención: ¿qué ángulo resultó entre las esquinas y? Esta es la esquina. Ahora hagamos lo mismo para la serie: .

Entre las raíces de la ecuación se obtiene nuevamente el ángulo c. Ahora vamos a combinar estas dos imágenes:

¿Qué vemos? Y luego, todos los ángulos entre nuestras raíces son iguales. ¿Qué significa?

Si comenzamos desde una esquina y tomamos ángulos que son iguales (para cualquier número entero), ¡entonces siempre golpearemos uno de los cuatro puntos en el círculo superior! Entonces 2 series de raíces:

Se puede combinar en uno:

Por desgracia, para series de raíces:

Estos argumentos ya no son válidos. Haz un dibujo y entiende por qué esto es así. Sin embargo, se pueden combinar así:

Entonces la ecuación original tiene raíces:

Que es una respuesta bastante corta y concisa. ¿Y qué significa brevedad y concisión? Sobre el nivel de su competencia matemática.

Este fue el primer ejemplo en el que el uso del círculo trigonométrico arrojó resultados útiles.

El segundo ejemplo son las ecuaciones que tienen "raíces feas".

Por ejemplo:

1. Resuelve la ecuación.
2. Encuentra sus raíces que pertenecen a la brecha.

La primera parte no es difícil.

Como ya está familiarizado con el tema, me permitiré ser breve en mis cálculos.

entonces o

Entonces encontramos las raíces de nuestra ecuación. Nada complicado.

Es más difícil resolver la segunda parte de la tarea, sin saber a qué es exactamente igual el arcocoseno de menos un cuarto (este no es un valor tabular).

Sin embargo, podemos representar la serie de raíces encontrada en un círculo unitario:

¿Qué vemos? En primer lugar, la figura nos dejó claro en qué límites se encuentra el arcocoseno:

Esta interpretación visual nos ayudará a encontrar las raíces que pertenecen al segmento: .

Primero, el número en sí entra en él, luego (ver fig.).

también pertenece al segmento.

Por lo tanto, el círculo unitario ayuda a determinar en qué límites caen las esquinas "feas".

Debería quedarte al menos una pregunta más: Pero, ¿qué pasa con las tangentes y las cotangentes?

De hecho, también tienen sus propias hachas, aunque tienen un aspecto un poco específico:

De lo contrario, la forma de manejarlos será la misma que con el seno y el coseno.

Ejemplo

Se da una ecuación.

• Resuelve esta ecuación.
• especificar las raices ecuación dada perteneciente al intervalo.

Solución:

Dibujamos un círculo unitario y marcamos nuestras soluciones en él:

De la figura se puede entender que:

O aún más: desde entonces

Luego encontramos las raíces pertenecientes al segmento.

, (porque)

Te dejo a ti que te asegures de que nuestra ecuación no tenga otras raíces pertenecientes al intervalo.

RESUMEN Y FÓRMULA BÁSICA

El principal instrumento de la trigonometría es círculo trigonométrico, te permite medir ángulos, encontrar sus senos, cosenos, etc.

Hay dos formas de medir ángulos.

1. A través de grados
2. a través de radianes

Y viceversa: de radianes a grados:

Para encontrar el seno y el coseno de un ángulo, necesitas:

1. Dibuja un círculo unitario con el centro coincidiendo con el vértice de la esquina.
2. Encuentra el punto de intersección de este ángulo con el círculo.
3. Su coordenada "x" es el coseno del ángulo deseado.
4. Su coordenada de "juego" es el seno del ángulo deseado.

Fórmulas de fundición

Estas son fórmulas que te permiten simplificar expresiones complejas de una función trigonométrica.

Estas fórmulas te ayudarán a no recordar esa tabla:

resumiendo

Aprendiste a hacer un estímulo de trigonometría universal.

Has aprendido a resolver problemas mucho más fácil y rápido y, lo más importante, sin errores.

Te diste cuenta de que no necesitas abarrotar ninguna mesa y, en general, ¡hay poco que abarrotar!

¡Ahora quiero saber de ti!

¿Conseguiste tratar este complejo tema?

¿Qué te gustó? ¿Qué no te gustó?

¿Quizás encontraste un error?

¡Escribe en los comentarios!

¡Y buena suerte en el examen!

Solución:

1) Dado que 7π = 3ð2π + π , girar 7π produce el mismo punto que girar π, es decir se obtiene un punto de coordenadas (- 1; 0). (fig.9)

2) Dado que = -2π - , luego encender produce el mismo punto que encender - , es decir se obtiene un punto de coordenadas (0; 1) (Fig. 10)

Figura 9 Figura 10

Tarea 2

Escriba todos los ángulos por los que necesita rotar el punto (1; 0) para obtener el punto

norte
.

Solución:

Del triángulo rectángulo AON (Fig. 11) se deduce que el ángulo AON es , es decir, uno de los posibles ángulos de rotación es . Por lo tanto, todos los ángulos por los que se debe girar el punto (1;0) para obtener el punto se expresan de la siguiente manera: + 2πk, donde k es cualquier número entero.

Figura 11

Ejercicios para auto resolver:

1°. Construya un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto (1; 0) por un ángulo dado:

a) 4π; b) - 225°; en) - ; g)- ; mi)
; mi)
.

2°. Encuentre las coordenadas del punto obtenido al rotar el punto Р(1;0) por un ángulo:

a) 3π; b) -
; c) 540°;

d) 810°; mi)
, k es un número entero; mi)
.

3°. Determine el cuarto en el que se encuentra el punto, obtenido al girar el punto P (1; 0) en un ángulo:

a) 1; b) 2,75; c) 3.16; d) 4,95.

cuatro*. En el círculo unitario, construya un punto obtenido girando el punto P (1; 0) un ángulo:

a)
; b)
; c) 4,5π; d) - 7π.

5*. Encuentre las coordenadas del punto obtenido al girar el punto P (1; 0) por un ángulo (k es un número entero):

a)
; b)
; en)
; GRAMO)
.

6*. Anota todos los ángulos por los que necesitas rotar el punto P (1; 0) para obtener un punto con coordenadas:

a)
; b)
;

en)
; GRAMO)
.

DEFINICIÓN DE SENO, COSENO DE ÁNGULO

Figura 12

En estas definiciones, el ángulo α se puede expresar tanto en grados como en radianes. Por ejemplo, al girar el punto (1; 0) por el ángulo , es decir el ángulo es de 90°, se obtiene el punto (0;1). Punto ordenada ( 0 ;1 ) es igual a 1 , entonces sen = sen 90° = 1; la abscisa de este punto es igual a 0 , entonces cos = cos 90° = 0

Tarea 1

Encuentre sen (- π) y coseno (- π).

Solución:

El punto (1; 0) al girar el ángulo - π irá al punto (-1; 0) (Fig. 13), por lo tanto, sin (- π) \u003d 0, cos (- π) \u003d - 1.

Figura 13

Tarea 2

Resuelve la ecuación sen x = 0.

Solución:

Resolver la ecuación sin x \u003d 0 significa encontrar todos los ángulos cuyo seno es cero. Una ordenada igual a cero tiene dos puntos del círculo unitario (1; 0 )y 1; 0 ). Estos puntos se obtienen a partir del punto (1;0) girando por los ángulos 0, π, 2π, 3π, etc., así como por los ángulos - π, - 2π, - 3π, etc. por lo tanto, sen x = 0 para x = πk., donde k es cualquier número entero, es decir la solución se puede hacer así:

x = πk., k
.

Respuesta: x = πk., k

(Z es la notación para el conjunto de números enteros, léase "k pertenece a Z").

Argumentando de manera similar, podemos obtener las siguientes soluciones de ecuaciones trigonométricas:

pecadoX		x = + 2πk, k	x = - +2πk., k
	x = +2πk., k	x = 2πk., k	x = π + 2 πk., k

Aquí hay una tabla de valores comunes para seno, coseno, tangente y cotangente.

Tarea 1

Calcular: 4sen +
cos-tg.

Solución:

Usando la tabla, obtenemos

4 sen + cos - tg = 4 ٠ + ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Calcular:

a) pecado + pecado; b) pecado - cos π; c) sen 0 - cos 2π; d) sen3 - cos .

2°. Encuentra el valor de una expresión:

a) 3 sen + 2 cos - tg; b)
;

en)
; d) cos 0 - sen 3π.

3°. Resuelve la ecuación:

a) 2 sen x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sen x = 0.

cuatro*. Encuentra el valor de una expresión:

a) 2 pecados α +
porque α en α = ; b) 0,5 cos α - sen α en α = 60°;

c) sen 3 α - cos 2 α en α = ; d) porque + pecado a α = .

5*. Resuelve la ecuación:

a) senx \u003d - 1; b) cos x = 0; c) pecado
; d) sen3 x = 0.

Signos de seno, coseno y tangente

Deje que el punto se mueva en sentido antihorario a lo largo del círculo unitario, luego seno positivo en primero y segundo coordinar cuartos (Fig. 14); coseno positivo en primero y cuarto coordinar cuartos (Fig. 15); tangente y cotangente positivo en primero y tercero coordinar cuartos (Fig. 16).

Figura 14 Figura 15 Figura 16

Tarea 1

Descubre los signos del seno, coseno y tangente de un ángulo:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Solución:

1) Un ángulo corresponde a un punto en el círculo unitario ubicado en segundo cuarteles. Por tanto, sen > 0, cos

2) Como 745° = 2 ð360° + 25° , entonces la rotación del punto (1; 0) en un ángulo de 745° corresponde a un punto ubicado en primero cuarteles.

Luego sen 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) El punto se mueve en el sentido de las agujas del reloj, por lo tanto - π , luego cuando el punto (1; 0) se gira un ángulo, se obtiene un punto tercera cuarteles. Por lo tanto el pecado

Ejercicios para auto resolver :

1°. ¿En qué cuarto se obtiene el punto al girar el punto P (1; 0) a través del ángulo α, si:

a) α = ; b) α = - ; en) α = ;Documento

Su decisión. Control Trabajar debe ser firmado por el estudiante. compensar en control trabajar exhibido de acuerdo con los resultados ... en uno de seis idénticos tarjetas. Tarjetas dispuestos en una fila en orden aleatorio. Qué...

tarjetas de prueba; tarjetas de crédito; g) tarjetas de tareas de nivel superior (tareas de tarea de texto con un parámetro). Conclusión

Pruebas

Oral trabajar. tarjetas- simuladores; tarjetas para dictado matemático; tarjetas-pruebas; tarjetas por compensar; gramo) tarjetas... controlador, generalizador, carácter de investigación, control trabajar y compensaciones. Los materiales tienen en cuenta dos niveles de profundidad...

El trabajo independiente, siendo el medio más importante de educación, debe basarse en la organización científica del trabajo mental, lo que exige el cumplimiento de las siguientes disposiciones

memorándum

Clasificación) del libro en estudio. Tarjetas puede usar estándar o ... estudiantes que hayan aprobado todos compensaciones y/o control trabajar proporcionado por el plan de estudios, ... libro de calificaciones o copia del plan de estudios tarjetas estudiante, sino a la solicitud de reincorporación...

Pautas para el estudio de la disciplina y la realización de pruebas para estudiantes de cursos por correspondencia Todas las especialidades

Pautas

A control trabajar. 3. Directrices para la implementación control trabajar Control Trabajar es un paso importante en la preparación para el parto. compensar por ... en la tabla 2 - alrededor de tres divisiones. Crear formulario " Tarjeta Contabilidad" para ingresar datos en la tabla...

>> Círculo numérico

Mientras estudiamos el curso de álgebra de los grados 7-9, hasta ahora hemos tratado con funciones algebraicas, es decir, funciones dadas analíticamente por expresiones, en cuya notación se utilizaron operaciones algebraicas sobre números y una variable (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíz cuadrada). Pero los modelos matemáticos de situaciones reales suelen estar asociados a funciones de otro tipo, no algebraicas. Con los primeros representantes de la clase de funciones no algebraicas, funciones trigonométricas, nos familiarizaremos en este capítulo. Estudiarás funciones trigonométricas y otros tipos de funciones no algebraicas (exponenciales y logarítmicas) con más detalle en la escuela secundaria.
Para introducir funciones trigonométricas, necesitamos un nuevo modelo matemático- un círculo numérico, que aún no conoce, pero conoce bien la línea numérica. Recuerda que una recta numérica es una recta en la que se dan el punto de partida O, la escala (segmento único) y la dirección positiva. Podemos asociar cualquier número real con un punto en una línea recta y viceversa.

¿Cómo encontrar el punto M correspondiente en la línea dado el número x? El número 0 corresponde al punto de partida O. Si x > 0, entonces, moviéndose en línea recta desde el punto 0 en la dirección positiva, debe ir en n^-ésima longitud x; el final de este camino será el punto deseado M(x). si x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

¿Y cómo resolvimos el problema inverso, es decir, ¿Cómo encontraste la coordenada x de un punto M dado en la recta numérica? Encontramos la longitud del segmento OM y lo tomamos con el signo "+" o * - "dependiendo de qué lado del punto O se encuentra el punto M en la línea recta.

Pero en la vida real, tienes que moverte no solo en línea recta. Muy a menudo, el movimiento se considera círculos. Aquí hay un ejemplo específico. Consideraremos la pista de atletismo del estadio como un círculo (de hecho, por supuesto, no es un círculo, pero recuerde, como suelen decir los comentaristas deportivos: "el corredor corrió un círculo", "queda medio círculo para correr hasta la línea de meta ", etc.), su longitud es de 400 m. El inicio está marcado - punto A (Fig. 97). El corredor del punto A se mueve en un círculo en sentido antihorario. ¿Dónde estará en 200 metros? después de 400 m? después de 800 m? después de 1500 m? ¿Y dónde dibujar la línea de meta si corre una distancia de maratón de 42 km 195 m?

Después de 200 m, estará en el punto C, diametralmente opuesto al punto A (200 m es la longitud de la mitad de la cinta, es decir, la longitud de la mitad del círculo). Después de correr 400 m (es decir, “una vuelta”, como dicen los atletas), volverá al punto A. Después de correr 800 m (es decir, “dos vueltas”), volverá a estar en el punto A. ¿Y cuántos son 1500 m? Esto es "tres círculos" (1200 m) más otros 300 m, es decir 3

Cinta de correr - el final de esta distancia será en el punto 2) (Fig. 97).

Tenemos que lidiar con el maratón. Después de correr 105 vueltas, el atleta superará la distancia 105-400 = 42 000 m, es decir 42 kilometros Quedan 195 m para la meta, que son 5 m menos de la mitad de la circunferencia. Esto significa que la meta de la distancia maratón será en el punto M, situado cerca del punto C (Fig. 97).

Comentario. Por supuesto, entiendes la convención del último ejemplo. Nadie corre la distancia del maratón alrededor del estadio, el máximo es de 10.000 m, es decir, 25 círculos.

Puedes correr o caminar por un camino de cualquier longitud a lo largo de la pista de atletismo del estadio. Entonces cualquiera numero positivo corresponde a algún punto - "el final de la distancia". Además, cualquier número negativo se puede asociar con un punto circular: solo necesita hacer que el atleta corra en la dirección opuesta, es decir comience desde el punto A no en la dirección opuesta, sino en el sentido de las agujas del reloj. Entonces, la pista de atletismo del estadio se puede considerar como un círculo numérico.

En principio, cualquier círculo puede considerarse numérico, pero en matemáticas se acordó usar un círculo unitario para este propósito: un círculo con un radio de 1. Esta será nuestra "cinta de correr". La longitud b de un círculo con radio K se calcula mediante la fórmula La longitud de un semicírculo es n, y la longitud de un cuarto de círculo es AB, BC, SB, DA en la Fig. 98 - igual Estamos de acuerdo en llamar al arco AB el primer cuarto del círculo unitario, el arco BC - el segundo cuarto, el arco CB - el tercer cuarto, el arco DA - el cuarto cuarto (Fig. 98). En este caso, normalmente estamos hablando de un arco abierto, es decir. sobre un arco sin sus extremos (algo así como un intervalo en una recta numérica).

Definición. Se da un círculo unitario, el punto de inicio A está marcado en él, el extremo derecho del diámetro horizontal (Fig. 98). Asocia cada número real I con un punto circular de acuerdo con la siguiente regla:

1) si x > 0, entonces, moviéndose desde el punto A en sentido antihorario (la dirección positiva de dar la vuelta al círculo), describimos un camino de longitud alrededor del círculo y el punto final M de este camino será el punto deseado : METRO = METRO (x);

2) si x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 asignamos el punto A: A = A(0).

Un círculo unitario con una correspondencia establecida (entre números reales y puntos del círculo) se llamará círculo numérico.
Ejemplo 1 Encuentra en el círculo numérico
Dado que los primeros seis de los siete números dados son positivos, para encontrar los puntos correspondientes en el círculo, debe recorrer el círculo por un camino de una longitud dada, moviéndose desde el punto A en una dirección positiva. Al mismo tiempo, tenemos en cuenta que

El punto A corresponde al número 2, ya que, habiendo recorrido un camino de longitud 2 a lo largo del círculo, es decir exactamente un círculo, nuevamente llegamos al punto de partida A Entonces, A \u003d A (2).
Qué Entonces, moviéndose desde el punto A en una dirección positiva, debe recorrer un círculo completo.

Comentario. Cuando estamos en 7º u 8º grado trabajó con la recta numérica, acordamos, en aras de la brevedad, no decir "el punto de la recta correspondiente al número x", sino decir "el punto x". Cumpliremos exactamente el mismo acuerdo cuando trabajemos con un círculo numérico: "punto f": esto significa que estamos hablando de un punto circular que corresponde al número
Ejemplo 2
Dividiendo el primer cuarto AB en tres partes iguales por los puntos K y P, obtenemos:

Ejemplo 3 Encuentre puntos en el círculo numérico que correspondan a números
Haremos construcciones usando la Fig. 99. Posponiendo el arco AM (su longitud es igual a -) desde el punto A cinco veces en la dirección negativa, obtenemos el punto!, - el medio del arco BC. Asi que,

Comentario. Observe algunas libertades que nos tomamos al usar el lenguaje matemático. Está claro que el arco AK y la longitud del arco AK son cosas diferentes (el primer concepto es figura geometrica, y el segundo concepto es un número). Pero ambos se denotan de la misma manera: AK. Además, si los puntos A y K están conectados por un segmento, tanto el segmento resultante como su longitud se denotan de la misma manera: AK. Por lo general, el contexto deja claro qué significado se atribuye a la designación (arco, longitud de arco, segmento o longitud de segmento).

Por lo tanto, dos diseños del círculo numérico nos serán muy útiles.

PRIMER DISEÑO
Cada uno de los cuatro cuartos del círculo numérico se divide en dos partes iguales, y sus "nombres" se escriben cerca de cada uno de los ocho puntos disponibles (Fig. 100).

SEGUNDO DISEÑO Cada uno de los cuatro cuartos del círculo numérico se divide en tres partes iguales, y sus "nombres" se escriben cerca de cada uno de los doce puntos disponibles (Fig. 101).

Tenga en cuenta que en ambos diseños podríamos puntos dados asignar otros "nombres".
¿Has notado que en todos los ejemplos analizados, las longitudes de los arcos
expresado por algunas fracciones del número n? Esto no es sorprendente: después de todo, la longitud de un círculo unitario es 2n, y si dividimos el círculo o su cuarto en partes iguales, obtenemos arcos cuyas longitudes se expresan como fracciones del número y. ¿Y qué piensas, es posible encontrar un punto E tal en el círculo unitario que la longitud del arco AE sea igual a 1? Adivinemos:

Argumentando de manera similar, concluimos que en el círculo unitario se puede encontrar tanto el punto Eg, para el cual AE, = 1, como el punto E2, para el cual AEg = 2, y el punto E3, para el cual AE3 = 3, y el punto E4, para el cual AE4 = 4, y el punto Eb, para el cual AEb = 5, y el punto E6, para el cual AE6 = 6. En la fig. 102 (aproximadamente) se marcan los puntos correspondientes (además, para orientarse, cada uno de los cuartos del círculo unitario se divide mediante rayas en tres partes iguales).

Ejemplo 4 Encuentra en el círculo numérico el punto correspondiente al número -7.

Necesitamos, comenzando desde el punto A (0) y moviéndonos en dirección negativa (en el sentido de las agujas del reloj), dar la vuelta a la trayectoria circular de longitud 7. Si recorremos un círculo, obtenemos (aproximadamente) 6,28, lo que significa que Todavía falta recorrer (en la misma dirección) un camino de longitud 0,72. ¿Qué es este arco? Algo menos de medio cuarto de círculo, es decir su longitud es menor que el número -.

Entonces, un círculo numérico, como una línea recta numérica, cada número real corresponde a un punto (solo que, por supuesto, es más fácil encontrarlo en una línea recta que en un círculo). Pero para una línea recta, también es cierto lo contrario: cada punto corresponde a un solo número. Para un círculo numérico, tal afirmación no es cierta, nos hemos convencido repetidamente de esto anteriormente. Para un círculo numérico, la siguiente afirmación es verdadera.
Si el punto M del círculo numérico corresponde al número I, entonces también corresponde al número de la forma I + 2k, donde k es cualquier número entero (k e 2).

De hecho, 2n es la longitud del círculo numérico (unitario), y el entero |d| se puede considerar como el número de vueltas completas del círculo en un sentido u otro. Si, por ejemplo, k = 3, entonces esto significa que damos tres vueltas al círculo en la dirección positiva; si k \u003d -7, entonces esto significa que hacemos siete (| k | \u003d | -71 \u003d 7) vueltas del círculo en dirección negativa. Pero si estamos en el punto M(1), entonces haciendo más | a | círculos completos, nos encontraremos de nuevo en el punto M.

AG Álgebra de Mordkovich Grado 10

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Los estudiantes de secundaria nunca saben en qué momento pueden tener problemas con sus estudios. Las dificultades son capaces de entregar cualquier materia estudiada en la escuela, desde el idioma ruso hasta la seguridad de la vida. Una de las disciplinas académicas que suele hacer sudar a los escolares es el álgebra. La ciencia algebraica comienza a aterrorizar las mentes de los niños desde el séptimo grado y continúa este trabajo en los años décimo y undécimo de estudio. Los adolescentes pueden hacer sus vidas más fáciles con la ayuda de varios medios, que invariablemente incluyen solucionadores.

Colección de GDZ para los grados 10-11 en álgebra (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) Esta es una gran adición al libro principal. Con la ayuda de la información de referencia dada en él, el estudiante está listo para resolver cualquier ejercicio. Las tareas incluyen los siguientes temas:

• funciones y ecuaciones trigonométricas;
• logaritmos;
• la licenciatura.

Las respuestas y comentarios enviados tienen las notas del autor necesarias que definitivamente ayudarán al niño.

¿Por qué necesitas un solucionador?

La publicación brinda a todos los estudiantes la oportunidad de trabajar con el material por su cuenta y, en caso de malentendidos o de saltarse un tema, pueden revisarlo ellos mismos sin comprometer la calidad. Además, los datos de referencia le permiten prepararse de manera efectiva para el próximo trabajo independiente y de control. Los alumnos más curiosos pueden seguir plan de estudios adelante, lo que en el futuro repercutirá positivamente en la asimilación de conocimientos y en un aumento de la nota media.

Además de los grados décimo y undécimo Álgebra de Alimov para los grados 10-11 los padres y profesores bien pueden utilizarlo: para los primeros, se convertirá en una herramienta para monitorear el conocimiento del niño, y para los segundos, será la base para desarrollar sus propios materiales y tareas de prueba para las clases en el aula.

Cómo funciona la colección

El recurso repite completamente la estructura del libro de texto. En su interior, el usuario tiene la oportunidad de visualizar las respuestas a 1624 ejercicios, así como a las tareas de la sección "Compruébalo tú mismo", divididas en trece capítulos. Las claves están disponibles las 24 horas, el número se puede encontrar a través del campo de búsqueda o mediante una navegación sencilla.