Ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada. Ecuación general de un plano - descripción, ejemplos, resolución de problemas Escribir la ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicularmente

Si todos los números A, B, C y D son distintos de cero, entonces la ecuación general del plano se llama completo. En caso contrario, la ecuación general del plano se llama incompleto.

Consideremos todas las posibles ecuaciones generales incompletas del plano en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz en el espacio tridimensional.

Sea D = 0, entonces tenemos una ecuación general incompleta del plano de la forma . Este plano en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz pasa por el origen. De hecho, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación incompleta resultante del plano, llegamos a la identidad .

Para , o , o tenemos ecuaciones generales incompletas de los planos , o , o respectivamente. Estas ecuaciones definen planos que son paralelos a los planos de coordenadas Oxy , Oxz y Oyz respectivamente (ver el artículo Condición de paralelismo para planos) y que pasan por los puntos y correspondientemente. A. Desde el punto pertenece al plano por condición, entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación del plano, es decir, la igualdad debe ser verdadera. A partir de aquí nos encontramos. Por lo tanto, la ecuación deseada tiene la forma .

Presentamos la segunda forma de resolver este problema.

Dado que el plano, cuya ecuación general necesitamos componer, es paralelo al plano Oyz , entonces como su vector normal podemos tomar el vector normal del plano Oyz . Vector normal Plano coordinado Oyz es el vector de coordenadas. Ahora conocemos el vector normal del plano y el punto del plano, por lo tanto, podemos escribir su ecuación general (resolvimos un problema similar en el párrafo anterior de este artículo):
, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano. Por lo tanto, la igualdad donde nos encontramos Ahora podemos escribir la ecuación general deseada del plano, tiene la forma .

Responder:

Bibliografía.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen Uno: Elementos de Álgebra Lineal y Geometría Analítica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Hay infinitas líneas que se pueden trazar a través de cualquier punto.

A través de dos puntos no coincidentes, sólo hay una línea recta.

Dos rectas no coincidentes en el plano se intersecan en un solo punto o son

paralelo (sigue del anterior).

Hay tres opciones en el espacio 3D. posición relativa dos rectas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas rectas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Directo línea- curva algebraica de primer orden: en el sistema de coordenadas cartesianas, una línea recta

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden

Ah + Wu + C = 0,

y constante un, b no es igual a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de línea recta. Dependiendo de los valores de las constantes un, b y DE Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Por + C = 0)- recta paralela al eje Vaya

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- recta paralela al eje UNED

. segundo = do = 0, un ≠ 0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B ≠ 0- la recta coincide con el eje Vaya

La ecuación de una línea recta se puede representar de varias formas dependiendo de cualquier

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta por un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto UN(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Compongamos en A \u003d 3 y B \u003d -1 la ecuación de la línea recta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar el coeficiente C

sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante, obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación deseada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dados dos puntos en el espacio METRO 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M2 (x2, y2, z2), después ecuación de línea recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. Sobre el

plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:

si X 1 ≠ X 2 y x = x 1, si x1 = x2 .

Fracción = k llamó factor de pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de una recta Ah + Wu + C = 0 llevar a la forma:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

La ecuación de una línea recta en un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la tarea

una recta que pasa por un punto y un vector director de una recta.

Definición. Todo vector distinto de cero (a 1 , a 2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamó vector director de la recta.

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta de vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada de la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

los coeficientes deben satisfacer las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de una recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x=1, y=2 obtenemos C/ A = -3, es decir. ecuación deseada:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ah + Wu + C = 0 C≠0, entonces, dividiendo por -C, obtenemos:

o donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Vaya, a b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una recta está dada x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta línea recta en segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ah + Wu + C = 0 dividir por número , Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea,

a φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Vaya.

Ejemplo. Dada la ecuación general de una recta 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir varios tipos de ecuaciones.

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos:

La ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Cabe señalar que no toda línea recta se puede representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralela a los ejes o pasando por el origen.

Ángulo entre rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y \u003d k 1 x + segundo 1, y \u003d k 2 x + segundo 2, después esquina filosa entre estas lineas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k1 = k2. dos rectas son perpendiculares

si k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Directo Ah + Wu + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelos cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. si tambien С 1 \u003d λС, entonces las rectas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por Punto dado perpendicular a esta línea.

Definición. Una recta que pasa por un punto M 1 (x 1, y 1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

La distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. Deja que el punto M 1 (x 1, y 1)- la base de la perpendicular caída desde el punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre los puntos METRO y METRO 1:

(1)

Coordenadas x1 y 1 se puede encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido probado.

Este artículo da una idea de cómo escribir la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio tridimensional perpendicular a una línea dada. Analicemos el algoritmo anterior usando el ejemplo de resolución de problemas típicos.

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea dada

Sea en él un espacio tridimensional y un sistema de coordenadas rectangulares O x y z. También se dan el punto M 1 (x 1, y 1, z 1), la recta a y el plano α que pasa por el punto M 1 perpendicular a la recta a. Es necesario escribir la ecuación del plano α.

Antes de proceder a resolver este problema, recordemos el teorema de geometría del programa para los grados 10 - 11, que dice:

Definición 1

Un solo plano pasa por un punto dado en el espacio tridimensional y es perpendicular a una línea dada.

Ahora considere cómo encontrar la ecuación de este único plano que pasa por el punto de partida y es perpendicular a la línea dada.

Es posible escribir la ecuación general de un plano si se conocen las coordenadas de un punto perteneciente a este plano, así como las coordenadas del vector normal del plano.

Por la condición del problema, se nos dan las coordenadas x 1, y 1, z 1 del punto M 1 por donde pasa el plano α. Si determinamos las coordenadas del vector normal del plano α, entonces podremos escribir la ecuación deseada.

El vector normal del plano α, por ser distinto de cero y estar sobre la recta a, perpendicular al plano α, será cualquier vector director de la recta a. Entonces, el problema de encontrar las coordenadas del vector normal del plano α se transforma en el problema de determinar las coordenadas del vector director de la recta a.

La determinación de las coordenadas del vector director de la recta a puede llevarse a cabo por diferentes métodos: depende de la variante de establecer la recta a en las condiciones iniciales. Por ejemplo, si se da la línea a en el enunciado del problema ecuaciones canónicas tipo

x - x 1 una x = y - y 1 una y = z - z 1 una z

o ecuaciones paramétricas de la forma:

x = x 1 + un x λ y = y 1 + un y λ z = z 1 + un z λ

entonces el vector director de la recta tendrá las coordenadas ax, ay y az. En el caso de que la línea recta a esté representada por dos puntos M 2 (x 2, y 2, z 2) y M 3 (x 3, y 3, z 3), entonces las coordenadas del vector de dirección se determinarán como (x3 - x2, y3 - y2, z3 – z2).

Definición 2

Algoritmo para hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada:

Determine las coordenadas del vector director de la recta a: un → = (un x, un y, un z) ;

Definimos las coordenadas del vector normal del plano α como las coordenadas del vector director de la recta a:

n → = (A , B , C) , donde UN = un X , segundo = un y , C = un z;

Escribimos la ecuación del plano que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y que tiene un vector normal n→=(A, B, C) en la forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Esta será la ecuación requerida de un plano que pasa por un punto dado en el espacio y es perpendicular a una línea dada.

La ecuación general resultante del plano: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 permite obtener la ecuación del plano en segmentos o la ecuación normal del plano.

Resolvamos algunos ejemplos usando el algoritmo obtenido arriba.

Ejemplo 1

Se da un punto M 1 (3, - 4, 5) por el que pasa el plano, y este plano es perpendicular a la línea de coordenadas O z.

Solución

el vector director de la recta coordenada O z será el vector coordenado k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Por tanto, el vector normal del plano tiene coordenadas (0 , 0 , 1) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por un punto dado M 1 (3, - 4, 5) cuyo vector normal tiene coordenadas (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Responder: z - 5 = 0 .

Considere otra forma de resolver este problema:

Ejemplo 2

Un plano que sea perpendicular a la línea O z estará dado por una ecuación general incompleta del plano de la forma С z + D = 0 , C ≠ 0 . Definamos los valores de C y D: aquellos por los que el plano pasa por un punto dado. Sustituyendo las coordenadas de este punto en la ecuación C z + D = 0 , obtenemos: C · 5 + D = 0 . Aquellos. números, C y D están relacionados por - D C = 5 . Tomando C \u003d 1, obtenemos D \u003d - 5.

Sustituya estos valores en la ecuación C z + D = 0 y obtenga la ecuación requerida para un plano perpendicular a la línea O z y que pasa por el punto M 1 (3, - 4, 5) .

Se verá como: z - 5 = 0.

Responder: z - 5 = 0 .

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para un plano que pasa por el origen y es perpendicular a la línea x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solución

Con base en las condiciones del problema, se puede argumentar que el vector guía de una línea recta dada se puede tomar como un vector normal n → de un plano dado. Así: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por el punto O (0, 0, 0) y que tiene un vector normal n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Hemos obtenido la ecuación requerida para el plano que pasa por el origen perpendicular a la línea dada.

Responder:- 3x - 7y + 2z = 0

Ejemplo 4

Dado un sistema de coordenadas rectangulares O x y z en un espacio tridimensional, contiene dos puntos A (2 , - 1 , - 2) y B (3 , - 2 , 4) . El plano α pasa por el punto A perpendicular a la línea AB Es necesario componer la ecuación del plano α en segmentos.

Solución

El plano α es perpendicular a la recta A B, entonces el vector A B → será el vector normal del plano α. Las coordenadas de este vector se determinan como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de los puntos B (3, - 2, 4) y A (2, - 1, - 2):

UN segundo → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ UN segundo → = (1 , - 1 , 6)

La ecuación general del plano se escribirá de la siguiente forma:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ahora componemos la ecuación deseada del plano en los segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Responder:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

También hay que señalar que existen problemas cuyo requisito es escribir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a dos planos dados. En general, la solución a este problema es escribir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea dada, ya que dos planos que se cortan definen una línea recta.

Ejemplo 5

Se da un sistema de coordenadas rectangulares O x y z, en él hay un punto M 1 (2, 0, - 5) . También se dan las ecuaciones de dos planos 3 x + 2 y + 1 = 0 yx + 2 z - 1 = 0, que se cortan a lo largo de la línea recta a . Es necesario componer una ecuación para un plano que pasa por el punto M 1 perpendicular a la línea a.

Solución

Determinemos las coordenadas del vector director de la recta a . Es perpendicular tanto al vector normal n 1 → (3 , 2 , 0) del plano n → (1 , 0 , 2) como al vector normal 3 x + 2 y + 1 = 0 del plano x + 2 z - 1 = 0 .

Entonces el vector director α → recta a tomamos el producto vectorial de los vectores n 1 → y n 2 → :

un → = norte 1 → × norte 2 → = yo → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 yo → - 6 j → - 2 k → ⇒ un → = (4 , - 6 , - 2 )

Así, el vector n → = (4, - 6, - 2) será el vector normal del plano perpendicular a la recta a. Escribimos la ecuación deseada del plano:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Responder: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Se puede especificar de diferentes formas (un punto y un vector, dos puntos y un vector, tres puntos, etc.). Es con esto en mente que la ecuación del plano puede tener diferentes formas. Además, bajo ciertas condiciones, los planos pueden ser paralelos, perpendiculares, intersecantes, etc. Hablaremos de esto en este artículo. Aprenderemos a escribir la ecuación general del plano y no solo.

Forma normal de la ecuación

Digamos que hay un espacio R 3 que tiene un sistema de coordenadas rectangulares XYZ. Fijamos el vector α, que se soltará desde el punto inicial O. Por el extremo del vector α trazamos el plano P, que será perpendicular a él.

Denote por P un punto arbitrario Q=(x, y, z). Firmaremos el radio vector del punto Q con la letra p. La longitud del vector α es p=IαI y Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este es un vector unitario que apunta hacia los lados, al igual que el vector α. α, β y γ son los ángulos que se forman entre el vector Ʋ y las direcciones positivas de los ejes espaciales x, y, z, respectivamente. La proyección de algún punto QϵП sobre el vector Ʋ es un valor constante igual a r: (r,Ʋ) = r(r≥0).

Esta ecuación tiene sentido cuando p=0. Lo único es que el plano P en este caso cortará al punto O (α=0), que es el origen, y el vector unitario Ʋ liberado del punto O será perpendicular a P, independientemente de su dirección, lo que significa que el vector Ʋ se determina a partir del signo exacto. La ecuación anterior es la ecuación de nuestro plano P, expresada en forma vectorial. Pero en coordenadas se verá así:

P aquí es mayor o igual a 0. Hemos encontrado la ecuación de un plano en el espacio en su forma normal.

ecuación general

Si multiplicamos la ecuación en coordenadas por cualquier número que no sea igual a cero, obtenemos una ecuación equivalente a la dada, que determina ese mismo plano. Se verá así:

Aquí A, B, C son números que son simultáneamente diferentes de cero. Esta ecuación se conoce como la ecuación del plano general.

Ecuaciones planas. Casos especiales

La ecuación en forma general se puede modificar en presencia de condiciones adicionales. Consideremos algunos de ellos.

Suponga que el coeficiente A es 0. Esto significa que el plano dado es paralelo al eje Ox dado. En este caso, la forma de la ecuación cambiará: Ву+Cz+D=0.

De manera similar, la forma de la ecuación cambiará bajo las siguientes condiciones:

• En primer lugar, si B = 0, entonces la ecuación cambiará a Ax + Cz + D = 0, lo que indicará paralelismo con el eje Oy.
• En segundo lugar, si С=0, entonces la ecuación se transforma en Ах+Ву+D=0, lo que indicará paralelismo con el eje dado Oz.
• En tercer lugar, si D=0, la ecuación se verá como Ax+By+Cz=0, lo que significará que el plano interseca a O (el origen).
• Cuarto, si A=B=0, entonces la ecuación cambiará a Cz+D=0, que resultará paralela a Oxy.
• Quinto, si B=C=0, entonces la ecuación se convierte en Ax+D=0, lo que significa que el plano a Oyz es paralelo.
• Sexto, si A=C=0, entonces la ecuación tomará la forma Ву+D=0, es decir, reportará paralelismo a Oxz.

Tipo de ecuación en segmentos

En el caso de que los números A, B, C, D no sean cero, la forma de la ecuación (0) puede ser la siguiente:

x/a + y/b + z/c = 1,

en el que a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obtenemos como resultado Vale la pena señalar que este plano cortará el eje Ox en un punto con coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) y Oz - (0,0,c) .

Teniendo en cuenta la ecuación x/a + y/b + z/c = 1, es fácil representar visualmente la ubicación del plano en relación con un sistema de coordenadas determinado.

Coordenadas vectoriales normales

El vector normal n al plano P tiene coordenadas que son los coeficientes de la ecuación general del plano dado, es decir, n (A, B, C).

Para determinar las coordenadas de la normal n, basta conocer la ecuación general de un plano dado.

Al usar la ecuación en segmentos, que tiene la forma x/a + y/b + z/c = 1, así como al usar la ecuación general, se pueden escribir las coordenadas de cualquier vector normal de un plano dado: (1 /a + 1/b + 1/ Con).

Cabe señalar que el vector normal ayuda a resolver varios problemas. Los más habituales son tareas que consisten en probar la perpendicularidad o el paralelismo de planos, problemas para encontrar ángulos entre planos o ángulos entre planos y rectas.

Vista de la ecuación del plano según las coordenadas del punto y el vector normal

Un vector distinto de cero n perpendicular a un plano dado se llama normal (normal) para un plano dado.

Supongamos que en el espacio de coordenadas (sistema de coordenadas rectangulares) se dan Oxyz:

• punto Mₒ con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector cero n=A*i+B*j+C*k.

Es necesario componer una ecuación para un plano que pasará por el punto Mₒ perpendicular a la normal n.

En el espacio, elegimos cualquier punto arbitrario y lo denotamos por M (x y, z). Sea el radio vector de cualquier punto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, y el radio vector del punto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. El punto M pertenecerá al plano dado si el vector MₒM es perpendicular al vector n. Escribimos la condición de ortogonalidad usando el producto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM \u003d r-rₒ, la ecuación vectorial del plano se verá así:

Esta ecuación puede tomar otra forma. Para ello, se utilizan las propiedades del producto escalar y se transforma el lado izquierdo de la ecuación. = - . Si se denota como c, se obtendrá la siguiente ecuación: - c \u003d 0 o \u003d c, que expresa la constancia de las proyecciones sobre el vector normal de los vectores de radio de los puntos dados que pertenecen al plano.

Ahora puedes obtener la forma coordinada de escribir la ecuación vectorial de nuestro plano = 0. Dado que r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, y n = A*i+B *j+C*k, tenemos:

Resulta que tenemos una ecuación para un plano que pasa por un punto perpendicular a la normal n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vista de la ecuación del plano según las coordenadas de dos puntos y un vector colineal al plano

Definimos dos puntos arbitrarios M′ (x′,y′,z′) y M″ (x″,y″,z″), así como el vector a (a′,a″,a‴).

Ahora podemos componer una ecuación para un plano dado, que pasará por los puntos disponibles M′ y M″, así como cualquier punto M con coordenadas (x, y, z) paralelas al vector dado a.

En este caso, los vectores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) y M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) deben ser coplanares con el vector a=(a′,a″,a‴), lo que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Entonces, nuestra ecuación de un plano en el espacio se verá así:

Tipo de ecuación de un plano que corta tres puntos

Supongamos que tenemos tres puntos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que no pertenecen a la misma recta. Es necesario escribir la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados. La teoría de la geometría afirma que este tipo de plano realmente existe, solo que es el único e inimitable. Como este plano corta al punto (x′, y′, z′), la forma de su ecuación será la siguiente:

Aquí A, B, C son diferentes de cero al mismo tiempo. Además, el plano dado interseca dos puntos más: (x″,y″,z″) y (x‴,y‴,z‴). En este sentido, deben cumplirse las siguientes condiciones:

Ahora podemos componer un sistema homogéneo con incógnitas u, v, w:

En nuestro caso x, y o z es un punto arbitrario que satisface la ecuación (1). Teniendo en cuenta la ecuación (1) y el sistema de ecuaciones (2) y (3), el sistema de ecuaciones indicado en la figura anterior satisface el vector N (A, B, C), que no es trivial. Por eso el determinante de este sistema es igual a cero.

La ecuación (1), que hemos obtenido, es la ecuación del plano. Pasa exactamente por 3 puntos, y esto es fácil de comprobar. Para hacer esto, necesitamos expandir nuestro determinante sobre los elementos en la primera fila. De las propiedades existentes del determinante se sigue que nuestro plano corta simultáneamente tres puntos inicialmente dados (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Es decir, hemos resuelto la tarea que se nos encomendó.

Angulo diedro entre planos

Un ángulo diedro es un ángulo espacial figura geometrica, formada por dos semiplanos que parten de una recta. En otras palabras, esta es la parte del espacio que está limitada por estos semiplanos.

Digamos que tenemos dos planos con las siguientes ecuaciones:

Sabemos que los vectores N=(A,B,C) y N¹=(A¹,B¹,C¹) son perpendiculares según los planos dados. En este sentido, el ángulo φ entre los vectores N y N¹ es igual al ángulo (diédrico) que se encuentra entre estos planos. El producto escalar tiene la forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta con tener en cuenta que 0≤φ≤π.

De hecho, dos planos que se cortan forman dos ángulos (diédricos): φ 1 y φ 2 . Su suma es igual a π (φ 1 + φ 2 = π). En cuanto a sus cosenos, sus valores absolutos son iguales, pero difieren en signos, es decir, cos φ 1 =-cos φ 2. Si en la ecuación (0) reemplazamos A, B y C con los números -A, -B y -C, respectivamente, entonces la ecuación que obtengamos determinará el mismo plano, el único ángulo φ en la ecuación cos φ= NN 1 /| N||N 1 | será reemplazado por π-φ.

Ecuación del plano perpendicular

Los planos se llaman perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90 grados. Usando el material descrito anteriormente, podemos encontrar la ecuación de un plano perpendicular a otro. Digamos que tenemos dos planos: Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos afirmar que serán perpendiculares si cosφ=0. Esto significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuación de plano paralelo

Paralelos son dos planos que no tienen puntos comunes.

La condición (sus ecuaciones son las mismas que en el párrafo anterior) es que los vectores N y N¹, que son perpendiculares a ellos, sean colineales. Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones de proporcionalidad:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si se amplían las condiciones de proporcionalidad - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

esto indica que estos planos coinciden. Esto significa que las ecuaciones Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 describen un plano.

Distancia al plano desde el punto

Digamos que tenemos un plano P, que viene dado por la ecuación (0). Es necesario encontrar la distancia desde el punto con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para hacer esto, necesitas llevar la ecuación del plano P a su forma normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

En este caso, ρ(x,y,z) es el radio vector de nuestro punto Q ubicado en P, p es la longitud de la perpendicular a P que se soltó desde el punto cero, v es el vector unitario que se encuentra en la dirección.

La diferencia ρ-ρº del vector radio de algún punto Q=(x,y,z) perteneciente a P, así como el vector radio de un punto dado Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) es tal vector, valor absoluto cuya proyección en v es igual a la distancia d, que debe encontrarse desde Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) hasta P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, pero

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

entonces resulta

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Así, encontraremos el valor absoluto de la expresión resultante, es decir, la d deseada.

Usando el lenguaje de los parámetros, obtenemos lo obvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Si el punto Q 0 dado está en el otro lado del plano P, así como el origen, entonces entre el vector ρ-ρ 0 y v es por lo tanto:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

En el caso de que el punto Q 0, junto con el origen, esté ubicado en el mismo lado de P, entonces el ángulo creado es agudo, es decir:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Como resultado, resulta que en el primer caso (ρ 0 ,v)> р, en el segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente y su ecuacion

El plano tangente a la superficie en el punto de contacto Mº es el plano que contiene todas las posibles tangentes a las curvas trazadas por este punto de la superficie.

Con esta forma de la ecuación de superficie F (x, y, z) \u003d 0, la ecuación del plano tangente en el punto tangente Mº (xº, yº, zº) se verá así:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Si especifica la superficie en forma explícita z=f (x, y), entonces el plano tangente será descrito por la ecuación:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersección de dos planos

En el sistema de coordenadas (rectangular) se ubica Oxyz, se dan dos planos П′ y П″, que se cortan y no coinciden. Dado que cualquier plano ubicado en un sistema de coordenadas rectangulares está determinado por la ecuación general, supondremos que P′ y P″ están dados por las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x +B″y+ С″z+D″=0. En este caso tenemos la normal n′ (A′, B′, C′) del plano P′ y la normal n″ (A″, B″, C″) del plano P″. Dado que nuestros planos no son paralelos y no coinciden, estos vectores no son colineales. Usando el lenguaje matemático, podemos escribir esta condición de la siguiente manera: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Sea la línea que se encuentra en la intersección de P′ y P″ con la letra a, en este caso a = P′ ∩ P″.

a es una línea recta formada por el conjunto de todos los puntos de los planos (comunes) П′ y П″. Esto significa que las coordenadas de cualquier punto perteneciente a la línea a deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x+B″y+C″z+D″= 0. Esto significa que las coordenadas del punto serán una solución particular del siguiente sistema de ecuaciones:

Como resultado, resulta que la solución (general) de este sistema de ecuaciones determinará las coordenadas de cada uno de los puntos de la recta, que actuará como punto de intersección de П′ y П″, y determinará la recta línea a en el sistema de coordenadas Oxyz (rectangular) en el espacio.

Para obtener la ecuación general del plano, analizamos el plano que pasa por un punto dado.

Que haya tres ejes de coordenadas que ya conocemos en el espacio: Buey, Oye y Onz. Sostenga la hoja de papel para que quede plana. El plano será la propia hoja y su continuación en todas las direcciones.

Dejar PAGS plano arbitrario en el espacio. Cualquier vector perpendicular a él se llama vector normal a este avión. Naturalmente, estamos hablando de un vector distinto de cero.

Si se conoce algún punto del plano PAGS y algún vector de la normal a él, entonces por estas dos condiciones el plano en el espacio está completamente determinado(por un punto dado, solo hay un plano perpendicular a un vector dado). La ecuación general del plano se verá como:

Entonces, hay condiciones que establecen la ecuación del plano. para conseguirlo yo mismo ecuación plana, que tiene la forma anterior, tomamos en el plano PAGS arbitrario punto METRO con coordenadas variables X, y, z. Este punto pertenece al plano sólo si vector perpendicular al vector(Figura 1). Para ello, según la condición de perpendicularidad de los vectores, es necesario y suficiente que el producto escalar de estos vectores sea igual a cero, es decir

El vector viene dado por la condición. Encontramos las coordenadas del vector por la fórmula :

.

Ahora, usando la fórmula del producto escalar de vectores , expresamos el producto escalar en forma de coordenadas:

Desde el punto M(x; y; z) se elige arbitrariamente en el plano, entonces la última ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en el plano PAGS. por punto norte, no acostado en un plano dado, , i.e. se viola la igualdad (1).

Ejemplo 1 Escribe una ecuación para un plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector.

Solución. Usamos la fórmula (1), mírala de nuevo:

En esta fórmula, los números A , B y C coordenadas vectoriales y números X0 , y0 y z0 - coordenadas del punto.

Los cálculos son muy simples: sustituimos estos números en la fórmula y obtenemos

Multiplicamos todo lo que hay que multiplicar y sumamos solo números (que no tienen letras). Resultado:

.

La ecuación requerida del plano en este ejemplo resultó estar expresada por la ecuación general de primer grado con respecto a coordenadas variables x, y, z punto arbitrario del plano.

Entonces, una ecuación de la forma

llamó la ecuación general del plano .

Ejemplo 2 Construya en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares el plano dado por la ecuación .

Solución. Para construir un plano, es necesario y suficiente conocer tres de sus puntos que no se encuentran en una línea recta, por ejemplo, los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.

¿Cómo encontrar estos puntos? Para encontrar el punto de intersección con el eje Onz, necesita sustituir ceros en lugar de x e y en la ecuación dada en el enunciado del problema: X = y= 0 . Por lo tanto, obtenemos z= 6 . Por lo tanto, el plano dado interseca al eje Onz en el punto A(0; 0; 6) .

De la misma manera, encontramos el punto de intersección del plano con el eje Oye. A X = z= 0 obtenemos y= −3 , es decir, un punto B(0; −3; 0) .

Y finalmente encontramos el punto de intersección de nuestro plano con el eje Buey. A y = z= 0 obtenemos X= 2 , es decir, un punto C(2; 0; 0) . Según los tres puntos obtenidos en nuestra solución A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) y C(2; 0; 0) construimos el plano dado.

Considere ahora casos especiales de la ecuación general del plano. Estos son casos en los que ciertos coeficientes de la ecuación (2) desaparecen.

1. cuando re= 0 ecuación define un plano que pasa por el origen, ya que las coordenadas de un punto 0 (0; 0; 0) satisfacen esta ecuación.

2. cuando A= 0 ecuación define un plano paralelo al eje Buey, ya que el vector normal de este plano es perpendicular al eje Buey(su proyección sobre el eje Buey es igual a cero). Del mismo modo, cuando B= 0 avión eje paralelo Oye, y cuando C= 0 avión paralelo al eje Onz.

3. cuando A=D= 0 ecuación define un plano que pasa por el eje Buey porque es paralelo al eje Buey (A=re= 0). De manera similar, el plano pasa por el eje Oye, y el plano que pasa por el eje Onz.

4. cuando A=B= 0 ecuación define un plano paralelo al plano de coordenadas xOy porque es paralelo a los ejes Buey (A= 0) y Oye (B= 0). Asimismo, el plano es paralelo al plano yOz, y el avión - el avión xOz.

5. Cuando A=B=D= 0 ecuación (o z= 0) define el plano de coordenadas xOy, ya que es paralelo al plano xOy (A=B= 0) y pasa por el origen ( re= 0). Del mismo modo, la ecuación y= 0 en el espacio define el plano de coordenadas xOz, y la ecuación x= 0 - plano de coordenadas yOz.

Ejemplo 3 Componer la ecuación del plano. PAGS pasando por el eje Oye y punto .

Solución. Entonces el avión pasa por el eje Oye. Así que en su ecuación y= 0 y esta ecuación tiene la forma . Para determinar los coeficientes A y C usamos el hecho de que el punto pertenece al plano PAGS .

Por lo tanto, entre sus coordenadas están las que se pueden sustituir en la ecuación del plano, que ya hemos derivado (). Veamos de nuevo las coordenadas del punto:

METRO0 (2; −4; 3) .

Entre ellos X = 2 , z= 3 . Los sustituimos en la ecuación general y obtenemos la ecuación para nuestro caso particular:

2A + 3C = 0 .

dejamos 2 A en el lado izquierdo de la ecuación, transferimos 3 C hacia el lado derecho y obtener

A = −1,5C .

Sustituyendo el valor encontrado A en la ecuación, obtenemos

o .

Esta es la ecuación requerida en la condición del ejemplo.

Resuelva el problema en las ecuaciones del plano usted mismo y luego mire la solución

Ejemplo 4 Determinar el plano (o planos si hay más de uno) con respecto a los ejes de coordenadas o planos de coordenadas si el plano(s) está dado por la ecuación.

Soluciones a problemas típicos que se presentan en las pruebas - en el manual "Problemas en un plano: paralelismo, perpendicularidad, intersección de tres planos en un punto".

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos

Como ya se mencionó, una condición necesaria y suficiente para construir un plano, además de un punto y un vector normal, son también tres puntos que no se encuentran en una línea recta.

Sean dados tres puntos diferentes , y , que no estén sobre la misma línea recta. Como estos tres puntos no están en una línea recta, los vectores y no son colineales, y por lo tanto cualquier punto del plano está en el mismo plano que los puntos , y si y solo si los vectores , y coplanar, es decir si y solo si el producto mixto de estos vectores es igual a cero

Usando la expresión del producto mixto en coordenadas, obtenemos la ecuación plana

(3)

Después de expandir el determinante, esta ecuación se convierte en una ecuación de la forma (2), es decir la ecuación general del plano.

Ejemplo 5 Escribe una ecuación para un plano que pasa por tres puntos dados que no están sobre una línea recta:

y determinar un caso particular de la ecuación general de la recta, si la hubiere.

Solución. De acuerdo con la fórmula (3) tenemos:

Ecuación normal del plano. Distancia del punto al plano

La ecuación normal de un plano es su ecuación, escrita en la forma