Формулы тригонометрии. Тригонометрические тождества и преобразования Преобразование тригонометрических функций

В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2)) 2

Решение.

Из формул приведения следует:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Ответ: 1.

Пример 2.

Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Решение.

Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем

М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).

Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3 .

Показать, что выражение А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.

Решение.

Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

4sin 2 x · sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что

А(х) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Ответ: А = 3/4 для x € R.

Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.

Пример 5.

Доказать, что sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, если α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника.

Решение.

Учитывая, что α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника, получаем, что

α + β + γ = π и, значит, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

1/2 · (1 – сos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Исходное равенство доказано.

Пример 6.

Доказать, что для того, чтобы один из углов α, β, γ треугольника был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условие данной задачи предполагает доказательство как необходимости, так и достаточности.

Вначале докажем необходимость .

Можно показать, что

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Отсюда, учитывая, что cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, получаем, что если один из углов α, β или γ равен 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 и, значит, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Докажем теперь достаточность указанного условия.

Если sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, и поэтому

либо cos (3α/2) = 0, либо cos (3β/2) = 0, либо cos (3γ/2) = 0.

Следовательно,

либо 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3,

либо 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,

либо 3γ/2 = π/2 + πk,

т.е. γ = π/3 + 2πk/3, где k ϵ Z.

Из того, что α, β, γ – это углы треугольника, имеем

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Поэтому для α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или

γ = π/3 + 2πk/3 из всех kϵZ подходит только k = 0.

Откуда следует, что либо α = π/3 = 60°, либо β = π/3 = 60°, либо γ = π/3 = 60°.

Утверждение доказано.

Остались вопросы? Не знаете, как упрощать тригонометрические выражения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств .
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса .
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией , синус, тангенс и котангенс - нечетные функции .

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла ) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки . Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

Выполняющиеся при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Формулы универсальной подстановки.

С этими формулами легко любое выражение, которое содержит различные тригонометрические функции одного аргумента, превращается в рациональное выражение одной функции tg (α /2) :

Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.

Раньше приведенные формулы использовали для упрощения расчетов. Вычисляли при помощи логарифмических таблиц, а позднее - логарифмической линейки, так как логарифмы наилучше подходят для умножения чисел. Вот почему каждое исходное выражение приводилось к виду, который был бы удобен для логарифмирования, то есть к произведениям, например :

2 sin α sin b = cos (α - b ) - cos (α + b );

2 cos α cos b = cos (α - b ) + cos (α + b );

2 sin α cos b = sin (α - b ) + sin (α + b ).

где - угол, для которого в частности,

Формулы для функций тангенса и котангенса легко получаются из выше указанных.

Формулы понижения степени.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
sin 3 α = (3 sin α - sin 3 α )/4;	cos 3 a = (3 cos α + cos 3 α )/4.

При помощи данных формул тригонометрические уравнения легко приводятся к уравнениям с более низкими степенями. Точно так же выводят формулы понижения для более высоких степеней sin и cos .

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента.

Знак перед корнем зависим от четверти расположения угола α .