Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan kekuatan ujian. Solusi persamaan eksponensial
Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda telah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial.
Misalnya, jika Anda membutuhkan:
Mari kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat.
Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah perbedaan kuadrat:
dan yang kedua dan keempat memiliki faktor persekutuan tiga:
Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:
Di mana mengambil faktor umum tidak lagi sulit:
Akibatnya,
Ini kira-kira bagaimana kita akan bertindak ketika memecahkan persamaan eksponensial: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkan dari tanda kurung, dan kemudian - apa pun yang terjadi, saya percaya bahwa kita akan beruntung =))
Contoh #14
Di sebelah kanan jauh dari kekuatan tujuh (saya memeriksa!) Dan di sebelah kiri - sedikit lebih baik ...
Anda dapat, tentu saja, "memotong" faktor a dari suku kedua dari suku pertama, dan kemudian menangani apa yang telah Anda terima, tetapi mari kita bertindak lebih hati-hati dengan Anda.
Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti dihasilkan oleh "seleksi", jadi bukankah lebih baik saya bertahan?
Maka saya tidak akan memiliki pecahan: seperti yang mereka katakan, baik serigala penuh dan domba aman:
Hitung ekspresi dalam tanda kurung.
Ajaib, ajaib, ternyata (mengejutkan, meskipun apa lagi yang bisa kita harapkan?).
Kemudian kami mengurangi kedua sisi persamaan dengan faktor ini. Kami mendapatkan: di mana.
Berikut adalah contoh yang lebih rumit (sedikit, sungguh):
Inilah masalahnya! Kami tidak memiliki kesamaan di sini!
Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang.
Dan mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, kita akan memindahkan "berempat" ke satu arah, dan "lima" ke arah lain:
Sekarang mari kita singkirkan "umum" di kiri dan kanan:
Jadi bagaimana sekarang?
Apa manfaat dari pengelompokan bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:
Nah, sekarang mari kita buat sehingga di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya.
Bagaimana kita bisa melakukannya?
Dan begini caranya: Bagi kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (jadi kita singkirkan eksponen di sebelah kanan), lalu bagi kedua ruas dengan (jadi kita singkirkan faktor numerik di sebelah kiri).
Akhirnya kita mendapatkan:
Menakjubkan!
Di sebelah kiri kami memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan - adil.
Kemudian kita langsung menyimpulkan bahwa
Contoh #15
Saya akan memberikan solusi singkatnya (tidak terlalu repot untuk menjelaskan), coba cari tahu sendiri semua "seluk-beluk" dari solusi tersebut.
Sekarang konsolidasi akhir dari materi tertutup.
Selesaikan 7 tugas berikut secara mandiri (dengan jawaban)
- Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
- Kami mewakili ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua bagian dengan dan dapatkan itu
- , maka persamaan asli diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana Anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
- Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, lalu membagi kedua bagian dengan, sehingga Anda mendapatkan persamaan eksponensial paling sederhana.
- Keluarkan dari kurung.
- Keluarkan dari kurung.
PERSAMAAN EKSPOSISIONAL. LEVEL RATA-RATA
Saya berasumsi bahwa setelah membaca artikel pertama, yang mengatakan apa persamaan eksponensial dan bagaimana menyelesaikannya, Anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling sederhana.
Sekarang saya akan menganalisis metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yaitu ...
Metode untuk memperkenalkan variabel baru (atau substitusi)
Dia memecahkan sebagian besar masalah "sulit", pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan).
Cara ini merupakan salah satu paling umum digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.
Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah untuk memperkenalkan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga persamaan eksponensial Anda akan secara ajaib berubah menjadi persamaan yang sudah dapat Anda selesaikan dengan mudah.
Yang tersisa untuk Anda setelah menyelesaikan "persamaan yang disederhanakan" ini adalah membuat "penggantian terbalik": yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti.
Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:
Contoh 16. Metode penggantian sederhana
Persamaan ini diselesaikan dengan "substitusi sederhana", sebagaimana para ahli matematika menyebutnya meremehkan.
Memang, substitusi di sini adalah yang paling jelas. Itu hanya layak untuk dilihat
Maka persamaan awalnya menjadi:
Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka cukup jelas bahwa perlu untuk mengganti ...
Tentu saja, .
Apa yang kemudian menjadi persamaan asli? Dan inilah yang:
Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri:.
Apa yang harus kita lakukan sekarang?
Saatnya kembali ke variabel awal.
Apa yang saya lupa sertakan?
Yaitu: ketika mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu, ketika mengganti tipe), saya akan tertarik hanya akar positif!
Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya.
Jadi, kami tidak tertarik pada Anda, tetapi root kedua cukup cocok untuk kami:
Lalu dimana.
Menjawab:
Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, pengganti meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi.
Namun, jangan langsung sedih, tetapi praktikkan satu contoh lagi dengan penggantian yang cukup sederhana
Contoh 17. Metode penggantian sederhana
Jelas bahwa kemungkinan besar perlu diganti (ini adalah kekuatan terkecil yang termasuk dalam persamaan kami).
Namun, sebelum memperkenalkan pengganti, persamaan kita perlu "disiapkan" untuk itu, yaitu: , .
Kemudian Anda dapat mengganti, akibatnya saya akan mendapatkan ekspresi berikut:
Oh horor: persamaan kubik dengan formula yang benar-benar mengerikan untuk solusinya (well, berbicara secara umum).
Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan.
Saya akan menyarankan menyontek: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang "indah", kita perlu mendapatkan beberapa pangkat tiga (mengapa begitu, ya?).
Dan mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dari pangkat tiga).
Tebakan pertama. Bukan akar. Aduh dan ah...
.
Sisi kiri adalah sama.
Bagian kanan: !
Ada! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!
Apakah Anda tahu tentang skema pembagian "sudut"? Tentu saja Anda tahu, Anda menggunakannya ketika Anda membagi satu nomor dengan yang lain.
Tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial.
Ada satu teorema yang luar biasa:
Berlaku untuk situasi saya, ini memberi tahu saya apa yang habis dibagi tanpa sisa.
Bagaimana pembagian dilakukan? Begitulah:
Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan
Jelas bahwa pada, maka:
Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:
Sekarang, apa yang harus saya perbanyak untuk mendapatkan?
Jelas bahwa pada, maka saya akan mendapatkan:
dan sekali lagi kurangi ekspresi yang dihasilkan dari yang tersisa:
Nah, langkah terakhir, saya kalikan dengan, dan kurangi dari ekspresi yang tersisa:
Hore, pembagian selesai! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi?
Dengan sendirinya: .
Kemudian kami mendapatkan perluasan berikut dari polinomial asli:
Selesaikan persamaan kedua:
Ini memiliki akar:
Maka persamaan awalnya:
memiliki tiga akar:
Kami, tentu saja, membuang akar terakhir, karena kurang dari nol.
Dan dua yang pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:
Menjawab: ..
Saya tidak bermaksud menakut-nakuti Anda dengan contoh ini!
Sebaliknya, sebaliknya, saya mulai menunjukkan bahwa meskipun kami memiliki substitusi yang cukup sederhana, namun, itu mengarah ke persamaan yang agak rumit, solusinya memerlukan beberapa keterampilan khusus dari kami.
Nah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi perubahan dalam kasus ini cukup jelas.
Contoh #18 (dengan substitusi yang kurang jelas)
Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahwa dalam persamaan kita ada dua basis yang berbeda dan satu basis tidak dapat diperoleh dari yang lain dengan menaikkannya ke tingkat (masuk akal, tentu saja).
Namun, apa yang kita lihat?
Kedua basa hanya berbeda dalam tanda, dan produknya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:
Definisi:
Jadi, angka-angka yang merupakan basis dalam contoh kita adalah konjugat.
Kalau begitu, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.
Misalnya, pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama, dan ruas kanan.
Jika kami melakukan penggantian, maka persamaan awal kami dengan Anda akan menjadi seperti ini:
akarnya, kemudian, tetapi mengingat itu, kita mengerti itu.
Menjawab: , .
Sebagai aturan, metode penggantian sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial "sekolah".
Tugas selanjutnya tingkat Lanjut Kesulitan diambil dari pilihan ujian.
Tiga tugas dengan kompleksitas yang meningkat dari opsi ujian
Anda sudah cukup melek untuk memecahkan contoh-contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.
- Selesaikan persamaan:
- Cari akar persamaan:
- Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen:
Sekarang untuk beberapa penjelasan dan jawaban singkat:
Contoh #19
Di sini cukup untuk dicatat bahwa dan.
Maka persamaan asli akan setara dengan ini:
Persamaan ini diselesaikan dengan mengganti
Lakukan perhitungan berikut sendiri.
Pada akhirnya, tugas Anda akan dikurangi menjadi menyelesaikan trigonometri paling sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan membahas solusi dari contoh tersebut di bagian lain.
Contoh #20
Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa penggantian ...
Cukup dengan mentransfer pengurangan ke kanan dan menyajikan kedua basis melalui kekuatan dua: , dan kemudian segera pergi ke persamaan kuadrat.
Contoh #21
Ini juga diselesaikan dengan cukup standar: bayangkan caranya.
Kemudian, menggantikan kita mendapatkan persamaan kuadrat: maka,
Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma? Bukan? Kemudian segera baca topiknya!
Akar pertama, jelas, bukan milik segmen, dan yang kedua tidak dapat dipahami!
Tapi kita akan segera mengetahuinya!
Sejak, maka (ini adalah properti dari logaritma!)
Kurangi dari kedua bagian, maka kita mendapatkan:
Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:
kalikan kedua ruas dengan:
dapat dikalikan dengan
Kemudian mari kita bandingkan:
Dari dulu:
Kemudian akar kedua milik interval yang diinginkan
Menjawab:
Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial membutuhkan pengetahuan yang cukup mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial.
Seperti yang Anda tahu, dalam matematika semuanya saling berhubungan!
Seperti yang sering dikatakan guru matematika saya: "Kamu tidak bisa membaca matematika seperti sejarah dalam semalam."
Sebagai aturan, semua kesulitan dalam memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang meningkat justru pemilihan akar persamaan.
Contoh latihan lagi...
Contoh 22
Jelas bahwa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan cukup sederhana.
Setelah melakukan substitusi, kami mengurangi persamaan asli kami menjadi berikut:
Pertama, mari kita pertimbangkan akar pertama.
Bandingkan dan: sejak, lalu. (properti fungsi logaritmik, di).
Maka jelaslah bahwa akar pertama juga bukan milik interval kita.
Sekarang akar kedua: . Jelas bahwa (karena fungsinya meningkat).
Tinggal membandingkan dan
sejak, kemudian, pada saat yang sama.
Jadi, saya bisa "mengendarai pasak" antara dan.
Pasak ini adalah angka.
Ekspresi pertama lebih kecil dari dan yang kedua lebih besar dari.
Kemudian ekspresi kedua lebih besar dari yang pertama dan root termasuk dalam interval.
Menjawab: .
Sebagai kesimpulan, mari kita lihat contoh lain dari persamaan di mana penggantiannya agak tidak standar.
Contoh #23 (Persamaan dengan pengganti non-standar!)
Mari kita mulai segera dengan apa yang dapat Anda lakukan, dan apa - pada prinsipnya, Anda dapat melakukannya, tetapi lebih baik tidak melakukannya.
Dimungkinkan - untuk mewakili segalanya melalui kekuatan tiga, dua dan enam.
Ke mana arahnya?
Ya, dan tidak akan mengarah pada apa pun: derajat gado-gado, beberapa di antaranya akan sangat sulit untuk dihilangkan.
Lalu apa yang dibutuhkan?
Perhatikan bahwa
Dan apa yang akan diberikannya kepada kita?
Dan fakta bahwa kita dapat mereduksi solusi dari contoh ini menjadi solusi persamaan eksponensial yang cukup sederhana!
Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai:
Sekarang kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan menjadi:
Eureka! Sekarang kita dapat mengganti, kita mendapatkan:
Nah, sekarang giliran Anda untuk memecahkan masalah untuk demonstrasi, dan saya hanya akan memberi mereka komentar singkat agar Anda tidak tersesat! Semoga beruntung!
Contoh #24
Yang paling sulit!
Melihat pengganti di sini adalah oh, betapa jeleknya! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya menggunakan pemilihan persegi penuh.
Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:
Jadi, inilah pengganti Anda:
(Perhatikan bahwa di sini, dengan penggantian kami, kami tidak dapat membuang akar negatif!!! Dan mengapa, bagaimana menurut Anda?)
Sekarang, untuk menyelesaikan contoh, Anda harus menyelesaikan dua persamaan:
Keduanya diselesaikan dengan "penggantian standar" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)
Contoh #25
2. Perhatikan itu dan buat substitusi.
Contoh #26
3. Perluas bilangan menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.
Contoh #27
4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau jika Anda mau) dan substitusikan atau.
Contoh #28
5. Perhatikan bahwa angka dan konjugat.
SOLUSI PERSAMAAN EKSPONENSIAL DENGAN METODE LOGARIFMING. TINGKAT LANJUT
Selain itu, mari kita lihat cara lain - solusi persamaan eksponensial dengan metode logaritma.
Saya tidak dapat mengatakan bahwa solusi persamaan eksponensial dengan metode ini sangat populer, tetapi dalam beberapa kasus hanya itu yang dapat membawa kita ke solusi persamaan yang benar.
Terutama sering digunakan untuk memecahkan apa yang disebut " persamaan campuran': yaitu, yang memiliki fungsi dari tipe yang berbeda.
Contoh #29
dalam kasus umum, itu hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma dari kedua bagian (misalnya, dengan basis), di mana persamaan aslinya berubah menjadi berikut:
Mari kita perhatikan contoh berikut:
Jelas bahwa kita hanya tertarik pada ODZ dari fungsi logaritma.
Namun, ini tidak hanya mengikuti ODZ logaritma, tetapi karena alasan lain.
Saya pikir tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.
Mari kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan kita ke basis:
Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma dari persamaan asli kami dengan cepat membawa kami ke jawaban yang benar (dan indah!).
Mari kita berlatih dengan satu contoh lagi.
Contoh #30
Di sini juga, tidak ada yang perlu dikhawatirkan: kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan dalam bentuk basis, lalu kita dapatkan:
Mari kita lakukan penggantian:
Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya membuat kesalahan? Setelah semua, maka:
yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)
Menjawab:
Coba tuliskan solusi persamaan eksponensial di bawah ini:
Sekarang periksa solusi Anda dengan ini:
Contoh #31
Kami mengambil logaritma dari kedua bagian ke basis, mengingat bahwa:
(akar kedua tidak sesuai dengan kami karena penggantian)
Contoh #32
Logaritma ke basis:
Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan menjadi bentuk berikut:
PERSAMAAN EKSPOSISIONAL. DESKRIPSI SINGKAT DAN FORMULA DASAR
persamaan eksponensial
Ketik persamaan:
ditelepon persamaan eksponensial paling sederhana.
Properti gelar
Pendekatan Solusi
- Pengurangan ke basis yang sama
- Pengurangan ke eksponen yang sama
- Substitusi variabel
- Sederhanakan ekspresi dan terapkan salah satu di atas.
Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menyebabkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori dengan cermat, menghafal rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi jenis tugas ini, lulusan akan dapat mengandalkan nilai tinggi saat lulus ujian matematika.
Bersiaplah untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo!
Ketika mengulang materi yang dibahas, banyak siswa dihadapkan pada masalah menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan pemilihan informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.
Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan metode persiapan yang benar-benar baru untuk ujian akhir. Belajar di situs kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan dalam pengetahuan dan memperhatikan dengan tepat tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan terbesar.
Para guru "Shkolkovo" mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mempresentasikan semua yang diperlukan untuk kesuksesan lulus ujian materi dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah diakses.
Definisi dan rumus utama disajikan di bagian "Referensi Teoretis".
Untuk asimilasi materi yang lebih baik, kami sarankan Anda berlatih tugas. Tinjau dengan cermat contoh persamaan eksponensial dengan solusi yang disajikan di halaman ini untuk memahami algoritme penghitungan. Setelah itu, lanjutkan dengan tugas di bagian "Katalog". Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.
Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke "Favorit". Sehingga Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru.
Agar berhasil lulus ujian, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!
Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang baru mulai belajar persamaan eksponensial. Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi dan contoh sederhana.
Jika Anda membaca pelajaran ini, maka saya menduga bahwa Anda setidaknya sudah memiliki pemahaman minimal tentang persamaan paling sederhana - linier dan kuadrat: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ dll. Untuk dapat menyelesaikan konstruksi semacam itu mutlak diperlukan agar tidak “menggantung” pada topik yang akan dibahas sekarang.
Jadi, persamaan eksponensial. Biarkan saya memberi Anda beberapa contoh:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Beberapa dari mereka mungkin tampak lebih rumit bagi Anda, beberapa di antaranya, sebaliknya, terlalu sederhana. Tapi semuanya disatukan oleh satu fitur penting: mereka mengandung fungsi eksponensial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Jadi, kami memperkenalkan definisi:
Persamaan eksponensial adalah persamaan apa pun yang mengandung fungsi eksponensial, mis. ekspresi bentuk $((a)^(x))$. Selain fungsi yang ditentukan, persamaan tersebut dapat berisi konstruksi aljabar lainnya - polinomial, akar, trigonometri, logaritma, dll.
Oke kalau begitu. Dipahami definisinya. Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana menyelesaikan semua omong kosong ini? Jawabannya sederhana dan kompleks pada saat bersamaan.
Mari kita mulai dengan kabar baik: dari pengalaman saya dengan banyak siswa, saya dapat mengatakan bahwa bagi sebagian besar dari mereka, persamaan eksponensial jauh lebih mudah daripada logaritma yang sama, dan terlebih lagi trigonometri.
Tetapi ada juga berita buruk: kadang-kadang penyusun masalah untuk semua jenis buku teks dan ujian dikunjungi oleh "inspirasi", dan otak mereka yang meradang obat mulai menghasilkan persamaan brutal sehingga menjadi masalah tidak hanya bagi siswa untuk menyelesaikannya - bahkan banyak guru terjebak pada masalah seperti itu.
Namun, mari kita tidak membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Dan mari kembali ke tiga persamaan yang diberikan di awal cerita. Mari kita coba selesaikan masing-masing.
Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, sampai berapa angka 2 harus dinaikkan untuk mendapatkan angka 4? Mungkin yang kedua? Bagaimanapun, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — dan kami telah memperoleh persamaan numerik yang benar, yaitu. memang $x=2$. Yah, terima kasih, tutup, tetapi persamaan ini sangat sederhana sehingga bahkan kucing saya dapat menyelesaikannya. :)
Mari kita lihat persamaan berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Tapi di sini sedikit lebih sulit. Banyak siswa tahu bahwa $((5)^(2))=25$ adalah tabel perkalian. Beberapa juga menduga bahwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah definisi eksponen negatif (mirip dengan rumus $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Akhirnya, hanya beberapa tebakan terpilih bahwa fakta-fakta ini dapat digabungkan dan hasilnya adalah sebagai berikut:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Dengan demikian, persamaan awal kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Panah kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Dan sekarang ini sudah sepenuhnya terpecahkan! Di sisi kiri persamaan ada fungsi eksponensial, di sisi kanan persamaan ada fungsi eksponensial, tidak ada yang lain selain mereka di tempat lain. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk "membuang" pangkalan dan dengan bodoh menyamakan indikatornya:
Kami mendapatkan persamaan linier paling sederhana yang dapat diselesaikan oleh siswa mana pun hanya dalam beberapa baris. Oke, dalam empat baris:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Jika Anda tidak mengerti apa yang terjadi di empat baris terakhir, pastikan untuk kembali ke topik “ persamaan linear' dan ulangi. Karena tanpa asimilasi yang jelas tentang topik ini, terlalu dini bagi Anda untuk mengambil persamaan eksponensial.
\[((9)^(x))=-3\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Pikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, jadi persamaan aslinya dapat ditulis ulang seperti ini:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]
Kemudian kita ingat bahwa ketika menaikkan derajat ke pangkat, indikatornya dikalikan:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan)))^(x))=((3)^(2x))\Panah kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Dan untuk keputusan seperti itu, kami mendapatkan deuce yang benar-benar layak. Karena kami, dengan keseimbangan Pokemon, mengirim tanda minus di depan ketiganya ke pangkat tiga ini. Dan Anda tidak bisa melakukan itu. Dan itulah kenapa. Lihatlah kekuatan yang berbeda dari triple:
\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]
Mengkompilasi tablet ini, saya tidak menyimpang segera setelah saya melakukannya: Saya menganggap derajat positif, dan negatif, dan bahkan pecahan ... yah, di mana setidaknya satu angka negatif di sini? Ia tidak! Dan tidak mungkin, karena fungsi eksponensial $y=((a)^(x))$, pertama, selalu hanya mengambil nilai positif (tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan satu atau membagi dua, itu akan tetap menjadi bilangan positif), dan kedua, basis dari fungsi tersebut, bilangan $a$, menurut definisi adalah bilangan positif!
Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tidak, tidak ada akar. Dan dalam hal ini, persamaan eksponensial sangat mirip dengan persamaan kuadrat - mungkin juga tidak ada akar. Tetapi jika dalam persamaan kuadrat jumlah akar ditentukan oleh diskriminan (diskriminan adalah positif - 2 akar, negatif - tidak ada akar), maka dalam persamaan eksponensial semuanya tergantung pada apa yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan.
Jadi, kami merumuskan kesimpulan kuncinya: persamaan eksponensial paling sederhana dari bentuk $((a)^(x))=b$ memiliki akar jika dan hanya jika $b \gt 0$. Mengetahui fakta sederhana ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah persamaan yang diajukan kepada Anda memiliki akar atau tidak. Itu. apakah layak untuk diselesaikan sama sekali atau segera tuliskan bahwa tidak ada akar.
Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali ketika kita harus memecahkan masalah yang lebih kompleks. Sementara itu, cukup lirik - saatnya mempelajari algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial
Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Hal ini diperlukan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Menurut algoritma "naif" yang kita gunakan sebelumnya, perlu untuk merepresentasikan bilangan $b$ sebagai pangkat dari bilangan $a$:
Selain itu, jika alih-alih variabel $x$ ada ekspresi apa pun, kita akan mendapatkan persamaan baru, yang sudah dapat diselesaikan. Sebagai contoh:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(3))\Panah kanan x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Panah kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Panah kanan -x=4\Panah kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Panah kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Panah kanan 2x=3\Panah kanan x=\frac(3)( 2). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dan anehnya, skema ini bekerja di sekitar 90% kasus. Lalu bagaimana dengan 10% lainnya? 10% sisanya adalah persamaan eksponensial "skizofrenia" dalam bentuk:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Untuk kekuatan apa yang Anda butuhkan untuk meningkatkan 2 untuk mendapatkan 3? Di pertama? Tapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak cukup. Di kedua? Baik: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Lalu bagaimana?
Siswa yang berpengetahuan mungkin sudah menebak: dalam kasus seperti itu, ketika tidak mungkin untuk menyelesaikan "dengan indah", "artileri berat" terhubung ke kasing - logaritma. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa dengan bantuan logaritma, bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai kekuatan dari yang lain nomor positif(tidak termasuk satuan):
Ingat rumus ini? Ketika saya memberi tahu siswa saya tentang logaritma, saya selalu memperingatkan Anda: rumus ini (juga merupakan identitas logaritma dasar atau, jika Anda suka, definisi logaritma) akan menghantui Anda untuk waktu yang sangat lama dan "muncul" di sebagian besar tempat-tempat yang tidak terduga. Yah, dia muncul. Mari kita lihat persamaan kita dan rumus ini:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Jika kita berasumsi bahwa $a=3$ adalah bilangan asli kita di sebelah kanan, dan $b=2$ adalah dasar dari fungsi eksponensial yang ingin kita bawa ke ruas kanannya, kita mendapatkan yang berikut:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Panah kanan x=( (\log )_(2))3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kami mendapat jawaban yang agak aneh: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, dengan jawaban seperti itu, banyak yang akan meragukan dan mulai memeriksa kembali solusi mereka: bagaimana jika ada kesalahan di suatu tempat? Saya segera menyenangkan Anda: tidak ada kesalahan di sini, dan logaritma di akar persamaan eksponensial adalah situasi yang cukup umum. Jadi biasakan. :)
Sekarang kita selesaikan dengan analogi dua persamaan yang tersisa:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Panah kanan ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Panah kanan x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Panah kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Panah kanan 2x=( (\log )_(4))11\Panah kanan x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Omong-omong, jawaban terakhir dapat ditulis secara berbeda:
Kamilah yang memperkenalkan pengganda ke dalam argumen logaritma. Tetapi tidak ada yang mencegah kami menambahkan faktor ini ke basis:
Selain itu, ketiga opsi itu benar - hanya berbeda bentuk penulisan angka yang sama. Yang mana yang harus dipilih dan ditulis dalam keputusan ini terserah Anda.
Jadi, kita telah belajar menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuk $((a)^(x))=b$, di mana bilangan $a$ dan $b$ benar-benar positif. Namun, kenyataan pahit dunia kita sedemikian rupa sehingga tugas-tugas sederhana seperti itu akan sangat jarang ditemui. Lebih sering Anda akan menemukan sesuatu seperti ini:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Bisakah ini diselesaikan sama sekali? Dan jika demikian, bagaimana?
Jangan panik. Semua persamaan ini dengan cepat dan sederhana direduksi menjadi formula sederhana yang telah kita pertimbangkan. Anda hanya perlu tahu untuk mengingat beberapa trik dari kursus aljabar. Dan tentu saja, tidak ada aturan untuk bekerja dengan gelar di sini. Saya akan membicarakan semua ini sekarang. :)
Transformasi persamaan eksponensial
Hal pertama yang harus diingat adalah bahwa setiap persamaan eksponensial, tidak peduli betapa rumitnya itu, dengan satu atau lain cara harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu bagaimana menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema untuk menyelesaikan persamaan eksponensial terlihat seperti ini:
- Tuliskan persamaan aslinya. Misalnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Lakukan hal bodoh. Atau bahkan omong kosong yang disebut "mengubah persamaan";
- Pada output, dapatkan ekspresi paling sederhana dari bentuk $((4)^(x))=4$ atau sesuatu yang lain seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal dapat memberikan beberapa ekspresi seperti itu sekaligus.
Dengan poin pertama, semuanya jelas - bahkan kucing saya dapat menulis persamaan di atas daun. Dengan poin ketiga juga, tampaknya, lebih atau kurang jelas - kita telah memecahkan sejumlah besar persamaan di atas.
Tapi bagaimana dengan poin kedua? Apa saja transformasinya? Apa yang harus diubah menjadi apa? Dan bagaimana?
Nah, mari kita cari tahu. Pertama-tama, saya ingin menunjukkan hal berikut. Semua persamaan eksponensial dibagi menjadi dua jenis:
- Persamaan terdiri dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Rumus berisi fungsi eksponensial dengan basis yang berbeda. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Mari kita mulai dengan persamaan tipe pertama - persamaan tersebut adalah yang paling mudah untuk dipecahkan. Dan dalam solusi mereka kami akan dibantu oleh teknik seperti pemilihan ekspresi stabil.
Menyoroti ekspresi yang stabil
Mari kita lihat persamaan ini lagi:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Apa yang kita lihat? Keempatnya dinaikkan ke derajat yang berbeda. Tapi semua kekuatan ini adalah jumlah sederhana dari variabel $x$ dengan angka lain. Karena itu, perlu diingat aturan untuk bekerja dengan gelar:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\akhir(sejajarkan)\]
Sederhananya, penambahan eksponen dapat dikonversi ke produk kekuatan, dan pengurangan mudah dikonversi ke pembagian. Mari kita coba menerapkan rumus ini pada pangkat dari persamaan kita:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\akhir(sejajarkan)\]
Kami menulis ulang persamaan asli dengan mempertimbangkan fakta ini, dan kemudian kami mengumpulkan semua istilah di sebelah kiri:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -sebelas; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\akhir(sejajarkan)\]
Empat suku pertama berisi elemen $((4)^(x))$ — mari kita keluarkan dari tanda kurung:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetap membagi kedua bagian persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, mis. pada dasarnya kalikan dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \kanan); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Kami mengurangi persamaan asli menjadi yang paling sederhana dan mendapatkan jawaban akhir.
Pada saat yang sama, dalam proses penyelesaian, kami menemukan (dan bahkan mengeluarkan dari kurung) faktor persekutuan $((4)^(x))$ - ini adalah ekspresi stabil. Itu dapat ditunjuk sebagai variabel baru, atau Anda bisa mengekspresikannya secara akurat dan mendapatkan jawaban. Bagaimanapun, prinsip kunci dari solusi adalah sebagai berikut:
Temukan dalam persamaan asli ekspresi stabil yang berisi variabel yang mudah dibedakan dari semua fungsi eksponensial.
Kabar baiknya adalah bahwa hampir setiap persamaan eksponensial mengakui ekspresi yang begitu stabil.
Tapi ada juga kabar buruk: ekspresi seperti itu bisa sangat rumit, dan bisa sangat sulit untuk membedakannya. Jadi mari kita lihat masalah lain:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Mungkin seseorang sekarang akan memiliki pertanyaan: “Pasha, apakah kamu dirajam? Berikut adalah basis yang berbeda - 5 dan 0.2. Tapi mari kita coba untuk mengubah kekuatan dengan basis 0.2. Misalnya, mari kita singkirkan pecahan desimal, menjadikannya seperti biasa:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]
Seperti yang Anda lihat, angka 5 masih muncul, meskipun dalam penyebut. Pada saat yang sama, indikator ditulis ulang sebagai negatif. Dan sekarang kita mengingat salah satu aturan terpenting untuk bekerja dengan gelar:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \kanan))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Di sini, tentu saja, saya sedikit curang. Karena untuk pemahaman yang lengkap, rumus menghilangkan indikator negatif harus ditulis sebagai berikut:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Di sisi lain, tidak ada yang menghalangi kami untuk bekerja hanya dengan satu fraksi:
\[((\left(\frac(1)(5) \kanan))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]
Tetapi dalam hal ini, Anda harus dapat menaikkan gelar ke tingkat lain (saya ingatkan Anda: dalam hal ini, indikatornya ditambahkan). Tetapi saya tidak perlu "membalik" pecahan - mungkin bagi seseorang itu akan lebih mudah. :)
Bagaimanapun, persamaan eksponensial asli akan ditulis ulang sebagai:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Jadi ternyata persamaan aslinya bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang sebelumnya dipertimbangkan: di sini Anda bahkan tidak perlu memilih ekspresi yang stabil - semuanya telah dikurangi dengan sendirinya. Tetap hanya untuk diingat bahwa $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi! Kami mendapat jawaban akhir: $x=-2$. Pada saat yang sama, saya ingin mencatat satu trik yang sangat menyederhanakan semua perhitungan untuk kami:
Dalam persamaan eksponensial, pastikan untuk menyingkirkan pecahan desimal, terjemahkan menjadi yang biasa. Ini akan memungkinkan Anda untuk melihat basis derajat yang sama dan sangat menyederhanakan solusinya.
Sekarang mari kita beralih ke persamaan yang lebih kompleks di mana ada basis yang berbeda, yang umumnya tidak dapat direduksi satu sama lain menggunakan kekuatan.
Menggunakan properti eksponen
Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki dua persamaan yang lebih parah:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kesulitan utama di sini adalah tidak jelas apa dan atas dasar apa untuk memimpin. Di mana ekspresi tetap? Di mana alasan umum? Tidak ada ini.
Tapi mari kita coba ke arah lain. Jika tidak ada basis identik yang siap pakai, Anda dapat mencoba menemukannya dengan memfaktorkan basis yang tersedia.
Mari kita mulai dengan persamaan pertama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Panah kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetapi bagaimanapun juga, Anda dapat melakukan yang sebaliknya - buat angka 21 dari angka 7 dan 3. Sangat mudah untuk melakukan ini di sebelah kiri, karena indikator kedua derajat sama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Anda mengeluarkan eksponen dari produk dan segera mendapatkan persamaan indah yang dapat diselesaikan dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan kedua. Di sini semuanya jauh lebih rumit:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Dalam hal ini, pecahan ternyata tidak dapat direduksi, tetapi jika sesuatu dapat dikurangi, pastikan untuk menguranginya. Ini akan sering menghasilkan alasan menarik yang sudah dapat Anda kerjakan.
Sayangnya, kami belum menemukan apa pun. Tetapi kita melihat bahwa eksponen di sebelah kiri produk adalah kebalikannya:
Biarkan saya mengingatkan Anda: untuk menghilangkan tanda minus pada eksponen, Anda hanya perlu "membalik" pecahan. Jadi mari kita tulis ulang persamaan aslinya:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\akhir(sejajarkan)\]
Pada baris kedua, kita hanya mengurung total dari hasil kali menurut aturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, dan yang terakhir mereka hanya mengalikan angka 100 dengan pecahan.
Sekarang perhatikan bahwa angka-angka di sebelah kiri (di dasar) dan di sebelah kanan agak mirip. Bagaimana? Ya, jelas: mereka adalah kekuatan dengan angka yang sama! Kita punya:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dengan demikian, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan)))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]
Pada saat yang sama, di sebelah kanan, Anda juga bisa mendapatkan gelar dengan basis yang sama, yang cukup untuk "membalik" pecahan:
\[((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]
Akhirnya, persamaan kita akan berbentuk:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi. Ide utamanya bermuara pada fakta bahwa bahkan dengan alasan yang berbeda, kami mencoba dengan cara apa pun untuk mengurangi alasan ini menjadi alasan yang sama. Dalam hal ini kita dibantu oleh transformasi dasar persamaan dan aturan untuk bekerja dengan kekuatan.
Tapi aturan apa dan kapan harus digunakan? Bagaimana memahami bahwa dalam satu persamaan Anda perlu membagi kedua sisi dengan sesuatu, dan di yang lain - untuk menguraikan basis fungsi eksponensial menjadi faktor?
Jawaban atas pertanyaan ini akan datang dengan pengalaman. Coba tangan Anda terlebih dahulu pada persamaan sederhana, dan kemudian secara bertahap memperumit tugas - dan segera keterampilan Anda akan cukup untuk menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun dari USE yang sama atau pekerjaan independen / tes apa pun.
Dan untuk membantu Anda dalam tugas yang sulit ini, saya mengusulkan untuk mengunduh di situs web saya satu set persamaan untuk solusi mandiri. Semua persamaan memiliki jawaban, jadi Anda selalu dapat memeriksanya sendiri.
Secara umum, saya berharap Anda berhasil dalam pelatihan. Dan sampai jumpa di pelajaran berikutnya - di sana kita akan menganalisis persamaan eksponensial yang sangat kompleks, di mana metode yang dijelaskan di atas tidak lagi cukup. Dan latihan sederhana juga tidak akan cukup. :)
Solusi persamaan eksponensial. Contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Apa persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ekspresi dengan mereka berada di indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.
Anda disana contoh persamaan eksponensial:
3 x 2 x = 8 x + 3
Catatan! Dalam basis derajat (di bawah) - hanya angka. PADA indikator derajat (atas) - berbagai ekspresi dengan x. Jika, tiba-tiba, sebuah x muncul dalam persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya:
ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka untuk saat ini. Di sini kita akan berurusan dengan solusi persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.
Faktanya, bahkan persamaan eksponensial murni tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kita lihat.
Solusi persamaan eksponensial paling sederhana.
Mari kita mulai dengan sesuatu yang sangat mendasar. Sebagai contoh:
Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada gulungan nilai x lainnya. Dan sekarang mari kita lihat solusi dari persamaan eksponensial yang rumit ini:
Apa yang telah kita lakukan? Kami, pada kenyataannya, hanya membuang pantat yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, apa yang menyenangkan, tepat sasaran!
Memang, jika dalam persamaan eksponensial di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama angka dalam derajat apapun, angka-angka ini dapat dihapus dan eksponen yang sama. Matematika memungkinkan. Tetap menyelesaikan persamaan yang jauh lebih sederhana. Itu bagus, kan?)
Namun, mari kita ingat ironisnya: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor dasar di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:
2 x +2 x + 1 = 2 3 , atau
Anda tidak dapat menghapus ganda!
Nah, kita telah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.
"Inilah saat-saat itu!" - kamu bilang. "Siapa yang akan memberikan kontrol dan ujian primitif seperti itu!?"
Terpaksa setuju. Tidak ada yang mau. Tetapi sekarang Anda tahu ke mana harus pergi ketika memecahkan contoh yang membingungkan. Penting untuk diingat, ketika nomor dasar yang sama ada di sebelah kiri - di sebelah kanan. Maka semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Menurut aturan matematika, tentu saja.
Pertimbangkan contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk membuatnya menjadi yang paling sederhana. Mari kita panggil mereka persamaan eksponensial sederhana.
Solusi persamaan eksponensial sederhana. Contoh.
Saat memecahkan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan kekuatan. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.
Untuk tindakan dengan derajat, seseorang harus menambahkan pengamatan dan kecerdikan pribadi. Apakah kita membutuhkan bilangan dasar yang sama? Jadi kami mencarinya dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.
Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktik?
Mari kita beri contoh:
2 2x - 8 x+1 = 0
Pandangan pertama alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Tapi terlalu dini untuk berkecil hati. Saatnya untuk mengingat itu
Dua dan delapan adalah kerabat dalam derajat.) Sangat mungkin untuk menuliskan:
8 x+1 = (2 3) x+1
Jika kita mengingat rumus dari tindakan dengan kekuatan:
(a n) m = a nm ,
umumnya berfungsi dengan baik:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Contoh aslinya terlihat seperti ini:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan tindakan dasar matematika!), kita mendapatkan:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Itu hampir semua. Menghapus basis:
Kami memecahkan monster ini dan mendapatkan
Ini adalah jawaban yang benar.
Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua membantu kami. Kita diidentifikasi pada gambar delapan, deuce terenkripsi. Teknik ini (mengkodekan basis umum di bawah angka yang berbeda) adalah trik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, bahkan dalam logaritma. Seseorang harus dapat mengenali kekuatan angka lain dalam angka. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Faktanya adalah bahwa menaikkan angka berapa pun menjadi kekuatan apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di selembar kertas, dan itu saja. Misalnya, setiap orang dapat meningkatkan 3 pangkat lima. 243 akan berubah jika Anda mengetahui tabel perkalian.) Tetapi dalam persamaan eksponensial, lebih sering tidak perlu menaikkan pangkat, tetapi sebaliknya ... nomor berapa sampai sejauh mana bersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.
Anda perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat, ya ... Bagaimana kalau kita berlatih?
Tentukan kekuatan apa dan angka apa yang merupakan angka:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Jawaban (tentu saja berantakan!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihat fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada pertanyaan! Nah, itu terjadi... Misalnya, 2 6 , 4 3 , 8 2 semuanya 64.
Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang kenalan dengan angka.) Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kami menerapkan keseluruhan persediaan pengetahuan matematika. Termasuk dari kalangan menengah ke bawah. Anda tidak langsung ke sekolah menengah, kan?
Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, sering kali membantu dengan memasukkan faktor persekutuan dari tanda kurung (halo ke kelas 7!). Mari kita lihat contohnya:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Dan sekali lagi, pandangan pertama - di halaman! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Dan kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan tersebut cukup layak!) Karena:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Menurut aturan yang sama untuk tindakan dengan derajat:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Itu bagus, Anda dapat menulis:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Kami telah memberikan contoh alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Anda tidak bisa melempar bertiga... Jalan buntu?
Sama sekali tidak. Mengingat aturan keputusan yang paling universal dan kuat semua tugas matematika:
Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa!
Anda lihat, semuanya terbentuk).
Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini? bisa melakukan? Ya, sisi kiri langsung meminta tanda kurung! Faktor persekutuan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kemudian kita akan melihat:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!
Kita ingat bahwa untuk menghilangkan basa, kita membutuhkan derajat murni, tanpa koefisien apapun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita membagi kedua sisi persamaan dengan 70, kita mendapatkan:
Oppa! Semuanya telah baik-baik saja!
Ini adalah jawaban terakhir.
Itu terjadi, bagaimanapun, bahwa taksi dengan alasan yang sama diperoleh, tetapi likuidasi mereka tidak. Ini terjadi dalam persamaan eksponensial jenis lain. Ayo dapatkan tipe ini.
Perubahan variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.
Mari kita selesaikan persamaannya:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Pertama - seperti biasa. Mari kita beralih ke pangkalan. Untuk deuce.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Kami mendapatkan persamaan:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Dan di sini kita akan menggantung. Trik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda mengubahnya. Kita harus keluar dari gudang senjata dengan cara lain yang kuat dan serbaguna. Ini disebut substitusi variabel.
Inti dari metode ini sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami, 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya, t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti seperti itu menghasilkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!
Jadi mari
Kemudian 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Kami mengganti dalam persamaan kami semua kekuatan dengan x oleh t:
Nah, sudah sadar?) Belum lupa persamaan kuadrat? Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
Di sini, hal utama adalah tidak berhenti, seperti yang terjadi ... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Kami kembali ke Xs, yaitu. membuat pengganti. Pertama untuk t 1:
Itu adalah,
Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
Um... Kiri 2 x, Kanan 1... Hambatan? Ya, tidak sama sekali! Cukup diingat (dari tindakan dengan derajat, ya ...) bahwa satu kesatuan adalah setiap angka menjadi nol. Setiap. Apa pun yang Anda butuhkan, kami akan menempatkannya. Kami membutuhkan dua. Cara:
Sekarang itu saja. Punya 2 akar:
Ini adalah jawabannya.
Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya, beberapa ekspresi canggung kadang-kadang diperoleh. Jenis:
Dari tujuh, deuce melalui gelar sederhana tidak berfungsi. Mereka bukan saudara ... Bagaimana saya bisa berada di sini? Seseorang mungkin bingung ... Tapi orang yang membaca di situs ini topik "Apa itu logaritma?" , hanya tersenyum tipis dan tulis dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar benar:
Tidak ada jawaban seperti itu dalam tugas "B" pada ujian. Ada nomor tertentu yang diperlukan. Tapi dalam tugas "C" - dengan mudah.
Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita sorot yang utama.
Kiat Praktis:
1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Mari kita lihat apakah mereka tidak bisa melakukannya sama. Mari kita coba lakukan ini dengan aktif menggunakan tindakan dengan kekuatan. Jangan lupa bahwa angka tanpa x juga dapat diubah menjadi kekuatan!
2. Kami mencoba membawa persamaan eksponensial ke bentuk ketika kiri dan kanan adalah sama angka untuk tingkat apa pun. Kita gunakan tindakan dengan kekuatan dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka - kami menghitung.
3. Jika saran kedua tidak berhasil, kami mencoba menerapkan substitusi variabel. Hasilnya bisa berupa persamaan yang mudah dipecahkan. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.
4. Untuk berhasil memecahkan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui derajat beberapa angka "dengan melihat".
Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diundang untuk memecahkan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.
Memecahkan persamaan eksponensial:
Lebih sulit:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Cari hasil kali akar:
2 3-x + 2x = 9
Telah terjadi?
Baiklah kalau begitu contoh tersulit(diputuskan, bagaimanapun, dalam pikiran ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk untuk Anda. Cukup menarik pada peningkatan kesulitan. Saya akan mengisyaratkan bahwa dalam contoh ini, kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua tugas matematika disimpan.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Contohnya lebih sederhana, untuk relaksasi):
9 2 x - 4 3 x = 0
Dan untuk pencuci mulut. Tentukan jumlah akar persamaan:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kita pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan apa yang harus dipertimbangkan, mereka perlu dipecahkan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, kecerdikan dibutuhkan ... Dan ya, kelas tujuh akan membantu Anda (ini adalah petunjuk!).
Jawaban (berantakan, dipisahkan oleh titik koma):
satu; 2; 3; empat; tidak ada solusi; 2; -2; -5; empat; 0.
Apakah semuanya berhasil? Bagus sekali.
Ada masalah? Tidak masalah! Dalam Bagian Khusus 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi berharga tambahan tentang bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Tidak hanya dengan ini.)
Satu pertanyaan terakhir yang menyenangkan untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini, kami bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting, omong-omong ...
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Ke saluran youtube situs situs kami untuk mengetahui semua pelajaran video baru.
Pertama, mari kita mengingat kembali rumus dasar derajat dan sifat-sifatnya.
Produk dari angka sebuah terjadi pada dirinya sendiri n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a … a=a n
1. a 0 = 1 (a 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Persamaan pangkat atau eksponensial- ini adalah persamaan di mana variabel dalam pangkat (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.
Contoh persamaan eksponensial:
Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel x derajat atau ukuran.
Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?
Mari kita ambil persamaan sederhana:
2 x = 2 3
Contoh seperti itu dapat diselesaikan bahkan dalam pikiran. Terlihat bahwa x=3. Lagi pula, agar sisi kiri dan kanan sama, Anda harus meletakkan angka 3 alih-alih x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana keputusan ini harus dibuat:
2 x = 2 3
x = 3
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami menghapus alasan yang sama(yaitu, deuces) dan menuliskan apa yang tersisa, ini adalah derajat. Kami mendapatkan jawaban yang kami cari.
Sekarang mari kita rangkum solusi kita.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah basis persamaan di kanan dan di kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah basanya sama, menyamakan derajat dan memecahkan persamaan baru yang dihasilkan.
Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:
Mari kita mulai sederhana.
Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, yang berarti kita dapat membuang alas dan menyamakan derajatnya.
x+2=4 Persamaan paling sederhana telah muncul.
x=4 - 2
x=2
Jawabannya: x=2
Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda, yaitu 3 dan 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Untuk mulai dengan, kami mentransfer sembilan ke sisi kanan, kami mendapatkan:
Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2 . Mari kita gunakan rumus kekuatan (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Kami mendapatkan 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 sekarang jelas bahwa basis di sisi kiri dan kanan sama dan sama dengan tiga, yang berarti kita dapat membuangnya dan menyamakan derajat.
3x=2x+16 dapatkan persamaan paling sederhana
3x-2x=16
x=16
Jawab: x=16.
Mari kita lihat contoh berikut:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Pertama-tama, kita melihat pangkalan, pangkalan berbeda dua dan empat. Dan kita harus sama. Kami mengubah empat kali lipat sesuai dengan rumus (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Tambahkan ke persamaan:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Kami memberikan contoh untuk alasan yang sama. Tapi nomor lain 10 dan 24 mengganggu kita. Apa yang harus dilakukan dengan mereka? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita ulangi 2 2x, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:
Bayangkan 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 alasnya sama, buang dan samakan derajatnya.
2x \u003d 2 ternyata merupakan persamaan paling sederhana. Kami membaginya dengan 2, kami mendapatkan
x = 1
Jawab: x = 1.
Mari kita selesaikan persamaannya:
9 x - 12*3 x +27= 0
Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, dapat dilihat bahwa rangkap pertama memiliki derajat dua kali (2x) daripada yang kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda dapat memutuskan metode substitusi. Bilangan dengan derajat terkecil diganti dengan:
Kemudian 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Kami mengganti semua derajat dengan x dalam persamaan dengan t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Kembali ke Variabel x.
Kami mengambil t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Itu adalah,
3x = 9
3x = 3 2
x 1 = 2
Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x2 = 1.
Di situs Anda dapat di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN untuk mengajukan pertanyaan yang menarik, kami pasti akan menjawab Anda.
Bergabunglah dengan grup
