Hitunglah luas trapesium lengkung y 2x. Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu
Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis masalah yang umum dan paling umum - bagaimana menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi – semoga menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan pelajaran Not.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral pasti di halaman Integral Pasti. Contoh solusi.
Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan Anda dalam membuat gambar akan menjadi pertanyaan yang jauh lebih mendesak. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik-grafik utama fungsi dasar, dan minimal mampu membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola. Ini dapat dilakukan (bagi banyak orang, hal ini perlu) dengan menggunakan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometri graf.
Sebenarnya semua orang sudah familiar dengan tugas mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kita tidak akan membahasnya lebih jauh kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi faktanya masalahnya terjadi pada 99 dari 100 kasus, ketika seorang siswa menderita sekolah yang dibenci dan dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.
Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung.
Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada suatu ruas yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:
Maka luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Dalam pelajaran Integral Pasti. Contoh penyelesaian Saya katakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.
Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa yang ingin dapat membuat gambarnya), dan integral tentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat dengan BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan baru kemudian – parabola, hiperbola, dan grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi secara titik; teknik konstruksi titik dapat ditemukan dalam bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):
Saya tidak akan membuat trapesium melengkung, di sini jelas luasnya yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Menjawab:
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz 
, lihat kuliah Integral Pasti. Contoh solusi.
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,, dan sumbu
Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar: 
Jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu (atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini: 
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika diminta menyelesaikan integral tertentu saja tanpa integral tertentu makna geometris, maka itu bisa menjadi negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan metode ini.
Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Teknik konstruksi titik untuk berbagai grafik dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.
Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya: 
Saya ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditemukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerjanya: Jika pada suatu ruas suatu fungsi kontinu lebih besar atau sama dengan suatu fungsi kontinu, maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis lurus dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan secara kasar, yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
nyatanya rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung di setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) - kasus khusus dari rumus 
. Karena sumbu ditentukan oleh persamaan, dan grafik fungsinya berada tidak lebih tinggi kapak, kalau begitu 
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Temukan luas gambar yang dibatasi oleh garis , .
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas bangun yang salah, begitulah beberapa kali hambamu yang rendah hati melakukan kesalahan. Inilah kasus kehidupan nyata:
Contoh 7
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .
Solusi: Pertama, mari kita buat gambarnya: 
...Eh, gambarnya jelek sekali, tapi sepertinya semuanya bisa terbaca.
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya gambar tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering terjadi “kesalahan” sehingga Anda perlu mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;
2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Mari beralih ke tugas penting lainnya.
Contoh 8
Menghitung luas bangun yang dibatasi garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk “sekolah” dan buatlah gambar poin demi poin: 
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: .
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu? Mungkin ? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, bisa jadi... Atau akarnya. Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan: 
,
Benar-benar, .
Penyelesaian selanjutnya adalah hal yang sepele, yang utama jangan sampai bingung dalam substitusi dan tanda; perhitungan di sini bukan yang paling sederhana.
Di segmen tersebut 
, menurut rumus yang sesuai: 
Menjawab: 
Nah, sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar. 
Sial, saya lupa menandatangani jadwalnya, dan maaf, saya tidak ingin mengulang gambarnya. Bukan hari menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)
Untuk konstruksi poin demi poin yang perlu Anda ketahui penampilan sinusoidal (dan secara umum berguna untuk mengetahui grafik semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi: “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Mundur ke depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Kata kunci: integral, trapesium lengkung, luas bangun yang dibatasi bunga lili
Peralatan: papan penanda, komputer, proyektor multimedia
Jenis pelajaran: pelajaran-ceramah
Tujuan pelajaran:
- pendidikan: membentuk budaya kerja mental, menciptakan situasi sukses bagi setiap siswa, menciptakan motivasi belajar yang positif; mengembangkan kemampuan berbicara dan mendengarkan orang lain.
- mengembangkan: terbentuknya kemandirian berpikir siswa dalam penerapan ilmu pengetahuan situasi yang berbeda, kemampuan menganalisis dan menarik kesimpulan, pengembangan logika, pengembangan kemampuan mengajukan pertanyaan dengan benar dan menemukan jawabannya. Meningkatkan pembentukan keterampilan komputasi, mengembangkan pemikiran siswa dalam menyelesaikan tugas yang diajukan, mengembangkan budaya algoritmik.
- pendidikan: membentuk konsep tentang trapesium lengkung, tentang integral, menguasai keterampilan menghitung luas angka datar
Metode pengajaran: penjelasan dan ilustratif.
Selama kelas
Pada pelajaran sebelumnya kita telah belajar menghitung luas bangun datar yang batasnya berupa garis putus-putus. Dalam matematika, ada metode yang memungkinkan Anda menghitung luas bangun yang dibatasi oleh kurva. Angka-angka seperti itu disebut trapesium lengkung, dan luasnya dihitung menggunakan antiturunan.
Trapesium lengkung ( geser 1)
Trapesium lengkung adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi, ( sh.m.), lurus x = sebuah Dan x = b dan sumbu x
Macam-macam trapesium lengkung ( geser 2)
Kami sedang mempertimbangkan jenis yang berbeda trapesium lengkung dan perhatikan: salah satu garis merosot menjadi suatu titik, peran fungsi pembatas dimainkan oleh garis
Luas trapesium lengkung (slide 3)
Perbaiki ujung kiri interval A, dan yang benar X kita akan berubah, yaitu kita memindahkan dinding kanan trapesium lengkung dan mendapatkan gambar yang berubah. Luas trapesium lengkung variabel yang dibatasi oleh grafik fungsi merupakan antiturunan F untuk fungsi F
Dan di segmen [ A; B] luas trapesium lengkung yang dibentuk oleh fungsi tersebut F, sama dengan pertambahan antiturunan dari fungsi ini:
Latihan 1:
Temukan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik fungsi: f(x) = x 2 dan lurus kamu = 0, x = 1, x = 2.
Solusi: ( sesuai dengan algoritma slide 3)
Mari menggambar grafik fungsi dan garis
Mari kita cari salah satu antiturunan dari fungsi tersebut f(x) = x 2 :
Tes mandiri pada slide
Integral
Pertimbangkan trapesium lengkung yang ditentukan oleh fungsinya F di segmen [ A; B]. Mari kita bagi segmen ini menjadi beberapa bagian. Luas seluruh trapesium akan dibagi dengan jumlah luas trapesium lengkung yang lebih kecil. ( geser 5). Setiap trapesium tersebut kira-kira dapat dianggap sebagai persegi panjang. Jumlah luas persegi panjang ini memberikan perkiraan luas seluruh luas trapesium lengkung. Semakin kecil kita membagi segmen [ A; B], semakin akurat kita menghitung luasnya.
Mari kita tuliskan argumen-argumen ini dalam bentuk rumus.
Bagilah segmen [ A; B] menjadi n bagian demi titik x 0 =a, x1,...,xn = b. Panjang k- th dilambangkan dengan xk = xk – xk-1. Mari kita hitung jumlahnya
Secara geometris, jumlah ini menyatakan luas bangun yang diarsir pada bangun tersebut ( sh.m.)
Jumlah dari bentuk tersebut disebut jumlah integral untuk fungsi tersebut F. (sh.m.)
Jumlah integral memberikan perkiraan nilai luas. Nilai eksak diperoleh dengan meneruskan ke batas. Bayangkan kita sedang menyempurnakan partisi segmen [ A; B] sehingga panjang semua ruas kecil cenderung nol. Maka luas bangun yang tersusun akan mendekati luas trapesium lengkung. Dapat dikatakan bahwa luas trapesium lengkung sama dengan limit jumlah integral, Sc.t. (sh.m.) atau integral, yaitu,
Definisi:
Integral suatu fungsi f(x) dari A sebelum B disebut limit jumlah integral
= (sh.m.)
Rumus Newton-Leibniz.
Kita ingat bahwa limit jumlah integral sama dengan luas trapesium lengkung, artinya kita dapat menulis:
Sc.t. = (sh.m.)
Sebaliknya, luas trapesium lengkung dihitung dengan rumus
S k.t. (sh.m.)
Membandingkan rumus ini, kita mendapatkan:
= (sh.m.)Persamaan ini disebut rumus Newton-Leibniz.
Untuk memudahkan perhitungan, rumusnya ditulis sebagai:
= = (sh.m.)Tugas: (sh.m.)
1. Hitung integral menggunakan rumus Newton-Leibniz: ( cek di slide 5)
2. Susun integral sesuai gambar ( cek di slide 6)
3. Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Geser 7)
Mencari luas bangun datar ( geser 8)
Bagaimana cara mencari luas bangun trapesium yang tidak melengkung?
Biarkan dua fungsi diberikan, grafik yang Anda lihat di slide . (sh.m.) Temukan luas gambar yang diarsir . (sh.m.). Apakah bangun yang dimaksud adalah trapesium lengkung? Bagaimana cara mencari luasnya dengan menggunakan sifat penjumlahan luas? Perhatikan dua buah trapesium lengkung dan kurangi luas salah satunya dengan luas trapesium lainnya ( sh.m.)
Mari buat algoritma untuk mencari area menggunakan animasi pada slide:
Tugas lisan: Cara memperoleh luas bangun yang diarsir (ceritakan dengan menggunakan animasi, geser 8 dan 9)
Pekerjaan rumah: Mengerjakan catatan, No. 353 (a), No. 364 (a).
Bibliografi
Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan melihat masalah yang umum dan paling umum dalam menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan pelajaran dari Dia.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral pasti di halaman Integral Pasti. Contoh solusi. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda juga akan menjadi masalah penting. Minimal Anda harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.
Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu
Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Dalam pelajaran Integral Pasti. Contoh penyelesaiannya kita katakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dilihat dari geometri, integral tentu adalah AREA. Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Pertimbangkan integral tertentu
Integrasi
mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin terpenting dalam pengambilan keputusan adalah konstruksi gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat dengan BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan baru kemudian – parabola, hiperbola, dan grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi pointwise dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan persamaannya kamu= 0 menentukan sumbu SAPI):
Kami tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Di segmen [-2; 1] grafik fungsi kamu = X 2+2 terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
Menjawab: .
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz
,
Lihat kuliah Integral Pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Hitung luas bangun yang dibatasi garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu SAPI?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar:
Jika trapesium lengkung seluruhnya terletak di bawah sumbu SAPI, maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:
.
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis kamu = 2X – X 2 , kamu = -X.
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola kamu = 2X – X 2 dan lurus kamu = -X. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditentukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerjanya:
Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi berkelanjutan F(X) lebih besar atau sama dengan suatu fungsi kontinu G(X), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi – X.
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola kamu = 2X – X 2 di atas dan lurus kamu = -X di bawah.
Di segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: .
Sebenarnya rumus sekolah luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh no. 3) merupakan kasus khusus dari rumus tersebut.
.
Karena porosnya SAPI diberikan oleh persamaan kamu= 0, dan grafik fungsinya G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu
.
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambar telah diselesaikan dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas gambar yang salah.
Contoh 7
Pertama mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya gambar tersebut!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, orang sering kali memutuskan untuk mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas sumbu SAPI grafiknya terletak lurus kamu = X+1;
2) Pada ruas di atas sumbu SAPI grafik hiperbola berada kamu = (2/X).
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Contoh 8
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
Mari kita sajikan persamaannya dalam bentuk “sekolah”.
dan buatlah gambar poin demi poin:
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: B = 1.
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu?
Mungkin, A=(-1/3)? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja demikian A=(-1/4). Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong grafiknya
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:
.
Karena itu, A=(-1/3).
Solusi selanjutnya adalah hal yang sepele. Hal utama adalah jangan bingung dalam substitusi dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang paling sederhana. Di segmen tersebut
, 
,
sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: 
Sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.
Untuk membuat gambar titik demi titik, Anda perlu mengetahui bentuk sinusoidal. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, akan berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri. Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batasan integrasi di sini;
– “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada suatu segmen, grafik suatu fungsi kamu= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus dipangkatkan ganjil dalam pelajaran Integral fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.
(2) Kita menggunakan identitas trigonometri utama dalam bentuk
(3) Mari kita ubah variabelnya T= karena X, maka: terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana integral garis singgung dalam kubus diambil; akibat wajar dari integral utama digunakan di sini identitas trigonometri
.
Kita mulai mempertimbangkan proses sebenarnya menghitung integral ganda dan mengenal makna geometrisnya.
Integral ganda secara numerik sama dengan luas bangun datar (daerah integrasi). Ini adalah bentuk integral ganda yang paling sederhana, ketika fungsi dua variabel sama dengan satu: .
Pertama, mari kita lihat masalahnya secara umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya segala sesuatunya! Mari kita hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Untuk lebih pastinya, kami berasumsi bahwa pada segmen tersebut. Luas gambar ini secara numerik sama dengan:
Mari kita gambarkan luasnya pada gambar:
Mari kita pilih cara pertama untuk melintasi area tersebut:
Dengan demikian:
Dan segera merupakan trik teknis yang penting: integral berulang dapat dihitung secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Metode ini Saya sangat merekomendasikannya kepada pemula di bidang ini.
1) Mari kita hitung integral internal, dan integrasi dilakukan pada variabel “y”:
Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian digunakan rumus dangkal Newton-Leibniz, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integrasi bukanlah bilangan, tetapi fungsi. Pertama, kita substitusikan batas atas ke “y” (fungsi antiturunan), lalu batas bawah
2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke integral luar:
Representasi yang lebih ringkas dari keseluruhan solusi terlihat seperti ini:
Rumus yang dihasilkan persis dengan rumus kerja untuk menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu “biasa”! Lihat pelajaran Menghitung luas menggunakan integral tertentu, itu dia di setiap langkahnya!
Yaitu soal menghitung luas dengan menggunakan integral ganda tidak jauh berbeda dari soal mencari luas dengan menggunakan integral tertentu! Faktanya, itu sama saja!
Oleh karena itu, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan melihat banyak contoh, karena Anda sebenarnya telah berulang kali menghadapi tugas ini.
Contoh 9
Solusi: Mari kita gambarkan luas pada gambar:
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut:
Di sini dan selanjutnya saya tidak akan membahas bagaimana cara melintasi kawasan tersebut, karena penjelasan yang sangat detail telah diberikan di paragraf pertama.
Dengan demikian:
Seperti yang telah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral iterasi secara terpisah, dan saya akan tetap menggunakan metode yang sama:
1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita menangani integral internal:
2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke integral luar:
Poin ke 2 sebenarnya mencari luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu.
Menjawab:
Ini adalah tugas yang bodoh dan naif.
Contoh menarik untuk solusi independen:
Contoh 10
Dengan menggunakan integral ganda, hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,
Contoh perkiraan solusi akhir di akhir pelajaran.
Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan metode pertama dalam melintasi area tersebut, pembaca penasaran, omong-omong, dapat mengubah urutan traversal dan menghitung luas dengan cara kedua. Jika tidak melakukan kesalahan, tentu saja Anda akan mendapatkan nilai luas yang sama.
Namun dalam beberapa kasus, metode kedua untuk melintasi area tersebut lebih efektif, dan di akhir kursus para kutu buku muda, mari kita lihat beberapa contoh lagi tentang topik ini:
Contoh 11
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis,
Solusi: kita menantikan dua parabola dengan kekhasan yang terletak di sisinya. Tidak perlu tersenyum; hal serupa cukup sering terjadi pada integral berganda.
Apa cara termudah untuk membuat gambar?
Bayangkan sebuah parabola berbentuk dua fungsi:
– cabang atas dan – cabang bawah.
Demikian pula, bayangkan sebuah parabola berupa cabang atas dan bawah.
Kami menghitung luas gambar menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:
Apa yang terjadi jika kita memilih metode pertama untuk melintasi area tersebut? Pertama, kawasan ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran menyedihkan ini: . Integral, tentu saja, bukanlah tingkat yang sangat rumit, tapi... ada pepatah matematika kuno: mereka yang dekat dengan akarnya tidak memerlukan tes.
Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi tersebut, kami menyatakan fungsi kebalikannya:
Fungsi terbalik V dalam contoh ini memiliki keuntungan bahwa mereka menentukan seluruh parabola sekaligus tanpa daun, biji, cabang dan akar.
Menurut metode kedua, penjelajahan area adalah sebagai berikut:
Dengan demikian:
Seperti yang mereka katakan, rasakan perbedaannya.
1) Kita berurusan dengan integral internal:
Kami mengganti hasilnya ke integral luar:
Integrasi pada variabel “y” tidak akan membingungkan; jika ada huruf “zy”, akan lebih bagus untuk mengintegrasikannya. Meskipun siapa pun yang telah membaca paragraf kedua pelajaran Cara menghitung volume benda rotasi tidak lagi mengalami kecanggungan sedikit pun dengan integrasi menggunakan metode “Y”.
Perhatikan juga langkah pertama: integrannya genap, dan interval integrasinya simetris terhadap nol. Oleh karena itu, segmennya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa digandakan. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran Metode efektif untuk menghitung integral tertentu.
Apa yang harus ditambahkan…. Semua!
Menjawab:
Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung. Jawabannya harus persis sama.
Contoh 12
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan metode pertama untuk melintasi area tersebut, gambar tersebut tidak lagi harus dibagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan karenanya, kita mendapatkan tiga pasang integral berulang. Terkadang itu terjadi.
Kelas master telah berakhir, dan saatnya beralih ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral ganda? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu gila di artikel kedua =)
Aku harap kamu berhasil!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2:Larutan:
Mari kita gambarkan area tersebut pada gambar:
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut:
Dengan demikian:
Mari beralih ke fungsi invers:
Dengan demikian:
Menjawab:
Contoh 4:Larutan:
Mari beralih ke fungsi langsung:
Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ubah urutan melintasi area tersebut:
Menjawab:
Urutan berjalan di sekitar area:
Dengan demikian:
1)
2)
Menjawab:
Pada Juli 2020, NASA meluncurkan ekspedisi ke Mars. Pesawat luar angkasa akan mengirimkan ke Mars sebuah media elektronik dengan nama semua peserta ekspedisi yang terdaftar.
Jika postingan ini memecahkan masalah Anda atau Anda hanya menyukainya, bagikan tautannya dengan teman-teman Anda di jejaring sosial.
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkannya rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Malam Tahun Baru lagi... cuaca dingin dan kepingan salju di kaca jendela... Semua ini mendorong saya untuk menulis lagi tentang... fraktal, dan apa yang diketahui Wolfram Alpha tentangnya. Pada kesempatan kali ini ada artikel menarik, yang berisi contoh struktur fraktal dua dimensi. Di sini kita akan melihat lebih lanjut contoh yang kompleks fraktal tiga dimensi.
Suatu fraktal dapat direpresentasikan (digambarkan) secara visual sebagai bangun atau benda geometris (artinya keduanya merupakan himpunan, dalam hal ini himpunan titik-titik), yang rinciannya mempunyai bentuk yang sama dengan bangun aslinya. Artinya, ini adalah struktur serupa diri, jika diperiksa detailnya, jika diperbesar, kita akan melihat bentuk yang sama seperti tanpa perbesaran. Sedangkan pada kasus biasa sosok geometris(bukan fraktal), bila diperbesar kita akan melihat detail yang lebih banyak bentuk sederhana daripada sosok aslinya itu sendiri. Misalnya, pada perbesaran yang cukup tinggi, bagian elips tampak seperti ruas garis lurus. Hal ini tidak terjadi pada fraktal: dengan peningkatan apa pun, kita akan kembali melihat bentuk kompleks yang sama, yang akan berulang lagi dan lagi dengan setiap peningkatan.
Benoit Mandelbrot, pendiri ilmu fraktal, menulis dalam artikelnya Fraktal dan Seni atas Nama Sains: “Fraktal adalah bentuk geometris yang detailnya sama rumitnya dengan bentuk keseluruhannya akan diperbesar menjadi ukuran keseluruhan, maka akan tampak secara keseluruhan, baik persis, atau mungkin dengan sedikit deformasi."
